常用原函数
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件 (1)
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax
导函数 f′(x)＝_0__ f′(x)＝_α_x_α_－_1_ f′(x)＝_c_o_s_x__ f′(x)＝__－__s_in__x_ f′(x)＝ axln a (a>0)
f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
∴所求的最短距离
d＝1本初等函数的导数公式
知识点一 几个常用函数的导数
原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝ 1
x f(x)＝ x
导函数 f′(x)＝_0__ f′(x)＝_1__ f′(x)＝__2_x_ f′(x)＝_－__x1_2 _
1 f′(x)＝_2__x__
知识点二 基本初等函数的导数公式
命题角度2 求切点坐标问题 例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.
解 设切点坐标为(x0，x20)，依题意知与直线 x－y－2＝0 平行的抛物线 y ＝x2 的切线的切点到直线 x－y－2＝0 的距离最短.
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝12，
∴切点坐标为12，41，
f′(x)＝_e_x_
1 f′(x)＝ xln a (a>0且a≠1)
1 f′(x)＝__x_
类型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数. (1)y＝sin π6； 解 y′＝0. (2)y＝12x； 解 y′＝12xln12＝－12xln 2.
(3)y＝lg x；
解 y′＝xln110.
(4)y＝ x2x；
解
∵y＝
x2x＝x
3 2
secx^2的原函数
secx^2的原函数原函数： f(x)=secx^2f(x)是在数学中的函数，它可以表达为f(x)=secx^2。
sec函数又称正割函数，它的定义为secx = 反余弦函数的倒数。
这意味着f(x)就是一个表示反余弦函数的倒数的函数。
secx^2函数中余弦函数的幂为2，表示在x值处，余弦值要被平方。
f(x)可以简写为sec2x，它的具体表达式为1/cos2x。
f(x)的导函数可以由对原函数进行求导算出。
由于我们知道secx的导数为secxtanx，反余弦的倒数的平方的导数可以得到sec2xtan2x。
这就是f(x)的导函数，也就是df(x)/dx=sec2xtan2x。
f(x)在不同x值处的函数图表如下：由secx的关系可知f(x)在x = 0处的值为1，随着x的增加值，f(x)在x = π/2处会最大，并且在pi/4及3pi/4处都有一个最小值-1。
x = π及2π处，函数值会再次变为1，函数沿着这样的样子在-π到π之间再次重复以上的过程，以此生成完整的图像。
secx^2函数在理论上很常用，它主要用于解决三角函数、正弦波、三角波等等问题。
f(x)也可以帮助我们解决那些难以解决的数学问题，如几何曲线的追踪，牛顿-拉夫逊多变量最优化等问题。
另外，secx^2函数的图像又被称作余弦的反函数，因为它的图像表明了在任意一个x值时，反余弦函数的倒数=该x值，也就是说f(x)的图像表现出了该关系。
总的来说，secx^2函数是一个很实用的数学函数，它在解决三角函数、正弦波、三角波等难题时可以提供很大的帮助。
它也可以帮助我们研究反余弦函数与x值之间的关系，这使我们可以更加深入地探索数学的奥秘。
原函数是所有以fx为导数的函数集合_理论说明
原函数是所有以fx为导数的函数集合理论说明1. 引言1.1 概述在微积分中，导数是一个基本的概念，它描述了函数在各个点上的变化率。
然而，与导数密切相关的另一个概念就是原函数。
原函数可以看作是导数的逆运算，它表示了以某个函数的导数为给定值的所有可能函数。
1.2 文章结构本文将对原函数进行详细探讨，介绍其定义、性质和求取方法，并深入探究导数与原函数之间的关系。
文章结构如下：第二部分将回顾导数的概念，为进一步理解原函数打下基础，并给出一些具体示例。
第三部分着重探讨导数与原函数之间的对应关系，并证明了原函数存在的重要性。
同时还会通过常用导数及其对应的原函数举例来加深理解。
第四部分将介绍求取原函数的不同方法和技巧，包括直接求导反推法、特定类别函数求解法以及利用积分表和常见积分公式求解法等。
最后，在结论部分将对全文进行总结，并再次强调原函数在微积分中所扮演的重要角色以及其应用价值。
1.3 目的本文旨在系统地介绍原函数的概念、性质和求取方法，以及与导数的关系。
通过阅读本文，读者将能够深入理解原函数的定义和意义，并学会灵活运用不同的方法去求取原函数。
