2014年全国高考试题理科数学(新课标全国卷Ⅰ)【学生试卷】
2014年新课标Ⅰ卷高考理科数学试卷真题及解析
数f ( x), 则y f ( x)在[0, ]上的图像大致为( C )
y
y
1
1
NP
x 0 MA
0
πx 0
πx
A
B OM OP cos x cos x
y
y
f ( x) MN OM sin x
1
1
sin x cos x 1 sin 2 x
0
πx 0
πx
2
C
D
7.执行下图的程序框图, 若输入的a, b, k分别为1, 2, 3, 则
p3 : ( x, y) D, x 2 y 3, p4 : ( x, y) D, x 2 y 1.
其中真命题是( C )
y
A. p2 , p3
B. p1 , p4
C . p1 , p2
D. p1 , p3
作可行域如图所示, x y 1 直线OA的方程为x 2 y 0, 所以( x, y) D, x 2 y 0 O p1 , p2正确
输出M
n n1 b M a b M a 1 b
结束
8.设 (0, ), (0, ), 且 tan 1 sin , 则( B )
2
2
cos
A.3
2
C.3
2
B.2
2
D.2
2
tanα sinα 1 sin β , sinαcos β cos α cos αsin β cosα cos β
2i(1 i) 2i
1 i
D. 1 i
3.设函数f ( x), g( x)的定义域都为R, 且f ( x)是奇函数,
g( x)是偶函数, 则下列结论正确的是( )
A. f ( x)g( x)是偶函数
2014年高考全国卷1理科数学试题及标准答案-(word版)
2０14年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1理科数学注意事项：1． 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分。
答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.３. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效.4． 考试结束,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：共12小题，每小题５分，共６0分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。
1． 已知集合A ＝｛x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x <2=,则A B ⋂= A .[-2,-1] B .[-1,２) C .[-1,1］ D ．[1，２)２. 32(1)(1)i i +-＝ A ．1i + B ．1i - C .1i -+ D .1i --3. 设函数()f x ，()g x 的定义域都为R,且()f x 时奇函数,()g x 是偶函数，则下列结论正确的是 A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()f x ｜()g x 是奇函数C .()f x ｜()g x ｜是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4. 已知F 是双曲线C :223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A .3 B ．３ C .3m D .3m5. ４位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .78６． 如图,圆O 的半径为1，A 是圆上的定点,P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为７. 执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203B .165C .72D .1588. 设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈,且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-= B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+= 9． 不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题:1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P :(,),23x y D x y ∀∈+≤,4p :(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A ．2p ,3PB .1p ,4pC .1p ,2pD .1p ，3P10. 已知抛物线C :28y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个焦点,若4FP FQ =,则||QF =A .72B .52C .３D .2 11. 已知函数()f x =3231ax x -+,若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0,则a 的取值范围为A .(２,＋∞)B ．(-∞，-2）C .(1，+∞）D .(-∞，-1)12． 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为A .62B .42C .6D .4第Ⅱ卷。
2014年高考理科数学试题及答案全国卷i
2014年高考理科数学试题及答案全国卷i一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 下列函数中，为偶函数的是：A. \( y = x^2 \)B. \( y = \sin x \)C. \( y = \cos x \)D. \( y = x^3 \)答案：C2. 已知数列 \( \{a_n\} \) 满足 \( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = 2a_n \)，那么 \( a_5 \) 的值为：A. 16B. 32C. 64D. 128答案：A3. 直线 \( y = 2x + 1 \) 与 \( y = -x + 3 \) 的交点坐标为：A. (1, 3)B. (2, 5)C. (-1, 1)D. (0, 2)答案：C4. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x} \) 在 \( x = 2 \) 处的切线斜率为：A. -\( \frac{1}{2} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. -1D. 1答案：B5. 已知 \( \triangle ABC \) 的三边长分别为 \( a \)，\( b \)，\( c \)，且 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，则 \( \triangle ABC \) 为：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形答案：A6. 已知 \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \)，\( \alpha \) 为锐角，则 \( \cos \alpha \) 的值为：A. \( \frac{4}{5} \)B. \( \frac{3}{5} \)C. \( \frac{1}{5} \)D. \( \frac{2}{5} \)答案：A7. 从集合 \( \{1, 2, 3, 4, 5\} \) 中随机抽取两个数，这两个数的和为6的概率为：A. \( \frac{1}{5} \)B. \( \frac{1}{4} \)C. \( \frac{1}{3} \)D. \( \frac{1}{2} \)答案：B8. 