圆锥曲线与方程质量检测
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程单元质量评估
"【全程温习方略】2021-2021学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程单元质量评估课时作业 新人教A 版选修2-1 "(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的) 1.(2021·长沙高二检测)抛物线x 2=4y 的核心坐标为( ) A.(0,-1)B.(0,1)C.(1,0)D.(-1,0)【解析】选B.由题意知p=2,且核心在y 轴正半轴上,选B.2.(2021·江西高考)过双曲线C:x 2a 2-y 2b 2=1的右极点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A.假设以C 的右核心为圆心、半径为4的圆通过A,O 两点(O 为坐标原点),那么双曲线C 的方程为 ( ) x 24y 212=1 x 27y 29=1 x 28y 28=1x 212y 24=1 【解题指南】设右核心为F,|OF|=|AF|=4.【解析】选A.设右核心为F.由题意得|OF|=|AF|=4,即a 2+b 2=16, 又A(a,b),F(4,0)可得(a-4)2+b 2=16, 故a=2,b 2=12,因此方程为x 24-y 212=1.3.假设抛物线的准线方程为x=-7,那么抛物线的标准方程为( ) =-28y =28x =-28x=28y【解析】选B.由准线方程为x=-7,因此可设抛物线方程为y 2=2px(p>0),由p 2=7,因此p=14,故方程为y 2=28x.【变式训练】抛物线y=2x 2的准线方程为( )=18=-18=12 =-12【解析】选B.由y=2x 2,得x 2=12y,因此p=14,p 2=18,故准线方程为y=-18.4.(2021·温州高二检测)“m>0”是“方程x 23+y 2m=1表示椭圆”的( )A.充分没必要要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.x 23+y 2m=1表示椭圆的充要条件是m>0且m ≠3.应选B.5.假设椭圆x 216+y 2b 2=1过点(-2,√3),那么其焦距为( )√5B.2√3√5【解析】选 C.由椭圆过点(-2,√3),因此(−2)216+(√3)2b2=1,解得b 2=4,因此c 2=a 2-b 2=12,因此c=2√3,2c=4√3.6.设F 1,F 2是椭圆E:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右核心,P 为直线x=3a2上一点,△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形,那么E 的离心率为( ) A.12B.23C.34D.45【解析】选C.设直线x=3a 2与x 轴交于点M,那么∠PF 2M=60°,在Rt △PF 2M 中,PF 2=F 1F 2=2c,F 2M=3a 2-c,故cos60°=F 2M PF 2=32a −c 2c=12,解得c a =34,故离心率e=34.7.(2021·邯郸高二检测)设双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2√3,那么双曲线的渐近线方程为( )=±√22x=±√2x1=±2x =±2x【解析】选A.由{2b =2,2c =2√3,得{b =1,c =√3,因此a=√c 2−b 2=√2,因此双曲线的方程为x 22-y 2=1,因此渐近线方程为y=±√22x.8.(2021·唐山高二检测)已知双曲线x 2a2-y 2b2=1(a>0,b>0)的左、右核心别离为F 1,F 2,以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),那么此双曲线的方程为( )x 29y 216=1x 23y 24=1x 216y 29=1x 24y 23=1【解析】选A.以|F 1F 2|为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2,点(3,4)在圆上,可得c 2=25,又双曲线的渐近线方程为y=±b ax,又过点(3,4),因此有b a =43,结合a 2+b 2=c 2=25,得a 2=9,b 2=16,因此双曲线的方程为x 29-y 216=1.9.(2021·重庆高考)设双曲线C 的中心为点O,假设有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2,使|A 1B 1|=|A 2B 2|,其中A 1,B 1和A 2,B 2别离是这对直线与双曲线C 的交点,那么该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.(2√33,2]B.[2√33,2) C.(2√33,+∞)D.[2√33,+∞)【解题指南】依照双曲线的对称性找到渐近线与直线A 1B 1和A 2B 2的斜率之间的关系即可.【解析】选A.由题意知,直线A 1B 1和A 2B 2关于x 轴对称,又所成的角为60°,因此直线方程为y=±√33x 或y=±√3x.又因为有且只有一对相交于点O 、所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2,使|A 1B 1|=|A 2B 2|,因此渐近线斜率知足√33<b a≤√3,解得2√33<e ≤2.应选A.10.(2021·北京高二检测)设a>b>0,k>0且k ≠1,那么椭圆C 1:x 2a 2+y 2b2=1和椭圆C 2:x 2a2+y 2b2=k 具有相同的( ) A.极点 B.焦点 C.离心率D.长轴和短轴【解析】选C.椭圆C 2:x 2a 2+y 2b2=k,即x 2ka2+y 2kb2=1,离心率e 22=ka 2−kb 2ka 2=a 2−b 2a 2=e 12. 11.(2021·江西高考)已知点A(2,0),抛物线C:x 2=4y 的核心为F,直线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,那么|FM|∶|MN|=( ) ∶√5∶2∶√5∶3【解题指南】由抛物线的概念把|FM|转化为点M 到准线的距离,再结合直线的斜率,借助直角三角形进行求解.【解析】选C.设直线FA 的倾斜角为θ,因为F(0,1),A(2,0),因此直线FA 的斜率为-12,即tan θ=-12,过点M 作准线的垂线交准线于点Q,由抛物线概念得|FM|=|MQ|,在△MQN 中|MQ ||QN |=12,可得|MQ ||MN |=√5,即|FM|∶|MN|=1∶√5.12.(2021·扬州高二检测)假设椭圆C:mx 2+ny 2=1(m>0,n>0,m ≠n)与直线l :x+y-1=0交于A,B 两点,过原点与线段AB 中点的直线的斜率为√22,那么m n=( )B.12C.√2D.√22【解析】选D.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 的中点M(x 0,y 0),{mx 2+ny 2=1,x +y −1=0⇒(m+n)x 2-2nx+n-1=0, x 1+x 2=2nm +n,x 0=x 1+x 22=nm +n,y 0=1-x 0=mm +n.由k OM =√22,得y 0x 0=√22,又y 0x 0=m n,因此m n=√22.二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13.(2021·山东高考)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b >0)的焦距为2c,右极点为A,抛物线x 2=2py (p>0)的核心为F,假设双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA |=c,那么双曲线的渐近线方程为 .【解题指南】此题考查了双曲线知识,利用双曲线与抛物线准线的交点为冲破口求出a,b 之间的关系,进而求得双曲线的渐近线方程. 【解析】由题意知p2=√c 2−a 2=b,抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为(c ,−p 2),即(c ,−b ),代入双曲线方程为c 2a 2-b 2b 2=1,得c 2a 2=2,因此b a =√c 2a 2−1=1,因此渐近线方程为y=±x.答案:y=±x14.(2021·兰州高二检测)已知点P(a,0),假设抛物线y 2=4x 上任一点Q 都知足|PQ|≥|a|,那么a 的取值范围是 .【解析】关于抛物线y 2=4x 上任一点Q 都知足|PQ|≥|a|,假设a ≤0,显然适合;假设a>0,点P(a,0)都知足|PQ|≥|a|,确实是a 2≤(a −y 24)2+y 2,解得0<a ≤2.综上知:实数a 的取值范围是a ≤2.答案:a ≤215.假设椭圆x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的两核心关于直线y=x 的对称点均在椭圆内部,那么椭圆的离心率e 的取值范围为 .c2 b2<1,得c2a2−c2<1,【解析】由已知得两核心为(±c,0),其关于直线y=x的对称点为(0,±c)均在椭圆内部,那么e 21−e2<1,解得0<e<√22,因此e ∈(0,√22).答案:(0,√22)16.(2021·青岛高二检测)已知椭圆x 24+y 22=1,过点P(1,1)作直线l ,与椭圆交于A,B 两点,且点P 是线段AB 的中点,那么直线l 的斜率为 .【解析】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),那么{x 124+y 122=1,①x 224+y 222=1,②①-②,得(x 1+x 2)(x 1−x 2)4+(y 1+y 2)(y 1−y 2)2=0,又点P(1,1)是AB 的中点, 因此x 1+x 2=2,y 1+y 2=2,因此2(x 1−x 2)4+2(y 1−y 2)2=0,从而x 1−x 22+y 1-y 2=0,又x 1≠x 2,因此直线l 的斜率k=y 1−y 2x 1−x 2=-12.答案:-12三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明进程或演算步骤)17.(10分)设抛物线y 2=2px(p>0),Rt △AOB 内接于抛物线,O 为坐标原点,AO ⊥BO,AO 所在的直线方程为y=2x,|AB|=5√13,求抛物线方程.【解题指南】依照AO ⊥BO,直线AO 的斜率为2,可知直线BO 的斜率为-12,进而得出直线BO 的方程.把这两条直线方程代入抛物线方程,别离求出A,B 的坐标.依照两点间的距离为5√13求得p. 【解析】因为AO ⊥BO,直线AO 的斜率为2, 因此直线BO 的斜率为-12,即方程为y=-12x,把直线y=2x 代入抛物线方程解得A 坐标为(p 2,p ),把直线y=-12x 代入抛物线方程解得B 坐标为(8p,-4p).因为|AB|=5√13, 因此(p 2)2+p 2+64p 2+16p 2=25×13,因此p 2=4,因为p>0,因此p=2.故抛物线方程为y 2=4x.18.(12分)(2021·郑州高二检测)已知通过点A(-4,0)的动直线l 与抛物线G:x 2=2py(p>0)相交于B,C,当直线l 的斜率是12时,AC →=14AB →.(1)求抛物线G 的方程.(2)设线段BC 的垂直平分线在y 轴上的截距为b,求b 的取值范围.【解析】(1)设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),由已知当k l =12时,l 方程为y=12(x+4),即x=2y-4.