高考数学三模考试试卷
高考数学三模考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、填空题 (共14题；共15分)
1. （1分） (2018高一上·扬州月考) 若全集，集合，则
=________．
2. （1分）同时抛掷两颗质地相同的骰子（各面上分别标有1，2，3，4，5，6的正方体玩具），点数之和是5的概率是________．
3. （1分） (2017高二下·濮阳期末) 设复数a+bi（a，b∈R）的模为，则（a+bi）（a﹣bi）=________．
4. （1分） (2016高二上·宝应期中) 如图的伪代码输出的结果S为________
5. （2分）(2017·东城模拟) 如图茎叶图记录了甲，乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位：小时），已知甲班数据的平均数为13，乙班数据的中位数为17，那么x的位置应填________；y的位置应填________．
6. （1分） (2018高二上·黑龙江期末) 下列说法正确的有________.
①函数的一个对称中心为；
②在中，是的中点，则；
③在中，是的充要条件；
④定义，已知，则的最大值为 .
7. （1分）(2017·南通模拟) 在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y=0为双曲线 =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为________．
8. （1分） (2017高三·银川月考) 已知是R上的奇函数，，且对任意都有
成立，则 ________．
9. （1分）(2017·舒城模拟) 若三个非零实数：x（y﹣z）、y（z﹣x）、z（y﹣x）成等比数列，则其公比q=________．
10. （1分） (2018高二上·长安期末) 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是，且用料最省，则圆柱的底面半径为________ ．
11. （1分）(2018·宣城模拟) 已知函数，若正实数满足，则
的最小值是________．
12. （1分） (2016高三上·福州期中) 在△ABC中，，sinB=cosAsinC，E为线段AC的中点，则的值为________．
13. （1分） (2017高二上·荆门期末) 以点（2，﹣3）为圆心且与直线2mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程为________．
14. （1分）(2018·雅安模拟) 已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是________．
二、解答题 (共6题；共55分)
15. （10分） (2016高一下·南沙期中) 如图：已知四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E 是PA的中点，求证：
（1）PC∥平面EBD．
（2）平面PBC⊥平面PCD．
16. （10分）(2016高三上·闵行期中) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB；
（1）求cosB的值；
（2）若 =2，且b=2 ，求a+c的值．
17. （5分）如图：已知圆O的直径是2，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是圆O上的一个动点，以PC为边作正三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值．
18. （10分） (2015高二下·铜陵期中) 已知椭圆C： =1的离心率为，焦距为2，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在x轴上是否存在定点M，使得为定值？若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，请说明理由．
19. （15分） (2016高三上·海淀期中) 已知数列{an}是无穷数列，满足lgan+1=|lgan﹣lgan﹣1|（n=2，3，
4，…）．
（1）若a1=2，a2=3，求a3，a4，a5的值；
（2）求证：“数列{an}中存在ak（k∈N*）使得lgak=0”是“数列{an}中有无数多项是1”的充要条件；
（3）求证：在数列{an}中∃ak（k∈N*），使得1≤ak＜2．
20. （5分） (2017高二下·淄川期末) 设函数f（x）=lnx﹣ax+ ﹣1．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）当a= 时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数g（x）=x2﹣2bx﹣，若对于∀x1∈[1，2]，∃x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．
参考答案
一、填空题 (共14题；共15分)
1、答案：略
2-1、
3-1、
4、答案：略
5-1、
6-1、
7-1、
8、答案：略
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
二、解答题 (共6题；共55分)
15-1、
15-2、16-1、
16-2、17-1、18-1、
18-2、19-1、
19-2、
19-3、
20-1、
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2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(全解全析)
2024年高考第三次模拟考试数学（理科）·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,6【答案】A【分析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义计算可得.【详解】由260x x -≥，即()60x x -≥，解得6x ≥或0x ≤，所以{}(][)260,06,B x x x ∞∞=-≥=-⋃+，又{}24A x x =-≤≤，所以[]2,0A B ⋂=-.故选：A 2．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．14【答案】C【分析】运用复数代数运算及两复数相等的性质求解即可.【详解】由题意知，22231(i)i=i2422z a a=+=-+，所以23142a⎧-=⎪⎪=，解得12a=.故选：C.3．如图，已知AM是ABC的边BC上的中线，若AB a=，AC b=，则AM等于（）A．()12a b-B．()12a b--C．()12a b+D．()12a b-+【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】因为AM是ABC的边BC上的中线，所以12CM CB=，所以12AM AC CM AC CB=+=+()()()111222AC A CB A AC aBA b=+-=+=+.故选：C4．已知函数()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x=是()f x图象的一条对称轴，则()f x的单调递减区间为（）A．()π5π2π,2πZ66k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦B．()5π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦C．()4ππ2π,2πZ33k k k⎛⎤--∈⎥⎝⎦D．()π2π2π,2πZ33k k k⎛⎤-+∈⎥⎝⎦【答案】B【分析】根据()()πtan0,02f x xωϕωϕ⎛⎫=+><<⎝⎭的最小正周期确定ω的值，根据函数的对称轴求出ϕ，结合正切函数的单调性，列出不等式，即可求得答案.【详解】由于()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象是将()tan y x ωϕ=+的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，且()tan y x ωϕ=+π0,02ωϕ⎛⎫><<⎪⎝⎭仅有单调递增区间，故()()tan f x x ωϕ=+和()tan y x ωϕ=+的最小正周期相同，均为2π，则π12π,2ωω=∴=，即()1tan 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则1π1π,Z 232k k ϕ⋅+=∈，即1ππ,Z 26k k ϕ=-∈，结合π02ϕ<<，得π3ϕ=，故()1πtan 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π1πππ,Z 223k x k k -<+≤∈，则5π2π2π2π,Z 33k x k k -<≤-∈，即()f x 的单调递减区间为()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦，故选：B5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分性、必要性的定义，结合直线的斜率是否存在进行判断即可.【详解】当直线的斜率等于0时，直线的方程为1y =，代入方程224x y +=中，得x =，显然CD =；当直线的不存在斜率时，直线的方程为1x =，代入方程224x y +=中，得y =CD =因此是必要而不充分条件，故选：A6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种【答案】B【分析】根据题意，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，剩下的三人安排在其他三个名次，由加法原理计算可得答案．【详解】根据题意，丙丁都没有得到冠军，而丁不是最后一名，分2种情况讨论：①丙是最后一名，则丁可以为第二、三、四名，即丁有3种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有1863=⨯种名次排列情况；②丙不是最后一名，丙丁需要排在第二、三、四名，有23A 6=种情况，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况，此时有6636⨯=种名次排列情况；则一共有361854+=种不同的名次情况，故选：B ．7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．【答案】C【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，排除BD ，再求出特殊点的函数值，得到答案.【详解】()πln sin ln cos 2x x x x f x x x⎛⎫⋅- ⎪⋅⎝⎭==定义域为()(),00,∞-+∞U ，且()()()ln cos ln cos x x x x f x f x x x-⋅-⋅-==-=--，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点中心对称，排除B 、D ．又()ln 2cos 2202f ⋅=<，故A 错误.故选：C ．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A ．3π24R B ．3π24R C ．3π12R D ．3π12R 【答案】C 【分析】分别求得面α截圆锥时所得小圆锥的体积和平面α与圆柱下底面之间的部分的体积，结合祖暅原理可求得结果.【详解】 平面α截圆柱所得截面圆半径2r =，∴平面α截圆锥时所得小圆锥的体积2311ππ3212V r R R =⋅=，又平面α与圆柱下底面之间的部分的体积为232πV R R R =根据祖暅原理可知：平面α与半球底面之间的几何体体积33321πππ21212V V V R R R =-=-=.故选：C.9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<【答案】B【分析】用定义证明函数()f x 的奇偶性及在()0,1上的单调性，利用函数()f x 的奇偶性及单调性，对数函数ln y x =的性质及对数运算可得结果.【详解】因为函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，又()()ln ln f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，当01x <<时，任取12x x >，()()12121221ln ln ln ln ln ln 0f x f x x x x x x x -=-=-=-<，即()()12f x f x <，所以()f x 在()0,1上为减函数，因为31ln2ln02>>>，所以()()()113ln ln2ln2ln2ln 22a f f f f f c-⎛⎫⎛⎫===-=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c <，设3401,1x x <<<，则()4444ln ln ln f x x x x ===，()3333ln ln ln f x x x x ===-，若()()34f x f x =，则34ln ln x x -=，所以341x x =，因为2e ln 2ln212=->，所以22e 11ln e 22ln2ln 2b f f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，又()21ln21ln202ln22ln2--=>--，即11ln202ln2>>>-，所以()1ln22ln2f f ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，即b a <，故选：B.10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a=，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个【答案】B 【分析】由81a=，利用递推关系，分类讨论逆推出1a 的不同取值，进而可得答案.【详解】若81a =，又1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，根据上述运算法进行逆推，可得72a =，64a =，所以58a =或51a =；若58a =，则4316,32a a ==或35a =；当332a =时，2164,128a a ==或121a =；若35a =时，2110,20a a ==或13a =；当51a =，则4322,4,8a a a ===或21a =；当28a =时，116a =；当21a =时，12a =，故81a=时，1a 的所有可能的取值集合{}2,3,16,20,21,128M =即集合M 中含有6个元素．故选：B11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为C 的离心率是（）AB ．32CD ．3【答案】B【分析】根据斜率及双曲线的对称性得12BF F △为等边三角形，再根据同角间关系求解三角函数值，进而用正弦定理求出121410,33AF c AF c ==，由双曲线定义可得423c a =，从而得到离心率.【详解】由题意，直线1BF12π3BF F ∴∠=，又12BF BF =，所以12BF F △为等边三角形，故12122BF BF F F c ===，2112π2π,33BF F F F A ∠=∠=，在12AF F △中，21tan 0F F A ∠>，则21F F A ∠为锐角，则212111sin 14F F A F F A ∠=∠=，212πsin sin 3A F F A ⎛⎫=+∠= ⎪⎝⎭由正弦定理，12121221sin sin sin F F AF AF AF F AF F A==∠∠，=∴121410,33AF c AF c ==,由122AF AF a -=，得423c a =，32c e a ∴==.故答案选：B .12．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==可判断B ，对于D ，通过观察选项可以推断()f x 很可能是周期函数，结合()()()(),f x g y g x f y 的特殊性及一些已经证明的结论，想到令1y =-和1y =时可构建出两个式子，两式相加即可得出()()()11f x f x f x ++-=-，进一步得出()f x 是周期函数，从而可求()20231n f n =∑的值.【详解】解：对于A ，令0x y ==，代入已知等式得()()()()()000000f f g g f =-=，得()00f =，故A错误；对于B ，取()()2π2πsin,cos 33f x xg x x ==，满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-及()()210f f -=≠，因为()3cos 2π10g ==≠，所以()g x 的图象不关于点()3,0对称，所以函数()21g x +的图象不关于点()1,0对称，故B 错误；对于C ，令0y =，1x =，代入已知等式得()()()()()11010f f g g f =-，可得()()()()110100f g g f ⎡⎤-=-=⎣⎦，结合()10f ≠得()100g -=，()01g =，再令0x =，代入已知等式得()()()()()00f y f g y g f y -=-，将()00f =，()01g =代入上式，得()()f y f y -=-，所以函数()f x 为奇函数.令1x =，1y =-，代入已知等式，得()()()()()21111f f g g f =---，因为()()11f f -=-，所以()()()()2111f f g g =-+⎡⎤⎣⎦，又因为()()()221f f f =--=-，所以()()()()1111f f g g -=-+⎡⎤⎣⎦，因为()10f ≠，所以()()111g g +-=-，故C 错误；对于D ，分别令1y =-和1y =，代入已知等式，得以下两个等式：()()()()()111f x f x g g x f +=---，()()()()()111f x f x g g x f -=-，两式相加易得()()()11f x f x f x ++-=-，所以有()()()21f x f x f x ++=-+，即：()()()12f x f x f x =-+-+，有：()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x -+=++--+-+=，即：()()12f x f x -=+，所以()f x 为周期函数，且周期为3，因为()11f =，所以()21f -=，所以()()221f f =--=-，()()300f f ==，所以()()()1230f f f ++=，所以()()()()()()()2023111232023202311n f n f f f f f f ===++++===∑ ，故D 正确.故选：D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.【答案】3【分析】根据n S 求得n a ，再结合对勾函数的单调性，即可求得结果.【详解】因为2n S n n =+，则当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -=-=+----=，又当1n =时，112a S ==，满足2n a n =，故2n a n =；则9n n S a +29191222n n n n n ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，又9y x x=+在()1,3单调递减，在()3,+∞单调递增；故当3n =时，9n n+取得最小值，也即3n =时，9n n S a +取得最小值.故答案为：3.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.【答案】9542ω≤≤【分析】根据给定条件，利用辅助角公式化简函数()f x ，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】依题意，函数π()2sin(13f x x ω=+-，由()0f x =，得π1sin()32x ω+=，则ππ2π36x k ω+=+或π5π2π,Z 36x k k ω+=+∈，由[0,2π]x ∈，得πππ[,2π333x ωω+∈+，由()f x 在[0,2π]上恰有5个零点，得29ππ37π2π636ω≤+<，解得935412ω≤<，由3ππ22πx ω+≤-≤，得5ππ66x ωω-≤≤，即函数()f x 在5ππ[,66ωω-上单调递增，因此5ππ[,]ππ[,]41566ωω-⊆-，即45π6πω≤--，且π6π15ω≥，解得502ω<≤，所以正实数ω的取值范围为9542ω≤≤.故答案为：9542ω≤≤15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）【答案】15【分析】根据条件，两边求导得到12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，再取=1x -，即可求出结果.【详解】因为52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，两边求导可得12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，令=1x -，得到23454115(23)2345a a a a a -=-+-+，即12345234515a a a a a -+-+=，故答案为：15.16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数②(0,),()0x f x ∃∈+∞>③41(1)e f >④0x ∀>时，41()e xf x <【答案】②③【分析】根据构造函数的规律由令()()4e xg x f x =，再结合奇函数的性质可得①，求导分析单调性和极值可得②③④.