基于梯度的多元函数牛莱公式

４ 小结 通 过 上 面 的 研 究 分 析 ，我 们 可 以 总 结 以 下 几 点 ： （１） 根据 多道 相关 理 论 制 作 的 三 维 相 干 数 据 体 用 于 三 维 地 震 资 料 解 释 是 可 行 的 、有 效 的 。 （２）相干 体处 理分 析 技术 非常 实 用，解 决 断 层 及 特 殊 地 质 体边界等问题效果明显 ［８］。且相干分析技术可以贯穿于整个勘 探和开发过程中，它是高级解释人员要必须掌握的基本技术 之一。 （３）相干 体技 术前 提 下的 全三 维 解释 思路 ，在 相 干 体 上 解 释断层，层位 解释 以自 动 追踪 为主 ，可 以大 大提 高 解释 工作 效 率和成果精度，无形中从多方面节约勘探成本 ［９］。 （４）与其 他地 球物 理 方法 一样 ，相 干处 理 也 有 一 定 的 适 用 条件，其处理 效果 的主 要 决定 因素 是 资料 的品 质 状况 ，其应 用 效果主要取决于相干成果与其他方面的联合研究程度。 （５）相 干 体 是 通 过 固 定 的 算 法 对 三 维 地 震 数 据 体 进 行 计 算 的 结 果 ，避 免 了 主 观 因 素 造 成 的 误 差 ，不 但 反 映 断 层 细 节 ， 而 且 从三维立体多视角反映构造及地层的地震响应特征。
∴ｄｕ （ｘ，ｙ）＝Ｒ （ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｑ （ｘ，ｙ）ｄｙ＝ ｛Ｒ（ψ（ｔ），φ（ｔ））ψ＇（ｔ）＋Ｑ（ψ（ｔ），φ（ｔ））
φ＇（ｔ）｝ｄｔ
乙 乙β
∴

Ｒ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｑ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝
Ｌ
ｄｕ （ ψ（ｔ），φ（ｔ））＝ｕ （ ψ（ｔ），φ（ｔ））
α
β α
又 ｕ（ｘ，ｙ）在平面区域 Ｇ 内具有一阶连续偏导数
到 Ｂ（π，π２）的一段弧。 解 令 ｕ＝－ｙｃｏｓｘ 则 ｇｒａｄ ｕ（ｘ，ｙ）＝（ｙｓｉｎｘ，－ｃｏｓｘ），由定理 １ 得，
2
原 式 ＝ｕ ( π，π ) ＝π２ （0 ，0）
定理可以推广到 ｎ 元函数的形式
圻圻
定理 ２ 设 ｙ＝ｆ（ ｘ ），ｘ ＝ （ｘ１，ｘ２， … ，ｘｎ）定 义 在 区 域 Ｇ 内 的 ｎ 元
（上接第 ４４７ 页） 进，主要表现在： （１）相 干 体 技 术 与 频 谱 分 解 技 术 的 联 合 应 用 提 高 了 地 质 目
标 体的 分 辨 率 。（２）宋 维 琪 ［７］在 本 征 值 结 构 的 基 础 上 ，提 出 了 地震多矢量属性相干数据体的计算方法，该算法在属性提取 方 面 ，既 考 虑 了 方 位 ，又 考 虑 了 倾 向 ，即 计 算 地 震 矢 量 属 性 。 （３）相 干技 术的 应 用向 叠前 方 向延 伸。Ａｌ－Ｄｏｓｓａｒｙ 等 提 出了 一 种相干体的新算法等等。
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基于梯度的多元函数牛莱公式
塔里木大学信息工程学院 晁增福 塔里木大学水利与建筑工程学院 邢小宁
［摘 要］从 梯 度 的 概 念 出 发 将 牛 莱 公 式 推 广 到 了 多 元 函 数 中 ， 给 出 了 二 元 函 数 下 的 牛 莱 公 式 和 n 元 函 数 下 的 牛 莱 公式，并分别举例说明了其应用。 ［关键词］牛 莱 公 式 微 积 分 基 本 公 式 梯 度 曲 线 积 分
