1.1正弦定理和余弦定理+复习课 河北省南宫市奋飞中学高中数学必修5
第一章正余弦定理复习课
√D.π3
在△ABC中，利用正弦定理，得
2sin Asin B＝ 3sin B，∵B∈(0，π2)，sin B≠0，
∴sin A＝ 23.又∵A 为锐角，∴A＝π3.
123
2.在△ABC 中，AB＝3，AC＝2，BC＝ 10，则B→A·A→C＝－32 .
答案 解析
由余弦定理，得 cos A＝AB2＋2AABC·A2－C BC2＝9＋41－ 2 10＝14. ∴A→B·A→C＝|A→B|·|A→C|·cos A＝3×2×14＝32. ∴B→A·A→C＝－A→B·A→C＝－32.
3．解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据 具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面 向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识 转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理求解．
(1)求 C； (2)若 c＝ 7，△ABC 的面积为323，求△ABC 的周长．
【解】 (1)由 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
即 2cos Csin(A＋B)＝sin C，故 2sin Ccos C＝sin C.
可得 cos C＝1，所以 C＝π.
2
3
5．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos B＋bcos
123
第一章复习
1．判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角 形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)．
2．对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地， 应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关 系，要么把它统一为角的关系．再利用三角形的有关知 识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转 化、化简，从而得出结论．
高中数学必修5：正弦定理与余弦定理 知识点及经典例题(含答案)
高中数学必修5：正弦定理与余弦定理知识点及经典例题(含答案)
正弦定理、余弦定理和射影定理可以帮助我们计算三角形的边长和角度。
其中，正弦定理表达了三角形边长和角度之间的关系，余弦定理则是通过两条边和它们之间的夹角计算第三条边的长度。
射影定理则是利用三角形中某个角的正弦值或余弦值来计算三角形中某条边的长度。
二、面积公式可以用来计算三角形的面积，其中a、b、c 分别为三角形的三条边，而对应的角度则可以通过正弦定理或余弦定理来计算。
三、在解题时，需要根据题目给出的条件选择合适的定理进行计算。
同时，需要注意计算过程中的精度和单位。
学前诊断】
1.在△ABC中，若C=90，a=6，B=30，则c-b等于1.
2.在△ABC中，若b=2asinB，则A等于30或60.
3.在△ABC中，c-a=b-ba，且∠C=90.
经典例题】
例1.在△ABC中，若∠A=45°，a=2，c=6，则∠B=45°，b=4.
例2.已知△ABC满足条件acosA=bcosB，可以判断
△ABC是等腰三角形。
例3.在△ABC中，已知b+c=6，求a的值。
根据余弦定理可得a²=(b+c)²-4bc，代入数据得a=2.
本课总结】
本课介绍了三角形中的正弦定理、余弦定理、射影定理和面积公式，这些定理可以帮助我们计算三角形的边长、角度和面积。
在解题时，需要根据题目给出的条件选择合适的定理进行计算。
必修五 1.1正弦定理与余弦定理(5课时)山西省优秀课件
思考3：
a
=
b sin B
sin A
可变形为
a sin B = b sin A , 在锐角△ABC中，该 等式是否成立？为什么？
C b A D a
B
思考4： 若∠C为钝角， sin B = b sin A是否成立？ a 若∠A为钝角， sin B = b sin A 是否成立？ a 若∠B为钝角， sin B = b sin A 是否成立？ a
b
c
C
a
B
思考5：结合正弦定理， 2 2 2 c = a + b - 2ab cosC 可作什么变形？
sin C = sin A + sin B - 2 sin A sin B cos C
2 2 2
理论迁移 例1 在△ABC中，已知b=60cm， c=34cm，A=41°，解三角形. a2≈1676.82，a≈41cm，sinC≈0.544， C≈33°，B≈106°. 例2 在△ABC中，已知a=134.6cm， b=87.8cm，c=161.7cm，解三角形. cosA≈0.5543，A≈56°20′， cosB≈0.8398，B≈32°53′， C≈90°47′.
例4 在△ABC中，已知
t an A - t an B t an A + t an B = b+ c c
，求角A的值.
120°
小结作业 1.正弦定理是以三角形为背景的一个基 本定理，它不仅可以用来求三角形的边 角值，而且可以在三角变换中实现边角 转化，是解决三角形问题的一个重要工 具. 2.正弦定理的应用具有一定的灵活性， 在处理三角形的边角关系时，利用 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，可达 到化边为角的目的.
