中序遍历二叉树的递归过程图解
二叉树的遍历及常用算法
⼆叉树的遍历及常⽤算法⼆叉树的遍历及常⽤算法遍历的定义:按照某种次序访问⼆叉树上的所有结点,且每个节点仅被访问⼀次;遍历的重要性:当我们需要对⼀颗⼆叉树进⾏,插⼊,删除,查找等操作时,通常都需要先遍历⼆叉树,所有说:遍历是⼆叉树的基本操作;遍历思路:⼆叉树的数据结构是递归定义(每个节点都可能包含相同结构的⼦节点),所以遍历也可以使⽤递归,即结点不为空则继续递归调⽤每个节点都有三个域,数据与,左孩⼦指针和右孩⼦之指针,每次遍历只需要读取数据,递归左⼦树,递归右⼦树,这三个操作三种遍历次序:根据访问三个域的不同顺序,可以有多种不同的遍历次序,⽽通常对于⼦树的访问都按照从左往右的顺序;设:L为遍历左⼦树,D为访问根结点,R为遍历右⼦树,且L必须位于R的前⾯可以得出以下三种不同的遍历次序:先序遍历操作次序为DLR,⾸先访问根结点，其次遍历根的左⼦树，最后遍历根右⼦树，对每棵⼦树同样按这三步(先根、后左、再右)进⾏中序遍历操作次序为LDR,⾸先遍历根的左⼦树，其次访问根结点，最后遍历根右⼦树，对每棵⼦树同样按这三步(先左、后根、再右)进⾏后序遍历操作次序为LRD,⾸先遍历根的左⼦树，其次遍历根的右⼦树，最后访问根结点，对每棵⼦树同样按这三步(先左、后右、最后根)进⾏层次遍历层次遍历即按照从上到下从左到右的顺序依次遍历所有节点,实现层次遍历通常需要借助⼀个队列,将接下来要遍历的结点依次加⼊队列中;遍历的应⽤“遍历”是⼆叉树各种操作的基础，可以在遍历过程中对结点进⾏各种操作，如:对于⼀棵已知⼆叉树求⼆叉树中结点的个数求⼆叉树中叶⼦结点的个数;求⼆叉树中度为1的结点个数求⼆叉树中度为2的结点个数5求⼆叉树中⾮终端结点个数交换结点左右孩⼦判定结点所在层次等等...C语⾔实现:#include <stdio.h>//⼆叉链表数据结构定义typedef struct TNode {char data;struct TNode *lchild;struct TNode *rchild;} *BinTree, BinNode;//初始化//传⼊⼀个指针令指针指向NULLvoid initiate(BinTree *tree) {*tree = NULL;}//创建树void create(BinTree *BT) {printf("输⼊当前结点值: (0则创建空节点)\n");char data;scanf(" %c", &data);//连续输⼊整形和字符时.字符变量会接受到换⾏,所以加空格if (data == 48) {*BT = NULL;return;} else {//创建根结点//注意开辟的空间⼤⼩是结构体的⼤⼩⽽不是结构体指针⼤⼩,写错了不会⽴马产⽣问题,但是后续在其中存储数据时极有可能出现内存访问异常(飙泪....) *BT = malloc(sizeof(struct TNode));//数据域赋值(*BT)->data = data;printf("输⼊节点 %c 的左孩⼦ \n", data);create(&((*BT)->lchild));//递归创建左⼦树printf("输⼊节点 %c 的右孩⼦ \n", data);create(&((*BT)->rchild));//递归创建右⼦树}}//求双亲结点(⽗结点)BinNode *Parent(BinTree tree, char x) {if (tree == NULL)return NULL;else if ((tree->lchild != NULL && tree->lchild->data == x) || (tree->rchild != NULL && tree->rchild->data == x))return tree;else{BinNode *node1 = Parent(tree->lchild, x);BinNode *node2 = Parent(tree->rchild, x);return node1 != NULL ? node1 : node2;}}//先序遍历void PreOrder(BinTree tree) {if (tree) {//输出数据printf("%c ", tree->data);//不为空则按顺序继续递归判断该节点的两个⼦节点PreOrder(tree->lchild);PreOrder(tree->rchild);}}//中序void InOrder(BinTree tree) {if (tree) {InOrder(tree->lchild);printf("%c ", tree->data);InOrder(tree->rchild);}}//后序void PostOrder(BinTree tree) {if (tree) {PostOrder(tree->lchild);PostOrder(tree->rchild);printf("%c ", tree->data);}}//销毁结点递归free所有节点void DestroyTree(BinTree *tree) {if (*tree != NULL) {printf("free %c \n", (*tree)->data);if ((*tree)->lchild) {DestroyTree(&((*tree)->lchild));}if ((*tree)->rchild) {DestroyTree(&((*tree)->rchild));}free(*tree);*tree = NULL;}}// 查找元素为X的结点使⽤的是层次遍历BinNode *FindNode(BinTree tree, char x) {if (tree == NULL) {return NULL;}//队列BinNode *nodes[1000] = {};//队列头尾位置int front = 0, real = 0;//将根节点插⼊到队列尾nodes[real] = tree;real += 1;//若队列不为空则继续while (front != real) {//取出队列头结点输出数据BinNode *current = nodes[front];if (current->data == x) {return current;}front++;//若当前节点还有⼦(左/右)节点则将结点加⼊队列if (current->lchild != NULL) {nodes[real] = current->lchild;real++;}if (current->rchild != NULL) {nodes[real] = current->rchild;real++;}}return NULL;}//层次遍历// 查找元素为X的结点使⽤的是层次遍历void LevelOrder(BinTree tree) {if (tree == NULL) {return;}//队列BinNode *nodes[1000] = {};//队列头尾位置int front = 0, real = 0;//将根节点插⼊到队列尾nodes[real] = tree;real += 1;//若队列不为空则继续while (front != real) {//取出队列头结点输出数据BinNode *current = nodes[front];printf("%2c", current->data);front++;//若当前节点还有⼦(左/右)节点则将结点加⼊队列if (current->lchild != NULL) {nodes[real] = current->lchild;real++;}if (current->rchild != NULL) {nodes[real] = current->rchild;real++;}}}//查找x的左孩⼦BinNode *Lchild(BinTree tree, char x) {BinTree node = FindNode(tree, x);if (node != NULL) {return node->lchild;}return NULL;}//查找x的右孩⼦BinNode *Rchild(BinTree tree, char x) {BinTree node = FindNode(tree, x);if (node != NULL) {return node->rchild;}return NULL;}//求叶⼦结点数量int leafCount(BinTree *tree) {if (*tree == NULL)return 0;//若左右⼦树都为空则该节点为叶⼦,且后续不⽤接续递归了else if (!(*tree)->lchild && !(*tree)->rchild)return 1;else//若当前结点存在⼦树,则递归左右⼦树, 结果相加return leafCount(&((*tree)->lchild)) + leafCount(&((*tree)->rchild));}//求⾮叶⼦结点数量int NotLeafCount(BinTree *tree) {if (*tree == NULL)return 0;//若该结点左右⼦树均为空,则是叶⼦,且不⽤继续递归else if (!(*tree)->lchild && !(*tree)->rchild)return 0;else//若当前结点存在左右⼦树,则是⾮叶⼦结点(数量+1),在递归获取左右⼦树中的⾮叶⼦结点,结果相加 return NotLeafCount(&((*tree)->lchild)) + NotLeafCount(&((*tree)->rchild)) + 1;}//求树的⾼度(深度)int DepthCount(BinTree *tree) {if (*tree == NULL)return 0;else{//当前节点不为空则深度+1 在加上⼦树的⾼度,int lc = DepthCount(&((*tree)->lchild)) + 1;int rc = DepthCount(&((*tree)->rchild)) + 1;return lc > rc?lc:rc;// 取两⼦树深度的最⼤值 }}//删除左⼦树void RemoveLeft(BinNode *node){if (!node)return;if (node->lchild)DestroyTree(&(node->lchild));node->lchild = NULL;}//删除右⼦树void RemoveRight(BinNode *node){if (!node)return;if (node->rchild)DestroyTree(&(node->rchild));node->rchild = NULL;}int main() {BinTree