数字信号处理-第3章
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数字信号处理第三章-2
对于实际工程来讲滤除幅度很小的高频成分和截去幅度很小 的部分时间信号是允许的。
书第96页 式（3.4.11）下面
连续信号的频谱可以通过对连续信号进行采样并进行 DFT再乘以T的近似方法得到。
对持续时间有限的信号，在满足时域采样定理时，上述方 法不丢失信息。但是直接由分析结果看不到全部频谱特性， 只能看到N个采样点的谱特性，产生“栅栏效应”。
*如何确定延拓的周期L呢？
因为长度为N和M的两个序列的线性卷积是一个长度为 M+N-1的序列，所以： (1)如果L<M+N-1，则线性卷积yl(n) 的周期延拓必有一部分非 零值序列相重叠，从而产生混叠失真，这时循环卷积不等于 线性卷积。 (2)如果L≥M+N-1，则线性卷积yl(n)的周期延拓不会产生混叠 失真，这时循环卷积等于线性卷积。
这些应用一般都以卷积和相关运算的具体处理为依据， 或用 DFT(FFT)作为连续傅里叶变换的近似为基础。
这里主要介绍利用DFT计算线性卷积和对信号进行谱 分析等基本应用。
1、用DFT计算线性卷
如果：积y(n) x1(n) x2 (n) L1 x1(m)x2 ((n m)) L RL (n) m0
n
对应着时域的
0 k N 1
周期延拓
该式也表示在区间[0，2]上对x(n)的傅里叶变换的N点等间隔采样。
设: xN (n) IDFT[X (k)], 0 n N 1
下面推导序列xN(n)与原序列x(n)的关系。
IDFT
设 ~x(n) 是xN(n)的周期延拓，其离散傅里叶级数为X~(k)
n0
当 z e时j， 上面两式就变成了x(n)傅里叶变换 的X内(e j )
插函数和内插公式。 X (e j ) N1 X (k) ( 2 k)
书第96页 式（3.4.11）下面
连续信号的频谱可以通过对连续信号进行采样并进行 DFT再乘以T的近似方法得到。
对持续时间有限的信号，在满足时域采样定理时，上述方 法不丢失信息。但是直接由分析结果看不到全部频谱特性， 只能看到N个采样点的谱特性，产生“栅栏效应”。
*如何确定延拓的周期L呢？
因为长度为N和M的两个序列的线性卷积是一个长度为 M+N-1的序列，所以： (1)如果L<M+N-1，则线性卷积yl(n) 的周期延拓必有一部分非 零值序列相重叠，从而产生混叠失真，这时循环卷积不等于 线性卷积。 (2)如果L≥M+N-1，则线性卷积yl(n)的周期延拓不会产生混叠 失真，这时循环卷积等于线性卷积。
这些应用一般都以卷积和相关运算的具体处理为依据， 或用 DFT(FFT)作为连续傅里叶变换的近似为基础。
这里主要介绍利用DFT计算线性卷积和对信号进行谱 分析等基本应用。
1、用DFT计算线性卷
如果：积y(n) x1(n) x2 (n) L1 x1(m)x2 ((n m)) L RL (n) m0
n
对应着时域的
0 k N 1
周期延拓
该式也表示在区间[0，2]上对x(n)的傅里叶变换的N点等间隔采样。
设: xN (n) IDFT[X (k)], 0 n N 1
下面推导序列xN(n)与原序列x(n)的关系。
IDFT
设 ~x(n) 是xN(n)的周期延拓，其离散傅里叶级数为X~(k)
n0
当 z e时j， 上面两式就变成了x(n)傅里叶变换 的X内(e j )
插函数和内插公式。 X (e j ) N1 X (k) ( 2 k)
数字信号处理第3章 离散傅里叶变换.
