分块矩阵的若干应用
矩阵分块法
矩阵分块法
矩阵分块法是一种将大型矩阵分解成较小矩阵的方法，以便更高效地进行计算。
这种方法在高性能计算和科学计算中得到了广泛应用。
矩阵分块法是将一个大的矩阵分成若干个块，每个块都是一个小的矩阵。
这些小的矩阵可以更容易地进行计算，而且可以更好地利用计算机的并行处理能力。
在矩阵分块法中，矩阵被分成若干行和列的块。
例如，一个n×n的矩阵可以被分成四个n/2×n/2的块，每个块都是一个n/2×n/2的矩阵。
这种分块方法可以继续递归地应用，直到矩阵被分成足够小的块。
矩阵分块法可以用于各种各样的计算，例如矩阵乘法、矩阵求逆、矩阵特征值等。
在矩阵乘法中，矩阵分块法可以将一个大的矩阵乘法变成许多小的矩阵乘法，从而提高计算效率。
在矩阵求逆和矩阵特征值中，矩阵分块法可以将一个大的矩阵分解成多个小的矩阵，从而简化计算。
矩阵分块法的实现需要考虑许多因素，例如矩阵块的大小、矩阵块之间的通信、矩阵块的分配等。
这些因素可以影响矩阵分块法的性能和可扩展性。
因此，在实现矩阵分块法时需要仔细考虑这些因素，并进行优化。
矩阵分块法是一种非常重要的技术，在高性能计算和科学计算中得到了广泛应用。
矩阵分块法可以将一个大的矩阵分解成多个小的矩阵，从而更高效地进行计算。
在实现矩阵分块法时需要考虑许多因素，并进行优化，以提高性能和可扩展性。
分块矩阵的初等变换及其应用
分块矩阵的初等变换及其应用
分块矩阵的初等变换是指对一个分块矩阵进行基本的矩阵变换，例如行交换、行加减等操作。
这些操作可以用来简化计算、求解线性方程组、矩阵的逆等。
对于分块矩阵，其基本的初等变换有以下几种：
1. 行交换：将矩阵中的两行交换位置，即交换它们在矩阵中的行号。
2. 行加减：将矩阵中的某一行加上（或减去）另一行的某一倍，得到新的行替换原来的行。
3. 列交换：将矩阵中的两列交换位置，即交换它们在矩阵中的列号。
4. 列加减：将矩阵中的某一列加上（或减去）另一列的某一倍，得到新的列替换原来的列。
这些初等变换可以用来求解线性方程组，例如将系数矩阵进行初等变换，得到一个简化的矩阵，再将方程组进行相应的变换，得到一个等价的方程组。
这个等价的方程组可以更容易地求解。
此外，分块矩阵的初等变换也可以用来求矩阵的逆，例如将待求逆的矩阵与单位矩阵组成增广矩阵，对其进行初等变换，使得待求逆的矩阵变为单位矩阵，此时增广矩阵的另一半就是所求的逆矩阵。
总之，分块矩阵的初等变换是求解线性方程组、求矩阵的逆等问题中不可或缺的工具。
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分块矩阵及其应用
分块矩阵及其应用
分块矩阵是由若干个子矩阵组成的大矩阵，通常将行和列分成若干块，每块均为矩阵，因而得名。
分块矩阵在数学和工程领域有广泛应用。
一些应用包括：
1.矩阵求逆：对于大规模矩阵求逆，可以先将矩阵分成较小的块，在每个块的范围内求逆并重新组合。
2.矩阵乘法：矩阵乘法的时间复杂度与矩阵的大小有关，但矩阵块的大小也会影响乘法的效率。
分块矩阵可以提高矩阵乘法的效率。
3.矩阵分解：对于某些特定类型的矩阵，如对称正定矩阵和稀疏矩阵，分块矩阵分解可以有效地降低计算复杂度。
4.图像处理：分块矩阵可以用于图像处理中的分块压缩和离散余弦变换等算法，以提高图像处理的效率和质量。
5.结构力学：分块矩阵广泛应用于结构力学和有限元方法中，可以描述复杂的结构系统和分析结构系统的动态行为。
分块矩阵的初等变换及其若干应用
4
Em O
O⎞ .对上述分块 En ⎟ ⎠
矩阵进行分块矩阵的初等行变换，将“ T ”的部分变为单位矩阵:
⎛A O ⎜C D ⎝
第1块行左乘A−1
Em O O
O ⎞ 第1块行左乘-CA−1加到第2块行 ⎛ A O Em ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎜ ⎟ −1 En ⎠ ⎝ O D −CA A−1
⎛E （1） 交换分块单位阵 ⎜ m ⎝ 0t × m
用此矩阵左乘 T ，有
3
⎛ 0t × m ⎜ ⎝ Em
Et ⎞ ⎛ A B ⎞ ⎛ C D ⎞ ⎟ ⎟=⎜ ⎟, 0m×t ⎠ ⎜ ⎝C D⎠ ⎝ A B ⎠
这正是交换 T 的两块行得到的矩阵.
