矩阵的正定性及其应用论文
矩阵的正定性及其应用
摘 要：矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,本文主要讨论主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用.本文在介绍实矩阵的正定性的定义及其判别方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用.全文分两章,在第一章,矩阵的正定性的定义．在第二章,正定性矩阵的判别方法,在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例．
一、二次型有定性的概念
定义1 具有对称矩阵A 之二次型,AX X f T =
(1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T （或0<AX X T ）成立，则称
AX X f T =为正定（负定）二次型，矩阵A 称为正定矩阵（负定矩阵）.
(2) 如果对任何非零向量X , 都有0≥AX X T （或0≤AX X T ）
成立，且有非零向量0X ，使000=AX X T ，则称AX X f T =为半正定（半负定）二次型，矩阵A 称为半正定矩阵（半负定矩阵）.
注: 二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.
二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.
二．矩阵正定性的一些判别方法
定理 1 设A 为正定矩阵,若B A ≌)(合同与B A ,则B 也是正定矩阵. 定理2 对角矩阵),,,(21n d d d diag D =正定的充分必要条件是
),,2,1(0n i d i =>.
定理3 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零. 定理4 A 为正定矩阵的充分必要条件A 的正惯性指数.n p =
定理5 矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵C , 使
C C A T =.即E A 与合同。
推论1 若A 为正定矩阵, 则0||>A .
定理6 秩为r 的n 元实二次型AX X f T =, 设其规范形为
2
2122221r p p z z z z z ---++++
则：
(1) f 负定的充分必要条件是,0=p 且.n r = (即负定二次型,其规范形为
2
2221n z z z f ----= )
(2) f 半正定的充分必要条件是.n r p <= (即半正定二次型的规范形为
n r z z z f r <+++=,22221 )
(3) f 半负定的充分必要条件是,0=p .n r < (即n r z z z f r <----=,22
2
21 ) (4)
f
不定的充分必要条件是
.
0n r p ≤<< (即
2
2122221r p p z z z z z f ---+++=+ )
定义2 n 阶矩阵)(ij a A =的k 个行标和列标相同的子式
)1(2121
2221212111n i i i a a a a a a a a a k i i i i i i i i i i i i i i i i i i k
k k k k k ≤<<<≤
称为A 的一个k 阶主子式.而子式
),,2,1(||21
2222111211
n k a a a a a a a a a A kk
k k k k k
==
称为A 的k 阶顺序主子式.
定理7 n 阶矩阵)(ij a A =为正定矩阵的充分必要条件是A 的所有顺序主子式
),,2,1(0||n k A k =>.
注：(1) 若A 是负定矩阵，则A -为正定矩阵,。
(2) A 是负定矩阵的充要条件是：).,,2,1(,0||)1(n k A k k =>-
其中k A 是A 的k 阶顺序主子式.
(3) 对半正定（半负定）矩阵可证明以下三个结论等价:
a. 对称矩阵A 是半正定（半负定）的;
b. A 的所有主子式大于（小于）或等于零；
c. A 的全部特征值大于（小于）或等于零.
三、几个简单的例题：
例1 设M 是n 阶实对称矩阵, 则必存在正实数t, 使得tI+M 为正定阵，其中I 是单位矩阵。
证明：矩阵正定的充要条件:
对任意x 不等于0向量,有X'MX>0，X'(TI+M)X = TX'X+X'MX ，
在所有的X 中选一个X,使X'MX 的值最小,X'MX = -MAX,其中 MAX>0，而这时对应的X'X 的值为K,且K 肯定大于0，
又K,MAX 都是常数,则必存在常数T,使TK-MAX>0，即X'(TI+M)X=TX'X+X'MX>0 故TI + M 正定. 例 2 设二次型
3231212
3222142244x x x x x x x x x f +-+++=λ
问λ取何值时, f 为正定二次型？ 解 f 的矩阵为
⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=4212411λλA
f 正定的充要条件是A 的顺序主子式全大于零. 事实上, A 的顺序主子式为：
011>=A
2
244
1
λλ
λ
-==
A
)
2)(1(484442
124
1
1
23+--=+--=--=λλλλλλA
于是, f 正定的充要条件是02>A 且03>A . 联解不等式组：
⎩⎨
⎧>+-->-0)2)(1(4042λλλ
可得12<<-λ.
当12<<-λ时, f 正定.
四． 实矩阵正定性的一个简单应用
在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决.
定义1 设n 元函数12()(,,
)n f X f x x x =在12(,,
,)T n n X x x x R =∈的某个邻域内
有一阶、二阶连续偏导数。
记12()()
()(),,
,
n f X f X f X f X x x x ⎛⎫
∂∂∂∇= ⎪∂∂∂⎝⎭
, ()f X ∇称为函数()f X 在点12(,,
,)T n X x x x =处的梯度.
定义3 满足0()0f X ∇=的点0X 称为函数()f X 的驻点.
定义4 2222112122
22
21
2
()()()()()()()()n i j n n
n n n
f X f X f X x x x x x f X H X x x f X f X f X x x x x x ⨯⎛⎫
∂∂∂ ⎪∂∂∂∂∂ ⎪
⎛⎫
∂ ⎪==
⎪ ⎪∂∂ ⎪⎝⎭∂∂∂ ⎪
⎪∂∂∂∂∂⎝⎭
称为函数12()(,,)n f X f x x x =在点n X R ∈处的黑塞矩阵。
显然()H X 是由()
f X 的2n 个二阶偏导数构成的n 阶实对称矩阵.
定理8(极值存在的必要条件) 设函数()f X 在点000012
(,,,)T
n X x x x =处存在一阶
偏导数，且0X 为该函数的极值点，则0()0f X ∇=.
定理9(极值的充分条件) 设函数()f X 在点0n X R ∈的某个邻域内具有一阶、二
阶连续偏导数，且00001
2()()
()(),,,
0n f X f X f X f X x x x ⎛⎫
∂∂∂∇==
⎪∂∂∂⎝⎭
则 : (1)当0()H X 为正定矩阵时，0()f X 为()f X 的极小值; (2)当0()H X 为负定矩阵时，0()f X 为()f X 的极大值; (3)当0()H X 为不定矩阵时，0()f X 不是()f X 的极值。
应注意的问题：
利用二次型的正定性来判断多元函数的极值虽然是一个很好的方法,但也有一定的局限性,因为充分条件对正定和负定的要求是很严格的,若条件不满足,那结论就不一定成立.
例3 求三元函数222(,,)23246f x y z x y z x y z =++++-的极值. 解 先求驻点，由
220440660x y z f x f y f z ⎧=+=⎪
=+=⎨⎪
=-=⎩ 得1,1,1x y z =-=-=
所以驻点为0(1,1,1)P --. 再求(Hessian)黑塞矩阵
因为2,0,0,4,0,6xx xy xz yy yz zz f f f f f f ======,
所以200040006H ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，可知H 是正定的，所以(,,)f x y z 在0(1,1,1)P --点取得极小值：(1,1,1)6f --=-.