(3.1.9)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
式中
X (k ) X (k )R N (k )
(3.1.10)
即X(k)为 X (k ) 的主值序列。 有限长序列x(n)的N点离散傅里叶变换X(k)正好是x(n) x((n))N的离散傅里叶级数系数 X (k ) ~ 的主值序列，即 X (k ) X (k ) R N (k )。 周期延拓序列频谱完全由其离散傅里叶级数系数 X (k ) 确定，因此，X(k)实质上是x(n)的周期延拓序列x((n)) N的 频谱特性，这就是N点DFT的第二种物理解释（物理意
X ( z ) ZT[ x(n)] x(n) z n
n 0 kn X (k ) DFT[ x(n)]N x(n)WN n 0 M 1
M 1
k 0,1,
, N 1
比较上面二式可得关系式
X (k ) X ( z) ze
或
j
2π k N
k 0,1, , N 1
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
应当说明，若x(n)实际长度为M，延拓周期为N，则当 N<M时，(3.1.5)式仍表示以N为周期的周期序列，但(3.1.6) 和 (3.1.7)式仅对N≥M时成立。图3.1.2（a）中x(n)实际长度 M=6，当延拓周期N=4时，
~ x (n) 如图3.1.2（c）所示。
X(ejω)在区间［0, 2π］上的N点等间隔采样。这就 是DFT的物理意义。由此可见，DFT的变换区间长度N 不同，表示对X(ejω)在区间［0, 2π］上的采样间隔和采 样点数不同，所以DFT的变换结果不同。上例中，
x(n)=R4(n)，DFT变换区间长度N分别取8、16时，X(ejω)
数字信号处理第二版第三章
第3章 快速傅里叶变换
3.1 引言 3.2 直接计算DFT的问题及改进的途径 3.3 按时间抽取（DIT）的基2-FFT算法 3.4 按频率抽取（DIF）的基2-FFT算法 3.5 N为复合数的FFT算法
3.6 线性调频Z变换（Chirp-Z变换）算法
3.7 利用FFT分析时域连续信号频谱 3.8 FFT的其他应用
X1 (k)
X1 (k)＋WN X2 (k)
k
X2 (k)
k WN
－1
X1 (k)－WN X2 (k)
k
图 3-1 时间抽取法蝶形运算流图符号
x1 (0)＝x(0) x1 (1)＝x(2) x1 (2)＝x(4) x1 (3)＝x(6) x2 (0)＝x(1) x2 (1)＝x(3) x2 (2)＝x(5) x2 (3)＝x(7)
n ( N ( k WN ( N k ) WNN n )k WN nk ,WN / 2 1,WNk N / 2) WN
nk的周期性
nk (WN )* WN nk
nk ( n WN WNnN )k WN ( k N )
nk的可约性
nk nmk nk nk / WN WmN ,WN WN / mm
3、运算量分析 利用基2算法计算一个N点FFT共需要(N2/2)+(N/2)=N(N+1)/2
≈N2/2次复数乘法和N(N/2-1)+N=N2/2次复数加法。
进一步分解：
x1 (2l ) x3 (l ) N l 0,1,, 1 4 x1 (2l 1) x4 (l )
快速傅里叶变换31引言32直接计算dft的问题及改进的途径33按时间抽取dit的基2fft算法34按频率抽取dif的基2fft算法35n为复合数的fft算法36线性调频z变换chirpz变换算法37利用fft分析时域连续信号频谱38fft的其他应用3132直接计算dft的问题及改进的途径321直接计算dft的运算量问题n131反变换idft为
3.1 引言 3.2 直接计算DFT的问题及改进的途径 3.3 按时间抽取（DIT）的基2-FFT算法 3.4 按频率抽取（DIF）的基2-FFT算法 3.5 N为复合数的FFT算法
3.6 线性调频Z变换（Chirp-Z变换）算法
3.7 利用FFT分析时域连续信号频谱 3.8 FFT的其他应用
X1 (k)
X1 (k)＋WN X2 (k)
k
X2 (k)
k WN
－1
X1 (k)－WN X2 (k)
k