由{x 2=2py ,x =2y −4,得2y 2-(8+p)y+8=0,因此{y 1y 2=4,y 1+y 2=8+p 2,又因为AC →=14AB →,因此y 2=14y 1或y 1=4y 2. 由p>0得:y 1=4,y 2=1,p=2,即抛物线方程为x 2=4y. (2)设l :y=k(x+4),BC 中点坐标为(x 0,y 0),由{x 2=4y ,y =k (x +4)得x 2-4kx-16k=0.①因此x 0=x 1+x 22=2k,y 0=k(x 0+4)=2k 2+4k.因此BC 的中垂线方程为y-2k 2-4k=-1k(x-2k),因此BC 的中垂线在y 轴上的截距为b=2k 2+4k+2=2(k+1)2, 关于方程①由Δ=16k 2+64k>0得k>0或k<-4. 因此b ∈(2,+∞).【变式训练】(2021·潍坊高二检测)过动点M(a,0)且斜率为1的直线l 与抛物线y 2=2px(p>0)交于不同的两点A,B,试确信实数a 的取值范围,使|AB|≤2p. 【解析】由题意知,直线l 的方程为y=x-a, 将y=x-a 代入y 2=2px, 得x 2-2(a+p)x+a 2=0.设直线l 与抛物线的两个交点的坐标为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{4(a +p )2−4a 2>0,x 1+x 2=2(a +p ),x 1x 2=a 2.又y 1=x 1-a,y 2=x 2-a,因此|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√2[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =√8p (p+2a ).因为0<|AB|≤2p,8p(p+2a)>0, 因此0<√8p (p +2a )≤2p.解得-p 2<a ≤-p4.故a ∈(−p 2,−p4]时,有|AB|≤2p.19.(12分)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右极点别离为A,B,点P 在椭圆上且异于A,B 两点,O 为坐标原点.(1)假设直线AP 与BP 的斜率之积为-12,求椭圆的离心率.(2)假设|AP|=|OA|,证明直线OP 的斜率k 知足|k|>√3. 【解析】(1)设点P 的坐标为(x 0,y 0).由题意得,x 02a 2+y 02b2=1.①由A(-a,0),B(a,0),得k AP =y 0x 0+a,k BP =y 0x 0−a.由k AP ·k BP =- 12,可得x 02=a 2-2y 02,代入①并整理得(a 2-2b 2)y 02=0.由于y 0≠0,故a 2=2b 2.于是e 2=a 2−b 2a 2=12,因此椭圆的离心率e=√22.(2)依题意,直线OP 的斜率存在,设直线OP 的方程为y=kx,点P 的坐标为(x 0,y 0).由条件得{y 0=kx 0,x 02a2+y 02b2=1,消去y 0并整理得x 02=a 2b 2k 2a 2+b2. ② 由|AP|=|OA|,A(-a,0)及y 0=kx 0,得(x 0+a)2+k 2x 02=a 2.整理得(1+k 2)x 02+2ax 0=0.而x 0≠0, 于是x 0=−2a1+k2,代入②,整理得(1+k 2)2=4k2(a b)2+4.由a>b>0,故(1+k 2)2>4k 2+4,即k 2+1>4,因此k 2>3.因此|k|>√3.【一题多解】依题意,直线OP 的方程为y=kx,可设点P 的坐标为(x 0,kx 0),由点P 在椭圆上,有x 02a 2+k 2x 02b 2=1.因为a>b>0,kx 0≠0,因此x 02a 2+k 2x 02a2<1,即(1+k 2)x 02<a 2.③由|AP|=|OA|,A(-a,0),得(x 0+a)2+k 2x 02=a 2,整理得(1+k 2)x 02+2ax 0=0,于是x 0=−2a 1+k 2.代入③,得(1+k 2)4a 2(1+k 2)2<a 2,解得k 2>3,因此|k|>√3.20.(12分)(2021·西安高二检测)已知双曲线C:x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为2√33,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为√32.(1)求双曲线C 的方程.(2)直线y=kx+m(km ≠0)与该双曲线C 交于不同的两点C,D,且C,D 两点都在以点A 为圆心的同一圆上,求m 的取值范围.【解析】(1)依题意{c a =2√33,√a 2+b 2=√32,a 2+b 2=c 2,解得a 2=3,b 2=1.因此双曲线C 的方程为x 23-y 2=1.(2){y =kx +m ,x 23−y 2=1,消去y 得,(1-3k 2)x 2-6kmx-3m 2-3=0,由已知:1-3k 2≠0且Δ=12(m 2+1-3k 2)>0⇒m 2+1>3k 2 ① 设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),CD 的中点P(x 0,y 0), 那么x 0=x 1+x 22=3km1−3k2,y 0=kx 0+m=m1−3k2,因为AP ⊥CD,因此k AP =m1−3k2+13km 1−3k2−0=m +1−3k 23km =-1k ,整理得3k 2=4m+1 ②, 联立①②得m 2-4m>0,因此m<0或m>4,又3k 2=4m+1>0, 因此m>-14,因此-14<m<0或m>4.【变式训练】已知椭圆C:x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率e=12,短轴长为2√3.(1)求椭圆C 的方程.(2)从定点M(0,2)任作直线l 与椭圆C 交于两个不同的点A,B,记线段AB 的中点为P ,试求点P 的轨迹方程.【解析】(1)由已知得{e =c a=12,2√3=2b ,a 2=b 2+c 2⇒a=2,b=√3,那么椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)设P(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 假设直线l 与x 轴垂直,那么P(0,0).假设直线l 与x 轴不垂直,设直线l 的方程为y=kx+2(k ≠0).由{x 24+y 23=1,y =kx +2⇒(3+4k 2)x 2+16kx+4=0 ①则{2x =x 1+x 2=−16k3+4k 2,y =kx +2,将其消去k, 得3x 24+(y-1)2=1,由①中Δ=(16k)2-16(3+4k 2)>0,解得k 2>14,那么x=−8k3+4k2=−84k +3k∈[−2√33,0)∪(0,2√33],y=−8k23+4k2+2=63+4k2∈(0,32),综上,所求点P 的轨迹方程为3x 24+(y-1)2=1(y ∈[0,32)).21.(12分)已知点F 1,F 2别离是椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右核心,A 是椭圆C 的上极点,B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点,∠F 1AF 2=60°. (1)求椭圆C 的离心率.(2)已知△AF 1B 的面积为40√3,求a,b 的值.【解析】(1)由题意知△AF 1F 2为正三角形,a=2c,e=c a =12.(2)直线AB 的方程为y=-√3(x-c),{x 2a 2+y 2b2=1,y =−√3(x −c )⇒(3a 2+b 2)x 2-6a 2cx+3a 2c 2-a 2b 2=0①由a=2c,得a 2=4c 2,b 2=a 2-c 2=3c 2. 代入①中得5x 2-8cx=0,x=0或x=8c 5,得A(0,√3c),B (8c 5,−3√35c ).|AB|=16c 5.由△AF 1B 的面积为40√3,得12|AB||AF 1|sin60°=40√3,12·16c 5·a ·√32=40√3,由a=2c,得a 2=4c 2,b 2=a 2-c 2=3c 2.解得c=5,a=10,b=5√3.22.(12分)(2021·北京高二检测)已知A,B 是椭圆x 24+y 23=1的左、右极点,椭圆上异于A,B 的两点C,D 和x轴上一点P ,知足AP →=13AD →+23AC →.(1)设△ADP ,△ACP ,△BCP ,△BDP 的面积别离为S 1,S 2,S 3,S 4,求证:S 1S 3=S 2S 4. (2)设P 点的横坐标为x 0,求x 0的取值范围. 【解题指南】(1)依照AP →=13AD →+23AC →,可得CP →=13CD →,从而C,P ,D 共线,可得出S 1S 2=|PD →||CP →|=S 4S 3.(2)由(1)P 为CD 与x 轴交点,可设出CD 的方程与椭圆联立,找出P 点横坐标所知足的式子,成立关于P 点横坐标的不等式求解. 【解析】(1)由AP →=13AD →+23AC →知,AP →=13AD →+(1−13)AC →,即AP →-AC →=13(AD →-AC →),因此CP →=13CD →,故C,D,P 三点共线,且C,D 在P 点的双侧,因此S 1S 2=|PD →||CP →|=S 4S 3,即S 1S 3=S 2S 4.(2)由(1)知,C,D,P 三点共线,且C,D 在P 点的双侧,且C,D 异于A,B 的两点,故-2<x 0<2,且直线CD 不平行于x 轴,可设直线CD 的方程为:x=my+x 0,由{x =my +x 0,x 24+y 23=1,得(3m 2+4)y 2+6mx 0y+3x 02-12=0, 当-2<x 0<2时,显然直线与椭圆有两个交点,设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),故y 1+y 2=-6mx 03m 2+4,y 1y 2=3x 02−123m 2+4,又CP →=13CD →,故y 2=-2y 1,联立三式,消去y 1,y 2得-72m 2x 02(3m 2+4)2=3x 02−123m 2+4,化简得(27x 02-12)m 2=4(4-x 02),因为-2<x 0<2,m 2>0,故27x 02-12>0,因此x 0>23或x 0<-23,综上知,x 0的取值范围是(−2,−23)∪(23,2).。
2021-2022年高中数学第二章圆锥曲线与方程质量评估检测新人教B版
