2019-2020上学期九年级数学期中考试试题
2019-2020年第一学期九年级期中数学考试试卷含答案
2019-2020年第一学期九年级期中数学考试试卷一、精心选一选（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 1． 已知⊙O 的半径为4cm ，点P 在⊙O 上，则OP 的长为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．4cmD ．8cm2．若37a b =，则b aa -等于（ ） A ．43 B.34 C. 37 D. 733．抛物线y ＝x 2－2x ＋3的对称轴为（ ）A ．直线x ＝1B ．直线x ＝－1C ．直线x ＝2D ．直线x ＝－24． 如图，在⊙O 中，点M 是︵AB 的中点，连结MO 并延长，交⊙O 于点N ，连结BN ．若∠AOB ＝140°，则∠N 的度数为（ ）A ．70°B ．40°C ．35°D ．20°第4题 第6题 第8题5．在一个不透明的口袋里装有2个白球、3个黑球和3个红球，它们除了颜色外其余都相同．现随机从袋里摸出1个球，则摸出白球的概率是（ ） A ．12B ．38C ．13D ．146. 如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周，OA =OB =OC =2，则这朵三叶花的面积为（ ） A ．33-πB ．63-πC ．36-πD ．66-π7. 已知点C 在线段AB 上，且点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则下列结论正确的是( ) A ．AB 2=AC•BCB ．BC 2=AC•BC C ．AC=BC D ．BC=AC8. 如图，AB 是半圆的直径，点C 是弧AB 的中点，点E 是弧AC 的中点，连结EB 、CA 交于点F ，则BF EF的值为（ ） A.41 B.422- C.221- D.212- O N MBA9. 如图，抛物线y =x 2+b x +c 与直线y=x 交于（1，1）和（3，3）两点，以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②3b+c+6=0；③当x 2+b x +c ＞时，x ＞2；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x +c ＜0，其中正确的序号是（ ） A ．①②④B ．②③④C ．②④D ．③④10. 若平面直角坐标系内的点 M 满足横、纵坐标都为整数，则把点 M 叫做“整点”．例如：P (1，0)、Q (2，－2)都是“整点”．抛物线 y =mx 2－2mx +m －1(m >0)与 x 轴交于 A 、 B 两点，若该抛物线在 A 、B 之间的部分与线段 A B 所围成的区域（包括边界）恰有 6 个整点，则 m 的取值范围是( ) A ．18≤ m ≤ 14 B ．19< m ≤ 14 C ．19 ≤ m < 12 D ．19 < m < 14二、细心填一填（本大题有6小题，每小题5分，共30分）11．已知线段c 是线段a 、b 的比例中项，且a ＝4，b ＝9，则线段c 的长度为 ． 12.小颖在二次函数y=2x 2+4x+5的图象上找到三点（－1，y 1），（21，y 2），（－321，y 3），则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为___________．(用 < 号连接)13. 如图水库堤坝的横断面是梯形，BC 长为30m ，CD 长为20m ，斜坡AB 的坡比为1：3，斜坡CD 的坡比为1：2，则坝底的宽AD 为 m 。
人教版2019-2020九年级数学上册期中考试试题含答案
2019-2020九年级期中考试数学试题一、选择题（每小题3分，共18分）1.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A B C D2.关于x的一元二次方程(m-3)x2+2x-1=0有实数根，则m的取值范围是（）A m≥2B m>2C m≥2且m≠3D m>2且m≠33.在同一平面直角坐标系中，函数y=mx2+nx与y=nx+m的图象可能是（）A B C D4.二次函数y=2(x-3)2+5的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（）A 向上、直线x=3，(3,5)B 向上、直线x=3，(-3,5)C 向下、直线x=3，(3,5)D 向下、直线x=3，(-3,5)5.在平面直角坐标系中，把点P(-2,3)向右平移5个单位得到点P1，再将点P1绕原点旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是（）A (3, -3)B (-3,3)C (3,3)或(-3, -3)D (3, -3)或(-3,3)6.如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止，设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A B C D二、填空题（每小题3分，共24分）7.若点P(x, -3)与点Q(4,y)关于原点对称，则(x+y)2016= 。
8.若一元二次方程ax2-bx-2016=0有一根为x=-1，则a+b= 。
9.把二次函数y=2x2的图象向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，平移后抛物线的解析式为。
10.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=6cm，则BE=cm。
11.如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-4,8)，B(2,2)，则关于x的方程ax2-bx-c=0的解为。
12.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+-=)2(,24)2(,1122xxxxy，若使y=k成立的x的值恰好有三个，则k的值为。
2019-2020年九年级上学期期中考试数学试卷
2019-2020年九年级上学期期中考试数学试卷一、选择题 (本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填在答题纸上)1．平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是( )A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形2．抛物线y=2（x+2）（x-6）的对称轴是（）A.x=-2B.x=6C.x=2D.x=43．若y=(2-m)错误！未找到引用源。
是二次函数，且开口向上，则m的值为( )A.±错误！未找到引用源。
B.-错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.04．若二次函数y=x2-6x+9的图象经过A（-1，y1），B（1，y2），C（3+错误！未找到引用源。
，y3）三点．则关于y1，y2，y3大小关系正确的是（）A.y1＞y2＞y3B.y1＞y3＞y2C.y2＞y1＞y3D.y3＞y1＞y25．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=20°，求∠P的度数为（）A.50°B.70°C.110°D.40°6．若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（）A.6，错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
，3C.6，3D.错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
7．已知二次函数y=-3（x-1)2，下列说法正确的有（）①因为a=-3，所以开口方向向上；②顶点坐标为（1，0）；③对称轴为：直线x=1；④把y=-3x2的图象向右平移1个单位就得y=-3（x-1）2的图象．A.0个B.1个C.2个D.3个8．下列命题中，真命题的个数是（）①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．A.4个B.3个C.2个D.1个9．下面表格列出了函数y=ax2+bx+c（a，b、c是常数，且a≠0），部分x与y对应值，那么方程ax2+bx+c=0的一个根x的取值范围是（）A.6＜x＜6.17B.6.17＜x＜6.18C.6.18＜x＜6.19D.6.19＜x＜9.2010．如图，在△A BC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A.35°B.40°C.50°D.65°二、填空题 (本大题共8小题，每小题3分，共24分。
人教版2019-2020年度九年级数学上册数学期中测试题(含答案)
人教版2019-2020年度九年级数学上册数学期中测试题(含答案)一、选择题(每小题3分，共36分))1.下列四个图形中，不是中心对称图形的是(A.①③B.②④C.①④D.②③2.抛物线y＝3(x-2)+5的顶点坐标是( )2A.(-2，5)B.(-2，-5)C.(2，5)D.(2，-5)3一元二次方程x-3x＝0的根为( )2A.x=3B. x=-3C.x=0,x=3D.x=0,x=-312124.在平面直角坐标系xOy中，将点N(-1，-2)绕点O旋转180，得到的对应点的坐标是( )A.(1,2)B.(-1,2)C.(-1，-2) D、(1，-2)15.已知二次函数y=x-x+m-1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是( )24A.m≤5B.m≥2C.m<5D.m>26.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A，D，E在同一条直A.55°B.60°C.65°D.70°7.宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满;当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房，如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用.当房价定为多少元时，宾馆当天的利润目为10890元?设房价定为x元，则有( )A.(180+x-20)(50-)=10890B.(x-20)(50-)=1089010x 10180-x C.x(50-)-50×20=10890 D.(x+180)(50-)-50×20=1089010180-x 10x 8，如图，在平面直角坐标系中，把△ABC 原点O 旋转180°得到△CDA ，点A ，B ，C 的坐标分别为(-5，2)，(-2，-2)，(5,-2)，则点D 的坐标为( )A,(2,2) B.(2,-2) C 、(2,5) D,(-2,5)9.若a,β是一元二次方程3x +2x-9＝0的两根，则的值是( ).2βααβA. B.- C.- D.52742742758275810.如图，二次函数y ＝ax +bx 的图象开口向下，且经过第三2象限的点P.若点P 的横坐标为一1，则一次函数y ＝(a-b)x+b 的图象大致是( )11.如图，在Rt △ABC 中，∠ACD=90°，∠A=60°,AC ＝6，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A ＇B ＇C ，此时点A ＇恰好在AB 边上，则点B ＇与点B 之间的距离为( )A.12 B.6 C.6 D.62312.已知抛物线y ＝ax +bx+c(a ，b ，c 为常数，a≠0)经过点(-1,0)，(0,3)，其对称2轴在y 轴右侧，有下列结论:①抛物线经过点(1，0);2②方程ax+bx+c＝2有两个不相等的实数根;③-3＜a+b＜3其中，正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.3二、填空题(每小题4分，共32分)13.若关于x的一元ニ次方程x+2x-m＝0有两个相等的实数根，则m的值为2_____.14.如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为_________15.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x-6x+8＝0的解，则此三2角形周长是________.16.