D6_5 广义积分
6.5广义积分 《高等数学》(经管类专业适用)课件
【小结】
本节讨论了无限区间上的广义积分及计算方法，是 利用极限的思想，把无限区间上的广义积分转化为 有限区间上的定积分，再转化到无限的过程，即从 无限—有限—无限的过程.
第六章 定积分
综 上 所 述 ： 计 算 积 分 1d x 的 方 法 ： 1 x2
第一步计算定积分
b1 1 x2
dx，
第二步1设函数f (x)在无限区间[a, )连续，
则称 f (x)dx为函数f (x)在无限区间[a, )上的广义积分. a
b 0
)
lim(1eb) b
1
例2 计算0 sinxdx
解：由定义6.5.2得：
0
0
sinxdx lim sinxdx
a a
lim(cosx a
0a)
lim(1cosa) a
极 限 lim ( 1 c o s a ) 不 存 在 ， 所 以 0s in x d x 发 散
a
取b a，若极限 lim b f (x)dx存在，则称广义积分收敛， b a
并称这个极限值为广义积分的值，即
b
f (x)dx lim f (x)dx
a
b a
若极限 lim b f (x)dx不存在，则称广义积分发散. b a
定义6.5.2设函数f (x)在无限区间( ,b]连续，
则称 b f (x)dx为函数f (x)在无限区间( ,b]上的广义积分.
取a b，若极限 lim b f (x)dx存在，则称广义积分收敛， a a
并称这个极限值为广义积分的值，即
b
b
f (x)dx lim f (x)dx
a a
若极限 lim b f (x)dx不存在，则称广义积分发散. a a
《广义积分的性质》课件
应用：区间可加性在解决实际问题中具有广泛的 应用，例如在计算定积分、广义积分等问题时， 都可以利用区间可加性进行简化计算。
添加标题
性质：区间可加性是广义积分的一个重要性质，它 使得我们可以将复杂的积分问题分解为简单的积分 问题，从而简化计算。
添加标题
注意事项：在使用区间可加性时，需要注意函数的 连续性和可积性，以确保计算结果的正确性。
• 幂级数法：一种求解积分的方法，通过将积分转化为幂级数形式求解 • 典型例题：求解∫(x^2+1)^(-1/2)dx • 解题步骤： a. 将积分转化为幂级数形式：(x^2+1)^(-1/2)=∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n b. 求解幂级数：
∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n=x^2-3x^4+5x^6-7x^8+... c. 积分结果：∫(x^2+1)^(-1/2)dx=x^3-3x^5+5x^77x^9+... • a. 将积分转化为幂级数形式：(x^2+1)^(-1/2)=∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n • b. 求解幂级数：∑(n=0,∞)(-1)^n(2n+1)x^2n=x^2-3x^4+5x^6-7x^8+... • c. 积分结果：∫(x^2+1)^(-1/2)dx=x^3-3x^5+5x^7-7x^9+... • 结论：幂级数法是一种有效的求解积分的方法，适用于求解某些特定类型的积分问题。
下节课预告
下节课我们将继续学习广义积分 的性质
学习目标：掌握广义积分的基本 概念和计算方法
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广义积分初步
证明与应用
证明方法
通过定义和性质证明定理，例如通过极 限和分割区间的方法证明区间可加性。
VS
应用实例
在物理、工程和经济等领域中，广义积分 都有广泛的应用。例如，在物理学中，广 义积分可以用来计算变力沿直线或曲线做 功的问题；在经济学中，广义积分可以用 来计算期望和方差等统计量。
06
CATALOGUE
02
无界区间上的瑕积分可以通过 将被积函数在瑕点附近进行幂 次变换，将积分转化为有界区 间上的瑕积分来计算。
03
无穷区间上的积分可以通过将 积分区间分为有限个小区间， 并取极限来计算。
03
CATALOGUE
广义积分的几何意义与物理应用
几何意义
01 02 03
面积与体积
广义积分可以用来计算曲线下方的面积和体积，这在数学 和物理中都有广泛的应用。例如，计算曲线下的面积可以 帮助我们理解物体的运动轨迹，而计算体积则可以帮助我 们理解物体的质量分布。
