数论算法
数论入门
2.3.2 算法2
给出两个正整数 和 ，求最大的 满足 能同时被 和 整除。 （即求 和 的最大公因数）
分别对 和 分分解质因数。
假设 = × × ⋯ × ， y= × × ⋯ ×
其中 表示不同质数， 和 是自然数且∀ , ＋ ＞0。
2.3.2 算法2
给出两个正整数 和 ，求最大的 满足 能同时被 和 整除。 （即求 和 的最大公因数）
2.3.1 算法1
给出两个正整数 和 ，求最大的 满足 能同时被 和 整除。 （即求 和 的最大公因数）
开桶或哈希表记录 的所有因数，枚举 的所有因数，取其中在桶 里出现过的最大的即可。
时间复杂度 ( 的因数个数)。
2.3.2 算法2
给出两个正整数 和 ，求最大的 满足 能同时被 和 整除。 （即求 和 的最大公因数） 分别对 和 分分解质因数。
时间复杂度 (
)。
1.2.3 算法3（埃拉托斯特尼筛法）
给出一个正整数 ，求2～ 的所有质数。
对于2～ 的所有质数，枚举它不超过 的所有倍数。 这些倍数显然都不是质数，把它们排除。 未被排除的数都是质数。
时间复杂度 (
)。
1.2.2 算法2
给出一个正整数 ，求2～ 的所有质数。
分别对 和 分分解质因数。
假设 = × × ⋯ × ， y= × × ⋯ ×
其中 表示不同质数， 和 是自然数且∀ , ＋ ＞0。
则有 =
( , )×
( , )×⋯×
其中
(<) ,=
(≥)
( , )。
使用2.1的算法1分解质因数。 时间复杂度 ( + )。
2.3.3 算法3
数论算法讲义 3章(同余方程)
第 3 章 同余方程（一） 内容：● 同余方程概念● 解同余方程● 解同余方程组（二） 重点● 解同余方程（三） 应用● 密码学，公钥密码学3.1 基本概念及一次同余方程(一) 同余方程（1） 同余方程【定义3.1.1】（定义1）设m 是一个正整数，f(x)为n 次多项式()0111a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ其中i a 是正整数（n a ≠0（mod m ）），则f (x)≡0（mod m ） （1） 叫做模m 的（n 次）同余式（或模m 的（n 次）同余方程），n 叫做f(x)的次数，记为deg f 。
（2） 同余方程的解若整数a 使得 f (a)≡0（mod m ）成立，则a 叫做该同余方程的解。
（3） 同余方程的解数若a 是同余方程（1）的解，则满足x ≡a （mod m ）的所有整数都是方程（1）的解。
即剩余类a C ＝{x ｜x ∈Z ，x ≡a （mod m ）}中的每个剩余都是解。
故把这些解都看做是相同的，并说剩余类a C 是同余方程(1)的一个解，这个解通常记为x ≡a （mod m ）当21,c c 均为同余方程(1)的解，且对模m 不同余时，就称它们是同余方程(2)的不同的解，所有对模m 的两两不同余的解的个数，称为是同余方程（1）的解数，记作()m f T ;。
显然()m f T ;≤m（4） 同余方程的解法一：穷举法任意选定模m 的一组完全剩余系，并以其中的每个剩余代入方程（1），在这完全剩余系中解的个数就是解数()m f T ;。
【例1】（例1）可以验证，x ≡2，4（mod 7）是同余方程15++x x ≡0（mod 7）的不同的解，故该方程的解数为2。
50＋0＋1＝1≡3 mod 751＋1＋1＝3≡3 mod 752＋2＋1＝35≡0 mod 753＋3＋1＝247≡2 mod 754＋4＋1＝1029≡0 mod 755＋5＋1＝3131≡2 mod 756＋6＋1＝7783≡6 mod 7【例2】求同余方程122742-+x x ≡0（mod 15）的解。
四大数论定理
四大数论定理四大数论定理是指费马小定理、欧拉定理、中国剩余定理和欧几里得算法。
这四个定理在数论领域中具有重要的地位和应用。
下面将分别介绍这四个定理的概念、原理和应用。
一、费马小定理：费马小定理是由法国数学家费马在17世纪提出的，是数论中的基本定理之一。
它的主要内容是：如果p是一个质数，a是任意一个整数，那么a的p次方减去a一定能够被p整除。
即a^p ≡ a (mod p)。
这个定理在密码学中有广泛的应用。
费马小定理的原理是基于模运算的性质。
对于给定的整数a和质数p，我们可以将a的p次方表示为a^p = a * a * a * ... * a。
根据模运算的性质，我们可以对每个乘法因子a进行取模操作。
由于模运算满足乘法的结合律和交换律，我们可以得到 a * a ≡ a^2 (mod p)，再依次类推，最终得到a^p ≡ a (mod p)。