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参考文献 [1]佘 德 平 ，曹 辉.相 干 数 据 体 及 其 在 三 维 地 震 解 释 中 的 应 用 . 石 油 物 探 ，1998，37(12) [2]BAHOR ICH M ，FAR MER S. 3- Dseismie diseontinuiy for faults and stratigrpahic featuers: The coherence cubs.The Leading Edge, 1995,14(10):1053- 1055 [3]KUR T J.MAR FUR T R .LYNN Kirlin,et al.3- Dseismic attributes using a Semblnace- based eohereney algorithm. Geophysics, 1998, 63(4):1150- 1165 [4]KUTR J, MAR FUR T V, SUDHAKAR ，et al.Cohereney caleulations in the Presence of Sturctural dip. Geophysics, 1999, 64 (l):104- 111 [5]KAZAKHSTAN ,et al. 3- D seismic interpretation using the coherence cube: An example from the south Embra Precaspian basin[J].The Leading Edge, 1997,16(6):907- 909 [6]张 振 波. 利 用 相 干 分 析 技 术 判 断 断 层 和 底 层 特 征 . 中 国 海 上 油 气（ 地 质） ，1999 ， 第 13 卷 ， 第 3 期 [7]宋 维 琪 ，刘 江 华.地 震 多 矢 量 属 性 相 干 数 据 体 计 算 及 应 用 [J]. 物 理 与 化 探 ，2003，27（ 2） ：128- 130 [8]张 延 章,韩 品 龙,池 永 红,牟 智 全,何 滨 ,刘 国 权 .地 震 相 干 技 术 的 应 用 及 效 果 分 析 . 中 国 海 上 油 气 ，2003 ，17(3) [9]侯 伯 刚 , 王 伟 , 于 滨 等 . 地 震 相 干 体 技 术 简 介 及 其 应 用 [J]. 现 代 地 质 ,1999,13(1):121~124
定理 １ 设 Ｇ 是一单连通区域，如 果 对 任 一 Ｐ（ｘ，ｙ） ∈Ｇ，都
乙 圻
圻
有 ｇｒａｄ ｕ（ｘ，ｙ）＝Ｒ（ｘ，ｙ）ｉ ＋Ｑ（ｘ，ｙ）ｊ ，则 Ｒ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｑ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝ｕ（Ｐ１）－ｕ（Ｐ２）。
Ｌ
其 中 Ｌ 为 区 域 Ｇ 内 的 任 意 一 条 分 段 光 滑 的 曲 线 ，Ｐ１、Ｐ２ 分
∴ 鄣2u 鄣x鄣y
= 鄣2u 鄣y鄣x
，即
鄣R 鄣y
=
鄣Q 鄣x
乙 ∴ 曲线积分 Ｒ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｑ（ｘ，ｙ）ｄｙ 与路径无关 Ｌ
乙 ∴ Ｌ Ｒ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｑ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝ｕ（Ｐ１）－ｕ（Ｐ２）。