人教版高二数学必修5课件：1.1正弦定理和余弦定理-正余弦定理复习
解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过 程．三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外 接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的 面积．
解斜三角形共包括四种类型：(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和 求角或用正弦定理求边)；(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；(3) 已知三边(先用余弦定理求角)； (4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边 的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)．
在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a>c，已知 1 → → BA· BC＝2，cos B＝3，b＝3.求： (1)a 和 c 的值； (2)cos(B－C)的值．
【精彩点拨】 方程组即可求解． (2)由(1)结合正弦定理分别求出 B， C 的正、 余弦值， 利用差角余弦公理求解． (1)由平面向量的数量积定义及余弦定理，列出关于 a，c 的
巩 固 层 · 知 识 整 合
章末分层突破
拓 展 层 · 链 接 高 考
提 升 层 · 能 力 强 化
章 末 综 合 测 评
[自我校对] a b c ①sin A＝sin B＝sin C ②已知两角和其中一边 ③c2＝a2＋b2－2abcos C ④已知三边 1 ⑤S＝2acsin B
利用正、余弦定理求解三角形的基本问题
2
4 2 2 7 1－ ＝9. 9
于是 cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C 1 7 2 2 4 2 23 ＝3×9＋ 3 × 9 ＝27.
[再练一题] π 2．如图 11，在△ABC 中，∠B＝3，AB＝8，点 D 在 BC 边上，且 CD＝2， 1 cos∠ADC＝7. (1)求 sin∠BAD； (2)求 BD，AC 的长．
高中数学优质课《正弦定理和余弦定理复习课》公开课优秀教案
高中数学优质课《正弦定理和余弦定理复习课》公开课教案教学目标：1、掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．3、常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等. 教学重点：①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式．②能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形． ③能解决与三角形有关的实际问题．教学难点：①根据已知条件判定解的情形，并正确求解． ②将实际问题转化为解斜三角形． 教学过程 一、知识点回顾1、正弦定理CcB b A a sin sin sin ==2R = 变 形C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===sin sin sin ::::A B C a b c =面积公式：B ac C ab A bc S ABCsin 21sin 21sin 21===∆ 2、余弦定理 A bc c b a cos 2222-+=⇔bca cb A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=3、正、余弦定理的作用：解三角形（边角互化）二、随堂练习三、例题讲解例1、 (2012·广州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．四、巩固练习1．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( ) A.63 B.223 C ．－63 D ．－2232．(2011·课标全国卷)△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 例2、(2011·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab . (1)求sin Csin A的值； (2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .1．(教材改编题)已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且∠A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2五、课堂小结 正弦定理和余弦定理公式及变形 六、课后作业课堂新坐标1-10七、板书设计正弦定理和余弦定理1、正余弦定理2、正余弦定理3、正、余弦定理的作用4、例题讲解2．(2011·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12 B.12 C ．－1 D ．13.在△ABC 中，b ，c 是角B 、C 的对边，且cos 2A2＝b ＋c2c ．试判定△ABC 的形状．4. (2012·河源质检)△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →； (2)若c －b ＝1，求a 的值．。
高中数学必修五1.1正弦定理和余弦定理 课件 (共34张PPT)
两种途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角 转换．
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)在△ABC中，A＝60° ，B＝75° ，a ＝10，则c等于( A．5 2 10 6 C. 3 )． B．10 2 D．5 6
a 解析 由A＋B＋C＝180° ，知C＝45° ，由正弦定理得： sin A ＝ c 10 c 10 6 sin C，即 3＝ 2.∴c＝ 3 . 2 2 答案 C
sin A cos B 2．在△ABC 中，若 a ＝ b ，则 B 的值为( A．30° 解析 B．45° C．60° D．90°
4． 已知两边和其中一边的对角， 解三角形时， 注意解的情况． 如 已知 a，b，A，则 A 为锐角 图形 A 为钝角或直角
关系 式 解的 个数
a＜b sin A a＝bsin A
bsin A＜a＜ b 两解
a≥b a＞b a≤b
无解
一解
一解 一解 无解