费马小定理在密码学中的应用是基于离散对数问题。
通过费马小定理，我们可以快速计算模p下的指数问题，从而实现快速的加密和解密操作。
例如，RSA加密算法就是基于费马小定理和大素数的选择来实现的。
二、欧拉定理：欧拉定理是由瑞士数学家欧拉在18世纪提出的，是费马小定理的推广。
它的主要内容是：如果a和n互质，那么a的欧拉函数值φ(n)次方减去1一定能够被n整除。
即a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。
欧拉定理在数论和密码学中都有重要的应用。
欧拉定理的原理是基于欧拉函数的性质。
欧拉函数φ(n)表示小于等于n且与n互质的正整数的个数。
对于给定的整数a和正整数n，我们可以将a的φ(n)次方表示为a^φ(n) = a * a * a * ... * a。
根据模运算的性质，我们可以对每个乘法因子a进行取模操作。
由于a和n互质，根据欧拉定理，我们可以得到a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。
欧拉定理在密码学中的应用是基于模反演问题。
通过欧拉定理，我们可以快速计算模n下的指数问题，从而实现快速的加密和解密操作。
c语言算法大全
C语言算法大全( C，C++）一、数论算法1．求两数的最大公约数functiongcd(a,b:integer):integer; beginifb=0thengcd:=aelsegcd:=gcd(b,amodb);end;2．求两数的最小公倍数functionlcm(a,b:integer):integer; beginifa<bthenswap(a,b);lcm:=a;whilelcmmodb>0doinc(lcm,a);end;3．素数的求法A.小范围内判断一个数是否为质数：functionprime(n:integer):Boolean;varI:integer;beginforI:=2totrunc(sqrt(n))doifnmodI=0thenbeginprime:=false;exit;end;prime:=true;end;B.判断longint范围内的数是否为素数（包含求50000以内的素数表）：proceduregetprime;vari,j:longint;p:array[1..50000]ofboolean;beginfillchar(p,sizeof(p),true);p[1]:=false;i:=2;whilei<50000dobeginifp[i]thenbeginj:=i*2;whilej<50000dobeginp[j]:=false;inc(j,i);end;end;inc(i);end;l:=0;fori:=1to50000doifp[i]thenbegininc(l);pr[l]:=i;end;end;{getprime}functionprime(x:longint):integer; vari:integer;beginprime:=false;fori:=1toldoifpr[i]>=xthenbreakelseifxmodpr[i]=0thenexit;prime:=true;end;{prime}二、图论算法1．最小生成树A.Prim算法：procedureprim(v0:integer);varlowcost,closest:array[1..maxn] ofinteger;i,j,k,min:integer;beginfori:=1tondobeginlowcost[i]:=cost[v0,i]; closest[i]:=v0;end;fori:=1ton-1dobegin{寻找离生成树最近的未加入顶点k}min:=maxlongint;forj:=1tondoif(lowcost[j]<min)and(lowcost[j]<>0)thenbeginmin:=lowcost[j];k:=j;end;lowcost[k]:=0;{将顶点k加入生成树}{生成树中增加一条新的边k到closest[k]}{修正各点的lowcost和closest值}forj:=1tondoifcost[k,j]<lwocost[j]thenbeginlowcost[j]:=cost[k,j];closest[j]:=k;end;end;end;{prim}B.Kruskal算法：(贪心)按权值递增顺序删去图中的边，若不形成回路则将此边加入最小生成树。
数论中的欧几里得算法及其应用
数论中的欧几里得算法及其应用欧几里得算法，又称辗转相除法，是一种用于求解两个整数最大公约数的算法。
