3.1 椭圆 课件1 (北师大选修2-1)
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3.1 椭圆 课件1 (北师大选修2-1)
小知识 与《几何原本》齐名的《圆锥曲线论》
公元前三世纪产生了具有完整体系的欧 几里得的《几何原本》。半个世纪以后，古 希腊的另一位数学家阿波罗尼斯又著《圆锥 曲线论》（8卷）—以其几乎将圆锥曲线的全 部性质网罗殆尽而名垂史册。 在解析几何之前的所有研究圆锥曲线的著 作中，没有一本达到象《圆锥曲线论》那样 对圆锥曲线研究得如此详尽的程度。 解析几何是由费尔马和笛卡尔分别创立的。 自从有了解析几何，圆锥曲线的研究才开辟 了新的纪元。
自学教材P28－29页例3之前内容，思考解答下列问题 （1）在椭圆标准方程中，x、y的取值范围分别是什么？ 你是怎样探得的？ （2）请结合椭圆标准方程确定椭圆的对称性。 （3）请结合图形说明什么是椭圆的顶点？ y 若该椭圆的标准方程是 B2（0，b）
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
A2（－a，0）
A1（a，0）
则它的顶点坐标分别是什么？ （4）什么叫椭圆离心率？
o
B1（0，－b） （1）
x
思考：[1]离心率的取值范围是什么？
[2]离心率对椭圆形状有什么影响？ y 离心率对椭圆形状的影响： 1）e 越接近 1，c 就越接近 o x ( a )，从而 b就接近（ 0 ）,椭 圆形状就越（ 扁 ）。 2）e 越接近 0，c 就越接近 ( 0 )，从而 b就越（ a ）， 椭圆就越圆（ 圆 ）。 3）当e =0时，a 与b有什么关系？此时椭圆变成什么 3）当e =0时，a =b，此时椭圆变成圆。 形状？
a ,0
(
）,(0,
c,0)
b)
（
b ,0
）,(0,
(0,
c)
a)
长半轴长为a,短半轴长为b.
a,b,c关系
3.1 椭圆 课件3 (北师大选修2-1)
探究交流二
LOGO
• 如何用几何图形解释？ a ,b, c 在椭圆中分别表示 哪些线段的长？ • 当a为定值时，椭圆形状的变化与c有怎样的关系？
交流结果 1.勾股定理...... 2.a不变c变大椭圆越扁 a不变c变小椭圆越圆
课堂小结:
1.椭圆的定义:
平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常 数（大于ΙF1F2Ι）的点的集合叫作椭圆，这两 个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作 椭圆的焦距 ．
课前预习情况汇报(2)
完成问题３和问题４
这是大家在学习推导椭圆的方程时应该注 意的2个问题 ①建立坐标系的问题. ②怎样消去方程总的根式.
求椭圆方程的步骤
建立坐标系
1 2 3
别忘了还 有⑤呢？
设点
列式
4
化简
注意：①②③④只说明了椭圆上点的坐标 满足方程，事实上我们还可以证明，方程 的“每一组解所对应的点都在椭圆上”。
椭圆的标准方程 焦点位置 在X轴
Y
F1
LOGO
在Y轴
Y
图 形
标准方程
F1
F2
X
F2
X
x2 y2 2 1 2 a b ( a b 0)
y2 x2 2 1 2 a b ( a b 0)
焦点坐标 F1(-c ,0 ),F2(c,0)
F1(0 ,c ),F2(0,-c)
2 2
a
探究结果
线段F1F2 • 设定义中的常数为 2a, 无轨迹 • 若ΙF1F2Ι = 2a,动点的轨迹是 椭圆
• 若ΙF1F2Ι > 2a,动点 试试： 已知F1（-4,0），F2（4,0），到F 1，F2 • 若ΙF1F2Ι < 2a,动点的轨迹是 两点的
高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程课件北师大版选修2_1
∴点
������2 ������2 A 的轨迹方程是 + =1(y ≠0). 25 16
探究一
探究二
探究三
探究四
反思感悟找出点A的轨迹满足|AB|+|AC|=10>6后,知A的轨迹是 椭圆,用定义法求出其方程,但要注意去掉不符合题意的点(5,0),(5,0).Βιβλιοθήκη 探究一探究二探究三
探究四
变式训练1过椭圆4x2+y2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A,B 两点,F2是椭圆的另一个焦点,求△ABF2的周长. 解:根据题意画出图形如图所示, ∵A,B在椭圆4x2+y2=1上,a2=1, ∴2a=2. ∴|AF1|+|AF2|=2a=2, |BF1|+|BF2|=2a=2. ∴|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4, 即|AB|+|AF2|+|BF2|=4. ∴△ABF2的周长为4.