【详解】令()()4e x g x f x =，则()()()()()4444e e e 4x x x g x f x f x f x f x '''=+=+⎡⎤⎣⎦，若()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，取0x =时，即()00f =，但(01f =），故①错误；因为4e 0,(0,)x x >∈+∞恒成立，且()4()0f x f x '+>，所以()0g x '>恒成立，()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以()()()()()44110e 101e g g f f f >⇒>⇒>，故②正确；由②可知，③正确；因为()g x 在(0,)+∞上为单调递增函数，所以当0x >时有()()()()0,001g x g g f >==，所以()()441e 1e x xf x f x >⇒>，故④错误；故答案为：②③三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC 的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．【答案】(1)35；(2)4.【详解】（1）由()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =-- 垂直，得0m n ⋅=，...............1分即sin (5sin 6sin )(5sin 5sin )(sin sin )0B B C A C C A -++-=，整理得2226sin sin sin sin sin 5B C A B C +-=，...............2分在ABC 中，由正弦定理得22265b c a bc +-=，...............3分由余弦定理得2223cos 25b c a A bc +-==，所以cos A 的大小为35................5分（2）由（1）知，在ABC 中，3cos 5A =，则4sin 5A ==，...............6分由22265b c a bc +-=，得22266482555a b c bc bc bc bc ==+-≥-=，即10bc ≤，...................................................................................................8分当且仅当b c =时取等号，...................................................................................................9分因此ABC 的面积12sin 425ABC S bc A bc ==≤ ，..........................................................11分所以ABC 的面积的最大值是4.....................................................12分18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828【答案】(1)列联表见解析，有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”；(2)35【详解】（1）依题意，关注流行语居民人数为81410638+++=，不关注流行语居民人数为81422+=，...................................................................................................2分所以22⨯列联表如下：男女合计关注流行语30838不关注流行语101222合计4020602K 的观测值2260(3012108)7.03 6.63540203822K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，................................................................4分所以有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”...................5分（2）依题意，男居民选出406660⨯=（人），.......................................6分记为a b c d ,,,，女居民选出2人，记为,E F ，从6人中任选3人的样本空间{,,,,,,,,,,abc abd abE abF acd acE acF adE adF aEF Ω=,,,,,,,,,}bcd bcE bcF bdE bdF bEF cdE cdF cEF dEF ，共20个，.................................9分选出的3人为2男1女的事件{,,,,,,,,,,,}A abE abF acE acF adE adF bcE bcF bdE bdF cdE cdF =，共12个，...........11分所以选出的3人为2男1女的概率123()205P A ==......................................12分19．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在；4AP =-【详解】（1）证明：如图，设,M N 分别为,EF AB 边的中点，连接,,MN DM CN ，..1分因为⊥AE 平面,,5,4,3ABC AE CD BF AE CD BF ===∥∥，所以42AE BFMN CD +===，//MN BF ,进而MN CD ∥，即四边形CNMD 为平行四边形，可得MD CN ∥，......................................3分在底面正三角形ABC 中，N 为AB 边的中点，则CN AB ⊥，......................................4分又⊥AE 平面ABC ，且CN ⊂平面ABC ，所以AE CN ⊥．由于⋂=AE AB A ，且AE AB ⊂、平面ABFE ，所以CN ⊥平面ABFE ．.....................5分因为,MD CN CN ⊥∥平面ABFE ，则MD ⊥平面ABFE ，又MD ⊂平面DEF ，则平面DEF ⊥平面AEFB ．......................................6分（2）如图，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()())0,0,5,0,2,4,E D F ．设点()0,0,P t，则)()()1,1,0,2,1,0,2,4DF DE DP t =--=-=--．.................8分设平面PDF 的法向量为()1111,,n x y z = ，平面EDF 的法向量为()2222,,n x y z =．由题意知110,0,n DF n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()111110,240,y z y t z --=-+-=⎪⎩令12z =，则114,y t x =-=14,2n t ⎫=-⎪⎭ ，......................................9分220,0,n DF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222220,20,y z y z --=-+=⎪⎩取22z =，则)22n = ，...............................10分由121212π1cos ,cos 32n n n n n n ⋅===，28290t t +-=，解得：4t =±-，由于点P 为线段AE 上一点，故05t ≤≤，所以4t =-，......................................11分当4t =-时，二面角P DF E --所成角为锐角，即存在点P 满足，此时4AP =．......................................12分20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．【答案】(1)22143x y +=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）4【详解】（1）点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴，则有()1,0F 设椭圆C 的焦距为()20c c >，则1c =，.......................................................................1分点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程，有()222219191441a b a a +=+=-，解得2a =，则222413b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=...................................................................................3分（2）（ⅰ）设直线l 的方程为y kx m =+，由22143y y k x x m =+⎧⎪⎨⎪+⎩=，消去y ，整理得()2223484120kxkmx m +++-=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()22Δ48430k m =-+>，设()()1122,,,A x y B x y ，所以21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++， (5)分因为直线AF 和直线BF 关于PF 对称，所以()()()()12121212121212220111111AF BF kx x m k x x my y kx m kx m k k x x x x x x +-+-+++=+=+==------所以()()()21212224128222203434m kmkx x m k x x m k m k m k k --+-+-=⨯+-⨯-=++所以222282488860km k km k m mk m --+--=解得4m k =-................................................................................................................7分所以直线l 的方程为()44y kx k k x =-=-，所以直线l 过定点()4,0................................,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.......8分（ⅱ）设直线l 的方程为4x ny =+，由224143x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理得()223424360n y ny +++=，因为l 交椭圆C 于,A B 两点，所以()()()222Δ241443414440n n n =-+=->，解得24n >，........................................................................................................9分1212222436,3434n y y y y n n +=-=++，所以12y y -=所以121331822ABFS y y =⨯-=⨯⨯ .............................10分令()24,0n t t -=>则18184ABC S ==≤，当且仅当163t =时取等号，所以ABF △面积的最大值为4......................................................................12分21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；极大值21(1)f e =，极小值(0)0f =；(2)(]0,2e 【详解】（1）当2a =时，()22=exx f x ()()2222222e e 22(1)=e e x x xxx x x x f x ⋅-⋅⋅--'=......................................2分令()=0f x '，解得0x =或1x =，......................................3分所以()()x f x f x '、、的关系如下表：x(,0)-∞0(0,1)1(1,)+∞()f x '-+-()f x 单调递减0单调递增21e 单调递减所以函数()f x 的单调递增区间为：(0,1)，单调递减区间为：(,0)-∞和(1,)+∞；......................................4分极大值21(1)f e=，极小值(0)0f =；......................................5分（2）[]222()cos ln ()ln 4cos ln 2ln 4e eaa x xx x f x f x a x x a x x ⎛⎫-≥-⇔-≥- ⎪⎝⎭ln 2e 2(ln 2)cos(ln 2)0a x x a x x a x x -⇔----≥......................................6分令()e 2cos t g t t t =--，其中ln 2a x x t -=，设l (2)n a x x F x =-，0a >2()2a a x x xF x --='=令()0F x '>，解得：02ax <<，......................................8分所以函数()F x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，max ()ln 22a a F x F a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，且当0x +→时，()F x →-∞，所以函数()F x 的值域为,ln 2a a a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；......................................9分又()e 2sin t g t t '=-+，设()e 2sin t h t t =-+，,ln 2a t a a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，则()e cos t h t t '=+，当0t ≤时，e 1,sin 1t t ≤≤，且等号不同时成立，即()0g t '<恒成立；当0t >时，e 1,cos 1t t >≥-，即()0h t '>恒成立，所以()h t 在(0,)+∞上单调递增，又(0)1g '=-，(1)e 2sin10g '=-+>，所以存在0(0,1)t ∈，使得0()0g t '=，当00t t <<时，()0g t '<，当0t t >时，()0g t '>，所以函数()g t 在0(,)t -∞上单调递减，在0(,)t +∞上单调递增，且(0)0g =......................................11分当ln 02aa a -≤即02e a <≤时，()0g t ≥恒成立，符合题意；当ln02a a a ->即2e a >时，取10min ln ,2a t a a t ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，必有1()0g t <，不符合题意.综上所述：a 的取值范围为(]0,2e ......................................12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C 与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.【答案】(1)C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=.(2)存在，坐标为33,,4444⎛⎛--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】（1）由题设曲线C 的参数方程，消参得()2214x y -+=，............................2分由cos ,sin x y ρθρθ==，且)πsin sin cos 4ρθρθρθ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭y =30x y -+=，......................................4分∴C 的普通方程为()2214x y -+=，l 直角坐标方程为30x y -+=...............................5分（2）当0y =时，()33,0x A =-⇒-，易知()12cos ,2sin B a a +，设(),M x y ，可得()()3,,2cos 1,2sin AM x y MB a x a y =+=-+-，......................................6分32cos 1cos 1,2sin sin x a x x a AM MB y a y y a +=-+=-⎧⎧=⇒⎨⎨=-=⎩⎩（a 是参数），消参得方程为()2211,x y ++=......................................8分且1,2,1,3E C C E C E r r r r r r ==-=+=，则圆心距离2,d ==得C E C E r r d r r -<<+，则两圆相交，故两圆存在公共点，联立方程组()()22221114x y x y ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，解得34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或34x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故坐标为33,,44⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭......................10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】(1)113x x x ⎧⎫≤≥⎨⎬⎩⎭或(2)证明见解析【详解】（1）()2122f x x x x =-+-+，当0x <时，532x -+≥，解得0x <，......................................1分当102x ≤<时，332x -+≥，解得103x ≤≤，......................................2分当112x ≤<时，12x +≥，解得x ∈∅，......................................3分当1x ≥时，532x -≥，解得1x ≥，......................................4分综上所述，()2f x ≥的解集为13x x ⎧≤⎨⎩或}1≥x .......................................5分（3）由已知可得()5301330211<12531x x x x f x x x x x -+<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪+≤⎪⎪->⎩，所以当12x =时，()f x 的最小值为32...............................................................................................6分1a b ∴+=，211,24a b a b ab +⎛⎫+=∴≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==取等,......................................8分令t ab =，则104t <≤，211()212225224a b ab a b ab ab t a b ab ab ab t +-⎛⎫⎛⎫++=++=+-=+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当14t =取等，此时12a b ==.......................................10分。
【三模】数学高考检测试卷(含答案)
10.花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为()
A. 2520B. 5040C. 7560D. 10080
【答案】A
【解析】
【分析】结合全排列的概念即可.
【详解】由题意，对8盏不同的花灯进行取下，
【详解】由题意可得： ，解得 ，
故 ，
故选：C.
4.小华忘记了手机开机密码的前三位，只记得第一位和第二位取自0，1，2，3(可以相同)，第三位是A，B，C中的一个字母，则小华输入一次密码就能够成功解锁的概率为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合古典概型的概率的计算公式即可.
【详解】输入不同的组合一共有： 种可能，
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】结合 运算和 的实际意义即可.
【详解】由 ，
得 ，
，
，
所以 ，
因为 ， ，
上式化为
而 ，所以 .
故选： .
3.某一随机变量 的概率分布如下表，且 ，则 ()
0
1
2
3
0.1
0.2
A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件求出 ，然后根据分布列即可得出结果.
16.用0、1、2、3、4、5这六个数字组成一个无重复数字的五位数，百位和个位必须是奇数的数有_______个．
三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.某地区突发传染病公共卫生事件，广大医务工作者逆行而上，纷纷志愿去一线抗击疫情 某医院呼吸科共有3名医生，4名护士.
