人教A版高中数学必修四课件：第三章 3.1.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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高中数学人教版A版必修4《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》优质PPT课件
明目标、知重点
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
(3)sin
1π2－
3cos
π 12.
解
方法一
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2sin
π 6sin
1π2－cos
π 6cos
π 12
＝－2cosπ6＋1π2＝－2cos π4＝－ 2.
方法二
原式＝212sin
1π2－
3 2 cos
π 12
＝2cos
π 3sin
3.函数f(x)＝sin x－ 3cos x(x∈R)的值域是 [－2,2] .
解析
∵f(x)＝212sin
x－
3 2 cos
x＝2sinx－π3.
∴f(x)∈[－2,2].
明目标、知重点
1234
4.已知锐角
α、β
满足
sin
α
＝2
5 5
，cos
β＝
1100，则
α＋β
＝
.
解析 ∵α，β 为锐角，sin α＝255，cos β＝ 1100，
1π2－sin
π 3cos
π 12
＝2sin1π2－π3＝－2sin
π4＝－
2.
明目标、知重点
例 2 已知 α∈0，π2，β∈－π2，0，且 cos(α－β)＝35，sin β＝
－102，求 α 的值. 解 ∵α∈0，π2，β∈－π2，0，∴α－β∈(0，π). ∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45. ∵β∈－π2，0，sin β＝－102，∴cos β＝7102.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知 sin α＝35，cos β＝－153，α 为第二象限角，β
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件(人教A必修4)
[研一题]
[例 2] β 4 α 12 β α 已知 sin(α－ )＝ ，cos( －β)＝－ ，且 α－ 和 －β 分 2 5 2 13 2 2
α＋β 别为第二、第三象限角，求 tan 的值． 2 β 3 [自主解答] 由题意，得 cos(α－ )＝－ ， 2 5
α 5 sin( －β)＝－ ， 2 13 β 4 α 5 ∴tan(α－ )＝－ ，tan( －β)＝ ， 2 3 2 12
1 已知 sin αcos β＝ ，求 t＝cos αsin β 的取值范围． 4 [巧思] 因为 sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)，sin αcos β ＋cos αsin β＝sin(α＋β)，所以可利用三角函数的有界性确定 t 的取值范围．
[妙解] 由于 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β 1 ＝ ＋t 4 1 sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝ －t 4 又 sin(α＋β)∈[－1,1]，sin(α－β)∈[－1,1]， 1 －1≤4＋t≤1， 故有 －1≤1－t≤1， 4 即t 3 3 解得－ ≤t≤ . 4 4
2
4 32 1 1－ ＝ . 7 7
11 又∵cos(α＋β)＝－ ，α、β 均为锐角， 14
∴sin(α＋β)＝
5 3 1－cos2α＋β＝ ， 14
∴sin β＝sin(α＋β－α) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α 5 3 1 11 4 3 3 ＝ × －(－ )× ＝ . 14 7 14 7 2
S(α－β)
α，β∈R α，β∈R
αsin β sin αcos β－cos αsin β
sin(α－β)＝
2018-2019学年高中数学(人教A版+必修4)课件：3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1
π 0, 2
)
1 D.10
α+sin α)=2 5 + 5 = 10.
1 4
3
7
答案B
1
2
3
4
5
2cos10°-sin20° 4.求值: = sin70°
.
解析原式= =
2cos10°-sin20° 2cos(30°-20°)-sin20° = cos20° cos20° 3cos20°+sin20°-sin20° = 3. cos20°
3 α= ,α 5
4 是第二象限角;cos β= ,β 是第四象限 5
1 3 α= ,cos(α+β)=- ,α,β 2 5
均为锐角,求 cos β 的值.
分析对于(1),可根据同角的三角函数关系式求出cos α,sin β的值, 然后利用两角差的余弦公式展开后代入即得;对于(2)可考虑将β表 示为(α+β)-α,然后展开,再结合同角的关系公式进行求解.
