实际问题与二元一次方程组3
第八章第3-4节实际问题与二元一次方程三元一次方程组解法举例
【本讲教育信息】一. 教学内容：二元一次方程组应用二. 教学重点：＜1＞把实际问题转化为二元一次方程，用二元一次方程解决实际问题＜2＞三元一次方程组的概念及解法三. 知识点扫描：＜1＞三元一次方程：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组＜2＞解三元一次方程组的基本思路：四. 中考考点分析：一次方程和一次方程组是方程的基础知识，它们的解法和应用是中考考查的重点，列方程组解应用题是难点，2009年中考对二元一次方程组的考查重点放在它的解法和应用上，综合性比较强，尤其是商品利润、价格、利息和增长率等问题逐渐成为2009年命题热点。
【典型例题】例一、2008年5月12日，四川汶川发生了里氏8.0级大地震，给当地人民造成了巨大的损失，“一方有难，八方支援”我市绵华中学全体师生积极捐款，其中九年级的三个班的学生的捐款金额如下表吴老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上，但他知道下面三条信息请根据以上信息，帮助吴老师解决下列问题（1）求出2班与3班的捐款金额各是多少元？（2）求出1班的学生人数请设计一种运送方案，使所需的车辆总数最少．说明理由，并求出最少车辆总数。
解析：（1）设总厂原来每周制作帐篷x千顶，分厂原来每周制作帐篷y千顶)(6y 5.1),(8x 6.14y 5x 14y 5.1x 6.19y x 千顶千顶解得由题意得==∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+答：在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷8千顶，6千顶（2）设从（甲市）总厂调配m 千顶帐篷到灾区的A 地，则总厂调配到灾区B 地的帐篷为（8－m ）千顶；（乙市）分厂调配到灾区A 、B 两地的帐篷分别是（9－m ），（m －3）千顶．甲、乙两市所需运送帐篷的车辆为n 辆由题意，得n ＝4m ＋7（8－m ）＋3（9－m ）＋5（m －3）（3≤m ≤8）即n ＝－m ＋68（3≤m ≤8）∵－m ＜0∴m 越大n 越小∴m ＝8时，n 有最小值60答：从总厂运送到灾区A 地帐篷8千顶，从分厂运送到灾区A 、B 两地帐篷分别为1千顶、5千顶时所用车辆最少，最少的车辆为60辆。
人教初中数学七下 8.3 实际问题与二元一次方程组课件6 【经典初中数学课件】
(32)x 3y.
解这个方程组得， x 6 ,
5x 3y.
y 10 .
答：甲、乙两人的速度分别为6米/秒，10米/秒.
3、一艘轮船顺流航行45千米需要3小时，逆流航行65千 米需要5小时，求船在静水中的速度和水流速度。
解:设船在静水中的速度为x千米/时，水流的速度 为y千米/时，根据题意，得
浓度问题
4.有两种药水，一种浓度为60%， 另一种浓度为90%，现要配制浓度为 70%的药水300g，则每种各需多少克？
关于浓度问题的概念: 依据是： 溶液＝溶质＋溶剂
溶质＝浓度×溶液
等量关系是：混合前溶液的和＝混合后的溶液 混合前溶质的和＝混合后的溶质
列方程组解应用题也要检验，既要代入方 程组中，还要代入题目中检验。
解:设这批零件有x个，按原计划需y小时完成,根
据题意得 x 10y 3,
x 11(y 1).
解这个方程组得， x 77 , y 8.
答：这批零件有77个，按原计划需8小时完成。
2、10年前，母亲的年龄是儿子的6倍；10年后， 母亲的年龄是儿子的2倍．求母子现在的年龄．
解：设母亲现在的年龄为x岁，儿子现在的年龄为y岁，列 方程组得
方案一:尽可能多的制成奶片,其余直接销售现牛奶
方案二:将一部分制成奶片,其余制成酸奶销售,并恰好4 天完成
(1)你认为哪种方案获利最多,为什么? (2)本题解出之后,你还能提出哪些问题?