2023年高考数学第三次模拟考试及答案解析(新高考Ⅰ卷A卷)
2023年高考数学第三次模拟考试及答案解析（新高考Ⅰ卷A 卷）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合3{|0}3x A x x +=≤-，{}3,1,0,3,4B =--，则A B ⋂的元素个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】303x x +≤-，()()330x x ∴+-≤，且3x ≠，33x ∴-≤<，[)33A =-，，又{}3,1,0,3,4B =--，则{}3,1,0A B ⋂=--，A B ⋂的元素个数为3个．故选：B.2．设i(,)z a b a b =+∈R 在复平面内对应的点为M ，则“点M 在第四象限”是“0ab <”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A【解析】由题知，i(,)z a b a b =+∈R 在复平面内对应的点为(,)M a b ，因为点M 在第四象限，即0,0a b ><，ab <，即00a b >⎧⎨<⎩，或00a b <⎧⎨>⎩，所以“点M 在第四象限”是“0ab <”的充分不必要条件，故选：A3．已知{}n a 是各项不相等的等差数列，若14a =，且248,,a a a 成等比数列，则数列{}n a 的前6项和6S =（）A ．84B ．144C ．288D ．110【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由248,,a a a 成等比数列，则2428a a a =，即()()()211137a d a d a d +=++，整理可得240d d -=，由数列{}n a 各项不相等，解得4d =，即4n a n =，()()44212n n n S n n+==+，故()6261684S =⨯⨯+=.故选：A.4．已知向量a ，b 满足2a = ，(1,1)= b ，a b += a 在向量b 上的投影向量的坐标为（）A ．22⎛ ⎝⎭，B ．()11，C ．()1，1--D ．22⎛- ⎝⎭，【答案】B【解析】由(1,1)=b ，得b ==a b + 即42210a b ++= ，则2a b =，所以向量a 在向量b上的投影向量的坐标为()(1,1)a b b b b b==.故选：B .5．函数()1e πcos 1e 2x x f x x ⎛⎫-⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭的部分图象大致形状是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为()1e π1e cos sin 1e 21e x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭的定义域为R .定义域关于原点对称，()()()111e 1e e sin sin sin 11e 1e 1exx x x x xf x x x x f x --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫---=-=-== ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，故排除选项B 、D ，当0x >时，令()0f x =可得0x =或()πx k k =∈Z ，所以0x >时，两个相邻的零点为0x =和πx =，当0πx <<时，1e 01e xx-<+，sin 0x >，()1e sin 01e x x f x x ⎛⎫-=< ⎪+⎝⎭，故排除选项A ，故选：C.6．立德学校于三月份开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（）种．A ．20B ．4C ．60D ．80【答案】C【解析】先安排2名男生，保证每个小组都有男生，共有2种分配方案；再安排5名女生，若将每个女生随机安排，共有5232=种分配方案，若女生都在同一小组，共有2种分配方案，故保证每个小组都有女生，共有52230-=种分配方案；所以共有23060⨯=种分配方案.故选：C.7．刍(chú)甍(méng )是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，上棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体．已知一个刍甍底边长为6，底边宽为4，上棱长为2，高为2，则它的表面积是（）A ．B ．24+C ．24+D ．24++【答案】B【解析】设几何体为EFABCD-，如下图所示：矩形ABCD 的面积为2446=⨯，ABE 、CDF ，两个全等的等腰梯形ADFE 、BCFE，设点E 、F 在底面ABCD 内的射影点分别为G 、H ，过点G 在平面ABCD 内作GM BC ⊥，连接EM ，过点H 在平面ABCD 内作HNCD⊥，连接F N ，FH ⊥ 平面ABCD ，H N、CD ⊂平面ABCD ，FHCD ∴⊥，FH HN⊥，HN CD ⊥ ，FH HN H = ，CD \^平面FHN ，FN ⊂平面FHN ，FN CD ∴⊥，易知2FH =，2HN =，则在CDF 中，斜高为FN===所以，12ABE CDF S S CD FN ==⋅=△△同理可知，梯形BCFE 的高为EM ===，所以，()12ADFEBCFE S S EF BC EM ==+⋅=梯形梯形因此，该几何体的表面积为(24224+⨯=+故选：B.8．如图，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ，右顶点为A ，点Q 在y 轴上，点P 在椭圆上，且满足PQ y ⊥轴，四边形1F APQ 是等腰梯形，直线1FP 与y 轴交于点N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）．A ．14B C D ．12【答案】D【解析】由题意，做PMx ⊥轴于点M，因为四边形1F APQ 是等腰梯形，则1FO AM c ==，OM a c=-则点P 的横坐标为P x a c =-，代入椭圆方程()2222:10x y C a b a b+=>>，可得py =，即PM=因为4N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则4ON =，由11F NO F PM，则114b FO ONc b F M PM a =⇒=，化简可得，434332160a ac c -+=，同时除4a 可得，43163230e e -+=即()()3221812630e e e e ----=，对于()3281263f e e e e =---当1e =时，()1130f =-<，当2e =时，()210f =>，在()1,2e ∈时，方程()()3221812630e e e e ----=有根，且()0,1e ∈，故应舍，所以12e =.故选:D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图为国家统计局于2022年12月27日发布的有关数据，则（）A ．营业收入增速的中位数为9.1%B ．营业收入增速极差为13.6%C ．利润总额增速越来越小D ．利润总额增速的平均数大于6%【答案】ABD【解析】由表中数据易知营业收入增速的中位数为9.1%，故选项A 正确；营业收入增速的极差为20.3% 6.7%13.6%-=，故选项B 正确；利润总额增速2022年1-3月累计比2022年1-2月累计上升，故选项C 错误；利润总额增速的平均数(38.0%34.3%5.0%8.5%3.5%1.0%1.0%1.1%++++++-2.1% 2.3% 3.0% 3.6%)12 6.6%----÷=，故选项D 正确；故选：ABD .10．甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球．用1A ，2A ，3A 分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B 表示乙袋取出的球是白球，则（）A ．1A ，2A ，3A 两两互斥B ．()213P BA =C ．3A 与B 是相互独立事件D ．()13P B =【答案】AB【解析】对于A ，由题意可知1A ，2A ，3A 不可能同时发生，所以1A ，2A ，3A 两两互斥，所以A 正确，对于B ，由题意可得2221131(),()844912P A P A B ===⨯=，所以()2221()1121()34P A B P B A P A ===，所以B 正确，对于C ，因为321()84P A ==，3131()4912P A B =⨯=1234413137()()()()89494918P B P A B P A B P A B =++=⨯+⨯+⨯=，所以33()()()P A B P A P B ≠，所以3A 与B 不是相互独立事件，所以C 错误，对于D ，由C 选项可知D 是错误的，故选：AB11．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，12A ⎫⎪⎪⎝⎭是C 上一点，若C的离心率为3，连结2AF 交C 于点B ，则（）A ．C 的方程为2213x y -=B ．1290F AF ︒∠=C ．12F AF的周长为2+D ．1ABF【答案】ABD【解析】对A ，将点A 的坐标代入双曲线方程，并由222,c e c a b a==+得下列方程组：22222151441a b c a c a b⎧⎪-=⎪⎪⎪⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩，解得2a b c ⎧⎪⎨⎪=⎩，∴双曲线2213xy -=，A 正确；对B ，12(2,0),(2,0)F F -，112,22F A ⎫=+⎪⎪⎝⎭，212,22F A ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，121514044F A F A ⋅=-+= ，∴12F A F A ⊥，B正确；对C，1AF ===，2AF ==，1224F F c ==，周长4=，C 错误；对D ，令2BF m=，则1BF m =，225AB AF BF m =+，在1Rt ABF 中，22211BF AF AB=+，∴11m =，设1ABF 的周长为l ，内切圆半径为r ，11l AF AB BF =++，由三角形面积公式知：1111·22ABFS AF AB lr == ，∴1112ABF S r AF AB BF =++ ，D 正确；故选：ABD ．12．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若23f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数，123f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，则下列结论中一定正确的是（）A ．203f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()203f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()203f f ⎛⎫=- ⎪⎝'⎭'D ．103f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭'【答案】ABD 【解析】因为2()3+f x 为奇函数，定义域为R ，所以22((33f x f x -+=-+，故4()(3f x f x -=-+，等式两边同时取导数，得4()()3f x f x ''--=-+，即4()()3f x f x ''-=+①，因为1(23f x -的图象关于y 轴对称，则11(2(233f x f x -=--，故2()()3f x f x =--，等式两边同时取导数，得2()()3f x f x ''=---②.由4()(3f x f x -=-+，令23x =-，得22()(33f f =-，解得2()03f =，由2()()3f x f x =--，令0x =，得2(0)(3f f =-，由②，令0x =，得2(0)(3f f ''=--，令13x =-，得11(()33f f ''-=--，解得1()03f '-=，故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若()()()()82801281111x a a x a x a x -=+++++++ ，则5a =_____．【答案】448-【解析】令1x t +=可得1x t =-，则()1112x t t -=--=-，所以，()82801282t a a t a t a t -=++++ ，所以，5a 为展开式中5t 的系数，()82t -的展开式通项为()()()88188C 2C 210,1,2,,8kkkk kk k k T t t k --+=⋅-=⋅⋅-= ，所以，()()55358C 215681448a =⋅⋅-=⨯⨯-=-.故答案为：448-.14y 轴交于点A ，与圆221x y +=相切于点B ，则AB =______.【解析】设直线AB 的方程为y b =+0y b -+=则点()0,A b ，由于直线AB 与圆221x y +=相切，且圆心为()0,0O ，半径为1，则12b =，解得2b =±，所以2AO =，因为1BO =，故AB ==15．某市统计高中生身体素质的状况，规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格．现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值(1,2,3,,100)i x i = ，经计算10017200i i x ==∑，()1002211007236i i x ==⨯+∑．若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布()2,N μσ，则估计该市高中生身体素质的合格率为______．（用百分数作答，精确到0.1%）参考数据：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则0().6827P X μσμσ≤≤+≈-，(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+≈，3309().973P X μσμσ-≤≤+≈．【答案】97.7%【解析】因为100个数据1x ，2x ，3x ，…，100x 的平均值1001172100i i x x ===∑，方差()()1122222210010011110010072361007236100100100i i i i s x x x x ==⎛⎫⎡⎤=-=-=⨯⨯+-⨯= ⎪⎦⎣⎝⎭∑∑，所以μ的估计值为72μ=，σ的估计值为6σ=．设该市高中生的身体素质指标值为X ，由(22)0.9545P X μσμσ-≤≤+≈，得(72127212)(6084)0.9545P X P X -≤≤+=≤≤≈，()()()()12210.9545842222P X P X P X P X μσμσμσμσ--<<+->=>+=<-=≈所以1(60)(6084)(84)0.9545(10.9545)0.9772597.7%2P X P X P X ≥=≤≤+>≈+⨯-=≈．故答案为：97.7%.16．已知函数()()2e 1,01ln 1,02x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩.若()()0x f x a x -≤，则a 的取值范围是___________.【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】当0x =时，()()00x f x a x -=≤恒成立；当0x <时，此时应有()()0f x a x f x ax -=+≥，即2e 10x ax --+≥.令()2e1xg x ax -=-+,0x <，则()22exg x a-'=-+.设()22e xh x a -=-+，则()24e 0x x -'=>恒成立，所以()h x ，即()g x '单调递增.又()00e10g =-=，则要使()0g x ≥在(),0∞-上恒成立，应有()22e 0xg x a -'=-+≤在(),0∞-上恒成立，即22e x a -≤在(),0∞-上恒成立.又0x <时，22e 2x ->，所以2a ≤；当0x >时，此时应有()()0f x a x f x ax -=-≤，即()1ln 102x ax +-≤.令()()1ln 12x ax k x +=-，则()()121a k x x =-+'.令()()121a x m x =-+，则()()21021m x x '-=<+恒成立，所以()m x ，即()k x '单调递减.又()00k =，则要使()0k x ≤在()0,∞+上恒成立，应有()()1021a x k x =-≤+'在()0,∞+上恒成立，即()121a x ≥+在()0,∞+上恒成立.因为，()121y x =+在()0,∞+上单调递减，所以()11212x <+，所以12a ≥.综上所述，a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在四边形ABCD 中，已知2π3ABC∠=，π3BDC ∠=，AB BC ==．（1）若BD =AD 的长；（2）求A B D △面积的最大值．【答案】（1）AD ；（2）【解析】（1）在B C D △中，由余弦定理，得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅∠，∴222π2cos3CD CD =+-⨯⋅，整理得2720CD --=,解得CD =CD =-．∴2222221c os 27BD BC CD DBC BD BC +-∠===⋅，而2π(0,)3DBC ∠∈,故sin 7DBC ∠=,∴2π111cos cos cos 3214ABD DBC DBC DBC ⎛⎫∠=-∠=-∠+∠=⎪⎝⎭，故在ABD △中，2222cos AD AB BD AB BD ABD=+-⋅⋅∠221125714=+-⨯=，∴AD ；（2）设,2π(0,)3CBD θθ∠=∈,则在BCD △中，sin sin BC BD BDC BCD=∠∠,则2π)π314sin()2π3sin 3BD θθ-=+，所以π2π11sin sin 2214sin(()33ABD S AB BD ABD θθ=+=⨯⨯∠-⋅△2π34(θ=+，当2πsin ()13θ+=，即π6θ=时，ABD △面积取到最大值18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11a =，223a =，且数列(){}423n n nS n a ++是等差数列.（1）证明：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设13,,n n n na nb n n a -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（1）证明见解析；13n n n a -=；（2）2122338n n T n +-=+.【解析】（1）∵11a =，223a =，∴11S =，253S =，设()423n n n c nS n a =++，则19c =，218c =，又∵数列{}n c 为等差数列，∴9n c n =，∴()4239n n nS n a n ++=，∴()2349nn n a S n++=，当2n ≥时，()1121491n n n a S n --++=-，∴()()12321401n n n n a n a a nn -+++-=-，∴()()1632101n n n a n a nn -++-=-，又∵210n +≠，∴1301n n a a n n --=-，即：1131n n a an n -=⋅-，又∵1101a =≠，∴n a n ⎧⎫⎨⎩⎭是以1为首项，13为公比的等比数列，∴113n n a n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=，即13n n n a -=；（2）∵13,,n n n na nb n n a -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，且13n n na -=，∴1,3,n n n n b n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，∴()()132121321333n n T n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦()()()221223193311213321988n n n n n n n +--+-⎡⎤-⎣⎦=+=+=+-，∴2122338n n T n +-=+.19．如图，已知斜四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，点1A 在底面ABCD 的射影为O ，且11AD BC CD AA ====，2AB =，112A O =，1AA BC ⊥.（1）求证：平面ABCD ⊥平面11ACC A ；（2）若M 为线段11B D 且平面MBC 与平面ABCD 夹角的余弦值为7，求直线1A M 与平面MBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）7【解析】（1）证明：等腰梯形ABCD 中，2AB =，1BC CD AD ===，作//CE AD 交AB 于E ，如图，则ADCE 是菱形，AE CD EB CE BC ====，BCE 是等边三角形，则60ABC ∠=︒，60DCE ECB ∠=∠=︒，30ACD ACE ∠=∠=︒，所以90ACB ∠=︒，即AC BC ⊥，又1BC AA ⊥，1AA AB A = ，1,AA AB ⊂平面11AAC C ，所以BC ⊥平面11A ACC ，又BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面11A ACC ；（2）点1A 在底面ABCD 的射影为O ，由（1），得O 在AC 上，且1A O AC ⊥，又111,12A O AA ==，所以AO ，而由（1）知AC =因此2CO =，建立如图所示空间直角坐标系C xyz -，则)A，()0,1,0B，O ⎫⎪⎪⎝⎭，112A ⎫⎪⎪⎝⎭，1,02D ⎫-⎪⎝⎭，则11,022CD BA ⎫==-⎪⎪⎝⎭，又113,022B D BD ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，111,0,22DD AA ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以1110,,22D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设1113,,022D M D B λ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭ （01λ≤≤），131,,2222M λ⎛⎫--+ ⎝⎭，(0,1,0)CB =，131,,2222CM λλ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭ ，设平面MBC 的法向量为(),,n x y z =，则131********n CM x y z n CB y λλ⎧⎛⎫⎧⋅=-+-++=⎪⎪ ⎪⇒⎨⎨⎝⎭⋅=⎪⎪⎩=⎩ ，取1x =，则()n = ，取平面ABCD 的法向量()0,0,1m = ，2cos ,417m n m n m n λ⋅===⇒=，则12λ=（负值舍去），即11,044A M ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设直线1A M 与平面MBC 所成的角为θ，则111sin cos ,A M n A M n A M n θ⋅===⋅ ，所以，直线1A M 与平面MBC20．