2016-2017年湖南省永州市高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

2016-2017学年湖南省永州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）在等比数列{a n}中，a1=2，a4=16则公比q为（）A．2B．3C．4D．82．（5分）已知命题p：∃x0∈R，x02+1＜0，则（）A．￢p：∀x∈R，x2+1＞0B．￢p：∃x∈R，x2+1＞0C．￢p：∀x∈R，x2+1≥0D．￢p：∃x∈R，x2+1≥03．（5分）已知，且，则x的值为（）A．B．C．D．4．（5分）“x＞5”是“x＞3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）在△ABC中，已知a=2，b=2，A=，则∠B=（）A．B．C．或πD．或6．（5分）下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则a2＞b2C．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d D．若a＜b＜0，则7．（5分）抛物线y2=4x上到焦点的距离等于3的点的坐标是（）A．（2，2）B．（2，2）或（﹣2，2）C．（2，2）D．（2，2）或（2，﹣2）8．（5分）四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，且PA⊥平面ABCD，AB=AD=AP=2，E为侧棱PC的中点，则异面直线AE与PD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=2，S5=15，则数列的前2017项和为（）A．B．C．D．10．（5分）如图，在热气球C正前方有一高为m的建筑物AB，在建筑物底部A 测得C的仰角为60°，同时在C处测得建筑物顶部B的仰角为30°，则此时热气球的高度CD为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数，数列{a n}满足，且{a n}是单调递增数列，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（2，3）C．D．12．（5分）设F1，F2是椭圆C1：=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：=1（a2＞0，b2＞0）的公共焦点，曲线C1，C2在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若椭圆C1的离心率e1∈[，1），则双曲线C2的离心率e2的范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在△ABC中，BC=，则AB等于．14．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为．15．（5分）已知椭圆过点P（1，2），则m+n的最小值为．16．（5分）已知集合A={3，32，33，…，3n}（n≥3），从中选出3个不同的数，使这3个数按一定的顺序排列构成等比数列，记满足此条件的等比数列的个数为f（n）（Ⅰ）f（5）=；（Ⅱ）若f（n）=220，则n=．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）已知命题p：不等式x2﹣（2m﹣1）x+m2≥0对任意实数x恒成立，命题q：m＜1．（1）若p为真，求实数m的取值范围；（2）若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数m的取值范围．18．（12分）在△ABC中，A，B，C的对边分别为，且．（1）求B的大小；（2）若△ABC的面积为，且a+c=6，求b．19．（12分）设S n是数列{a n}的前n项和，已知．（1）求a1，并求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前项和T n．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面AA1B1B，四边形AA1B1B是矩形，且AB=1，AC=2，BC=．（1）求证：AA1⊥平面ABC；（2）若直线BC1与平面ABC所成角的正弦值为，求二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值．21．（12分）2016年10月中旬台风“莎莉嘉”登陆某海滨城市，某条长度为10千米的供电线路遭到严重破坏，造成大面积停电，为了快速恢复通电，某电力公司组织人员进行抢修，同时为了保证质量，抢修速度不得超过c千米/小时，已知每小时的抢修成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与抢修的速度v（单位：千米/小时）的平方成正比，比例系数为400，固定部分为10000元．（1）把抢修成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出函数的定义域；（2）为使抢修成本最小，电力公司应该以多大的速度进行抢修？22．（12分）已知点P是圆心为F 1的圆（x+1）2+y2=12上任意一点，点F2（1，0），若线段PF2的垂直平分线与半径PF1相交于点M．（1）求动点M的轨迹方程；（2）过点F2的直线l（l不与x轴重合）与M的轨迹交于不同的两点A，B，求△F1AB的内切圆半径r的最大值，并求出此时直线l的方程．2016-2017学年湖南省永州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）在等比数列{a n}中，a1=2，a4=16则公比q为（）A．2B．3C．4D．8【解答】解：∵在等比数列{a n}中，a1=2，a4=16，∴，解得公比q=2．故选：A．2．（5分）已知命题p：∃x0∈R，x02+1＜0，则（）A．￢p：∀x∈R，x2+1＞0B．￢p：∃x∈R，x2+1＞0C．￢p：∀x∈R，x2+1≥0D．￢p：∃x∈R，x2+1≥0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0∈R，x02+1＜0的否定是￢p：∀x∈R，x2+1≥0，故选：C．