当然，此题也可用初等方法222(,,)(1)2(1)3(1)6f x y z x y z =++++--求得极小值
6-，结果一样.。
正定矩阵及其应用
本科毕业论文(设计)正定矩阵及其应用学生：学号：专业：指导老师：答辩时间：装订时间：A Graduation Thesis(Project)Submitted to School of Science，Hubei University for Nationalities In Partial Fulfillment of the Requiring for BS DegreeIn the Year of 2016Positive definite matrices and their applicationsStudent Name: Student No.:Specialty:s Supervisor:Date of Thesis Defense: Date of Bookbinding:摘要矩阵是高等代数里的一个基本概念，是代数知识的基础，是矩阵代数的一个主要研究对象. 它不仅是数学的一个重要分支，而且已经成为现在科技领域处理有限维空间形式与数量关系的强有力的工具. 而正定矩阵是从矩阵延伸出来的具有特殊性质的矩阵，是研究二次型的基础，在函数、不等式中都有应用，因此正定矩阵的特殊性质和广泛应用得到了许多学者关注，进而对此进行了大量的研究. 本文从矩阵最基本的概念和性质出发，由浅入深，层层递进. 从矩阵的性质出发，给出了正定矩阵定义及其等价定义，归纳整理了正定矩阵的性质及其部分证明，总结了正定矩阵的判定定理，最后研究正定矩阵在理论证明和在函数极值中的应用.关键词：矩阵正定二次型正定矩阵极值AbstractThe matrix is very important in advanced algebra. It is not only an important branch, but also have become a powerful tool for studying finite dimensional space and quantity r- elationship in the real of modern science and technology. However , extending from the m- atrices, the positive definite matrix is a special matrix, which is a foundation for studying quadratic form and apply properly to both functions and inequality. Thus, its special prop- erty and wide applications have drawn scholars'attention, and a lot of research have been done. This paper begins with the matrix'primary concept and properties, going from the e- asy to the difficult. We define the positive definite matrix and its equivalent one, the sum up its properties and partial evidence, and summarize the determined theorems. At last, we study its application in theory and the solution of the function extremum.Keywords: matrix，positive definite quadratic，positive definite matrix，extremum目录摘要IAbstractII1绪论11.1 课题背景11.2 课题研究的目的和意义11.3 国外研究概况22 预备知识32.1 矩阵32.2二次型53正定矩阵83.1正定二次型83.2正定矩阵的判定定理94正定矩阵的应用134.1正定矩阵的相关命题134.2正定矩阵在函数极值中的应用15总结与展望18致201绪论我们知道矩阵是高等代数中非常重要的容之一. 在学习高等代数时，矩阵方面的知识也经常被用到. 而正定矩阵又是矩阵中的重点，它不单单用来解决数学中的问题，还应用于许多的科学领域. 本课题阐述了正定矩阵研究背景、正定矩阵的研究的目的和意义、正定矩阵的现状以及发展方向，明确指出了研究正定矩阵应用所面临的问题.1.1 课题背景正定矩阵作为一类常用矩阵，对它的研究最早出现在二次型中. 它也是从正定二次型中抽象出来的一个概念，有了正定矩阵的概念后，解决二次型的问题就变得简单方便. 不仅在代数学中应用广泛，在函数学、几何学、图像处理学、概率统计和物理学等学科中都得到了广泛的应用. 因此它的性质、定理以及应用问题一直备受学者关注. 而在实际生活问题中也经常出现一些相关数学问题，而用正定矩阵解决问题可能会更方便简洁一点. 这就需要我们研究正定矩阵的应用，如正定矩阵在四则运算、在函数极值、在不等式中的应用. 因此可以使得我们可以更好地使用正定矩阵这一重要工具. 本文通过对正定矩阵的理解和掌握，查阅各种相关资料，对正定矩阵及其相关知识点进行归纳总结，并且由此给出了正定矩阵在四则运算和函数极值及中的应用.根据课题研究容和手中相关文献资料，了解课题研究现状，学习掌握相关理论基础知识，并进行初步研究，撰写开题报告.1.2 课题研究的目的和意义矩阵是代数中一个非常重要的概念，是研究和解决数学问题的一个重要工具. 而正定矩阵是一类非常重要的矩阵，在矩阵中扮演着重要的角色，因此是我们学习矩阵时不可忽略的重点. 本文对我们对数学感兴趣的学生深入理解和掌握正定矩阵理论有非常重要的意义. 能够加强我们对正定矩阵的掌握，也可以促进正定矩阵理论的进一步完善，丰富正定矩阵的应用，加强我们对正定矩阵的理解，丰富矩阵的理论知识. 有助于我们对整个高等代数知识的一体化的认识. 从而可以培养我们对代数知识的串联思想. 正定矩阵多方面的应用，能够开阔我们的视野，加强我们的联想能力，引起我们对数学的探究欲望，对知识的渴望.研究矩阵的正定性，在代数理论和应用中具有重要意义. 正定矩阵不仅在数学方面，在其他各个领域都具有广泛的应用价值，因此引起了学者们极大的研究兴趣. 这些研究不断丰富了正定矩阵的理论知识，也引起了我们对正定矩阵的兴趣.1.3 国外研究概况随着数学的影响力越来越大，矩阵对数学的研究也显得越来越重要. 在代数方面，正定矩阵也同样占有非常重要的地位. 因此人们对正定矩阵的研究也越来越广泛. 因而对正定矩阵的理解和应用也越来越深入，其应用围也越来越广泛. 在函数学、几何学、经济学、图像处理学、概率统计和物理学等学科中都得到了广泛的应用.在历史上，正定矩阵的相关研究最早出现在二次型和Hermite型中. 但是当时对于的正定矩阵局限于对实对称矩阵或者Hermite矩阵. 1970年，Johnson引入了不再局限于对实对称矩阵或者Hermite矩阵实对称矩阵的概念. 他给出了正定矩阵较为广义的定义. 1985年，炯生也给出了正定矩阵较为广义的定义. 1984年，佟文廷再次将正定矩阵的定义进行了推广. 他给出了推广正定矩阵的各种定义. 1988年，夏长富将实对称矩阵的正定性做了深入推广. 他又进一步极大的丰富了正定矩阵的理论. 1990年，屠伯埙将各类广义正定矩阵进行深度结合. 他重新定义了广义正定矩阵，将它称之为亚正定矩阵. 在研究正定矩阵的过程中，许多学者取得了惊人的理论成果，其成果也得到了广泛的应用. 除了对正定矩阵的研究，许多学者还对正定矩阵相关容进行了研究，同样取得了巨大的成就. 近年来，在完善正定矩阵理论成果的历史中，得出了许多其他的概念和定理，将各类正定阵统一起来. 这些新的研究成果对完善正定矩阵的理论和其应用具有非常大的价值.虽然对正定矩阵的研究这么广泛，但是这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面. 它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘.2 预备知识2.1 矩阵定义2.1.1 由n m ⨯个数),2,1,,2,1(n j m i a ij ==；排成的m 行n 列的数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211， 称为n m ⨯矩阵，记作.n m ij a A ⨯=）（ 特殊地，当n m =时，矩阵称为方阵.定义2.1.2 把一矩阵A 的行列互换，所得到的矩阵称为A 的转置. 记为T A (或者记为'A ).即， 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211，所谓A 的地转置就是指矩阵.212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sn n n s s T a a a a a a a a a A 显然，n s ⨯矩阵的转置是s n ⨯矩阵，即n s ij a A ⨯=）（，则.s n ij a A ⨯=）（ 转置矩阵满足以下运算规律()()()().T T TT T T T T TT kA kA A B AB B A B A A A ==+=+=，，，定义2.1.3 数域P 上的n n ⨯矩阵A 称为对称矩阵，如果T A A =.即若⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211, 且满足=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n nn n a a a a a a a a a212221212111,则称A 为对称矩阵.定理2.1.1 任意一个n 阶实对称矩阵A ，都存在一个n 阶正交矩阵T ，使得AT T T 成对角型. 对角线上的元素为矩阵A 的特征根.定义2.1.4 数域P 上的n n ⨯矩阵A 称为非退化的，如果0≠A ；否则称为退化的. 即，若.0212222111211≠=nnn n nna a a a a a a a a A则A 为非退化的.定义2.1.5N 级方阵A 称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得.E BA AB == （1）这里E 是n 级单位阵.