广义积分初步
contents
目录
• 广义积分的定义与性质 • 广义积分的计算方法 • 广义积分的几何意义与物理应用 • 广义积分的收敛性判断 • 广义积分的性质与定理 • 广义积分的应用举例
01
CATALOGUE
广义积分的定义与性质
定义
积分区间
广义积分可以定义在有限区间、无限区间或无穷区间 上。
02
CATALOGUE
广义积分的计算方法
区间上的广义积分
区间上的广义积分是定积分的 扩展，包括无穷区间上的积分
和瑕积分。
无穷区间上的积分可以通过 将积分区间分为有限个小区
间，并取极限来计算。
瑕积分可以通过补充定义被积 函数在瑕点处的值，将积分区 间分为有限个小区间，并取极
广义积分的计算方法
广义积分的计算方法广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在某一区间上的积分进行推广，可以用来求解曲线下面的面积、求解物体的质量、求解电荷的总量等问题。
在实际问题中，广义积分的计算方法非常重要，下面我们将介绍一些常见的广义积分的计算方法。
首先，我们来看一下对于无界函数的广义积分。
对于函数f(x)在区间[a, +∞)上的广义积分，可以通过极限的方法来进行计算。
具体来说，如果极限lim┬(t→+∞)∫(a)^t f(x)dx存在且有限，则称广义积分∫(a)^+∞ f(x)dx收敛，记为∫(a)^+∞f(x)dx=lim┬(t→+∞)∫(a)^t f(x)dx。
否则，称广义积分∫(a)^+∞ f(x)dx发散。
在计算无界函数的广义积分时，我们需要先对函数进行适当的变形，使得积分变为有限的形式，然后再进行极限的计算。
其次，对于在有限区间上发散的函数，我们可以通过分段积分的方法来进行计算。
具体来说，如果函数f(x)在区间[a, b]上有一个或多个无界点，那么我们可以将积分区间分成若干个有界区间，然后分别计算每个有界区间上的广义积分，最后将这些广义积分的极限相加得到原广义积分的值。
另外，对于奇异点的处理也是广义积分计算中需要注意的问题。
在计算广义积分时，如果积分区间上存在奇异点，我们需要先对奇异点进行适当的处理，例如使用柯西主值等方法，然后再进行积分的计算。
最后，需要注意的是，在计算广义积分时，我们还需要考虑函数的性质、积分区间的选择等因素。
有时候，我们需要对函数进行分解、变形，以便于进行积分的计算。
同时，选择合适的积分区间也是非常重要的，可以通过变量替换、对称性等方法来简化积分的计算。
总之，广义积分的计算方法涉及到许多微积分的知识和技巧，需要我们对函数的性质有深入的理解，熟练掌握各种积分计算方法。
通过不断的练习和实践，我们可以更加熟练地运用广义积分的计算方法，解决实际问题，提高数学建模和问题求解的能力。
广义积分的几个计算公式
广义积分的几个计算公式广义积分是指将拓展由单变量积分发展而来并用于多变量积分和有限元积分的变体，以帮助解决由分段函数和更宽泛形式的函数定义的积分问题。
其计算的公式如下：1.单变量积分：对于一元函数f（x），它的定积分为∫f (x) dx, 其结果为[ F(x ) + C], 其中C为常数，F(x)为原函数f (x )的积分函数。
2.多变量积分：对于二元函数f (x, y)，根据变量分别求积分，即∫f (x, y)d x∫f (x, y)d y, 其结果为[ F(x , y） + C], 其中C为常数，F(x , y)为原函数f (x , y )的积分函数。
3.向量积分：对于M元函数f（x1，x2，…，xM），将它视为一个向量，其积分可求为∫ ∫…∫f (x1，x2，…，xM) dx1dx2…dxM , 其结果为[ F(x1，x2，…，xM ) + C]，其中C为常数，F(x1，x2，…，xM )为原函数f (x1，x2，…，xM )的积分函数。
4.曲面积分：对于曲面f (x, y, z)，其积分可求为∫∫f (x，y，z) da, 其结果为[F (x，y，z) + C]，其中C为常数，F (x，y，z)为原函数f (x，y，z)的积分函数。
5.对象积分：用于计算实体表面和体积之间关系的积分，是为求解几何学问题而出现的，其积分形式为∫∫∫f (x，y，z) d v, 其结果为[F (x，y，z) + C]，其中C为常数，F (x，y，z)为原函数f (x，y，z)的积分函数。