2021-2022年高中数学第二章圆锥曲线与方程质量评估检测新人教B版7．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0， 则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 答案：B8．直线y ＝x ＋b 与抛物线x 2＝2y 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则b ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．1 D ．－1解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝2y ，消去y ，得x 2－2x －2b ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2，又OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即b 2－2b ＝0， 解得b ＝0(舍)或b ＝2. 答案：A9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，所以F (－6,0)是双曲线的左焦点，即a 2＋b 2＝36，又双曲线的一条渐近线方程是y ＝3x ，所以ba＝3，解得a 2＝9，b 2＝27，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1，故选B.则有x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式作差得x 21－x 22＝4(y 1－y 2)， 即得k ＝x 1＋x 24＝t2，则直线方程为y －2＝t2(x －t )，与x 2＝4y 联立得 x 2－2tx ＋2t 2－8＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2t 2－8， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24[4t 2－42t 2－8]＝8－t24＋t2≤6，即|PQ |的最大值为6.19．(本小题满分12分)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，＝123，求双曲线的标准方程．解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵e ＝ca＝2，∴c ＝2a .由双曲线的定义，得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝c ， 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得：|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|(1－cos60°)，即4c 2＝c 2＋|PF 1||PF 2|.又S △PF 1F 2＝123，∴12|PF 1||PF 2|sin60°＝123，即|PF 1||PF 2|＝48.由①②，得c 2＝16，c ＝4， 则a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝12， ∴所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1.20．(本小题满分12分)已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，又知此抛物线上一点A (4，m )到焦点的距离为6.(1)求此抛物线的方程；∴|CD |＝1＋－22|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092， 又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455， 故＝12|CD |·d ＝4910.22．(本小题满分12分)过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，椭圆与x轴交于两点A (a,0)，B (－a,0)，过点C 的直线l 与椭圆交于另一点D ，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q .(1)当直线l 过椭圆右焦点时，求线段CD 的长； (2)当点P 异于点B 时，求证：OP →·OQ →为定值． 解析：(1)由已知得b ＝1，c a ＝32，解得a ＝2，c ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.椭圆的右焦点为(3，0)， 此时直线l 的方程为y ＝－33x ＋1， 代入椭圆方程化简得7x 2－83x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝837， 代入直线l 的方程得y 1＝1，y 2＝－17，所以D 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫837，－17.故|CD |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫837－02＋⎝⎛⎭⎪⎫－17－12＝167.(2)证明：当直线l 与x 轴垂直时与题意不符． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0且k ≠12)，代入椭圆方程化简得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0，。
2018-2019学年高二数学选修2-1阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程
阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程 [考试时间：120分钟 试卷总分：160分]二题 号一151617181920总 分得 分一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)1．(江苏高考)双曲线－＝1的两条渐近线的方程为________________________．x 216y 292．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－＝1的渐近线的距离是________．y 233．方程＋＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是x 2(a －1)2y 2a 2_____________．4．(辽宁高考)已知F 为双曲线C ：－＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的x 29y 216长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．5．设点P 是双曲线－＝1(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝2a 2的一个交点，F 1，F 2分别是x 2a 2y 2b 2双曲线的左、右焦点，且PF 1＝3PF 2，则双曲线的离心率为________．6．已知动圆P 与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是____________________________．7．已知双曲C 1＝－＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦x 2a 2y 2b 2点到双曲线C 1的渐进线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________________________．8．过抛物线x 2＝8y 的焦点F 作直线交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝8，则P 1P 2的值为________．9．椭圆＋＝1的右焦点到直线y ＝x 的距离是________．x 24y 233310．已知椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两x 2a 2y 2b 2点，连接AF ，BF .若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝，则C 的离心率为________．4511．(新课标全国卷Ⅰ改编)已知椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F x 2a 2y 2b 2的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________________________．12．抛物线y 2＝12x 截直线y ＝2x ＋1所得弦长等于__________________________．13．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．14．给出如下四个命题：①方程x 2＋y 2－2x ＋1＝0表示的图形是圆；②椭圆＋＝1的离心率e ＝；③抛物线x ＝2y 2的准线的方程是x ＝－；④双曲线x 23y 225318－＝－1的渐近线方程是y ＝±x .y 249x 22557其中所有不正确命题的序号是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)求与椭圆＋＝1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，x 2144y 2169并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．16．(本小题满分14分)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝8，求直线l 的方程．17.(本小题满分14分) 如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：＋＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线x 2a 2y 2b 2AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为40，求a ，b 的值．318．(浙江高考)(本小题满分16分)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：＋＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的x 2a 2y 2b 2直径．l 1，l 2是过点P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭圆C 1于另一点D .(1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．9．(陕西高考)(本小题满分16分)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍．(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．20．(湖南高考)(本小题满分16分)过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明：· <2p 2；FM FN(2)若点M 到直线l 的距离的最小值为，求抛物线E 的方程．755答 案1．解析：令－＝0，解得y ＝±x .x 216y 2934答案：y ＝±x342．解析：因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，而双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，所以所3求距离为＝.|±3×1－0|1＋332答案：323．解析：由题意得Error!解之得a <，且a ≠0，12即a 的取值范围是(－∞，0)∪.(0，12)答案：(－∞，0)∪(0，12)4．解析：由题意因为PQ 过双曲线的右焦点(5,0)，所以P ，Q 都在双曲线的右支上，则有FP －PA ＝6，FQ －QA ＝6，两式相加，利用双曲线的定义得FP ＋FQ ＝28，所以△PQF 的周长为FP ＋FQ ＋PQ ＝44.答案：445．解析：由Error!