人教A版高中数学选修复数的基本概念及其运算教案

复数的基本概念及其运算
一、目标要求：
(1) 复数的概念的发展和有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数）；复数
的代数表示与向量表示。

(2) 掌握复数的表示方法。

（3掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算（复数代数形式的加法与减法，乘法
与除法）
二、思想方法
(1)化归思想—将复数问题实数化。

(2)方程思想—利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。

三、教学进程
1。

引人:实数的局限性，比如说：在实数范围内-2没有平方根，那么-2真的没有平方根
吗？
2．复数的有关概念和性质：
(1)i 称为虚数单位，规定2
1i =-，形如a+bi 的数称为复数，其中a ，b ∈R ． (2)复数的分类(下面的a ，b 均为实数)
(3)复数的相等设复数1112221122,(,,,)z a bi z a b i a b a b R =+=+∈，那么12z z =的充要条件是：1122a b a b ==且．
(4)复数的几何表示复数z=a+bi （a ，b ∈R ）可用平面直角坐标系内点Z(a ，b)来表示．这时称此平面为复平面，x 轴称为实轴，y 轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C 与复平面上全体点集是一一对应的．
复数z=a+bi (),a b R ∈．在复平面内还可以用以原点O 为起点，以点Z(a ，b)
向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O ，看成零向量)．
(6)复数与实数不同处:
①任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．
②实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．
3．复数的代数运算
（1）i 4n =1，i 41n +=i ，i 42n +=-1，i 43n +=-i ；
（2）i n · i 1n +· i 2n +·i 3n +=-1， i n ＋i 1n +＋i 2n +＋i 3n +=0；
；
()()()()()()()()()()()()0522
22221222
212121≠+-+++=-+-+=++=+==∙∈+=++-=∙±+±=±∈+=+=z i d c ad bc d c bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z b a z z z R b a bi a z i ad bc bd ac z z i d b c a z z R d c b a di c z bi a z ；
，则，；特别，若；
，，，，，
四、典型例题分析
①实数？②虚数？③纯虚数？ ④在复平面上对应的点第三象限
?
①复数z 是实数的充要条件是：
∴当m ＝-2时复数z 为实数． ②复数z 是虚数的充要条件：
∴当m ≠-3且m ≠-2时复数z 为虚数 ③复数z 是纯虚数的充要条件是：
∴ 当m ＝1时复数z 为纯虚数．
【说明】 要注意复数z 实部的定义域是m ≠-3，它是考虑复数z 是实数，虚数纯虚数的必要条件．
要特别注意复数z ＝a+bi(a ，b ∈R)为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0．
例2 (1).若__________723=∈++∈x R i
i
x R x ，则，
(2).复数a+bi 与c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）的积是纯虚数的充要条件是（ ） A ． 0=-bd ac Ｂ．0=+bc ad Ｃ．00=+≠-bc ad bd ac 且
Ｄ．00≠+=-bc ad bd ac 且
（3）已知3
3
333-+∈++=m m C m i m z ，且，其中为纯虚数 求m 的对应点的轨迹.
例3.设复数()i b az z i
i i z +=+++-++=
1213122
，若）
（,求实数b a ，的值.
例4:计算:
()
22
15
21232132⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-++++-i i i
i (2 )1+i+32
i +…+1000999
i
【说明】 计算时要注意提取公因式，要注意利用i 的幂的周期性，
(2 ) 法 1：原式=(1+2i -3-4i)+(5+6i -7-8i)+…+(997+998i -999-1000i)
=250(-2-2i)=-500-500i 法2：设 S ＝1+2i+32
i +…+1000999
i ，则iS ＝i+22i +33i +…+999999
i
+10001000
i
，
∴(1-i)S ＝1+i+2
i +…+999i
-10001000i
【说明】 充分利用i 的幂的周期性进行组合，注意利用等比数列求和的方法． 例5 （2004上海市普通高校春季高考数学试卷18） 已知实数p 满足不等式02
1
2<++x x ，试判断方程05222=-+-p z z 有无实根，并给出证明.
【解】由0212<++x x ，解得212-<<-x ，2
12-<<-∴p . 方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=∆p . 2
12-<<-p ，4241<<∴p ，0<∆，由此得方程05222=-+-p z z 无实根.
课后训练
1、下列说法正确的是 ( )
A ．0i 是纯虚数
B ．原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点
C ．实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数
D ．2
i 是虚数 2、下列命题中，假命题是 ( )
A ．两个复数不可以比较大小
B ．两个实数可以比较大小
C ．两个虚数不可以比较大小
D ．一虚数和一实数不可以比较大小 3、复数1+i+2
i +…+10
i 等于 ( )
A ．i
B ．
-
I
C ．2i
D ．-2i 4、下列命题中: (1) 两个复数不能比较大小;
(2) 若z=a+bi, 则当且仅当a ＝0且b ≠0时,z 为纯虚数;
(3) (z 1-z 2)2+(z 2-z 3)2
=0 则z 1=z 2=z 3;
(4)x+yi=1+i 1==⇔y x。