数学---四川省德阳市中江县龙台中学2017届高三上学期期末试卷(理)(解析版)

四川省德阳市中江县龙台中学2017届高三上学期期末试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．经过圆（x+1）2+y2=1的圆心，且与直线x+y=0垂直的直线方程是（）A．x+y﹣1=0 B．x+y+1=0 C．x﹣y﹣1=0 D．x﹣y+1=02．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β3．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上，且BP=BD1，则三棱锥P ﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．4．平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是（）A．2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B．2x+y+=0或2x+y﹣=0C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D．2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=05．直三棱锥ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定7．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．108 B．100 C．92 D．849．空间四边形ABCD的对角线AC=10，BD=6，M、N分别为AB、CD的中点，MN=7，则异面直线AC和BD所成的角等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°10．已知正三角形ABC的边长为2，D是BC边的中点，将三角形ABC沿AD翻折，使，若三棱锥A﹣BCD的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．7πB．19πC．D．11．直线y=kx+1与圆x2+y2+kx﹣y=0的两个交点恰好关于y轴对称，则k等于（）A．0 B．1C．2 D．312．已知点P（t，t），点M是圆O1：x2+（y﹣1）2=上的动点，点N是圆O2：（x﹣2）2+y2=上的动点，则|PN|﹣|PM|的最大值是（）A．1 B．﹣2C．2+D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线ax+y+1=0对称，则a=．14．圆C1：x2+y2﹣2mx+m2﹣4=0与圆C2：x2+y2+2x﹣4my+4m2﹣8=0相交，则m的取值范围是．15．在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．16．已知AC，BD为圆O：x2+y2=9的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为．三、解答题：（本大题共6小题，合计70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．如图在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M为AB的中点．（I）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求点B到平面SCM的距离．18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1的中点．（1）求证：BD1∥平面AEC．（2）求异面直线BC1与AC所成的角．19．已知圆C经过点A（1，1）和B（4，﹣2），且圆心C在直线l：x+y+1=0上．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）设M，N为圆C上两点，且M，N关于直线l对称，若以MN为直径的圆经过原点O，求直线MN的方程．20．如图为一组合几何体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD且PD=AD=2EC=2．（I）求证：AC⊥平面PDB；（II）求四棱锥B﹣CEPD的体积；（III）求该组合体的表面积．21．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形．（Ⅰ）求二面角P﹣AB﹣C的大小；（Ⅱ）在线段AB上是否存在一点E，使平面PCE⊥平面PCD？若存在，请指出点E的位置并证明，若不存在请说明理由．22．