tree;create(&tree);BinNode *node = Parent(tree, 'G');printf("G的⽗结点为%c\n",node->data);BinNode *node2 = Lchild(tree, 'D');printf("D的左孩⼦结点为%c\n",node2->data);BinNode *node3 = Rchild(tree, 'D');printf("D的右孩⼦结点为%c\n",node3->data);printf("先序遍历为:");PreOrder(tree);printf("\n");printf("中序遍历为:");InOrder(tree);printf("\n");printf("后序遍历为:");PostOrder(tree);printf("\n");printf("层次遍历为:");LevelOrder(tree);printf("\n");int a = leafCount(&tree);printf("叶⼦结点数为%d\n",a);int b = NotLeafCount(&tree);printf("⾮叶⼦结点数为%d\n",b);int c = DepthCount(&tree);printf("深度为%d\n",c);//查找F节点BinNode *node4 = FindNode(tree,'C');RemoveLeft(node4);printf("删除C的左孩⼦后遍历:");LevelOrder(tree);printf("\n");RemoveRight(node4);printf("删除C的右孩⼦后遍历:");LevelOrder(tree);printf("\n");//销毁树printf("销毁树 \n");DestroyTree(&tree);printf("销毁后后遍历:");LevelOrder(tree);printf("\n");printf("Hello, World!\n");return 0;}测试:测试数据为下列⼆叉树:运⾏程序复制粘贴下列内容:ABDGHECKFIJ特别感谢:iammomo。
二叉树遍历（前序、中序、后序、层次、广度优先、深度优先遍历）
⼆叉树遍历（前序、中序、后序、层次、⼴度优先、深度优先遍历）⽬录转载：⼆叉树概念⼆叉树是⼀种⾮常重要的数据结构，⾮常多其他数据结构都是基于⼆叉树的基础演变⽽来的。
对于⼆叉树，有深度遍历和⼴度遍历，深度遍历有前序、中序以及后序三种遍历⽅法，⼴度遍历即我们寻常所说的层次遍历。
由于树的定义本⾝就是递归定义，因此採⽤递归的⽅法去实现树的三种遍历不仅easy理解并且代码⾮常简洁，⽽对于⼴度遍历来说，须要其他数据结构的⽀撑。
⽐⽅堆了。
所以。
对于⼀段代码来说，可读性有时候要⽐代码本⾝的效率要重要的多。
四种基本的遍历思想前序遍历：根结点 ---> 左⼦树 ---> 右⼦树中序遍历：左⼦树---> 根结点 ---> 右⼦树后序遍历：左⼦树 ---> 右⼦树 ---> 根结点层次遍历：仅仅需按层次遍历就可以⽐如。
求以下⼆叉树的各种遍历前序遍历：1 2 4 5 7 8 3 6中序遍历：4 2 7 5 8 1 3 6后序遍历：4 7 8 5 2 6 3 1层次遍历：1 2 3 4 5 6 7 8⼀、前序遍历1）依据上⽂提到的遍历思路：根结点 ---> 左⼦树 ---> 右⼦树，⾮常easy写出递归版本号：public void preOrderTraverse1(TreeNode root) {if (root != null) {System.out.print(root.val+" ");preOrderTraverse1(root.left);preOrderTraverse1(root.right);}}2）如今讨论⾮递归的版本号：依据前序遍历的顺序，优先訪问根结点。
然后在訪问左⼦树和右⼦树。
所以。
对于随意结点node。
第⼀部分即直接訪问之，之后在推断左⼦树是否为空，不为空时即反复上⾯的步骤，直到其为空。
若为空。
则须要訪问右⼦树。
注意。
在訪问过左孩⼦之后。
二叉树遍历（前中后序遍历，三种方式）
⼆叉树遍历（前中后序遍历，三种⽅式）⽬录刷题中碰到⼆叉树的遍历，就查找了⼆叉树遍历的⼏种思路，在此做个总结。
对应的LeetCode题⽬如下：，，，接下来以前序遍历来说明三种解法的思想，后⾯中序和后续直接给出代码。
⾸先定义⼆叉树的数据结构如下：//Definition for a binary tree node.struct TreeNode {int val;TreeNode *left;TreeNode *right;TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}};前序遍历，顺序是“根-左-右”。
使⽤递归实现：递归的思想很简单就是我们每次访问根节点后就递归访问其左节点，左节点访问结束后再递归的访问右节点。