已知 \( \log_2 3 = a \)，则 \( \log_3 2 \) 的值为：A. \( \frac{1}{a} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{1}{3} \)D. \( \frac{1}{4} \)答案：A9. 函数 \( y = x^3 - 3x \) 的极值点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C10. 已知 \( \begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = 2 \end{cases} \)，解得 \( x \) 的值为：A. \( \frac{3}{2} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{5}{2} \)D. \( \frac{3}{4} \)答案：A11. 已知 \( \int_{0}^{1} (2x + 1) dx = a \)，则 \( a \) 的值为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B12. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \) 的值为：A. \( \frac{1}{2} \)B. 1C. 2D. 4答案：B二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2014年高考新课标1全国卷理科数学试题及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试全国新课标1理科数学第Ⅰ卷一、选择题：共12小题,每小题5分,共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1.已知集合2{|230}A x x x =--，{|22}B x x =-<,则A B ⋂=（ ）。
A .[]2,1-- B 。
[)1,2- C 。
[]1,1- D 。
[)1,22。
32(1)(1)i i +=-（ ）。
A 。
1i + B .1i - C 。
1i -+ D .1i --3。
设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ )。
A .()()f x g x 是偶函数 B 。
()()f x g x 是奇函数C 。
()()g x f x 是奇函数D 。
()()f x g x 是奇函数4。
已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ).A 。
3B 。
3C 。
3mD 。
3m5。
4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ )。
A 。
18B .38C .58D 。
786。
如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点,P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）.7.执行下图的程序框图,若输入的,,a b k 分别为1，2，3,则输出的M =（ ）.A 。
203B . 72C . 165D .158 8。
设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ）。
A .32παβ-=B . 32παβ+=C .22παβ-=D 。
22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p :(,),22x y D x y ∀∈+≥-, 2p :(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P :(,),23x y D x y ∀∈+≤， 4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是（ ）。
2014年全国统一高考数学试卷(理科)及答案
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•河南）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，1]D．[1，2）2．（5分）（2014•河南）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）（2014•河南）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数4．（5分）（2014•河南）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m5．（5分）（2014•河南）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）（2014•河南）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）（2014•河南）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．8．（5分）（2014•河南）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=9．（5分）（2014•河南）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p310．（5分）（2014•河南）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．211．（5分）（2014•河南）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）12．（5分）（2014•河南）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•河南）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为_________．（用数字填写答案）14．（5分）（2014•河南）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为_________．15．（5分）（2014•河南）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为_________．16．（5分）（2014•河南）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为_________．三、解答题17．（12分）（2014•河南）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．18．（12分）（2014•河南）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）（2014•河南）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）（2014•河南）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．（12分）（2014•河南）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：集合证明选讲22．（10分）（2014•河南）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•河南）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•河南）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，1]D．[1，2）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）（2014•河南）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．