⎛E （2） 用 P 乘分块单位阵 ⎜ m ⎝ 0t × m 0m×t ⎞ ⎟ 的第一块行，得分块初等矩阵 Et ⎠ ⎛ P ⎜ ⎝ 0t × m 0m×t ⎞ ⎟. Et ⎠
⎛ En1 ⎜O ⎜ ⎜O ⎜ ⎜O ⎝ O En2 O O O ⎞ O O ⎟ ⎟ % O ⎟ ⎟ O E ns ⎟ ⎠ O
1
的分块矩阵称为分块单位矩阵. 定义 分块单位矩阵经过一次分块矩阵的初等行（列）变换后得到分块矩阵就叫 做分块初等矩阵.因为分块矩阵的初等变换有三种形式，因此分块初等矩阵也相 应的有以下三种类型： （1）交换分块单位矩阵的第 i , j 块行（或块列）得到的分块矩阵.例如,
T 的左边乘上相应的 2×2 分块初等矩阵.同理可证对一个 2×2 分块矩阵
⎛A B⎞ T =⎜ ⎟ 作一分块矩阵的初等列变换就相当于在 T 的右边乘上相应的 2×2 分 ⎝C D⎠ 块初等矩阵. 2．分块矩阵初等变换的应用 ⎛ A O⎞ 例 求T = ⎜ ⎟ 的逆,其中 A 是 m 阶可逆矩阵, B 是 n 阶可逆矩阵. ⎝C D⎠
分块矩阵的初等变换及其若干应用.
第1块行左乘-D C加到第 2 块行⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → −1 ⎛ Em ⎜⎝O 故M −1 O En (A − BD −1C −1 − D −1C(A − BD −1C −1 ⎞ −(A − BD −1C −1 BD −1 . −1 −1 −1 −1 −1 ⎟ D C(A − BD C BD + D ⎠⎛ ( A − BD −1C −1 =⎜ −1 −1 −1 ⎝ − D C ( A − BD C ⎞⎟. D −1C ( A − BD −1C −1 BD −1 + D −1 ⎠−( A − BD −1C −1 BD −1 例设 A, B 是 n 阶方阵.用分块矩阵理论证明 | AB |=| A || B | . ⎛ A O⎞证明考虑分块矩阵⎜⎟ . 对该分块矩阵进行分块矩阵的初等变换：⎝ −E B ⎠⎛ A O ⎞第 2块行左乘A加到第1块行⎛ O →⎜⎜ − E B ⎟⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎝⎠⎝ −E ⎛E 于是⎜⎝O A⎞⎛ A O ⎞⎛ O ⎟⎜ −E B ⎟ = ⎜ −E E⎠⎝⎠⎝ AB ⎞⎛E . 记 Pij = ⎜⎟ B ⎠⎝O AB ⎞ . B ⎟⎠ Fij ⎞ , 其中 Fij 是 (i, j 元素为 aij , E⎟⎠⎛ A O⎞而其余元素均为零的 n 阶方阵.则 Pij 是初等矩阵,且用 Pij 左乘矩阵⎜⎟就相⎝ −E B ⎠⎛ A O⎞⎛E 当于将⎜的第 n + j 行乘上 aij 加到第 i 行.容易验证 P 11 P 12 " P nn = ⎜⎟⎝ −E B ⎠⎝O 于是⎛E ⎜O ⎝ A⎞⎛ A O ⎞ A O ⎛ A O⎞ = = P =| A || B | . 11 P 12 " P nn ⎜⎟⎜⎟⎟ E ⎠⎝ −E B ⎠⎝ −E B ⎠ −E B A⎞ . E⎟⎠另一方面, 有O −E 故结论成立. a11 " a1k 例设A = (aij n×n ,且对任意1 ≤ k ≤ n, 有# # ≠ 0. 则存在 n 阶下三角形矩 ak 1 " akk AB O 2 AB 2 2 =( − n = ( −1 n | AB || − E |= ( −1 n + n | AB | = | AB | . B B −E 阵 B 使得 BA 为上三角形矩阵. 证明对 n 用数学归纳法. 当 n = 1 时结论显然成立. 设命题对于n − 1 阶矩阵成立. 考虑 n 阶矩阵 A = (aij n×n 的情形. 记 6⎛a11 " a1,n −1 ⎞⎜⎟ # ⎟. A1 = ⎜ # ⎜a ⎟⎝ n −1,1 " an −1,n −1 ⎠由归纳假设,存在n − 1 阶下三角矩阵 B1 使得 B1 A1 为上三角形矩阵. 对 A 作如下⎛A 分块 A = ⎜ 1 ⎝α ⎟并对其进行初等行变换: ann ⎠⎛ A1 ⎜α ⎝ −1 ⎛A 第1块行左乘-α A1 加到第 2 块行⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎜ 1 ⎟ ann ⎠⎝O β ⎞ β ⎞ β ⎞ . −α A β + ann ⎟⎠ −1 1 O ⎞⎛ A1 ⎛ E 这表明⎜⎜ −1 1⎟⎝ −α A1 ⎠⎝ α ⎛A =⎜ 1 ⎟ ann ⎠⎝ O β ⎞ β ⎞ . 于是−α A β + ann ⎟⎠ −1 1 O ⎞⎛ A1 ⎛ B1 O ⎞⎛ E ⎜ O 1 ⎟⎜ −α A−1 1 ⎟⎜ α ⎝⎠⎝⎠⎝ 1 ⎛ B O ⎞⎛ A1 =⎜ 1 ⎟⎜⎝ O 1 ⎠⎝ O −1 1 ann ⎟⎠ β ⎞ β B1 β ⎞⎛ B1 A1 ⎞ =⎜⎟ −1 −α A β + ann ⎠⎝ O −α A1 β + ann ⎟⎠是上三角形矩阵.记 O ⎞⎛ B1O⎞⎛B O⎞⎛ E B=⎜ 1 . =⎜⎜⎟⎟ −1 −1 1 ⎠⎝ −α A1 1⎟⎝ O 1 ⎠⎝ −α A1 ⎠则 B 是下三角形矩阵且 BA 为上三角形矩阵. 7。
分块矩阵的原理和应用
分块矩阵的原理和应用1. 原理分块矩阵是一种特殊的矩阵结构，将大型矩阵分割成更小的块状矩阵，以便进行更高效的运算和存储。
分块矩阵的原理主要包括以下几个方面：1.1 分块矩阵的定义分块矩阵由多个块状子矩阵组成，每个子矩阵都是相对较小的矩阵。
这些子矩阵可以是任意维度的矩阵，但通常都是方阵。
分块矩阵的维度取决于它所包含的子矩阵的维度和排列方式。
1.2 分块矩阵的运算分块矩阵可以进行各种矩阵运算，例如加法、减法和乘法等。
在进行这些运算时，可以利用分块矩阵的特殊结构，将运算过程分解为对各个子矩阵的运算，从而提高计算效率。