代码如下：class Solution {public:vector<int> preorderTraversal(TreeNode* root) {if(root == NULL) return {};vector<int> res;helper(root,res);return res;}void helper(TreeNode *root, vector<int> &res){res.push_back(root->val);if(root->left) helper(root->left, res);if(root->right) helper(root->right, res);}};使⽤辅助栈迭代实现：算法为：先把根节点push到辅助栈中，然后循环检测栈是否为空，若不空，则取出栈顶元素，保存值到vector中，之后由于需要想访问左⼦节点，所以我们在将根节点的⼦节点⼊栈时要先经右节点⼊栈，再将左节点⼊栈，这样出栈时就会先判断左⼦节点。
代码如下：class Solution {public:vector<int> preorderTraversal(TreeNode* root) {if(root == NULL) return {};vector<int> res;stack<TreeNode*> st;st.push(root);while(!st.empty()){//将根节点出栈放⼊结果集中TreeNode *t = st.top();st.pop();res.push_back(t->val);//先⼊栈右节点，后左节点if(t->right) st.push(t->right);if(t->left) st.push(t->left);}return res;}};Morris Traversal⽅法具体的详细解释可以参考如下链接：这种解法可以实现O(N)的时间复杂度和O(1)的空间复杂度。
前序后序中序详细讲解
前序后序中序详细讲解1.引言1.1 概述在数据结构与算法中，前序、中序和后序是遍历二叉树的三种基本方式之一。
它们是一种递归和迭代算法，用于按照特定的顺序访问二叉树的所有节点。
通过遍历二叉树，我们可以获取有关树的结构和节点之间关系的重要信息。
前序遍历是指先访问根节点，然后递归地访问左子树，最后递归地访问右子树。
中序遍历是指先递归地访问左子树，然后访问根节点，最后递归地访问右子树。
后序遍历是指先递归地访问左子树，然后递归地访问右子树，最后访问根节点。
它们的不同之处在于访问根节点的时机不同。
前序遍历可以帮助我们构建二叉树的镜像，查找特定节点，或者获取树的深度等信息。
中序遍历可以帮助我们按照节点的大小顺序输出树的节点，或者查找二叉搜索树中的某个节点。
后序遍历常用于删除二叉树或者释放二叉树的内存空间。
在实际应用中，前序、中序和后序遍历算法有着广泛的应用。
它们可以用于解决树相关的问题，例如在Web开发中，树结构的遍历算法可以用于生成网页导航栏或者搜索树结构中的某个节点。
在图像处理中，前序遍历可以用于图像压缩或者图像识别。
另外，前序和后序遍历算法还可以用于表达式求值和编译原理中的语法分析等领域。
综上所述，前序、中序和后序遍历算法是遍历二叉树的重要方式，它们在解决各种与树有关的问题中扮演着关键的角色。
通过深入理解和应用这些遍历算法，我们可以更好地理解和利用二叉树的结构特性，并且能够解决更加复杂的问题。
1.2文章结构文章结构是指文章中各个部分的布局和组织方式。
一个良好的文章结构可以使读者更好地理解和理解文章的内容。
本文将详细讲解前序、中序和后序三个部分的内容和应用。
首先，本文将在引言部分概述整篇文章的内容，并介绍文章的结构和目的。
接下来，正文部分将分为三个小节，分别对前序、中序和后序进行详细讲解。
在前序讲解部分，我们将定义和解释前序的意义，并介绍前序在实际应用中的场景。
通过详细的解释和实例，读者将能更好地理解前序的概念和用途。
中序遍历非递归算法
中序遍历非递归算法一、前言在二叉树的遍历中，中序遍历是一种重要的遍历方式。
中序遍历非递归算法是指不使用递归函数，通过循环和栈等数据结构实现对二叉树进行中序遍历。
本文将详细介绍中序遍历非递归算法的实现过程和相关知识点。
二、中序遍历的定义在二叉树中，对每个节点的访问顺序有三种方式：先访问左子树，再访问根节点，最后访问右子树；先访问根节点，再访问左子树和右子树；先访问左子树和右子树，最后访问根节点。
这三种方式分别称为前序遍历、中序遍历和后序遍历。
其中，中序遍历是指按照“先访问左子树，再访问根节点，最后访问右子树”的顺序进行访问。
三、中序遍历非递归算法的思路1. 定义一个空的辅助栈；2. 从二叉树的跟节点开始循环：a. 将当前节点压入辅助栈；b. 如果当前节点存在左孩子，则将当前节点设置为其左孩子，继续循环；c. 如果当前节点不存在左孩子，则从辅助栈中弹出一个节点，并将该节点的值输出；d. 如果被弹出的节点存在右孩子，则将当前节点设置为其右孩子，继续循环；e. 如果被弹出的节点不存在右孩子，则回到步骤c。
四、中序遍历非递归算法的实现1. 定义一个空的辅助栈和一个指向二叉树跟节点的指针cur；2. 对于每个节点，如果该节点不为空或者辅助栈不为空，则进行循环：a. 如果当前节点不为空，则将其压入辅助栈中，并将当前节点更新为其左孩子；b. 如果当前节点为空，则从辅助栈中弹出一个元素，并输出该元素的值；i. 将当前节点更新为被弹出元素的右孩子。
3. 循环结束后，即可完成对二叉树的中序遍历。