如果矩阵B 适合（1），那么B 称为A 的逆矩阵，记为T A . 注1：只有方阵才可能可逆； 注2：非零的矩阵不一定可逆；注3：若A 可逆，则（1）中的B 必唯一； 注4：若AC AB =，且A 可逆，则C B =.设A 是n 阶可逆矩阵，下列结论成立：()()()()()()()()().5);(4;13;2;111111111-*-------=====n TT AA k kA kA AA A A A A 为非零数定理2.1.2 矩阵A 是可逆的充分必要条件是A 是非退化的.定义2.1.6 数域P 上n n ⨯矩阵B A ,称为合同的，如果有数域P 上可逆的n n ⨯矩阵C ，使.AC C B T =合同是矩阵之间的的一个关系，不难看出，合同关系具有: （1） 反身性：;AE E A T =（2） 对称性：由T C B =即得();11--=BC C A T（3） 传递性: 由111AC C A T =和2122C A C A T= 即得()().21212C C A C C A T=定义2.1.7 设n n y y y x x x ,,,,,,2121 ；是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=+++=.22112222121212121111n nn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x ，，（2） 称为由n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，或者简称线性替换，如果系数行列式，0≠cij那么线性替换（2）称为非退化的.2.2二次型定义2.2.1设P 是一数域. 一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式() ++=211221113212,,x x a x a x x x f+++++n n n x x a x a x x a 22222212122+2nnn x a + (3) 称为数域P 上的一个n 元二次型，或者，在不致引起混淆时简称二次型. 令ji ij a a =，.j i >由于i j j i x x x x =，所以二次型（3）可以写成()n n x x a x x a x a x x x f 1121122111321,,+++=n n x x a x a x x a 2222221221+++++22211n nn n n n n x a x x a x x a ++++j i n i nj ij x x a ∑∑-==11（5）把（5）的系数排成一个n n ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211， 它就称为二次型（5）的矩阵.令.21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X于是，二次型可以用矩阵的乘积表示出来()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nn n n n n n Tx x x a a a a a a a a a x x x AX X 2121222211121121,,..),,(21AX X x x x f T n =定理2.2.1 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角阵. 即，对于任意一个对称矩阵A 都可以找到一个可逆矩阵C 使AC C T成对角矩阵.定义2.2.2二次型),,,(21n x x x f 经过非退化的线性替换所变成的平方和形式称为二次型),,,(21n x x x f 的一个标准形. 即222221121),,,(n n n x d x d x d x x x f ++=为二次型),,,(21n x x x f 的标准形.定义2.2.3 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规形. 且规形是唯一的.即任一复数的对称矩阵合同于⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0011的对角阵.定义 2.2.4 实二次型),,,(21n x x x f 经过某一个非线性替换，可使),,,(21n x x x f 变成标准形22112211r r p p p p y d y d y d y d --++++ ，再做一次非退化线性替换就变成221221r p p z z z z --+++ ，称为实二次型),,,(21n x x x f 的规形.3正定矩阵在二次型中，正定二次型占有特殊的地位. 作为本章的开始，我们给出了它的定义，引出正定矩阵的定义. 正定矩阵同样占有非常特殊的地位，我们给出了正定矩阵的判定定理.3.1正定二次型定义3.1.1 在实二次型 ),,,(21n x x x f 的标准型形中，正平方项的个数p 称为),,,(21n x x x f 的正惯性指数；负平方项的个数p r -称为),,,(21n x x x f 的负惯性指数；它们的差()r p p r p -=--2称为),,,(21n x x x f 的符号差.定义3.1.2 实二次型),,,(21n x x x f 称为正定的. 如果对于任意一组不全为零的实数 n c c c ,,,21 都有 0),,,(21>n c c c f .定理3.1.1 n 元实二次型 ),,,(21n x x x f 是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于n .推论3.1.1 正定矩阵的行列式大于零.定义3.1.3 在n 阶矩阵中任选k 行，再取相同行号的列，所选取的行列交汇处的2k 个元素组成的新的矩阵称为n 阶矩阵的一个k 阶主子式.定义3.1.4 子式),2,1(212222111211n i a a a a a aa a a P ii i i i i i=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=， 称为矩阵()n n ij a A ⨯=的顺序主子式.定理3.1.2实二次型AX X x x x x x f T ni nj j i ij n a ==∑∑==1121),,,(是正定的充分必要条件为：矩阵A 的顺序主子式全大于零.定义3.1.5 若对于方阵A 存在一个非零向量X 和实数λ，使得X AX λ=成立. 则称λ为矩阵A 的特征值，X 称为A 相对于λ的特征向量.定义3.1.6 设实二次型AX X x x x f T n =),,,(21 （A 为对称矩阵). 如果对于任意的0X 21≠⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x ，有0),,,(21>=AX X x x x f T n ，则称该二次型为正定二次型. 矩阵A为正定矩阵.注：本文所讨论的都为实正定矩阵.3.2正定矩阵的判定定理定理3.2.1实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是：存在可逆矩阵P ，使得P P A T =.证明 必要性 因为矩阵A 为正定矩阵，所以矩阵A 合同于单位矩阵，即存在可逆矩阵Q ，使得E AQ Q T =， 即()()()1111----==Q Q EQ Q A TT ，若我们记1-=QP ，则有.P P A T =充分性 设存在可逆矩阵P 使得P P A T =，则对任意()0,,,x 21≠=Tn x x x ， 有()()PX PX PX P X AX X TT T T ==，若我们记()Tn y y y PX Y ,,,21 ==. 则22221n T T y y y Y Y AX X +++== ，所以矩阵A 为正定矩阵.定理3.2.2实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是：存在可逆矩阵P ，使得n T E AP P =.证明 充分性 因为矩阵A 为正定矩阵，所以矩阵A 对应的是正定二次型. 因此可以经过非退化线性替换PY X =. 其中()Tn y y y Y ,,,21 =. 使得()()()).,,,(),,,(212121n n T T TT n y y y g a a a Y AP P Y PY A PY AX X x x x f=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛====所以有n E AP P ='.必要性 存在可逆矩阵P 使得 n T E AP P =，则其对应的二次型).,,,()()(),,,(2121n T T T T n x x x f PY A PY APY P Y EY Y y y y g ==== 因),,(21n x x x g 为正定二次型，所以),,,(21n x x x f 也为正定二次型. 所以其对应的矩阵A 为正定矩阵.定理3.2.3实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵A 的正惯性指数n p =.证明 充分性 因为矩阵A 为正定矩阵. 由定理3.2.2知矩阵A 合同于单位阵E . 所以矩阵A 的正惯性指数为n .必要性 因为矩阵A 的正惯性指数为n ，由定理3.1.1知矩阵A 对应的二次型为正定二次型. 因此矩阵A 为正定矩阵.定理3.2.4实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵A 的所有顺序主子式都大于零.证明 充分性 因为矩阵A 为正定矩阵，所以矩阵A 对应的二次型为正定二次型. 则构造函数)00)(,,,(21≤<k x x x f k 也为正定二次型. 所以其对应的矩阵顺序主子式k A 为正定矩阵，即0>k A . 所以正定矩阵A 的所有顺序主子式都大于零. 必要性 因为矩阵A 的所有顺序主子式都大于零，所以矩阵A 的任一顺序主子式k A 对应的二次函数都为正定二次型. 因此当n k =时对应的二次型),,,(21n x x x f 为正定二次型. 即对应的矩阵A 为正定矩阵.例3.2.1 设二次型323121232221214-2224),,,(x x x x x x x x x x x x f n -+++=λ ，求λ的取什么围，使得),,,(21n x x x f 为二次型.