解析(1)cos 15°=cos(45°-30°) =cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°= =cos 60°= .
答案(1) 4
6+ 2
=
(2)cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=cos(75°-15°)
1 2
1
6+ 2 . 4
(2)2
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打 “×”. (1)对于任意角α,β,都有cos(α-β)=cos α-cos β. ( ) (2)对于任意角α,β,都有cos(α-β)≠cos α-cos β. ( ) (3)存在角α,β,使得cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β.( ) (4)当α,β为锐角时,必有cos(α-β)>cos αcos β. ( ) 答案(1)× (2)× (3) (4)
高中数学必修四人教A版 课件《3-1两角和与差的正弦、余弦和正切公式-3》
π
π
2tan
= 2tan 6 = 2 × =
sin
2π 2π cos 5 5 π 2sin 5
1
π
1
3 3
=
3 6
.
sin
=
= .
-11-
探究一
探究二
探究三
思维辨析
-12-
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练1 求下列各式的值:
(1)cos4 -sin4 ;
8 8
π
π
(2)
tan75 °
1-ta n 2 75° π 7
π π 2 4 cos cos π cos π 7 7 7 7 π 8sin 7 4π 7
4sin π cos π cos
2 7 π 8sin 7
=
2sin π cos π 8sin
π 7
4 7
4 7
sin π 8sin
π 7
8 7
=
-sin 8sin
π 7 π 7
=- .
8
-14-
1
探究一
探究二
-9-
探究一
探究二
探究三
思维辨析
探究一给角求值 【例1】 求下列各式的值:
(1)sin cos ;
8 8
π
π
(2)1-2sin2 ;
12
5π
(3)
π 12 π 1-ta n 2 12
tan
;
2π 5
(4)cos cos .
5
π
Байду номын сангаас-10-
探究一
探究二
探究三
思维辨析
分析:(1)(2)(3)直接利用公式或逆用公式求值.(4)由 倍角关系,从而可构造用二倍角的正弦公式求解.
人教A版高中数学必修4课件 第三章 两角和与差的余弦、正弦、正切
6.在ABC中满足 taA n taB n 1，证明 ABC
是钝角三角形；
tanA tanB1 tanA tanB 10 sinAsinB cosAcosB0 cosAcosB
cosC 0 总 有 一 个 角 的 余 弦 值 为 负 。
cosAcosB
12
3金.太函阳数教育变网换
2
22
2
22
( ) ( ) ( ) ， ( ) ( ) ( )
4 42
4 42
10
2.式变换 金太阳教育网
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1.求证
sin s i(2n )cso i2n s ()1tta a2 2n n
2.若 si2 n () 2 sin 0 且 k
tan(） 1tatna nttaann11 3 1 (22)1
3
且∵0<<90, 90<<180
∴90<+<270 ∴+=135
6
三.公式的基本应用 金太阳教育网
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例3. 求下列各式的值：
1
1 tan 75
1 tan 75
2tan17+tan28+tan17tan28
∵cos (+)0 当coscos0
时分子分母同时除以coscos得：
ta n ()1tatn a nttaan n
4
2.t金a太n阳(教育网)公 www式 .jtyjy的 .com 推导
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T+ 中以代得
ta n ()1tatn a nttaan n
注意：1必须在定义域范围内使用上述公式。即： tan，tan，tan(±)要有一个不存在就不能 使用这个公式，只能也只需）用诱导公式来解。 2 tan.tan= ±1时需要讨论； 3注意公式的结构，尤其是符号。
人教A版高中数学必修四课件：第三章 3.1.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (共43张PPT)
你想过普通的生活，就会遇到普通的挫折。你想过最好的生活，就一定会遇上最强的伤害。这个世界很公平，想要最好，就一定会给你最痛 。 人若有志，万事可为。 每个人身上都有惰性和消极情绪，成功的人都是懂得管理自己的情绪和克服自己的惰性，并像太阳一样照亮身边的人，激励身边的人。