3．（5分）已知，且，则x的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴=﹣1+2+3x=0，解得x=﹣．故选：B．4．（5分）“x＞5”是“x＞3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：不妨令A=（5，+∞），B=（3，+∞），∵A⊊B，∴x＞5”是“x＞3”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）在△ABC中，已知a=2，b=2，A=，则∠B=（）A．B．C．或πD．或【解答】解：由正弦定理可得：，可得sinB===，∵，b＞a，∴，解得B=或．故选：C．6．（5分）下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则a2＞b2C．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣d D．若a＜b＜0，则【解答】解：A．c=0时不成立．B．由不等式的基本性质可知成立；C．由a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d，因此不成立；D．∵a＜b＜0，则，因此不成立．故选：B．7．（5分）抛物线y2=4x上到焦点的距离等于3的点的坐标是（）A．（2，2）B．（2，2）或（﹣2，2）C．（2，2）D．（2，2）或（2，﹣2）【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x，∴焦点为F（1，0），准线为l：x=﹣1∵抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离等于3，∴根据抛物线定义可知P到准线的距离等于3，即x+1=3，解之得x=2，代入抛物线方程求得y=±2，故选：D．8．（5分）四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，且PA⊥平面ABCD，AB=AD=AP=2，E为侧棱PC的中点，则异面直线AE与PD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），P（0，0，4），C（2，2，0），E（1，1，2），D（0，2，0），=（1，1，2），=（0，2，﹣4），设异面直线AE与PD所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线AE与PD所成角的余弦值为．故选：A．9．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=2，S5=15，则数列的前2017项和为（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=2，S5=15，∴a1+d=2，d=15，解得a1=d=1，∴a n=1+（n﹣1）=n．∴==．则数列的前2017项和=+…+=1﹣=．故选：C．10．（5分）如图，在热气球C正前方有一高为m的建筑物AB，在建筑物底部A 测得C的仰角为60°，同时在C处测得建筑物顶部B的仰角为30°，则此时热气球的高度CD为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，∠BCA=∠BAC=30°，∴AB=BC=m，AC=m，△ADC中，CD=ACsin60°=m，故选：D．11．（5分）已知函数，数列{a n}满足，且{a n}是单调递增数列，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（2，3）C．D．【解答】解：∵数列{a n}是递增数列，又∵，a n=f（n）（n∈N*），∴1＜a＜3且f（5）＜f（6）∴5（3﹣a）﹣1＜a2解得a＜﹣7，或a＞2，故实数a的取值范围是（2，3），故选：B．12．（5分）设F1，F2是椭圆C1：=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：=1（a2＞0，b2＞0）的公共焦点，曲线C1，C2在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若椭圆C1的离心率e1∈[，1），则双曲线C2的离心率e2的范围是（）A．B．C．D．【解答】解：设MF1=s，MF2=t，由椭圆的定义可得s+t=2a1，由双曲线的定义可得s﹣t=2a2，解得s=a1+a2，t=a1﹣a2，由∠F1MF2=90°，运用勾股定理，可得s2+t2=4c2，即为a12+a22=2c2，由离心率的公式可得，，由e1∈[，1），可得∈[，1），即有2﹣∈[，1），解得e2∈（1，]．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在△ABC中，BC=，则AB等于1．【解答】解：AB2=﹣2××cos=1，解得AB=1．故答案为：1．14．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为12．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，3），化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z，由图可知，当直线y=﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为z=3×3+3=12．故答案为：12．15．（5分）已知椭圆过点P（1，2），则m+n的最小值为9．【解答】解：将P（1，2），代入椭圆，则，（m＞0，n＞0），m+n=（m+n）（+）=1+++4≥5+2=9，当且仅当=时，m=3，n=6时，取等号，∴m+n的最小值9，故答案为：9．16．（5分）已知集合A={3，32，33，…，3n}（n≥3），从中选出3个不同的数，使这3个数按一定的顺序排列构成等比数列，记满足此条件的等比数列的个数为f（n）（Ⅰ）f（5）=8；（Ⅱ）若f（n）=220，则n=22．【解答】解：（I）n=5时，A═{3，32，33，34，35}，从中选出3个不同的数，使这3个数按一定的顺序排列构成等比数列，则共有3，32，33；32，33，34；33，34，35；3，33，35．