商战风云再起
方案一:生产奶片4天,共制成4吨奶片,获利 2000×4=8000 其余5吨直接销售,获利500×5=2500(元) ∴共获利:8000+2500=10500(元)
人教七年级数学下册-实际问题与二元一次方程组(附习题)
探究新知
知识点 和差倍分问题
养牛场原有 30 头大牛和 15 头小牛，1 天约用 饲料 675 kg；一周后又购进 12 头大牛和 5 头小牛， 这时 1 天约用饲料 940 kg．饲养员李大叔估计每只 大牛 1 天约需饲料 18～20 kg，每只小牛 1 天约需 饲料 7 ～8 kg. 你能否通过计算检验他的估计吗？
是否正确的良好习惯.
情景导入
上节课我们学习了运用方程组 解决一些实际问题，这节课我们继 续学习建立二元一次方程组的数学 模型解应用题.
探究新知
知识点 几何图形问题
据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量 的比是 1:2．现要把一块长 200 m、宽 100 m 的长 方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两 种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的 总产量的比是 3:4？
解：设这间会议室共有座位 x 排，该校七年级 有 y 名学生，根据题意，得
12x+11=y 解得： x=12
14x-13=y
y=155
答：这间会议室共有座位 12 排，该校七年级有 155 名学生.
基础巩固
随堂演练
1.现用 190 张铁皮做盒子，每张铁皮可制 8 个 盒身或 22 个盒底，而一个盒身与两个盒底配成一个
综合运用
4.有大小两种货车，2 辆大货车与 3 辆小货车 一次可以运货 15.5 吨，5 辆大货车与 6 辆小货车 一次可以运货 35 吨. 求 3 辆大货车与 5 辆小货车 一次可以运货多少吨？
解：设大车一次可以运货 x 吨，小车一次可以运货
y 吨. 由题意，得 2x 3 y 15.5，①
问题1 要求“这批产品的销售款比原料费与运 输费的和多多少元？”我们必须知道什么？
8.3实际问题与二元一次方程组(3) 课件 (新人教版七年级下)
x y 200
你还能设计其 他方案吗?
某商店的帐目记录,星期一卖 出39支牙刷和21盒牙膏,共收 入396元,星期二以相同的价 格卖出52支牙刷和28盒牙膏, 共收入518元,作为老板的你 对你的员工可以相信吗?
36千米
甲先行2时走的路程 乙出发后甲、乙2.5时共走路程
甲
2x
2.5 x
36千米
甲出发后甲、乙3时共走路程
相 遇
2.5 y
乙
乙先行2时走的路程
甲
3x
相 遇
3y
2y
乙
设甲、乙两人每小时分别走x千米,y千米.
4.5x + 2.5y = 36 由题意得 3x + 5y = 36
①×2,得 9x+5y=72 ③ - ②,得 6x=36 , 解得 x=6
•
七、八两班共有100名学生，他们的体育达标率（达 到标准的百分率）为81%，如果七班学生的体育达 标率为87.5%，八班的达标率为75%，那么七、八两 班的学生数各是多少？设七、八两班学生数分别为x 名，y名，填写下表并求出x，y的值。
七班 学生数 达标学生数 x 87.5%x
八班 y 75%y
60 x 1000 y 40 x 1000 y
解这个方程组，得
x 20 y 200
答：火车的速度为20m/s，火车 的长度为200m。
一船顺水航行45千米需要3小时，逆水航 行65千米需要5小时，求该船在静水中 的速度和水流的速度.
甲乙两地相距160千米,一辆 汽车和一辆货车同时在两地 相向而行,1小时20分相遇;若 两车同时在两地同向而行,3 小时汽车追上货车,求两车的 速度.