它的发明可以追溯到公元前300年左右，由古希腊数学家欧几里得提出。
虽然它的发明已经有几千年的历史，但它在数论中的应用仍然被广泛使用。
欧几里得算法的基本思想是通过反复使用除法来求解两个整数的最大公约数。
具体步骤如下：1. 将两个整数a和b相除，得到商q和余数r。
2. 如果r等于0，则b就是最大公约数。
3. 如果r不等于0，则将b赋值给a，将r赋值给b，然后重复步骤1。
这个算法的关键在于每一步都将两个数中较大的数替换为余数，直到余数为0为止。
由于每一步都会减小两个数之间的差距，所以算法的执行次数较少，效率较高。
欧几里得算法的应用非常广泛，其中一个重要的应用是求解两个数的最大公约数。
最大公约数在数论中有很多重要的性质和应用，比如判断两个数是否互质、化简分数等。
除了求解最大公约数，欧几里得算法还可以用于求解线性同余方程。
线性同余方程是指形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a、b和m都是整数，x是未知数。
这种方程在密码学和计算机科学中有广泛的应用。
利用欧几里得算法，我们可以将线性同余方程转化为最简形式。
具体步骤如下：1. 使用欧几里得算法求解a和m的最大公约数d。
2. 如果b不能被d整除，则方程无解。
3. 如果b能被d整除，则方程有解。
设最简解为x0。
4. 方程的所有解可以表示为x ≡ x0 (mod m/d)。
通过这种方式，我们可以快速求解线性同余方程，并得到所有解的形式。
另一个重要的应用是求解不定方程。
不定方程是指形如ax + by = c的方程，其中a、b、c和x、y都是整数。
欧几里得算法可以用于求解这种方程的整数解。
具体步骤如下：1. 使用欧几里得算法求解a和b的最大公约数d。
2. 如果c不能被d整除，则方程无整数解。
3. 如果c能被d整除，则方程有整数解。
设最简解为(x0, y0)。
4. 方程的所有整数解可以表示为(x, y) = (x0 + k * b/d, y0 - k * a/d)，其中k为任意整数。
数学算法的基本原理与应用总结
数学算法的基本原理与应用总结数学算法是数学研究中的重要组成部分，它们在各个领域中都有广泛的应用。
本文将总结基本的数学算法原理以及它们的应用。
一、排序算法排序算法是最基础也是最常用的算法之一。
它将一组数据按照某种规则进行重新排列，从而使得数据具备有序性。
常用的排序算法包括冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序等。
这些算法的基本原理均是通过比较和交换元素来实现排序。
在实际应用中，排序算法广泛应用于数据库查询、搜索引擎、数据挖掘等领域。
比如，在大规模数据的查询中，排序算法可以提高查询效率，使得结果更快地返回。
二、图论算法图论算法研究的是图的性质和算法。
图是由节点和边组成的数据结构，在现实生活中能够描述各种各样的问题。
图论算法包括最短路径算法、深度优先搜索算法、广度优先搜索算法等。
最短路径算法用于寻找两个节点之间的最短路径。
在路线规划、网络通信等方面有着广泛的应用。
深度优先搜索算法和广度优先搜索算法则可以用于解决迷宫问题、网络爬虫等。
三、数论算法数论算法研究的是整数性质和算法。
数论算法包括质数判定算法、最大公约数算法、素数筛选算法等。
质数判定算法用于判断一个数是否为质数。
在密码学、随机数生成等领域都有着重要的应用。
最大公约数算法可以求解两个数的最大公约数，在分数运算、化简等方面有着广泛的应用。
素数筛选算法用于生成一定范围内的素数列表，在密码学、通信等领域有着重要的作用。
四、线性代数算法线性代数算法是研究向量、矩阵等数学结构及其算法的分支。
线性代数算法包括矩阵乘法算法、矩阵求逆算法、特征值与特征向量算法等。
矩阵乘法算法用于计算两个矩阵相乘的结果，在图形学、数据处理等方面有着广泛的应用。
矩阵求逆算法可以求解给定矩阵的逆矩阵，在线性方程组求解、数据压缩等方面有着重要的应用。
特征值与特征向量算法可以用于降维分析、信号处理等。
五、最优化算法最优化算法研究的是如何在一定条件下找到最优解的算法。
最优化算法包括线性规划算法、非线性规划算法、整数规划算法等。
数学的数论及其算术运算
数学的数论及其算术运算数论是数学的一个分支，研究整数的性质和结构，以及整数之间的关系和运算。
它是数学的基础，对于理解和应用其他数学分支都至关重要。
本文将介绍数论的基本概念和算术运算。
一、数论的基本概念1. 整数：整数是自然数、零和负整数的集合，用Z表示。