解答：解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）（2014•河南）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数考点：函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论．解答：解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f（x）|g（x）|为奇函数，故选：C．点评：本题主要考查函数的奇偶性，注意利用函数的奇偶性规律，属于基础题．4．（5分）（2014•河南）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．解答：解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C 的一条渐近线的距离为=．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．（5分）（2014•河南）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．解答：解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．点评：本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．（5分）（2014•河南）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x 的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P 做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x 的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．考点：抽象函数及其应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．解答：解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选C．点评：本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．（5分）（2014•河南）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：概率与统计．分析：根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．解答：解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．（5分）（2014•河南）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．解答：解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα．由等式右边为单角α，左边为角α与β的差，可知β与2α有关．排除选项A，B后验证C，当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．点评：本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．（5分）（2014•河南）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3考点：命题的真假判断与应用．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．解答：解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，显然，区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故A：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；在直线x+2y=2的右上方区域，：∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；由图知，p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．（5分）（2014•河南）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．解答：解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴直线PF的斜率为﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．点评：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．（5分）（2014•河南）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，由于而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，可知：存在x0＞0，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则必须极小值＞0，解出即可．解答：解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x （﹣∞，0）0f′（x）+0 ﹣0 +f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→+∞，f（x）→+∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：0 （0，+∞）x（﹣∞，）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值=，化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．12．（5分）（2014•河南）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．解答：解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．点评：本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•河南）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为﹣20．（用数字填写答案）考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．解答：解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：=8．含x2y6的系数是=28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20点评：本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．（5分）（2014•河南）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A．考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．解答：解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．点评：本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．（5分）（2014•河南）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为90°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．