8.3 实际问题与二元一次方程组(3)同步练习(含答案)
8.3 实际问题与二元一次方程组(3)班级姓名座号月日主要内容:列二元一次方程组解决实际问题一、课堂练习:1.甲、乙两个工程队需要增加人员,若往甲队调入54人,往乙队调入36人,则甲队人数正好是乙队人数的2倍,已知原来两队共有员工180人.问:原来甲、乙两队各有多少名员工?2.小明去某批零兼营的文具商店，为学校美术小组的30名同学购买铅笔和橡皮，按商店规定，若给全组每人各买2枝铅笔和1块橡皮,则必须按零售价计算,需支付39元；若给全组每人各买3支铅笔和2块橡皮,则可以按批发价计算,需支付42元.已知每枝铅笔的批发价比零售价低0.1元,每块橡皮的批发价比零售价低0.25元,求这家商店每枝铅笔和每块橡皮的批发价各为多少元？二、课后作业:3.有大小两种货车,2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨,5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨.3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？4.某高校共有5个大餐厅,2个小餐厅.经过测试:同时开放1个大餐厅、2个小餐厅,可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅,可供2280名学生就餐.(1)求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；(2)若7个餐厅同时开放,能否供全校的5300名学生就餐?请说明理由.5.打折前,买60件A商品和30件B商品用了1080元,买50件A商品和10件B商品用了840 元.打折后,买500件A商品和500件B商品用了9600元.比不打折少花多少钱？三、新课预习:6.观察方程组216723210x y zx yx y z++=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩,若用加减法解这个方程组,先消未知数Z 比较简单.7.解方程组261218 x y zx yx y z++=⎧⎪=+⎨⎪-+=⎩参考答案一、课堂练习:1.甲、乙两个工程队需要增加人员,若往甲队调入54人,往乙队调入36人,则甲队人数正好是乙队人数的2倍,已知原来两队共有员工180人.问:原来甲、乙两队各有多少名员工? 解:设原来甲队有x 名员工,乙队有y 名员工.由题意,得180542(36)x y x y +=⎧⎨+=+⎩解得12654x y =⎧⎨=⎩答:原来甲队有126名员工,乙队有54名员工.2.小明去某批零兼营的文具商店，为学校美术小组的30名同学购买铅笔和橡皮，按商店规定，若给全组每人各买2枝铅笔和1块橡皮,则必须按零售价计算,需支付39元；若给全组每人各买3支铅笔和2块橡皮,则可以按批发价计算,需支付42元.已知每枝铅笔的批发价比零售价低0.1元,每块橡皮的批发价比零售价低0.25元,求这家商店每枝铅笔和每块橡皮的批发价各为多少元？解:设每枝铅笔批发价x 元,每块橡皮批发价y 元.由题意,得30[2(0.1)(0.25)]3930(32)42.x y x y ⨯+++=⎧⎨⨯+=⎩解得0.30.25x y =⎧⎨=⎩ 答:每枝铅笔批的发价为0.3元,每块橡皮的批发价为0.25元．二、课后作业:3.有大小两种货车,2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨,5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨.3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？解:设一辆大车一次运货x 吨,一辆小车一次运货y 吨.由题意,得2315.55635x y x y +=⎧⎨+=⎩解得42.5x y =⎧⎨=⎩当4x =, 2.5y =时35345 2.524.5x y +=⨯+⨯=答:3辆大车与5辆小车一次可以运货24.5吨.4.某高校共有5个大餐厅,2个小餐厅.经过测试:同时开放1个大餐厅、2个小餐厅,可供1680 名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅,可供2280 名学生就餐.(1)求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；(2)若7个餐厅同时开放,能否供全校的5300 名学生就餐?请说明理由. 解:(1)设1个大餐厅可供x 名学生就餐,1个小餐厅可供y 名学生就餐.由题意,得2168022280x y x y += ⎧⎨+= ⎩解得960360x y =⎧⎨=⎩ 答:1个大餐厅可供960名学生就餐,1个小餐厅可供360名学生就餐.(2)∵9605360255205300⨯+⨯= > ∴如果同时开放7个餐厅,能够供全校的5300 名学生就餐.5.