1.3 分块矩阵的存储分块矩阵的存储方式也与普通矩阵存储方式有所不同。
在分块矩阵中，每个子矩阵都被存储在一个相邻的内存块中，而各个子矩阵之间的存储空间可以是非连续的。
这种存储方式可以提高数据的局部性，进而提高计算效率。
2. 应用分块矩阵在科学计算和工程领域有广泛的应用，以下列举了一些常见的应用领域：2.1 计算机图形学在计算机图形学中，分块矩阵常用于表示和处理三维图形中的几何变换矩阵。
通过分块矩阵的运算，可以实现旋转、缩放和平移等常见的几何变换操作。
2.2 信号处理在信号处理中，分块矩阵常用于表示和处理信号的频谱信息。
通过分块矩阵的乘法运算，可以实现信号的卷积和相关等基本操作，进而实现滤波和频谱分析等应用。
2.3 优化算法在优化算法中，分块矩阵常用于表示优化问题的约束矩阵。
通过分块矩阵的运算，可以将大规模的优化问题分解为小规模的子问题，从而提高求解效率。
2.4 数据压缩在数据压缩领域，分块矩阵常用于表示和处理图像和视频数据。
通过分块矩阵的变换和压缩算法，可以实现图像和视频数据的无损或有损压缩，从而减小存储空间和传输带宽的需求。
3. 总结分块矩阵作为一种特殊的矩阵结构，在科学计算和工程领域有着广泛的应用。
它的原理包括定义、运算和存储等方面，通过合理利用分块矩阵的结构，可以提高计算效率和存储效率。
浅谈分块矩阵的性质及应用doc
浅谈分块矩阵的性质及应用doc分块矩阵是由几个矩阵块组成的矩阵，它的出现主要是为了更好地解决某些复杂的数学问题。
在实际应用中，分块矩阵既可以用于表示线性系统，也可以用于表示迭代算法的计算过程。
本文将从性质和应用两个方面对分块矩阵进行浅谈。
1. 分块矩阵的性质分块矩阵的一些性质能够帮助我们更好的理解它的本质。
下面将介绍几个较为常见的性质。
(1) 直和分块矩阵：如果一个分块矩阵的所有矩阵块都是对角矩阵，那么我们称这个分块矩阵为直和分块矩阵。
直和分块矩阵与对角矩阵非常相似，都具有稳定的性质和巨大的计算优势。
(2) 块矩阵的转置：对于一个分块矩阵A，通常有以下转置公式：(A^T)_i,j=A_j,i。
也就是说，分块矩阵的转置相当于交换原矩阵的每一块。
(3) 块矩阵的乘法：设A和B是两个分块矩阵，当且仅当A的列数等于B的行数时，我们才可以进行矩阵乘法AB。
具体方法是将A中的每一块分别与B中的每一列乘起来，然后对结果进行相加。
另外还有两个性质需要注意。
首先，如果A和B都是直和分块矩阵，则它们的乘积也是直和分块矩阵。
其次，如果A和B都是分块对称矩阵，那么它们的乘积也是分块对称矩阵。
(1) 线性系统求解：分块矩阵可以用于求解大规模的线性系统，它的基本思想是将系统分成若干个小规模的子系统，利用线性代数中的基本定理，通过求解小系统的逆矩阵逐步求解全局矩阵的逆矩阵。
具体而言，我们可以将原矩阵A分解为A=BCD，其中B和D都是对角矩阵，C是一般的矩阵。
然后，我们可以将原始线性系统Ax=b转化为一个新的线性系统(D^-1CB)x=D^-1b。
由于B和D都是对角矩阵，所以它们的逆矩阵很容易求得。
接下来，我们只需要在新的线性系统中解x即可。
(2) 特征值计算：分块矩阵也可以用于特征值问题的求解，尤其是在计算大规模稀疏矩阵的特征值时特别有效。
具体而言，我们可以采用分块对角化的方法，将原矩阵A分解为A=BCD，其中B和D都是对角矩阵，C是一般的矩阵。
分块矩阵及其应用
分块矩阵及其运用摘要分块矩阵是高等代数中的一个重要内容，是处理阶数较高的矩阵时常采用的技巧，也是数学在多领域的研究工具。
对矩阵进行适当分块，可使高阶矩阵的运算可以转化为低阶矩阵的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰，从而能够大大简化运算步骤，或给矩阵的理论推导带来方便。
有不少数学问题利用分块矩阵来处理或证明，将显得简洁、明快。
本文先介绍了分块矩阵的概念、运算，几类特殊的分块矩阵，讨论了分块矩阵的初等变换，接着介绍了分块初等矩阵及其性质，最后分类举例说明了分块矩阵在高等代数中的一些应用，包括在在行列式计算中的应用，在证明矩阵秩的问题中的应用，在矩阵求逆问题中的应用，在解线性方程组问题中的应用，在线性相关性及矩阵分解中的应用，在特征值问题中的应用，在相似与合同问题中的应用以及在其他问题中的应用等。
大量的例体现了矩阵分块法的基本思想，说明了应用分块矩阵可以使高等代数中的很多计算与证明问题简单化，所以了解分析并掌握分块矩阵的性质与应用及相关的技巧是非常必要的。
关键词矩阵分块矩阵初等变换应用Block Matrix and its ApplicationAbstract:Matrix is an important concept in high algebra，it's often used to deal with high order matrix and it's an instrument of math in many fields.Dividing matrix in a proper way can turn the operation of high order matrix into the operation of a low order matrix.At the same time，it makes the structure of the original matrix look simple and clear，so it can simplify the steps of the operation a lot or bring the convenience for the theory derivation of matrix.A lot of math problems solved or proved by using block matrix appears concise.At the beginning，this paper