探究一
探究二
探究三
探究四
求椭圆的标准方程 【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上任意一点P到两焦点 的距离的和等于10;
(2)两个焦点的坐标分别为(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点 - , (3)经过两点(2,- √2), -1,
探究一
探究二
探究三
探究四
解:如图,建立平面直角坐标系,使x轴经过点B,C,原点O与BC的中 点重合. 由已知|AB|+|AC|+|BC|=16,|BC|=6,有|AB|+|AC|=10>6,即点A的 轨迹是椭圆,且2c=6,2a=16-6=10. ∴c=3,a=5,b2=52-32=16. 但当点A在直线BC上,即y=0时,A,B,C三点不能构成三角形,
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(北师大选修2-1)
提示：相同．
返回
问题2：这种游戏设计的原理是什么？ 提示：椭圆的定义．椭圆上的点到两焦点距离之 和为定值． 问题3：在游戏中，选手所跑的路程能否等于两焦 点间的距离？为什么？ 提示：不能．椭圆上的点到两焦点距离之和一定
大于两焦点间的距离．
返回
椭圆的定义
定义
焦点
平面内到两个定点F1，F2的 距离之和等于常数 (大于|F2|)的点的集合叫作椭圆 两个 定点 F1，F2叫作椭圆的焦点
返回
[例3]
(12分)已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C
为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P 的轨迹方程． [思路点拨] P为AC垂直平分线上的点，则|PA|＝|PC|，
而BC为圆的半径，从而4＝|PA|＋|PB|，可得点P轨迹为以A、
B为焦点的椭圆．
返回
[精解详析]如图所示，连接AP，∵l垂直平分AC， ∴|AP|＝|CP|. ∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|PC|＝4， ∴P点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆． ∵2a＝4,2c＝|AB|＝2， ∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3. x2 y2 ∴点P的轨迹方程为 4 ＋ 3 ＝1. (10分) (12分) (8分) (3分)
y2 x2 轴上时，方程为36＋35＝1.
答案：D 返回
2．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，求 椭圆C的标准方程．
x2 y2 解：依题意，可设椭圆 C 的方程为a2＋b2＝1(a>b>0)，且可 知左焦点为 F′(－2,0)．
c＝2， 从而有 2a＝|AF|＋|AF′|＝3＋5＝8， c＝2， 解得 a＝4.
返回
4．平面内有一个动点M及两定点A，B.设p：|MA|＋|MB|为
高中数学 3.1第1课时椭圆及其标准方程课件 北师大版选修2-1
① 解得①②得－3<a<－1 或 a>1.
当 a>1 时，③不成立．当－3<a<－1 时，得 a<－2. 综上可得：a 的取值范围是－3<a<－2.
最值问题
F1 是x92＋y52＝1 的左焦点，P 是椭圆上的动点，A(1,1) 为定点，则|PA|＋|PF1|的最小值为________________．
[解析] (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为ax22 ＋by22＝1(a>b>0)．
∵2a＝ 5＋32＋0＋ 5－32＋0＝10,2c＝6. ∴a＝5，c＝3， ∴b2＝a2－c2＝52－32＝16. ∴所求椭圆的方程为：2x52 ＋1y62 ＝1.
(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为：ay22＋bx22＝ 1(a>b>0)．
3．已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆x32＋y2＝1 上，顶点 A 是
椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC
的周长是( )
A．2 3
B．6
C．4 3
D．12
[答案] C
[解析] 设椭圆的另一个焦点为 F(如图)，
则 △ ABC 的 周 长 为 (|AB| ＋ |BF|) ＋ (|CA| ＋ |CF|) ＝ 2a ＋ 2a ＝
∴－2c≤|PF1|－|PF2|≤2c， ∴2a－2c≤2|PF1|≤2a＋2c，即 a－c≤|PF1|≤a＋c
∴|PF1|的最大值为 a＋c，最小值为 a－C．
[总结反思] 椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长 轴的两个端点，应掌握这一性质．
[总结反思] 椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程 中x2和y2项分母的大小，如果x2项的分母大于y2项的分母，则椭 圆的焦点在x轴上；反之，焦点在y轴上．由于本题中x2和y2项 分母的大小不确定，因此需要进行分类讨论．
3.1.1《椭圆及其标准方程》课件(北师大版选修2-1)
(2)因为m2+n2≥2mn,
所以2(m2+n2)≥m2+n2+2mn=(m+n)2.