解答：解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为临边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°点评：本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）（2014•河南）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积的值．解答：解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得4﹣b2=（c﹣b）c，即b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得4≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为==，故答案为：．点评：本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．三、解答题17．（12分）（2014•河南）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．考点：数列递推式；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．可得λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，．得到λS n=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．解答：（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，∴a n+1（a n+2﹣a n）=λa n+1∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=λ．（Ⅱ）解：①当λ=0时，a n a n+1=﹣1，假设{a n}为等差数列，设公差为d．则a n+2﹣a n=0，∴2d=0，解得d=0，∴a n=a n+1=1，∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{a n}不为等差数列．②当λ≠0时，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．则λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，∴．∴，，∴λS n=1+=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．点评：本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．（12分）（2014•河南）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．解答：解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．（12分）（2014•河南）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；空间向量的夹角与距离求解公式．专题：空间向量及应用．分析：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．解答：解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为点评：本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）（2014•河南）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得，可得c．又，b2=a2﹣c2，即可解得a，b；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出S△OPQ．通过换元再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（Ⅰ）设F（c，0），∵直线AF的斜率为，∴，解得c=．又，b2=a2﹣c2，解得a=2，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．联立，化为（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0时，即时，，．∴|PQ|===，点O到直线l的距离d=．∴S△OPQ==，设＞0，则4k2=t2+3，∴==1，当且仅当t=2，即，解得时取等号．满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为：．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于难题．21．（12分）（2014•河南）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x ﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，从而f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：集合证明选讲22．（10分）（2014•河南）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；几何证明．分析：（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE 为等边三角形．解答：证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．点评：本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•河南）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥4，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥4及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）由（1）可知，2a+3b≥2=2≥4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．点评：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．参与本试卷答题和审题的老师有：lincy；caoqz；wyz123；刘长柏；sxs123；wfy814；孙佑中；minqi5；清风慕竹；maths；qiss（排名不分先后）菁优网2014年6月23日。