整数具有封闭性、加法逆元和乘法逆元等性质。
2. 素数：素数是只能被1和自身整除的正整数，例如2、3、5、7等。
素数是数论中的重要研究对象，素数的性质和分布规律一直是数学家们关注的焦点。
3. 最大公约数和最小公倍数：最大公约数是两个或多个整数中能够整除它们的最大正整数，最小公倍数是两个或多个整数中能够被它们整除的最小正整数。
最大公约数和最小公倍数在数论中有广泛的应用，例如化简分数、求解线性方程等。
二、算术运算1. 加法：整数的加法满足交换律、结合律和存在加法逆元等性质。
例如，对于整数a、b和c，有(a+b)+c=a+(b+c)和a+(-a)=0。
2. 减法：减法是加法的逆运算，对于整数a和b，a-b=a+(-b)。
3. 乘法：整数的乘法满足交换律、结合律和存在乘法逆元等性质。
例如，对于整数a、b和c，有(a*b)*c=a*(b*c)和a*(1/a)=1（其中a≠0）。
4. 除法：除法是乘法的逆运算，对于整数a和b，a/b=a*(1/b)。
5. 模运算：模运算是整数除法的一种扩展，对于整数a、b和正整数m，a模m （记作a mod m）是a除以m的余数。
模运算在密码学、计算机科学等领域有广泛的应用。
三、数论的应用1. 密码学：数论在密码学中有重要的应用，例如RSA加密算法就是基于大数分解的难题。
通过选择适当的素数和数论算法，可以实现安全可靠的加密和解密过程。
2. 算法设计：数论算法在计算机科学中起着重要的作用，例如欧几里得算法用于求解最大公约数，扩展欧几里得算法用于求解线性方程的整数解。
3. 数字理论：数论在数字理论中有广泛的应用，例如整数分解、同余方程、数列等。
数论算法讲义5章原根与指标
数论算法讲义5章原根与指标在数论中，原根和指标是两个重要的概念。
原根是指与一个模n互素的整数a，使得对于任意正整数k，a^k(mod n)都不会等于1、指标是一种特殊的数论函数，可以用来判断一个数与模n是否互素。
5.1原根首先，我们需要了解模运算的概念。
在数学中，当我们求一个整数除以另一个整数的余数时，称为模运算。
例如，5 mod 3 = 2，表示5除以3的余数是2定义：设n>1为正整数，a是n的一个原根，是指a与n互素，并且对于任意正整数k，有a^k(mod n)≠1原根的存在性定理：对于每一个正整数n>1，都存在一个原根。
即对于任意正整数n>1，存在一个与n互素的正整数a，使得a是n的原根。
原根的性质：若a是n的原根，则a+kn也是n的原根，其中k为任意整数。
5.2指标指标是一种特殊的数论函数，用来判断一个数与模n是否互素。
指标的值只有0、1或-1三种可能。
定义：设a为整数，n为正整数。
a关于n的指标（或称勒让德符号）定义为1a与n互素0a能被n整除-1a不能被n整除，且与n互素指标的性质：（1）对于互素的整数a、b和正整数n，有以下三个基本性质：a) (ab/n) = (a/n)(b/n)b)(a^k/n)=(a/n)^kc)(1/n)=1（2）若a≡b(mod n)，则(a/n) = (b/n)（3）若a与n互素，则(a/n) ≡ a^(φ(n)/2) (mod n)，其中φ(n)为欧拉函数。
5.3应用原根和指标在密码学和计算机科学中有广泛的应用。
在密码学中，原根和指标被用于构造公钥密码系统，如Diffie-Hellman密钥交换协议和RSA加密算法。
原根可以用来生成随机数，从而提高密码的安全性。
指标则可以用来判断一个数是否为素数，从而加密和解密数据。
在计算机科学中，原根和指标被用于构造伪随机数生成器。
伪随机数生成器是根据确定性算法生成的一系列数字，看起来是随机的。
原根和指标可以用于生成伪随机数序列，从而模拟真正的随机数据。
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数论素数问题、同余问题、中国剩余定理、Nim积、高斯消元法求线性方程组解、Pell方程、polya计数、矩阵二分快速幂、伪素数、基本数值计算方法（定积分求解，多项式求根，周期性方程）1、与整数除法运算相关的算法整除问题：欧几里得算法及利用其求最小公倍数：拓展欧几里得算法及利用其解线性同余方程：a^b%c几种计算方法中国剩余定理#include <iostream>using namespace std;int ext_gcd(int a, int b, int &x, int &y){int tmp,d;if(b == 0){x = 1;y = 0;return a;}d = ext_gcd(b, a % b, x, y);tmp = x;x = y;y = tmp - a/b*y;return