将抛物线y＝x-2x+2沿y轴向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的顶点2坐标是________.17已知关于ェ的方程x-3x+a＝0有一个根为1，则方程的另一个根为________.218.如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，则∠C的度数是__________19.飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数关系式是y ＝60t-t .在飞机着陆滑行中，最后4s 滑行的距离是_______m.23220.定义:在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a 个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γ(α，θ)变换.如图，等边△ABC 的边长为1，点A 在第一象限，点B 与原点O 重合，点C 在x 轴的正半轴上.△A B C 就是△ABC 经γ(1，180°)变换后所得的图形.111若△ABC 经γ(1，180°)变换后得△A B C ，△A B C 经γ(2，180°)变换后得△A111111B C ，△A B C 经γ(3，180°)变换后得△A B C ，依此类推……△A B C 2222223111-n 1-n 经γ(n ，180°)变换后得△A B C ，则点A 的坐标是______1-n n n n 2018三、解答题(共82分)21.(8分)已知关于x 的方程x -2x+m ＝0有两个不相等的实数根x ，x .212(1)求实数m 的取值范围;(2)若x -x ＝2，求实数m 的值1222(8分)为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m 、宽20m 的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为532m ，那么小道进出口的宽度应为多少2米?(注:所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)23.(10分)已知抛物线y＝ax+bx+c与x轴交于点A(1，0)B(3，0)，且过点2C(0，-3).(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝-x上，并写出平移后抛物线的解析式.24.如图，在平面直角坐标系中△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，1)、B(4,1)，C(3,3).(1)将△ABC向下平移5个单位长度后得到△A B C请画出△A B C,111111(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A B C，请画出△A B C。
2019-2020年九年级数学上学期期中试卷(含解析)(I)
2019-2020年九年级数学上学期期中试卷（含解析）(I)一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．下列事件为必然事件的是（）A．某射击运动员射击一次，命中靶心B．任意买一张电影票，座位号是偶数C．从一个只有红球的袋子里面摸出一个球是红球D．掷一枚质地均匀的硬币落地后正面朝上2．把二次函数y=x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（）A．y=（x﹣1）2B．y=（x﹣1）2﹣2 C．y=（x+1）2+1 D．y=（x+1）2﹣23．下列各组线段中，是成比例线段的是（）A．4，6，5，8 B．2，5，6，8 C．3，6，9，18 D．1，2，3，44．将二次函数y=x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A．W=20x+16800≥17560 B．y=（x+1）2+2C．y=（x﹣1）2﹣2 D．y=（x+1）2﹣25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=62°，那么∠BOD=（）A．124°B．100°C．62° D．31°6．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（）A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＞0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0 7．诸暨影视城里有一座圆形的土楼，如图，小王从南门点A沿AO匀速直达土楼中心古井点O处，停留拍照后，从点O沿OB也匀速走到点B，紧接着沿回到南门，下面可以近似地刻画小王与土楼中心O的距离s随时间t变化的图象是（）A．B．C．D．8．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm，则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（）A． B． C． D．9．如图，记抛物线y=﹣x2+1的图象与x正半轴的交点为A，将线段OA分成n等份，设分点分别为P1，P2，…，P n﹣1，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，Q n﹣1，再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…的面积分别为S1，S2，…，这样就有S1=，…；记W=S1+S2+…+S n，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（）﹣1A． B． C． D．10．在Rt△ABC中，∠A CB=90°，AC=2，BC=4，P是线段AC上一个动点，连接BP，过C作CD⊥BP于D，交AB于E，连接AD，则下列关于线段AD的说法正确的是（）A．存在最大值，最大值为B．存在最小值，最小值为2﹣2C．存在最小值，最小值为1﹣D．存在最大值，但不存在最小值二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．已知⊙O的面积为36π，若PO=7，则点P在⊙O ．12．线段4和1的比例中项为是．13．如图，水平放着的圆柱形排水管的截面，水深EC=8cm，水面宽AB=24cm，则圆柱形排水管的半径为cm．14．如图，平面上有两个全等的正十边形，其中A点与A′点重合，C点与C′点重合．∠BAJ′为°．15．若将直尺的0cm刻度线与半径为5cm的量角器的0°线对齐，并让量角器沿直尺的边缘无滑动地滚动，则直尺上的10cm刻度线对应量角器上的度数约为．（保留π）16．在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，则线段EP1长度的最大值与最小值的差为．三、解答题（本大题有8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．如图是一个圆形轮子的一部分，请你用直尺和圆规把它补完整．18．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（3，3）、B（1，2），△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（1）画出△A1OB1，直接写出点A1，B1的坐标；（2）求在旋转过程中，线段AB所扫过的面积．19．已知：如图，在⊙O中，AB=CD，AB与CD相交于点M，（1）求证： =；（2）求证：AM=DM．20．某纪念币从2013年11月11日起开始上市，通过市场调查得知该纪念币每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：（1）根据上表数据，在某一特定时期内，可从下列函数中选取一个恰当的函数描述纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系：①y=ax+b（a≠0）；②y=a（x﹣h）2+k（ a≠0）；③y=（a≠0）．你可选择的函数的序号是．（2）利用你选取的函数，求该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少？21．在1个不透明的口袋里，装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外，其余都相同），其中有白球2个，黄球1个，若从中任意摸出一个球，这个球是白色的概率为．（1）求口袋中红球的个数；（2）若摸到红球记0分，摸到白球记1分，摸到黄球记2分．甲从口袋中摸出一个球，不放回，再摸出一个，请用画树状图或列表的方法求甲摸出两个球得2分的概率．22．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；（2）求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式．23．问题背景：如图（a），点A，B在直线L的同侧，要在直线L上找一点C，使AC与BC 的距离之和最小，我们可以作出点B关于直线L的对称点B′，连接A B′与直线L交于点C，则点C即为所求．（1）运用：如图（b），已知⊙O的直径CD为4，点A在⊙O 上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为多少？写出解答过程．（2）拓展：如图（c），在抛物线y=x2﹣2x﹣3的对称轴上有两动点M，N（点M在点N的下方），且MN=6，试求四边形ACMN的周长最小值（直接写出答案）．24．如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．xx学年浙江省绍兴市浣江教育集团九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．下列事件为必然事件的是（）A．某射击运动员射击一次，命中靶心B．任意买一张电影票，座位号是偶数C．从一个只有红球的袋子里面摸出一个球是红球D．掷一枚质地均匀的硬币落地后正面朝上【考点】随机事件．【分析】必然事件就是一定会发生的事件，即发生的概率是1的事件．【解答】解：A、某射击运动员射击一次，命中靶心，为不确定事件，即随机事件，不符合题意；B、任意买一张电影票，座位号是偶数，为不确定事件，即随机事件，不符合题意；C、从一个只有红球的袋子里面摸出一个球是红球，是必然事件，符合题意；D、掷一枚质地均匀的硬币落地后正面朝上，为不确定事件，即随机事件，不符合题意．故选C．2．把二次函数y=x2﹣2x﹣1的解析式配成顶点式为（）A．y=（x﹣1）2B．y=（x﹣1）2﹣2 C．y=（x+1）2+1 D．y=（x+1）2﹣2【考点】二次函数的三种形式．【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y=x2﹣2x﹣1=x2﹣2x+1﹣1﹣1=（x﹣1）2﹣2．故选B．3．下列各组线段中，是成比例线段的是（）A．4，6，5，8 B．2，5，6，8 C．3，6，9，18 D．1，2，3，4【考点】比例线段．【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．【解答】解：A、4×8≠5×6，故选项错误；B、2×8≠5×6，故选项错误；C、3×18=6×9，故选项正确；D、1×4≠2×3，故选项错误．故选C．4．将二次函数y=x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A．W=20x+16800≥17560 B．y=（x+1）2+2C．y=（x﹣1）2﹣2 D．y=（x+1）2﹣2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据二次函数图象的平移规律（左加右减，上加下减）进行解答即可．【解答】解：y=x2向左平移1个单位得y=（x+1）2，再向上平移2个单位得y=（x+1）2+2．故选B．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=62°，那么∠BOD=（）A．124°B．100°C．62° D．31°【考点】圆内接四边形的性质．【分析】由圆内接四边形的外角等于它的内对角知，∠A=∠DCE=62°，由圆周角定理知，∠BOD=2∠A=124°．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A=∠DCE=62°，∴∠BOD=2∠A=124°．故选A．6．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a、b、c满足（）A．a＞0，b＞0，c＜0 B．