乙 例 １ 计算 ｙｓｉｎｘｄｘ－ｃｏｓｘｄｙ，其中 Ｌ 为抛物线 ｙ＝ｘ２ 上从 Ａ（０，０） Ｌ
的曲线积分和一元微积分学中的定积分联系了起来，便于理 解；另一方面也对一类特殊的曲线积分提供了简便有效的计 算 方 法 ，有 利 于 其 应 用 。
参考文献 [1] 孙 兵 . 微 积 分 基 本 公 式 的 微 分 法 证 明 [J]. 沈 阳 电 力 高 等 专 科 学 校 学 报 ，2004.3 ：76～77. [2] 同 济 大 学 应 用 数 学 系 . 高 等 数 学（ 第 五 版）（ 下） [M ]. 北 京 ： 高 等 教 育 出 版 社 ，2002 ：48．
圻
圻
＝ｆｘ（ｘ，ｙ）ｉ ＋ｆｙ（ｘ，ｙ）ｊ ［２］。
类似的可以给出 ｎ 元函数梯度的概念：
圻圻
设函数 ｙ＝ｆ（ ｘ ），ｘ ＝（ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ）在区域 Ｇ 内具有一阶连续偏
圻
圻
圻
导数，则对于每任意 ｘ ∈Ｇ，都可以定义梯度为 ｇｒａｄ ｆ（ ｘ ）＝（ｆｘ１ （ ｘ ），
圻
圻
ｆｘ２ （ｘ ），…，ｆｘｎ （ｘ ））
别为曲线 Ｌ 的起点和终点；
证 不妨设曲线 Ｌ 的参数方程为 ｙ＝φ（ｔ），ｘ＝ψ（ｔ），(α≤t≤β)，
则
乙 乙β Ｒ（ｘ，ｙ）ｄｘ＋Ｑ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝ ｛Ｒ（ψ（ｔ），φ（ｔ））ψ＇（ｔ）＋Ｑ（ψ（ｔ），φ（ｔ））φ＇（ｔ）｝ｄｔ
Ｌ
α
圻
圻
又 ｇｒａｄ ｕ（ｘ，ｙ）＝Ｒ（ｘ，ｙ）ｉ ＋Ｑ（ｘ，ｙ）ｊ
乙 例 ２ 计 算 ２ｘｙｄｘ＋ｘ２ｄｙ＋２ｚｄｚ， 其 中 Ｌ 的 参 数 方 程 为 Ｌ
ｘ＝ｃｏｓｔ ， ｙ＝ｓｉｎｔ ， ｚ＝ｔ ，（ ０ ≤ｔ ≤π ) 。 解 令 ｕ＝ｘ２ｙ＋ｚ２，则 ｇｒａｄ ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）＝（２ｘｙ，ｘ２，２ｚ），由定理 ２ 得， 原式 ＝ｕ（－１，０，π）－ｕ（１，０，０）＝π２ 基 于 梯 度 的 多 元 函 数 牛 莱 公 式 ，一 方 面 将 多 元 微 积 分 学 中
牛莱公式即微积分基本公式，该公式将定积分的计算化
为求原函数的 增量 ，给 出了 计算 定 积分 的简 便 有效 的方 法 ，使
定积分这一重要的数学概念实现了从理论阶段到实践阶段的
跨越，在各 领 域得 到广 泛 的应 用。同 时 ，这一 公式 还 揭示 了不 定 积 分 与 定 积 分 的 内 在 联 系 ，因 此 被 誉 为 微 积 分 基 本 公 式 ［１］。
笔者从梯度的概念出发，将牛莱公式推广到了多元函数中 。
以二元函数为例，设函数 ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域 Ｇ 内具有一阶连
圻
圻
续偏导数，则对于任意（ｘ，ｙ）∈Ｇ，都可以定义向量 ｆｘ（ｘ，ｙ）ｉ ＋ｆｙ（ｘ，ｙ）ｊ ，
称这个向量为 ｆ（ｘ，ｙ）在（ｘ，ｙ）的梯度，记为 ｇｒａｄ ｆ（ｘ，ｙ），即 ｇｒａｄ ｆ（ｘ，ｙ）
圻
圻
函数，且对任一 ｘ ∈Ｇ，都有 ｇｒａｄ ｆ（ ｘ ）＝（Ｐ１，Ｐ２，…，Ｐｎ），则
ｎ
ｎ
乙 乙Σ Σ 乙 Ｐ１ｄｘ１＋Ｐ２ｄｘ２＋…＋Ｐｎｄｘｎ＝
Ｐｉｄｘｉ＝
圻
圻
Ｐｉｄｘｉ＝ｆ（ｘ２ ）－ｆ（ｘ１ ）
Ｌ
Ｌ ｉ＝１
ｉ＝１ Ｌ
圻圻
其 中 Ｌ 为 区 域 Ｇ 内 的 任 意 一 条 分 段 光 滑 的 曲 线 ，ｘ１ 、ｘ２ 分 别为曲线 Ｌ 的起点和终点；