五、代码实现以下是Java语言实现中序遍历非递归算法的代码：```public static void inOrder(TreeNode root) {Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();TreeNode cur = root;while (cur != null || !stack.isEmpty()) {if (cur != null) {stack.push(cur);cur = cur.left;} else {cur = stack.pop();System.out.print(cur.val + " ");cur = cur.right;}}}```六、时间和空间复杂度中序遍历非递归算法的时间复杂度为O(n)，其中n为二叉树节点的个数。
二叉树的遍历PPT-课件
4 、二叉树的创建算法
利用二叉树前序遍历的结果可以非常方便地生成给定的
二叉树，具体做法是：将第一个输入的结点作为二叉树的 根结点，后继输入的结点序列是二叉树左子树前序遍历的 结果，由它们生成二叉树的左子树；再接下来输入的结点 序列为二叉树右子树前序遍历的结果，应该由它们生成二 叉树的右子树；而由二叉树左子树前序遍历的结果生成二 叉树的左子树和由二叉树右子树前序遍历的结果生成二叉 树的右子树的过程均与由整棵二叉树的前序遍历结果生成 该二叉树的过程完全相同，只是所处理的对象范围不同， 于是完全可以使用递归方式加以实现。
void createbintree(bintree *t) { char ch; if ((ch=getchar())==' ') *t=NULL; else { *t=(bintnode *)malloc(sizeof(bintnode)); /*生成二叉树的根结点*/ (*t)->data=ch; createbintree(&(*t)->lchild); /*递归实现左子树的建立*/ createbintree(&(*t)->rchild); /*递归实现右子树的建立*/ }
if (s.top>-1) { t=s.data[s.top]; s.tag[s.top]=1; t=t->rchild; }
else t=NULL; }
}
7．5 二叉树其它运算的实现
由于二叉树本身的定义是递归的，因此关于二叉树的许多 问题或运算采用递归方式实现非常地简单和自然。 1、二叉树的查找locate(t,x)
（1）对一棵二叉树中序遍历时，若我们将二叉树严
格地按左子树的所有结点位于根结点的左侧，右子树的所
二叉树的先序,中序,后序遍历例题
二叉树的先序,中序,后序遍历例题二叉树的先序遍历、中序遍历和后序遍历是三种常见的遍历方式。
以下是相应的例题:1. 先序遍历以下是一个简单的二叉树，请实现先序遍历:```3/1 5/2 4 6```先序遍历的结果应该是:3,1,2,4,5,6。
实现方式:```cpp#include <iostream>using namespace std;void preOrderTraversal(TreeNode* root) {if (root == nullptr) {return;}cout << root->val << " ";preOrderTraversal(root->left);preOrderTraversal(root->right);}int main() {TreeNode* root = new TreeNode(3);root->left = new TreeNode(1);root->right = new TreeNode(5);root->right->left = new TreeNode(2);root->right->right = new TreeNode(4);root->right->right->left = new TreeNode(6); cout << preOrderTraversal(root) << endl;return 0;}```输出结果:3,1,2,4,5,62. 中序遍历以下是一个简单的二叉树，请实现中序遍历:```1/4 2/5 3 6```中序遍历的结果应该是:1,4,2,5,3,6。
实现方式:```cpp#include <iostream>using namespace std;void inOrderTraversal(TreeNode* root) {if (root == nullptr) {return;}inOrderTraversal(root->left);cout << root->val << " ";inOrderTraversal(root->right);}int main() {TreeNode* root = new TreeNode(1);root->left = new TreeNode(4);root->right = new TreeNode(2);root->right->left = new TreeNode(5);root->right->right = new TreeNode(3);root->right->right->left = new TreeNode(6);cout << inOrderTraversal(root) << endl; return 0;}```输出结果:1,4,2,5,3,63. 后序遍历以下是一个简单的二叉树，请实现后序遍历: ```2/4 6/1 3 5```后序遍历的结果应该是:2,4,6,1,3,5。
二叉树遍历实验报告
二叉树遍历实验报告二叉树遍历实验报告一、引言二叉树是计算机科学中常用的数据结构之一，它由节点组成，每个节点最多有两个子节点。
二叉树的遍历是指按照一定的规则访问二叉树中的所有节点。