a＞0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＞0 【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由抛物线的开口方向向上可推出a＞0；因为对称轴在y轴右侧，对称轴为x=﹣＞0，又∵a＞0，∴b＜0；由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，故选B．7．诸暨影视城里有一座圆形的土楼，如图，小王从南门点A沿AO匀速直达土楼中心古井点O处，停留拍照后，从点O沿OB也匀速走到点B，紧接着沿回到南门，下面可以近似地刻画小王与土楼中心O的距离s随时间t变化的图象是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】从A→O的过程中，s随t的增大而减小；直至s=0；从O→B的过程中，s随t的增大而增大；从B沿回到A，s不变．【解答】解：如图所示，当小王从A到古井点O的过程中，s是t的一次函数，s随t的增大而减小；当停留拍照时，t增大但s=0；当小王从古井点O到点B的过程中，s是t的一次函数，s随t的增大而增大．当小王回到南门A的过程中，s等于半径，保持不变．综上所述，只有C符合题意．故选：C．8．如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称．AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm，则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为（）A． B． C． D．【考点】二次函数的应用．【分析】根据题意可以求得点C、点B的坐标，然后根据眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称，从而可以求得点D和点F的坐标，然后设出右轮廓线DFE所在抛物线的函数顶点式，从而可以解答本题．【解答】解：∵眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称，AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上，高CH=1cm，BD=2cm，∴点C的坐标为（﹣3，0），点B（﹣1，1），∴点D（1，1），点F（3，0），设右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为：y=a（x﹣3）2，则1=a（1﹣3）2，解得，a=，∴右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为：y=（x﹣3）2，故选D．9．如图，记抛物线y=﹣x2+1的图象与x正半轴的交点为A，将线段OA分成n等份，设分点分别为P1，P2，…，P n﹣1，过每个分点作x轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，Q n﹣1，再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…的面积分别为S1，S2，…，这样就有S1=，…；记W=S1+S2+…+S n，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（）﹣1A． B． C． D．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】令y=﹣x2+1=0可找出点A的坐标，进而可得出Q n﹣1（，1﹣）的坐标，结合三角形的面积即可得出S n﹣1=，将其代入W中即可得出W=﹣﹣，随着n的增大，W值越来越接近．【解答】解：当y=﹣x2+1=0时，x=1或x=﹣1，∴点A的坐标为（1，0），∴Q n﹣1（，1﹣），∴S n﹣1=••[1﹣]=．W=S1+S2+…+S n﹣1=++…+===﹣﹣，∵当n越来越大时，﹣﹣越来越接近于0，∴W最接近的常数是．故选B．10．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，P是线段AC上一个动点，连接BP，过C作CD⊥BP于D，交AB于E，连接AD，则下列关于线段AD的说法正确的是（）A．存在最大值，最大值为B．存在最小值，最小值为2﹣2C．存在最小值，最小值为1﹣D．存在最大值，但不存在最小值【考点】圆的综合题．【分析】根据垂线的定义得到∠CDB=90°，根据圆周角定理的推理得点D总在以BC为直径的圆上，所以当点D为OA与圆的交点时，线段AD最短，如图，再根据勾股定理计算出OA，然后利用AD=OA﹣OD计算即可．【解答】解：∵CD⊥BP，∴∠CDB=90°，∴点D总在以BC为直径的圆上，∵线段AD的长为点A到圆上点D的距离，∴当点D为OA与圆的交点时，线段AD最短，如图，∵∠ACB=90°，AC=2，BC=4，∴OC=2，∴OA==2，∴AD=OA﹣OD=2﹣2，即线段AD存在最小值，最小值为2﹣2．故选B．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11．已知⊙O的面积为36π，若PO=7，则点P在⊙O 外．【考点】点与圆的位置关系．【分析】先由圆的面积求得⊙O的半径，再根据PO=7，判断点P与⊙O的位置关系．【解答】解：设圆的半径为r，则πr2=36π，解得r=6，∵PO=7，∴点P在⊙O外．12．线段4和1的比例中项为是 2 ．【考点】比例线段．【分析】根据线段比例中项的概念，可得线段4和1的比例中项的平方=4×1=4，依此即可求解．【解答】解：∵1×4=4，（±2）2=4，又∵线段是正数，∴线段4和1的比例中项为2．故答案为：2．13．如图，水平放着的圆柱形排水管的截面，水深EC=8cm，水面宽AB=24cm，则圆柱形排水管的半径为13 cm．【考点】垂径定理的应用．【分析】连接OA，根据垂径定理得AE=AB=12cm，根据勾股定理即刻得到结论．【解答】解：连接OA，∵OC⊥AB，∴AE=AB=12cm，在Rt△OAE中，AO2=OE2+AE2，即OA2=（OA﹣8）2+122，∴OA=13，∴圆柱形排水管的半径为13cm，故答案为：13．14．如图，平面上有两个全等的正十边形，其中A点与A′点重合，C点与C′点重合．∠BAJ′为108 °．【考点】正多边形和圆．【分析】由平面上有两个全等的正十边形，其中A点与A′点重合，C点与C′点重合，即可求得AB′=AB=BC=B′C以及∠B、∠B′与∠B′AJ′的度数，继而证得四边形ABCB′是菱形，则可求得∠B′AB的度数，继而求得答案．【解答】解：∵平面上有两个全等的正十边形，其中A点与A′点重合，C点与C′点重合，∴AB′=AB=BC=B′C，∠B=∠B′=∠B′AJ′==144°，∴四边形ABCB′是菱形，∴AB∥B′C，∴∠B′AB=180°﹣∠B′=36°，∴∠BAJ′=∠B′AJ′﹣∠B′AB=144°﹣36°=108°．故答案为：108．15．若将直尺的0cm刻度线与半径为5cm的量角器的0°线对齐，并让量角器沿直尺的边缘无滑动地滚动，则直尺上的10cm刻度线对应量角器上的度数约为115°．（保留π）【考点】弧长的计算．【分析】利用弧长公式计算即可．【解答】解：由题意弧长应该是10cm，根据半径为5cm，那么5×π×n÷180=10，那么圆心角n≈115°．故答案为115°．16．在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，则线段EP1长度的最大值与最小值的差为9﹣．【考点】旋转的性质．【分析】过点B作BD⊥AC，D为垂足，在Rt△BCD中，根据BD=BC×sin45°求出BD的长．①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，据此求解可得．【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC，D为垂足，∵△ABC为锐角三角形，∴点D在线段AC上，在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=．①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为﹣2②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为2+5=7，∴线段EP1长度的最大值与最小值的差为7﹣+2=9﹣，故答案为：9﹣．三、解答题（本大题有8小题，第17～20小题每小题8分，第21小题10分，第22，23小题每小题8分，第24小题14分，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．如图是一个圆形轮子的一部分，请你用直尺和圆规把它补完整．【考点】垂径定理的应用；作图—应用与设计作图．【分析】在残缺的圆中，找出两条弦（两弦不平行），然后作这两条弦的垂直平分线，根据垂径定理的推论知，这两条中垂线的交点即为圆的圆心，从而可将圆形补全．【解答】解：如图：18．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（3，3）、B（1，2），△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．（1）画出△A1OB1，直接写出点A1，B1的坐标；（2）求在旋转过程中，线段AB所扫过的面积．【考点】作图﹣旋转变换；扇形面积的计算．【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标；（2）根据AB扫过的面积等于以OA、OB为半径的两个扇形的面积的差列式计算即可得解．【解答】解：（1）如图，△A1OB1即为所求三角形，A1（﹣3，3），B1（﹣2，1）；（2）∵OB==，OA==3，∴S扇形OAA1==π，S扇形OBB1==π，则线段AB所扫过的面积为：π﹣π=π．19．已知：如图，在⊙O中，AB=CD，AB与CD相交于点M，（1）求证： =；（2）求证：AM=DM．【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【分析】（1）由在⊙O中，AB=CD，根据弦与弧的关系，可证得=，继而可证得=；（2）首先连接AC，BD，易证得△ACM≌△DBM，继而证得AM=DM．【解答】证明：（1）∵在⊙O中，AB=CD，∴=，∴﹣=﹣，∴=；（2）连接AC，BD，∵=，∴AC=BD，在△ACM和△DBM中，，∴△ACM≌△DBM（ASA），∴AM=DM．20．某纪念币从2013年11月11日起开始上市，通过市场调查得知该纪念币每1枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：（1）根据上表数据，在某一特定时期内，可从下列函数中选取一个恰当的函数描述纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系：①y=ax+b（a≠0）；②y=a（x﹣h）2+k（ a≠0）；③y=（a≠0）．你可选择的函数的序号是②．（2）利用你选取的函数，求该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据，逐一判断出可选择的函数的序号是哪个即可．（2）根据二次函数最值的求法，求出该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少即可．【解答】解：（1）①设纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y=ax+b时，则，解得．∴y=﹣6.5x+116，∵﹣6.5×36+116=﹣118≠90，∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系不是y=﹣6.5x+116；②设纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y=a（x﹣h）2+k（ a≠0）时，则解得∴y=（x﹣20）2+26，∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系是y=（x﹣20）2+26．③4×90=360，10×51=510，36×90=3240，∵360≠510≠3240，∴纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系不是y=（a≠0）．∴选择的函数的序号是②．（2）∵y=（x﹣20）2+26，∴当x=20时，y有最小值26，∴该纪念币上市20天时市场价最低，最低价格为26元．答：该纪念币上市20天时市场价最低，最低价格为26元．21．