希望本文能为读者提供一个全面且清晰的视角，使其对原函数及其应用有更深入的认识。
2. 原函数的概念:2.1 导数的概念回顾在介绍原函数的概念之前，我们首先需要回顾一下导数的定义。
导数描述了一个函数在某个特定点上的变化速率，即函数曲线在该点处的切线斜率。
对于一个给定函数f(x)，它的导数表示为f'(x)或df(x)/dx。
2.2 原函数定义与示例原函数是指具有特定导数的函数。
准确地说，如果对于给定的函数f(x)，存在另一个函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，那么F(x)就是f(x)的原函数。
例如，考虑一个简单的情况：假设f(x) = 2x。
要找到它的原函数，我们可以尝试反推出F(x)来满足条件F'(x) = f(x)。
通过求导逆运算--积分，我们可以得出F(x) = x^2 + C（这里C是常量）作为f(x) = 2x 的原函数。
lnx原函数的求法
lnx原函数的求法要求导函数f'(x)的逆运算就是要求解微分方程f'(x)=y的解析解，也就是要求原函数f(x)。
在数学上，求解原函数的方法有很多种，下面将介绍几种常用的方法。
1.直接求导法：如果原函数是一个简单的多项式函数或者初等函数（如指数函数、对数函数、三角函数等），那么可以通过直接求导的逆过程来求解原函数。
例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以通过求导公式得到f'(x)=2x，然后再求出f(x)的原函数F(x)。
由于f'(x)=2x，所以F(x)就是x^2的原函数。
2. 反函数法：对于一些函数，可以通过求其反函数来求解原函数。
设函数g(x)是原函数f(x)的反函数，那么有f(g(x))=x。
我们可以通过求解这个方程来得到g(x)，然后再通过g(x)来求解原函数f(x)。
例如，对于函数f(x)=sin(x)，我们知道其反函数是arcsin(x)，所以通过求解arcsin(x)=y可以得到原函数f(x)=sin(y)。
3. 特殊积分法：一些函数的原函数可以通过使用特定的积分技巧求解。
例如，对于以e为底的指数函数f(x)=e^x，可以通过令u=e^x来进行变量替换，然后使用换元积分法来求解原函数。
具体来说，我们有du=e^xdx，所以可以将f(x)的原函数表示为∫e^xdx=∫du=u+C=e^x+C，其中C是常数。
4. 巧妙的代数化简：有时候，通过将函数进行适当的代数化简，可以得到其原函数。
例如，对于函数f(x)=1/x，我们可以通过代数化简得到f(x)=x^(-1)，然后使用幂函数的原函数公式得到其原函数F(x)=(x^(-1+1))/(1-1)=ln(x)+C，其中C是常数。
这些方法只是求解原函数的常见方法之一，根据具体的函数形式和条件，可能需要使用不同的方法来求解原函数。
此外，对于一些函数，不存在可表达的原函数，或者原函数不能用已知的函数形式表示，只能通过数值方法来近似求解。
第一章第2-3节 几种常用的函数与反函数
2
，
2
）上的反函数
称为反正切函数，记作 y=arctanx。
2、反正切函数的图像
3、性质
①y=arctanx 的定义域 D= R，值域 M=（ ， ） ； 2 2
②y=arctanx 在 R 上是单调增函数； ③y=arctanx 是奇函数，即 arctan(-x)=-arctanx， x R，其图像 关于原点对称。 ；
0, 上的反函
数称为反余弦函数，记作 y=arccosx。
2、反余弦函数的图像
3、性质
①y=arccosx 的定义域 D=[-1，1]，值域 M=
0, ；
②y=arccosx 在区间[-1，1]上是单调减函数，最大值为 ，最小值 为 0； ③y=arccosx 既不是奇函数也不是偶函数； ④y=arccosx 是有界的，即 arccos x ； ⑤arccos(-x)= -arccosx。
④y=arctanx 是有界的，即 arctan x ； 2
五、反三角函数 （三）反余切函数
1、定义：函数 y=cotx，x （0， ）上的反函数称为 反余切函数，记作 y=arccotx。
2、反余切函数的图像
3、性质
①y=arccotx 的定义域 D= R，值域 M=（0， ） ； ②y=arccotx 在 R 上是单调减函数； ③y=arccotx 既不是奇函数也不是偶函数； ④y=arccotx 是无界的。
，arccot 3 =
， ，
，arccot（- 3 ）=
练习答案 arctan0= 0 ，arctan
3 = 3 6
，arctan 3 =
高中常用导数公式大全
高中常用的导数公式包括：
原函数为常数c时，其导数为0。
原函数为x^n时，其导数为nx^(n-1)。
原函数为tanx时，其导数为1/cos^2x。
原函数为cotx时，其导数为-1/sin^2x。
