IEEE 754关于浮点数的规定
754标准
754标准
754标准是指IEEE 754标准，它是一种二进制浮点数算术标准。
该标准规定了表示浮点数和执行浮点数计算的方法。
该标准具有高度可移植性，因为它定义了浮点数运算的结果应为数值上最接近实际值的有效数字（即规约与舍入）。
该标准由IEEE（美国电气和电子工程师协会）制定，第一次正式发布于1985年。
它定义了两种浮点数格式：单精度浮点数和双精度浮点数。
单精度浮点数有32位，双精度浮点数有64位。
在编程中使用IEEE 754标准可以提高浮点数计算的精度和可靠性。
IEEE 754标准还定义了浮点数的四种取舍规则：向最近的偶数，向最近的零，向正无穷大取整和向负无穷大取整。
这些规则分别表示对浮点数舍入时的处理方式，以便提高浮点数计算的准确性。
除此之外，IEEE 754标准还定义了特殊值，如无穷大、NaN （Not a Number）和零。
这些特殊值为处理非法或不适当的浮点数值提供了灵活的解决方案。
例如，NaN可以表示无效的浮点数计算结果，而无穷大可以表示除以零或溢出等错误。
总的来说，IEEE 754标准为浮点数计算提供了重要的规范和指导，确保了在不同的计算机系统上生成的结果一致性和可靠性。
IEEE754标准浮点数的表示
从二进制到浮点数的计算公式F=1.M(二进制)在单精度时：V=(-1)^s*2^(E-127)*F在双精度时：V=(-1)^s*2^(E-1023)*FVB中的浮点数二进制化函数API：Public Declare Sub CopyMemory Lib "kernel32" Alias "RtlMoveMemory" (Destination As Any, Source As Any, ByVal Length As Long)函数：Public Function GetDoubleBinary(dd As Double) As StringDim b(0 To 7) As ByteDim s As StringCopyMemory b(0), dd, 8For j = 7 To 0 Step -1For i = 7 To 0 Step -1s = s & IIf((b(j) And (2 ^ i)) > 0, "1", "0")'以下添加分割符Select Case j * 8 + iCase 63s = s & "|"Case 52s = s & "|"End SelectNextNextGetDoubleBinary = sEnd FunctionPublic Function GetSingleBinary(ss As Single) As StringDim b(0 To 3) As ByteDim s As StringCopyMemory b(0), ss, 4For j = 3 To 0 Step -1For i = 7 To 0 Step -1s = s & IIf((b(j) And (2 ^ i)) > 0, "1", "0")'以下添加分割符Select Case j * 8 + iCase 31s = s & "|"Case 23s = s & "|"End SelectNextNextGetSingleBinary = sEnd Function什么是IEEE 754标准目前支持二进制浮点数的硬件和软件文档中，几乎都声称其浮点数实现符合IEEE 754标准。
IEEE 745浮点数标准
IEEE 745浮点数标准解读IEEE标准754：浮点数表示如须转载请注明作者为Lolita@，并请保持文章的完整和提供转载出处。
N的实际值n由下列式子表示：其中：★ n,s,e,m分别为N,S,E,M对应的实际数值,而N,S,E,M仅仅是一串二进制位。
★ S(sign)表示N的符号位。
对应值s满足：n>0时，s=0; n<0时，s=1。
★ E(exponent)表示N的指数位，位于S和M之间的若干位。
对应值e值也可正可负。
★ M(mantissa)表示N的尾数位，恰好，它位于N末尾。
M也叫有效数字位（sinificand）、系数位（coefficient）, 甚至被称作“小数”。
三、浮点数格式IEEE标准754规定了三种浮点数格式：单精度、双精度、扩展精度。
前两者正好对应C语言里头的float、double或者FORTRAN里头的real、double精度类型。
限于篇幅，本文仅介绍单精度、双精度浮点格式。
★ 单精度:N共32位，其中S占1位，E占8位，M占23位。
★ 双精度:N共64位，其中S占1位，E占11位，M占52位。
上图中，|E|表示E的二进制序列表示的整数值,例如E为"10000100",则|E|=132,e=132-127=5 。