introduces the concepts and operations of block matrix and some special kinds of block matrix，then，it discusses the elementary transformation of block matrix and introduces the elementary block matrix and it's natures.At last，it explains the use of block matrix in high algebra by making examples in several kinds，including the use in the calculation of determinant，the testify of the problem of the rank of matrix，the answer of the inverse of matrix，the answer of system of linear equations，the linear correlation and the dividing of matrix，the problem of the eigenvalue，the similar matrix and Contract matrix and so on.A lot of example shows the basic theory of block matrix，It shows that using block matrix can make the calculation and the testify in high algebra easier.It is necessary that we must learn and analyse and grasp the skill of block matrix which is an important concept in high algebra.Key words: matrix block matrix elementary transformation application目录1前言 (1)2分块矩阵 (1)2.1分块矩阵的定义 (1)2.2分块矩阵的运算 (2)2.2.1加法 (2)2.2.2数乘 (2)2.2.3乘法 (2)2.2.4转置 (4)2.3两种特殊的分块矩阵 (4)2.3.1分块对角矩阵 (4)2.3.2分块上（下）三角形矩阵 (5)2.4两种常见的分块方法 (6)2.5分块矩阵的初等变换 (7)2.6分块初等矩阵及其性质 (7)3分块矩阵的应用 (8)3.1在行列式计算中的应用 (9)3.2在证明矩阵秩的问题中的应用 (17)3.3在逆矩阵问题中的应用 (25)3.3.1解线性方程组法 (26)3.3.2初等变换法 (27)3.3.3三角分解法 (29)3.4在解线性方程组问题中的应用 (30)3.4.1齐次线性方程组 (30)3.4.2非齐次线性方程组 (31)3.5在线性相关性及矩阵分解中的应用 (34)3.5.1关于矩阵列（行）向量的线性相关性 (34)3.5.2矩阵的分解 (34)3.6在特征值问题中的应用 (35)3.7分块矩阵在相似问题中的应用 (37)3.8分块矩阵在合同问题中的应用 (38)3.9分块矩阵在矩阵分解中的应用 (40)3.10分块矩阵的其他应用 (41)4结束语 (42)参考文献 (43)致谢 (44)1 前言矩阵作为重要的数学工具之一，有极其实用的价值。
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分块矩阵的若干应用摘要：本文归纳了分块矩阵的一些应用,这些应用主要涉及到用分块矩阵计算行列式,求解逆矩阵,解线性方程组以及证明矩阵秩的不等式.关键词：分块矩阵，行列式，可逆矩阵，线性方程组，秩Abstract: This article summarizes the number of block matrix applications mainly related to the use of block matrix determinant calculation, solving the inverse matrix, solution of linear equations, as well as proof of the inequality rank matrix.Key words: block matrix,determinant,invertible matrix,linear equations,rank目录1 引言 (4)2 分块矩阵的应用 (4)2.1 利用分块矩阵求n阶行列式 (4)2.2 利用分块矩阵求矩阵的逆 (6)2.3 利用分块矩阵解非齐次线性方程组 (10)2.4 利用分块矩阵证明矩阵的秩的性质 (11)结论 (13)参考文献 (14)致谢 (15)1 引言矩阵的分块是处理级数较高的矩阵时常用的方法.有时候,我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的,就如矩阵是由数组成的一样.特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理,这就是所谓矩阵的分块[]1.分块矩阵是矩阵论中重要内容之一.在线性代数中,分块矩阵也是一个十分重要的概念,它可以使矩阵的表示简单明了,使矩阵的运算得以简化,而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题.事实上,利用分块矩阵方法计算行列式,时常会使行列式的计算变得简单,并能收到意想不到的效果.矩阵是一种新的运算对象,我们应该充分注意矩阵运算的一些特殊规律.