成功是一种观念，成功是一种思想，成功是一种习惯，成功是一种心态。 为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人，把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人，要看长远，所谓路 遥知马力，日久见人心！ 最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。——罗曼·罗兰 要铭记在心：每天都是一年中最美好的日子。 只要我还有梦，就会看到彩虹! 读书给人以快、给人以光彩、给人以才干。 理想的路总是为有信心的人预备着。 不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。 再好的种子，不播种下去，也结不出丰硕的果实。 人，最大的敌人是自己。 没有爱不会死，不过有了爱会活过来。 明天的希望会让我们忘了今天的痛苦。 不是某人使你烦恼，而是你拿某人的言行来烦恼自己。 在茫茫沙漠，唯有前时进的脚步才是希望的象征。 眼要看远，脚要近迈。 战士的意志要象礁石一样坚定，战士的性格要象和风一样温柔。
成功是一种观念，成功是一种思想，成功是一种习惯，成功是一种心态。 为你制造一些困难和障碍的人未必是你的敌人，把你从困境里拉出来的人未必是你的朋友。不要用眼前的利益得失看人，要看长远，所谓路 遥知马力，日久见人心！ 最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。——罗曼·罗兰 要铭记在心：每天都是一年中最美好的日子。 只要我还有梦，就会看到彩虹! 读书给人以快、给人以光彩、给人以才干。 理想的路总是为有信心的人预备着。 不管做什么都不要急于回报，因为播种和收获不在同一个季节，中间隔着的一段时间，我们叫它为坚持。 再好的种子，不播种下去，也结不出丰硕的果实。 人，最大的敌人是自己。 没有爱不会死，不过有了爱会活过来。 明天的希望会让我们忘了今天的痛苦。 不是某人使你烦恼，而是你拿某人的言行来烦恼自己。 在茫茫沙漠，唯有前时进的脚步才是希望的象征。 眼要看远，脚要近迈。 战士的意志要象礁石一样坚定，战士的性格要象和风一样温柔。
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A必修4 (1)
解析答案
类型二 逆用公式化简与求值
2 例2 (1)sin(70°－x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(155°＋x)＝ 2 .
解析 ∵(20°＋x)＋(70°－x)＝90°， (25°－x)＋(155°＋x)＝180°， ∴原式＝cos(20°＋x)cos(25°－x)－cos[90°－(20°＋x)]·sin[180°
∴T＝2ωπ＝2π，值域[－2,2].
由－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ 得，递增区间[－π3＋2kπ，23π＋2kπ]，k∈Z.
解析答案
类型三 公式的变形应用 例 3 已知 sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求ttaann αβ的值.
解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.
＝
cos 20°
＝cosc2o0s°s2i0n°30°＝sin 30°＝12.
重点难点 个个击破
解析答案
(2)若 sin34π＋α＝153，cosπ4－β＝35，且 0＜α＜π4＜β＜34π，求 cos(α＋β)的值. 解 ∵0<α<π4<β<34π， ∴34π<34π＋α<π，－π2<π4－β<0.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 两角和的余弦公式
思考 如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？
答 用－β代换cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β便可得到.
公式 简记符号
cos(α＋β)＝
cos αcos β－sin αsin β Cα＋β
使用条件
方法一
原式＝2cosπ3sin
类型二 逆用公式化简与求值
2 例2 (1)sin(70°－x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(155°＋x)＝ 2 .
解析 ∵(20°＋x)＋(70°－x)＝90°， (25°－x)＋(155°＋x)＝180°， ∴原式＝cos(20°＋x)cos(25°－x)－cos[90°－(20°＋x)]·sin[180°
∴T＝2ωπ＝2π，值域[－2,2].
由－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ 得，递增区间[－π3＋2kπ，23π＋2kπ]，k∈Z.
解析答案
类型三 公式的变形应用 例 3 已知 sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求ttaann αβ的值.
解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.