在1个不透明的口袋里，装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外，其余都相同），其中有白球2个，黄球1个，若从中任意摸出一个球，这个球是白色的概率为．（1）求口袋中红球的个数；（2）若摸到红球记0分，摸到白球记1分，摸到黄球记2分．甲从口袋中摸出一个球，不放回，再摸出一个，请用画树状图或列表的方法求甲摸出两个球得2分的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）首先设红球有x个，由概率公式可得，解此方程即可求得答案；（2）首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与摸出两个球得2分的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）设红球有x个，则=0.5，解得：x=1，经检验：x=1是原分式方程的解；∴红球有1个；（2）列表如下：∵共有16中情况，其中摸出两个球得2分的有6种，∴P（摸出两个球得2分）=．22．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，﹣3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；（2）求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）易得点A、B的坐标，用交点式设出二次函数解析式，把D坐标代入即可．自变量的取值范围是点A、B之间的数．（2）设出所求函数解析式，让它与二次函数组成方程组，消除y，让跟的判别式为0，即可求得一次函数的比例系数k．【解答】解：（1）根据题意可得：A（﹣1，0），B（3，0），则设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）（a≠0），又∵点D（0，﹣3）在抛物线上，∴a（0+1）（0﹣3）=﹣3，解之得：a=1∴y=x2﹣2x﹣3，自变量范围：﹣1≤x≤3（2）设过点D（0，﹣3），“蛋圆”切线的解析式为：y=kx﹣3（k≠0），由题意可知方程组只有一组解即kx﹣3=x2﹣2x﹣3有两个相等实根，∴k=﹣2，∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=﹣2x﹣3．23．问题背景：如图（a），点A，B在直线L的同侧，要在直线L上找一点C，使AC与BC 的距离之和最小，我们可以作出点B关于直线L的对称点B′，连接A B′与直线L交于点C，则点C即为所求．（1）运用：如图（b），已知⊙O的直径CD为4，点A在⊙O 上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为多少？写出解答过程．（2）拓展：如图（c），在抛物线y=x2﹣2x﹣3的对称轴上有两动点M，N（点M在点N的下方），且MN=6，试求四边形ACMN的周长最小值（直接写出答案）．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）过点B作CD的垂线交CD于E点，交圆O于B1点，连接AB1，当P点为AB1与CD的交点时，AP+BP的值最小，根据勾股定理求出AB1，即可得出PA+PB的最小值．（2）由于AC与MN的长度都是定值，所以当四边形ACMN的周长最小时，AN+CM最小．将点C向上平移6个单位得C′，连接BC′交对称轴于点N，再将点N向下平移6个单位即得到点M，则AN+CM=BC′最小，运用勾股定理即可求出BC′的长度．【解答】解：（1）如图b，过点B作CD的垂线交CD于E点，交圆O于B1点，连接AB1，当P点为AB1与CD的交点时，AP+BP的值最小．过A点作CD的垂线交CD于F点，交圆O于H点，过B1作AH的垂线交AH于G点．由垂径定理可知：BP=B1P；∵∠ACD=30°，B为弧AD的中点，∴OE=OF=1．∴EF=B1G=，又由于AG=AF+FG=，AB12=AG2+B1G2=（+1）2+（﹣1）2=3．∴AB1=2，即AP+BP的最小值为2．（2）如图c，将点C（0，﹣3）向上平移6个单位得C′（0，3），连BC′交对称轴于点N，再将点N向下平移6个单位得点M，则AN+CM最小．∵CC′∥MN，CC′=MN=6，∴CC′NM是平行四边形，∴C′N=CM．∵A、B两点关于MN对称，∴BN=AN，∴AN+CM=BN+C′N=BC′．∵B（3，0），C′（0，3），∴BC′==3，即四边形ACMN的周长最小时，AN+CM的长为3．24．如图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线C1：y=a（x+2）2﹣5得顶点P的为（﹣2，﹣5），把点B（1，0）代入抛物线解析式，解得，a=；（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G，根据点P、M关于点B成中心对称，证明△PBH≌△MBG，所以MG=PH=5，BG=BH=3，即顶点M的坐标为（4，5），根据抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到，所以抛物线C3的表达式为y=（x﹣4）2+5；（3）根据抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得点N的纵坐标为5，设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K，可求得EF=AB=2BH=6，FG=3，点F坐标为（m+3，0），H坐标为（2，0），K坐标为（m，﹣5），根据勾股定理得：PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34．分三种情况讨论，利用勾股定理列方程求解即可．①当2∠PNF=90°时，PN2+NF2=PF2，解得m=，即Q点坐标为（，0）；②当∠PFN=90°时，PF2+NF2=PN2，解得m=，∴Q点坐标为（，0），③PN＞NK=10＞NF，所以∠NPF≠90°综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．【解答】解：（1）由抛物线C1：y=a（x+2）2﹣5得，顶点P的坐标为（﹣2，﹣5），∵点B（1，0）在抛物线C1上，∴0=a（1+2）2﹣5，解得a=；（2）连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G，∵点P、M关于点B成中心对称，∴PM过点B，且PB=MB，∴△PBH≌△MBG，∴MG=PH=5，BG=BH=3，∴顶点M的坐标为（4，5），抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到，∴抛物线C3的表达式为y=（x﹣4）2+5；（3）∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到，∴顶点N、P关于点Q成中心对称，由（2）得点N的纵坐标为5，设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K，∵旋转中心Q在x轴上，∴EF=AB=2BH=6，∴FG=3，点F坐标为（m+3，0）．H坐标为（﹣2，0），K坐标为（m，﹣5），∵顶点P的坐标为（﹣2，﹣5），根据勾股定理得：PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34，①当∠PNF=90°时，PN2+NF2=PF2，解得m=，∴Q点坐标为（，0）．②当∠PFN=90°时，PF2+NF2=PN2，解得m=，∴Q点坐标为（，0）．③∵PN＞NK=10＞NF，∴∠NPF≠90°综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形．。
人教版2019至2020学年度第一学期九年级数学期中考试试卷
2019至2020学年度第一学期期中考试试卷九年级数学一.填空题（每题3分，共24分）1.下列汽车标志中，是中心对称图形的是…………………………（ ）A B C D 2.下列方程中，一定是一元二次方程的是…………………………（ ）A .20ax bx c ++=B .2102x = C .213202x y +-= D .2450x x+-=3.如果2是方程20x c -=的一个根，则c 等于………………… （ ）A . 4B .CD .24.已知点(,3)A a -是点(2,)B b -关于原点O 的对称点，则b a +的值为（ ）A .6B .5C .5-D .6±5.不解方程，判别方程2560x x --=的根的情况……………………（ ）A .有两个相等的实数根B .没有实数根C .有两个不相等的实数根D .不能确定6．把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式（ ）A ．2(1)3y x =--+B ．2(1)3y x =-++C ．2(1)3y x =---D ．2(1)3y x =-+-． 7．已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数ax y =与2ax y =的图象有可能是（ ）8．二次函数2(0)ya x b x c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，则下列四个结论错误．．的是（）A．0c> B．20a b+=C．240b a c-> D．0a b c-+>二.选择题（每题3分，共24分）9.已知方程01322=-+xx的两个根是1x，2x，不解方程，则=+2221xx______.10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为(12)，，将O A绕原点O按顺时针方向旋转90得到OA'，则点A'的坐标是．11.已知方程27(3)230mm x mx--++=是一元二次方程，则=m .12.一元二次方程20ax bx c++=有一个根为1-，则a b c-+= .13. 如图，抛物线对称轴是x=1，与x轴交于A、B两点，若B点坐标是)03(，，则A点的坐标是_________。
2019-2020年九年级数学上学期期中试卷(含解析) 新人教版(V)
2019-2020年九年级数学上学期期中试卷（含解析）新人教版(V) 一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列每小题中有四个备选答案，其中只有一个是符合题意的，把正确答案前字母序号填在下面表格相应的题号下．1．一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是（）A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和22．下列图形中，中心对称图形有（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．关于x的方程x2+2kx﹣1=0的根的情况描述正确的是（）A．k为任何实数，方程都没有实数根B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D．k取值不同实数，方程实数根的情况有三种可能4．如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC交于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′，若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（）A．130°B．150°C．160°D．170°5．2011年向阳村农民人均收入为7200元，到xx年增长至8712元．这两年中，该村农民人均收入平均每年的增长率为（）A．10% B．15% C．20% D．25%6．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点7．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（）A．20° B．26° C．30° D．36°8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（）A．70° B．80° C．60° D．50°9．若二次函数y=x2﹣mx+1的图象的顶点在x轴上，则m的值是（）A．2 B．﹣2 C．0 D．±210．二次函数y=3x2+1和y=3（x﹣1）2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，0）；③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们的开口的大小是一样的．