为了研究问题的需要,适当对矩阵进行分块,把一个大矩阵看成是由一些小矩阵为元素组成的,这样可使矩阵的结构看的更清楚.运用矩阵分块的思想,可使解题更简洁,思路更开阔,在教学中有着非常广泛的应用,一些复杂的问题,经分块矩阵处理就显得非常简单.而在高等代数和线性代数教材中,这部分内容比较少,本文归纳并讨论了分块矩阵在行列式,矩阵的逆及解非齐次线性方程组等方面的一些应用.2 分块矩阵的应用行列式的计算是一个重要的问题,也是一个很麻烦的问题.n 级行列式一共有!n 项,计算它就需要做()!1n n -个乘法.当n 较大时,!n 是一个相当大的数字,直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事,因此我们有必要进一步讨论解行列式的方法.利用分块矩阵的方法]2[求行列式的值是行列式求值常用的方法.但通常教材中介绍的方法,多数为计算特殊形式的行列式,本文将在教材的基础上给出另外一些行列式的分块矩阵的解法.2.1 利用分块矩阵求n 阶行列式各高等代数教材主要介绍了用定义,性质,展开定理计算n 阶行列式.常用的技巧有递推法,加边法等.但有些行列式计算起来仍很麻烦,下面给出运用分块矩阵计算n 级行列式的一种方法,该方法使n 阶行列式的求值更加简便易行.本文我们主要以⨯22分块矩阵为例. 命题1 设n 阶行列式W 分块为A B W C D ⎛⎫=⎪⎝⎭,则 （1） 当A 为r 阶可逆矩阵时, 1A B W A D C A BCD-==-;（2） 当D 为n r -阶可逆矩阵时,1A B W D A BD CCD-==-.证明（1）由1100rrn r n r E A B E A B C AE CD E ----⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭=10A D C A B -⎛⎫⎪-⎝⎭, 得1A B W A D C A BCD-==-.（2）由1100rrn r n rE A B EB D D CE CD E ----⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭=100A B D C D -⎛⎫- ⎪⎝⎭, 得1A B W D A BD C CD-==-.推论1 设,,A B C 都是n 阶方阵,且可逆,则A B A DD=,()210nA B B CC=-.推论2 设,A B 都是n 阶方阵,则有A B A B A BB A=+-.证明A B A B B BAB AA-=-0A B B A B A BA B-==+-+.推论3 设,,,A B C D 都是n 阶方阵,则当AC CA =时,有AB ADC BCD=-,当D B B D =时,有A B D A BC CD =-.例1 计算行列式na ca ca cb b b a P0000321=,其中n i a i ,,3,2,0 =≠.解 设()1a A =,()b b b =B ,()'c c cC=,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a D0000032 .则032≠=n a a a D ,故D 为可逆矩阵,且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----11312100000n a a a D, 得A B P CD=1D A B D C -=-()()[]11312132---+++-=n n a a a bc a a a a .注 这里并不需要10a ≠的条件.在使用定理来计算阶行列式时,关键是对矩阵进行分块,构造出可逆矩阵A 或D .例2求矩阵1111111111111111A ⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭的行列式. 解 设1111B ⎛⎫=⎪-⎝⎭,则BB A B B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭,且20B =-≠,故B 可逆.得 B BA BB=-02B B B=-()22B B =-=16.当我们看到这道题时,首先想到的是消去法,用这种方法解级数较高的矩阵计算量很大.但当我们观察到矩阵是有若干相同的矩阵构成时,用分块矩阵的方法是很简单的.例3 计算行列式00000000a b a b D b a ba=.解 设00a A a ⎛⎫=⎪⎝⎭,00b B b ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 得A B D BA=A B A B =+-()()2222b a b a b ab aab ab-==---()222b a=-.这道题看似简单,但是如果方法选择不当,做起来并不简单.这里对矩阵进行分块,大大降低了计算量.在利用分块矩阵计算阶行列式时,需要根据具体情况把原行列式的元素组成的矩阵分成若干项,它需要学生具有较强的观察能力,这种方法特别能锻炼学生的思维,提高学生分析问题和解决问题的能力,增强其探究意识.2.2 利用分块矩阵求矩阵的逆n 阶可逆矩阵的逆矩阵求解普遍采取初等变换的方法.除此之外,用分块矩阵来求逆矩阵也是很简单的方法.命题1]3[ 00A B ⎛⎫⎪⎝⎭是一个分块矩阵,其中,A B 分别是n 阶可逆矩阵,则00A B ⎛⎫⎪⎝⎭的逆矩阵为1100B A--⎛⎫ ⎪⎝⎭.证明由11000000000000n n nn nnA E BE E BBE AE E A--⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得100A B-⎛⎫ ⎪⎝⎭=1100B A--⎛⎫ ⎪⎝⎭.