得PF 1＝3a ，PF 2＝a ，设∠F 1OP ＝α，则∠POF 2＝180°－α，在△PF 1O 中，PF ＝OF ＋OP 2－2OF 1·OP ·cos α ①，2121在△OPF 2中，PF ＝OF ＋OP 2－2OF 2·OP ·cos(180°－α) ②，22由cos(180°－α)＝－cos α与OP ＝a ，2①＋②得c 2＝3a 2，∴e ＝＝＝.ca 3aa 3答案：36．解析：设P (x ，y )，动圆P 在直线x ＝1的左侧，其半径等于1－x ，则PC ＝1－x ＋1，即＝2－x .(x ＋2)2＋y 2∴y 2＝－8x .答案：y 2＝－8x7．解析：∵双曲线C 1：－＝1(a >0，b >0)的率心率为x 2a 2y 2b 22.∴＝＝2，∴b ＝a .∴双曲线的渐近线方程为 x ±y ＝0.∴抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)c a a 2＋b 2a33的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2.(0，p2)|3×0±p 2|2∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .答案：x 2＝16y8．解析：由题意知p ＝4，由抛物线的定义得P 1P 2＝P 1F ＋P 2F ＝＋＝(y 1＋y 2)＋p ＝8＋4＝12.(y 1＋p2)(y 2＋p2)答案：129．解析：∵椭圆＋＝1的右焦点为(1,0)，x 24y 23∴右焦点到直线x －3y ＝0的距离d ＝＝.333＋912答案：1210．解析：在△ABF 中，AF 2＝AB 2＋BF 2－2AB ·BF ·cos ∠ABF ＝102＋82－2×10×8×＝36，则AF ＝6.由45AB 2＝AF 2＋BF 2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝OF ＝＝5.设椭AB2圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以BF ＝AF 1＝8.由椭圆的性质可知AF ＋AF 1＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝＝.c a 57答案：5711．解析：因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝(x －3)，12代入椭圆方程＋＝1消去y ，得x 2－a 2x ＋a 2－a 2b 2＝0，x 2a 2y 2b 2(a 24＋b 2)3294所以AB 的中点的横坐标为＝1，即a 2＝2b 2，32a 22(a 24＋b 2)又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3.所以E 的方程为＋＝1.x 218y 29答案：＋＝1x 218y 2912．解析：令直线与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由Error!得4x 2－8x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝，∴AB ＝＝14(1＋22)(x 1－x 2)2＝.5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]15答案：1513．解析：如图，设椭圆的方程为＋＝1(a ＞b ＞0)，焦半径为x 2a 2y 2b 2c .由题意知∠F 1AF 2＝90°，∠AF 2F 1＝60°.∴AF 2＝c ，AF 1＝2c ·sin 60°＝c .3∴AF 1＋AF 2＝2a ＝(＋1)c .3∴e ＝＝＝－1.ca 23＋13答案：－1314．解析：①表示的图形是一个点(1,0)；②e ＝；33④渐近线的方程为y ＝±x .75答案：①②④15．解：椭圆＋＝1的焦点是(0，－5)，(0,5)，焦点在y 轴上，x 2144y 2169于是设双曲线方程是－＝1(a >0，b >0)，y 2a 2x 2b 2又双曲线过点(0,2)，∴c ＝5，a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝25－4＝21，∴双曲线的标准方程是－＝1，实轴长为4，y 24x 221焦距为10，离心率e ＝＝，c a 52渐近线方程是y ＝±x .2212116．解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，当直线l 斜率不存在时，|AB |＝4，不合题意．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知k ≠0，则x 1＋x 2＝.2k 2＋4k 2由抛物线定义知，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2，∴x 1＋x 2＋2＝8，即＋2＝8.2k 2＋4k 2解得k ＝±1.所以直线l 的方程为y ＝±(x －1)，即x －y －1＝0，x ＋y －1＝0.17．解：(1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝.12(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为y ＝－(x －c )．3代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B .(85c ，－335c)所以|AB |＝·|c －0|＝c .1＋385165由S △AF 1B ＝|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝a ·c ·＝a 2＝40，解得a ＝10，b ＝5.12121653223533法二：设AB ＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义BF 1＋BF 2＝2a 可知，BF 1＝3a －t .由余弦定理得(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝a .85由S △AF 1B ＝a ·a ·＝a 2＝40知，1285322353a ＝10，b ＝5.318．解：(1)由题意得Error!所以椭圆C 1的方程为＋y 2＝1.x 24(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)．由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ，则直线l 1的方程为y ＝kx －1.又圆C 2：x 2＋y 2＝4，故点O 到直线l 1的距离d ＝，1k 2＋1所以AB ＝2＝2 .4－d 24k 2＋3k 2＋1又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由Error!消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0，故x 0＝－，y 0＝－1.8k4＋k 284＋k 2所以PD ＝.8k 2＋14＋k 2设△ABD 的面积为S ，则S ＝AB ·PD ＝，1284k 2＋34＋k 2所以S ＝≤＝，324k 2＋3＋134k 2＋33224k 2＋3·134k 2＋3161313当且仅当k ＝±时取等号．102所以所求直线l 1的方程为y ＝±x －1.10219．解：(1)设M 到直线l 的距离为d ，根据题意d ＝2|MN |.由此得|4－x |＝2，(x －1)2＋y 2化简得＋＝1，x 24y 23所以，动点M 的轨迹方程为＋＝1.x 24y 23(2)法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋3代入＋＝1中，x 24y 23有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)＞0，故k 2>.32由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－，①24k3＋4k 2x 1x 2＝.②243＋4k 2又因为A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1，③将③代入①，②，得x 1＝－，x ＝，8k3＋4k 221123＋4k 2可得2＝，且k 2＞，(－8k3＋4k 2)123＋4k 232解得k ＝－或k ＝，3232所以直线m 的斜率为－或.3232法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵A 是PB 的中点，∴x 1＝，①x 22y 1＝.②3＋y 22又＋＝1，③x 214y 213＋＝1，④x 24y 23联立①，②，③，④解得Error!或Error!即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)，所以直线m 的斜率为－或.323220．解：(1)证明：由题意，抛物线E 的焦点为F，(0，p 2)直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋.p 2由Error!得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实数根．从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk ＋p .21所以点M 的坐标为，＝(pk 1，pk )．(pk 1，pk 21＋p 2)FM 21同理可得点N 的坐标为，＝(pk 2，pk )．(pk 2，pk 2＋p 2)FN 2于是·＝p 2(k 1k 2＋k k )．FM FN 212因为k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2，所以0<k 1k 2<2＝1.(k 1＋k 22)故·<p 2(1＋12)＝2p 2.FM FN (2)由抛物线的定义得FA ＝y 1＋，FB ＝y 2＋，p 2p 2所以AB ＝y 1＋y 2＋p ＝2pk ＋2p ，21从而圆M 的半径r 1＝pk ＋p .21故圆M 的方程为(x －pk 1)2＋2＝(pk ＋p )2，(y －pk 21－p 2)21化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k ＋1)y －p 2＝0.2134同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k ＋1)y －p 2＝0.234于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k －k )y ＝0.221又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0.因为p >0，所以点M 到直线l 的距离d ＝＝|2pk 21＋pk 1＋p |5p |2k 21＋k 1＋1|5＝.p [2(k 1＋14)2＋78]5故当k 1＝－时，d 取最小值.147p 85由题设，＝，解得p ＝8.7p 85755故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y .。
天水市第二中学2012-2013学年圆锥曲线与方程质量检测1