设直线l的方程为y=kx+b（其中k的值与b无关），圆M的方程为x2+y2﹣2x﹣4=0．（1）如果不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，求b的取值范围；（2）b=1，l与圆交于A，B两点，求|AB|的最大值和最小值．参考答案一、选择题1．B【解析】由于（x+1）2+y2=1的圆心坐标为（﹣1，0），直线x+y=0的斜率为1，故所求直线的斜率为﹣1，故所求的直线的方程为y﹣0=﹣1（x+1），即x+y+1=0，故选B．2．C【解析】A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选C．3．C【解析】∵BP=BD1，∴P到平面ABCD的距离d=DD1=，∴V P﹣ABC===．故选：C．4．A【解析】设所求直线方程为2x+y+b=0，所以=，所以b=±5，所以所求直线方程为：2x+y+5=0或2x+y﹣5=0,故选：A．5．D【解析】根据已知条件，分别以C1A1，C1B1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设CA=2，则：A（2，0，2），N（1，0，0），B（0，2，2），A1（2，0，0），B1（0，2，0），M（1，1，0）；∴；∴；∴BM与AN所成角的余弦值为．故选：D．6．B【解析】∵M（a，b）在圆x2+y2=1外，∴a2+b2＞1，∴圆O（0，0）到直线ax+by=1的距离d=＜1=r，则直线与圆的位置关系是相交．故选B7．D【解析】选项A，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则可能m⊥n，m∥n，或m，n异面，故A错误；选项B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n，或m，n异面，故B错误；选项C，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β可能相交，也可能平行，故C错误；选项D，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，再由n∥β可得α⊥β，故D正确．故选D．8．B【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个长方体切去一个三棱锥得到的组合体，长方体的体积为：6×6×3=108，棱锥的体积为：××4×3×4=8，故组合体的体积V=108﹣8=100，故选：B9．B【解析】如图，取AD中点G，连接MG，NG，∵AC=10，BD=6，M、N分别为AB、CD的中点，∴NG=5，MG=3，又MN=7，cos∠MGN=，∴cos∠MGN=120°，则异面直线AC和BD所成的角等于60°．故选：B．10．A【解析】△BCD中，BD=1，CD=1，BC=，所以∠BDC=120°，底面三角形的底面圆半径为：DM=CM=1，AD是球的弦，DA=，∴OM=，∴球的半径OD=．该球的表面积为：4π×OD2=7π；故选：A11．A【解析】联立直线与圆的方程得：，消去y得：（k2+1）x2+2kx=0，设方程的两根分别为x1，x2，由题意得：x1+x2=﹣=0，解得：k=0．故选A．12．D【解析】如图所示，圆O1：x2+（y﹣1）2=的圆心O1（0，1），圆O2：（x﹣2）2+y2=的圆心O2（2，0），这两个圆的半径都是；要使PN﹣PM最大，需PN最大，且PM最小，由图可得，PN最大值为PO2+，PM的最小值为PO1﹣，故PN﹣PM最大值是（PO2+）﹣（PO1﹣）=PO2﹣PO1+1，点P（t，t）在直线y=x上，O1（0，1）关于y=x的对称点O1′（1，0），直线O2O1′与y=x的交点为原点O，则PO2﹣PO1=PO2﹣PO1′≤O1′O2=1，故PO2﹣PO1+1的最大值为1+1=2，即|PN|﹣|PM|的最大值为2．故选D．二、填空题13．3【解析】圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2）；圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线ax+y+1=0对称，可得：﹣a+2+1=0，解得a=3．故答案为：3．14．（0，2）或【解析】整理圆C1得（x﹣m）2+y2=4，整理圆C2得（x+1）2+（y﹣2m）2=9∴C1的圆心为（m，0），半径为2，圆C2：圆心为（﹣1，2m），半径为3，∵两圆相交∴圆心之间的距离小于两圆半径之和，大于两圆半径之故答案为：（0，2）或15．（x﹣1）2+y2=2【解析】圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．16．