推论 1 00C D ⎛⎫⎪⎝⎭是一个分块矩阵,其中,C D 分别是n 阶可逆矩阵,则100C D -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1100C D --⎛⎫⎪⎝⎭. 命题 2 0A B D ⎛⎫⎪⎝⎭是一个分块矩阵, 其中D B A ,,分别是n 阶可逆矩阵,则1A B D -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11110D BDA A . 证明由111110000n n nn nnA B E AE B D E AA B DDE DE E B-----⎛⎫⎛⎫--⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得1A B D -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11110DBDA A . 推论 2 0AB TC ⎛⎫=⎪⎝⎭是一个分块矩阵,其中C B A ,,分别是n 阶可逆矩阵,则111110CTBB AC -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 推论 30A T C D ⎛⎫=⎪⎝⎭是一个分块矩阵,其中D C A ,,分别是n 阶可逆矩阵,则⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----111110D CA D A T.推论 4 0B T C D ⎛⎫=⎪⎝⎭是一个分块矩阵,其中D C B ,,分别是n 阶可逆矩阵,则111110C D B CTB -----⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 例4已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-00000011nn a a a T ,求1T -. 解令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-12100000n a a a D,则00nD T a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,得 11100n a T D---⎛⎫=⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----00000011111n n a a a. 例5已知201302240010001A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭,求1A -．解设2002B ⎛⎫=⎪⎝⎭,1324C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1001D -⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 则0BC AD ⎛⎫=⎪⎝⎭,且1102102B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,11001D --⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 11132212B C D --⎛⎫ ⎪-= ⎪⎝⎭, 所以111111130222101220001001B B C D AD -----⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫-⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭． 求矩阵的逆可以用伴随矩阵,初等变换等方法来解决,而这些方法对级数较高的矩阵运算量较大,对某此矩阵进行适当的分块再进行运算,可起到事半功倍的作用.定理3 2n阶方阵A BTC D⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中,,,A B C D分别是n n⨯阶矩阵,则有（1）当A可逆时,则11111111 111111()()()()A AB DC A B C A A BD C A BTD C A B C A D C A B--------------⎛⎫+---= ⎪---⎝⎭;（2）当B可逆时,则1111 111111111()()()()C D B A D B C D B ATB B ACD B A D B B A C D B A-------------⎛⎫---= ⎪+---⎝⎭;（3）当C可逆时,则11111111 111111()()()()C D B A C D C C D B A C D A CTB ACD B A C D A C--------------⎛⎫--+-= ⎪---⎝⎭;（4）当D可逆时,则11111 111111111()()()()A B D C A B D C B DTD C A B D C D D C A B D C B D--------------⎛⎫---= ⎪--+-⎝⎭.证明（1）由题意可知分块矩阵A BTC D⎛⎫= ⎪⎝⎭可逆,且方阵A可逆.因为11nnA B AE A BC D C D C A BE--⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭,且上式的右端仍可逆,故11()D C A B---存在.