第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会．为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市A 社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A 社区参加市亚运知识竞赛．已知A 社区甲、乙、丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为12、12、13，通过初赛后再通过决赛的概率均为13，假设他们之间通过与否互不影响．（1）求这3人中至多有2人通过初赛的概率；（2）求这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率；(3)某品牌商赞助了A 社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为12，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励600元；方案二：只参加了初赛的选手奖励200元，参加了决赛的选手奖励500元．若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．【答案】（1）1112；（2）3181；（3）方案二更好，理由见解析【解析】（1）3人全通过初赛的概率为21112312⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，所以，这3人中至多有2人通过初赛的概率为11111212-=.（2）甲参加市知识竞赛的概率为111236⨯=，乙参加市知识竞赛的概率为111236⨯=，丙参加市知识竞赛的概率为131139⨯=，所以，这3人中至少有1人参加市知识竞赛的概率为211311116981⎛⎫⎛⎫--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（3）方案一：设三人中奖人数为X ，所获奖金总额为Y 元，则600Y X =，且13,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()()160060039002E Y E X ==⨯⨯=元，方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z 元，则Z 的所有可能取值为600、900、1200、1500，则()211160011236P Z ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()212111115900C 1112233212P Z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅--+-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()21211111112001C 1232233P Z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+⋅-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()211115002312P Z ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，所以，()1511600900120015001000612312E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=.所以，()()E Y E Z <，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．21．已知抛物线()220C x py p =>：的焦点为F ，准线l 与抛物线C 的对称轴的交点为K ，点()2D t ，在抛物线C上，且DK =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线()1200l kx y k k --=>：交抛物线C 于()()()112212A x y B x y x x >，，，两点，点A 在y 轴上的投影为E ，直线AE 分别与直线OB （O 为坐标原点）交于点Q ，与直线2l y x =：交于点P ，记OAP △的面积为1S ，OPQ △的面积为2S ，求证：12S S =．【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析【解析】（1）作DH l ⊥，垂足为H ，则DFDH=.因为DK =，所以45DKH ∠= ，2DHHK ==.因为点()2D t ，在抛物线C 上，所以2422pt pt =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去t 得：2440p p -+=，解得21p t ==，.所以抛物线C 的方程为24x y =.（2）设()()1122A x y B x y ，，，，由2204kx y k x y--=⎧⎨=⎩，消去y 得2480x kx k -+=.则216320k k =->∆，因为0k >，所以2k >，则121248x x k x x k +==，.依题意知直线AE 的方程为1y y =，直线OB 的方程为22yy x x =.由1y y y x =⎧⎨=⎩，得P 点的坐标为()11y y ，.由122y y y y x x =⎧⎪⎨=⎪⎩得Q 的坐标为1212y x y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.要证12S S =，即证111122AP y PQ y ⋅=⋅，即证AP PQ =.即证121112y x y x y y -=-，即证12211220y x y x y y +-=.因为()112y k x =-，()222y k x =-，所以1221122y x y x y y +-=()()()()212211222222k x x k x x k x x -+----()()()222121222428k k x x k k x x k =-+-+-()()222222284248880k k k k k k k k k =-⨯+-⨯-=-=.即12211220y x y x y y +-=，所以12S S =.22．已知函数()ln a f x ax x x=--．（1）若1x >，()0f x >，求实数a 的取值范围；（2）设12,x x 是函数()f x的两个极值点，证明：12()()f x f x a-<．【答案】（1）1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析【解析】（1）依题意，2221()(0)a ax x a f x a x x x x-+'=-+=>.①当0a ≤时，在(1,)x ∈+∞上()0f x '<，所以()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()(1)0f x f <=，所以0a ≤不符合题设.②当102a <<时，令()0f x '=，得20ax x a -+=，解得()10,1x =()21,x ∞=∈+，所以当()21,x x ∈时()0f x '<，所以()f x 在()21,x 上单调递减，所以()(1)0f x f <=，所以102a <<不符合题设.③当12a ≥时，判别式2140a ∆=-≤，所以()0f x '≥，所以()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()(1)0f x f >=.综上，实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）由（1）知，当102a <<时，()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，所以1x 是()f x 的极大值点，2x 是()f x 的极小值点.由（1）知，121=x x ，121x x a +=，则21x x a-.综上，要证()()12f x f x -<，只需证()()1221f x f x x x -<-，因为()()()()2212112211121ln x x x x x f x f x a x x a x x x ---+=+--+⋅()()()21222121112122lnln x x x x a x x x x x x x x -=-+--=+()21221121ln 1x x xx x x -=+，设211xt x =>，()21()ln 1t g t t t -=+.所以()()2221414()011g t t t t '=+=+++，所以()g t 在()1,+∞上单调递增，所以()()10g t g >=.所以()()21120x x f x f x --+>，即得()()1221f x f x x x -<-成立．所以原不等式成立.。
上海市闵行区教育学院2024届高考 数学三模试卷【含答案】
2024届上海闵教院高考三模考试数学试卷0514一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分．满分54分）1．已知i 为虚数单位，复数()i 13i z =+，则z =.2．若抛物线22y px =-过点()1,2-，则该抛物线的焦点为．3．二项式611(1)x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为．4．已知两个正数a ，b 的几何平均值为1，则22+a b 的最小值为．5．已知随机变量()50,X B p ~，且[]20E X =，则[]D X =.6．4名志愿者全部分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有种.7．现有一个底面半径为2cm 、高为9cm 的圆柱形铁料，若将其熔铸成一个球形实心工件，则该工件的表面积为2cm （损耗忽略不计）．8．已知随机变量X 服从正态分布()0,1N ，若()1.960.03P X <-=，则(||1.96)P X <=．9．方程()2lg(2)lg 3x x -=-的解集为．10．对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义：0~1010~2525~5050~100①小雨②中雨③大雨④暴雨小明用了一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于等级．（只填入雨水等级所对应的序号）11．已知(2,1),(4,),a b m =--=-若向量b 在向量am =．12．若1F ､2F 是双曲线22221(0,0)x ya b ab-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于A ，B 两点.若2ABF △为等边三角形，则双曲线的离心率为.二、单选题（本大题共4题，满分20分）13．已知α：1x >，β：11x<，则α是β的（）A ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分.他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（）A ．讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分B ．讲座前的答卷得分分布较讲座后分散C ．讲座后答卷得分的第80百分位数为95D ．讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差15．对于函数()21cos sin 2f x x x x =+-，给出下列结论：（1）函数()y f x =的图像关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称；（2）函数()y f x =在区间π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（3）将函数()y f x =的图像向左平移π3个单位长度得到函数cos2y x =-的图像；（4）曲线()y f x =在π4x =处的切线的斜率为1.则所有正确的结论是（）A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（2）（4）D ．（1）（3）16．设P 为曲线C :24y x =上的任意一点，记P 到C 的准线的距离为d ．若关于点集{}A M MP d ==和{}222(,)(1)(1)B x y x y r =-+-=，给出如下结论：①任意,()0r ∈+∞，A B ⋂中总有2个元素；②存在,()0r ∈+∞，使得A B ⋂=∅．其中正确的是（）A ．①成立，②成立B ．①不成立，②成立C ．①成立，②不成立D ．①不成立，②不成立三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．在ABC 中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，已知a =45C =︒.(1)若sin A B =，求c ；(2)若15B A -=︒，求ABC 的面积.18．如图，已知顶点为S 的圆锥其底面圆O 的半径为8，点Q 为圆锥底面半圆弧AC 的中点，点P 为母线SA 的中点.(1)若母线长为10，求圆锥的体积；(2)若异面直线PQ 与SO 所成角大小为π4，求P 、Q 两点间的距离.19．2021年国庆期间，某县书画协会在县宣传部门的领导下组织了庆国庆书画展，参展的200幅书画作品反映了该县人民在党的领导下进行国家建设中的艰苦卓绝，这些书画作品的作者的年龄都在[25,85]之间，根据统计结果，作出如图所示的频率分布直方图：(1)求这200位作者年龄的平均数x 和方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；(2)县委宣传部从年龄在[35,45)和[65,75)的作者中，按照分层抽样的方法，抽出6人参加县委组织的表彰大会，现要从6人中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间[35,45)的人数是X ，求变量X 的分布列和数学期望.20．设椭圆222:1(1)x y a a Γ+=>，Γ的离心率是短轴长的4倍，直线l 交Γ于A 、B 两点，C是Γ上异于A 、B 的一点，O 是坐标原点.(1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线l 过Γ的右焦点F ，且CO OB = ，0CF AB ⋅=，求CBF S 的值；(3)设直线l 的方程为(,R)y kx m k m =+∈，且OA OB CO +=，求||AB 的取值范围.21．已知函数()()211ln 2f x x a x a x =-++.（其中a 为常数）(1)若2a =-，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；(2)当a<0时，求函数()y f x =的最小值；(3)当01a ≤<时，试讨论函数()y f x =的零点个数，并说明理由.1【分析】根据复数的乘法运算求得3i z =-+，可得z ，根据复数模的计算即得答案.【详解】由()i 13i z =+可得3i z =-+，故3i,z z =--∴=2．()1,0-【分析】根据题意，代入求得2p =，结合抛物线的几何性质，即可求解.【详解】解：将()1,2-代入抛物线方程22y px =-，可得2p =，即24y x =-，所以抛物线24y x =-的焦点为()1,0-．故答案为：()1,0-.3．5【分析】将611(1)x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭化为661(1)(1)x x x +-+，利用二项式系数结合组合数的计算，求得答案.【详解】因为666111(1)(1)(1)x x x x x ⎛⎫-+=+-+ ⎪⎝⎭，故展开式中3x 的系数为3466C 1C 5205=--=，故答案为：54．2【分析】由几何平均值的定义得到1ab =，利用基本不等式求解即可.1=，即1ab =，故22+22a b ab ≥=，当且仅当1a b ==时，等号成立，故答案为：25．12【分析】利用二项分布方差和期望的公式求解即可.【详解】随机变量()50,X B p ~，[]5020E X np p ∴===，25p ∴=，则[]()2215011255D X np p ⎛⎫=-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.故答案为：126．36【分析】先选两名志愿者看成一个整体，再与剩余志愿者一起排列，结合分步乘法计数原理运算求解.【详解】先选两名志愿者看成一个整体，共有24C 6=种，再与剩余志愿者一起排列，共有33A 6=种，所以不同的分法共有6636⨯=种.故答案为：36.7．36π【分析】根据圆柱的体积等于球的体积求出球的半径，再根据球的表面积公式即可得解.【详解】设球的半径为R ，则234π29π3R ⨯⨯=，解得3R =，所以该工件的表面积为224π36πcm R =.故答案为：36π.8．0.94【分析】根据正态分布的对称性即可求出指定区间的概率.【详解】由正态分布的对称性得()|| 1.96P X <()12 1.960.94P X =-<-=.故答案为：0.94.9．{}|1x x =-【分析】依题意得到22232030x x x x ⎧-=-⎪->⎨⎪->⎩，解得即可.【详解】因为()2lg(2)lg 3x x -=-,则22232030x x x x ⎧-=-⎪->⎨⎪->⎩，解得=1x -，所以方程()2lg(2)lg 3x x -=-的解集为{}|1x x =-.故答案为：{}|1x x =-10．中雨【分析】由圆锥的体积公式，求出雨水的体积，再除以圆的面积，即可求解.【详解】设圆锥形容器中积水水面半径为r ，则2150200300r =，解得50r =，所以积水厚度为221π50150312.5π100V mm S ⨯⨯==⨯，所以12.5(10,25)∈.所以一天的雨水属于中雨.故答案为：中雨.11．3【分析】根据数量投影公式，代入求值.【详解】由条件可知，向量b 在向量a方向上的数量投影为a b a ⋅==解得：3m =.故答案为：312【分析】根据双曲线的定义算出△AF 1F 2中，|AF 1|=2a ，|AF 2|=4a ，由△ABF 2是等边三角形得∠F 1AF 2=120°，利用余弦定理算出c，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C 的离心率.【详解】因为△ABF 2为等边三角形，可知22||||||AB BF AF ==，A 为双曲线上一点，21||||2AF AF a ∴-=，B 为双曲线上一点，则12||||2BF BF a -=，即11||||||2BF AB AF a -==，∴21||||24,AF AF a a =+=由0260ABF ∠=，则12120F AF ︒∠=，已知12||2F F c =，在△F 1AF 2中应用余弦定理得：2224416224cos120c a a a a ︒=+-⋅⋅⋅，得c 2=7a 2，则e 2＝7⇒e【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常常不能经过条件直接得到a ，c 的值，这时可将ca或b a 视为一个整体，把关系式转化为关于c a 或b a的方程，从而得到离心率的值.13．B【分析】根据充分不必要条件和分式不等式解出结果.【详解】因为()111010x x x x x-<Þ<Þ->，解得0x <或1x >，根据“谁大谁必要，谁小谁充分”得出α是β充分不必要条件，故选：B 14．C【分析】根据茎叶图即可判断AB ；再根据百分位数的计算公式即可判断C ；根据极差的定义即可判断D.【详解】有茎叶图可知讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分，故A 正确；讲座前的答卷得分主要分布在5075 之间，而讲座后主要分布在8085 之间，则讲座前的答卷得分分布较讲座后分散，故B 正确；讲座后答卷得分依次为80,85,85,85,90,90,95,95,100,100，因为80%108⨯=，所以第80百分位数是第8个数与第9个数的平均数，为1952，故C 错误；讲座前答卷得分的极差为905040-=，讲座后得分的极差为1008020-=，所以讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差，故D 正确.故选：C.15．C【分析】化简函数解析式可得()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，计算当5π12x =时，π26x -的值，由此判断命题（1），计算π6π23x ≤≤时，π26x -的范围，利用正弦函数性质求函数()y f x =的值域，判断命题（2），根据图象平移结论判断命题（3），利用导数求切线的斜率，判断命题（4）.