d;}int China_theory(int a[],int b[],int n){int res = 0,m,*m1,M = 1,temp;m1 = new int[n];memset(m1, 0, sizeof(m1));for(int i = 0; i < n; i++)M *= a[i];for(int i = 0; i < n; i++){m = M / a[i];ext_gcd(m, a[i], m1[i],temp);res = res % M + (m * m1[i] * b[i]) % M;--res =(res + M) % M;}delete m1;return res;}int main(){int *a, *b, n;while(scanf("%d",&n) && n != 0){a = new int[n];b = new int[n];for(int i = 0; i < n; i++)scanf("%d",&a[i]);for(int i = 0; i < n; i++)scanf("%d",&b[i]);printf("%d\n",China_theory(a,b,n));delete a;delete b;}return 0;}2、素数相关问题素数无穷性证明：//欧几里德的精彩反证:/*假设结论不成立,即只有有限多的素数p1,p2,...,pn。
令m=1+TT(1<=i<=n)pi,即所有素数的乘积,再加一。
因为这个m比所有的素数都大,因此一定是合数。
换句换说,某个素数能够整除它。
哪一个素数能整除它呢？不难知道,m不能被p1整除,因为m除以p1的余数为1。
同样的,m也不能被p2整除,因为余数也是1。
事实上,当m除以任何一个pi时,余数总是1。
如果m真是合数,唯一的可能是:p1,p2,...,pn并没有包括所有的素数。
但这又和假设矛盾。
结论:素数有无穷多个！*//*素数不仅是无穷多的,而且还不算特别少。
不超过x的素数大约有x/lnx个。
换句话说:大约每lnx个整数中就有一个是素数。
*/筛法求素数：#include <iostream>#include <memory>#include <math.h>using namespace std;void prime(bool *&b,int n){int i,j;b=new bool[n];memset(b,1,sizeof(b));b[0]=0;for(i=2;i<=sqrt(n)+1;i++)if(b[i-1])for(j=1;i-1+j*i<n;j++)b[i-1+j*i]=0;for(i=0;i<n;i++)if(b[i])printf("%d\n",i+1);}int main(){//freopen("out.txt","w",stdout);int n;bool *b;scanf("%d",&n);prime(b,n);return 0;}基本素数判定方法及几步改进：费马小定理：自己的想法及错误：米勒-勒宾测试：整数因子分解pollard-rho算法：1、比较傻的方法（打素数表）#include <iostream>#include <math.h>#define MAX 10000000using namespace std;struct power{int x;int y;};power a[MAX];int grid(power a[],int n){int i,j,k=0,p=n-1;bool *b=new bool[n];memset(b,1,sizeof(b));b[0]=0;for(i=2;i<=sqrt(double(n))+1;i++)if(b[i-1])for(j=1;i-1+j*i<n;j++)b[i-1+j*i]=0;for(i=0;i<n;i++)if(b[i])a[k++].x=i+1;return k;}void devide(power a[],int n,int h){int i;for(;n>1;){for(i=0;i<h;i++){if(n%a[i].x==0){n/=a[i].x;a[i].y++;break;}}}}int main(){int n,h;while(scanf("%d",&n)!=EOF){for(int j=0;j<MAX;j++){a[j].x=0;a[j].y=0;}h=grid(a,n);devide(a,n,h);for(int i=0;i<n;i++){if(a[i].y!