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2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 I 理科数学第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1. 已知集合 A={ x| x 22 x3 0 } ， － ≤ ＜ ＝，则A B =B={ x | 2 x 2A .[-2,-1]B .[-1,2 ）C .[-1,1]D .[1,2 ）(1 i )32.(1 i )2=A .1 iB . 1 iC . 1 iD . 1 i3.设函数 f ( x) ， g(x)的定义域都为R，且 f (x) 时奇函数， g( x) 是偶函数，则下列结论正确的是A . f (x) g (x) 是偶函数B .| f ( x) | g( x) 是奇函数C . f (x) | g ( x) |是奇函数D .| f (x) g( x) |是奇函数4.已知 F 是双曲线 C ： x 2my 23m( m 0) 的一个焦点，则点F 到 C 的一条渐近线的距离为 A . 3B .3C . 3mD . 3m5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日 都有同学参加公益活动的概率A . 1B . 3C .5D .7888 86.如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA ，终边为射线OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x) ，则 y = f ( x) 在 [0,]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的a, b, k 分别为 1,2,3 ，则输出的 M =A .20B .16C . 7D .15352 88.设(0,)，(0,) ，且 tan 1 sin，则cos22A . 32B . 22C .3D . 2229.不等式组x y 1的解集记为 D .有下面四个命题：x 2 y4p1： ( x, y) D , x 2 y 2 ，p2： ( x, y) D , x 2y 2 ,P( x, y) D , x 2 y 3，p4 ：( x, y) D , x 2 y1.3 ：其中真命题是A .p2，p3B .p1，p4C .p1，p2D .p1，p310.已知抛物线C：y28x 的焦点为F，准线为l，P是l上一点， Q 是直线PF与C的一个焦点，若uuur uuurFP4FQ ，则 | QF |=75C .3D .2A .B .2211.已知函数f ( x) = ax33x21，若 f ( x) 存在唯一的零点 x0，且 x0＞0，则 a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A . 6 2B . 4 2C .6D .4第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分。
2014年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)
2014 年一般高等学校招生全国一致考试（全国Ⅰ）数学（理科）第 Ⅰ 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每题5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的．（ 1）【 2014 年全国Ⅰ，理 1， 5 分】已知会集 Ax x 22x 30 ， Bx 2x 2，则AB =（）（A ） 2,1 （B ） 1,2 （C ）1,1 （D ） 1,2【答案】 A【剖析】∵ Ax x 22x 3 0x x1 或 x3 ， B x 2 x 2 ，∴ A B x 2 x 1 ，应选 A ．3（ 2）【 2014 年全国Ⅰ，理2，5 分】 1 i1 2i （A ）1i （ B ） 1 i （ C ） 1i （D ） 【答案】 D（）1 i【剖析】∵(1i) 32i(1 i)2 1 i ，应选 D ． (1 i) 2i（ 3）【 2014 年全国Ⅰ，理 3， 5 分】设函数 f x ， g x 的定义域为 R ，且 fx 是奇函数， g x 是偶函数，则以下结论中正确的选项是（）（ A ） f ( x) g (x) 是偶函数（ B ） f (x) g( x) 是奇函数（ C ） f ( x) | g( x) |是奇函数（ D ） | f (x)g ( x) | 是奇函数【答案】 C【剖析】∵ f x 是奇函数， g x 是偶函数，∴f (x) 为偶函数， g( x) 为偶函数．再依照两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得 f (x) | g (x) | 为奇函数，应选 C ．（ 4）【 2014 年全国Ⅰ，理 4， 5 分】已知 F 是双曲线 C ： x 2my 23m(m 0) 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为（）（ A ） 3 （ B ） 3（C ） 3m （ D ） 3m 【答案】 A 【剖析】由 C ： x 2my 23m(m0) ，得 x 2y 2 1 ， c 2 3m 3,c3m 3，设 F3m 3,0 ，一条渐近线3m3y3my0 ，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离d3m33 ，应选 A ．x ，即 x1 m3m（ 5）【 2014 年全国Ⅰ，理 5， 5 分】 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（） （ A ） 1（B ） 3（C ）5（D ）78 8 88 【答案】 D【剖析】由题知 F 13,0 ， F 23,0 且x 02y 0 2 1，因此 MF 1 MF 23 x 0 , y 03 x 0 , y 02x 02 y 023 3y 021 0 ，解得3 y 0 3，应选 D ．3 3（ 6）【 2014 年全国Ⅰ，理 6，5 分】如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角x 的始边为射线 OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 OP的距离表示为 x 的函数 f (x) ，则 y f ( x) 在 0, 上的图像大体为（）（A ） （B ）（ C ）（D ）【答案】 B【剖析】如图：过 M 作 MDOP 于D ，则 PM sin x ， OMcos x ,在 Rt OMP 中，OM PMcos x sin x1 1 MDcos x sin x sin 2 x ，∴f xsin 2x (0 x ) ，OP122应选 B ．（ 7）【 2014 年全国Ⅰ，理 7， 5 分】执行以下列图的程序框图，若输入的 a,b,k 分别为 1,2,3，则输出的M （）（ A ） 20（B ） 16（C ） 7 （D ） 1535 28【答案】 D【剖析】输入 a1, b 2, k 3 ； n 1时：M 11 3 , a 2,b 3 ；222n 2 时： M 228, a3,b8； n 3时： M3 3 15 , a 8,b 15 ；33 2328 8 38n 4 时：输出 M15，应选 D ．81sin（ 8）【 2014 年全国Ⅰ，理 8， 5分】设(0,) ， (0, ) ，且 tan，则（）cos22 （A ） 3（B ） 2（C ） 3 2 （D ） 2 2【答案】 B 22【剖析】∵ tansin 1 sin coscoscos sin， sincossin，coscos ，∴ sin222 ,0 2，∴2，即 2，应选 B ．22x y 1的解集记为 D ．有下面四个命题： p 1 ： ( x, y) D , x 2 y 2 ，（ 9【） 2014 年全国Ⅰ，理 9，5 分】不等式组2y 4 xp 2 ： (x, y) D, x 2 y 2 , P 3 ： ( x, y) D , x 2 y 3 ， p 4 ： (x, y)D , x 2 y 1 ．其中真命题是（）（ A ） p 2 ， p 3 （ B ） p 1 ， p 4 （C ） p 1 ， p 2 （ D ） p 1 ，p 3 【答案】 C【剖析】作出可行域如图： 设 x 2 y z ，即 y1x z，当直线过 A 2, 1 时，zmin2 2 0 ，2 2∴ z 0 ，∴命题 p 1 、 p 2 真命题，应选 C ．（ 10）【 2014 年全国Ⅰ，理 10，5 分】已知抛物线 C ： y 28x 的焦点为 F ，准线为 l ， P 是 l 上一点， Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若FP4FQ ，则 |QF |（）（ A ） 7 （B ） 5（C ）3（D ）22 2【答案】 C【剖析】过 Q 作 QMl 于 M ，∵ FPPQ 3 ，又QM PQ 3 3 ，4FQ ，∴44PF，∴ QMPF4由抛物线定义知 QF QM3，应选 C ．