圆锥曲线与方程质量检测(考试时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 2．设P 是椭圆x 2169＋y 2144＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于( )A ．22B ．21C ．20D ．133．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0)4．若抛物线x 2＝2py 的焦点与椭圆x 23＋y 24＝1的下焦点重合，则p 的值为( )A ．4B ．2C ．－4D ．－25．若k ∈R ，则k >3是方程x 2k －3－y 2k ＋3＝1表示双曲线的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 7．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45 B.35 C ．－35D ．－458．F 1、F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.72 C.74D.7529．已知点M (－3,0)、N (3,0)、B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x >1)B ．x 2－y 28＝1(x <－1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1)10．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C ．2D ．3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．若双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的标准方程是________．12．若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．13.如图，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是________．14．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，求双曲线方程．16．(本小题满分12分)设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝32.已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程．17．(本小题满分12分)设λ＞0，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线y ＝x 2上运动，点Q 满足BQ→＝λQA →，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM →＝λMP →，求点P 的轨迹方程．18．(本小题满分14分)已知椭圆的长轴长为2a ，焦点是F 1(－3，0)、F 2(3，0)，点F 1到直线x ＝－a 23的距离为33，过点F 2且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，使得|F 2B |＝3|F 2A |.(1)求椭圆的方程； (2)求直线l 的方程．。
高二数学苏教版选修2-1阶段质量检测(二)圆锥曲线与方程Word版含解析
阶段质量检测(二)圆锥曲线与方程 ［考试时间：120分钟 试卷总分：160分］、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分•将答案填在题中的横线上 )2 21. _____________________________________________________________________ (江苏高考)双曲线 务■— y 9 = 1的两条渐近线的方程为 ______________________________________2x 2 — ― 1 的渐近线的距离是3x 轴上的椭圆，贝U a 的取值范围是 . 2 2X9 — ^6= 1的左焦点，P , Q 为C 上的点.若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ 上，则△ PQF 的周长为 _____________ .2 25. 设点P 是双曲线 拿一*= 1(a>0, b>0)与圆x 2 + y 2= 2a 2的一个交点，F 1, F 2分别是双 曲线的左、右焦点，且 PF 1 = 3PF 2，则双曲线的离心率为 _________ .6. _________________________________________ 已知动圆P 与定圆C : (x + 2)2+ y 2= 1相外切，又与定直线I : x = 1相切，那么动圆 的圆心P 的轨迹方程是 .2 27. 已知双曲C 1 = *—器=1(a>0, b>0)的离心率为2.若抛物线C 2： x 2= 2py(p>0)的焦点 到双曲线C 1的渐进线的距离为 2，则抛物线C 2的方程为 ______________________________ .&过抛物线x 2= 8y 的焦点F 作直线交抛物线于 卩畑，y”, P2g y 2)两点，若y 1 + ¥2 =8，贝U P 1P 2的值为 ________ .2 29. 椭圆；+二=1的右焦点到直线2 210. 已知椭圆C :拿+猪=1(a>b>0)的左焦点为F , C 与过原点的直线相交于 连接 AF , BF.若 AB = 10, BF = 8, cos / ABF = 4,贝U C 的离心率为52 211.(新课标全国卷I 改编)已知椭圆E ： *+ * = 1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的 直线交E 于A , B 两点.若AB 的中点坐标为(1 ,— 1),贝U E 的方程为2.抛物线y 2= 4x 的焦点到双曲线2 23. 方程a — 1 2+拿=1表示焦点在4. (辽宁高考)已知F 为双曲线C :A ,B 两点,12 .抛物线y2= 12x截直线y = 2x+ 1所得弦长等于______________________________132214 2 2x2 y2 2x 1 0x与1e x 2y21x -2y 2 x1384925 5y 尹.( 6)15 ( 14 ) 902 2丄丄1144 169(0,2)16 (14 )2C y2 4x F F l C A B AB| 8 l17.(14 )F1 F2C2a22b丿I1(a>b>0)A C B AF2cF1AF2 60 .(1) CAF1B 40.318( )(22x孑b^1(a>b>0)12PC1D(1)C1⑵ABD16 ) P(0 1)C i C2 x2 y2 411 C2 A Bl iC i9 ()(16 )M(x y)l x 42(1)M C⑵P(0,3)m C A B A PBN(1,0)20 ()(16) E x2 2py(p>0) F k2l1 l2k1 k2 2 h E A B l2E1.k1 C DAB CD M N(M N)1 T(1)k1>0 k2>0FM FN<2p7 j 5(2)M l52 21. 解析：令話—9=0，解得y=护答案：y=2. 解析：因为抛物线的焦点坐标为（1,0），而双曲线的渐近线方程为y= ±. 3x,所以所求距离为I ± % 1-0| =£3寸1 + 3 2答案：2（a — 1 2>a2,13. 解析：由题意得a丰1, 解之得a<-，且a z0,| 2a丰0,即a的取值范围是（一a, 0）U 1 i.答案：―汽0 U 0, 24. 解析：由题意因为PQ过双曲线的右焦点（5,0），所以P, Q都在双曲线的右支上，则有FP —PA= 6, FQ —QA = 6,两式相加，禾U用双曲线的定义得FP + FQ = 28,所以△ PQF 的周长为FP + FQ+ PQ = 44.答案：44PF1—PF2= 2a,5. 解析：由｛得PF1 = 3a, PF2= a,|PF 1= 3PF2设/ FQP = a 则/ POF2= 180°— a,在厶PFQ中，PF2= OF2+ OP2—2OF1 OP cos a ①，在厶OPF2中，PF2= OF2+ OP2—2OF2 OP cos（180 —a②，由cos（180 一a）=—cos a与OP= 2a,①+②得c2= 3a2,.'. e= ' 3a =、：3a a32P(x y) x PCa. y 28x. y 28. x 2 y 2)10 36 AF AB OF AB 11125.6. AB2 x.8x,3C 12 x -2 a1(a>0 b>0) 2. 0.C 2 x 22py(p>0)0p)16y12.2 x_ 42.16y.P 1P 2 P 1F P 2Fy 12)y 2 (y 13x ABF2 x2a2 y- 1 3y 0AF 2 AB 2 (1,0)BF 2 2ABAB 2 AF 2 BF 2ABFF 1 BFAB8.F(3,0) (1 1 2.BF c os AB AF 1) ABF 10282OFFF 1AF 114 2a?AB10ABAFBF 1 ；(xc 5a 7.3)Jb 29 2 4aa 2b 2 03 2 2a2 」1 a b 2)a 2 2b 22 2又乙b 2+ c 2,所以b = c =3.所以E 的方程为盒+y =1答案： 2 2X8 + i= 112.解析：令直线与抛物线交于点A (X 1, y i ), B(X 2, Y 2)1 ___得 4x — 8x + 1 = 0,…X 1 + X 2 = 2, X 1X 2= 4 …AB = \ 11 ■1 °\/5[(X 1+x 2 2— 4X1X 2] = ^15.答案：15/ AF 2F 1 = 60° ••• AF 2= C , AF 1 = 2c sin 60 = ^3C .•- AF 〔 + AF ?= 2a = (.j 3 + 1)C . •- e = C = 2— = — 1. a .3+ 1 ' 答案：3— 1④渐近线的方程为y = 答案：①②④2 215. 解：椭圆 也+嵩=1的焦点是(0，— 5), (0,5)，焦点在y 轴上,2 2于是设双曲线方程是 拿―j^= 1(a>0, b>0), 又双曲线过点(0,2), • C = 5, a = 2, •- b 2= C 2 — a 2= 25— 4 = 21,2 2•双曲线的标准方程是 丁 — 21= 1，实轴长为4, 焦距为10,离心率e =C = 5a 2渐近线方程是y =异Q J X .16. 解:抛物线y 2 = 4x 的焦点为F(1,0),当直线l 斜率不存在时，|AB|= 4,不合题意.设 直线 l 的方程为 y = k(x — 1)，代入 y 2= 4x ,整理得 k 2x 2 — (2k 2 + 4)x + k 2= 0.y = 2x + 1, y 2= 12x ,+ 22(X 1 - X2 (= C.13.解析：如图，设椭圆的方程为 2 2拿+寺=1(a > b > 0)，焦半径为由题意知/ F 1AF 2= 90°14.解析：①表示的图形是 个占 I(1,0):② e =于;设 A(x i , y”，B(x 2, y 2),由题意知 k z 0,2 ,,2k + 4k 2 .由抛物线定义知,|AB|= |AF|+ |BF|= x i + 1 + X 2 + 1 = X i + X 2 + 2,解得k =±1.所以直线l 的方程为y = ±x — 1), 即 x — y - 1 = 0, x + y - 1 = 0. 117. 解：(1)由题意可知，△ AF 1F 2为等边三角形，a = 2c ,所以e =?.2 2 2 2(2)法一：a = 4c , b = 3c , 直线AB 的方程为y =—3(x -c).代入椭圆方程3x 2 + 4y 2 = 12c 2，得B 8c 所以 |AB|= 1+ 3 |5c - 0|=衆.由 S A AF 1B = 2-|AF 1| |AB|sin / F 1AB = ~a •^rc •23= 253a 2= 40,3，解得 a = 10, b = 5 3. 2 2 52 5 法二：设 AB = t.因为 |AF 2|= a ,所以 |BF 2| = t — a. 由椭圆定义 BF 1+ BF 2 = 2a 可知，BF 1= 3a — t. 由余弦定理得(3a —1)2= a 2+12— 2atcos 60可得，由 S A AF 1B = 2a |a 子253a 2= 40 3知, 2 5 2 5 a = 10, b = 5 . 3. [b= 1,18.解：(1)由题意得 a = 2.2所以椭圆C 1的方程为7+y 2= 1.4 (2)设 A(X 1, y 1), B(X 2, y 2), D(X 0, y o ). 由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为 k ,则直线l 1的方程为y = kx — 1.又圆 C 2： x 2 + y 2= 4,1故点。