综上所述，广义积分分为单变量积分、多变量积分、向量积分、曲面积分和对象积分等模式，它的计算公式均为[F ( x , y, ... , z )+C]，其中C为常数、[F ( x , y, ... , z )]为原函数f ( x , y, ... , z )的积分函数。
它可用于计算傅立叶级数和拉普拉斯积分等积分问题。
综上所述，可以看出，广义积分具有很好的应用价值，可以帮助解决很多积分问题。
广义积分学习指导
广义积分学习指导一、内容提要1、广义积分的概念. ⑴ 无穷区间上的广义积分设)(x f 在),[+∞a 上有定义, a A >∀ R x f ∈)( (],[A a )，记∫∫+∞→+∞=AaA adx x f dx x f )(lim)(称其为)(x f 在),[+∞a 上的无穷积分.若⑴中的极限存在,则称该无穷积分收敛，且其极限值为该无穷积分的值；否则称该无穷积分发散. 类似地可定义： 1）)()(lim)(b B dx x f dx x f bBB b<=∫∫−∞→∞−2）∫∫∫+∞∞−+∞∞−+=ccdx x f dx x f dx x f )()()(∫∫+∞→−∞→+=AcA cBB dx x f dx x f )(lim)(lim)(+∞<<−∞c对积分∫+∞∞−dx x f )(，其收敛的充要条件是∫∞−cdx x f )(及∫+∞cdx x f )(同时收敛.⑵ 无界函数的广义积分(瑕积分)若0>∀δ，函数)(x f 在),(ˆ0δx U 内无界,则称点0x 为)(x f 的一个瑕点（或奇点）.设)(x f 在],(b a 上有定义，a 为其瑕点，且0>∀ε，]),[()(b a R x f ε+∈. 记∫∫+→+=ba badx x f dx x f εε)(lim )(0,称其为)(x f 在],[b a 上的瑕积分. 若上式中的极限存在，则称此瑕积分收敛，其极限值即为瑕积分值；否则，称此瑕积分发散. 设b 为)(x f 在],[b a 上的唯一瑕点，类似地可定义：∫∫−→+=εεb abadx x f dx x f )(lim )(0设c 为)(x f 在],[b a 内的唯一瑕点（b c a <<）,我们定义∫∫∫+=bccabadx x f dx x f dx x f )()()(∫∫+→−→+++=bc c adx x f dx x f 2211)(lim )(lim 0εεεε此时∫b adx x f )(收敛的充要条件是∫c adx x f )(及∫bcdx x f )(同时收敛.2、Γ 函数的定义及性质Γ 函数： )0()(01>=Γ∫+∞−−s dx e x s x sΓ 函数的几个性质：i. 递推公式：)0)(()1(>Γ=+Γs s s s , !)1(n n =+Γ(n 为正整数, 1)1(=Γ)ii. )10(sin )1()(<<=−ΓΓs ss s ππ这个公式称为余元公式，特别地，当21=s 时，π=Γ)21(iii. ∫+∞−−=Γ01222)(du ues s u ，令21=s 得∫∞+−=022πdu e u3、广义积分的柯西主值按广义积分的定义，无穷积分∫∫+∞→∞+∞−=AcA dx x f dx x f )(lim)(∫−∞→+cBB dx x f )(lim右端极限过程中的B A ,是独立变化的.若考虑B A ,的变化过程要求一致,即定义A B =,则相应的无穷积分∫+∞∞−dx x f )(称为)(x f 在),(+∞−∞上的无穷积分的柯西主值,记为P ．Ｖ．∫+∞∞−dx x f )(. 即P．Ｖ．∫∫−+∞→+∞∞−=AAA dx x f dx x f )(lim)(，若此极限值存在，则称广义积分∫+∞∞−dx x f )(在柯西主值意义下收敛，否则称为发散．类似地可定义与瑕积分相应的柯西主值为 P．Ｖ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∫∫∫+−→+b c c a badx x f dx x f dx x f εεε)()(lim )(0其中c 为)(x f 在),(b a 内的唯一瑕点. 二、重点、难点1、本节的难点是无界函数的广义积分,因为这一类广义积分容易被当成常义积分来计算而导致错误.2、广义积分收敛时，具有常义积分的那些性质与积分方法，如换元积分法，分部积分法，以及广义的牛顿－莱布尼兹公式. 三、答疑解惑问题 下列积分是否正确?为什么?