k则表示E的位数，对单精度来说，k=8,则bias=127，对双精度来说，k=11,则bias=1023。
此时m的计算公式如下图所示：标准规定此时小数点左侧的隐含位为1,那么m=|1.M|。
如M="101"，则|1.M|=|1.101|=1.625,即 m=1.6252、非规格化：当E的二进制位全部为0时，N为非规格化形式。
此时e，m 的计算都非常简单。
注意，此时小数点左侧的隐含位为0。
为什么e会等于(1-bias)而不是(-bias)，这主要是为规格化数值、非规格化数值之间的平滑过渡设计的。
后文我们还会继续讨论。
IEEE 754关于浮点数的规定解析
000C 405ED9999999999A Data4 DQ 123.4;定义双精度浮点数 0014 405ED9999999999A Data5 REAL8 123.4;定义双精度浮点数 001C 4005F6CCCCCCCCCCCCCD Data6 REAL10 123.4 ;定义扩展精度浮点数
255 255
任意
0 非0
规格化数
±无穷大 NaN
三、十进制数转换成浮点数的步骤 1、将十进制数转换成二进制数：整数部分用 2来除，小数部分用2来乘； 2、规格化二进制数：改变阶码，使小数点前 面仅有第一位有效数字； 3、计算阶码： 短型浮点数的阶码加上偏移量7FH 长型浮点数的阶码加上偏移量3FFH 扩展型浮点数的阶码加上偏移量3FFFH 4、以浮点数据格式存储。 把数值的符号位、阶码和尾数合在一起 就得到了该数的浮点存储形式。
例1 把十进制数100.25转换成协处理器中的 浮点数 解：1、进制转换： (100.25)10＝(1100100.01)2 2、规格化： (1100100.01)2＝1.10010001×26 ＝1.10010001×2110 3、计算阶码： 110+01111111＝10000101 4、数值的符号位为：0， 阶码为：10000101， 尾数为： 1001 0001 0000 0000 0000 000
对上溢用无穷大表示=无穷大 任何有限数÷无穷大=0 无穷大÷无穷大=NaN NaN(Not A Number)
。 这样IEEE754有5种类型浮点数据,如下表:
S
0/1 0/1
E
0 0
M
0 非0
意义
±0 非规格化数
0/1
0/1 0/1
1~254
ieee标准浮点数
ieee标准浮点数
IEEE标准浮点数是一种用于表示和执行浮点数运算的计算机标准。
IEEE标准浮点数采用了IEEE 754标准，该标准定义了浮点数
的表示形式、运算规则和异常处理等方面的规范。
IEEE 754标准定义了两种浮点数格式，单精度浮点数和双精度
浮点数。
单精度浮点数使用32位来表示一个浮点数，其中1位用于
表示符号位，8位用于表示指数部分，23位用于表示尾数部分。
双
精度浮点数使用64位来表示一个浮点数，其中1位用于表示符号位，11位用于表示指数部分，52位用于表示尾数部分。
IEEE标准浮点数的表示形式包括正负零、正无穷大、负无穷大
和NaN（非数值）。
正负零表示正数和负数的零，正无穷大表示一
个超过浮点数范围的正无穷大值，负无穷大表示一个超过浮点数范
围的负无穷大值，NaN表示一个无法表示的或者未定义的值。
IEEE标准浮点数的运算规则包括加法、减法、乘法和除法等基
本运算，以及取反、开方和取整等附加运算。
这些运算规则考虑了
浮点数的精度、溢出、舍入和异常处理等情况，以确保浮点数运算
的准确性和可靠性。
在使用IEEE标准浮点数时，需要注意浮点数的精度损失和舍入误差。
由于浮点数的表示形式是有限的，因此在进行浮点数运算时可能会出现精度损失。
此外，由于浮点数的运算结果需要舍入到最接近的可表示值，因此可能会出现舍入误差。
总结来说，IEEE标准浮点数是一种用于表示和执行浮点数运算的计算机标准，它定义了浮点数的表示形式、运算规则和异常处理等方面的规范。
使用IEEE标准浮点数时需要注意精度损失和舍入误差。
ieee754浮点表示法
ieee754浮点表示法IEEE 754浮点表示法是一种用于计算机中浮点数表示和计算的标准。
它定义了浮点数的表示格式、舍入规则和算术操作，确保了在不同平台上的数值计算的一致性和可移植性。
IEEE 754浮点表示法使用科学计数法来表示浮点数。
它将一个浮点数分为三部分：符号位、指数位和尾数位。
其中，符号位表示数值的正负，指数位表示数值的大小，尾数位表示数值的精度。
在IEEE 754浮点表示法中，一个浮点数的二进制表示为：(-1)^s * M * 2^E，其中s表示符号位，M表示尾数位，E表示指数位。
符号位用于表示数值的正负。