打折前,买60件A 商品和30件B 商品用了1080 元,买50件A 商品和10件B 商品用了840 元.打折后,买500件A 商品和500件B 商品用了9600 元.比不打折少花多少钱？ 解:设不打折时买A 商品要用x 元,买B 商品要用y 元.由题意,得603010805010840x y x y +=⎧⎨+=⎩解得164x y =⎧⎨=⎩当16x =,4y =时500500500(164)10000x y +=⨯+=∴100009600400 - =答:比不打折少花400元.三、新课预习:6.观察方程组216723210x y z x y x y z ++=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩,若用加减法解这个方程组,先消未知数 Z 比较简单.7.解方程组261218 x y zx yx y z++=⎧⎪=+⎨⎪-+=⎩解:把②代入①,得225y z+=④把②代入③,得16y z+=⑤④与⑤组成方程组,得22516y zy z+=⎧⎨+=⎩解得97yz=⎧⎨=⎩把9y=代入②,得10x=∴原方程组的解为1097 xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩。
实际问题与二元一次方程组3
·
长青化工厂
选择未知数 设制成xt产品，购买yt原料 相等关系 公路运费的和=15000 1.5(20x+10y)=15000 铁路运费的和=97200 1.2(110x+120y)=97200
设制成x吨产品，购买y吨原料.填写下表
长18米的钢材，要锯成10段， 而每段的长只能取“1米或2米” 两种型号之一，小明估计2米的 有3段，你们认为他估计的是否 准确？为什么呢？那2米和1米 的各应取多少段？
白天的用电称为是高峰用电，即 8:00～22:00，深夜的用电是低谷用电 即22:00～次日8:00.若某地的高峰电价 为每千瓦时0.56元；低谷电价为每千 瓦时0.28元．八月份小彬家的总用电 量为125千瓦时，总电费为49元，你知 道他家高峰用电量和低谷用电量各是 多少千瓦时吗？
一个长方形，它的长减少4cm，宽 增加2cm，所得的是一个正方形，它 的面积与长方形的面积相等，求原长 方形的长与宽。
2 y X-4 4
Ⅱ
x-4=y+2 2(x-4)=4y
Ⅰ
打折前，买60件A商品和30 件B商品用了1080元；买50件A 商品和10件B商品用了840元； 打折后，买500件A商品和500件 B商品用了9600元，比不打折少 花多少钱
方案一：将这批水果全部进行粗加工 方案二：尽可能多对水果进行精加工， 没来得及加工的水 果在市场上销售； 方案三：将部分水果进行精加工，其 余进行粗加工，并恰好 15天完成． 你认为选择哪种方案获利最多？为 什么？
某瓜果基地生产一种特色水果，若在 市场上每吨利润为1000元；经粗加工后销 售，每吨利润为4500元；经精加工后销售， 每吨利润可达7500元。一食品公司购到这 种水果140吨，准备加工后上市销售．该 公司的加工能力是：每天可以精加工6吨 或者粗加工16吨，但两种加工方式不能同 时进行．受季节等条件限制，公司必须将 这批水果在15天内全部销售或加工完毕， 为此公司研制三种可行的方案：
人教版七年级数学下册第八章第三节解实际问题与二元一次方程组复习题(含答案) (3)
人教版七年级数学下册第八章第三节解实际问题与二元一次方程组复习题（含答案) 已知：23x y ++与()22x y +的和为零，则x y -=（ ） A ．7B ．5C ．3D ．1【答案】C【解析】【分析】 利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x 与y 的值，即可求出x −y 的值．【详解】根据题意得：|x ＋2y ＋3|＋()22x y +＝0， ∴2320x y x y +=-⎧⎨+=⎩①②， 由②得：y ＝−2x ③，③代入①得：x −4x ＝−3，即x ＝1，把x ＝1代入③得：y ＝−2，则x −y ＝1−（−2）＝1＋2＝3．故选：C ．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元方法与加减消元法．22． 铭铭要用20元钱购买笔和本，两种物品都必须都买，20元钱全部用尽，若每支笔3元，每个本2元，则共有几种购买方案（ ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】设购买x支笔，y个本，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结x，y均为正整数即可求出结论．【详解】解：设购买x支笔，y个本，依题意，得：3x+2y=20，∴y=10-32 x．∵x，y均为正整数，∴112 7x y =⎧⎨=⎩，2244xy=⎧⎨=⎩，3361xy=⎧⎨=⎩，∴共有3种购买方案．故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的基础，用一个变量表示另一个变量，进行整数解的讨论是解题的关键．