【详解】因为()21cos sin 2f x x x x =+-，所以()1cos 211π2sin 2cos 2sin 2222226x f x x x x x -⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭，当5π12x =时，π5ππ2π26663x -=-=，所以5π,012⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()y f x =的对称中心，（1）错误；由π6π23x ≤≤可得3ππ234x ≤≤，所以6ππ7π266x ≤-≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，当π3x =时，πsin 216x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，当0x =时，π1sin 262x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =在区间π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，（2）正确；函数()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移π3个单位长度得到函数2πππsin 2sin 2cos 2362y x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，（3）错误；由()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得()π2cos 26f x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，所以πππ2cos 21446f ⎛⎫⎛⎫'=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，曲线()y f x =在π4x =处的切线的斜率为1，（4）正确；所以正确的命题有（2）（4），故选：C.16．B【分析】根据题意可得点M 的轨迹是以P 为圆心，d 为半径的圆，222(1)(1)x y r -+-=的圆心()1,1N ，证明当点P 在原点处时，点()1,1N 在点M 的轨迹圆外，即可得出结论.【详解】曲线C :24y x =的焦点()1,0F ，则PF d =，由MP d =得，点M 的轨迹是以P 为圆心，d 为半径的圆，222(1)(1)x y r -+-=的圆心()1,1N ，当点P 在原点处时，()0,0P ，此时1d =，此时点M 的轨迹方程为221x y +=，因为1121+=>，所以点()1,1N 在圆221x y +=外，则存在,()0r ∈+∞，使得两圆相离，即A B ⋂=∅，故①错误，②正确.故选：B.17．(1)2c =(2)【分析】(1)根据正弦定理求边长后再应用余弦定理求解即可.(2)先求出角，再求出边长，最后应用面积公式求解可得.【详解】（1）由sin A B =,应用正弦定理得a ==2b ∴=,284224c ∴=+-⨯⨯=,即得2c =.（2）因为15135B A B A -=︒⎧⎨+=︒⎩则7560B A =︒⎧⎨=︒⎩,c =111sin =222ABC S ac B ==⨯ 18．(1)128π；(2).【分析】（1）根据给定条件，求出圆锥的高，再利用锥体的体积公式计算作答.（2）取AO 的中点M ，作出异面直线PQ 与SO 所成角，再利用线面垂直的性质结合勾股定理求解作答.【详解】（1）圆锥SO 的底面圆半径为8，母线长为10，而SO OA ⊥，则222SO AO SA +=，解得6SO =，所以圆锥的体积为2211π86128π33V R h π==⨯⨯=.（2）取AO 的中点M ，连接PM ,QM ，由弧AC 为圆锥底面的半圆弧知圆锥底面圆心O 在AC 上且为AC 中点，P 为母线SA 的中点，则//,PM SO PQ 与SO 所成角为QPM ∠或其补角，由SO ⊥平面ACQ ，得PM ⊥平面ACQ ，MQ Ì平面ACQ ，则PM MQ ⊥，于是有tan 1QMQPM PM∠==，由Q 是半圆弧 AC 的中点可得OQ AC ⊥，则PM QM ==所以||PQ QM ==19．(1)60，180(2)分布列答案见解析，数学期望：1【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数和方差的公式代入计算即可；（2）根据分层抽样的原理，可知这6人中年龄在[35,45)内有2人，在[65,75)内有4人，利用古典概型的概率公式代入计算，列出分布列求出数学期望即可．【详解】（1）这200位作者年龄的样本平均数x 和样本方差2s 分别为300.05400.1500.15600.35700.2800.1560x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，222222(3060)0.05(4060)0.1(5060)0.15(6060)0.35(7060)0.2s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯2(8060)0.15180+-⨯=.（2）根据分层抽样的原理，可知这6人中年龄在[35,45)内有2人，在[65,75)内有4人，故X 可能的取值为0，1，2，032436C C 1(0)C 5P X ===，122436C C 3(1)C 5P X ===，212436C C 1(2)C 5P X ===，所以X 的分布列为：X012P 153515所以X 的数学期望为131()0121555E X =⨯+⨯+⨯=.20．(1)2212x y +=(2)1CBF S = (3)【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及a ，b ，c 之间的关系列出等式，进而可得椭圆的方程；（2）设Γ的左焦点为1F ，连接1CF ，利用向量的运算以及椭圆的定义和对称性推出1||||2CF CF ⋅=，再代入三角形面积公式中即可求解；（3）设出A ，B ，C 三点的坐标，利用向量的运算得到012()x x x =-+，012()y y y =-+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到0x 和0y ，将点C 的坐标代入椭圆方程中得到22412m k =+，此时满足0∆>，再结合弦长公式和换元法进行求解即可．【详解】（1）由Γ的离心率是短轴的长的4倍，得2=a =，又1a >，则a =故椭圆Γ的方程为2212x y +=.（2）设Γ的左焦点为1F ，连接1CF ，因为CO OB = ，所以点B 、C 关于点O 对称，又0CF AB ⋅= ，则CF AB ⊥，由椭圆Γ的对称性可得，1CF CF ⊥，且三角形1OCF 与三角形OBF 全等，则1112CBF CF F S S CF CF ==⋅ ，又1222114CF CF CF CF F F ⎧+=⎪⎨+==⎪⎩，化简整理得，12CF CF ⋅=，则1CBF S =.（3）设11(,)A x y ，11(,)B x y ，00(,)C x y ，又OA OB CO += ，则012()x x x =-+，012()y y y =-+，由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，222(12)4220k x mkx m +++-=，222222168(12)(1)8(21)m k k m k m ∆=-+-=-+，由韦达定理得，122412mk x x k -+=+，21222212m x x k -=+，又121222()212m y y k x x m k +=++=+，则02412mk x k =+，02212m y k -=+，因为点C 在椭圆Γ上，所以222242(2()21212mk m k k -+=++，化简整理得，22412m k =+，此时，22222218(21)8(216(21)04k k m k k +∆=-+=+-=+>，则AB =====令212t k =+，即1t ≥，则(]2266333=33,612k t k t t ++=+∈+，则AB 的取值范围是.【点睛】关键点点睛:本题考查直线与椭圆得位置关系及弦长范围问题，关键是向量坐标化得C 坐标并代入椭圆方程得m ,k 的等量关系.21．(1)22ln 20x y --=(2)12a --(3)只有1个，理由见解析【分析】（1）当2a =-时，求得()21f x x x '=+-，得到()22f '=且()242ln 2f =-，进而求得切线方程；（2）求得()()(1)x a x f x x--'=，利用导数求得函数()f x 的单调性和极值，即可求解；（3）当0a =时，求得()y f x =在(0,)+∞上有一个零点；当01a <<时，利用导数求得函数()f x 的单调性和极值，进而得出函数零点的个数.【详解】（1）解：当2a =-时，可得()212ln 2f x x x x =+-，可得()2(2)(1)1x x f x x x x+-'=+-=，所以()22f '=且()242ln 2f =-，所以切线方程为(42ln 2)2(2)y x --=-，即22ln 20x y --=，即曲线所以曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为22ln 0x y x --=.（2）解：由函数()()211ln 2f x x a x a x =-++，可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，又由()()(1)x a x f x x--'=，令()0f x '=，解得1x a =，11x =，当a<0时，()f x 与()f x '在区间(0,)+∞的情况如下表：x(0,1)1(1,)+∞()f x '-0+()f x 极小值↗所以函数的极小值为()112f a =--，也是函数()f x 的最小值，所以当a<0时，函数()f x 的最小值为12a --（3）解：当0a =时，()212f x x x =-，令()0f x =，解得122,0x x ==（舍去）所以函数()y f x =在(0,)+∞上有一个零点；当01a <<时，()f x 与()f x '在区间(0,)+∞的情况如下表：x(0,)a a (,1)a 1(1,)+∞()f x '+0-0+()f x ↗极大值 极小值↗所以函数()f x 在(0,)a 单调递增，在(,1)a 上单调递减，此时函数()f x 的极大值为()21ln 02f a a a a a =--+<，所以函数()y f x =在(0,1)上没有零点；又由()1102f a =--<且函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，且当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 在(1,)+∞上只有一个零点，综上可得，当01a ≤<时，()f x 在(0,)+∞上有一个零点.【点睛】知识总结：解决函数极值、最值综合问题的策略与方法：1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.。
【三模】高考数学测试题附答案解析
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分.)
1.已知集合 ，且 ，则满足条件 集合P的个数是()
A.8B.9C.15D.16
2.复数 (其中i为虚数单位)，则 ()
A. B. 5C. 7D. 25
3.已知 ，则 ()
A B. C. D.
4.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“< ”和“> ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若 ，则下列结论错误的是()
A. 1B. C. D.不确定
10.已知函数 ， 为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是()
A.
B. 在 上存在零点，则a的最小值为
C. 在 上单调递增
D. 在 有且仅有一个极大值点
11.下列说法中，正确的有()个.
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；
②过球面上任意两点只能作球的一个大圆；
③三棱锥的四个面都可以是直角三角形；
故选：C.
【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键是找出规律，是基础题.
10.已知函数 ， 为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是()
A.
B. 在 上存在零点，则a的最小值为
C. 在 上单调递增
D. 在 有且仅有一个极大值点
【答案】B
【解析】
【分析】对于A，由已知条件得 ，由于函数为奇函数，所以 ，从而可求出 的值；对于B，由 ，得 ，由于 在 上存在零点，所以可求出a的最小值为 ；对于C， ，然后可求出其单调增区间；对于D，求出 ，可知当 时， ，当 时， ，由此可判断出函数的极值
2025届吉林省长春市十一高中高考数学三模试卷含解析
2025届吉林省长春市十一高中高考数学三模试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 取最大值时n 的值为( ) A ．2020B ．20l9C ．2018D ．20172．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<3．设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =A ．{}12x x -≤≤B ．{}02x x <≤C ．{}04x x <≤D ．{}14x x -≤≤4．已知双曲线C 的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C 的方程不可能为（ ）A ．221155x y -=B ．221515x y -=C ．221312y x -=D ．221217y x -=5．已知向量()()1,2,2,2a b λ==-，且a b ⊥，则λ等于（ ） A ．4B ．3C ．2D ．16．已知函数2,()5,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩（0a >），若函数()()4g x f x x =-有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,1)[5,)+∞B ．6(0,)[5,)5+∞C ．(1,5]D ．6(,5]57．将函数()sin(2)f x x ϕ=-的图象向右平移18个周期后，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A ．8π B ．34π C ．2π D ．4π 8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为F ，点,A B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F 且交C 的左支于,M N 两点，若|MN|=2，ABF ∆的面积为8，则C 的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．33y x =± C ．2y x =± D ．12y x =±9．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（ ）种. A ．408B ．120C ．156D ．24011．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S S S h =+下下上上•）. A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是（ ） A ．41n n S a =- B ．21n n S a =+ C ．21n n S a =-D ．43n n S a =-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届高三数学模拟检测(江苏专用,2024新题型)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试
高三数学（江苏专用）
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
所成角的大小．
分）某中学对该校学生的学习兴趣和预习情况进行长期调查，学习兴趣分为兴趣高和
预习分为主动预习和不太主动预习两类，设事件
1 4，
4
()
5 P B=．
的值，并判断A与B是否为独立事件；
为验证学习兴趣与主动预习是否有关，该校用分层抽样的方法抽取了一个容量为
．为提高检验结论的可靠性，
的把握认为学习兴趣与主动预习有关，试确定
)，其中n a b c d
=+++．。
2024年南昌市十中高三数学高考三模试卷附答案解析
2024年南昌市十中高三数学高考三模试卷试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知由小到大排列的5个样本数据13,19,21,22,x 的极差是11，则x 的值为（）A ．23B ．24C ．25D ．262．若以集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（）A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形3．若函数()f x 满足1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则称()f x 为满足“倒负”变换的函数，在下列函数中，满足“倒负”变换的函数是（）A ．1()1f x x=+B ．2()f x x =C ．1()f x x x=+D ．1()f x x x=-4．如图，在扇形AOB 中，C 是弦AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ⊥．其中OA OB r ==， AB 长为l ()l r <．则CD 的长度约为（提示：10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2cos 12xx ≈-）（）A ．28l r r -B ．28l rC ．24l r r-D ．24l r 5．某校举办运动会，其中有一项为环形投球比寒，如图，学生在环形投掷区E 内进行投球.规定球重心投掷到区域A 内得3分，区域B 内得2分，区域C 内得1分，投掷到其他区域不得分.已知甲选手投掷一次得3分的概率为0.1，得2分的概率为b ，不得分的概率为0.05，若甲选手连续投掷3次，得分大于7分的概率为0.002，且每次投掷相互独立，则甲选手投掷一次得1分的概率为（）A ．1320B ．4960C ．1720D ．53606．()6211a a a a ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（）A ．-2B ．-3C ．-4D ．-57．如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，112AD A B =，BD 为上底面ABCD 的对角线，且下底面1111D C B A的面积和侧面11BCC B 的面积分别为20和1111ABCD A B C D -外接球的表面积是（）A ．285πB ．255πC ．210πD ．180π8．已知函数()1122222x x f x m x x --+⎛⎫=++- ⎪⎝⎭有唯一零点，则m 的值为（）A ．12-B ．13C ．12D ．18二、多选题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知复数()i z a a =-∈R ，且6iz的虚部为3，则（）A ．1a =B ．322z=C ．()()213i z +⋅-为纯虚数D ．2i2z ++在复平面内对应的点在第二象限10．已知椭圆22:14x W y +=，点12,F F 分别为W 的左､右焦点，点,C D 分别为W 的左､右顶点，过原点且斜率不为0的直线l 与W 交于,A B 两点，直线2AF 与W 交于另一点M ，则（）A ．W 的离心率为32B ．2AF 的最小值为23C ．W 上存在一点P ，使2π3CPD ∠=D ．ABM 面积的最大值为211．函数()f x 及其导函数()g x 的定义域均为R ，()1f x +和()21g x -都是奇函数，则（）A ．()g x 的图象关于直线=1x -对称B ．()f x 的图象关于点()1,0对称C ．()g x 是周期函数D ．()202412024i g i ==∑三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.12．设圆心在x 轴的圆C 过点()1,1，且与直线21y x =-相切，则圆C 的标准方程为.13．在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC=+-（m 为常数），则CD 的长度是．14．正方形螺旋线是由多个不同大小的正方形旋转而成的美丽图案，如图，已知第1个正方形1111D C B A 的边长为212112121,,A B B C a A A B B b ====，且34a ab =+，依次类推，下一个正方形的顶点恰好在上一个正方形对应边的34分点处，记第1个正方形的面积为1S ，第n 个正方形的面积为n S ，则198nm m mS ==∑.四、解答题共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足23113a a a =，且23541a a a a a -=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 是数列{}n a 的前n 项和，证明:1231111...2nS S S S ++++<.16．如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，22AB CD BC ==，BD 为梯形对角线，将梯形中的ABD ∆部分沿AB 翻折至ABE 位置，使ABE ∆所在平面与原梯形所在平面垂直（如图2）.（1）求证：平面AED ⊥平面BCE ；（2）探究线段EA 上是否存在点P ，使//EC 平面PBD ？若存在，求出EPEA；若不存在说明理由.17．已知()1,0F 为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点，过E 的右顶点A 和下顶点B的直线的斜率为2.(1)求E 的方程；(2)若直线():11l y k x =-+与E 交于,M N 两点（均异于点B ），记直线BM 和直线BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值.18．已知函数()2112ln 2f x a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；(2)讨论()f x 的单调区间；(3)若对任意()1,x ∈+∞，都有()ln21f x ≤-，求a 的最大值.