当符号位为0时，表示数值为正；当符号位为1时，表示数值为负。
尾数位用于表示数值的精度。
它是一个二进制小数，由多个二进制位组成。
尾数位的长度取决于浮点数的精度要求。
例如，单精度浮点数使用23位的尾数位，双精度浮点数使用52位的尾数位。
指数位用于表示数值的大小。
它是一个整数，由多个二进制位组成。
指数位的长度取决于浮点数的范围要求。
例如，单精度浮点数使用8位的指数位，双精度浮点数使用11位的指数位。
在IEEE 754浮点表示法中，指数位和尾数位都采用了偏移码的表示方式。
偏移码是通过将真实值加上一个偏移量来表示的。
对于单精度浮点数，偏移量为127；对于双精度浮点数，偏移量为1023。
这样做的目的是为了方便计算机进行浮点数的比较和计算。
使用IEEE 754浮点表示法可以表示各种大小和精度的浮点数。
例如，单精度浮点数可以表示的最小正数为2^-126，最大正数为(2-2^-23) * 2^127；双精度浮点数可以表示的最小正数为2^-1022，最大正数为(2-2^-52) * 2^1023。
在进行浮点数的计算时，IEEE 754浮点表示法定义了一系列的舍入规则。
舍入规则用于确定浮点数计算结果的精度和舍入方式。
常见的舍入规则包括向上舍入、向下舍入、向零舍入和最近舍入。
不同的舍入规则适用于不同的计算场景，可以根据需要选择合适的舍入规则。
ieee754中浮点数的表示范围
ieee754中浮点数的表示范围
IEEE 754浮点数标准定义了多种浮点数格式，每种格式的表示范围略有不同。
以下为IEEE 754标准中三种常见的浮点数格式的表示范围：
单精度浮点数（32位）的表示范围为：
- 最大正数：约3.4 x 10^38
- 最小正数：约1.4 x 10^-45
- 最大负数：约-3.4 x 10^38
- 最小负数：约-1.4 x 10^-45
双精度浮点数（64位）的表示范围为：
- 最大正数：约1.8 x 10^308
- 最小正数：约4.9 x 10^-324
- 最大负数：约-1.8 x 10^308
- 最小负数：约-4.9 x 10^-324
扩展精度浮点数（80位）的表示范围为：
- 最大正数：约1.2 x 10^4932
- 最小正数：约4.9 x 10^-4966
- 最大负数：约-1.2 x 10^4932
- 最小负数：约-4.9 x 10^-4966
需要注意的是，由于浮点数的表示采用了有限的位数，浮点数的范围总是有限的，而不是无限的。
在表示范围之外的数值将被截断或舍入为特殊的值，如正无穷大、负无穷大或NaN （非数值）。
ieee754标准32位浮点数
ieee754标准32位浮点数
IEEE 754标准定义的32位浮点数，通常称为单精度浮点数，其结构如下：
符号位（Sign bit）: 占用1位，位于最左边。
用于表示数值的正负，0代表正数，1代表负数。
指数位（Exponent）: 占用8位，用于表示数值的指数部分。
这8位按照偏移量（bias）计算实际的指数值。
对于32位浮点数，偏移量是127。
也就是说，存储的指数值等于实际指数加上127。
尾数位（Mantissa）或有效数字位（Fraction）: 占用剩下的23位。
这部分用于表示数值的有效数字。
在标准化的浮点数表示中，有效数字的最高位总是1，因此在存储时通常省略这一位，以提高精度。
例如，一个32位浮点数的二进制表示为11000001010100000000000000000000，可以这样解析：
符号位：1（表示负数）
指数位：10000010（表示130，实际指数为130 - 127 = 3）
尾数位：10100000000000000000000（表示有效数字1.101）
因此，该浮点数的值为-1.101 \times 2^3，转换为十进制为-1.625 \times 8 = -13.0。
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习题: 1.将下列十进制数用16进制IEEE 754 单精 度代码表示 (1) –35 (2) 3.75 (3) 5 2.将下列16进制IEEE 754 单精度代码转换成 十进制数 (1) 41F00000 (2) BF600000 (3) 3F800000
根据IEEE 754标准,符号位也是“0”代 表正数;“1”代表负数. 阶码用移码表示，尾数规格化形式,但格 式如下:1.XXX…X。由于最高位总是1,因此省 略,称隐藏位(临时实数则不隐藏). 尾数比规格化表示大一倍,而阶码部分则 比一般小1,即[E]移=2n+E-1=127+E 这样,尾数与通常意义的尾数的含义不一 致,为了区别,754 中的尾数称为有效数.