图 3-1 时间抽取法蝶形运算流图符号
x1 (0)＝x(0) x1 (1)＝x(2) x1 (2)＝x(4) x1 (3)＝x(6) x2 (0)＝x(1) x2 (1)＝x(3) x2 (2)＝x(5) x2 (3)＝x(7)
n ( N ( k WN ( N k ) WNN n )k WN nk ,WN / 2 1,WNk N / 2) WN
nk的周期性
nk (WN )* WN nk
nk ( n WN WNnN )k WN ( k N )
nk的可约性
nk nmk nk nk / WN WmN ,WN WN / mm
3、运算量分析 利用基2算法计算一个N点FFT共需要(N2/2)+(N/2)=N(N+1)/2
≈N2/2次复数乘法和N(N/2-1)+N=N2/2次复数加法。
进一步分解：
x1 (2l ) x3 (l ) N l 0,1,, 1 4 x1 (2l 1) x4 (l )
快速傅里叶变换31引言32直接计算dft的问题及改进的途径33按时间抽取dit的基2fft算法34按频率抽取dif的基2fft算法35n为复合数的fft算法36线性调频z变换chirpz变换算法37利用fft分析时域连续信号频谱38fft的其他应用3132直接计算dft的问题及改进的途径321直接计算dft的运算量问题n131反变换idft为
数字信号处理DSP第三章3.3 DFT性质
y ( n ) = x (( n + m )) N R N ( n )
① 若 (( m )) N = n0 ② 先求出
⎧ 左移 n0 则⎨ ⎩ 右移 n0
m>0 m<0
y (0) = x((m)) N
再依次相继循环写出其他的y(n)。 例: 已知x(n)(0≤n≤2), y(n)=x((n+m))5R5(n)，当m=-16时，求y(3)=？。 y(3)=x(2)。
y(n) = x1 (n)* x2 (n) =
=
m=−∞
∞
∑ x (m) x (n − m)
1 2
2 1
∞
m=−∞
∑ x (m) x (n − m)
线性卷积结果非零区间? 线性卷积结果长度？
循环卷积计算过程： 1）根据卷积长度补零,使得作卷积的两序列长度相同； 2）循环翻转(求其中一个序列的循环翻转序列)； 3）将循环翻转序列右循环移位(n=0,1,2, …，N-1)； 4）相乘相加。 5）对下一个n，重复上述4步。
R7 (m )
0
x2
m
((3 −
m
) )7
R7 (m )
0
m
y(0) = [∑x1 (m)x2 ((0 − m))7 ]R7 (m) = 1×1+1×1+1× 0 + 0 × 0 + 0 × 0 + 0 ×1+ 0 ×1 = 2
m=0 6
6
y(1) = [∑x1 (m)x2 ((1− m))7 ]R7 (m) = 1×1+1×1+1×1+ 0× 0 + 0× 0 + 0× 0 + 0 ×1 = 3
精品文档-数字信号处理(吴瑛)-第3章
WNnk (WNnm )
N
1
e
j2π N
nk
(e
j2π N
nm
)
N 1 j2π(mk )n
eN
n0
n＝0
n＝0
(1) 当((m-k)) N=0时e，j2Nπn(mk ) 1
N
1
e
j2π N
nk
(e
j2π N
nm
)
N
n0
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
(2) 当((m-k)) N≠0时e j2，Nπ(mk ) 1
3.1 引 言
离散时间信号经过傅里叶变换或Z变换后得到相应的频谱， 即可在变换域(频域或复频域)对其进行分析处理，而实际使用 中还有另一种变换——离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
由于有限长的离散时间信号经离散傅里叶变换后也是有限 长和离散的，而且适应了计算机、DSP芯片等的实际计算环境， 同时该变换的多种快速算法(统称Fast Fourier Transform， FFT)相继出现使得数字信号处理的实时性、灵活性得以实现， 因此离散傅里叶变换的应用较傅里叶变换和Z变换更为广泛。
n0
k
(3.3.5)
~x (n)
1 N
N 1 X~ (k )WNnk ,
k 0
n