（参考数据：ln20.7≈）19．为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策.为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有5位成员，两个部门分别独立地发出批建邀请的名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议.(1)设参加会议的专家代表共X 名，求X 的分布列与数学期望.(2)为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见.已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这100名热心市民中随机产生，食品药品监督管理部门邀请了()N ,2100m m m *∈<<名代表，卫生监督管理部门邀请了()N ,2100n n n *∈<<名代表，假设收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，且100m n +>，请利用最大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数.（备注:最大似然估计即最大概率估计，即当P （X =k ）取值最大时，X 的估计值为k ）1．B【分析】由极差的定义即可求解.【详解】由题知最小的数据是13，最大的数据是x ，则极差为1311x -=，解得24x =.故选：B.2．C【分析】根据集合中元素的互异性，可得a b c d ,,,四个元素互不相等，结合选项，即可求解.【详解】由题意，集合A 的四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得a b c d ,,,四个元素互不相等，以四个元素a b c d ,,,为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.3．D【分析】根据1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭逐一将选项的每个函数进行验证即可.【详解】解：由题得()f x 满足1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则称()f x 为满足“倒负”变换的函数，A ．111()1111x f f x x x x x ⎛⎫==≠=- ⎪++⎝⎭+，不符合要求；B ．2211()f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=≠-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合要求；C ．111()f x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+≠-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合要求；D ．111()f x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，符合要求故选：D.4．B【分析】根据弧长公式，结合已知求出角的余弦的近似值，求出CO ,最后得到CD 即可.【详解】设圆心角lrα=，l r <，10,222l r α⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以2222cos cos 112228l l CO l rr r r α⎛⎫ ⎪⎝⎭==≈--，28l CO r r≈-，所以2288l l CD r r r r⎛⎫≈--= ⎪⎝⎭．故选：B.5．B【分析】先由已知条件确定130b =，再计算10.10.05b ---即可得到结果.【详解】由于甲选手投掷3次后，如果得分大于7分，则3次的得分必定是3，3，3或3，3，2（不考虑顺序），所以其概率320.130.10.0010.03p b b =+⨯⋅=+.而已知0.002p =，故0.0010.030.002b +=，所以130b =.从而甲选手投掷一次得1分的概率为1714910.10.050.85203060b b ---=-=-=.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用已知概率逆向确定b 的值.6．D【分析】根据两个二项式相乘，结合二项式展开式的通项公式，即可求得答案.【详解】由61a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭可知()6621661C 1C rr r r r rr T a aa --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，其展开中常数项为20-，令621r -=-，r 无整数解，不存在含1a -的项，令622,4r r -=-=，故含2a -项为()442261C 15a a --=-，则()6211a a a a ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为()120155⨯-+=-，故选：D.7．A【分析】先确定该棱台的上下底面边长和高，然后解出外接球球心到下底面的距离，最后求出外接球半径和表面积.【详解】由于该棱台是正四棱台，故每条侧棱的长度都相等，且上下底面都是正方形.而下底面的面积是20，所以下底面的边长b =而112AD A B =，所以上底面的边长a =.由于每个侧面都是上下底分别为S '=故每个等腰梯形的高2S h a b ''==+所以每个等腰梯形的侧棱长l =由于每条侧棱在底面上的投影长都是)22a b -，所以该棱台的高H =.最后设该棱台外接球球心到下底面的距离为x ，则外接球球心到上底面的距离为H x -，并设外接球的半径为R.则()2222H x a R ⎛⎫-+= ⎪⎪⎝⎭，2222x b R ⎫+=⎪⎪⎝⎭，所以()222222H x a x b ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即)(2222x x +=+.解得2x =，所以22222245285102244R x b ⎛⎫⎛=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以该外接球的表面积等于2π28544ππ4285R =⋅=.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于设出外接球球心到下底面的距离，再列方程组求解.8．D【分析】将函数变形，换元后得到24122tt t m --+=+，研究得到()21422t tt h t --+=+为偶函数，由()f x 有唯一零点，得到函数()h t 的图象与=y m 有唯一交点，结合()h t 为偶函数，可得此交点的横坐标为0，代入后求出()108m h ==.【详解】()f x 有零点，则211222112224x x m x x x --+⎛⎫⎛⎫+=-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12t x =-，则上式可化为()21224t t m t -+=-+，因为220t t -+>恒成立，所以24122t tt m --+=+，令()21422tt t h t --+=+，则()()()2211222244t t t tt t h t h t ----+-+-===++，故()h t 为偶函数，因为()f x 有唯一零点，所以函数()h t 的图象与=y m 有唯一交点，结合()h t 为偶函数，可得此交点的横坐标为0，故()001102842m h -===+.故选：D9．AC【分析】利用向量的除法运算和虚部为3，即可求出1a =，再利用复数乘除运算和模的运算以及复平面内对应点的表示，就能作出选项判断.【详解】由()()()226i i 6i 6i 66i i i i 11a a z a a a a a +===-+--+++的虚部为3，则2631aa =+，解得1a =，所以选项A 正确.()()()31i 33331i,i 1i 1i 1i 22z z +=-===+--+，所以3z =，所以选项B 错误.由()()()()213i 3i 13i 10i z +⋅-=-⋅-=-为纯虚数，所以选项C 正确.由()()()()2i 3i 2i 2i 11i 23i 3i 3i 22z ++++===++--+，所以复数2i 2z ++在复平面内对应的点为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限，所以选项D 错误，故选：AC.10．ACD【分析】熟悉椭圆的离心率公式ca，椭圆焦半径取值范围为[],a c a c -+，焦半径三角形顶角在上顶点时取最大，先对选项A 、B 、C 作出判断，对于选项D ，就需要设出直线AM的方程为x my =+圆方程联立，再把三角形面积计算公式转化到两根关系上来，最后代入韦达定理得到关于m 的函数式，从而求出最值.【详解】由题知，该椭圆中2,1,a b c ===A 2正确；根据椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点得，距离最大为a c +，距离最小为a c -，又直线AB 的斜率不为0，所以22AF a c >-=B 错误；当椭圆的对称可知当P 为短轴顶点时，CPD ∠取得最大值，此时4DP CP CD ===，由余弦定理得222||||31cos 252CP DP CD CPD CP DP+-∠==-<-⋅，故2π3CPD ∠>，即W 上存在一点P ，使2π,C 3CPD ∠=正确；设直线AM的方程为x my =AM 与W 的方程得()22410m y ++-=，设()()1122,,,A x y M x y，则1212214y y y y m +==-+，所以12AM y =-=()22414m m ++，又点O 到直线AM的距离为d所以2ABM OAM S S AM d ==⋅=令t=)31,ABM S t t tt t==≥+≥+ ，当且仅当3t t=，即t =时，等号成立，所以ABM 面积的最大值为2,D 正确；故选：ACD.11．BC【分析】由()21g x -是奇函数可判断A ；利用()1f x +向右平移1个单位后可得()f x 可判断B ；利用()1f x +是奇函数，得到关系式，两边同时求导可得()()2g x g x -+=，再由()()2g x g x =---可求出()g x 的周期可判断C ；由()()4g x g x +=-可得()()()()()()()()123456780g g g g g g g g +++++++=，即可判断D.【详解】对于A ，因为()21g x -是奇函数，所以()()2121g x g x --=--，则有()()11g x g x --=--，()g x 的图象关于点()1,0-对称，故A 错误；对于B ，()1f x +是奇函数，其图象关于原点对称，()1f x +向右平移1个单位后可得()f x ，所以()f x 的图象关于点()1,0对称，故B 正确；对于C ，因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，所以()()11f x f x --+='-+'，所以()()11f x f x -+='+'，所以()()11g x g x -+=+，所以()()2g x g x -+=①，因为()()11g x g x --=--，所以()()2g x g x =---②，由①②可得：()()22g x g x -+=---，所以()()4g x g x =--，所以()()4g x g x +=-，()()()84g x g x g x +=-+=，所以8是函数()g x 的一个周期函数，所以()g x 是周期函数，故C 正确；对于D ，因为()()4g x g x +=-，所以()()15g g =-，()()26g g =-，()()37g g =-，()()48g g =-，所以()()()()()()()()123456780g g g g g g g g +++++++=，而()()()()()()()()()20241253123456780i g i g g g g g g g g =⎡⎤=+++++++=⎣⎦∑，故D 错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论（1）()()()f x a f b x f x +=-⇒关于2a bx +=轴对称，（2）()()()2f x a f b x c f x ++-=⇒关于,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，（3）()()()f x a f x b f x +=+⇒的一个周期为T a b =-，（4）()()()f x a f x b f x +=-+⇒的一个周期为2T a b =-.可以类比三角函数的性质记忆以上结论.12．()2235x y -+=【分析】设圆C 的圆心为()0m ,，再将()1,1代入()()222215m x m y --+=即可解出3m =，从而得到答案.【详解】设圆C 的圆心为()0m ,，则由于该点到直线21y x =-的距离d =C 与直线相切，知圆C.所以圆C 的方程是()()222215m x m y --+=.而圆C 过点()1,1，所以()()22221115m m --+=，解得3m =.所以圆C 的标准方程是()2235x y -+=.故答案为：()2235x y -+=.13．185或0【分析】根据题设条件可设()0PA PD λλ=> ，结合32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭与,,B D C 三点共线，可求得λ，再根据勾股定理求出BC ，然后根据余弦定理即可求解.【详解】∵,,A D P 三点共线，∴可设()0PA PD λλ=>，∵32PA mPB m PC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，∴32PD mPB m PC λ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即32m m PD PB PC λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+ ，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线，∴321m m λλ⎛⎫-⎪⎝⎭+=，即32λ=，∵9AP =，∴3AD =，∵4AB =,3AC =,90BAC ∠=︒，∴5BC =，设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-.∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC xAD CD θ+-==⋅，()()()222257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，∵()cos cos 0θπθ+-=，∴()()2570665x x x --+=-，解得185x =，∴CD 的长度为185.当0m =时，32PA PC =，,C D 重合，此时CD 的长度为0，当32m =时，32PA PB = ，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去.故答案为：0或185.【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出()0PA PD λλ=>．14．()58388nn ⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭【分析】据已知条件可确定158n n S -⎛⎫= ⎪⎝⎭，然后使用数列求和方法即可.【详解】由于第n()1n +个正方形的面积等于第n 个正方形的面积减去四个直角三角形的面积，故11354288n n n n n S S S S S +=-⋅=-=.而11S =，故158n n S -⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以111995888m n n m m m mS m -==⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑∑111151553888m m nn m m m m --==⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑111553388m mn nm m m m -==⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑1111555333888m m nn n m m m m n --==⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅-⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑()11115553313888m m nnnm m m m n --==⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅--⋅-⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑11553388m n nm n -=⎛⎫⎛⎫=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑5158335818nnn ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=⋅-⋅ ⎪⎝⎭-()58388nn ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭.故答案为：()58388nn ⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于从相似图形中辨别出等比数列.15．(1)21n a n =-(2)证明见解析【分析】（1）设n a dn C =+，再用已知条件列出两个方程并解出其中的参数；（2）直接求出2n S n =，再用裂项法即可.【详解】（1）设n a dn C =+，则由已知有()()()2313d C d C d C +=++，()()()2353d C d C d C d ++-+=.将第一个等式展开化简可得220d dC +=，故由0d ≠知2d C =-.再代入第二个等式可得3593222d d d d ⋅-=，解得2d =，从而12d C =-=-.故{}n a 的通项公式是21n a n =-.（2）由于()()1212122n n a a n n n S n ++-===，故()22222123111111111111.........123112231n S S S S n n n++++=++++<++++⋅⋅-⋅11111111...222231n n n=+-+-++-=-<-.16．（1）见解析（2）存在点P ，且13EP EA =时，有//EC 平面PBD ，详见解析【分析】（1）取AB 中点F ，连结DF ，证明⊥AE 平面BCE ，得到平面ADE ⊥平面BCE .（2）存在点P ，且13EP EA =时，有//CE PQ 从而得到//EC 平面PBD .【详解】（1）取AB 中点F ，连结DF，则DF BF FA ==，故90BDA ︒∠=，又平面ABCD ⊥平面AEB ，且平面ABCD ⋂平面ABE AB =，BC AB ⊥，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面ABE ，又AE ⊂平面ABE ，∴BC AE ⊥.又AE BE ⊥，BC BE B = ，∴⊥AE 平面BCE ，又AE ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面BCE .（2）存在点P ，且13EP EA =时，有//EC 平面PBD ，连结AC 交BD 于Q ，由//CD AB 知12CQ CD QA AB ==，又12EP CQPA QA==，故//CE PQ ，又CE ⊂平面PBD ，PQ ⊂平面PBD ，∴//CE 平面PBD .【点睛】本题考查了面面垂直，线面平行，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.17．(1)2212x y +=(2)2【分析】（1）根据已知条件列出关于,a b 的两个方程，再解出,a b 即可；（2）将直线和椭圆联立，利用韦达定理即可化简并求出结果.【详解】（1）由()1,0F有1c ==；而(),0A a ，()0,B b -，故22AB b k a==.所以212a ====，从而a =1b =.所以E 的方程是2212x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，将直线l 与E 联立：()221112y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩.将直线代入椭圆，得到()2221120x k x ⎡⎤+-+-=⎣⎦.展开即为()()()221241220k x k k x k k ++-+-=.故()1224112k k x x k -+=+，()1222212k k x x k -=+.由于()0,1B -，故()1011k -≠-+，即2k ≠，从而12121211y y k k x x +++=+()()12121212k x k x x x -+-+=+()121122k k x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭()121222x x k k x x +=+-⋅()()()224112222212k k k k k k k k -+=+-⋅-+()()()412222k k k k k k -=+-⋅-()2212k k =+-=.所以122k k +=.18．(1)12y =-；(2)答案见解析；(3)2.【分析】（1）求得()1f ，(1)f '，再根据导数的几何意义，即可求得切线方程；（2）讨论参数a 与0和1的大小关系，在不同情况下，求函数单调性，即可求得单调区间；（3）将问题转化为()f x 在()1,+∞上的最大值()max ln 21f x ≤-，根据（2）中所求单调性，求得()max f x ，再构造函数解关于a 的不等式即可.