二、解答题23．列方程组解应用题：《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买一只羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？【答案】合伙人是21人，羊价是150元．【解析】【分析】设合伙买羊的有x 人，羊价为y 钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设合伙人数是x 人、羊价是y 元，依题意得：54573x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：21150x y =⎧⎨=⎩答：合伙人数是21人，羊价是150元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．24．李师傅负责修理我校课桌椅，现知道李师傅修理2张课桌和3把椅子共需86分钟，修理5张课桌和2把椅子共需149分钟．（1）请问李师傅修理1张课桌和1把椅子各需多少分钟（2）现我校有12张课桌和14把椅子需要修理，要求1天做完，李师傅每天工作8小时，请问李师傅能在上班时间内修完吗？【答案】（1）李师傅修理1张课桌需要25分钟，修理1把椅子需要12分钟；（2）李师傅能在上班时间内修完．【解析】【分析】（1）设李师傅修理1张课桌需要x分钟，修理1把椅子需要y分钟，根据“李师傅修理2张课桌和3把椅子共需86分钟，修理5张课桌和2把椅子共需149分钟”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）求出李师傅修理12张课桌和14把椅子所需时间，将其与8小时（480分钟）比较后即可得出结论.【详解】解：（1）设李师傅修理1张课桌需要x分钟，修理1把椅子需要y分钟，依题意，得：2386 52149x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：2512 xy=⎧⎨=⎩.答：李师傅修理1张课桌需要25分钟，修理1把椅子需要12分钟.（2）25×12+12×14＝468（分钟），8小时＝480分钟，∵468＜480，∴李师傅能在上班时间内修完.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.25．甲、乙两人同解方程组232ax by cx y +=⎧⎨-=-⎩，甲正确解得11x y =⎧⎨=-⎩，乙因抄错c ，解得23x y =⎧⎨=-⎩，求a 2﹣b +c 的值． 【答案】9．【解析】【分析】把11x y =⎧⎨=-⎩代入②得出c +3＝﹣2，求出c ，把11x y =⎧⎨=-⎩和23x y =⎧⎨=-⎩代入①得出2232a b a b -=⎧⎨-=⎩，求出a ，b ，再求出a 2﹣b +c 的值即可. 【详解】解：232ax by cx y +=⎧⎨-=-⎩①② 把11x y =⎧⎨=-⎩代入②得：c +3＝﹣2， 解得：c ＝﹣5，把11x y =⎧⎨=-⎩和23x y =⎧⎨=-⎩代入①得：2232a b a b -=⎧⎨-=⎩， 解得：42a b =⎧⎨=⎩， 所以a 2﹣b +c ＝42﹣2﹣5＝9.【点睛】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据方程解的概念将方程的解代入未抄错的方程中得出关于c 的方程和得出关于a 、b 的方程组是解此题的关键.26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，把一个点P 的横、纵坐标都乘以同一个实数a ，然后将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位(0,0)m n >>，得到点P '（1）若(2,1)P -，5a =，1m =，2n =，则点P '坐标是_____；（2）对正方形ABCD 及其内部的每个点进行上述操作，得到正方形A B C D ''''及其内部的点，其中点,A B 的对应点分别为,A B ''．求,,m n a ；（3）在（2）的条件下，己知正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F '与点F 重合，求点F 的坐标．【答案】（1）(11,3)-；（2）12a =，12m =，2n =；（3）()1,4 【解析】【分析】 （1）根据题意和平移的性质求点P '坐标；（2）由正方形的性质，结合题意列方程组求解；（3）设点F 的坐标为(,)x y ，根据平移规律列方程组求解．