(3.3.6)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
称X~(k)为 ~x(n)的离散傅里叶级数变换，且称式(3.3.5)为
离散傅里叶级数变换的正变换(DFST)，式(3.3.6)为离散傅里 叶级数反变换(IDFST)，如图3.3.1
xa
(t
)e
N
1
e
j2π N
nk
(e
j2π N
nm
)
N 1 j2π(mk )n
eN
n0
n＝0
n＝0
(1) 当((m-k)) N=0时e，j2Nπn(mk ) 1
N
1
e
j2π N
nk
(e
j2π N
nm
)
N
n0
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
(2) 当((m-k)) N≠0时e j2，Nπ(mk ) 1
3.1 引 言
离散时间信号经过傅里叶变换或Z变换后得到相应的频谱， 即可在变换域(频域或复频域)对其进行分析处理，而实际使用 中还有另一种变换——离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
由于有限长的离散时间信号经离散傅里叶变换后也是有限 长和离散的，而且适应了计算机、DSP芯片等的实际计算环境， 同时该变换的多种快速算法(统称Fast Fourier Transform， FFT)相继出现使得数字信号处理的实时性、灵活性得以实现， 因此离散傅里叶变换的应用较傅里叶变换和Z变换更为广泛。
n0
k
(3.3.5)
~x (n)
1 N
N 1 X~ (k )WNnk ,
k 0
n
(3.3.6)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
称X~(k)为 ~x(n)的离散傅里叶级数变换，且称式(3.3.5)为
离散傅里叶级数变换的正变换(DFST)，式(3.3.6)为离散傅里 叶级数反变换(IDFST)，如图3.3.1
xa
(t
)e
数字信号处理教学课件第三章
X ( e j )
j n x ( n ) e
n
X (e j )是的连续周期函数。
1 x ( n) 2
X (e j )e jnd
时域 FT 连续，非周期
频域 非周期，连续
FS DTFT
连续，周期 离散，非周期
非周期，离散 周期，连续
10
四、离散傅里叶级数（DFS→DFT）
时域抽样
时域截断
时域周期延拓
周期延拓中的搬移通过与 ( t nTs ) 的卷积来实现 周期延拓后的周期函数具有离散谱
经过抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。
3
学 习 方 法
从工程需要出发，理解信号频谱分析的实际问题。即
在实践中领悟处理原理的意义
从解决问题出发，理解各种信号处理方法的目的。即
上面讨论的三种傅里叶变换对，都不适用在计 算机上运算。我们感兴趣的是时域及频域都是离散 的情况，这就是离散傅里叶级数（变换）。
根据以上讨论： 时域：离散 频谱：周期 频域：离散 时域：周期 因此，DFS必是一种时域、频谱均为离散和周 期的一种傅里叶变换。
11
总之，一个域的离散必然造成另一个 |X ( j)| x (t) 1 域的周期延拓。
23
n n1 mN
0 n1 N 1 m为整数
~ ( n)是周期为N＝8的序列，求n=19和n=-2两 例如，x 数对N的余数。 因为
n 19 3 2 8
((19 ))8 3
n 2 6 (1) 8
因此
~ x (19) ((19)) 8 x(3)
第3章 离散傅里叶变换
jIm(z)
j n x ( n ) e
n
X (e j )是的连续周期函数。
1 x ( n) 2
X (e j )e jnd
时域 FT 连续，非周期
频域 非周期，连续
FS DTFT
连续，周期 离散，非周期
非周期，离散 周期，连续
10
四、离散傅里叶级数（DFS→DFT）
时域抽样
时域截断
时域周期延拓
周期延拓中的搬移通过与 ( t nTs ) 的卷积来实现 周期延拓后的周期函数具有离散谱
经过抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的。
3