在定义浮点数时，要使用伪指 令.8087、.287或.387等。 例如： .387 0000 3F9DF3B6 Data1 DD 1.234 ;定义单精度浮点数 0004 C1BB3333 Data2 DD –23.4 0008 43D20000 Data3 REAL4 4.2E2 ;定义单精度浮点数
四、浮点数转换成十进制数的步骤
该步骤与前面“十进制数转换成浮点数” 的步骤是互逆的，其具体步骤如下： 1、分割数字的符号、阶码和有效数字； 2、将偏移阶码减去偏移，得到真正的阶码； 3、把数字写成规格化的二进制数形式； 4、把规格化的二进制数改变成非规格化的 二进制数； 5、把非规格化的二进制数转换成十进制数。
IEEE 754 关于浮点数的规定 在计算机中，浮点数一般由三部分组成： 数值的符号位、阶码和尾数。 这种浮点数是用科学记数法来表示的， 即： 浮点数＝符号位.尾数×2阶码。
根据IEEE 754国际标准，常用的浮点数有两 种格式： (1) 单精度浮点数(32位)，阶码8位，尾数24 位(内含1位符号位)。 (2) 双精度浮点数(64位)，阶码11位，尾数53 位(内含1位符号位)。 (3) 临时浮点数(80位)，阶码15位，尾数65位 (内含1位符号位)。
例1 把十进制数100.25转换成协处理器中的 浮点数 解：1、进制转换： (100.25)10＝(1100100.01)2 2、规格化： (1100100.01)2＝1.10010001×26 ＝1.10010001×2110 3、计算阶码： 110+01111111＝10000101 4、数值的符号位为：0， 阶码为：10000101， 尾数为： 1001 0001 0000 0000 0000 000
000C 405ED9999999999A Data4 DQ 123.4;定义双精度浮点数 0014 405ED9999999999A Data5 REAL8 123.4;定义双精度浮点数 001C 4005F6CCCCCCCCCCCCCD Data6 REAL10 123.4 ;定义扩展精度浮点数
4、该浮点数的非规格化形式： 11001.001 5、该浮点数的十进制数为-25.125 (因为符 号位为1，所以，该数是负数)
五、浮点数说明形式 在汇编语言中，可用DD、DQ和DT来分 别说明单精度、双精度和扩展精度的浮点数。 在MASM 6.11系统提供了新的浮点数说 明方法。 即：可用REAL4、REAL8和REAL10来分别 代替DD、DQ和Dຫໍສະໝຸດ 。255 255任意
0 非0
规格化数
±无穷大 NaN
三、十进制数转换成浮点数的步骤 1、将十进制数转换成二进制数：整数部分用 2来除，小数部分用2来乘； 2、规格化二进制数：改变阶码，使小数点前 面仅有第一位有效数字； 3、计算阶码： 短型浮点数的阶码加上偏移量7FH 长型浮点数的阶码加上偏移量3FFH 扩展型浮点数的阶码加上偏移量3FFFH 4、以浮点数据格式存储。 把数值的符号位、阶码和尾数合在一起 就得到了该数的浮点存储形式。
一、 IEEE754对阶码作如下规定
偏移阶码E 0 1 2 … 127 128 129 … 254 255 实际阶码值 保留做操作数 -126 -125 0 1 2 127 保留做操作数
二、对上溢和下溢的处理 当运算结果小于规格化浮点数所能表示的 最小值时，以前硬件处理策略，或者结果置0 或者产生一个下溢陷阱，这两种方案均不能 令人满意。 IEEE754处理方法是使用非规格化数。 这时阶码为0（即移码-127），尾数没有隐含 位，最高位是0。 这样的结果是降低精度，扩大表示范围。 如原来规格化单精度最小值是1.0x2-126,而非 规格化单精度最小值是2-23 x2-126=2-149(只有1 位有效位) 。2010年10月11日星期一
对上溢用无穷大表示,同时规定: 无穷大+任何数=无穷大 任何有限数÷0=无穷大 任何有限数÷无穷大=0 无穷大÷无穷大=NaN NaN(Not A Number)
。 这样IEEE754有5种类型浮点数据,如下表:
S
0/1 0/1
E
0 0
M
0 非0
意义
±0 非规格化数
0/1
0/1 0/1
1~254
例11.2 把浮点数 1100000111001001000000000000转换成十 进制数。 解： 1、把浮点数 1100000111001001000000000000 分割成三部分，可得： 符号位是1， 阶码 是10000011， 尾数 是1001001000000000000
2、还原阶码： 10000011 – 01111111＝100 3、该浮点数的规格化形式： 1.1001001×24 (其中前面的“1.”从隐含位而来)
综合上述可得： (100.25)10的浮点形式为： 0 10000101 10010001000000000000000
几个特殊数据的存储规则：
正0: 所有的数据位都是0； 负0: 最高位为1，其它的数据位是0； 正/负无穷: 符号位为0/1，阶码位全为1， 有效数字全为0；
NAN: 非法的浮点数，阶码位全为1，有效 数字不全为0； 其中：NAN — Not-A-Number。