第一引论第二矩阵对策第三矩阵对策的求解-资料

零和
盟
多人
对
策
无
非零和
限
对 同有限对策
策
第二节：矩阵对策
1.矩阵对策的数学模型 2.矩阵对策解的问题 3.矩阵对策的混合策略 4.矩阵对策的基本定理 5.矩阵对策解的性质
2019/10/7
1.矩阵对策的数学模型
（1）矩阵对策的内涵：二人有限零和对策，即对策双方 的利益是激烈对抗的。
（2）矩阵对策的数学模型：
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3. 矩阵对策的混合策略
例：对策矩阵G={S1，S2，A}，其中： A= 3 6
54
显然G在策略意义下的解不存在，于是设x=(x1,x2) 为局中人甲的混合策略， y=(y1,y2)为局中人乙的混 合策略，则
S1* = {xi 0，i=1,2; x1+ x2 = 1} S2* = {yj 0，j=1,2; y1+ y2 = 1} 局中人甲的赢得期望值是：E (x,y) =xT A y
Min
7 5 6 5 5 A= 2 -3 9 -4 -4 Max = 5
6 5 7 5 5 0 1 -1 2 -1
Max 7 5 9 5
Min = 5
i = 1, 3 ，j = 2, 4，ai*j* = 5，四个局势均为矩 阵对策的解。
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3. 矩阵对策的混合策略
对矩阵对策G={S1，S2，A}来说，局中人甲 有把握的最小赢得是：
v1 = max min aij
ij
局中人乙有把握的最大损失是： v2= min max aij
ji
当v1 = v2时，对矩阵对策有策略意义下的解；
然而并非总是如此，经常是 v1 < v2 （ 总有v1
v2 ），此时没有策略意义下的解。 2019/10/7
Min
-4 2 -6 -6
A= 4 3 5
3
8 -1 -10 -10
-3 0 6 -3
Max 3
Max
8 36
Min 3
局中人甲应选择2 ，乙应采取2策略；结果甲赢得3，乙付
出3。
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2. 矩阵对策解的问题
定义1：设矩阵对策G={S1，S2，A}，其中：
S1 ={1，2，…，m}， S2 = {1 ，2 ， …， n}
抽到红牌1/2
掷硬币
让乙猜
抽到黑牌1/2 让乙猜
正面 1/2
反面 1/2
p
-q
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猜红 -r
猜黑
猜红
s
t
猜黑 -u