解 二次型),,,(21n x x x f 的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22-1-2-41-1λλA .由定理3.2.4得,011>=A()(),02244122>+-=-==λλλλλA 得.22<<-λ(),02-24222-12-41123>-=+-=--=λλλλλλA 得.20<<λ 综合可知当20<<λ时，),,,(21n x x x f 正定.定理3.2.5实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵A 的所有主子式都大于零.证明 设正定矩阵()n n ij a A ⨯=，则它的任一m 阶主子式为()mm m mk k k k k k k k m a a a a A1111=.作二次型AX X T 和().Y A Y m T 对任意()0,10≠=m k k b b Y ，都有().0,,10≠=n c c X 其中⎩⎨⎧==其它时当,0,,,,21m i i k k k i b c ，由于AX X T 正定，所以000>AX X T . 从而().0000Y A Y AX X m TT= 由0Y 的任意性即证()Y A Y m T 是正定二次型，即().0>m A例3.2.2 判断⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1-10121011A 是否为正定矩阵.解 我们直接可以看出矩阵A 的主子式不全大于零.定理3.2.6实对称矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件是：矩阵A 的所有特征值都大于零.证明 由定理2.1.1知对于对称矩阵A 存在一个n 阶正交矩阵T . 使得AT T T 成对角型. 对角线上的元素为矩阵A 的特征根.充分性 因为矩阵A 为正定矩阵，所以存在正交矩阵P ，满足⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n T a a a AP P21. 其中n a a a ,,,21 是矩阵A 的全部特征值. 则矩阵A 对应的二次型为AX X x x x f T n =),,,(21 . 令PY X =，则有()()().,,,)(),,,(2121n T T TT n y y y g Y AP P Y PY A PY AX X x x x f ====又因为矩阵A 为正定矩阵，所以二次型为正定二次型. 因此矩阵A 的特征值全部大于零.必要性 因为矩阵A 的特征值),,2,1(n i a i =都是大于零，所以存在正交矩阵P ，满足⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n T a a a AP P21. 则矩阵A 所对应的二次型 ()()()),,,(,,,),,,(2121212121n TT T n n n n x x x f PY A PY APY P Y y y y a a a y y y y y y g===⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=所以二次型()n y y y g ,,,21 是正定二次型. 因此矩阵A 为正定矩阵.4正定矩阵的应用正定矩阵作为本论文的中心容，我们不仅仅只是研究它的定义和性质，它的应用也是我们需要研究的反向. 正定矩阵的应用非常广泛，它在函数学、几何学、图像处理学、概率统计和物理学等学科中都得到了广泛的应用. 本论文主要研究了它在理论证明中和在函数极值中的应用.4.1正定矩阵的相关命题命题4.1.1 若矩阵B A ,是n 阶正定矩阵，则矩阵B A +也是正定矩阵. 证明 因为矩阵B A ,为正定矩阵，所以对所有00,0>>≠BX X AX X X T T ，. 因此0)(>+X B A X T .命题4.1.2 若矩阵A 是n 阶正定矩阵，R k ∈<0，则kA 也为正定矩阵. 证明 因为所有0,0>≠AX X X T ，所以0)()(>=AX X k X kA X T T .命题4.1.3 若矩阵B A ,都是n 阶正定阵，BA AB =，则AB 也是正定阵. 证明 因为BA AB =，所以()AB BA A B AB T T T===. 所以AB 是对称矩阵又因为B A ,为正定矩阵，所以存在可逆矩阵Q P ,，使得.,Q Q B P P A T T == 因此Q PQ P AB T T =.又因为()()TT T PQ PQ PQ QP QABQ ==-1正定， 且与AB 相似，所以AB 正定.命题4.1.4 设矩阵A 是正定阵，则*1A A ，-为正定阵.证明 因为矩阵A 为正定矩阵. 所以存在可逆矩阵C ，使得C C A T =. 因此()()()TTT C C C C CC A 111111------===. 所以1-A 正定.又因为01*>⋅=-A A A A ，此时，所以*A 也是正定阵.命题4.1.5 设矩阵A 为正定阵，则与矩阵A 合同的矩阵也是正定阵. 证明 因为正定矩阵A 合同于单位矩阵E ，又因为合同矩阵具有传递性 所以结论成立.命题4.1.6 若矩阵A 为正定矩阵，那么矩阵A 的绝对值最大的元素一定在矩阵A 的主对角线上.证明 设{}00,max 00j i a a ij j i ==，000000000≤j j i j j i i i a a a a . 这与矩阵A 为正定矩阵矛盾.例4.1.1判断矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113121311B 是不是正定矩阵.解 因为绝对值最大的元素不在主对角线上，所以矩阵B 不是正定矩阵.- . -4.2正定矩阵在函数极值中的应用定义4.2.1 设n 元函数()),,,(21n x x x f x f =在n n R x x x x ∈⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 210的某个邻域存在一阶和二阶连续偏导数.记⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∇n x x f x x f x x f x f )(,,)(,)()(02010 .)(x f ∇称为函数)(x f 在点⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n x x x x 210处的梯度，或记为).(0x gradf定义4.2.2设n 元函数()),,,(21n x x x f x f =有二阶连续偏导数，并且在⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n αααα 21处的一阶偏导全部为零. 则称α为()),,,(21n x x x f x f =的一个驻点，则n 阶矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n x x x x x x x x x x xx x x x x x x f f f f f f f f f x H212221212121)(. 称为()),,,(21n x x x f x f =在α点的黑塞矩阵.定理4.2.1 设函数),,,()(21n x x x f x f =的一阶和二阶连续偏导数存在.并且在),,,(21n αααα =处的一阶偏导为零. 则由函数二阶偏导所确定的n 元黑塞矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n n n n x x x x x x x x x x xx x x x x x x f f f f f f f f f x H212221212121)(，满足 （1）当)(αH 为正定矩阵时，()),,,(21n x x x f x f =在α处取得极小值； （2）当)(αH 为负定矩阵时，()),,,(21n x x x f x f =在α处取得极大值； （3）当)(αH 为不定矩阵时，()),,,(21n x x x f x f =在α无极值.- . -证明 因为()),,,(21n x x x f x f =在α的所有二阶偏导数都存在，所以由泰勒公式得()n n x x x f ∆+∆+∆+ααα,,,2211()+=n f ααα,,,21 ()n n n n x x x f x x x x x x ∆+∆+∆+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∆++∂∂∆+∂∂∆θαθαθα,,,22112211 ())10(,,,21221122211<<∆+∆+∆+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∆++∂∂∆+∂∂∆+θθαθαθα其中！n n n n x x x f x x x x x x 又因为()),,,(21n x x x f x f =在α处的一阶偏导为零，所以()n n n i x i x x x f x f i∆+∆+∆+∆=∆∑=θαθαθα,,,(!212211122()).,,,2221111n n ni x x jni j ix x x f xx j i ∆+∆+∆+∆∆+∑∑=+=θαθαθα所以我们可以得到()n n x x x x x f j i ∆+∆+∆+θαθαθα,,,2211 ()).,2,1,(,,,21n j i c f ij n x x j i =+=ααα 当()0,,,21→∆∆∆=∆n x x x x 时，.0→ij c 所以()n n i x i if x f ααα,,,(!2121122 ∑=∆=∆()n n i x x j ni j i j i f x x ααα,,,22111∑∑=+=∆∆+)211122∑∑∑=+==∆∆+∆+ni jni j iijn i iix x c x c .因为()0,,,21→∆∆∆=∆n x x x x 时.0→ij c 所以存在x 的一个领域，使得在这个区域f ∆的符号与()n n i x i if x f ααα,,,2112'2 ∑=∆=()n ni x x jni j ij i f xx ααα,,,22111∑∑=+=∆∆+的符号一致.