⑴ 0ln 21)(ln ln 1ln 111313=−==∫∫εεεεεεx x d x dx xx⑵ 奇函数积分012=+∫+∞∞−dx x x答 都不正确. ⑴错误的原因是将广义积分当作常义积分去计算. 1=x 是被积函数的无穷间断点,本例的积分是无界函数的广义积分. 正确的解法是∫∫∫+=εεεε1311313ln 1ln 1ln 1dx x x dx x x dx xx 由于 ∫∫−−→→⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==++εεεεεεε11112030113ln 21lim ln 1lim ln 1x dx x x dx x x−∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−=+→21)1(ln 21lim 20εε 故 ∫εε13ln 1dx xx 发散. ⑵ 错误的原因是)1ln(211202t dx x x t+=+∫当+∞→t 时是发散的,由广义积分∫+∞∞−dx x f )(的收敛定义,广义积分∫+∞∞−+dx x x21是发散的.一般地可以证明：当∫+∞∞−dx x f )(收敛时, 0)(=∫+∞∞−dx x f ()(x f 为奇函数).∫∫+∞+∞∞−=0)(2)(dx x f dx x f ()(x f 为偶函数). 证明从略.。
§1广义积分的概念与计算
§1广义积分的概念与计算广义积分是微积分中的一个重要概念，它是对一些函数在一个区间上的积分的推广。
在数学中，广义积分是利用极限的概念来计算一些函数在无界区间上的积分。
广义积分的计算方法有多种，下面将详细介绍广义积分的概念以及常用的计算方法。
1.广义积分的定义广义积分的定义是通过极限来定义的。
设函数f(x)在区间[a, +∞)上有界，则称函数f(x)在区间[a, +∞)上的广义积分为广义积分，记作∫(a, +∞) f(x)dx，定义如下：∫(a, +∞) f(x)dx = lim R->+∞ ∫(a, R) f(x)dx其中，R是一个无穷大的数。
广义积分存在的条件是收敛，即极限存在时，广义积分收敛，否则称为发散。
2.广义积分的计算方法计算广义积分的方法有多种，下面将介绍几种常用的方法。
2.1.利用分部积分法分部积分法是一种常用的求解广义积分的方法，它是通过对被积函数进行适当的分解和对积分符号的操作来求解广义积分。
基本的分部积分公式为：∫ u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫ v(x)u'(x)dx利用分部积分法，可以将复杂的广义积分转化为简单的广义积分，从而便于求解。
2.2.利用换元法换元法是另一种常用的求解广义积分的方法，它是通过引入一个新的变量并进行适当的代换，将原广义积分转化为一个简单的形式。
换元法的基本思想是利用变量代换来改变被积函数的形式，从而使得积分变得容易求解。
2.3.利用级数展开法级数展开法是一种将被积函数展开成无穷级数的方法，然后分别求解每一项级数的广义积分，最后将所有项的广义积分进行求和得到原广义积分的值。
级数展开法主要适用于一些特殊函数的广义积分求解。
2.4.利用对称性有些函数具有对称性，可以利用对称性来简化广义积分的计算。
例如，假设函数f(x)在区间[-∞, +∞]上是奇函数，则有∫(-∞, +∞) f(x)dx = 0。
利用对称性可以将广义积分化简为求解一个有界区间上的广义积分。
广义积分
§2.4 广义积分一、主要知识点和方法1、基本概念和性质设()f x 在[,)a +∞上有定义，且b a ∀>，()f x 在[,]a b 上可积，定义()d l i m ()d baab f x x f x x +∞→+∞=⎰⎰ ，称为无穷（广义）积分。
类似有()d lim ()d bbaa f x x f x x -∞→-∞=⎰⎰，()d ()d ()d ccf x x f x x f x x+∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰且与c 无关。
这些积分统称为无穷积分。
当上述定义中右端的极限存在时，称无穷积分收敛，否则称无穷积分发散。
对于()d ()d ()d c cf x x f x x f x x +∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰，当且仅当右端两个无穷积分都收敛时，称()f x dx +∞-∞⎰收敛，否则称为发散。