【详解】（1）∵(2,1)P -，5a =，1m =，2n =，∴(251,152)P '⨯+-⨯+∴(11,3)P '-故答案为：(11,3)-；（2）根据题意得：313202a m a m a n -+=-⎧⎪+=⎨⎪⋅+=⎩解得12122a m n ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩即12a =，12m =，2n =； （3）设点F 的坐标为(,)x y ，根据题意得1122122x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得14x y =⎧⎨=⎩ ∴F 的坐标为()1,4．【点睛】本题主要考察平移变换，关键是掌握坐标系中平移变换与横、纵坐标的变化规律．27．我国古代有这样一个数学问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？大意是：用绳测量井深，若将绳子折成三等分(如图1)，则一份绳长比并深多5尺；若将绳子折成四等分(如图2)，则一份绳长比井深多1尺，求绳长和井深各是多少尺．【答案】绳长是48尺，井深是11尺【解析】【分析】设绳长是x 尺，井深是y 尺，根据绳子折叠后的长度与井深可列写2个方程，然后解二元一次方程可得.【详解】解:设绳长是x 尺，井深是y 尺 依据题意，得5,314x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解这个方程组，得48,11.x y =⎧⎨=⎩苍:绳长是48尺，井深是11尺.【点睛】本题考查二元一次方程的运用，解题关键是将题干中的信息转化为等量关系式，然后列写等量方程.28．如图，在四边形ABCD 中，已知AB CD ∥，AD BC ∥，且AB BC ⊥．（1）填空：A ∠=_____，C ∠=______，D ∠=_______；（2）点E 为射线BC 上一任意一点，连接AE ，作DAE ∠的平分线AF ，交射线BC 于点F ，作AEC ∠的平分线EG ，交直线AD 于点G ，请探究射线AF 与EG 之间的位置关系，并加以证明；（3）连接AC ，若AC 恰好平分BAD ∠，则在（2）问的条件下，是否存在角度x ︒，使得当BAE x ∠=︒时，有GEF k DAF ∠=∠（其中k 为不超过10的正整数）？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）90︒；90︒；90︒（2）AF //EG ；证明见详解（3）存在；50x =︒、54x =︒或35711x ⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据垂直的定义、平行线的性质、四边形的内角和即可得解；（2）按照题目要求画出图形后，根据已知条件、角平分线的性质、平行线的性质和判定即可得到结论并证明；（3）结合图形根据平行线的性质、角平分线的性质、角的和差可列出360901x k ︒︒=︒-+，再由x 、k 的取值范围即可求得结论． 【详解】解：（1）∵AB BC ⊥∴90B ∠=︒∵//AB CD∴18090C B ∠=︒-∠=︒∵//AD BC∴18090D C ∠=︒-∠=︒∴36090A B C D ∠=︒-∠-∠-∠=︒；（2）按照题目要求作图：猜想：射线AF 与EG 的位置关系是：AF //EG 证明： ∵AF 平分DAE ∠，EG 平分BEA ∠ ∴12EAF DAE ∠=∠，12AEG BEA ∠=∠ ∵//DG BF∴DAE BEA ∠=∠∴EAF AEG ∠=∠∴AF //EG ；（3）在（2）问的条件下，连接AC ，如图：∵AF //EG ，//DG BF∴180AFB GEF ∠+∠=︒，DAF AFB ∠=∠∴180GEF DAF ∠+∠=︒∵GEF k DAF ∠=∠ ∴1801DAF EAF k ︒∠=∠=+ ∵BAE x ∠=︒ ∴1801809011x k k ︒︒︒++=︒++ ∴360901x k ︒︒=︒-+ ∵AC 恰好平分BAD ∠，由（1）可知90BAD ∠=︒ ∴1452BAC DAC BAD ∠=∠=∠=︒ ∵E 为射线BC 上一任意一点∴45BAE x ∠=︒>︒∵k 为不超过10的正整数∴当8k 时，50BAE x ∠=︒=︒；当9k =时，54BAE x ∠=︒=︒；当10k =时，35711BAE x ⎛⎫∠=︒=︒ ⎪⎝⎭∴存在角度x ︒，使得当BAE x ∠=︒时，有GEF k DAF ∠=∠（其中k 为不超过10的正整数）；50x =︒、54x =︒或35711x ⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了垂直的定义、平行线的判定和性质、四边形的内角和、角的和差、根据要求画图、代入消元法、根据参数的取值范围求角的度数等知识点，熟练掌握相关知识点世界解决问题的关键．29．为加强爱国主义教育，提高思想道德素质，某中学决定组织部分班级去山西国民师范旧址革命活动纪念馆开展红色旅游活动，在参加此次活动的师生中，若每位教师带17名学生，还剩12名学生没人带；若每位教师带18名学生，就有一位教师少带4名学生．现有甲、乙两种大客车，两种客车的载客量和租金如下表所示．（1）参加此次红色旅游活动的教师和学生各有多少人？