所以由实二次型及正定矩阵的定义可以证明以上定理的正确性.例4.2.1 求三元函数()32123222132162432,,x x x x x x x x x f -+-++=的极值. 解 求驻点⎪⎩⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-==+==-=.111.066022044321321321x x x x f x f x f x x x ，，，，所以驻点为()1,1-1，α. 求得二阶偏导分别为.0,6,0,2,0,4313332222111======x x x x x x x x x x x x f f f f f f所以矩阵()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=600020004αH ， 由以上判定定理可知H 为正定矩阵.所以),,(321x x x f 在()1,1-1，α处取得极小值，极小值为()().51,1,1-=-=f f α例4.2.2 求三元函数32123223132126),,(x x x x x x x x x f -+++=的极值. 解 求驻点⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-==+==+=.1,27,9.1,0,0.022062063321321312221321x x x x x x x f x x f x x f x x x 或，，所以驻点为()1,001，α，()1,2792，α. 求得二阶偏导分别为.0,0,2,0,0,2,6,6,61331332332221221111=========x x x x x x x x x x x x x x x x x x f f f f f f f f x f所以矩阵()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2000260661x H α.所以矩阵().2000260601⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αH在()1,001，α处的顺序主子式为 .7220002606036266000321-==-====H H H ，，由定理3.2.4知矩阵()1αH 不是正定矩阵，所以()1,001，α不是),,(321x x x f 的极值点. ().20002606542⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=αH在()1,2792，α处的顺序主子式为 .0144200026065407226654054321>==>==>=H H H ，，由定理3.2.4知矩阵()2αH 是正定矩阵，在()1,2792，α处取得极小值，极小值为 ()().29151,27,92==f f α总结与展望正定矩阵在高等代数中有很多重要的应用，其实质就是简化二次型的运算. 本文一共有四章. 第一章主要介绍了本文的研究背景和现状；第二章归纳了部分矩阵知识和二次型知识；第三章通过正定二次型导出正定矩阵的定义，并且整理了正定矩阵的相关知识，着重归纳证明了正定矩阵的六个判定定理及其证明；第四章在前面两部分的知识基础上，给出了正定矩阵的六个命题及其证明，给出了解决了函数极值存在问题的方法，即正定矩阵在函数极值中的应用. 从代数方面解决分析问题，使我意识到数学的跨度非常大，我们应该加强自己的逻辑思维和联想能力并且要学会多方面思考问题.以上这些正定矩阵的研究只局限在正定矩阵的理论分析方面，也可能总结不太完整，归纳的不够完善，这就希望其它研究者完善，还有它的一些实际方面的应用还有待笔者和一些学者去探索挖掘. 本文作者知识和写作水平有限，不足之处请读者和专家批评指正.致在论文完成之际，我首先要向我的指导老师老师表示最真挚的意，本论文是在导师老师的悉心指导下完成的.在论文写作期间，老师一边要兼顾自己的学业一边还耐心认真地指导我的论文，不辞辛苦，花费了许多宝贵时间和心血. 导师渊博的学识，宽厚待人的学者风，严谨求学的治学态度，忘我的敬业精神让我受益匪浅. 能够师从先平老师，是我的幸运，更是我的荣幸.衷心感和我是同一个指导老师的付江林同学. 感他帮助我指正和修改我论文的不足之处. 因为他的帮助我才能顺利完成我的论文.感我的室友们，感他们的督促与各方面的帮助.还有感我的家人们，没有他们的支持，我的论文不可能顺顺利利的完成.最后，向评阅论文和参加论文答辩的老师们表示由衷的感.由于我知识水平的限制，再加上我写此论文的时间仓促. 文中难免有错误和有待改进之处. 真诚欢迎各位老师、同学提出宝贵意见.参考文献[1]慕生. 高等代数[M]. 复旦大学, 2007.9.[2]王蕚芳. 石生明. 高等代数[M]. . 高等教育, 2003.9.[3]岳贵鑫. 正定矩阵及其应用[J]. 省交通高等专科学校学报, 2008, 10(5):31-33.[4]周杰. 矩阵分析及应用[M]. 大学, 2009.7.[5]王松江. 矩阵不等式[M]. 科学. 科学, 2006.5.[6]文杰. 静. 多元函数的极值问题[J]. 工业大学学报:自然科学版, 2004, 24(1):27-30.[7]邵东南. 马鸿. 正定矩阵的性质及应用.大学学报:自然科学版(2), 1999, 59-62.[8]黄云美. 正定矩阵的性质及其应用.职业学院学报, 17.3(2011).[9]王昊. 正定矩阵的性质及应用[J]. 城市建设理论研究:电子版, 2011(20):59-62.[10]路红军. 一类正定矩阵的性质及其应用[J]. 工学院学报, 2003, 12(3):6-7.[11]史秀英. 正定矩阵的等价命题及其应用[J]. 学院学报:自然科学版,2000(2):44-47.[12]Roger A.Horn . 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正定矩阵的判别方法及其应用论文大学论文
毕业论文题目正定矩阵的判别方法及其应用学院数学与统计学院专业数学与应用数学姓名周永辉班级11级数应1班学号20111010148指导教师董芳芳讲师提交日期2015/5/12原创性声明本人郑重声明:本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。
学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。
除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。
本声明的法律责任由本人承担。
论文作者签名:年月日论文指导教师签名:正定矩阵的判别及其应用周永辉(天水师范学院,数学与统计学院,甘肃,天水,74100)摘要本文从正定矩阵的定义出发，给出了矩阵正定性的一些判别方法，并得到了正定矩阵的一些应用.关键词矩阵；正定性；判别；应用Methods and the applications of the judgment ofpositive definite matrixYonghui zhou(School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University, Tianshui 741000,China) Abstract In this paper, Some Methods of judgement matrix are given by the definite and some application are obtained.Key Words matrix；positive definiteness；method；application目录一引言及预备知识.............................................. - 1 - 二正定矩阵的判别方法.......................................... - 1 - 三正定矩阵的应用.............................................. - 8 -3.1用正定矩阵的定义证明一些结论............................. - 8 -3.2 在矩阵中的应用.......................................... - 9 -3.3 正定矩阵在行列式中的应用............................... - 10 -3.4 用正定矩阵证明不等式................................... - 10 -3.5判断多元函数的极值问题.................................. - 10 - 小结........................................................... - 11 - 参考文献....................................................... - 12 - 致谢........................................................... - 13 -正定矩阵的判别方法及其应用一 引言及预备知识在数学中，二次型和正定二次型是一个非常重要的部分，但是在大学的学习中，我们只是简单地了解了一下实二次型及矩阵的表示和正定二次型的定义与简单性质，但对矩阵正定性的判别方法没有给出较全面的证明方法.本文对矩阵的性.给出了若干判别方法，并给出了若干正定矩阵的应用实例定义1[1]设A 是实对称矩阵.若若二次型TX AX 正定, 则称A 为正定矩阵.引理1[2]任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的.引理2[3]设A 是n 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵T 使得112(,,,)Tn T AT T AT diag λλλ-== (1)其中12,,,n λλλ为A 的特征值.二 正定矩阵的判别方法定理 1[4]n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵的充要条件是存在n 阶实可逆矩阵C ,使得T A C C =.