（ 11）【 2014 年全国Ⅰ，理 11，5 分】已知函数 fxax 3 3x 2 1 ，若 f ( x) 存在唯一的零点 x 0 ，且 x 00 ，则 a的取值范围为（）（A ） 2,（B ）, 2 （C ） 1,（ D ）, 1【答案】 B【剖析】解法一：由已知 a0 ， f ( x)3ax 26 x ，令 f (x) 0 ，得 x 0 或 x2 ，a当 a0 时， x,0 , f (x) 0; x0,2, f ( x) 0; x2 , , f (x) 0 ；aa且 f (0) 10 ， f (x) 有小于零的零点，不吻合题意．当 a0 时， x2 0; x2 , f (x) 0; x0,, f (x),, f ( x) ,0aa要使 f (x) 有唯一的零点x 0 且 x 00 ，只需 2) 0 ，即 a2， a2 ，应选 B ．f ( 4a解法二：由已知 a0 ， f x ax33x21 有唯一的正零点，等价于a 3 1 13 有唯一的正零根，令 t1，则t 3t 3 x xx 问题又等价于 a3t 有唯一的正零根，即y a 与 y3t 有唯一的交点且交点在在 y 轴右侧记f (t )t 3 3t ， f (t)3t 2 3 ，由 f (t )0 ， t 1 ， t, 1 , f (t) 0;t1,1 , f (t )0; ，t 1,, f (t ) 0 ，要使 a33t 有唯一的正零根，只需 af ( 1)2 ，应选 B ．t （ 12）【 2014 年全国Ⅰ，理 12， 5 分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（）（ A ） 6 2 （B ） 4 2 （C ）6（D ）4【答案】 C【剖析】以下列图，原几何体为三棱锥D ABC ，其中 ABBC 4,AC 4 2,DB DC 2 5，26 ，应选 C ．DA4 24 6 ，故最长的棱的长度为 DA第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（ 13）题 ~第（ 21）题为必考题，每个试题考生都必定作答．第（ 22）题 ~第（ 24）题为选考题，考生依照要求作答．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分（ 13）【 2014 年全国Ⅰ，理 13， 5 分】 (x y)( xy)8的张开式中 x 2 y 2 的系数为．（用数字填写答案）【答案】 20【剖析】 (x y)8 张开式的通项为T r 1 C 8r x 8 r y r (r0,1, ,8) ，∴ T 8C 87 xy 7 8xy 7 ， T 7 C 86 x 2 y 628x 2 y 6 ，∴ (xy)( x y)8 的张开式中 x 2 y 7 的项为 x 8 xy 7 y 28 x 2 y 6 20 x 2 y 7 ，故系数为20 ．（ 14）【 2014 年全国Ⅰ，理 14， 5 分】甲、乙、丙三位同学被问到可否去过 A 、 B 、 C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由 此可判断乙去过的城市为． 【答案】 AA 城市或B 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B【剖析】由乙说：我没去过 C 城市，则乙可能去过 城市，则乙只能是去过 A ， B 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的 城市为 A ． （ 15）【 2014 年全国Ⅰ，理 15，5 分】已知 A ， B ， C 是圆 O 上的三点，若 AO1(ABAC)，则 AB 与 AC 的2夹角为．【答案】 900【剖析】∵ AO 1 ( AB AC) ，∴ O 为线段 BC 中点，故 BC 为 O 的直径，∴BAC 900，∴ AB 与 AC 的夹2角为 90 0 ．a,b,c 分别为A,B,C 的对边， a（ 16 ）【 2014 年全国Ⅰ，理16， 5 分】已知ABC 的三个内角2 ，且(2 b )(sin AsinB ) c ( b ) sinC ，则 ABC 面积的最大值为．【答案】 3【剖析】由 a2且(2 b)(sin A sin B)(c b)sin C ，即 (a b)(sin A sin B) (cb)sin C ，由及正弦定理得：2221，∴(a b )(ab) (c b)c ，∴ b 2c 2 a 2bc ，故 cos Abc a A 600 ，∴ b 2c 2 4 bc ，12bc24 b 2 c 2 bcbc ，∴ S ABCbc sin A3 ． 2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（ 17）【 2014 年全国Ⅰ，理 17，12 分】已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 11 ， a n 0 ， a n a n 1S n 1，其中为常数．（ 1）证明： a n 2 a n；（ 2）可否存在 ，使得 a n 为等差数列？并说明原由．解：（ 1）由题设 a n a n 1S n 1 ， a n 1 a n 2S n 1 1，两式相减 a n 1an 2a na n 1 ，由于 a n0 ，因此 a n 2 a n．6分（ 2）由题设 a 1 1 ， a 1a 2S 1 1，可得 a 211，由（ 1）知 a 31假设 a n 为等差数列，则 a 1 ,a 2 ,a 3 成等差数列，∴ a 1 a 3 2a 2 ，解得4 ；证明4 时， a n 为等差数列：由 a n2a n 4 知：数列奇数项构成的数列a2 m 1是首项为 1，公差为4 的等差数列 a 2m14m 3 ，令 n 2m 1, 则 m n 1，∴ a n 2n 1 ( n 2m 1)2n ，数列偶数项构成的数列 a2m 是首项为 3，公差为 4 的等差数列 a 2m 4m 1 ，令 n 2m, 则 m ∴2 1 ，∴ （ * ），2a n n ( n 2m) a n2n 1 n n 1a n2N a因此，存在存在4 ，使得 a n 为等差数列．12 分（ 18）【 2014 年全国Ⅰ，理 18， 12 分】从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得以下频率分布直方图：（ 1）求这 500 件产质量量指标值的样本平均数x 和样本方差 s 2 （同一组数据用该区间的中点值作代表） ；（ 2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 遵从正态分布 N ( , 2 ) ，其中 近似为样本平均数 x ， 2 近似为样本方差 s 2 ．（ i ）利用该正态分布，求 P(187.8 Z 212.2) ；（ ii ）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示 100 件产品中质量指标值为区间（187.8,212.2 ）的产品件数，利用（ i ）的结果，求 EX ．附： 15012.2 ．若 Z N ( , 2) ，则 P(Z) 06826.，P(2Z2 ) =0.9544．解：（ 1）抽取产质量量指标值的样本平均数x 和样本方差 s 2 分别为：x 170 0.02 1800.09 1900.22 200 0.33 2100.24 220 0.08 2300.02 200s 230 220.0920.22 00.33 10220.08302150 ．0.0220100.24200.02 6 分（ 2）（ⅰ）由（1）知 Z N(200,150)，从而 P(187.8 Z212.2) P(200 12.2 Z200 12.2)0.6826． 9分（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为 0.6826依题意知 X B(100,0.6826)，因此 EX 100 0.6826 68.26 ．12 分（ 19）【 2014 年全国Ⅰ，理 19， 12 分】如图三棱柱ABC A 1 B 1C 1 中，侧面 BB 1C 1C 为菱形， ABB 1C ．（ 1）证明： AC AB 1 ；（ 2）若 ACAB 1 ，CBB 1 60 o， AB BC ，求二面角 A A 1B 1 C 1 的余弦值．