()f x 在[,)a b 上有定义，在点b 的任何邻域内无界（称b 为瑕点），若对任何a c b <<，()f x 在[,]a c 上可积，定义()d lim ()d bcaac bf x x f x x -→=⎰⎰，称为无界函数广义积分，也称以b 为瑕点的瑕积分。
类似地也有以区间左端点为瑕点的瑕积分。
又当c 是()f x 在[,]a b 内的唯一瑕点时，定义()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰。
当定义中右端的极限存在时，称瑕积分收敛。
对于瑕积分()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰，当且仅当右端两个瑕积分都收敛时，称()d baf x x ⎰收敛。
无穷积分和瑕积分统称为广义（反常）积分。
由此可见，广义积分的敛散性就是变动限积分的极限存在性，从而可归结为函数极限来讨论。
设0a >，由定义立即得到：1d p ax x+∞⎰当1p >时收敛，当1p ≤时发散；1d apx x ⎰当1p <时收敛，当1p ≥时发散。
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a
f ( x) dx F (x)
F () F (a) F (b) F () F () F ()
f ( x) dx F (x) f ( x) dx F (x)
b
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例1. 计算无穷积分
解:
[ arctan x ]
a a
b
f ( x) dx F (b ) F (a) f ( x) dx F (b) F (a )
b
若 a , b 都为瑕点, 则
a a
b
b
f ( x) dx F (b ) F (a )
注意: 若瑕点 c (a , b) , 则
f ( x) dx F (b) F (c ) F (c ) F (a)
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例6. 证明广义积分 时发散 .
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
证: 当 q = 1 时,
当 q≠1 时
ln x a
1 q
a
b
q 1 q 1
( x a) 1 q
(b a)1q b 1 q , a ,
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1 2
1 1 x 2 1 x2 0 x2
dx
1 1 1 d (x ) 2 2 0 (x 1) 2 x
x
1 2 2
arctan
x1 x 2
0
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( s 1) ( s ) , (1) 1 s 且可证明( s) 在 s 0 连续,
s 0 时 , ( s)
(3) 余元公式:
( s )(1 s ) sin( s ) 当 s 1 时, 有 2
(0 s 1)
(证明略)
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s (s)
n N , 有 (n 1) n (n) n (n 1) (n 1)
注意到: (1)
x e 0
d x 1
n!(1)
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(2) 当s 0 时 , ( s ) . 证:
1 2
c
b
f ( x ) dx
2
瑕积分中的无界点被称为为瑕点(奇点) . 说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 间断点, 则本质上是常义积分, 而不是广义积分. 例如,
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则也有类似牛 – 莱公式的
的计算表达式 :
若 b 为瑕点, 则
若 a 为瑕点, 则
ln x
当 p ≠ 1 时有
a
x 1 p a
1 p
,
a 1 p , p 1
p 1 p 1
a 1 p ; 因此, 当 p >1 时, 无穷积分收敛 , 其值为 p 1 当 p ≤ 1 时, 无穷积分发散 .