证 (充分性)因为A 是是实对称矩阵，C 为n 阶实可逆矩阵，假设n 阶实可逆C 矩阵的特征值分别为12,,...,n λλλ(0i λ≠)，又T A C C =，两边取行列式有20A C =>,A 于是知道对应的特征值分别为22212,,...,n λλλ全部大于零，故A 是正定矩阵.(必要性)因为A 是正定矩阵，所以存在实可逆矩阵P ，使TP AP E =.即T A C C =，其中1C P -=.定理2[2]n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵的充要条件是A 的一切主子式全大于零.证 (必要性)首先，若矩阵A 是正定矩阵，则存在实可逆矩阵P ，使T P AP E =.即T A C C =，其中1C P -=.两边取行列式得20A C =>.其次讨论二次型()12,,...,T n f x x x x Ax =，12,,,k x x k x 不全为零，而让前面个自变量让最后的12(),,...,k k n n k x x x k ++-个自变量都等于零，则得到一个个变量的二次型()()1212,,...,,,...,,0...,0k k k f x x x f x x x =，对此，下列结论显然成立： （1）()12,,...,n f x x x 正定⇒()12,,...,k k f x x x 正定；（2）()12,,...,k k f x x x 的矩阵恰好是()12,,...,n f x x x 的矩阵A 的k 阶主子矩阵k A .所以有0k A >.(充分性)设n 阶实对称矩阵()ij A a =的所有主子式均大于零.特别地，110a >.取上三角可逆阵11211111 (1)......1n a a a a P ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则有11...00...0TTa P AP B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B =,其中，B '是（n-1）阶实对称矩阵.对矩阵P ，A ，B 进行如下的分块，B =12121212222212222200Tkkkkk TTB B P P A A P P B B P A A P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦121222P T k k kTP A C C C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,其中，k P ，k A ，k B 分别是矩阵P ，A ，B 的k -阶主子矩阵，且k P 仍1是对角元均为的上三角可逆矩阵.则有T k k k k B P A P =.从而0T k k k k k B P A P A ==>,B 即的所有主子式也都大于零.由B 与B '的关系，B '的所有主子式也都大于零.现在用第二数学归纳法来证明矩阵的阶数:B '合同于(1)n -阶单位矩阵，从而A 合同于对角形111...1a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥Λ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，于是n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵.定理 3[3]实对称矩阵A 是正定矩阵的充要条件是A 的顺序主子式全大于零.证 由定义1和定义2可证.例1 判别矩阵524212425A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦是否为正定矩阵. 解 矩阵A 的各阶顺序主子式分别为：125250,1021∆=>∆==>，352421210.425-∆=-=>--所以矩阵A 是正定矩阵. 例2 当t 取何值时，二次型222123123121323(,,)5224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+是正定的.解 二次型222123123121323(,,)5224f x x x x x x tx x x x x x =+++-+对应的矩阵为1112125t A t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,而矩阵A 对应的各阶顺序主子式分别为：110,∆=>211t t ∆= 2231110,12540.125t t tt t -=->∆==-->- f 因为二次型正定的充要条件是A 的各阶顺序主子式均大于零，所以405t -<<.故当405t -<<时，二次型f 正定. 定理 4[5]n 阶实对称矩阵A 是正定矩阵的充要条件是存在实列满秩矩阵m n P ⨯，使得T A P P =.证 (充分性)因为矩阵m n P ⨯是列满秩的矩阵，所以齐次线性方程组0m n P X ⨯=只有零解。
正定矩阵的性质及其应用_____
正定矩阵的性质及其应用姓名： 学号： 指导教师：摘 要；矩阵是数学中的一个重要基本概念，是代数学中的一个主要研究对象，而正定矩阵作为一类特殊的矩阵，固然有它与其它矩阵不同的性质和应用。
本文主要是给出了正定矩阵的若干等价条件，对正定矩阵的一些重要性质进行了归纳整合并给出部分性质的证明过程，最后给出了正定矩阵在不等式证明问题、多元函数极值问题、最优化的凸规划问题以及解线性方程组问题中的应用。
关键词：矩阵；正定矩阵；性质；应用The Properties of Positive Definite Matrix and Its Applications Abstract:Matrix is one of the important basic concepts and it is one of the main research object in math . Positive definite matrix is a kind of special matrix, no doubt it has its properties and applications different from other matrix. This paper states some equivalent conditions on how to determine a positive definite matrix, integrates some important properties, then puts forward several applications of the positive definite matrices on inequation problems, multiple function extreme problems, the optimization of convex programming problem and solving linear equations.Key Words: matrix; positive definite matrix; property; application1. 引言矩阵理论是数学的一个重要分支，它不仅是一门基础学科，也是最具实用价值、应用广泛的数学理论。
正定矩阵的性质和判定方法及应用
内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用作者郝芸芸系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级10级学号*********指导教师高菲菲导师职称讲师答辩日期成绩内容提要矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用．关键词：二次型正定矩阵判定方法应用AbstractMatrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of properties of positive definite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth parts: the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive definite matrices.Key words:Quadratic form Positive definite matrix Determination method Application目录引言...................................................... 错误!未定义书签。
矩阵正定性
矩阵正定性矩阵正定性是线性代数理论中的一个重要概念。
它是指矩阵的特性：如果一个矩阵A，对任意向量x，都有xTAx> 0，那么A就是正定的。
很多线性代数的概念依赖于正定矩阵。
这篇文章将讨论正定性矩阵的基本定义、性质以及重要的一些应用。
首先定义正定矩阵。
正定矩阵是一种特殊的矩阵，它满足下面这个充分必要条件：对任意实数向量x,都有xTAx>0，其中A是正定矩阵。
也就是说，任何实数对应的向量处投影均为正值，那么这个矩阵就是正定的。
有时，也会将正定矩阵定义为实矩阵，其中所有的特征值为正。
另外，正定矩阵也可以被定义为实对称矩阵，其中所有的特征值为正。
正定矩阵的性质是它的行列式都大于零，它的对角阵的特征值大于等于零，正定性矩阵的逆矩阵也是正定的。
这些性质也与它的概念很契合，因为它的行列式都大于零，说明矩阵的每一个分块元素都非负，而特征值大于等于零，说明矩阵本身是稳定的，不会产生振荡。
由于正定性矩阵的逆矩阵也是正定的，因此它也是一个非常重要的性质。
正定性矩阵是线性代数理论中非常重要的概念，它在机器学习、信号处理、最优化以及复杂数学计算中都有着重要的应用。
在机器学习中，正定性矩阵可以用来优化多元函数，可以用于确定最优解。
在信号处理中，它可以用来改善分类精度，并且可以用来检测图像中的模式和特征。
最后，正定性矩阵在复杂数学计算中也有着重要的应用，比如求解非线性方程组，矩阵解析法和投影算法等。
综上所述，正定性矩阵是一种特殊的矩阵，它满足xTAx>0的特性，其定义包括实矩阵、实对称矩阵和行列式都大于零的性质。
正定性矩阵在线性代数理论中具有重要的地位，它的性质也决定了它在机器学习、信号处理、最优化和复杂数学计算中的重要应用。
正定矩阵的判定、性质及其应用.