15【解析】∵圆O：x2+y2=9，∴圆心O坐标（0，0），半径r=3，设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，∵M（1，），则d12+d22=OM2=12+（）2=3，又|AC|=2，|BD|=2∴四边形ABCD的面积S=|AC|•|BD|=2•≤18﹣（d12+d22）=18﹣3=15，当且仅当d12 =d22时取等号，则四边形ABCD面积的最大值为15．故答案为：15．三、解答题17．（Ⅰ）证明：如图，取AC的中点D，连接DS，DB．∵SA=SC，BA=BC，∴AC⊥DS，且AC⊥DB，DS∩DB=D，∴AC⊥平面SDB，又SB⊂平面SDB，∴AC⊥SB．（Ⅱ）解：∵SD⊥AC，平面SAS⊥平面ABC，∴SD⊥平面ABC．如图，过D作DE⊥CM于E，连接SE，则SE⊥CM，∴在Rt△SDE中，SD=1，DE=，∴SE=．CM是边长为2的正△ABC的中线，∴CM=．∴=．=．设点B到平面SCM的距离为h，则由V B﹣SCM=V S﹣BCM得，∴．18．解：（1）连结BD交AC于O，则O为BD的中点，连EO，因为E是DD1的中点，所以EO∥BD1，又EO⊂面AEC，BD1⊈面AEC，所以BD1∥平面AEC．（2）连结AD1、CD1，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，得BC1∥AD1，由此可得∠D1AC（或补角）就是异面直线AC与BC1所成角．∵△AD1C是等边三角形，∴∠D1AC=60°，即异面直线AC与BC1所成角的大小为60°．19．解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（4，﹣2）∴直线AB的斜率∴直线AB的垂直平分线的斜率为1又线段AB的中点坐标为∴线段AB的垂直平分线的方程是，即x﹣y﹣3=0∵圆心C在直线l：x+y+1=0上∴圆心C的坐标是方程组的解，得圆心C的坐标（1，﹣2）∴圆C的半径长∴圆C的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2=9（Ⅱ）设以MN为直径的圆的圆心为P，半径为r∵M，N是圆C上的两点，且M，N关于直线l：x+y+1=0对称∴点P在直线l：x+y+1=0上∴可以设点P坐标为（m，﹣1﹣m）∵以MN为直径的圆经过原点O∴以MN为直径的圆的半径长∵MN是圆C的弦，∴|CP|2+r2=9，即（m﹣1）2+（m﹣1）2+m2+（m+1）2=9，解得m=﹣1或∴点P坐标为（﹣1，0）或∵直线MN垂直直线l：x+y+1=0，∴直线MN的斜率为1∴直线MN的方程为：x﹣y+1=0或x﹣y﹣4=020．（Ⅰ）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，又底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵BD∩PD=D，∴AC⊥平面PDB；（Ⅱ）解：∵PD⊥平面ABCD，且PD⊂面PDCE，∴面PDCE⊥面ABCD，又BC⊥CD，∴BC⊥平面PDCE．∵S梯形PDCE=（PD+EC）•DC=×3×2=3，∴四棱锥B﹣CEPD的体积V B﹣CEPD=S梯形PDCE•BC=×3×2=2；（Ⅲ）解：∵BE=PE=，PB=2，∴S PBE=×2×=．又∵S ABCD=2×2=4，S PDCE=3，S PDA==2，S BCE==1，S P AB==2，∴组合体的表面积为10+2+．21．解：（Ⅰ）如图，设M，N分别是AB和CD的中点，连接PM，MN，PN,∵P A=PB，M是AB的中点,∴PM⊥AB,又在正方形ABCD中有MN⊥AB,∴∠PMN为二面角P﹣AB﹣C的平面角,∵，AB=2，M是AB的中点,∴PM=2,同理可得PN=2，又MN=2,∴△PMN是等边三角形，故∠PMN=60°,∴二面角P﹣AB﹣C为60°.（Ⅱ）存在点E，使平面PCE⊥平面PCD，此时E为线段MB的中点．理由如下: 如图，设E，F，G分别为MB，PN和PC的中点，连接MF，FG，EG，EC,由（Ⅰ）知△PMN是等边三角形，故MF⊥PN,∵CD⊥MN，CD⊥PN，MN∩PN=N,∴CD⊥平面PMN，故CD⊥MF,又CD∩PN=N,∴MF⊥平面PCD,∵F，G分别为PN和PC的中点,∴FG綊,又E为线段MB的中点,∴FG綊ME，故四边形EMFG为平行四边形,∴EG∥MF,∴EG⊥平面PCD,又EG⊂平面PCE,∴平面PCE⊥平面PCD．22．解：（1）若不论k取何值，直线l与圆M总有两个不同的交点，则（0，b）点在圆M：x2+y2﹣2x﹣4=0的内部，即b2﹣4＜0，解得：﹣2＜b＜2；（2）当b=1时，l必过（0，1）点，当l过圆心时，|AB|取最大值，即圆的直径，由M：x2+y2﹣2x﹣4=0的半径r=，故|AB|的最大值为2，当l和过（0，1）的直径垂直时，|AB|取最小值．此时圆心M（1，0）到（0，1）的距离d=，|AB|=2=2，故|AB|的最小值为2．。