4 故m2+n2≥ =8,当且仅当m=n=2时，等号成立. 2
2
所以|PF1|2+|PF2|2的最小值是8， 此时P位于短轴的端点处.
焦点.
由椭圆定义知
|AB|+|BM|+|AM|=|AN|+|BN|+|BM|+|AM| =|AN|+|AM|+|BN|+|BM| =2a+2a=4a=16.
x 2 y 2 的内部，则a的取值范围是 2.(5分)点A(a,1)在椭圆 + =1 4 2
(
)
(A)- 2 <a< 2
(C)-2<a<2
(B)a<- 2 或a> 2
【解析】
x 2 y2 1.(5分)已知点M( 7 ,0)，椭圆 + =1与直线y=k(x+ 7 )交 16 9
于A，B两点，则△ABM的周长为(
(A)11 (B)10
)
(C)9 (D)16
【解析】选D.如图.
直线y=k(x+ 7 )恒过定点N(- 7 ,0).
x 2 y2 由椭圆方程 + =1知M( 7 ,0),N(- 7 ,0)恰好为椭圆的两 16 9
【解析】如图所示，由题意知， F1（- 3 ，0），F2（ 3 ，0）. 设|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0), 由椭圆的定义知m+n=4.
(1)根据均值不等式知mn≤ ( m+n ) 2= ( 4 )2 = 4,
2 2
高中数学北师大版选修2-1 3.1.2.1椭圆的简单性质 课件(30张)
= 1 的短轴长为6,∴a2= 25,b2=9. 答案 :D
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UBIAODAOHANG HISHI SHULI IANLI TOUXI
UITANGYANLIAN
【做一做 2】 若椭圆的焦距等于它的短轴长,则椭圆的离心率 为( )
1 2 A. B. C. 2 2
2D. 2
2 , 3
答案 :B 【做一做 3】 若椭圆以坐标轴为对称轴,离心率 e = 长轴长为 6, 则椭圆的方程为( )
������2 ������2 1或 + 36 20 ������2 ������2 ������2 ������2 A. + = 1B. + = 1 36 20 9 5 ������2 ������2 ������2 ������2 ������2 ������2 C. + = 1 或 + = 1D. + 9 5 5 9 20 36
������ , ������, ������, ������之间的关系为������2 ������ ������ ������
= ������2 − ������2,
������ ������
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化. 椭圆的离心率������ = , 用������, ������表示为������ = 1������ 2 ������ ������ , 当 越小时, 椭圆越扁 , ������越大; 当 越大时 ������ ������ ������
1.对称性
������2 椭圆 2 ������
+
= 1 是以������轴、 ������轴为对称轴的轴对称图形 ,
3.1椭圆 第2课时 课件(北师大版选修2-1) (1)
3 离心率为5，长轴长为 10 的椭圆的标准方程为( x2 y2 A．25＋16＝1 x2 y2 y2 x2 B．25＋16＝1 或25＋16＝1 x2 y 2 C．100＋64＝1 x2 y2 y 2 x2 D．100＋64＝1 或100＋64＝1
)
[答案] B
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-1
3．离心率对椭圆扁圆程度的影响
c c 如图，在 Rt△BF2O 中，cos∠BF2O＝a，a越大，∠BF2O c 越小，椭圆越扁；a越小，∠BF2O 越大，椭圆越圆．
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-1
4．通过对椭圆的范围、对称性、特殊点(顶点、焦点、中
心)、对称轴及其他特性的讨论从整体上把握曲线的形状、大小 和位置，进而掌握椭圆的性质，学习过程中应注意，图形与方 程对照、方程与性质对照，只有通过数形结合的方式才能牢固 掌握椭圆的几何性质．
3
知能自主梳理
7名师辩误作答来自4学习方法指导
8
课堂巩固训练
5
思路方法技巧
9
课后强化作业
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-1
知能目标解读
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-1
1．掌握椭圆的几何性质，掌握标准方程中的a、b以及c、
e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系．
性 x轴、y轴 质 对称性 对称轴：__________ 坐标原点 对称中心：__________
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-1
标准方程
x2 y2 a2＋b2＝1(a>b>0)