高中数学第二章圆锥曲线与方程质量评估检测新人教B版选修2-1(new)
第二章圆锥曲线与方程质量评估检测时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知抛物线的方程为y＝2ax2，且过点(1，4），则焦点坐标为（)A．错误!B．错误! C．（1,0） D．(0,1)解析:∵抛物线过点（1，4)，∴4＝2a，∴a＝2,∴抛物线方程为x2＝错误!y，焦点坐标为错误!。
答案：A2．已知0＜θ＜错误!，则双曲线C1：错误!－错误!＝1与C2：错误!－错误!＝1的（) A．实轴长相等 B．虚轴长相等C．离心率相等 D．焦距相等解析：先确定实半轴和虚半轴的长，再求出半焦距．双曲线C1和C2的实半轴长分别是sinθ和cosθ，虚半轴长分别是cosθ和sinθ，则半焦距c都等于1,故选D.答案：D3．中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，－2)，则它的离心率为( ）A。
错误! B.错误!C。
错误! D。
错误!解析：设双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1(a＞0,b＞0），所以其渐近线方程为y＝±错误!x，因为点（4，－2）在渐近线上，所以错误!＝错误!，根据c2＝a2＋b2,可得错误!＝错误!,解得e2＝错误!，e＝错误!.答案：D，∴焦点是F1(－错误!，0）,F2(错误!，0）,因此双曲线的焦点也是F1(－错误!，0），F(错误!，0)，设双曲线方程为错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0)，由题设条件及双曲线的性质，2得错误!解得错误!故所求双曲线的方程为错误!－y2＝1.18．（本小题满分12分）已知动圆C过定点F(0，1)，且与直线l:y＝－1相切，圆心C的轨迹为E。
(1)求动点C的轨迹方程；（2）已知直线l2交轨迹E于两点P，Q，且PQ中点的纵坐标为2，则|PQ|的最大值为多少?解析：(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，∴所求轨迹的方程为x2＝4y。
章末质量检测(三) 圆锥曲线与方程
章末质量检测(三) 圆锥曲线与方程(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y 2＝－2x 的准线方程为( )A ．x ＝12B ．x ＝－12C ．y ＝12D ．y ＝－122．[2022·湖南望城高二期末]若双曲线x 2a－y 2＝1(a >0)的实轴长为2，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2 xB ．y ＝±22 x C ．y ＝±12x D ．y ＝±x 3.中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的．它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美，现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为( )A ．83B ．23C ．43D ．44．已知双曲线C ：x 29 －y 227＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，双曲线C 上有一点P ，若||PF 1 ＝7，则||PF 2 ＝( )A ．25B ．13C ．1或13D ．11或255．[2022·湖南嘉禾一中高二期末]已知椭圆C 的长轴的顶点分别为A 、B ，点F 为椭圆C 的一个焦点，若|AF |＝3|BF |，则椭圆C 的离心率为( )A ．13B ．22C ．12D ．326．曲线x 216 ＋y 225 ＝1与曲线x 216－k ＋y 225－k＝1(k <16)的( ) A ．长轴长相等 B ．短轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等7．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 24 －y 22＝1的渐近线相交于A 、B 两点，若△ABF 的周长为42 ，则p ＝( )A ．2B ．22C ．8D ．48．[2022·湖南雅礼中学高二月考]已知双曲线C ：x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52 x ，且与椭圆x 212 ＋y 23＝1有公共焦点．则C 的方程为( ) A ．x 28 －y 210 ＝1 B ．x 24 －y 25＝1 C ．x 25 －y 24 ＝1 D ．x 24 －y 23＝1 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．[2022·湖南石门高二期末]已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C.给出下列四个判断正确的是( )A ．当1<t <4时，曲线C 表示椭圆B ．当t >4或t <1时，曲线C 表示双曲线C ．若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52D ．若曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，则t >410．已知双曲线C ：x 24－y 2＝1的左右焦点分别为F 1，F 2则以下说法正确的是( ) A ．双曲线C 的离心率为52B ．过点F 2的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，则△ABF 1的周长为4C ．双曲线C 上存在点P ，使得PF 1·PF 2＝0D ．P 为双曲线C 上一点，Q 为圆x 2＋y 2＝1上一点，则点P ，Q 的最小距离为111．已知椭圆C ：x 29 ＋y 28＝1的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一动点，M (1，1)，则下列结论正确的有( )A ．△PF 1F 2的周长为8B ．△PF 1F 2的最大面积为22C ．存在点P 使得PF 1·PF 2＝0D ．|PM |＋|PF 1|的最大值为512．已知斜率为3 的直线l 经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线C 交于点A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ，若|AB |＝8，则以下结论正确的是( )A ．1|AF | ＋1|BF |＝1 B ．|AF |＝6 C ．|BD |＝2|BF | D ．F 为AD 中点三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．焦点坐标为(0，1)的抛物线的标准方程是________．14．已知双曲线y 24 －x 2m＝1的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的离心率为________． 15．已知△ABC 的底边长为12，其中点B (－6，0)，C (6，0)，其他两边AB ，AC 上的中线之和为30，则三角形重心G 的轨迹方程为________．16．如图，过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作直线，与抛物线及其准线分别交于A ，B ，C 三点，若FC → ＝3FB → ，则直线AB 的方程为________，|AB |＝________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知椭圆C的两焦点分别为F1(－22，0)、F2(22，0)，长轴长为6.(1)求椭圆C的标准方程；(2)求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．18．(本小题满分12分)[2022·湖南长沙明德中学高二月考]已知双曲线C的右焦点与抛物线E：y2＝8x的焦点F重合，且双曲线的一条渐近线为l：y＝33x.(1)求双曲线C的方程；(2)若过点F且与l平行的直线m交抛物线E于A，B两点，求线段AB的长．19．(本小题满分12分)[2022·河北张家口高二期末]已知双曲线C 的方程为x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)，其左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝4，双曲线C 的一个焦点到渐近线的距离为1.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)P 是双曲线C 上一点，O 是坐标原点，且|OP → |＝2，求△PF 1F 2的面积．20．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2＋4y 2＝4，斜率为－1的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点且|AB |＝825. (1)求椭圆C 的离心率；(2)求直线l 的方程．21．(本小题满分12分)[2022·湖南永州高二期末]已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，点P (1，y 0)在抛物线C 上，|PF |＝5y 04. (1)求抛物线C 的标准方程；(2)已知直线l 交抛物线C 于点A ，B ，且P A ⊥PB ，证明：直线l 过定点．22．(本小题满分12分)已知椭圆W ：x 24m ＋y 2m＝1的长轴长为4，左、右顶点分别为A ，B ，经过点P (1，0)的动直线与椭圆W 相交于不同的两点C ，D (不与点A ，B 重合).(1)求椭圆W 的方程及离心率；(2)求四边形ACBD 面积的最大值．。
人教A高中数学选修21新课改地区阶段质量检测二 圆锥曲线与方程 含解析