（2）为了安全，每辆客车上要有2名教师．则怎样租车可以保证师生均有车坐，而且每辆车上都没有空座，也不超载，此时租车的费用为多少元？【答案】（1）教师有16位，学生有284名；（2）应租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，此时租车的费用为3000元【解析】【分析】（1）设教师有x 位，学生有y 名，根据题意列出方程组即可；（2）由（1）知每辆客车上要有2名教师需1628÷=辆车，设学校应租用甲种客车m 辆，乙种客车()8m -辆，根据学生和老师的总人数列出方程即可，再算出相应的费用．【详解】（1）设教师有x 位，学生有y 名，根据题意，得1712,18 4.x y x y =-⎧⎨=+⎩解，得16,284.x y =⎧⎨=⎩答：教师有16位，学生有284名．（2）1628÷=，需要租8辆车．设学校应租用甲种客车m 辆，乙种客车()8m -辆，根据题意，得()3042828416m m +-=+，解得3m =，85m -=，330054203000⨯+⨯=（元）．答：应租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，此时租车的费用为3000元．【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次方程的实际应用，正确寻找等量关系是解题关键．30．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？【答案】每枚黄金重1434两，每枚白银重1174两 【解析】【分析】设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意可得等量关系：①9枚黄金重量=11枚白银重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13，解方程即可．【详解】（1）设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意，得()()911,10813.x y x y x y =⎧⎨+-+=⎩解得143,4117.4x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩答：每枚黄金重1434两，每枚白银重1174两． 【点睛】 本题考查二元一次方程组实际应用，正确找出等量关系是解题关键．。
数学人教版七年级下册8.3 实际问题与二元一次方程组
⑷请你根据等量关系列出方程组．
回顾上题的解决过程，
你应该怎样合理设定未知数？
巩固练习
1．一批蔬菜要运往批发市场，菜农准备用汽车公 司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车 的记录如下表所示． 甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 总量（吨） 第一次 4 5 28.5 第二次 3 6 27 这批蔬菜需租用 5 辆甲种货车、 2 辆乙种货车刚好 一次运完．如果每吨付 20 元运费，问：菜农应付运费 多少元？
A 铁路 120 km 公路 10 km 长青化工厂 B 公路 20 km 铁路 110 km
⑴请找出问题中数量，未知量是什么？ ⑵问题中原料的数量与产品的数量相等吗？
探究3 如图，长青化工厂与 A，B 两地有公路、铁路相连．这家
工厂从 A 地购买一批每吨 1 000 元的原料运回工厂，制成每 吨 8 000 元的产品运到 B 地．公路运价为 1.5 元/(t· km)， 铁路运价为 1.2 元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费 15 000 元，铁路运费 97 200 元．这批产品的销售款比原料 费与运输费的和多多少元？
公路20 km B 铁路110 km
长青化工厂
探究3 如图，长青化工厂与 A，B 两地有公路、铁路相连．这家
工厂从 A 地购买一批每吨 1 000 元的原料运回工厂，制成每 吨 8 000 元的产品运到 B 地．公路运价为 1.5 元/(t· km)， 铁路运价为 1.2 元/(t·km)，且这两次运输共支出公路运费 15 000 元，铁路运费 97 200 元．这批产品的销售款比原料 费与运输费的和多多少元？
你认为列表法在分析数量
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铁路运费（元） 价值（元） 4.你能列出方程组吗？ 【多元互动，合作探究】 经过学生思考，讨论，互相补充，得出结论： 1.销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费 与产品数量和原料数量都有关．因此设产品重 x 吨，原料重 y 吨． 2.可列方程组为
环节四： 课堂展 四 展 示 （学生
作业设计：课本 108 页第 5 题、第 6 题.