其中正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的一个根是﹣1，则m= ．12．（4分）已知关于x的方程ax2+bx+c=0有两个根1和﹣1，那么a+b+c= ，a﹣b+c= ．13．（4分）若y=（m﹣2）x是关于x的二次函数，则常数m的值为．14．（4分）对称轴为x=﹣2，顶点在x轴上，并与y轴交于点（0，3）的抛物线解析式为．15．（4分）如图，△ABC绕点B逆时针方向旋转到△EBD的位置，若∠A=15°，∠C=10°，E，B，C在同一直线上，则∠ABC= ，旋转角度是．16．（4分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b=0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0．其中结论正确的是．（填正确结论的序号）三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．（6分）解方程：x2+1=3x．18．（6分）如图，△ABC绕点C旋转后，顶点A旋转到了点A′，用尺规画出旋转后的三角形并指出一个旋转角．19．（6分）小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x（单位：cm）的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积S（单位：cm2）随x（单位：cm）的变化而变化．（1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）在（1）的条件下，化简：．21．（7分）已知二次函数y=﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）设抛物线的顶点为C，试求△CAO的面积．22．（7分）如图，四边形ABCD是正方形，△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，若AF=4．AB=7．（1）旋转中心为；旋转角度为；（2）求DE的长度；（3）指出BE与DF的关系如何？并说明理由．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．（9分）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了2xx米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？24．（9分）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）试判断△AEF的形状，并说明理由；（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心点，按顺时针方向旋转度得到；（3）若BC=8，则四边形AECF的面积为．（直接写结果）25．（9分）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A 点坐标是（2，0），B点坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标；（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得△CBD的周长最小？若C点存在，求出C 点的坐标；若C点不存在，请说明理由．xx学年广东省潮州市潮安县金石中学等五校联考九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列每小题中有四个备选答案，其中只有一个是符合题意的，把正确答案前字母序号填在下面表格相应的题号下．1．一元二次方程x（x﹣2）=2﹣x的根是（）A．﹣1 B．2 C．1和2 D．﹣1和2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先移项得到x（x﹣2）+（x﹣2）=0，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可．【解答】解：x（x﹣2）+（x﹣2）=0，∴（x﹣2）（x+1）=0，∴x﹣2=0或x+1=0，∴x1=2，x2=﹣1．故选D．【点评】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程．2．下列图形中，中心对称图形有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义和各图的特点即可求解．【解答】解：第四个图只是轴对称图形，第1、第2和第3个是中心对称图形．中心对称图形有3个．故选：B．【点评】本题考查中心对称图形的概念：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．3．关于x的方程x2+2kx﹣1=0的根的情况描述正确的是（）A．k为任何实数，方程都没有实数根B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D．k取值不同实数，方程实数根的情况有三种可能【考点】根的判别式．【分析】先计算判别式的值得到△=4k2+4，根据非负数的性质得△＞0，然后根据判别式的意义进行判断．【解答】解：△=4k2﹣4×（﹣1）=4k2+4，∵4k2≥0，∴4k2+4＞0∴方程有两个不相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．4．如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC交于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′，若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（）A．130°B．150°C．160°D．170°【考点】旋转的性质；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形对角相等得∠ABC=60°，由平行同旁内角互补得∠BA′D=130°，由旋转得∠BA′E′=30°，两角相加可得结论．【解答】解：在▱ABCD中，∵AD∥BC，∴∠BA′D=180°﹣∠ADA′=180°﹣50°=130°，∵∠ADC=60°，∴∠ABC=∠ADC=60°，在Rt△AEB中，∠BAE=90°﹣60°=30°，由旋转得：∠BA′E′=∠BAE=30°，∴∠DA′E′=130°+30°=160°；故选C．【点评】本题考查了旋转和平行四边形的性质，难度不大，所求的角不能直接求出时，可将此角分成两个角来求；利用平行四边形对边平行和对角相等解决问题；同时，还运用了旋转的性质：旋转前后的两个三角形全等，则对应角相等得出角的大小关系．5．2011年向阳村农民人均收入为7200元，到xx年增长至8712元．这两年中，该村农民人均收入平均每年的增长率为（）A．10% B．15% C．20% D．25%【考点】一元二次方程的应用．【分析】设该村人均收入的年平均增长率为x，2011年的人均收入×（1+平均增长率）2=xx 年人均收入，把相关数值代入求得年平均增长率．【解答】解：设该村人均收入的年平均增长率为x，由题意得：7200（1+x）2=8712，解得：x1=﹣2.1（不合题意舍去），x2=0.1=10%．答：该村人均收入的年平均增长率为10%．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程的运用，应明确增长的基数，增长的次数，根据公式增长后的人均收入=增长前的人均收入×（1+增长率）．6．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点【考点】二次函数的性质．【分析】根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．【解答】解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y=a（x﹣）2+，的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣b2a，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下．7．从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为（）A．20° B．26° C．30° D．36°【考点】旋转的性质．【分析】先求的分针旋转的速度为=6（度/分钟），继而可得答案．【解答】解：∵分针旋转的速度为=6（度/分钟），∴从5点15分到5点20分，分针旋转的度数为6×5=30（度），故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A′B′C的位置，其中A′、B′分别是A、B的对应点，且点B在斜边A′B′上，直角边CA′交AB于D，则旋转角等于（）A．70° B．80° C．60° D．50°【考点】旋转的性质．【分析】先由∠ACB=90°、∠A=40°得∠ABC=50°，再由旋转的性质得∠B′=∠ABC=50°，CB=CB′，继而可得答案．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=50°，又△ABC≌△AB′C′，∴∠B′=∠ABC=50°，CB=CB′，∴∠BCB′=80°，故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．9．若二次函数y=x2﹣mx+1的图象的顶点在x轴上，则m的值是（）A．2 B．﹣2 C．0 D．±2【考点】二次函数的性质．【分析】由二次函数y=x2﹣mx+1的图象的顶点在轴上，可得x2﹣mx+1是一个完全平方式，据此求解即可．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣mx+1的图象的顶点在x轴上，∴二次函数的解析式为：y=（x±1）2，∴m=±2．故选：D．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．10．二次函数y=3x2+1和y=3（x﹣1）2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点（0，0）；③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们的开口的大小是一样的．其中正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数的性质．【分析】根据a的值可以判定开口方向和开口大小，利用顶点式直接找出对称轴和顶点坐标，利用对称轴和开口方向确定y随着x的增大而增大对应x的取值范围．【解答】解：①因为a=3＞0，它们的图象都是开口向上，此选项正确；②y=3x2+1对称轴是y轴，顶点坐标是（0，1），y=3（x﹣1）2的对称轴是x=1，顶点坐标是（1，0），此选项错误；③二次函数y=3x2+1当x＞0时，y随着x的增大而增大；y=3（x﹣1）2当x10时，y随着x 的增大而增大；④因为a=3，所以它们的开口的大小是一样的，此选项正确．综上所知，正确的有①④两个．故选：B．【点评】此题考查了二次函数的性质，重点是注意函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及函数与坐标轴交点的问题．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的一个根是﹣1，则m= 1 ．【考点】一元二次方程的解．【分析】设一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的另一个根a，利用根与系数的关系先求出a，再得利用根与系数的关系先求出m即可．【解答】解：∵设一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的另一个根a，∴a×（﹣1）=﹣，解得a=，∴+（﹣1）=，解得m=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是灵活运用根与系数的关系．12．已知关于x的方程ax2+bx+c=0有两个根1和﹣1，那么a+b+c= 0 ，a﹣b+c= 0 ．【考点】一元二次方程的解．【分析】根据方程的解得定义将x=1和x=﹣1代入方程可得答案．【解答】解：根据题意将x=1代入方程ax2+bx+c=0，得：a+b+c=0，将x=﹣1代入方程ax2+bx+c=0得：a﹣b+c=0，故答案为：0，0．