由定理2的推论2知11111111 00()()A AC D C A B D C A B C A D C A B--------⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭,所以有11A BTC D--⎛⎫= ⎪⎝⎭1110nnAE A BE C D C A B---⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭11111110()()nnE A B AE D C A B C A D C A D-------⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭111111111111()()()()A AB DC A B C A A BD C A BD C A B C A D C A B-------------⎛⎫+---= ⎪---⎝⎭.例6 求矩阵a b a bc d c dTa b a bc d c d⎛⎫⎪--⎪=⎪--⎪--⎝⎭的逆矩阵,其中0ad bc+≠.解设a bHc d⎛⎫= ⎪-⎝⎭,则H HTH H⎛⎫= ⎪-⎝⎭.又有001102022HH E H H E HH E HHE HEE HE E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭1102211022H E E HEE ⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭11111102211022E H HEHH ----⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,故1111112HHT HH -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 由11d b H ca ad bc ---⎛⎫=⎪---⎝⎭,得112()d b d b c a c a T db d b ad bc ca ca -----⎛⎫ ⎪-- ⎪=⎪---+ ⎪--⎝⎭.有些矩阵阶数较高,而且形如:100A TB ⎛⎫=⎪⎝⎭,200C T D⎛⎫= ⎪⎝⎭,11121220A M A A ⎛⎫=⎪⎝⎭,11122220A A MA ⎛⎫= ⎪⎝⎭,11123210A A M A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12421220A M A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭的分块矩阵,用分块矩阵来求逆较方便,可简化计算.2.3 利用分块矩阵解非齐次线性方程组设非齐次线性方程组为11112211211222221122,,,n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩（1）,将（1）式写成矩阵方程[4]为A X B=,其中A 为系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a212222111211,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nx x X1,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nb b B1.若A 是非奇异阵,即0A ≠,则方程组有唯一确定的解.将矩阵A 分块,得11122122A A A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭,且22A 是非奇异矩阵.同时将X及B 进行相应的分块,令12X X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12B B B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,11,X B 的行数等于11A 的行数,22,X B 的行数等于21A 的行数.则（1）可写成111211212222A A X B A A X B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）,将（2）式两端分别左乘上三角分块矩阵11222kmE A A M E -⎛⎫-=⎪⎝⎭,其中,K M 分别为112,A A的行数,则得()111112222111122222112222,.A A A A XB A A B A X A X B --⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩由于()111122221AAA A --的逆矩阵存在,故()()111111122221112222X A A A A BA AB ---=--.再将1X 代入21122A X A X B+=,得()12222211X A B A X -=-,由此得12X X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭.例7 求解方程组123451234512345123452241,23428,323,434222,23 3.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-=-⎧⎪-+-+=⎪⎪+-+-=⎨⎪+++-=-⎪⎪--+-=-⎩ 解 将方程写成矩阵方程的形式,并进行分块.