【详解】（1）()2112ln 2f x a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x '()()()2211111x x a x a x x x x +--⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()112f =-，(1)f '0=，故()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为102y ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即12y =-.（2）()f x '()()()211x x x a x -+--=，又0x >，10x +>，则0a ≤时，当()0,1x ∈，()f x '0>，()y f x =单调递增；当()1,x ∈+∞，()f x '0<，()y f x =单调递减；01a <<时，当()0,x a ∈，()f x '0<，()y f x =单调递减；当(),1x a ∈，()f x '0>，()y f x =单调递增；当()1,x ∈+∞，()f x '0<，()y f x =单调递减；1a =时，当()0,x ∈+∞，()f x '0≤，()y f x =在()0,+∞单调递减；1a >时，当()0,1x ∈，()f x '0<，()y f x =单调递减；当()1,x a ∈，()f x '0>，()y f x =单调递增；当(),x a ∈+∞，()f x '0<，()y f x =单调递减.综上所述：当0a ≤，()f x 的单调增区间为()0,1，单调减区间为()1,+∞；当01a <<，()f x 的单调减区间为()()0,,1,a +∞，单调增区间为(),1a ；当1a =，()f x 的单调减区间为()0,+∞，没有单调增区间；当1a >，()f x 的单调减区间为()()0,1,,a +∞，单调增区间为()1,a .（3）若对任意()1,x ∈+∞，都有()ln21f x ≤-，则()f x 在()1,+∞上的最大值()max ln 21f x ≤-；由（2）可知，当1a >，()f x 在()1,a 单调递增，在(),a +∞单调递减，故()()22max 1112ln ln 2122f x f a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫==+---=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；令()21ln 21,12m x x x x x =+-+>，则()m x'1220x x =+->-=，故()y m x =在()1,+∞单调递增，又()2ln 2241ln 21m =+-+=-，则()2ln 21m ≤-；故当2a =时，()2max 1ln 21ln 212f x a a a =+-+≤-，也即当2a =时，对任意()1,x ∈+∞，都有()ln21f x ≤-.故a 的最大值为2.【点睛】关键点点睛：本题第三问处理的关键是，将()ln21f x ≤-在区间上恒成立，转化为()max ln 21f x ≤-，再根据第二问中所求函数单调性求得()max f x ，再构造函数解不等式21ln 21ln 212a a a +-+≤-即可.19．(1)分布列见解析，3.2(2)详见解析.【分析】(1)根据离散型随机变量的概率公式计算得分布列及期望；(2)设收到两个部门邀请的代表的集合为A ∪B ，人数()Card A B k = ，()Card A B m n k =+- ，设参加会议的群众代表的人数为Y ，则由离散型随机变量的概率公式可得()100100C C C m k m k n mnP Y k ---==，设()()()()1,1P Y k P Y k P Y k P Y k =≥=+=≥=-，由组合数公式计算得()()101110111102102m n mn m n mn k +--+--≤≤+，分类讨论()1011102m n mn +--是否为整数即可得出结果.【详解】（1）X 的可能取值为2，3，4，则()222555C 20.1C C P X ===，()3211525523C C C 30.6C C P X ===，()22532255C C 40.3C C P X ===，则X 的分布列为X 234P0.10.60.3()20.130.640.3 3.2E X =⨯+⨯+⨯=（2）设食品药品监督管理部门邀请的代表记为集合A ，人数为()m Card A =，卫生监督管理部门邀请的代表为集合B ，人数为()n Card B =，则收到两个部门邀请的代表的集合为A ∪B .人数为Card （A ∪B ）.设参加会议的群众代表的人数为Y ，则()Y Card A B = .若()Card A B k = ，则()Card A B m n k =+- ，则()100100100100100100C C C C C C C C k m m m n m m n k k m k n m mm nP Y k --+----===，()11100100C C 1C k m k n m nmP Y k +-+--=+=，()()()()()()111001001100C C C C 11k m k nm mk m nmk m P Y k m n k k P Y k k m k n +-+-----=++--===+-+-，令()1()P Y k P Y k =+≤=，得()()11P Y k P Y k =+≤=，解得()1011102m n mn k +--≥，以1k -代替k ，得()()()()()()11011P Y k m n k k P Y k k m k n =++--==---，令()()1P Y k P Y k =-≤=，得()()11P Y k P Y k =≥=-，解得()10111102m n mn k +--≤+，所以()()101110111102102m n mn m n mn k +--+--≤≤+，若()1011102m n mn +--为整数，则当()1011102m n mn k +--=或()10111102m n mn k +--=+时，()P Y k =取得最大值，所以估计参加会议的群众代表的人数为()1011102m n mn +--或()10111102m n mn +--+，若()1011102m n mn +--不是整数，则当()10111102m n mn k +--=+时，()P Y k =取得最大值，所以估计参加会议的群众代表的人数为()10111102m n mn ⎡⎤+--+⎢⎥⎣⎦，其中，()1011102m n mn ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦表示不超过()1011102m n mn +--的最大整数.【点睛】思路点睛：第二问设收到两个部门邀请的代表的集合为A ∪B ，人数()Card A B k = ，()Card A B m n k =+- ，设参加会议的群众代表的人数为Y ，则由离散型随机变量的概率公式可得()100100C C C m k m k n mnP Y k ---==，设()()()()1,1P Y k P Y k P Y k P Y k =≥=+=≥=-，由组合数公式化简计算得()()101110111102102m n mn m n mn k +--+--≤≤+，关键在于分类讨论()1011102m n mn +--是否为整数即可得出结果.。
高三数学试卷三模
1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，若f(x)的图像与x轴有三个交点，则f(x)的导数f'(x)在x=0处的值为（）A. -2B. 0C. 2D. -12. 在三角形ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，∠C=75°，则sinB+cosC的值为（）A. √3/2B. √2/2C. √6/2D. √33. 若等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则第10项a10的值为（）A. 19B. 20C. 21D. 224. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c（a≠0），若f(1) = 2，f(-1) = -2，则f(0)的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 25. 在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为（）A. (3,2)B. (2,3)C. (-3,-2)D. (-2,-3)6. 已知等比数列{an}的首项a1=1，公比q=2，则第n项an的值为（）A. 2n-1B. 2^nC. n^2D. n7. 若向量a=(1,2)，向量b=(2,1)，则向量a与向量b的点积为（）A. 3B. -3C. 5D. -58. 在直角坐标系中，点A(1,2)，点B(-2,3)，则线段AB的中点坐标为（）A. (-1,2.5)B. (-1,1.5)C. (1,2.5)D. (1,1.5)9. 已知函数f(x) = e^x + x^2 - 2x，若f(x)在区间[0,2]上单调递增，则f(0)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. e10. 若复数z=3+4i，则|z|的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 1211. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，若f(x)的图像的顶点坐标为（）。
12. 在三角形ABC中，若AB=AC，则角B与角C的度数之和为（）。
13. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则第5项a5的值为（）。
2024年山东潍坊市高三三模数学高考试卷试题(含答案详解)
潍坊市高考模拟考试（潍坊三模）数学2024.5一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.1．设复数πsin 2i 4z θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是纯虚数，则θ的值可以为（）A ．π4B ．5π4C ．2023π4D ．2025π42．已知集合{}{}3,2,1,0,1,2,3,|3,Z A B x x n n =---==∈，则A B ⋂的子集个数是（）A ．3个B ．4个C ．8个D ．16个3．如图，半径为1的圆M 与x 轴相切于原点O ，切点处有一个标志，该圆沿x 轴向右滚动，当圆M 滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为N )，标志位于点A 处，圆N 与x 轴相切于点B ，则阴影部分的面积是（）A ．2B ．1C ．π3D ．π44．某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为1:2，上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为（）A B ．12C ．2D 5．牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程()0f x =的根就是函数()f x 的零点r ，取初始值()0,x f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为()1,x f x 的图象在点()()11,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，一直继续下去，得到12,,,n x x x ，它们越来越接近r ．设函数()2f x x bx =+，02x =，用牛顿迭代法得到11619x =，则实数b =（）A ．1B ．12C ．23D ．346．已知1F ，2F 分别为椭圆C ：22162x y+=的左、右焦点，点()00,P x y 在C 上，若12F PF ∠大于π3，则0x 的取值范围是（）A ．(),-∞+∞B ．(C ．(),-∞+∞D ．(7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()1e f =，当0x >时，()1e xf x x<'+，则不等式()ln 1e xf x x ->的解集为（）A ．()0,1B ．()0,∞+C ．()1,∞+D ．()()0,11,∞⋃+8．已知()()()()()()828901289321111x x a a x a x a x a x ++=+++++++++ ，则8a =（）A ．8B ．10C ．82D ．92二、多项选择题:本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为棱111,C D C C 的中点，则（）A ．直线BN 与1MB 是异面直线B ．直线MN 与AC 所成的角是3πC ．直线MN ⊥平面ADND ．平面BMN 截正方体所得的截面面积为98.10．下列说法正确的是（）A ．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”是互斥事件B ．掷一枚质地均匀的骰子两次，“第一次向上的点数是1”与“两次向上的点数之和是7”是相互独立事件C ．若123452,,,,,x x x x x 的平均数是7，方差是6，则12345,,,,x x x x x 的方差是65D ．某人在10次射击中，设击中目标的次数为X ，且()10,0.8B X ，则8X =的概率最大11．已知12F F ，双曲线()222:104x y C b b-=>的左、右焦点，点P 在C 上，设12PF F △的内切圆圆心为I ，半径为r ，直线PI 交12F F 于Q ，若53PQ PI = ，1215PI PF t PF =+，R t ∈则（）A ．25t =B ．圆心I 的横坐标为1C ．5r =D ．C 的离心率为2三、填空题:本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12．已知向量()()()1,2,4,2,1,a b c λ==-=，若()20c a b ⋅+= ，则实数λ=13．已知关于x 的方程()()2cos 0x k ωϕω+=≠的所有正实根从小到大排列构成等差数列，请写出实数k 的一个取值为14．已知,,a b c 均为正实数，函数()()22ln f x x a b x x =+++．（1）若()f x 的图象过点()1,2，则12a b+的最小值为；（2）若()f x 的图象过点(),ln c ab c +，且()3a b t c +≥恒成立，则实数t 的最小值为．四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤.15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AB AC AB AC AA ⊥==，E 是棱BC的中点．(1)求证：1//A C 平面1AB E ；(2)求二面角11A B E A --的大小．16．已知正项等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且12311S S S ++，，成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若()1,1sin ,2nn n n S b n S n π⎧⎪⎪=⎨-⎪⋅⎪⎩为奇数，为偶数，求数列{}n b 的前4n 项和.17．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，E 为直线:1l y =-上一点，动点F 满足FE l ⊥，OF OE ⊥ .(1)求动点F 的轨迹C 的方程;(2)若过点1,02T ⎛⎫⎪⎝⎭作直线与C 交于不同的两点,M N ，点()1,1P ，过点M 作y 轴的垂线分别与直线,OP ON 交于点,A B .证明：A 为线段BM 的中点.18．某高校为了提升学校餐厅的服务水平，组织4000名师生对学校餐厅满意度进行评分调查，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分(满分100分)作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级:满意度评分[0,60)[60,80)[80,90)[]90100，满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求图中a 的值，并估计满意度评分的25%分位数;(2)若样本中男性师生比为1:4，且男教师评分为80分以上的概率为0.8，男学生评分为80分以上的概率0.55，现从男性师生中随机抽取一人，其评分为80分以上的概率为多少?(3)设在样本中，学生、教师的人数分别为()1200m n n m ≤≤≤，，记所有学生的评分为12,,m x x x ，，其平均数为x ，方差为2x s ，所有教师的评分为12,,n y y y ，，其平均数为y ，方差为2y s ，总样本的平均数为z ，方差为2s ，若245x y x y s s s ==，试求m 的最小值.19．一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程e e 2x xccc y -⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，其中c 为参数.当1c =时，就是双曲余弦函数()e e ch 2x x x -+=，类似地双曲正弦函数()e e sh 2x xx --=，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比三角函数的三个性质：①倍角公式sin22sin cos x x x =；②平方关系22sin cos 1x x +=；③求导公式()()''sin cos cos sin x x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；(2)当0x >时，双曲正弦函数()sh y x =图象总在直线y kx =的上方，求实数k 的取值范围；(3)若1200x x >>，，证明：()()()()()2221112121ch sh 1ch sh sin sin cos .x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+--⋅+>+--⎣⎦⎣⎦1．C【分析】根据题意得到πsin 04θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将四个选项代入检验，得到答案.【详解】由题意得πsin 04θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，A 选项，当π4θ=时，ππsin 144⎛⎫+= ⎪⎝⎭，不合题意，A 错误；B 选项，当5π4θ=时，5ππsin 144⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，不合要求，B 错误；C 选项，当2023π4θ=时，2023ππsin sin 506π044⎛⎫+==⎪⎝⎭，故C 正确；D 选项，当2025π4θ=时，2025ππsin 144⎛⎫+=⎝⎭，D 错误.故选：C 2．C【分析】由交集的定义求得A B ⋂，根据子集个数的计算方法即可求解．【详解】由题意得，{3,0,3}A B ⋂=-，则A B ⋂的子集有328=个，故选：C ．3．B【分析】根据给定条件，求出劣弧AB 的长，再利用扇形面积公式计算即得．【详解】由圆M 与圆N 外切，得2MN =，又圆M ，圆N 与x 轴分别相切于原点O 和点B ，则2OB MN ==，所以劣弧AB 长等于2OB =，所以劣弧AB 对应的扇形面积为12112⨯⨯=.故选：B 4．A【分析】由圆锥的体积公式及圆锥高、半径与母线的关系计算即可．【详解】设上、下两圆锥的底面半径为r ，高分别为12,h h ，体积分别为12,V V ，因为上圆锥的高与底面半径相等，所以1h r =，则2111222221π1312π3r h V h r V h h r h ====得，22h r =，=，5=，故选：A ．5．D【分析】求得()f x 在()()22f ,的切线方程，代入16,019⎛⎫⎪⎝⎭求解即可．【详解】()2f x x b '=+，(2)4f b '=+，()242f b =+，则()f x 在()()22f ,处的切线方程为()()()4242y b b x -+=+-，由题意得，切线过16,019⎛⎫⎪⎝⎭代入得，()()16424219b b ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，解得34b =，故选：D ．6．D【分析】由已知可知1PF ，2PF的坐标和模，由向量数量积的定义及坐标运算可得关于0x 的不等关系，即可求解.【详解】因为椭圆C ：22162x y +=，所以26a =，22b =，所以2224c a b =-=，所以()12,0F -，()22,0F ，因为点()00,P x y 在C 上，所以2200162x y +=，所以2200123y x =-，0x <<，又()1002,PF x y =--- ，()2002,PF x y =-- ，所以222120002423PF PF x y x ⋅=+-=- ，又)10033PF x ==+=+ ，)2003PF x x ==-=- ，所以121212cos PF PF PF PF F PF ⋅=⋅∠ ，因为12F PF ∠大于π3，所以121212πcos cos 3PF PF F PF PF PF ⋅∠<⋅ ，所以()()2000221233332x x x -<+⋅-⋅，解得0x <<所以0x 的取值范围是(.故选：D .7．A【分析】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式.【详解】不等式()ln 1exf x x->等价于()e ln x f x x >+，即()e ln 0x f x x -+>，构造函数()()e ln ,0x g x f x x x =-+>，所以1()()e xg x f x x''=--，因为0x >时，()1e xf x x<'+，所以()0g x '<对(0,)∀∈+∞x 恒成立，所以()g x 在(0,)+∞单调递减，又因为(1)(1)e ln10g f =--=，所以不等式()e ln 0x f x x -+>等价于()(1)g x g >，所以01x <<，即()ln 1exf x x->的解集为()0,1.故选：A.8．B【分析】由()()()()88321211x x x x ⎡⎤⎡⎤++=++++⎣⎦⎣⎦，利用二项式定理求解指定项的系数.