【点评】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．13．若y=（m﹣2）x是关于x的二次函数，则常数m的值为﹣1 ．【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义进行解答即可．【解答】解：∵y=（m﹣2）x是关于x的二次函数，∴m2﹣m=2，且m﹣2≠0，∴m=2或﹣1，且m≠2，故答案为﹣1．【点评】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．14．对称轴为x=﹣2，顶点在x轴上，并与y轴交于点（0，3）的抛物线解析式为y= ．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】据题意设抛物线解析式为y=a（x+2）2，把（0，3）代入可得a的值，即可求出二次函数的解析式．【解答】解：设抛物线解析式为y=a（x+2）2，把（0，3）代入可得4a=3，解得a=，所以抛物线解析式为y=，故答案为：y=．【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是正确的设出抛物线解析式．15．如图，△ABC绕点B逆时针方向旋转到△EBD的位置，若∠A=15°，∠C=10°，E，B，C 在同一直线上，则∠ABC= 155°，旋转角度是25°．【考点】旋转的性质．【分析】在△ABC中，已知∠A=15°、∠C=10°，根据内角和定理可求∠ABC；点B为旋转中心，E的对应点为A，故旋转角为∠ABE，由互补关系可求∠ABE．【解答】解：在△ABC中，已知∠A=15°，∠C=10°，∴∠ABC=180°﹣∠A﹣∠C=155°；又∵点B为旋转中心，E的对应点为A，∴旋转角为∠ABE=180°﹣∠ABC=25°．故答案为：155°，25°．【点评】本题考查了三角形内角和定理的运用和旋转的基本概念和性质，需要熟练掌握．16．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①b2＞4ac；③2a﹣b=0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0．其中结论正确的是①②⑤．（填正确结论的序号）【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故①正确；②抛物线开口向上，得：a＞0；抛物线的对称轴为x=﹣=1，b=﹣2a，故b＜0；抛物线交y轴于负半轴，得：c＜0；所以abc＞0；故②正确；③∵抛物线的对称轴为x=﹣=1，b=﹣2a，∴2a+b=0，故2a﹣b=0错误；④根据②可将抛物线的解析式化为：y=ax2﹣2ax+c（a≠0）；由函数的图象知：当x=﹣2时，y＞0；即4a﹣（﹣4a）+c=8a+c＞0，故④错误；⑤根据抛物线的对称轴方程可知：（﹣1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；当x=﹣1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故⑤正确；所以这结论正确的有①②⑤．故答案为：①②⑤．【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．解方程：x2+1=3x．【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】先将原方程转化为一般式方程，然后根据求根公式x=来解方程即可．【解答】解：由原方程，得x2﹣3x+1=0．∴x==，∴x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．在利用求根公式x=时，要弄清楚公式中的a、b、c所表示的意义．18．如图，△ABC绕点C旋转后，顶点A旋转到了点A′，用尺规画出旋转后的三角形并指出一个旋转角．【考点】作图-旋转变换．【分析】利用旋转的性质，结合旋转角定义得出答案．【解答】解：如图所示：△A′B′C即为所求，旋转角为∠ACA′（或∠BC B′）．【点评】此题主要考查了旋转变换作图，得出对应点位置是解题关键．19．小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x（单位：cm）的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积S（单位：cm2）随x（单位：cm）的变化而变化．（1）请直接写出S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）S=x×这边上的高，把相关数值代入化简即可；（2）结合（1）得到的关系式，利用公式法求得二次函数的最值即可．【解答】解：（1）S=﹣x2+20x；（2）∵﹣＜0，∴S有最大值，∴当x=﹣=﹣=20时，S有最大值为==200cm2．∴当x为20cm时，三角形最大面积是200cm2．【点评】考查二次函数的应用；掌握二次函数的顶点为（﹣，），是解决本题的关键．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）在（1）的条件下，化简：．【考点】根的判别式；二次根式的性质与化简．【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4m＞0，然后解不等式即可得到m的取值范围；（2）根据二次根式的性质得到原式=|m﹣3|+|4﹣m|，再根据（1）中m的范围去绝对值，然后合并同类项即可．【解答】解：（1）根据题意得△=（﹣2）2﹣4m＞0，解得m＜3；（2）原式=|m﹣3|+|4﹣m|=﹣（m﹣3）+4﹣m=7﹣2m．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了二次根式的性质与化简．21．已知二次函数y=﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．（1）求此抛物线的解析式；（2）求此抛物线的对称轴和顶点坐标；（3）设抛物线的顶点为C，试求△CAO的面积．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）利用待定系数法把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y=﹣2x2+bx+c中，可以解得b，c的值，从而求得函数关系式即可；（2）利用配方法求出图象的对称轴和顶点坐标；（3）由（2）可得顶点C的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△CAO的面积．【解答】解：（1）把A（0，4）和B（1，﹣2）代入y=﹣2x2+bx+c，得：，解得：，所以此抛物线的解析式为y=﹣2x2﹣4x+4；（2）∵y=﹣2x2﹣4x+4=﹣2（x2+2x）+4=﹣2[（x+1）2﹣1]+4=﹣2（x+1）2+6，∴此抛物线的对称轴为直线x=﹣1，顶点坐标为（﹣1，6）；（3）由（2）知：顶点C（﹣1，6），∵点A（0，4），∴OA=4，∴S△CAO=OA•|x c|=×4×1=2，即△CAO的面积为2．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质以及三角形的面积，难度适中．正确求出函数的解析式是解题的关键．22．如图，四边形ABCD是正方形，△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，若AF=4．AB=7．（1）旋转中心为点A ；旋转角度为90°；（2）求DE的长度；（3）指出BE与DF的关系如何？并说明理由．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】（1）根据旋转的性质，点A为旋转中心，对应边AB、AD的夹角为旋转角；（2）根据旋转的性质可得AE=AF，AD=AB，然后根据DE=AD﹣AE计算即可得解；（3）根据旋转可得△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ADF，然后求出∠ABE+∠F=90°，判断出BE⊥DF．【解答】解：（1）旋转中心为点A，旋转角为∠BAD=90°；（2）∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，∴AE=AF=4，AD=AB=7，∴DE=AD﹣AE=7﹣4=3；（3）BE、DF的关系为：BE=DF，BE⊥DF．理由如下：∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，∴△ABE≌△ADF，∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，∵∠ADF+∠F=180°﹣90°=90°，∴∠ABE+∠F=90°，∴BE⊥DF，∴BE、DF的关系为：BE=DF，BE⊥DF．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，是基础题，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了2xx米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）利用原工作时间﹣现工作时间=4这一等量关系列出分式方程求解即可；（2）根据矩形的面积和为56平方米列出一元二次方程求解即可．【解答】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：﹣=4解得：x=xx，经检验，x=xx是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完成xx平方米；（2）设人行道的宽度为a米，根据题意得，（20﹣3a）（8﹣2a）=56解得：a=2或a=（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．【点评】本题考查了分式方程及一元二次方程的应用，解题的关键是能够找到等量关系并列出方程，解分式方程时一定要检验．24．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．（1）试判断△AEF的形状，并说明理由；（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转90 度得到；（3）若BC=8，则四边形AECF的面积为64 ．（直接写结果）【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】（1）根据正方形性质得出AB=AD，∠DAB=∠ABF=∠D=90°，证△ADE≌△ABF，推出AE=AF，∠DAE=∠FAB即可．（2）根据全等三角形性质和旋转的性质得出即可．（3）求出四边形AECF的面积等于正方形ABCD面积，求出正方形的面积即可．【解答】解：（1）△AEF是等腰直角三角形，理由是：∵四边形ABCD是正方形，F是BC延长线上一点，∴AB=AD，∠DAB=∠ABF=∠D=90°，在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（SAS）∴AE=AF，∠DAE=∠FAB，∵∠DAB=∠DAE+∠BAE=90°，∴∠FAE=∠DAB=90°，即△AEF是等腰直角三角形．（2）△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90°得到的，故答案为：A，90．（3）∵△ADE≌△ABF，∴S ADE=S△ABF，∴四边形AECF的面积S=S四边形ABCE+S△ABF=S四边形ABCE+S△ADE=S正方形ABCD=8×8=64，故答案为：64．【点评】本题考查了旋转性质，全等三角形的性质和判定，正方形性质的应用，主要考查学生的推理能力．25．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标；（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得△CBD的周长最小？若C点存在，求出C 点的坐标；若C点不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；线段的性质：两点之间线段最短．【分析】（1）只需运用待定系数法就可求出二次函数的解析式；（2）只需运用配方法就可求出抛物线的顶点坐标，只需令y=0就可求出点D的坐标；（3）连接CA，由于BD是定值，使得△CBD的周长最小，只需CD+CB最小，根据抛物线是轴对称图形可得CA=CD，只需CA+CB最小，根据“两点之间，线段最短”可得：当点A、C、B 三点共线时，CA+CB最小，只需用待定系数法求出直线AB的解析式，就可得到点C的坐标．【解答】解：（1）把A（2，0），B（8，6）代入y=x2+bx+c，得解得：，∴二次函数的解析式为y=x2﹣4x+6；（2）由y=x2﹣4x+6=（x﹣4）2﹣2，得二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣2）．令y=0，得x2﹣4x+6=0，解得：x1=2，x2=6，∴D点的坐标为（6，0）；（3）二次函数的对称轴上存在一点C，使得△CBD的周长最小．连接CA，如图，∵点C在二次函数的对称轴x=4上，∴x C=4，CA=CD，∴△CBD的周长=CD+CB+BD=CA+CB+BD，根据“两点之间，线段最短”，可得当点A、C、B三点共线时，CA+CB最小，此时，由于BD是定值，因此△CBD的周长最小．设直线AB的解析式为y=mx+n，把A（2，0）、B（8，6）代入y=mx+n，得，解得：，∴直线AB的解析式为y=x﹣2．当x=4时，y=4﹣2=2，∴当二次函数的对称轴上点C的坐标为（4，2）时，△CBD的周长最小．【点评】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线及直线的解析式、抛物线是轴对称图形、抛物线上点的坐标特征、两点之间线段最短、解一元二次方程等知识，在解决问题的过程中，用到了配方法、待定系数法等重要的数学方法，而运用“两点之间线段最短”则是解决第3小题的关键．。