=0)printf("%d %d\n",a[i].x,a[i].y);}}return 0;}2、比较优化的方法（不用打素数表）int divide(__int64 n){memset(a,0,sizeof(a));__int64 i,k = 0;for(i = 2; i <= sqrt(double(n)); i++){if(n % i == 0){while(n % i == 0){n /= i;a[k]++;}k++;}}if(n != 1) a[k++]++;return k;}N!末尾0的个数用N一直除5，知道商为0，将各次商相加即得答案N！的素因子分解：#include <iostream>#include <math.h>using namespace std;void prime(bool *&b,int n){int i,j;b=new bool[n];memset(b,1,sizeof(b));b[0]=0;for(i=2;i<=sqrt(n)+1;i++){if(b[i-1])for(j=1;i-1+j*i<n;j++)b[i-1+j*i]=0;}int count_mod(int a,int n){int sum=0,i=a;for(;a<=n;a*=i)sum+=n/a;return sum;}int main(){int i,n;bool *b;while(scanf("%d",&n)!=EOF){prime(b,n);for(i=0;i<n;i++)if(b[i])printf("%d %d\n",i+1,count_mod(i+1,n));}return 0;}欧拉公式：欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。
n是一个正整数。
欧拉证明了下面这个式子：如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am，其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数，而且两两不等。
则有φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm) 利用容斥原理可以证明它。
*写程序的时候，公式貌似不可以用不借助质数表int euler(int n){int m = n, i;if(n % 2 == 0) m /= 2;while(n % 2 == 0) n /= 2;for(i = 3; n != 1; i += 2){if(n % i == 0) m -= m / i;while(n % i == 0) n /= i;}return m;}借助质数表const int maxn = 40000;bool pf[maxn];int p[maxn], numOfP = 0;void init(){memset(pf, 0, sizeof(pf));for(int i = 2; i < maxn; i++){if(!pf[i]){p[numOfP++] = i;for(int j = i * i; j < maxn; j += i)pf[j] = true;}}}int euler1(int n){int sum = 1;int tmp;for(int i = 0; i < numOfP; i++){if(n == 1) break;if(n % p[i] == 0){tmp = 0;while(n % p[i] == 0){n /= p[i];tmp++;}for(int j = 1; j < tmp; j++)sum *= p[i];sum *= p[i] - 1;}}if(n == 1)return sum;elsereturn sum * (n - 1);}int euler2(int n){int i;for(i = 2; i <= sqrt((double)n); i++){if(n % i == 0 && !pf[i]){n /= i;if(n % i ==0)return i * euler2(n);elsereturn (i - 1) * euler2(n);}}return n-1;}反素数：数论四大经典定理：威尔逊定理:若p为质数，则p可整除(p-1)!+1。
欧拉定理（也称费马-欧拉定理）若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)孙子定理（又称中国剩余定理）公元前后的《孙子算经》中有“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何？”答为“23”。