学校代码：10722 学号：1006024112分类号：O151.21 密级：公开题目：正定矩阵的判定、性质及其应用Discussion on Determinant,Positive and Application ofPositive Definite Matrix作者姓名：专业名称：学科门类：指导老师：提交论文日期： 2014年5月成绩评定:I咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）摘要在高等代数的学习中，我们详细学习了二次型的相关知识，并且从中引出了正定矩阵的概念。
事实上，正定矩阵是代数中一类非常重要的矩阵，它在不等式证明、极值求解、特征值求解、系统稳定性判定中都有着非常重要的应用。
本文首先介绍了实对称矩阵的定义，然后给出了判定正定矩阵的7条定理，接着总结归纳了正定矩阵的相关性质，最后通过举例说明了正定矩阵在证明不等式、判断函数极值等方面的应用。
关键词：实对称；正定矩阵；判定；性质正定矩阵的判定、性质及其应用AbstractWe have studied the concept of quadratic form and the definition of positive-definite matrix is introduced.In fact,positive definite matrix is a kind of very important matrix in algebra, it can be applied to the value of extreme and eigenvalue,the prove of inequality and stability analysis of system.This paper firstly introduced the definition of real symmetric matrices,and 7 theorems are given to determine positive definite matrix,then the related properties of positive definite matrix were summarized, the positive definite matrix in the application of proving inequality,function extreme and so on were illustrated finally.Keywords:properties,determinant,real symmetric, positive-definite matrix.咸阳师范学院2014届本科毕业毕业论文（设计）目录摘要 (I)Abstract (II)目录 (III)引言 (1)1 正定矩阵的定义 (1)1.1 正定二次型的定义 (1)1.2正定矩阵的定义 (1)2正定矩阵的判定 (2)3 正定矩阵的性质 (6)4 正定矩阵的应用 (6)4.1正定矩阵在证明不等式中的应用 (6)4.2 正定矩阵在数学分析中的应用 (7)4.3正定矩阵的其他应用 (8)小结 (9)参考文献 (10)谢辞 (11)正定矩阵的判定、性质及其应用引言在数学学科的研究中具有极其重要的地位的是矩阵，它不仅仅是数学研究的一个分支和高等代数的主要研究对象，而且还是理科研究中不可缺少的具有最实用价值的工具，如系数矩阵和增广矩阵的很多性质都是由线性方程组的部分性质所反映的。
正定矩阵地性质和判定方法及应用
内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用作者郝芸芸系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级10级学号102093113 指导教师高菲菲导师职称讲师答辩日期成绩内容提要矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵，其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质，尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用．关键词：二次型正定矩阵判定方法应用AbstractMatrix is an important basic concepts in mathematics, but also a main research object, at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra. At the same time, the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory. The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly. And the positive definite matrix with special properties of general matrix does not have these properties, especially widely used in various fields. In the first part of this thesis introduces the related definition of positive definite real matrix and its equivalent conditions. In the second part are held a series of properties of positive definite matrix, mainly introduced the positive definiteness correlation matrix is positive definite matrix. This paper introduces the related theorem of positive definite matrix in the third part. This paper introduces the method to judge the positive definiteness matrix in fourth parts: the definition, the master method, the eigenvalue method. Determination and simply cited a number of examples of real positive definite matrices. Two aspects of extreme finally this paper from the proof of inequality and multiple function describes the practical application of positive definite matrices.Key words:Quadratic form Positive definite matrix Determination method Application目录引言..................................................... 错误！未定义书签。
正定矩阵的性质及应用论文
正定矩阵的性质及应用论文正定矩阵是线性代数中一个重要的概念，它具有许多重要的性质和广泛的应用。
在本篇论文中，将详细介绍正定矩阵的性质以及其在实际应用中的一些重要应用。
首先，我们来了解一下正定矩阵的定义。
对于一个n阶矩阵A，如果对于任意非零向量x，都有x^T*A*x > 0，那么这个矩阵就是正定矩阵。
也就是说，正定矩阵对于任意非零向量x，都将其映射到一个大于零的数。
因此，正定矩阵是一个非常重要的概念。
下面，我们来介绍一下正定矩阵的性质。
1. 正定矩阵的特征值都是正数。
这是正定矩阵的一个重要性质，它决定了正定矩阵的行列式大于0。
2. 正定矩阵的行列式大于0。
这是由于根据性质1，正定矩阵的特征值都是正数，因此其行列式大于0。
3. 正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
这是因为对于任意非零向量x，有x^T*A*x > 0，那么x^T*A^(-1)*x = (A^(-1)*x)^T*A*(A^(-1)*x) > 0。
4. 正定矩阵可以通过Cholesky分解进行分解。
Cholesky分解是将正定矩阵分解为一个下三角矩阵和其转置的乘积。
5. 正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
这是因为对于任意非零向量x，有x^T*A*x > 0，那么x^T*A^(-1)*x = (A^(-1)*x)^T*A*(A^(-1)*x) > 0。
现在，让我们来了解一些正定矩阵在实际应用中的一些重要应用。
1. 在数学和物理建模中，正定矩阵常常被用来描述能量、势能、距离等非负量。
例如，在分子动力学模拟中，正定矩阵可以用来描述原子之间的势能，从而模拟分子在空间中的运动。
2. 在机器学习中，正定矩阵也有重要的应用。
在支持向量机（SVM）中，正定矩阵被用来构建二次规划问题的对偶问题，从而实现机器学习模型的训练。
3. 在优化问题中，正定矩阵也经常被用来描述目标函数的二次项。
例如在最小二乘法中，正定矩阵被用来描述模型的误差项，从而求出最优的模型参数。
正定矩阵和半正定矩阵的性质及应用-毕业论文