板 书 设 计
教后反思：
————☆长安初中导学案☆————
长安初中 导学案
备课人：
课题 教 学 目标 重点 难点 教 法 设想 知识与技能 过程与方法
主讲人：
邓劲松 备课组长： 邓劲松 实际问题与二元一次方程组 3 用方程组解决实际问题.
课时安排： 1
教具准备
用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系. 培养学习数学的兴趣.
用列表的方式分析题目中的各个量的关系 借助列表分问题中所蕴含的数量关系。
1.5 20 x 10 y 15000 1.2 110 x 120 y 97200
【训练检测，目标探究】 某瓜果基地生产一种特色水果，若在市场上每吨利润为 1000 元；经粗加工 分 组 讨 后销售，每吨利润增为 4500 元；经精加工后销售，每吨利润可达 7500 元。一食 论展示、 品公司 购到这种水果 140 吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精 拓展延 加工 6 吨或者粗加工 16 吨，但两种加工方式不能同时进行．受季节等条件限制， 伸） 公司必须将这批水果全部销售或加工完毕，为此公司研制二种可行的方案： 方案一：将这批水果全部进行粗加工； 方案二：尽可能多对水果进行精加工，没来得及加工的水果在市场上销售； 方案三：将部分水果进行精加工，其余进行粗加工，并恰好 15 天完成． 你认为选择哪种方案获利最多？为什么？ （学生合作讨论完成） 【迁移应用，拓展探究】 1、在用一元一次方程组解决实际问题时，你会怎样设未知数，可借助哪些方 式辅助分析问题中的相等关系？ 2、小组讨论，试用框图概括“用一元一次方程组分析和解决实际问题”的基 本过程．
学习 （探 究、探 讨）
二 探
认真阅读问题，回答下列问题： 1.这个题目叙述了一件什么事？（充分利用示意图） 2.问题中哪些是已知量，哪些是未知量？如何设未知数？ 3.如何确定题中数量关系？ 列表分析 产品 x 吨 公路运费（元） 原料 y 吨 合计
————☆长安初中导学案☆————
环节三： 师生课 三 评 堂评价 （点评、 互评）
引导法 练习法 学法 设想 自学法 练习法
导 学 流 程 教 学 流 程 （内容梗概） 师生互动（问题设计，情境创设） 师生活动 个性设计 和评价
一 学
【导课】 最近几年，全国各地普遍出现了夏季用电紧张的局面，为疏导电价矛盾，促 进居民节约用电、合理用电，各地出台了峰谷电价试点方案． 环节一： 电力行业中峰谷的含义是用山峰和山谷来形象地比喻用电负荷特性的变化幅 学 生 自 度一般白天的用电比较集中、用电功率比较大，而夜里人们休息时用电比较小， 主 学 习 所以通常白天的用电称为是高峰用电，即 8:00～22:00，深夜的用电是低谷用电即 （自学、 22:00～次日 8:00.若某地的高峰电价为每千瓦时 0.56 元； 低谷电价为每千瓦时 0.28 互学） 元．八月份小彬家的总用电量为 125 千瓦时，总电费为 49 元，你知道他家高峰用 电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗？ （让学生独立思考，解决该问题。通过该题，可培养学生的读题能力和收集 信息能力． ） 【阅读质疑，自主探究】 （出示例题）如图，长青化工厂与 A，B 两地有公路、铁路相连．这家工厂 从 A 地购买一批每吨 1 000 元的原料运回工厂，制成每吨 8 000 元的产品运到 B 环节二： 地．公路运价为 1. 5 元（吨·千米） ，铁路运价为 1.2 元（吨·千米） ，这两次运 自 主 合 输共支出公路运费 15000 元，铁路运费 97200 元．这批产品的销售款比原料费与 作 探 究 运输费的和多多少元？