2019-2020学年度九年级数学上期中考试试卷
2019-2020学年度九年级数学上期中考试试卷一 选择题（本大题有16个小题，共42分,1～10小题各3分，11～16小题各2分）1.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )2.二次函数y=(x-1)2+3的图象的顶点坐标是( ) A.(1,3) B.(1,-3) C.(-1,3) D.(-1,-3)3.用公式法解方程3x 2+5x+1=0，正确的是( ) A.x=6135±- B.x=3135±- C. x=6135± D. x=3135± 4.下列说法正确的是( )A.扔100次硬币，都是国徽面向上是不可能事件B.在扔图钉游戏中，扔10次，有6次都是钉尖朝下，所以钉尖朝下的可能性大C.小明一直是班级第一名，他能考上重点高中是必然事件D.投一枚质地均匀的正六面体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，投出的点数是10是确定性事件5.如图1，点A ，B ，C ，D ，O 都在方格纸上，若△COD 是由△AOB 绕点O 逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为( )A.30°B.45°C.90°D.135°6.若函数y=x 2+2x+m 的图象与x 轴没有交点，则m 的取值范围是( ) A.m>1 B.m<1 C.m≤1 D. m=17.下列说法正确的是( )A ．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴B ．平分弦的直径垂直于弦C ．长度相等的弧是等弧D ．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等8.如图2，已知△ABC 与△CDA 关于点O 对称，过O 任作直线EF 分别交AD ，BC 于点E ，F ，下列的结论：①点E 和点F ，点B 和点D 是关于中心O 的对称点；②直线BD 必经过点O ；③四边形DEOC 与四边形BFOA 的面积必相等；④△AOE 与△COF 成中心对称，其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.49.一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，若小明在盒子中随机摸取一颗幸运星，则摸到黄色幸运星的可能性约为( ) A. 3／4 B.1／2 C. 3／14 D. 2／710.菱形的边长是方程x 2-8x+15=0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为( )A.48B.24C.24或40D.48或8011.如图3，四边形ABCD 内接于⊙O ，F 是弧CD 上一点，且DF 弧=BC 弧，连接CF 并延长交AD 的延长线于点E ，连接AC ，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E 的度数为( ) A.45° B.50° C.55° D.60°12.如图4，在扇形AOB 中，∠AOB=110°，OA=6，将扇形AOB 沿过点B 的直线折叠，点O 恰好落在弧AB 上的点D 处，折痕交OA 于点C ，则弧AD 的长为( ) A.5π B.35π C. 65π D.10π 13.圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为( ) A.123 B.66 C.12 D.614.在元且庆祝活动中，参加活动的同学互贈贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学有( )A.6人B.7人C.8人D.9人15.如图5，小李与小陈做猜举游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为( ) A. 13／25 B. 12／25 C. 4／25 D. 1／216.如图6，抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)经过点(1,0)，对称轴是直线1，若M=a+b-c ，N=2a-b ，P=a+c ，则M ，N ，P中，值小于0的有( ) A.2个 B.1个 C.0个 D.3个二 填空题（17题3分,18～19题每空2分，共11分）17.在平面直角坐标系xOy 中，若点B(-1,2)与点A 关于原点O 中心对称，则点A 的坐标为 .18.在△ABC 中，内切圆O 和边BC ，CA ，AB 分别相切于点D ，E ，F.(1)如图7-1，若∠B=60°，∠C=70°，则∠EDF 的度数为 ；(2)如图7-2，若BC=3，CA=4，AB=5，则⊙O 的半径为 .19.对任意两个实数a 、b ，用max(a,b)表示其中较大的数，如max(2，-4)=2.(1)若(2x+1)·max(2，-4)=x 2+2，则x 的值为 ；(2)若x ·max(x ，-x)=2x+1，则x 的值为 .三解答题(共67分)20.(每小题4分，共计8分)用适当的方法解下列方程.(1)4x2+12x=-9 (2)x(x+4)=3x+1221.(9分)如图8，已知△ABC的顶点分别落在网格的格点上，点A'，C'分别是点A，C绕某点O旋转同样的角度后的对应点，(1)请在图中作出旋转中心O的位置；(2)点A'是点A绕点O顺时针旋转度形成的；(3)画出△ABC绕点O顺时针旋转同样的角度后的△A'B'C'.22.(9分)如图9，已知抛物线y=x2+ax+3经过点P(-2,3).(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)当该抛物线经过平移变成y=x2时，请给出平移方法；(3)已知点Q(m，n)在该抛物线上，若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围.23.(9分)在一个不透明的布袋里有3个标有1,2,3的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋中随机取出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的2个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点Q的坐标(x，y).(1)用画树状图法或列表法，写出点Q所有可能的坐标；(2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x，y满足对xy>4，则小明胜；若x，y满足xy<4，则小红胜，这个游戏公平吗?请说明理由.24.(10分)如图10，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，OF ⊥AB ，交AC 于点F ，点E 在AB 的延长线上，射线EM 经过点C ，且∠ACE+∠AFO=1800.(1)求证：EM 是⊙O 的切线；(2)若∠A=∠E ，BC=3，求阴影部分的面积(结果保留π和根号).25.(10分)为了响应国家提出由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为18元，投放市场进行了试销．经过调查得到每月销售量y （万个）与销售单价x （元/个）之间的部分数据如下：（1）试判断y 与x 之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）设每月的利润为w （万元），求w 与x 之间的函数关系式；（3）该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定(产品利润率不得高于50%，产品利润率=成本利润×100%)，请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可使每月获利最大?并求出最大利润.26.(12分)定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的奇妙四边形.(1)如图11-1，已知四边形ABCD 是⊙O 的奇妙四边形，若AC=6，BD=8，则S 四边形ABCD = ；(2)如图11-2，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线交于点E ，若∠AOD+∠BOC=1800.①求证：四边形ABCD 是⊙O 的奇妙四边形；②作OM ⊥BC 于点M ，请猜想AD 与OM 的数量关系，并推理说明.2019-2020学年度九年级数学上期中考试试卷答案 1.B 2.A 3.A 4.D 5.D 6.A 7.D 8.D 9.C 10.B 11.B 12.B 13.A 14.B 15.A 16.A 17.(1,-2) 18.650,1 19.0或4,1+2，-1. 20.（1）4x 2+12x=-9，4x 2+12x+9=0，x=812-=23-，x 1=x 2=23-； （2）x(x+4)=3x+12，x(x+4)-（3x+12）=0， x(x+4)-3（x+4）=0，（x-3）（x+4）=0，x 1=3，x 2=-4. 21.解：（1）如图；CC ′的垂直平分线和AA ′的垂直平分线的交点就是点O ； （2）90； （3）如图.22.解：（1）抛物线对应的函数解析式为y=x 2+2x+3；（2）先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度；（3）2≤n ＜11. 23.解：（1）画树状图为：所以点Q 所有坐标为（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，3）、（3，1）、（3，2）；（2）不公平，由树状图知，共有6种等可能结果，其中xy ＞4的有2种结果，xy ＜4的有4种结果，∴小明获胜的概率为＝，小红胜的概率为＝，∵≠，∴此游戏不公平．24.解：（1）连接OC ，∵OF ⊥AB ，∴∠AOF ＝90°，∴∠A+∠AFO+90°＝180°，∵∠ACE+∠AFO ＝180°，∴∠ACE ＝90°+∠A ，∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ，∴∠ACE ＝90°+∠ACO ＝∠ACO+∠OCE ，∴∠OCE ＝90°，∴OC ⊥CE ，∴EM 是⊙O 的切线；（2）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACO+∠BCO ＝∠BCE+∠BCO ＝90°，∴∠ACO ＝∠BCE ，∵∠A ＝∠E ，∴∠A ＝∠ACO ＝∠BCE ＝∠E ，∴∠ABC ＝∠BCO+∠E ＝2∠A ，∴∠A ＝30°，∴∠BOC ＝60°，∴△BOC 是等边三角形，∴OB ＝BC ＝，∴阴影部分的面积＝﹣××＝﹣．25.解：（1）设销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式为：y ＝kx+b ，把（20，60），（30，40）代入y ＝kx+b 得，解得：，∴每月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式为：y ＝﹣2x+100；（2）由题意得，w ＝y （x ﹣18）＝（﹣2x+100）（x ﹣18）＝﹣2x 2+136x ﹣1800；（3）∵销售利润率不能高于50%，则x ≤（1+50%）×18＝27，∵w ＝﹣2x 2+136x ﹣1800＝﹣2（x ﹣34）2+512，∴图象开口向下，对称轴左侧w 随x 的增大而增大，∴x ＝27时，w 最大为：414万元．当销售单价为27元时，公司每月获得的利润最大，最大利润为414万元．26.解：（1）如图，∵四边形ABCD 是⊙O 的奇妙四边形，∴AC ⊥BD ，垂足为E ，则S 四边形ABCD ＝S △ACD +S △ABC ＝AC •DE+AC •BE ＝AC •（DE+BE ）＝AC •BD ＝×6×8＝24．（2）①如图，∵∠AOD+∠BOC ＝180°，∠ACD ＝∠AOD ，∠BDC ＝∠BOC ，∴∠ACD+∠BDC ＝（∠AOD+∠BOC ）＝90°，∴∠DEC ＝90°，即AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是⊙O 的奇妙四边形；②OM ＝AD ．理由如下：如图，作ON ⊥AD 于N ，如图，作ON ⊥AD 于点N ，∴AN=DN.可得∠BOM=0.5∠BOC ，∠AON=0.5∠AOD.∵∠AOD+∠BOC=180°，∴∠BOM+∠AON=90°.∵∠BOM+∠OBM=90°，∴∠OBM=∠AON.可证△BOM ≌△OAN ，∴OM=AN ，OM=0.5AD。