---文档均为word文档，下载后可直接编辑使用亦可打印---摘要本文主要针对正定矩阵和半正定矩阵进行讨论，归纳和总结了正定矩阵和半正定矩阵的性质，通过实例介绍了正定矩阵（半正定矩阵)的判别方法诸如：定义法、主子式法、特征值法等，并且给出了它们在不等式的证明问题中以及多元函数极值问题中的一些应用.关键词：正定矩阵；半正定矩阵；二次型；主子式；特征值ABSTRACTThis paper mainly discusses positive definite matrices and positive semi-definite matrix,the properties of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are summarized.Through examples, the judgment methods of positive definite matrix and semi-positive definite matrix are introduced, such minor method, master type method, eigenvalue method, etc. Some applications of positive definite matrices and semi-positive definite matrix in the proof of inequality extreme value problems of multivariate functions are given.Keywords：positive definite matrix; positive semi-definite matrix; quadratic form; principal minor determinant;characteristic value第1章 正定矩阵和半正定矩阵的定义及性质1.1. 相关概念定义1[1] 设a ij (i =1，2，⋯，n ，i ≤j)都是实常数，则关于n 个实变量x 1，x 2，⋯，x n 的二次齐次多项式函数f(x 1，x 2，⋯，x n )=a 11x 12+a 22x 22+⋯+a nn x n 2+2a 12x 1x 2+2a 12x 1x 3+⋯+2a n−1，n x n−1x n ，称为n 元实二次型.[9]定义2[1] 实二次型f(x 1，x 2，⋯，x n )为正定的，如果对于一组不全为零的实数c 1，c 2，⋯，c n 都有f(c 1，c 2，⋯，c n )>0，如果都有f(c 1，c 2，⋯，c n )<0，那么称f(x 1，x 2，⋯，x n )为负定的.如果都有f(c 1，c 2，⋯，c n )≥0，那么称f(x 1，x 2，⋯，x n )为半正定的.如果都有f(c 1，c 2，⋯，c n )≤0,那么称f(x 1，x 2，⋯，x n )为半负定的.如果二次型既不是半正定又不是半负定，那么称为不定的.[1]定义3[1] 若实数域上的n 元二次型f(x 1，x 2，⋯，x n )=∑∑a ij nj=1ni=1x i x j =X T AX是正定（半正定）二次型，则A 被称为正定（半正定）矩阵，其中A =(a 11a 12⋯a 1n a 21a 22⋯a 2n ⋮⋮⋱⋮a n1a n2⋯a nn )，X =(x 1x 2⋮x n) 定义4[1] 子式|a 11a 12⋯a 1i a 21a 22⋯a 2i ⋮⋮⋱⋮a i1a i2⋯a ii|，，，，，，，，，0)00()(11121>==∑∑==ki kj k j i ij k k c c f c c a c c c f 称为矩阵A =(a ij )的i 阶顺序主子式i =1，2，⋯，n.1.2. 正定矩阵和半正定矩阵的等价命题1.2.1.正定矩阵的等价命题定理1[9] A 是n 阶实对称矩阵，则下列叙述等价： (1) A 是正定矩阵.(2) A 的所有顺序主子式全大于零. (3) A 的特征值全大于零. (4) 存在正定矩阵B ，使得A =B 2. (5) A 合同于E .(6) A 的一切主子式全大于零. (7) A 的一切主子矩阵都是正定矩阵.(8) 对任意的实列满秩矩阵C n×m ,都有C T AC 为正定矩阵.(9) 任意实可逆矩阵T ,都有T T AT 为正定矩阵. (10) 存在秩为n 的m ×n 实矩阵C 使A =C T C . (11) A =P T P ，P 是n 阶可逆矩阵.(12) A =R T R ，R 是n 阶主对角元素全大于零的上三角形矩阵.A =U T U ，U 是n 阶主对角元素全大于零的下三角形矩阵.[9]证明(1)⇒(2)设二次型f(x 1，x 2，⋯，x n )=∑∑a ij x i nj=1n i=1x j 是正定的.对于每个k ，1≤k ≤n ，设f k =(x 1，x 2，⋯，x n )=∑∑a ij x i n j=1n i=1x j以下证明f k 是一个正定二次型，对于任意一组不全为零的实数c 1，c 2，⋯，c k ，有)13(因此f k(x1，x2，⋯，x n)是正定的.由性质1可得，f k所对应的矩阵行列式|a11⋯a1n ⋮⋱⋮a k1⋯a kk|>0，k=1，2，⋯，n.从而A的各阶顺序主子式都大于零.(1)⇒(3)用反证法，若A的特征根λ1，λ2，⋯，λn不都大于零.不妨设λ1≤0，取A的属于λi的单位特征向量β≠0，就有βT Aβ=λ1≤0，这与A为正定矩阵相矛盾，所以A的特征值全大于零。
矩阵的正定性及其应用论文
论文题目：矩阵的正定性及其应用学生姓名：学生学号：专业班级：学院名称：2011年4月6日矩阵的正定性及其应用摘要：矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,本文主要讨论主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用.本文在介绍实矩阵的正定性的定义及其判别方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用.全文分两章,在第一章,矩阵的正定性的定义．在第二章,正定性矩阵的判别方法,在本文的最后给出了几个正定性矩阵的应用实例．关键字：矩阵实矩阵正定性应用Matrix's qualitative and its applicationAbstractMatrix is qualitative can from solid matrix and complex matrix two aspects elaborated, due to complex matrix more tedious and some properties of complex matrix can have a matrix on get, so here is mainly expounds the matrix is qualitative and application. Based on the introduction of a matrix of the definition and is qualitative identification method, simple cited some examples to described the application of matrix is qualitative.Key words:matrix；real matrix；qualitative；application目录摘要-----------------------------------------------------------2 Abstract-------------------------------------------------------3一、二次型有定性的概念--------------------------------5二、矩阵正定性的一些判别方法-----------------------5三、几个简单的例题--------------------------------------7四、实矩阵正定性的一个简单应用--------------------8 结语-----------------------------------------------------------10 参考文献-----------------------------------------------------11 致谢-----------------------------------------------------------12一、二次型有定性的概念定义1 具有对称矩阵A 之二次型,AX X fT =(1) 如果对任何非零向量X , 都有0>AX X T （或0<AX X T ）成立，则称AX X f T =为正定（负定）二次型，矩阵A 称为正定矩阵（负定矩阵）.(2) 如果对任何非零向量X , 都有0≥AX X T （或0≤AX X T ）成立，且有非零向量0X ，使000=AX X T ，则称AX X f T =为半正定（半负定）二次型，矩阵A 称为半正定矩阵（半负定矩阵）.注: 二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.二、矩阵正定性的一些判别方法定理 1 设A 为正定矩阵,若B A ≌)(合同与B A ,则B 也是正定矩阵. 定理2 对角矩阵),,,(21n d d d diag D =正定的充分必要条件是),,2,1(0n i d i =>.定理3 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零.定理4 A 为正定矩阵的充分必要条件A 的正惯性指数.n p = 定理5 矩阵A 为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵C , 使C C A T =.即E A 与合同。