学 习 方 法
从工程需要出发，理解信号频谱分析的实际问题。即
在实践中领悟处理原理的意义
从解决问题出发，理解各种信号处理方法的目的。即
上面讨论的三种傅里叶变换对，都不适用在计 算机上运算。我们感兴趣的是时域及频域都是离散 的情况，这就是离散傅里叶级数（变换）。
根据以上讨论： 时域：离散 频谱：周期 频域：离散 时域：周期 因此，DFS必是一种时域、频谱均为离散和周 期的一种傅里叶变换。
11
总之，一个域的离散必然造成另一个 |X ( j)| x (t) 1 域的周期延拓。
23
n n1 mN
0 n1 N 1 m为整数
~ ( n)是周期为N＝8的序列，求n=19和n=-2两 例如，x 数对N的余数。 因为
n 19 3 2 8
((19 ))8 3
n 2 6 (1) 8
因此
~ x (19) ((19)) 8 x(3)
第3章 离散傅里叶变换
jIm(z)
数字信号处理第三章总结
3.4系列的Z 变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系序列的Z 变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系拉普拉斯变换拉普拉斯逆变换傅里叶变换傅里叶逆变换序列x(n)的Z 变换逆Z 变换抽样信号的拉普拉斯变换[]⎰∞∞--==dt e t x t x LT s X st a )()()([]⎰∞+∞--==j j st a dte t x s X LT t x σσ)()()(1Ω+=j s σ[]⎰∞∞-Ω-==Ωdte t x t x FT j X t j )()()([]⎰∞∞-Ω-ΩΩ=Ω=d e j X j X FT t x tj )()()(1Ω=j s ()()nn X z x n z ∞-=-∞=∑,2,1,0,)(21)(1±±==⎰-n dz z z X jn x cn π()()()()()∑∑⎰⎰∑⎰∞-∞=-∞-∞=∞∞--∞∞--∞-∞=∞∞--∧∧∧=-=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n nsTan st a stn ast a a a enT x dte nT t nT x dt e nT t nT x dt e t x t x LT s X δδ)()()(抽样序列的z 变换为3.4.1拉氏变换与Z 变换变换的关系就是复变量s 平面到复变量z 平面的映射：令 s=σ+j Ω, z=re j ω 得到： re j ω =e (σ+j Ω)T =e σT e j ΩT , 因而 r=e σT ， ω=ΩT3.4.2 ω= ΩTΩ=0 、π/T 、3π/T 、 Ω0与ω的对应关系 Ω变化时与ω的对应关系s 平面到z 平面的映射是多值映射。
（傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴的特例，即s ＝j Ω，因而映射到z 平面上为单位圆，代入 抽样序列的z 变换sTez=()[]()∑∞-∞=-==n nzn x n x ZT z X )(()eˆ()(e )(2.89)sTsT az X z X X s ===得取样序列在单位圆上的Ｚ变换，等于其理想取样信号的傅里叶变换 。
数字信号处理 第三章05
∀x(n), 任一非周期序列（绝对可 和） ∵频域取样→时域周期化 ∴若 x(n) 为无限长序列， 则不可能由 X (k ) → x(n) 问题： 若有x(n), n = 0， 1， …，M − 1 如何选取N才能使 X ( k ) → x ( n)
0 ≤ k ≤ N −1 0 ≤ n ≤ M −1
频谱分析的模拟信号以8kHz被抽样，计算了512个抽样的DFT， 试确定频谱抽样之间的频率间隔。 解： 由下图
T
t
1 NT 1T
f 2π f = Ω
NT
1 8k 频域抽样间隔f 0 = = = 15.6 Hz NT 512
思考2：
课本P101上说：“信号的频率分辨率F和最小记录长度 tp成反比”。 F=1/ tp （3-110） 有 同学 问：如 果示 波器 采样 时间持续 1s ， 以 100Ms/s (每秒采样 100M次 ) 的采样速 率对信 号 采样，最 小 记录 长度tp =1s，根据公式（3-110），那么无论怎么设置采 样率，频率分辨率都是1Hz。若需要对信号进行实时高 精度测频，如何实现。