一条规律 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大， 正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A＞B⇔a＞b⇔sin A ＞sin B. 两类问题 在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一 边，求其它边或角； (2) 已知两边及一边的对角，求其它边或 角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余 弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两 角；(2)已知三边，求各角．
正弦定理和余弦定理
基础梳理 a b c 1．正弦定理：sin A＝sin B＝sin C＝2R，其中 R 是三角形外接 圆的半径．由正弦定理可以变形为： (1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ； a b c (3)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R等形式，以解决不同的三 角形问题．
必修五正弦定理和余弦定理讲义
1.1 正弦定理和余弦定理一、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角．．．．．．．的正弦的比相等，即：A a sin ＝B b sin ＝C csin 注意：（1）正弦定理中，各边与其对角的正弦严格对应；（2）正弦定理中的比值是一个定值，具有一定几何意义，即为三角形外接圆的直径：A a sin ＝B b sin ＝Ccsin ＝2R [ R 指的是三角形外接圆半径 ]；（3）正弦定理主要实现三角形中的边角互化．．．．．．．．．．．．．．．．．；（4）S ＝C ab sin 21＝A bc sin 21＝B ac sin 21；（5）常用的公式： ①A ＋B ＋C ＝π，sin(A ．．．．．＋．B)．．＝．sinC ．．．．，． cos(A ．．．．．＋．B)．．＝－．．cosC ．．．．，．tan(A ．．．．．＋．B)．．＝－．．tanC ．．．．，．sin 2B A +＝cos 2C ，cos 2B A +＝sin 2C；②a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ；③A ＞B ⇔a ＞b 【大角对大边】；④a ＋b ＞c ，a －b ＜c ；⑤a ：b ：c ＝sinA ：sinB ：sinC ；⑥a sinB ＝bsinA ，bsinC ＝csinB ，a sinC ＝csinA 。
例1：下列有关正弦定理的叙述：（1）正弦定理只适用于锐角三角形；（2）正弦定理不适用于直角三角形；（3）在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值；（4）在△ABC 中，sinA ：sinB ：sinC ＝ a ：b ：c 。
其中正确的个数有（ ） A ：1个 B ：2个 C ：3个 D ：4个 【解析】：B变式练习1：在△ABC 中，角A ：角B ：角C ＝2 ：1 ：1，则a ：b ：c 等于（ ）A ：4 ：1 ：1B ：2 ：1 ：1C ：2 ：1 ：1D ：3 ：1 ：1 【解析】：C变式练习2：在△ABC 中，角A ：角B ：角C ＝4 ：1 ：1，则a ：b ：c 等于（ ）A ：4 ：1 ：1B ：2 ：1 ：1C ：2 ：1 ：1D ：3 ：1 ：1 【解析】：D例2：在△ABC 中，a ＝2，b ＝1，∠A ＝450，∠B ＝___________。
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理(2)课件新人教a必修5
1．1.2 余弦定理(二)
学习目标
1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、 证明及形状判断等问题．
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形
思考2
△ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？
答案
∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B或2A＝π－2B， 即 A＝B 或 A＋B＝2π.
梳理
判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否 有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．
知识点三 证明三角形中的恒等式
(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，
三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系： ①当a<CD时，无解； ②当a＝CD时，一解； ③当CD<a<b时，则圆与射线AB有两个交点，此时B为锐角或钝角，此 时B的值有两个． ④当a≥b时，一解． (4)如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．
引申探究 将本例中的条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc改为(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－ a2bc，其余条件不变，试判断△ABC的形状． 解答
反思与感悟
(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化， 经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断． (2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2 ＝2bccos A，b2＋ c2＝(b＋c)2－2bc等等．
思考
前面我们用正弦定理化简过acos B＝bcos A，当时是把边化 成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角 化成边？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
答：A,B两点间的距离为 20 6米.
不可到达点
A
？
B
可到达点
60 30 45 D 40m
60
C
解2：测量者可以在河岸边选定两点C、D， 测得CD=40m, 并且在C、D两点分别测得∠BCA=60°, ∠ACD=30°, ∠CDB=45°, ∠BDA=60°. 在⊿ADC和⊿BDC中，应用 正弦定理得 40 sin 30 40 sin 30 AD 20 2 , sin[180 ( 30 45 60 )] sin 45 40 BD 40 2 . sin 45
55 sin 75 65.7( m ). sin 54
答：A,B两点间的距离为65.7米.