＝
cos 20°
＝cosc2o0s°s2i0n°30°＝sin 30°＝12.
重点难点 个个击破
解析答案
(2)若 sin34π＋α＝153，cosπ4－β＝35，且 0＜α＜π4＜β＜34π，求 cos(α＋β)的值. 解 ∵0<α<π4<β<34π， ∴34π<34π＋α<π，－π2<π4－β<0.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 两角和的余弦公式
思考 如何由两角差的余弦公式得到两角和的余弦公式？
答 用－β代换cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β便可得到.
公式 简记符号
cos(α＋β)＝
cos αcos β－sin αsin β Cα＋β
使用条件
方法一
原式＝2cosπ3sin
数学：3.1.2《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》课件(新人教A版必修4)
两角和与差的正弦、 3.1.2 两角和与差的正弦、 余弦、正切公式 余弦、
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问题提出
cos(α − β ) = cosαcosβ + sinαsinβ
1.两角差的余弦公式是什么？ 1.两角差的余弦公式是什么？它有哪些 两角差的余弦公式是什么 基本变式？ 基本变式？
cosα = cos[(α + β ) − β ] = cos(α + β )cosβ + sin( α + β )sinβ
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思考5 正切函数与正弦、 思考5：正切函数与正弦、余弦函数之间 C 存在商数关系， 出发， 存在商数关系，从 S(a ± b ) 、 (a ± b ) 出发， tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tanα、 分别与tanα tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tanα、 tanβ有什么关系 tanβ有什么关系
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理论迁移
3 是第四象限角， 例1 已知 sinα = − ，α是第四象限角， 5 π p π 的值. 求 cos( +α) ， sin( −α) ， tan(a - ) 的值.
4
4
4
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求下列各式的值： 例2 求下列各式的值： cos75° （1）cos75°； )sin20°cos50° sin70°cos40° （2 )sin20°cos50°-sin70°cos40°；
1.两角差的余弦公式 1.两角差的余弦公式 Cα −β 是两角和与 差的三角系列公式的基础， 在联系，就自然掌握了公式的形 成过程. 成过程.
C 2.公式 S(a + b ) 与 S(a- b ) ， (a + b ) Cα −β 2.公式 与 T(a + b ) 与 T(a - b )的结构相同，但运算 的结构相同， 符号不同，必须准确记忆，防止混淆. 符号不同，必须准确记忆，防止混淆.
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问题提出
cos(α − β ) = cosαcosβ + sinαsinβ
1.两角差的余弦公式是什么？ 1.两角差的余弦公式是什么？它有哪些 两角差的余弦公式是什么 基本变式？ 基本变式？
cosα = cos[(α + β ) − β ] = cos(α + β )cosβ + sin( α + β )sinβ
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思考5 正切函数与正弦、 思考5：正切函数与正弦、余弦函数之间 C 存在商数关系， 出发， 存在商数关系，从 S(a ± b ) 、 (a ± b ) 出发， tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tanα、 分别与tanα tan(α＋β)、tan(α－β)分别与tanα、 tanβ有什么关系 tanβ有什么关系
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理论迁移
3 是第四象限角， 例1 已知 sinα = − ，α是第四象限角， 5 π p π 的值. 求 cos( +α) ， sin( −α) ， tan(a - ) 的值.
4
4
4
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求下列各式的值： 例2 求下列各式的值： cos75° （1）cos75°； )sin20°cos50° sin70°cos40° （2 )sin20°cos50°-sin70°cos40°；
1.两角差的余弦公式 1.两角差的余弦公式 Cα −β 是两角和与 差的三角系列公式的基础， 在联系，就自然掌握了公式的形 成过程. 成过程.
C 2.公式 S(a + b ) 与 S(a- b ) ， (a + b ) Cα −β 2.公式 与 T(a + b ) 与 T(a - b )的结构相同，但运算 的结构相同， 符号不同，必须准确记忆，防止混淆. 符号不同，必须准确记忆，防止混淆.