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(b a)1q ; 所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 1 q 当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .
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三、 函数
1. 定义
( s )
可以证明:
s 1 x x e 0
d x ( s 0)
函数在 s 0 内收敛 .
解:
0
dx x d x , 并求其值 . 4 4 0 1 x 1 x
令t1 x
2
1 1 1 14 t 2 d t
0 t
t2 dt 4 0 1 t 2 d x x 1 d x d x 4 4 0 4 0 1 x 2 0 1 x 1 x 1 1 x 2 dx 2 0 1 x4
y
y
( ) 2 2
1 1 x 2
o
x
思考: 分析: 原积分发散 !
注意: 对广义积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .
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例2. 证明无穷积分 时发散 .
当 p >1 时收敛 ; p≤1
证:当 p =1 时有
0
1
dx 1 lim 2 x x 0
A
0
lim 2(1 ) 2
0
x
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定义2. 设 f ( x) C (a , b] , 而在点 a 的右邻域内无界,
若极限 存在 , 则称此极限为函
数 f (x) 在 [a , b] 上的瑕积分, 记作
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(4) (s) 的其他形式
令 x u2, 得 u 2 2 s 1 ( s ) 2 e u du
0
( s 0)
再令 2s 1 t , 即 s 1 t , 得应用中常见的积分 2 t u 2 1 1 t 0 u e d u 2 2 (t 1)
第五节 广义积分
常义积分
推广
第六章
积分限有限 被积函数有界
广义积分 (反常积分)
一、无穷积分 二、瑕积分 三、函数
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一、无穷积分
引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
x 其含义可理解为 A lim
b 1
A
dx 2
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2. 性质
(1) 递推公式
( s 1) s ( s)
( s 0)
证:
( s 1)
x e
s x x e 0
s x
dx
0
s
s x x d e (分部积分) 0 s 1 x x e dx 0
这时称无穷积分 就称无穷积分
收敛 ; 如果上述极限不存在, 发散 .
类似地 , 若 f ( x) C ( , b] , 则定义
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若 f ( x) C ( , ) , 则定义
lim a f ( x) dx b c f ( x) dx a lim
( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 .
c b
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该无穷积分发散 .
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引入记号
F () lim F ( x) ;
x
F () lim F ( x)
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
例3. 计算无穷积分
t pt 解: 原式 e p
1 pt 2e p 1 2 p
1 p t e dt p 0
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二、瑕积分
引例:曲线 与 x 轴, y 轴和直线 所围成的
开口曲边梯形的面积可记作
y
1 y x
其含义可理解为
A lim
这表明左端的积分可用 函数来计算. 例如,
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内容小结
1. 广义积分 积分区间无限
被积函数无界
常义积分的极限
2. 两个重要的广义ห้องสมุดไป่ตู้分
, 1 , p 1 ( p 1) a
p 1 p 1
3. 函数的定义及性质 .
,
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q 1
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说明: (1) 有时通过换元 , 广义积分和常义积分可以互
b
1
b
dx 1 lim 2 b x 1 x
1 y 2 x A
1
b
1 1 lim 1 b b
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定义1. 设 f ( x) C [a , ) , 取 b a , 若 存在 , 则称此极限为 f (x)在 [a , ) 的无穷积分, 记作
这时称瑕积分 就称瑕积分
收敛 ; 如果上述极限不存在, 发散 .
类似地 , 若 f ( x) C [a , b) , 而在 b 的左邻域内无界,
则定义
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而在点 c 的 邻域内无界 , 则定义
lim
1 0
a f ( x) dx c f ( x) dx c b a f ( x) dx lim0 c
可相消吗?
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例4. 计算瑕积分 解: 显然瑕点为 a , 所以 x a arcsin arcsin1 原式 a 0 2 例5. 讨论瑕积分 的收敛性 .
0
0 dx 1 下述解法是否正确: dx 1 1 1 2 2 解: 1 x 0x x 1 x 0 1 1 dx 2 1 1 1 2 , ∴积分收敛 1 x x 1 所以瑕积分 发散 .