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第1页 共14页 ◎ 第2页 共14页………○………__________班级：____………○………2019-2020 九年级数学期中考试试题卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）1. 若菱形 的对角线 、 的长分别是 、 ，则菱形 的面积是（ ） A. cm² B. cm² C. cm² D. cm²2. 方程 的解是（ ） A. B.C. 或D. 3. 抛硬币抛 次，其中正面朝上 次，反面朝上 次，则正面朝上的频率是（ ） A. B. C. D. 4. 能说明四边形是菱形条件是（ ）A.两组对边分别平行B.对角线互相平分且相等C.对角线互相平分且一组邻边相等D.对角线互相垂直5. 方程 经过配方化为 的形式，则正确的是（ ） A. B.C. D.6. 如图1，在 中，点 在边 上，过点 作 交 于点 ， 交 于 ，若 ，则 的值是1 2 3 4 5A.B.C.D.7. 下列说法正确的有（ ）个．①菱形的对角线相等；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有两个角是直角的四边形是矩形；④正方形既是菱形又是矩形；⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分． A. B. C. D.8. 若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 A. B. 且 C. D. 且9. 已知如图2四边形 为矩形，延长 到 ，使 ，连接 ， 为 的中点，连接 ， ， 交 于点 ，下列结论：； ； ；其中正确的个数是（ ） A. B. C. D.10. 如图3，在 中， ， ， ，点 在边 上，且 ，过点 作一条直线交边 于点 ，使 与 相似，则 的长是（ ） A. B. C. 或 D.以上都不对卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ）11. 矩形 的对角线 、 相交于点 ， ， ，那么 的长为________．12. 如图4，已知点 是 的边 （不含点 ， ）上的一点， 交 于点 ， 交 于点 、要使四边形 是矩形，则在 中要增加的一个条件是：________．13. 方程 的解为________．14. 如图5，正方形 的顶点 在正方形 的边 上，顶点 在 的延长线上，连接 、 ， 的平分线 过点 交 于 ，连接 交 于 ，则的值为________．15. 设 ， 是一元二次方程 的两个根，则 ________． 三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，每题 10 分 ，共计75分 ）16. 已知：如图，在 中， ， ，垂足为点 ， 是 外角 的平分线， ，垂足为点 ，连接 交 于点 ． 求证：四边形 为矩形；当 满足什么条件时，四边形 是一个正方形？并给出证明． 在 的条件下，若 ，求正方形 周长．17. 某花店将进货价为 元/盒的百合花，在市场参考价 元的范围内定价 元/盒销售，这样平均每天可售出 盒，经过市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每盒下调 元，则平均每天可多销售 盒，要使每天的利润达到 元，应将每盒百合花在售价上下调多少元？第3页 共14页 ◎ 第4页 共14页…………○……………………订………※※请※※不※※订※※线※※内※※答※※…………○……………………订………18. 四张扑克牌的牌面如图 ，将扑克牌洗匀后，如图 背面朝上放置在桌面上．小明进行摸牌游戏：（1）如果小明随机地从中抽出一张扑克牌，则牌面数字恰好为 的概率 ________；牌面数字恰好为 的概率 ________；（2）如果小明从中随机同时抽取两张扑克牌，请用树状图或表格的方法列出所有可能的结果并求出两张牌面数字之和为奇数时的概率．19. 如图所示，小明从路灯下向前走了 米，发现自己在地面上的影子长 是 米，如果小明的身高是 米，那么路灯离地面的高度 是多少米？20. 已知关于 的一元二次方程 的一根为 ，求另一根及 的值．21. 已知在 中， ＝ ， ＝ ， ＝ ．点 是线段 上的一个动点，过点 作 的垂线交线段 （如图 ）或线段 的延长线（如图 ）于点 ． （1）当点 在线段 上时，求证： ； （2）当 为等腰三角形时，求 的长．22. 如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点都在格点上，点 的坐标为 ，请解答下列问题：（1）画出 关于 轴对称的 ，并写出点 的坐标．（2）画出 绕原点 旋转 后得到的 ，并写出点 的坐标．23. 如图，四边形 中， 平分 ， ＝ ＝ ， 为 的中点， 与 交于点 ．（1）求证： ＝ ；（2）求证： ； （3）若 ＝ ， ＝ ，求的值．第5页 共14页 ◎ 第6页 共14页参考答案一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.【解答】解：∵ 菱形的对角线长 、 的长度分别为 cm 、 cm ． ∴ 菱形 的面积cm²． 故选B ． 2.【解答】解：移项得， ， 移项得， ， 解得： ． 故选： ． 3.【解答】解：∵ 某人抛硬币抛 次，其中正面朝上 次，反面朝上 次， ∴ 出现正面的频率为；故选： ． 4.【解答】解： 、两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 、对角线互相平分且相等的四边形是矩形；、对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形； 、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形． 则能说明四边形是菱形条件是 ． 故选 ． 5.【解答】解： ， 移项得 ，二次项系数为 得，， 方程两边同加上 得 ， 配方得， 故选 ．6.【解答】解：∵ ， ∴. ∵ ， ∴， ∴. 故选 7.【解答】解：①菱形的对角线不一定相等，故错误；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误； ③有三个角是直角的四边形是矩形，故错误； ④正方形既是菱形又是矩形，故正确；⑤矩形的对角线相等，但不一定互相垂直平分，故错误； 故选： ． 8.【解答】解：∵ 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴ 即解得 且 ． 故选 ． 9.【解答】解：如图 ，连接 ，设 与 的交点为点 ， ∵ 点 是 中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ，第7页 共14页 ◎ 第8页 共14页………○………线……在※※装※※………○………线……∵ 四边形 是矩形， ∴ ， ∴ ，∴ ，∵ 点 是 斜边上的中点， ∴ ，∴ ， ∴ ，在 和 中，，∴ ，∴ ， ∴ ， 所以①正确；过点 作 交 的延长线于点 ， 在 中， ， 在 中， ， ∵ ， ∴ ，∵，， ∴ ， 所以②错误；∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵ ，∴ ， 所以③正确； ∵ ，∴ ， ∴，∵ ， ∴ ， ∴ ，∵ 由③知，∴ ，∴（利用角平分线定理）， ∵ ， ， ∴， 所以④正确， 故选 ． 10.【解答】 解：∵ ，分为两种情况：① （即 ）， ∴ ， ∴，∴ ，∴ ， ② ， ∵ ，∴ ， ∴， ∴，第9页 共14页 ◎ 第10页 共14页…………线__…………线∴，不合题意，故选 ．二、 填空题 （本题共计 5 小题 ，每题 3 分 ，共计15分 ） 11.【解答】解：∵ 四边形 是矩形，∴ ， ， ， ∴ ， ∵ ，∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 12.【解答】解：∵ ， ， ∴ 四边形 是平行四边形；∴ 当 时，四边形 是矩形；（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 故在 中，应添加的条件为 ． 13.【解答】解： ， 解得： ， ． 故答案为： ， ． 14.【解答】解：取 中点 ，连接 ∵ 四边形 是正方形， ∴ ， ，同理可得 ， ， 在 和 中，，∴ ， ∴ ，∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，在 和 中，，∴ ， ∴ ，∵ ， ， ∴ ，，设 和 相交于点 ．设 ，则 ，设正方形 的边长是 ，则 ， ， ∵ ，∴ ， ∴，即，即 ，解得： ，或 （舍去）， 则 ， ∵ ，∴ ， ∴，∴，，∴，∴．第11页 共14页 ◎ 第12页 共14页……订…※线※※内※※……订…故答案为 ． 15.【解答】解：∵ ， 是一元二次方程 的两个根， ∴ ， ， ∴ ，∴ ， 故答案为： ．三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，每题 10 分 ，共计80分 ） 16.【解答】(1)证明：∵ ， ，垂足为点 ，∴．∵ 是 外角 的平分线， ∴． ∵ 与 是邻补角， ∴ ，∴．∵ ， ， ∴ ， ∴ 四边形 为矩形.且 时，四边形 是一个正方形， 证明：∵ 且 ， ， ∴， ， ∴ ， ∴ ．∵ 四边形 为矩形， ∴ 四边形 为正方形. 解：由勾股定理，得， ， 即 ， ，正方形 周长 ． 17.【解答】解：设应将售价下调 元，由题意得， 解得： ， ，当 时， ，不在 元 元的范围内，不合题意，舍去. 答：应将每盒百合花在售价上下调 元. 18.【解答】解：（1）如果小明随机地从中抽出一张扑克牌，则牌面数字恰好为 的概率；牌面数字恰好为 的概率，（2）画树状图如下：则两张牌面数字之和为奇数时的概率为． 19.【解答】解：由图知， 米， 米， 米， ∴ 米 ∵ ， ∴ ∴即∴米．20.【解答】解：把 代入方程有： ， 解得 ．设方程的另一个根是 ，则： ，第13页 共14页 ◎ 第14页 共14页解得 ．所以另一根为 ， 的值为 ． 21.【解答】证明：∵ ， ∴ ＝ ＝ ， 在 与 中，∵ ＝ ＝ ， ＝ ， ∴ ．在 中， ＝ ， ＝ ，由勾股定理得： ＝ ． ∵ 为钝角，∴ 当 为等腰三角形时，①当点 在线段 上时，如题图 所示． ∵ 为钝角，∴ 当 为等腰三角形时，只可能是 ＝ ， 由（1）可知， ， ∴，即，解得：， ∴ ＝ ＝； 当点 在线段 的延长线上时，如题图 所示．∵ 为钝角，∴ 当 为等腰三角形时，只可能是 ＝ ． ∵ ＝ ，∴ ＝ ，∵ ＝ ， ＝ ， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ，∴ ＝ ，点 为线段 中点， ∴ ＝ ＝ ＝ ．综上所述，当 为等腰三角形时， 的长为或 ． 22.【解答】 （1） 23.【解答】证明：∵ 平分 ， ∴ ＝ ，∵ ＝ ＝ ， ∴ ；∵ 为 中点， ＝ ∴＝ ， ∴ ＝ ， ∵ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴ ， ∵∴ ， ∴， ∵， ∴ ＝ ， ∵ ＝ ， ∴， ∴．。