阶段质量检测（二） 圆锥曲线与方程(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知一动圆P 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．抛物线D ．圆解析：选A 由题意，知圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，则圆C 与圆O 相离，设动圆P 的半径为R .∵圆P 与圆O 外切而与圆C 内切，∴R >1, 且|PO |＝R ＋1，|PC |＝R －1.又|OC |＝3，∴|PO |－|PC |＝2<|OC |，即点P 在以O ，C 为焦点的双曲线的右支上．2．若a ＞1，则双曲线x 2a 2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1,2)解析：选C 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .即e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2.∵a ＞1，∴0＜1a 2＜1，∴1＜1＋1a2＜2，∴1＜e ＜ 2.3．如图所示，某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆，根据图中数据可知该椭圆的离心率为( )A.25 B.35 C.235D.255解析：选B 由题图知2b ＝16.4,2a ＝20.5， 则b a ＝45，则离心率e ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.故选B.4．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B 由题可知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0， 于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4，得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x .5．设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|＝( )A ．1或5B ．6C ．7D ．8解析：选C 双曲线x 2a 2－y 29＝1的一条渐近线方程为3x －2y ＝0，故a ＝2.又P 是双曲线上一点，故||PF 1|－|PF 2||＝4，而|PF 1|＝3，则|PF 2|＝7.6．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率等于( )A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32解析：选A 设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k .若曲线C 为椭圆，则2a ＝6k,2c ＝3k ，∴e ＝12；若曲线C 为双曲线，则2a ＝2k,2c ＝3k ，∴e ＝32.7.我们把离心率为黄金分割系数5－12的椭圆称为“黄金椭圆”．如图，“黄金椭圆”C 的中心在坐标原点，F 为左焦点，A ，B 分别为长轴和短轴上的顶点，则∠ABF ＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：选A 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由已知，得A (a,0)，B (0，b )，F (－c,0)， 则BF ―→＝(－c ，－b )， BA ―→＝(a ，－b )． ∵离心率e ＝ca ＝5－12，∴c ＝5－12a ，b ＝a 2－c 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12a 2＝5－12a ， ∴BF ―→·BA ―→＝b 2－ac ＝0，∴∠ABF ＝90°.8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1 D ．x 2－y 23＝1 解析：选D 不妨设点A 在第一象限，由题意可知c ＝2，点A 的坐标为(1，3)，所以b a ＝3，又c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＝1，b 2＝3，故所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.故选 D.9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 解析：选D 因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b ，y 2＝45b 2，y ＝±25b ，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆方程为x 220＋y 25＝1.10．已知|AB ―→|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OP ―→＝13OA ―→＋23OB ―→，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1C.x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y 29＝1解析：选A 设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0,0)，由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0,0)，即x＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为|AB ―→|＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝⎛⎭⎫32x 2＋(3y )2＝9，化简整理得动点P 的轨迹方程是x 24＋y 2＝1.11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454x C ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y解析：选C 如果设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p ×40，即2p ＝452，所以所求抛物线方程为y 2＝452x .虽然选项中没有y 2＝452x ，但C 中的2p ＝452符合题意．12．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 2 C ．2 3D ．3 3解析：选C 法一：由题意，得F (1,0)， 则直线FM 的方程是y ＝3(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方，得M (3,23)， 由MN ⊥l ，得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°， 因此△MNF 是边长为4的等边三角形， 所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. 法二：依题意，得直线FM 的倾斜角为60°，则|MN |＝|MF |＝21－cos 60°＝4.又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°， 因此△MNF 是边长为4的等边三角形， 所以点M 到直线NF 的距离为4×32＝2 3. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．以双曲线x 24－y 212＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)． 答案：x 216＋y 212＝114．设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．解析：由题意知|F 1F 2|＝26－2＝4，设P 点坐标为(x ，y )．由⎩⎨⎧x 26＋y 22＝1，x23－y 2＝1，得⎩⎨⎧x ＝±322，y ＝±22.则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y |＝12×4×22＝ 2.答案： 215．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.解析：设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得|BF |＝8，所以△ABF 为直角三角形，又因为斜边AB 的中点为O ，所以|OF |＝c ＝5，连接AF 1，因为A ，B 关于原点对称，所以|AF 1|＝|BF |＝8，所以2a ＝14，a ＝7，所以离心率e ＝57.答案：5716．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知 |AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1，x 2＝2py 消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb 2a 2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .答案：y ＝±22x三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题10分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为213.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程．解：①焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，且c ＝13.设双曲线为x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)，m ＝a －4.因为e 双e 椭＝73，所以a m ＝73，解得a ＝7，m ＝3.因为椭圆和双曲线的半焦距为13， 所以b 2＝36，n 2＝4. 所以椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.②焦点在y 轴上，椭圆方程为x 236＋y 249＝1，双曲线方程为y 29－x 24＝1.18．(本小题12分)已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC ―→＝OA ―→＋λOB ―→，求λ的值．解：(1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x . (2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0 可简化为x 2－5x ＋4＝0.从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)． 设OC ―→＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1， 解得λ＝0或λ＝2.19．(本小题12分)如图所示，F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的左、右两个焦点，A ，B 为两个顶点，已知椭圆C 上的点⎝⎛⎭⎫1，32到F 1，F 2两点的距离之和为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的焦点F 2作AB 的平行线交椭圆于P ，Q 两点，求△F 1PQ 的面积． 