本实验旨在通过实际操作，探索二叉树的三种遍历方式：前序遍历、中序遍历和后序遍历，并分析它们的应用场景和性能特点。
二、实验方法1. 实验环境本实验使用Python编程语言进行实现，并在Jupyter Notebook中运行代码。
2. 实验步骤（1）定义二叉树节点类首先，我们定义一个二叉树节点类，该类包含节点值、左子节点和右子节点三个属性。
（2）构建二叉树在主函数中，我们手动构建一个二叉树，包含多个节点，并将其保存为根节点。
（3）实现三种遍历方式通过递归的方式，实现二叉树的前序遍历、中序遍历和后序遍历。
具体实现过程如下：- 前序遍历：先访问根节点，然后递归遍历左子树，最后递归遍历右子树。
- 中序遍历：先递归遍历左子树，然后访问根节点，最后递归遍历右子树。
- 后序遍历：先递归遍历左子树，然后递归遍历右子树，最后访问根节点。
（4）测试遍历结果在主函数中，我们调用实现的三种遍历方式，对构建的二叉树进行遍历，并输出结果。
三、实验结果与分析经过实验，我们得到了二叉树的前序遍历、中序遍历和后序遍历的结果。
以下是我们的实验结果及分析：1. 前序遍历结果前序遍历结果为：A - B - D - E - C - F - G前序遍历的应用场景包括：复制整个二叉树、计算二叉树的深度和宽度等。
前序遍历的时间复杂度为O(n)，其中n为二叉树的节点数。
2. 中序遍历结果中序遍历结果为：D - B - E - A - F - C - G中序遍历的应用场景包括：二叉搜索树的中序遍历可以得到有序的节点序列。
中序遍历的时间复杂度为O(n)，其中n为二叉树的节点数。
3. 后序遍历结果后序遍历结果为：D - E - B - F - G - C - A后序遍历的应用场景包括：计算二叉树的高度、判断二叉树是否对称等。
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二叉树的基本形态
1. 空 2. 仅有根节点 3. 仅有左子树 4. 仅有右子树 5. 左右子树
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二叉树的基本形态
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二叉树和树的区别
1. 二叉树可以为空，但树不能为空。
2. 二叉树中每个元素都恰好有两棵子 树（其中一个或两个可能为空）。 而树中每个元素可有若干子树。
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节点(node) 节点的度(degree) 分支(branch)节点 叶(leaf)节点 子女(child)节点 双亲7/11(/2p01a9 rent)节点
兄弟(sibling)节点
祖先(ancestor)节点
有序树 无序树
子孙(descendant)节点 森林
节点所处层次(level)
2. 若二叉树的高度为h，h≥0，则该二叉 树最少有h个元素，最多有2h - 1个元
素。
3. 包含n 个元素的二叉树的高度最大为n， 最小为「log2(n+ 1 ) 。
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证明：
设完全二叉树的高度为h，则有 2h - 1 < n 2h+1 - 1 2h < n +1 2h+1 取对数 h < log2(n+1) h+1
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二叉树的特性
4. 设 完 全 二 叉 树 中 一 元 素 的 序 号 为 i, 1≤i≤n。则有以下关系成立：
1) 当i = 1时，该元素为二叉树的根。若i > 1，则该元素父节点的编号为i / 2。
2) 当2i >n时，该元素无左孩子。否则，其 左孩子的编号为2i。
3) 若2i + 1 >n，该元素无右孩子。否则， 其右孩子编号为2i + 1。
其它数据元素 (一个前驱、
一个后继)
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树型结构
根结点 (无前驱)
多个叶子结点 (无后继)
其它数据元素 (一个前驱、
多个后继)
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8.2二叉树
定义 二叉树t 是有限个元素的集合 （可以为空）。当二叉树非空时， 其中有一个称为根的元素，余下的 元素（如果有的话）被组成2个二 叉树，分别称为t的左子树和右子 树。
k层完全二叉树:1)前k-1层为满二叉树； 2)第k层上的节点都连续排列于第k层的
左端。
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完全二叉树
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1
2
3
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6
(a)完全二叉树
1
2
3
4
5
7
(b)非完全二叉树
1
2
3
6
7
( c)非完全二叉树
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8.3二叉树的特性
1. 包含n (n> 0 )个元素的二叉树边数为 n-1。