【详解】()()()()88321211x x x x ⎡⎤⎡⎤++=++++⎣⎦⎣⎦，其中()811x ⎡⎤++⎣⎦展开式的通项为()()88188C 11C 1rrr r rr T x x --+=+⋅=+，N r ∈且8r ≤，当0r =时，()()8818C 11T x x =+=+，此时只需乘以第一个因式()12x ⎡⎤++⎣⎦中的2，可得()821x +；当1r =时，()()77128C 181T x x =+=+，此时只需乘以第一个因式()12x ⎡⎤++⎣⎦中的()1x +，可得()881x +.所以82810a =+=.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把()()832x x ++表示成()()81211x x ⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦，利用即可二项式定理求解.9．ABD【分析】根据异面直线成角，线面垂直的判定定理，梯形面积公式逐项判断即可.【详解】对于A ，由于BN ⊂平面11BB C C ，1MB 平面1111BB C C B ,B BN =∉，故直线BN 与1MB 是异面直线，故A 正确；对于B ，如图，连接1CD ，因为M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，所以1∥MN CD ，所以直线MN 与AC 所成的角即为直线1CD 与AC 所成的角，又因为1ACD △是等边三角形，所以直线1CD 与AC 所成的角为π3，故直线MN 与AC 所成的角是π3，故B 正确；对于C ，如图，假设直线MN ⊥平面ADN ，又因为DN ⊂平面ADN ，所以MN DN ⊥，而222MN DN DM ===，这三边不能构成直角三角形，所以DN 与MN 不垂直，故假设错误，故C 错误；对于D ，如图，连接11,A B A M ，因为111,A B CD CD MN ∥∥，所以1//A B MN ，所以平面BMN 截正方体所得的截面为梯形1A BNM ，且11,2MN A B A M BN ====4，所以截面面积为19(2248⨯+⨯=，故D 正确.故选：ABD.10．BCD【分析】由互斥事件的定义即可判断A ；由独立事件的乘法公式验证即可判断B ；由平均值及方差的公式即可判断C ；由二项分布的概率公式即可判断D ．【详解】对于A ，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”可以同时发生，所以不是互斥事件，故A 错误；对于B ，设A =“第一次向上的点数是1”，B =“两次向上的点数之和是7”，则()16P A =，()61366P B ==，()136P AB =，因为()()()P AB P A P B =⋅，所以事件A 与B 互相独立，故B 正确；对于C ，由123452,,,,,x x x x x 的平均数是7，得12345,,,,x x x x x 的平均数为8，由123452,,,,,x x x x x 方差是6，则()()222222123451234514752536xx x x x x x x x x ++++-+++++⨯+=，所以()()222222123451234516856x x x x x x x x x x ++++-+++++⨯=，所以12345,,,,x x x x x 的方差()()22222212345123451685655xx x x x x x x x x ++++-+++++⨯=，故C 正确；对于D ，由()10,0.8B X 得，当()110,Z x r r r =≤≤∈时，()101041C 55rrr P x r -⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当2r ≥时，令()()()101011111041C 411551141C 55r rr r r r P x r r P x r k ----⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪=-⎝⎭⎝⎭==≥=-⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即445r ≤，令()()()10101911041C 1551141041C 55r rrr r r P x r r P x r k -+-+⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎝⎭==≥=+-⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得395r ≥，即394455r ≤≤，所以当8r =时，()8P X =最大，故D 正确，故选：BCD ．11．ACD【分析】由121533PQ PF t PF =+ ，且12,,F Q F 三点共线，得到25t =，可判定A 正确；根据双曲线的定义和122EF EF c +=，求得12,EF a c EF c a =+=-，可判定B 错误；利用角平分线定理得到11222PF QF PF QF ==，结合三角形的面积公式，分别求得,c r 的值，可判定C 正确；结合离心率的定义和求法，可判定D 正确.【详解】对于A 中，因为12515333PQ PI PF t PF ==+，且12,,F Q F 三点共线，所以15133t +=，可得25t =，所以A 正确；对于B 中，设切点分别为,,E F G ，则12122EF EF PF PF a -=-=，又因为122EF EF c +=，所以12,EF a c EF c a =+=-，所以点E 为右顶点，圆心I 的横坐标为2，所以B 错误；对于C 中，因为121233PQ PF PF =+ ，所以122QF QF =，由角平分线定理，得11222PF QF PF QF ==，又因为1224PF PF a -==，所以128,4PF PF ==，由53PQ PI = 可得52P y r =，所以()121152122222PF F S c r c r =+⋅=⨯⨯ ，可得4c =，所以128F F =，则12PF F △为等腰三角形，所以1211(812)422PF F S r =+⋅=⨯⨯ 5r =，所以C 正确；对于D 中，由离心率422c e a ===，所以D 正确.【点睛】方法点拨：对于双曲线的综合问题的求解策略：1、与双曲线的两焦点有关的问题，在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合122PF PF a -=，运用平方的方法，建立12PF PF ⋅的联系；2、当与直线有关的问题，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式，根与系数的关系构造相关变量关系式进行求解；3、当与向量有关相结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系转化为点的坐标问题，再根据与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解.12．3-【分析】根据向量线性运算和数量积公式得到方程，求出答案.【详解】()()()22,44,26,2a b +=+-=，()()()21,6,2620c a b λλ⋅+=⋅=+=，解得3λ=-.故答案为：3-13．10,,12（答案不唯一，填写其中一个即可）【分析】根据三角降幂公式化简，再结合图象求得k 的取值即可.【详解】因为()()2cos 0x k ωϕω+=≠，所以cos 2()12x k ωϕ++=，即cos 2()21x k ωϕ+=-，要想方程所有正实根从小到大排列构成等差数列，则需要210k -=或1±，所以10,1,2k =.故答案为：10,,12（答案不唯一，填写其中一个即可）.14．9113【分析】（1）由()f x 的图象过点()1,2得21a b +=，根据基本不等式“1”的妙用计算即可；（2）由()f x 的图象过点(),ln c ab c +得()22c ac b a c +=-，进而得出22c ac b a c+=-，利用换元法及基本不等式即可求得3ca b+的最大值，即可得出t 的最小值．【详解】（1）由()f x 的图象过点()1,2得，(1)122f a b =++=，即21a b +=，所以()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即13a b ==时等号成立．由()3a b t c +≥恒成立得，3ct a b≥+，（2）因为()f x 的图象过点(),ln c ab c +，则()()22ln ln f c c a b c c ab c =+++=+，即()22c ac b a c +=-，当2a c =时，0c =不合题意舍，所以2a c ≠，即2a c ≠，则22c acb a c+=-，则由0b >得2a c >，所以222222233533512ac c c ac a ac c c a b a ac c a a a c c c --===+-+⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭+-，设20am c-=>，所以()()222237332521351a m m c m m a a m m c c -==+++-++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1131337m m =≤++，当且仅当33m m=，即1m =，则3,4a c b c ==时，等号成立，故答案为：9；113．【点睛】方法点睛：第二空由()f x 的图象过点(),ln c ab c +得出22c acb a c+=-，代入消元得出关于,a c 的齐次式，换元后根据基本不等式计算可得．15．(1)证明见解析(2)30︒【分析】（1）取11B C 的中点D ，连接1,,A D CD DE ，先得出平面1//A DC 平面1AB E ，由面面平行证明线面平行即可；（2）建立空间直角坐标系，根据面面夹角的向量公式计算即可．【详解】（1）取11B C 的中点D ，连接1,,A D CD DE ，由直三棱柱111ABC A B C -得，1111,//B C BC B C BC =，1111,//AA BB AA BB =，因为E 是棱BC 的中点，点D 是11B C 的中点，所以1B D CE =，所以四边形1ECDB 为平行四边形，所以1//CD B E ，同理可得四边形1BEDB 为平行四边形，所以11,//,BB DE BB DE =所以11,//AA DE AA DE =，所以四边形1AEDA 为平行四边形，所以1//A D AE ，因为AE ⊂平面1AB E ，1A D ⊄平面1AB E ，所以1A D //平面1AB E ，同理可得//CD 平面1AB E ，又1A D CD D = ，1,A D CD ⊂平面1A DC ，所以平面1//A DC 平面1AB E ，又1AC ⊂平面1A DC ，所以1//A C 平面1AB E ．（2）设122AB AC AA ===，以A 为原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()110,0,0,0,0,1,2,0,1,1,1,0A A B E ，所以()()()()11111,1,0,2,0,1,2,0,0,1,1,1AE AB A B EA ====--，设平面1AEB 的一个法向量为()1111,,n x y z =，由11100AE n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得，1111020x y x z +=⎧⎨+=⎩，取11x =，的()11,1,2n =-- ，设平面11A EB 的一个法向量为()2222,,n x y z =，由112120A B n EA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得，2222200x x y z =⎧⎨--+=⎩，取21y =，的()20,1,1n = ，设平面1AEB 与平面11A EB 的夹角为θ，则1212cos n n n n θ⋅===由图可知二面角11A B E A --为锐角，则二面角11A B E A --的大小为30︒．16．(1)21n a n =+(2)28(1)41nn n n -++【分析】（1）根据12311S S S ++，，成等比数列求得1a ，即可求得{}n a 的通项公式.（2）根据{}n a 的通项公式求得n S ，分奇偶项分别求出n b 再求和，即可求得{}n b 的前4n 项和.【详解】（1）因为2213(1)(1)S S S =++，所以2111(22)(1)(37)a a a +=++，即11(1)(3)0a a +-=，解得11a =-或3，又因为0n a >，所以13a =，所以32(1)21n a n n =+-=+.（2）1()(2)2n n n a a S n n +==+，所以1111()22nS n n =-+，所以n 为奇数时，1341134111111111111(1()()2323524141n n b b b S S S n n --+++=+=-+-++--+ 11(1)241n =-+，n 为偶数时，424424(42)44(42)16n n n n b b S S n n n n n--+=-=-⨯-⨯+=-24416(12)8(1)n b b b n n n +++=-+++=-+ ，所以前4n 项和4112(1)8(1)8(1)24141n nT n n n n n n =--+=-+++.17．(1)2y x =(2)证明见详解.【分析】（1）设动点F 的坐标为(),x y ，直接利用题中的条件列式并化简，从而求出动点F 的轨迹方程；（2）要证A 为线段BM 的中点，只需证12A B x x x =+即可，设直线的方程为12x my =+，设点()11,M x y ，()22,N x y ，()1,A A x y ，()1,B B x y ，联立直线与曲线的方程，列出韦达定理，由直线OP ，ON 可求得点,A B ，计算120B A x x x +-=即可证.【详解】（1）设点(),F x y ，则(),1E x -，因为OF OE ⊥，所以0OF OE =⋅ ，所以20x y -=，即2x y =，所以动点F 的轨迹方程为：2y x =；（2）因为BM y ⊥轴，所以设()11,M x y ，()22,N x y ，()1,A A x y ，()1,B B x y ，若要证A 为线段BM 的中点，只需证12A B x x x =+即可，当直线MN 斜率不存在或斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不满足题意，所以直线MN 斜率存在且不为0，12120x x y y ≠，设直线MN ：12x my =+，0m ≠，由212x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得22210mx x -+=，442148m m ∆=-⨯⨯=-，由题意可知，直线MN 与抛物线C 有两个交点，所以0∆>，即480m ->，所以12m <，由根与系数的关系得，121x x m +=，1212x x m=，由题意得，直线OP 方程y x =，所以()11,A y y ，直线ON 方程22y y x x =，所以2112,x y B y y ⎛⎫⎪⎝⎭，所以22212111111111222222212B A x y x x x x x x x y x x x x y x x ⎛⎫⋅+-=+-=+-=+- ⎪⎝⎭()121211112122222112202x x x x x x x x x x x x x x m m +-⎛⎫=⋅=+-=-⨯= ⎪⎝⎭，所以A 为线段BM 的中点.18．(1)0.035a =；72.5(2)0.6(3)160【分析】（1）由频率分布直方图的概率和为1，列出方程，求得0.035a =，再利用百分位数的计算方法，即可求解；（2）设“抽到男学生”为事件A ，“评分80分以上”为事件B ，结合全概率公式，即可求解；（3）根据题意，利用方差的计算公式，求得245x y s s s =，得到160y x y x s s m n s s +=，令x y s t s =，得到160n my t +=，利用基本不等式求得nmy t+≥200n m =-，得出不等式160≥m 的范围，即可求解.【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得：(0.0020.0040.00140.00200.0025)101a +++++⨯=，解得0.035a =，设25%分位数为0x ，由分布直方图得0.020,040.140.2++=，所以0700.05100.2x -=，解得072.5x =.（2）解：设“抽到男学生”为事件A ，“评分80分以上”为事件B ，可得()0.8,(|)0.55,()0.2,(|)0.8P A P B A P A P B A ====，由全概率公式得()()(|)()(|)0.80.550.20.80.6P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=.（3）解：由x y =，可得mx n yz x m n+==+，所以22222111111[()()][()()]200200m n m ni i i i i j i j s x z y z x x y y =====-+-=-+-∑∑∑∑2214()2005x y x y ms ns s s =+=，所以22160x y x y ms ns s s +=，即160y xy xs s mn s s +=，令x y s t s =，则160nmy t+=，由于n my t +≥=n my t =时，等号成立，又因为200n m =-，可得160≥=220064000m m -+≥，解得40m ≤或160m ≥，因为1200n m ≤≤≤且200m n +=，所以160m ≥，所以实数m 的最大值为160.19．(1)答案见解析，证明见解析(2)(],1-∞(3)证明见解析【分析】（1）类比，写出平方关系，倍角关系和导数关系，并进行证明；（2）构造函数()()sh F x x kx =-，()0,x ∞∈+，求导，分1k ≤和1k >两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案；（3）结合新定义将所证变为()()121112121e sin e sin e cos x x x x x x x x x +-+>-+-，设函数()=e sin x f x x -，即证()()()12121f x x f x x f x >+'+，先利用导数求得()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，再设()()()()()111,0h x f x x f x xf x x =+-->'，利用导数得其单调性及()0h x >，从而()()()111f x x f x xf x >+'+，得证.【详解】（1）平方关系：()()22chsh 1x x -=；倍角公式：()()()sh 22sh ch x x x =；导数：()()sh()ch()ch()sh()x x x x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩.理由如下：平方关系，()()2222e e e e ch sh 22x x x x x x --⎛⎫⎛⎫+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222e e e e 12244x x x x --++=--=+；倍角公式：()()()()()22e e e e e e sh 22sh ch 22x x x x x x x x x ----+-===；导数：()()e e ee sh()ch 22x xxxx x --'--+===，()e e ch()sh 2x x x x -'-==；以上三个结论，证对一个即可.（2）构造函数()()sh F x x kx =-，()0,x ∞∈+，由（1）可知()()ch F x x k ='-，①当1k ≤时，由e e ch()12x xx -+=≥，又因为0x >，故e e x x -≠，等号不成立，所以()()ch 0F x x k '=->，故()F x 为严格增函数，此时()(0)0F x F >=，故对任意0x >，()sh x kx >恒成立，满足题意；②当1k >时，令()()(),0,G x F x x ∞∈'=+，则()()sh 0G x x ='>，可知()G x 是严格增函数，答案第15页，共15页由(0)10G k =-<与1(ln 2)04G k k=>可知，存在唯一0(0,ln 2)x k ∈，使得0()0G x =，故当0(0,)x x ∈时，0()()()0F x G x G x =<='，则()F x 在0(0,)x 上为严格减函数，故对任意0(0,)x x ∈，()()00F x F <=，即()sh x kx >，矛盾；综上所述，实数k 的取值范围为(],1-∞；（3）因为()()ch sh e xx x +=，所以原式变为()()21212121e 1e sin sin cos x x x x x x x x --⋅>+--，即证()()121112121e sin e sin e cos x x x x x x x x x +-+>-+-，设函数()=e sin x f x x -，即证()()()12121f x x f x x f x >+'+，()=e cos x f x x -'，设()()=e cos x t x f x x =-'，()e sin x t x x '=+，0x >时()0t x '>，()t x 在()0,∞+上单调递增，即()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，设()()()()()111,0h x f x x f x xf x x =+-->'，则()()()11h x f x x f x =+'-''，由于()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，11x x x +>，所以()()11f x x f x +>''，即()0h x '>，故()h x 在()0,∞+上单调递增，又()00h =，所以0x >时，()0h x >，所以()()()1110f x x f x xf x +-->'，即()()()111f x x f x xf x >+'+，因此()()()12121f x x f x x f x >+'+恒成立，所以原不等式成立，得证.【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点：（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.。