频率取样后，信息有没有损失？能否用序列频率特 性取样值X(k)恢复出原序列x(n)？
§3-6 频域采样
~ △ 令 X (k ) = X ((k ))N 1 N −1 ~ −kn ~ ∀n x ′(n) = ∑ X (k )WN N k =0 1 N −1 −kn = ∑ X (k )WN N k =0 1 N −1 M −1 km −kn = ∑∑ x(m)WN WN N k =0 m=0 M1 1 N1 (mn)k x(m) WN N k0 m0
W ( e jω ) W ( e j0 )
W ( e j0 )
0 ≤ k ≤ N −1 0 ≤ n ≤ M −1
频谱分析的模拟信号以8kHz被抽样，计算了512个抽样的DFT， 试确定频谱抽样之间的频率间隔。 解： 由下图
T
t
1 NT 1T
f 2π f = Ω
NT
1 8k 频域抽样间隔f 0 = = = 15.6 Hz NT 512
思考2：
课本P101上说：“信号的频率分辨率F和最小记录长度 tp成反比”。 F=1/ tp （3-110） 有 同学 问：如 果示 波器 采样 时间持续 1s ， 以 100Ms/s (每秒采样 100M次 ) 的采样速 率对信 号 采样，最 小 记录 长度tp =1s，根据公式（3-110），那么无论怎么设置采 样率，频率分辨率都是1Hz。若需要对信号进行实时高 精度测频，如何实现。
频率取样后，信息有没有损失？能否用序列频率特 性取样值X(k)恢复出原序列x(n)？
§3-6 频域采样
~ △ 令 X (k ) = X ((k ))N 1 N −1 ~ −kn ~ ∀n x ′(n) = ∑ X (k )WN N k =0 1 N −1 −kn = ∑ X (k )WN N k =0 1 N −1 M −1 km −kn = ∑∑ x(m)WN WN N k =0 m=0 M1 1 N1 (mn)k x(m) WN N k0 m0
W ( e jω ) W ( e j0 )
W ( e j0 )
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基2时间抽取和基2频率抽取FFT算法的 基本思想和方法 。
2. 了解基4时间抽取FFT算法的基本原理 。
3. 掌握实序列FFT计算，以及由N点序列FFT计 算2N点序列FFT的方法 。
4. 掌握利用FFT计算IDFT的过程，以及IFFT实 现的原理 。
重 点 和 难 点
本章的重点是基2时间抽取FFT算法的基本原理， FFT蝶形运算流图
数字信号处理
(Digital Signal Processing)
信号与系统系列课程组 国家电工电子教学基地
第3章 离散傅里叶变换快速算法(FFT)
内 容 提 要
问题的提出 解决问题的思路与方法 基2时间抽取FFT算法
基2频率抽取FFT算法
FFT算法的实际应用——
实序列的DFT计算，IDFT的快速计算方法
本章的难点是由短序列的DFT表达相应长序列的 DFT的基本原理及方法
目
录
ch3_1时间抽取FFT
ch3_2频率抽取FFT
ch3_3FFT应用
2. 了解基4时间抽取FFT算法的基本原理 。
3. 掌握实序列FFT计算，以及由N点序列FFT计 算2N点序列FFT的方法 。
4. 掌握利用FFT计算IDFT的过程，以及IFFT实 现的原理 。
重 点 和 难 点
本章的重点是基2时间抽取FFT算法的基本原理， FFT蝶形运算流图
数字信号处理
(Digital Signal Processing)
信号与系统系列课程组 国家电工电子教学基地
第3章 离散傅里叶变换快速算法(FFT)
内 容 提 要
问题的提出 解决问题的思路与方法 基2时间抽取FFT算法
基2频率抽取FFT算法
FFT算法的实际应用——
实序列的DFT计算，IDFT的快速计算方法
本章的难点是由短序列的DFT表达相应长序列的 DFT的基本原理及方法
目
录
ch3_1时间抽取FFT
ch3_2频率抽取FFT
ch3_3FFT应用