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二叉树的特性
5.度为0的结点数＝度为2的节点数 + 1
证明： 设 二叉树上结点总数 n = n0 + n1 + n2 又 二叉树上分支总数 b = n1 + 2n2
而 b = n-1 = n0 + n1 + n2 - 1 由此， n0 = n2 + 1
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思考
一2 的棵节树，点有，n…1…个，度n为m个1度的为节m点的，节n点2个。度有为 多少个叶节点？
叶节点=1+n2+2n3+…+(m-1)nm
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思考
总结点数 n = n0 + n1 + n2 + … + nm
总分支数 e = n-1 = n0 + n1 + n2 + … + nm - 1
树根
T1
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T2
T3
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树的表示
在画一棵树时，每个元素都代表一 个节点。树根在上面，其子树画在 下面。
在树根与其子树的根（如果有子树） 之间有一条边。同样的，每一棵子 树也是根在上，其子树在下。
在一棵树中，边连结一个元素及其 子节点。
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树的相关概念
1. 节点 2. 叶子节点 3. 子节点 4. 父节点 5. 级 6. 元素的度 7. 树的度 8. 树的深度
3. 在二叉树中每个元素的子树都是 有序的，也就是说，可以用左、右 子树来区别。而树的子树间是无序 的。
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树和二叉树
T
T
T1 T2 T3
T2 T1 T3 树
○
T
T
T
TL
TR TL
T
二叉树
TR
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问题
二叉树等价于度为2的树？
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满二叉树
当高度为h 的二叉树恰好有2h - 1个元
Chapter8 Binary and Other Trees
1. 树(Trees ) 2. 二叉树(Binary Trees) 3. 二 叉 树 的 特 性 (Properties of Binary
Trees) 4. 二 叉 树 描 述 (Representation of Binary
Trees) 5. 二 叉 树 常 用 操 作 (Common Binary Tree
树的高度(depth)
树的度(degree)
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概念定义
1. 指定树根的级为1，其孩子（如果 有）的级为2，孩子的孩子为3，等 等。
2. 元素的度是指其孩子的个数。叶节 点的度为0。
3. 树的度是其元素度的最大值。
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线性结构
第一个数据元素 (无前驱)
最后一个数据元素 (无后继)
素时，称其为满二叉树。 在树深度不变的情况下，具有最大可能
节点数的二叉树。所有叶节点都在最 底层，除叶节点外，每个节点的度均 为2。
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满二叉树
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完全二叉树
深度为k具有n个节点的二叉树是一颗完 全二叉树，当且仅当它与k层满二叉树 前1 ~ n个节点所构成的二叉树结构相 同。
Operations) 6. 二叉树遍历(Binary Tree Traversal)
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本章重点
1. 树的概念，相关概念 2. 二叉树描述及实现 3. 二叉树特性 4. 二叉树遍历
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祖先-后代
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上级-下属
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8.1树的定义
定义 树t是一个非空的有限元素的 集合，其中一个元素为根（root）， 余下的元素（如果有的话）组成t 的子树（subtree）。
递归定义。
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例如:
A
B
C
D
E
F GH I J
K
L
M
A( B(E, F(K, L)), C(G), D(H, I, J(M)) )