令11122213311A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭, 12414221A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭, 21434111A ⎛⎫= ⎪--⎝⎭, 222223A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭, 1183B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 223B -⎛⎫=⎪-⎝⎭, 得111211212222A A X B A A X B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 且易得11112055111710210111222A -⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭,12221111237625A A A A --⎛⎫⎪-= ⎪- ⎪⎝⎭,()112221111233526525152652A A A A --⎛⎫- ⎪-= ⎪ ⎪-⎪⎝⎭,()()111222211112221111X A A A A BA AB ---=--13⎛⎫= ⎪⎝⎭,()11111122220X A B A X -⎛⎫⎪=-=- ⎪ ⎪⎝⎭,即得原方程组有唯一解123452,2,01,3x x x x x ==-===.我们看到,采用分块矩阵解法后,非齐次线性方程组的解向量的求得、基础解系的构成以及通解的表示都显得更加直观,解题步骤更加简练,从而有利于学生从更高起点去理解线性方程组的结构及存在性,也有利于加深对矩阵理论及其应用的认识.2.4 利用分块矩阵证明矩阵的秩的性质关于矩阵的秩的一些性质的证明,一般有联系到齐次线性方程组的基础解系来证明的,有用矩阵的初等变换或高阶矩阵来证明.下面我们将充分利用分块矩阵来证明这些性质.这种方法带有一定的技能性,但并不难掌握.特别的是这种证法与其他方法比较,不仅证明本身显得非常简洁,而且也很统一,具有较大的优越性.定理1 设,,A B C 是n 阶矩阵,则()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤+B CAB A 0秩秩秩. 证明[5] 设秩()r A =,秩()s B =,则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−−−→−⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000000000000000000000000432143214321C C C E C E C C E C C E C C E C C E B CA s rs r s r 经过若干初等变换 所以()()B A s r B C A 秩秩秩+=+≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛0. 易见,当0=C 时,等号成立,即()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+B AB A 00秩秩秩. 定理2 设A 是m n ⨯矩阵, B 是n p ⨯矩阵.若0=AB ,则有()()n B A ≤+秩秩. 证明()()n E B E B E AB B E AB AB A n n n n =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+00000000秩秩秩秩秩秩秩.定理3 设B A ,分别是s n ⨯,n m ⨯阶矩阵,则()()()AB n B A 秩秩秩+≤+.证明 对矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛0AB E n 进行广义初等变换, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫⎝⎛AB E AB BE A B E nnn 0000 则()()()AB n AB E AB BE A B E n nn 秩秩秩秩秩+=-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛00. 而()()B A AB E n 秩秩秩+≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,所以()()()AB n B A 秩秩秩+≤+. 综上可知,利用分块矩阵来证明矩阵秩的不等式,思路清晰流畅,充分展示了分块矩阵的优越性,因此是一种值得重视的好方法.结论矩阵是高等代数中的一个重要内容,也是高等数学的很多分支研究问题的工具.有时,为了研究问题的需要,适当地对矩阵进行分块,把一个大矩阵看成是由一些小矩阵块为元素组成的,这样可以使矩阵的结构看的更清楚,使大量的高等代数的习题变得容易.分块矩阵是矩阵的一种推广,一般矩阵的元素是数量,而分块矩阵的元素可以是数量,也可以是矩阵.分块矩阵的引进使得矩阵这一工具的使用更加便利,解决问题的作用更强有力,其应用也就更广泛.本文主要研究分块矩阵在计算行列式、求矩阵的秩、求可逆矩阵的逆矩阵、证明矩阵的秩的一些性质等方面的应用.本文是对分块矩阵几个应用方面的说明及例子,可以让人对分块矩阵这一工具的实用价值的有所认识和了解,它既是一种解题的方法又是一种解题技巧,但它的应用并不仅仅是所列举的几个方面,它还有更宽更广的应用还有待于我们去深入的探索与深究.参考文献[1] 王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003:46-47.[2] 廖军.分块矩阵求n阶行列式的值[J].文山师范高等专科学校学报,2004,17(2):164-168.[3] 王丽霞.逆矩阵的几种求法[J].雁北师范学报,2007,23(2):82-84.[4] 刘红旭.利用分块矩阵解非齐次线性方程组[J].辽宁师专学报,2003,5(2):9-10.[5] 常训.用分块矩阵证明矩阵秩的不等式[J].菏泽师专学报,1995,2(2):7-11.致谢本学位论文是在我的指导老师何梅老师的亲切关怀和悉心指导下完成的,在这里请接受我诚挚的谢意！。