解：(1)由题设知，2a ＝4，即a ＝2，将点⎝⎛⎭⎫1，32代入椭圆方程得122＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，解得b 2＝3， 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知A (－2,0)，B (0，3)，所以k PQ ＝k AB ＝32，所以PQ 所在直线方程为 y ＝32(x －1)， 由⎩⎨⎧y ＝32(x －1)，x 24＋y23＝1，得8y 2＋43y －9＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－32， y 1·y 2＝－98，所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝34＋4×98＝212，所以S △F 1PQ ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×2×212＝212. 20．(本小题12分)已知抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝1，F 是焦点，过点 A (－2,0)的直线与抛物线交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，直线PF ，QF 分别交抛物线于点M ，N .(1)求抛物线的方程及y 1y 2的值；(2)证明：若直线PQ ，MN 的斜率都存在，记直线PQ ，MN 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1k 2为定值． 解：(1)依题意，设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)， 由准线x ＝p2＝1，得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝－4x .由题意，设直线PQ 的方程为x ＝my －2，代入y 2＝－4x . 消去x ，整理得y 2＋4my －8＝0，从而y 1y 2＝－8. (2)设M (x 3，y 3)，N (x 4, y 4)，则k 1k 2＝y 1－y 2x 1－x 2·x 3－x 4y 3－y 4＝y 1－y 2y 21－4－y 22－4·y 23－4－y 24－4y 3－y 4＝y 3＋y 4y 1＋y 2. 设直线PM 的方程为x ＝ny －1，代入y 2＝－4x ，消去x ，整理得y 2＋4ny －4＝0，所以y 1y 3＝－4，同理y 2y 4＝－4.故k 1k 2＝y 3＋y 4y 1＋y 2＝－4y 1＋－4y 2y 1＋y 2＝－4y 1y 2＝－4－8＝12，为定值． 21．(本小题12分)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为233，过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为32. (1)求双曲线C 的方程；(2)直线y ＝kx ＋m (km ≠0)与该双曲线C 交于不同的两点C ，D ，且C ，D 两点都在以点A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围．解：(1)x 23－y 2＝1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23－y 2＝1，消去y 得，(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0，由已知，1－3k 2≠0且Δ＝12(m 2＋1－3k 2)＞0⇒m 2＋1＞3k 2.① 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，CD 的中点P (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝3km 1－3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1－3k 2， 因为AP ⊥CD ，所以k AP ＝m1－3k 2＋13km 1－3k 2－0＝m ＋1－3k 23km＝－1k ，整理得3k 2＝4m ＋1.② 联立①②得m 2－4m ＞0，所以m ＜0或m ＞4，又3k 2＝4m ＋1＞0， 所以m ＞－14，因此－14＜m ＜0或m ＞4.故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－14，0∪(4，＋∞)． 22．(本小题12分)已知抛物线C 1：x 2＝4y的焦点F 也是椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点．C 1与C 2的公共弦的长为2 6.过点F 的直线l 与C 1相交于A ，B 两点，与C 2相交于C ，D 两点，且BD ―→与AC ―→同向．(1)求C 2的方程；(2)若|AC |＝|BD |，求直线l 的斜率．解：(1)由C 1：x 2＝4y 知其焦点F 的坐标为(0,1)， 因为F 也是椭圆C 2的一个焦点，所以a 2－b 2＝1.①又C 1与C 2的公共弦长为26，C 1与C 2都关于y 轴对称，且C 1的方程为：x 2＝4y ， 由此可知C 1与C 2的公共点的坐标为⎝⎛⎭⎫±6，32， 所以94a 2＋6b 2＝1.②联立①②得a 2＝9，b 2＝8， 故C 2的方程为y 29＋x 28＝1.(2)如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 因AC ―→与BD ―→同向，且|AC |＝|BD |， 所以AC ―→＝BD ―→，从而x 3－x 1＝x 4－x 2， 即x 3－x 4＝x 1－x 2，于是(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.③ 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4＝0，而x 1，x 2是这个方程的两根，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，④由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 28＋y 29＝1，得(9＋8k 2)x 2＋16kx －64＝0， 而x 3，x 4是这个方程的两根，所以x 3＋x 4＝－16k 9＋8k 2，x 3x 4＝－649＋8k 2，⑤将④、⑤代入③，得16(k 2＋1)＝162k 2(9＋8k 2)2＋4×649＋8k 2. 即16(k 2＋1)＝162×9(k 2＋1)(9＋8k 2)2， 所以(9＋8k 2)2＝16×9，解得k ＝±64， 即直线l 的斜率为±64。
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圆锥曲线与方程质量检测
(考试时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以x 24－y 2
12＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.x 216＋y 2
12＝1 B.x 212＋y 2
16＝1 C.x 216＋y 2
4＝1
D.x 24＋y 2
16＝1
2．设P 是椭圆x 2169＋y 2
144＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若|PF 1|等于4，则|PF 2|等于( )
A ．22
B ．21
C ．20
D ．13
3．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫
52，0 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫62，0 D ．(3，0)
4．若抛物线x 2
＝2py 的焦点与椭圆x 23＋y 2
4＝1的下焦点重合，则p 的值为( ) A ．4 B ．2 C ．－4
D ．－2
5．若k ∈R ，则k >3是方程x 2k －3－y 2
k ＋3＝1表示双曲线的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→
＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A ．(0,1) B.⎝ ⎛
⎦⎥⎤0，12 C.⎝
⎛⎭⎪⎫0，22
D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫22，1
7．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( )
A.45
B.35 C ．－35
D ．－45
8．F 1、F 2是椭圆x 29＋y 2
7＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )
A ．7 B.72 C.74
D.752
9．已知点M (－3,0)、N (3,0)、B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，
则P 点的轨迹方程为( ) A ．x 2
－y 2
8＝1(x >1)
B ．x 2
－y 2
8＝1(x <－1)
C ．x 2＋y 2
8＝1(x >0)
D ．x 2
－y 2
10＝1(x >1)
10．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，
则C 的离心率为( ) A. 2 B. 3 C ．2
D ．3
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．若双曲线的渐近线方程为y ＝±
1
3x ，它的一个焦点是(10，0)，则双曲线的标准方程是________．
12．若过椭圆x 216＋y 2
4＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．
13.如图，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1的左、右焦
点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形， 则b 2的值是________．
14．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线
相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 2
2的最小值是________．
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知双曲线与椭圆x 29＋y 2
25＝1共焦点，它们的离心率之和为14
5，求双曲线方程．
16．(本小题满分12分)设椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝3
2.已知点P ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，32到这个椭圆上的点的最远距离为7，求这个椭圆的方程．
17．(本小题满分12分)设λ＞0，点A 的坐标为(1,1)， 点B 在抛物线y ＝x 2上运动，点Q 满足BQ
→＝λQA →，经 过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足
QM →＝λMP →，求点P 的轨迹方程．
18．(本小题满分14分)已知椭圆的长轴长为2a ，焦点是F 1(－3，0)、F 2(3，0)，点
F 1到直线x ＝－a 23的距离为3
3， 过点F 2且倾斜角为锐角的直线l 与椭
圆交于A 、B 两点，使得|F 2B |＝3|F 2A |. (1)求椭圆的方程 (2)求直线l 的方程．。