A
51
75
55
C
例2. 如图A、B两点都在河的对岸（不可到达），设 计一种测量两点间的距离的方法。
不可到达点
A
？
B
可到达点
60 30 45 D 40m
60
C
分析：用例1的方法，可以计算出河的这一岸的一 点C到对岸两点的距离，再测出∠BCA的大小，借 助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
不可到达点
A
？
B
可到达点
D
60 45
30
60
C
这样在⊿ABD中,∠BDA=60°, AD 20 2 , BD 40 2 . 由余弦定理得：
AB AD2 BD2 2 AD BD cos
(20 2 )2 (40 2 )2 2 20 2 40 2 cos 60 20 6 .
12 t 24 .
4 OQ ( 20t ) 300 2 20t 300 5
2 2 2
r
P
答： 12小时后该城市开始受到 台风的侵袭 .
练习:1.一艘船以32.2 n mile / h的速度向 正北航行.在A处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续沿正北方向航行吗？ ∠ABS=115°, 由题意在△ASB中， 解： ∠A=20°, AB 32.2 0.5 16.1 n mile， 由正弦定理得： BS
B
基线 分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形
A
C
AB AC ＝ sin C sin B
解：根据正弦定理，得
B
AB AC ， sin C sin B AC sin C 55 sin C AB sin B sin B 55 sin 75 sin(180 51 75 )
设在时刻t ( h) 台风中心为 Q ，此时台风 侵袭的圆形区域半径为 10t 60 (km) .
若在时刻 t 城市O 受到台风的侵袭，则 OQ 10t 60 .
Q
45
东
由余弦定理知
OQ PQ PO 2 PQ PO cosOPQ
2 2 2
r
P
北
由于 PO 300， PQ 20t
距离
高度
角度
1.2.1 应用举例（一）
例1.阅读课本P11例1, 理解如何测量一个可到 达点到一个不可到 达点的距离
例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离 . 测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C， 测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB＝ 75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）
不可到达点
A
？
B
可到达点
60 30 45 D 40m
60
C
解：测量者可以在河岸边选定两点C、D， 测得CD=40m, 并且在C、D两点分别测得∠BCA=60°, ∠ACD=30°, ∠CDB=45°, ∠BDA=60°. 在⊿ADC和⊿BDC中，应用 正弦定理得 40 sin( 45 60 ) 40 sin 105 AC 20( 3 1), sin[180 ( 30 45 60 )] sin 45 40 sin 45 40 sin 45 BC 40. sin[180 (60 30 45 )] sin 45
答：A,B两点间的距离为 20 6米.
例2. 如图A、B两点都在河的对岸（不可到达），设 计一种测量两点间的距离的方法。
不可到达点
A
？
B
可到达点
60 30 45 D 40m
60
C
想一想：还有没有别的测量方法.
例4 3. 某 海 滨 城 市 附 近 海 面 一 有台 风 ， 据 监 测 ， 当台 前风 中 心
O
东
cosOPQ cos( 45)
cos cos 45 sin sin 45
2 2 2 2 4 ， 1 2 10 2 10 2 5
Q
45
故
202 t 2 9600 t 3002 . 因此 202 t 2 9600 t 3002 (10t 60)2 ， 即 t 2 36t 288 0， 解得
不可到达点
A
？
B
可到达点
D
60 45
30
60
C
这样在⊿ABC中,∠BCA=60°, AC 20( 3 1), BC 40. 由余弦定理得：
AB AC 2 BC 2 2 AC BC cos
202 ( 3 1)2 402 2 20( 3 1) 40 cos 60 20 6 .
2 位于城市 O (如 图) 东 偏 南 ( arccos ) 方 向 300 km 海 面 10 P 处 ， 并 以20 km / h 的 速 度 向 西 偏 北 45 方 向 移 动. 台 风 侵 袭 的 范 围 为 圆 形 区 域当 ，前 半 径 为 60 km， 并 以10 km / h 的 速度不断增大 . 问 几 小 时 后 该 城 市 开受 始到 台 风 的 侵 袭 ？ 北 解：
AB sinA sinS
d
AB sinA 16.1 sin20 16.1 2 sin20, BS sin45 sinS 设点S到直线 AB的距离为 d , 则 d BS sin 65 7.06(n mile)