解：（ 1）连结 BC 1 ，交 B 1C 于 O ，连结 AO ．由于侧面 1 1 为菱形， 因此 B 1CBC 1 ，BBC C且O 为 B 1C 与 BC 1 的中点．又 AB B 1C ，因此 B 1C 平面 ABO ，故 B 1 C AO又 B 1O CO ，故 AC AB 1 ． 6分（ 2）由于 AC AB 1 且 O 为 B 1C 的中点，因此 AOCO ，又由于 AB BC ，因此 BOABOC ，故 OA OB ，从而 OA ， OB ， OB 1 两两互相垂直． 以 O 为坐标原点， OB 的方向为 x 轴正方 向，OB 为单位长，建立以下列图空间直角坐标系O xyz ．由于CBB 1 600 ， 因此 CBB 1 为等边三角形． 又 ABBC ，则 A 0,0,3，B 1,0,0， 0,3 ，B 1,033C 0,3 ,0 ， AB 1 0, 3 , 3， A 1B 1 AB1,0,3 ，33 33B C1 BC1, 3 ,0 ，设 nx, y, z 是平面的法向量，则n AB 1，即13n A 1B 13y3 03zm A 1 B 13因此可取 n1, 3,3 ，设 m 是平面的法向量，则，同理可取3n B 1C 1xz 03m1,3, 3 ，则 cos n, mn m 1 ，因此二面角 AA 1B 1C 1 的余弦值为1．12分n m 77223，F 是（ 20）【 2014 年全国Ⅰ，理 20， 12 分】已知点 A 0, 2 ，椭圆 E ：xy 1(a b 0) 的离心率为a 2b 22椭圆的焦点，直线 AF 的斜率为23， O 为坐标原点．（ 1）求 E 的方程；3（ 2）设过点 A 的直线 l 与 E 订交于 P,Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程．解：（ 1）设 F c,0 ，由条件知2 2 3，得 c 3 ，又c3 ，c 3a 2因此 a2 ， b2a2c21，故 E 的方程x 2y 21 ． 6分42（ 2）依题意当 lx 轴不合题意， 故设直线 l ：y kx 2 ，设 P x 1y, 1 Q, x y 2 , 2，将 y kx 2 代入xy 2 1 ，4得 14k 2x216kx12 0 ，当16(4 k23)0 ，即 k23时， x 1,2 8k 2 4 k 2 341 4k 2从而 PQk21 x 1x 24 k21 4k 23，又点 O 到直线 PQ 的距离 d2 ，因此 OPQ 的1 4k 2k 2 1 面积 S OPQ14 4k 2 3，设4k 23 t ，则 t0 ，S OPQ4t41 ，d PQ12t 2 4424ktt当且仅当 t2 ， k7等号建立，且满足0 ，因此当 OPQ 的面积最大时，l 的方程为：2y77x 2 或 yx 2 ．.12 分22be x 1（ 21）【 2014 年全国Ⅰ，理 21， 12 分】设函数 f xae x ln x，曲线 y f ( x) 在点 1, f 1 处的切线为xy e(x 1) 2 ．（ 1）求 a, b ；（ 2）证明： f ( x) 1．解：（ 1）函数 f (x) 的定义域为 0,，xa xb x 1 b x 1xex 2exef (x) ae ln x由题意可得 f (1)2, f (1) e ，故 a 1,b2 ． 6分x2e x 1 x2（ 2）由（ 1）知， f (x)ln x，从而 f ( x) 1 等价于 x ln x xex ln x ，则ex，设函数 g( x)eg (x) xln x ，因此当 x0, 1 时， g ( x) 0 ，当 x1 ,时， g (x) 0，故 g( x) 在 0,1单调减，eee在1,单调递加，从而 g( x) 在 0,的最小值为g( 1)1． 8分eee设函数 h(x)xex2，则 h (x) ex1 x，因此当 x0,1 时， h (x)0 ，当 x1,时， h ( x) 0 ，e故 h(x) 在 0,1 单调递加，在 1,单调递减，从而 h( x) g( x) 在 0,的最小值为 h(1)1 ． 综上：当 x0 时， g( x)h( x) ，即 f ( x) 1.12e分请考生在（ 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．若是多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡大将所选题号后的方框涂黑． ABCD 是（ 22）【 2014 年全国Ⅰ，理 22，10 分】（选修 4-1：几何证明选讲）如图，四边形O 的内接四边形， AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E ，且 CBCE ．（ 1）证明： D E ；（ 2）设 AD 不是O 的直径， AD 的中点为 M ，且 MBMC ，证明： ABC 为等边三角形．解：（ 1）由题设得， A ， B ， C ， D 四点共圆，因此， D CBE又 CB CE ， CBE E ，因此 D E5 分（ 2）设 BC 的中点为 N ，连结 MN ，则由 MB MC 知MN BC ，故 O 在直线 MN 上，又AD 不是 O 的直径， M 为 AD 的中点，故 OM AD ，即 MN AD ，因此 AD / /BC ，故 A CBE ，又 CBE E ，故 A E ，由（ 1）知， D E ，因此 ADE 为等边三角形．10 分2 2（ 23）【 2014 年全国Ⅰ，理 23，10 分】（选修 4-4：坐标系与参数方程）已知曲线C :xy1 ，49直线 l : x 2 t （ t 为参数）．y 2 2t（ 1）写出曲线 C 的参数方程，直线l 的一般方程；（ 2）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A ，求 PA 的最大值与最小值．解：（ 1）曲线 C 的参数方程为x 2cos （为参数）直线 l 的一般方程为 2xy 60 ． 5分y3sin（ 2）曲线 C 上任意一点 P(2cos,3sin) 到 l 的距离为 d5| 4cos3sin6 |，5则|PA|d2 5 | 5sin() 6| ，其中为锐角，且 tan4 ，sin3053当 sin()1时， | PA | 获取最大值，最大值为2255当 sin() 1时， | PA | 获取最小值，最小值为 25 ．10 分50 且11（ 24）【 2014 年全国Ⅰ，理 24， 10 分】（选修 4-5：不等式选讲）若 a0 ， bab ．（ 1）求 a 3 b 3 的最小值；ab（ 2）可否存在 a, b ，使得 2a 3b 6？并说明原由．解：（ 1）由 ab 1 1 2，得 ab 2 ，且当 a b 2 时等号建立．a bab故 a 3 b 32 a3 b 34 2 ，且当 a b 2 时等号建立，因此a 3b 3 的最小值为 4 2 ．5分（ 2）由（ 1）知， 2a 3b 2 6 ab 4 3，由于 4 3 6 ，从而不存在 a,b ，使得 2a 3b 6 ．10 分。
2014年高考试题(全国课标Ⅰ卷)数学(理科)试卷及答案
1
7.执行下图的程序框图，若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3，则输出的 M = （
）
A.
20 3
B.
16 5
C.
7 2
D.
15 8
8.设 (0,
1 sin ) ， (0, ) ，且 tan ，则 （ ） 2 2 cos
A . 3
9.不等式组
.
16.已知 a, b, c 分别为 ABC 的三个内角 A, B, C 的对边， a =2，且 (2 b)(sin A sin B) ( c b) sin C ， 则 ABC 面积的最大值为 .
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 S n ， a1 =1， an 0 ， an an 1 S n 1 ，其中 为常数. (Ⅰ)证明： an 2 an ； （Ⅱ）是否存在 ，使得{ an }为等差数列？并说明理由.
3
19. (本小题满分 12 分)如图三棱锥 ABC A1 B1C1 中， 侧面 BB1C1C 为菱形， AB B1C . (Ⅰ) 证明： AC AB1 ； （Ⅱ）若 AC AB1 ， CBB1 60 ，AB=Bc，求二 面角 A A1 B1 C1 的余弦值.