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2008年9月25日晚9时10分许，我国自行研制的第三艘载人飞船神舟七号，在 酒泉卫星发射中心载人航天发射场由“长征二号F”运载火箭发射升空，举世瞩 目，万众欢腾。飞船进入了以近地点200公里，远地点350公里的椭圆轨道围绕地 球运行，经科学验证飞船之所以沿椭圆运行,主要取决于椭圆的特性。
活动一 尝试自学，探究新知
自学教材P28－29页例3之前内容，思考解答下列问题 （1）在椭圆标准方程中，x、y的取值范围分别是什么？ 你是怎样探得的？ （2）请结合椭圆标准方程确定椭圆的对称性。 （3）请结合图形说明什么是椭圆的顶点？ y 若该椭圆的标准方程是 B2（0，b）
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
------谈收获
标准方程
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 b a
图
象
范
围
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
对 称 性 顶点坐标 焦点坐标 半 轴 长 焦 距 （
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。
问题1 已知椭圆方程为16x2+25y2=400 它的长轴长是： 10 。短轴长是： 8 。
焦距是：
6
。
离心率等于：
3 5
。
4) 焦点坐标是： (3,0) 。顶点坐标是：(5,0) (0, __。
外切矩形的面积等于：
80
。
变式
y2 x2 1 为_____________________ 6 2 6 它的长轴长是 。短轴长是 2 。 30 2 5 焦距是 。 离心率等于 6 。
A2（－a，0）
A1（a，0）
则它的顶点坐标分别是什么？ （4）什么叫椭圆离心率？
o
B1（0，－b） （1）
x
思考：[1]离心率的取值范围是什么？
[2]离心率对椭圆形状有什么影响？ y 离心率对椭圆形状的影响： 1）e 越接近 1，c 就越接近 o x ( a )，从而 b就接近（ 0 ）,椭 圆形状就越（ 扁 ）。 2）e 越接近 0，c 就越接近 ( 0 )，从而 b就越（ a ）， 椭圆就越圆（ 圆 ）。 3）当e =0时，a 与b有什么关系？此时椭圆变成什么 3）当e =0时，a =b，此时椭圆变成圆。 形状？
称中心。 四 [3]一个椭圆有_____个顶点,
椭圆与它的对称轴 顶点是___________________的交 点。 o
y x
想想、试试，你能行！
[4]对称轴与长轴、短轴的位置关系是
对称轴分别与长轴、短轴共线。 __________________________
长轴和短轴长度 [5]2a 和 2b分别是__________________,a和 b分别是 长半轴和短半轴长度或原点到椭圆顶点的距离. ________________________________________ [6] 前面主要从 _____________________________________个方面考 定义、取值范围及其对椭圆形状的影响三 察离心率.
焦点坐标是 ____________。顶点坐标是
( 0,
5 )
已知椭圆方程为6x2+y2=6，将它转化成标准式
( 0, 5)
(0, 6 ) ______，_______。
(1பைடு நூலகம்0)
外切矩形的面积等于
4 6
。
问题2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 （ )经过点P(3，)、Q(0， 2)； 1 0 (2)长轴长为20，离心率为0.6；
小知识 与《几何原本》齐名的《圆锥曲线论》
公元前三世纪产生了具有完整体系的欧 几里得的《几何原本》。半个世纪以后，古 希腊的另一位数学家阿波罗尼斯又著《圆锥 曲线论》（8卷）—以其几乎将圆锥曲线的全 部性质网罗殆尽而名垂史册。 在解析几何之前的所有研究圆锥曲线的著 作中，没有一本达到象《圆锥曲线论》那样 对圆锥曲线研究得如此详尽的程度。 解析几何是由费尔马和笛卡尔分别创立的。 自从有了解析几何，圆锥曲线的研究才开辟 了新的纪元。
a ,0
(
）,(0,
c,0)
b)
（
b ,0
）,(0,
(0,
c)
a)
长半轴长为a,短半轴长为b.
a,b,c关系
离 心 率
焦距为2c;
e c a
a2=b2+c2
推荐作业：
必做题：1 、 阅读教材p28-31页内容完成例5；2 、 课本第31页习题第3、4、6题 选做题：
课外练习 1、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍, 且椭圆过(-2,-4)点,求椭圆的标准方程. 2、已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成 等差数列,求该椭圆的离心率.
活动二 变式应用,巩固新知 （一）想想、试试，你能行！
x2 y2 2 1( a b 0) 2 a b x a和 y b [1]椭圆标准方程________________________此椭圆方
程所表示的椭圆范围是_______________________ [2]上述方程表示的椭圆有____条对称轴，_____个对 一
变式：求适合下列条件的椭圆的标准方程 1.经过点P (6，)、Q (0， ； 0 8) 2.长轴长是短轴长的2倍， 且过点(2， 6).
