矩阵的分块及应用

矩阵的分块及应用

武夷学院毕业设计(论文) 矩阵的分块及应用院系：专业：姓名：学号: 指导教师：职称：完成日期：数学与计算机系计算机科学与技术陈航20073011014 魏耀华教授年月日武夷学院教务处制摘要矩阵分块，就是把一个大矩阵按照一定规则分成小矩阵，它是矩阵运算的一种常用技巧与方法。分块矩阵的理论不但在工程技术和实际生产中有着广泛的应用，而且在线性代数中求矩阵乘积、行列式的值、逆矩阵、矩阵的秩和矩阵的特征根的过程中也起到重要作用。分块矩阵的初等变换则是处理分块矩阵有关问题的重要工具，它在线性代数中有非常广泛的应用。讨论了分块矩阵的概念、分块矩阵的运算、分块矩阵的性质以及分块矩阵的广义初等矩

阵，归纳并提出了分块矩阵的一些应用，这些应用主要涉及到矩阵的秩，逆矩阵，行列式以及矩阵正定和半正定等方面。通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解。关键词: 分块矩阵；初等变换；计算；逆矩阵；证明。I Abstract Partitioned matrices mean dividing a big matrix into the small matrices according to the certain rule. It is a common technique and method in matrix operation. The theories of partitioned matrices have not only a wide range of applications in engineering and production, but also play an important role to the process for seeking matrix product and the value of determinant and inverse matrix and rank of matrix and the characteristic in linear algebra. Elementary transformation of partitioned matrices is an important tool to deal with the partition matrix. Also, it is

very important for linear algebra. The paper discussed the concept of the partition matrix and the operation of the partition matrix and the property of the partition matrix and the block-elementary matrix. Then it summarized some applications of the partition matrix. Those applications were relative to the rank of matrix and inverse matrix and determinant and positive definite matrix and positive semi-definite matrix etc. By quoting a number of examples we could get that its convenientto solve many problems about calculation and provement by using block matrices. Key words: partitioned matrices; elementary transformation; caculate; inverse matrix; prove。II 目录 1 概述..................................................... 1 2 分块矩阵及其性质.. (3)

分块矩阵....................................................

3 分块矩阵的定义............................................. 3 运算规则.................................................. 3 分块矩阵的性质及其推论........................................ 3 3 分块矩阵在证明方面的应用........................................ 7 分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用............................. 7 分块矩阵在矩阵乘积秩的证明中的应用............................

7 分块矩阵在其他相关矩阵秩的证明上的应用......................... 8 分块矩阵在线性相关性及矩阵的分解中的应用........................ 10 关于矩阵列(行)向量线性相关性.................................

10 矩阵的分解.............................................. 11 4 分块矩阵在计算方面的应用...................................... 13 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用.................................. 13 分块矩阵在

行列式计算式方面的应用.............................. 16 矩阵A或B可逆时行列式|H|的计算..............................

16 矩阵A?B,C?D时行列式|H|的计算............................. 19 结论. (21)

谢辞....................................... 错误！未定义书签。

阵求矩阵的行列式的问题,用分块矩阵求矩阵的秩的问题,利用分块矩阵证明一个矩阵是零矩阵的问题等.如用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理：已知秩?AB?≤秩?A?,且秩?AB?≤秩?B?,可证得秩?AB?≤min{秩?A? ,秩?B?}. AAB利用分块矩阵，可以求高阶行列式.如设A、C、都是n阶矩阵, 其中?0, ?AD?BCAD并且AC?CA,则可求得CD. 利用分块矩阵，可以给出利用分块矩阵计算行列式的H?C B不同方法，可分几方面讨论，如当矩阵A或B可逆时；当矩阵A?B,C?D时；当A与C或者B与