o
20. (本小题满分 12 分) 已知点 A （0，-2） ，椭圆 E ：
x 170 0.02 180 0.09 190 0.22 200 0.33 210 0.24 220 0.08 230 0.02 200
s 2 30 0.02 20 0.09 10 0.22 0 0.33 10 0.24 20 0.08 30 0.02
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2014年全国高考试题独家解析
(新课标卷Ⅰ)理科数学
第Ⅰ卷
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．
1．〖2014新课标卷Ⅰ〗已知集合
A ={x |2
230x x --≥}，B ={x |－2≤x ＜2}，则
A B ⋂=( )
A ．[-2，-1]
B ．[-1，1]
C ．[-1，2)
D ．[1，2)
2．〖2014新课标卷Ⅰ〗3
2
(1)(1)i i +-=( )
A ．1i +
B ．1i -+
C ．1i -
D ．1i --
3．〖2014新课标卷Ⅰ〗设函数
()f x ，()g x 的定义
域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是
A ．()f x ()g x 是偶函数
B ．()f x |()g x |是奇函数
C ．|()f x |()g x 是奇函数
D ．|()f x ()g x |是奇函数
4．〖2014新课标卷Ⅰ〗已知F 是双曲线C ：
223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的
一条渐近线的距离为( )
A ．3
B ．3
C ．3m
D ．3m
5．〖2014新课标卷Ⅰ〗4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )
A ．1
8
B ．
38
C ．
58
D ．
78
6．〖2014新课标卷Ⅰ〗如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线
OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函
数()f x ，则y =()f x 在[0，π]上的图像大致为( )
7．〖2014新课标卷Ⅰ〗执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1，2，3，则输出的M =( )
A ．203
B ．72
C ．165
D ．15
8
8．〖2014新课标卷Ⅰ〗设(0,)2π
α∈，(0,)2
π
β∈，且1sin tan cos β
αβ
+=，则( )
A ．32
π
αβ-=
B ．22
π
αβ-=
C ．32
π
αβ+=
D ．22
π
αβ+=
9．〖2014新课标卷Ⅰ〗不等式组1
24
x y x y +⎧⎨
-⎩≥≤的解集
记为D ．有下面四个命题：
1p ：(,),22x y D x y ∀∈+-≥，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥，
3p ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：
(,),21x y D x y ∃∈+-≤．
其中真命题是( ) A ．2p ，3p B ．1p ，4p C ．1p ，2p D ．1p ，3p
10．〖2014新课标卷Ⅰ〗已知抛物线C ：2
8y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF =( ) A ．72
B ．
52
C ．3
D ．2
11．〖2014新课标卷Ⅰ〗已知函数
()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，
且0x ＞0，则a 的取值范围为( ) A ．(2，+∞) B ．(1，+∞) C ．(-∞，-2) D ．(-∞，-1)
12．〖2014新课标卷Ⅰ〗如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为( )
A ．62
B ．6
C ．42
D ．4
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分．第(13)题-第(21)题为必考题，每个考生都必须作答．第(22)题-第(24)题为选考题，考生根据要求作答．
二．填空题：本大题共四小题，每小题5分． 13．〖2014新课标卷Ⅰ〗8
()()x y x y -+的展开式中
27x y 的系数为____．(用数字填写答案)
14．〖2014新课标卷Ⅰ〗甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为____．
15．〖2014新课标卷Ⅰ〗已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1
()2
AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为____．
16．〖2014新课标卷Ⅰ〗已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且
(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为____．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．〖2014新课标卷Ⅰ〗(本小题满分12分) 已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，
11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．
(Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；
(Ⅱ)是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由．
18．〖2014新课标卷Ⅰ〗(本小题满分12分) 从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2
s (同一组数据用该区间的中点值作代表)； (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2
(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2
δ近似为样本方差2
s ． (i )利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z
<<；
(ii )某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用(i )的结果，求EX ． 附：150≈12.2． 若Z ～2
(,)N μδ，则
()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544．
19．〖2014新课标卷Ⅰ〗(本小题满分12分)
如图三棱锥111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，
1AB B C ⊥．
(Ⅰ)证明：1AC AB =；
(Ⅱ)若1AC AB ⊥，o
160CBB ∠=，AB BC =，求二面角111A A B C --的余弦值．
20．〖2014新课标卷Ⅰ〗(本小题满分12分)
已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)
x y a b a b
+=>>的离心率为
3
2
，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为
23
3
，O 为坐标原点． (Ⅰ)求E 的方程；
(Ⅱ)设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当
OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．
21．〖2014新课标卷Ⅰ〗(本小题满分12分)
设函数1()ln x x
be f x ae x x
-=+，曲线()y f x =在
点(1,(1))f 处的切线为(1)2y e x =-+．
(Ⅰ)求,a b ； (Ⅱ)证明：()1f x >．
请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．〖2014新课标卷Ⅰ〗(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB =CE
(Ⅰ)证明：∠D =∠E ；
(Ⅱ)设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB =MC ，证明：△ADE 为等边三角形．
23．〖2014新课标卷Ⅰ〗(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C ：22
149x y +=，直线l ：222x t y t
=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．
(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； (Ⅱ)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o
30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值．
24．〖2014新课标卷Ⅰ〗(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 若0,0a b >>
，且11
a b
+=． (Ⅰ)求3
3a
b +的最小值；
(Ⅱ)是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由． Word 转Ppu QQ ：475529093。