1. 矩阵对策的示例2
抽到红牌1/2
掷硬币
让乙猜
抽到黑牌1/2 让乙猜
正面 1/2
p
反面 1/2
-q
猜红 -r
猜黑
猜红
s
t
猜黑 -u
若甲决定掷硬币这个策略，则乙的猜红或猜黑已无意
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5.矩阵对策解的性质
性质2：矩阵对策G1={S1，S2，A1}、 G2={S1， S2，A2}，解集分别为T（ G1 ）和 T（ G2 ），若其 中有A1=（aij）、 A2=（aij+L ），L为任一常数， 则：（1） V G2= V G1+L；
Am×n={aij}。因为对策是零和的，所以乙的赢得矩阵为 -Am×n。
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1. 矩阵对策的数学模型
建立二人零和对策的模型就是要根据对实际问 题的叙述，确定甲、乙两个局中人的策略集合以 及相应的赢得矩阵。不难看出在“齐王赛马”的 例子中，齐王的赢得矩阵为：
3 1 1 1 1 -1
1 3 3 3 -1 1
max min E (x,y) = min max E (x,y)
x S1* y S2*
y S2* x S1*
记其值为VG，则VG为对策G *的值，使上式成立的混合 局势（x *，y *）为G 在混合策略意义下的解， x *，y * 分别称为局中人甲和乙的最优混合策略。
注：策略意义下的解不存在时，自动转向混合策略意义下 的解。
A= 4 3 5
3
8 -1 -10 -10
-3 0 6 -3
Max 3
局中人甲应选择2 ，此时不管局中人乙采取什么策略，甲的
赢得均不小于3。
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2. 矩阵对策解的问题
设矩阵对策G={S1，S2，A}，其中：
S1 ={1，2，3，4}， S2 = {1 ，2 ， 3}
aij* ai*j* ai*j 定理1：设矩阵对策G={S1，S2，A}在策略意义下
有解的充分必要条件是存在着局势（ i* ，j* ）
使得对于一切i与j都有aij* ai*j* ai*j成立。
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2. 矩阵对策解的问题
例：设矩阵对策G={S1，S2，A}，赢得矩阵为：
定理4：设 x * S1* ， y * S2*则（x *，y *） 是矩阵对策G的解的充分必要条件是存在数v使得x * 和y *
分别是不等式组
aijxi v (j=1,2,…,n)
i
aijyj v (i=1,2,…,m)
j
xi = 1
xi 0 (i=1,2,…,m)
的解，且v=VG。
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3. 矩阵对策的混合策略
例：E (x,y) =xT A y =3x1y1+6x1y2+5x2y1+4x2y2 = -4(x1-1/4)(y1-1/2)+9/2
取x *=（1/4，3/4），y *=（1/2，1/2），则
E (x,y *)= E (x *,y *) = E (x *,y) = 9/2
齐王：上、 中、 下 田忌：上、 中、 下
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1.引例：齐王赛马
齐王：上、 中、 下 田忌：上、 中、 下
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2.对策行为的基本要素
1. 局中人（Player）：在一个对策行为中，有权 决定自己行动方案的参加者称为局中人。 2. 策略（Strategy）：一局对策中，可供局中人 选择的完整的行动方案称为策略。 3. 赢得函数（Score）：一局对策中，局中人使 用每一策略都会有所得失，这种得失是全体局中 人所采取的一组策略的函数，称为赢得函数。 4. 局势：一局对策中，各局中人选定的策略所形 成的策略组称为一个局势。
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3. 矩阵对策的混合策略
对 x S1*, y S2* 称(x, y)为一个混合局势，局
中人的赢得函数记成：
E (x, y) =xT A y 这样便得到一个新的对策
G* = {S1*, S2*, E} G*称为G的混合扩充。
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3. 矩阵对策的混合策略
G * = {S1*, S2*, E} 是G={S1，S2，A}的混合扩 充，如果
猜红
猜黑
p
-q
-r
s
t
-u
乙
甲
猜红
猜黑
掷硬币 1/4（p-q+2t） 1/4（p-q-2u）
让乙猜
1/2（-r+t） 1/2（s-u）
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2. 矩阵对策解的问题
设矩阵对策G={S1，S2，A}，其中：
S1 ={1，2，3，4}， S2 = {1 ，2 ，3} ，
Min
-4 2 -6 -6
即有
E (x,y *) E (x *,y *) E (x *,y)
故x *和y *分别为局中人甲和乙的最优（混合）策略。
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4.矩阵对策的基本定理
定理1：设矩阵对策G={S1，S2，A}在策略意 义下有解的充分必要条件是存在着局势（ i* ，j* ） 使得对于一切i与j都有aij* ai*j* ai*j成立。
A = {aij}mn ；若
Max min aij = Min max aij = ai*j*
i
j
j
i
则称ai*j*为对策G的值，局势（ i* ，j* ）为G的 解，i*和j*分别称为局中人的最优策略。
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2. 矩阵对策解的问题
由于ai*j*既是其所在行的最小值，又是其所在 列的最大值，于是有：
甲：有m个策略，表示为S1=（ 1, 2, 3,……, m) 乙：有n个策略，表示为S2=（ 1, 2, 3,……, n) 当甲选定策略i 、乙选定策略j 时，就形成了一个 局势（ i , j ）。可见这样的局势总共有m n个，对任 意局势（ i , j ）甲的赢得值为aij，即甲的赢得矩阵为

4.矩阵对策的基本定理
定理3：设 x * S1* ， y * S2*则（x *，y *）
是矩阵对策G的解的充分必要条件是对任意的i(1,2,…,m)和 j(1,2, …,n)有
E (x,y *) E (x *,y *) E (x *,y)
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4.矩阵对策的基本定理
1 -1 3 1 1 1 A=
-1 1 1 3 1 1
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1 1 -1 1 3 1
1 1 1 -1 1 3

1. 矩阵对策的示例1
例1 ：甲的赢得矩阵
乙
甲
石头 剪子
布
石头
0
1
-1
剪子
-1
0
1
布
1
-1
0
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1. 矩阵对策的示例2
例2 ：从一张红牌和一张黑牌中随机抽取一张，在对乙保密的情况 下拿给甲看。若甲看到的是红牌，他可以选择掷硬币或让乙猜；若 甲选择掷硬币，出现正面甲赢 p 元，出现反面甲输 q 元；若让乙猜， 当乙猜中是红牌时甲输 r 元，否则甲赢 s 元。若甲看到的是黑牌， 他只能让乙猜，当乙猜中是黑牌时甲输 u 元，否则甲赢 t 元。试确 定甲、乙各自的策略并建立赢得矩阵。