其顺序反过来也成立．因此f（5）=8．（II）A={3，32，33，…，3n}（n≥3），公比为3的共有：n﹣2个；公比为的共有：n﹣2个．公比为32的共有：n﹣4个；公比为的共有：n﹣4个．…，则f（n）=220=2[（n﹣2）+（n﹣4）+…2]，∴，n2﹣2n﹣440=0，解得n=22．故答案为：8，22．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）已知命题p：不等式x2﹣（2m﹣1）x+m2≥0对任意实数x恒成立，命题q：m＜1．（1）若p为真，求实数m的取值范围；（2）若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）不等式x2﹣（2m﹣1）x+m2≥0对任意实数x恒成立，则△=（2m﹣1）2﹣4m2=﹣4m+1≤0得：m≥；（2）若“p∧q”为假，“p∨q”为真，则p与q为一真一假，①当p真q假时，，故m≥1；②当p假q真时，，故m＜，综上，实数m的范围是（﹣∞，）∪[1，+∞）．18．（12分）在△ABC中，A，B，C的对边分别为，且．（1）求B的大小；（2）若△ABC的面积为，且a+c=6，求b．【解答】解：（1）由=（a，0），=（1，cosB），•=2acosB，得a=2acosB，故cosB=，得B=；=acsinB=2得ac=8，（2）S△ABC联立，解得或，由余弦定理得b2=16+4﹣8=12，解得：b=2．19．（12分）设S n是数列{a n}的前n项和，已知．（1）求a1，并求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前项和T n．【解答】解：（1）∵．∴n=1时，3a1﹣，解得a1=2．∴S n=，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=﹣，化为a n=3a n﹣1，∴．（2）由（1）可知：=n•3n﹣1．∴数列的前项和T n=1+2×3+3×32+…+n•3n﹣1，3T n=3+2×32+…+（n﹣1）•3n﹣1+n•3n，∴﹣2T n=1+3+32+…+3n﹣1﹣n•3n=﹣n•3n，∴T n=．20．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面AA1B1B，四边形AA1B1B是矩形，且AB=1，AC=2，BC=．（1）求证：AA1⊥平面ABC；（2）若直线BC1与平面ABC所成角的正弦值为，求二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值．【解答】证明：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1B1B是矩形，∴AA1⊥AB，∵平面ABC⊥平面AA1B1B，且AA1垂直于这两个平面的交线AB，∴AA1⊥平面ABC．解：（2）由（1）知AA1⊥AB，AA1⊥AC，∵AB=1，AC=2，BC=，∴AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，如图，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，由（1）知CC1⊥平面ABC，∴直线BC1与平面ABC所成角的大小即为∠C1BC的大小，由已知得tan，∴CC1=2，则C1（2，0，2），B（0，1，0），B1（0，1，2），A1（0，0，2），=（0，﹣1，2），=（2，﹣1，2），设平面A1BC1的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，2，1），同理求得平面BB1C1的法向量=（1，2，0），∴cos＜＞==，由图知二面角A1﹣BC1﹣B1的平面角为锐角，∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．21．（12分）2016年10月中旬台风“莎莉嘉”登陆某海滨城市，某条长度为10千米的供电线路遭到严重破坏，造成大面积停电，为了快速恢复通电，某电力公司组织人员进行抢修，同时为了保证质量，抢修速度不得超过c千米/小时，已知每小时的抢修成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与抢修的速度v（单位：千米/小时）的平方成正比，比例系数为400，固定部分为10000元．（1）把抢修成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出函数的定义域；（2）为使抢修成本最小，电力公司应该以多大的速度进行抢修？【解答】解：（1）由题意可得y=+10000×=4000（v+）（0＜v ≤c）；（2）c≥5时，y=4000（v+）≥4000×=40000，当且仅当v=5时，y min=40000元；0＜c＜5时，y=4000（v+）在（0，c]上单调递减，v=c，y min=4000（c+）元．22．（12分）已知点P是圆心为F1的圆（x+1）2+y2=12上任意一点，点F2（1，0），若线段PF2的垂直平分线与半径PF1相交于点M．（1）求动点M的轨迹方程；（2）过点F2的直线l（l不与x轴重合）与M的轨迹交于不同的两点A，B，求△F1AB的内切圆半径r的最大值，并求出此时直线l的方程．【解答】解：（1）由题意，|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=2＞2，∴M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且a=，c=1，b=，∴动点M 的轨迹方程=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设△F1AB的内切圆的半径为R，因为△F1AB的周长为4a=8，△F1AB的面积=4R，因此，△F1AB的面积最大，R就最大，△F1AB的面积=|y1﹣y2|，由题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=ty+1，与椭圆方程联立，消去x得（2t2+3）y2+4ty﹣4=0，所以，y1+y2=﹣，y1y2=﹣，∴r==≤，∴t=0时，r 的最大值为，此时直线l的方程为x=1．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。