课外探究
x2 2 椭圆 y 1的焦点为 1，F2，点P为 F 4 椭圆上一动点 F1 PF2为钝角时，求 .当 点P的横坐标的取值范围 .
轻松愉快
活动一 尝试自学，探究新知
自学教材P28－29页例3之前内容，思考解答下列问题 （1）在椭圆标准方程中，x、y的取值范围分别是什么？ 你是怎样探得的？ （2）请结合椭圆标准方程确定椭圆的对称性。 （3）请结合图形说明什么是椭圆的顶点？ y 若该椭圆的标准方程是 B2（0，b）
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
------谈收获
标准方程
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 b a
图
象
范
围
|x|≤ a,|y|≤ b
|x|≤ b,|y|≤ a
对 称 性 顶点坐标 焦点坐标 半 轴 长 焦 距 （
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。
问题1 已知椭圆方程为16x2+25y2=400 它的长轴长是： 10 。短轴长是： 8 。
焦距是：
6
。
离心率等于：
3 5
。
4) 焦点坐标是： (3,0) 。顶点坐标是：(5,0) (0, __。
外切矩形的面积等于：
80
。
变式
y2 x2 1 为_____________________ 6 2 6 它的长轴长是 。短轴长是 2 。 30 2 5 焦距是 。 离心率等于 6 。
A2（－a，0）
A1（a，0）
则它的顶点坐标分别是什么？ （4）什么叫椭圆离心率？
o
B1（0，－b） （1）
x
思考：[1]离心率的取值范围是什么？
[2]离心率对椭圆形状有什么影响？ y 离心率对椭圆形状的影响： 1）e 越接近 1，c 就越接近 o x ( a )，从而 b就接近（ 0 ）,椭 圆形状就越（ 扁 ）。 2）e 越接近 0，c 就越接近 ( 0 )，从而 b就越（ a ）， 椭圆就越圆（ 圆 ）。 3）当e =0时，a 与b有什么关系？此时椭圆变成什么 3）当e =0时，a =b，此时椭圆变成圆。 形状？
称中心。 四 [3]一个椭圆有_____个顶点,
椭圆与它的对称轴 顶点是___________________的交 点。 o
y x
想想、试试，你能行！
[4]对称轴与长轴、短轴的位置关系是
对称轴分别与长轴、短轴共线。 __________________________
长轴和短轴长度 [5]2a 和 2b分别是__________________,a和 b分别是 长半轴和短半轴长度或原点到椭圆顶点的距离. ________________________________________ [6] 前面主要从 _____________________________________个方面考 定义、取值范围及其对椭圆形状的影响三 察离心率.
焦点坐标是 ____________。顶点坐标是
( 0,
5 )
已知椭圆方程为6x2+y2=6，将它转化成标准式
( 0, 5)
(0, 6 ) ______，_______。
(1பைடு நூலகம்0)
外切矩形的面积等于
4 6
。
问题2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 （ )经过点P(3，)、Q(0， 2)； 1 0 (2)长轴长为20，离心率为0.6；
小知识 与《几何原本》齐名的《圆锥曲线论》
公元前三世纪产生了具有完整体系的欧 几里得的《几何原本》。半个世纪以后，古 希腊的另一位数学家阿波罗尼斯又著《圆锥 曲线论》（8卷）—以其几乎将圆锥曲线的全 部性质网罗殆尽而名垂史册。 在解析几何之前的所有研究圆锥曲线的著 作中，没有一本达到象《圆锥曲线论》那样 对圆锥曲线研究得如此详尽的程度。 解析几何是由费尔马和笛卡尔分别创立的。 自从有了解析几何，圆锥曲线的研究才开辟 了新的纪元。
a ,0
(
）,(0,
c,0)
b)
（
b ,0
）,(0,
(0,
c)
a)
长半轴长为a,短半轴长为b.
a,b,c关系
离 心 率
焦距为2c;
e c a
a2=b2+c2
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活动二 变式应用,巩固新知 （一）想想、试试，你能行！
x2 y2 2 1( a b 0) 2 a b x a和 y b [1]椭圆标准方程________________________此椭圆方
程所表示的椭圆范围是_______________________ [2]上述方程表示的椭圆有____条对称轴，_____个对 一
变式：求适合下列条件的椭圆的标准方程 1.经过点P (6，)、Q (0， ； 0 8) 2.长轴长是短轴长的2倍， 且过点(2， 6).
课外探究
x2 2 椭圆 y 1的焦点为 1，F2，点P为 F 4 椭圆上一动点 F1 PF2为钝角时，求 .当 点P的横坐标的取值范围 .
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