原函数为sinx时，其导数为cosx。
原函数为cosx时，其导数为-sinx。
原函数为a^x时，其导数为a^xlna（a>0且a不等于1，x>0）。
原函数为e^x时，其导数为e^x。
原函数为logax时，其导数为1/xlna（a>0且a不等于1，x>0）。
原函数为lnx时，其导数为1/x（x>0）。
原函数为acrsinx时，其导数为1/√(1-x^2)。
原函数为acrcosx时，其导数为-1/√(1-x^2)。
原函数为acrtanx时，其导数为-1/(1+x^2)。
以上是高中阶段需要掌握的一些常见函数的导数公式，熟练运用这些公式是解决相关问题的关键。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件
f′(x)＝__x_ln__a__(a>0且a≠1)
1
f′(x)＝__x___
类型一 利用导数公式求出函数的导数 (1)y＝sin π3；(2)y＝5x；(3)y＝x13； (4)y＝4 x3；(5)y＝log3x；(6)y＝1－2sin22x.
类型二 利用导数公式解决切线有关问题 例2 (1)已知P，Q为抛物线y＝1 x2上两点，点P，Q横坐标分别为4，－2，
2 过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的坐标为
________.
(2)已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共 点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 解 设存在一个公共点(x0，y0)使两曲线的切线垂直， 则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝ y′| xx0 ＝cos x0，k2＝y′|xx0 ＝－sin x0， 要使两切线垂直，必须k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1， 即sin 2x0＝2，这是不可能的. ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.
∴所求的最短距离
d＝|21－142－2|＝78
2 .
几个常用函数的导数 基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则
知识点一 几个常用函数的导数
原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝ 1
x f(x)＝ x
导函数
f′(x)＝_0__
f′(x)＝ _1_
f′(x)＝_2_x__ f′(x)＝_－__x1_2 __
1 f′(x)＝__2__x__
类型三 利用导数公式求最值问题
例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.
e的2x次方原函数
e的2x次方原函数欢迎阅读我的回答！在数学中，原函数是指给定函数的不定积分，也可以理解为通过求导的逆过程，即反函数。
现在我们来研究函数f(x) = e^(2x)的原函数。
为了求函数f(x) = e^(2x)的原函数，我们可以使用不定积分的方法。
根据不定积分的定义，我们需要找到一个函数F(x)，使得F'(x)= f(x)。
因此，我们需要求解方程F'(x) = e^(2x)。
接下来，我们使用一个常用的积分法则，即幂函数的原函数求解公式。
根据该公式，对于任意实数n，原函数F(x) = (1/n) *(e^(nx))。
在我们的问题中，n = 2，因此原函数F(x) = (1/2) * (e^(2x)) + C，其中C为任意常数。
这就是函数f(x) = e^(2x)的原函数。
原函数中的常数C表示，当我们对原函数求导后，常数C会消失，因此在原函数的定义中，我们可以加上任意常数。
现在我们来证明一下该原函数是正确的。
对原函数F(x)进行求导。
根据求导法则，(1/2) * (e^(2x))关于x的导数是e^(2x)。
即F'(x)= e^(2x)。
从而证明了F(x)是f(x) = e^(2x)的原函数。
不过要注意，这里我们只给出了f(x) = e^(2x)的一个原函数，原函数并不唯一。
当我们在求不定积分时，常常还需要考虑到边界条件等其他因素，才能得到具体的原函数解。
除此之外，我们还可以使用其他方法来求解f(x) = e^(2x)的原函数。
比如，我们可以使用换元法、分部积分等进一步简化求解过程。
总结起来，函数f(x) = e^(2x)的一个原函数是F(x) = (1/2) * (e^(2x)) + C，其中C为任意常数。
通过求导，我们可以验证该函数的确是f(x) = e^(2x)的原函数。
希望我的回答对您有所帮助，如有任何其他问题，欢迎继续提问！。