s平面和z平面之间的映射
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南京邮电大学考研数字信号处理2003-2008年真题
1 N 1 k nk (n) H (WN 试证： y ) X ( k )WN N k 0
五、设计题（共 36 分）
(n) 的 DFS） (k ) 是 x （其中 X
1、 （10 分） 已知模拟低通滤波器的传递函数为 Ha(s)
3 试 (s 1)(s 3)
x n
e j0n ,0 n N 1
0
其他
（a）求 x n 的傅立叶变换 X (e j ) 。 （b）求有限长序列 x n 的 N 点 DFT X (k ) 。
2
（c）对于 0 2 k0 / N ，其中 k0 为整数的情况，求 x n 的 DFT。 2、 （10 分）已知序列 a n 为 1, 2,2,2 ，序列 b n 为 2,1, 2 。 （1）求线性卷积 a n b n ； （2）若用基 2FFT 的循环卷积法（快速卷积）来得到两序列的线性卷积 。 运算结果，请写出计算步骤（需注明 FFT 点数） 3、 （10 分）如图 3（a）表示一个 6 点离散时间序列 x(n) 。假设在图示区 间外 x(n) 0 。令 X (e j ) 表示 x(n) 的 DTFT， X 1 k 表示 X (e j ) 在每隔 / 2 处 的样本， 即 X 1 k X (e j ) | ( /2) k 0 k 3 由 X 1 k 的 4 点 IDFT 得到的 4 点 序列 x1 n 如图 3（b）所示，根据此信息，是否能够唯一确定 数值？如 果可以，求出 值。
二选择题每题2分共10tcos5t下信号分别为yt都没有失真2已知正弦序列xnsin165n则该序列a是周期序列周期为58b是周期序列周期为c不是周期序列3一个fir数字滤波器其实现结构为a递归结构b非递归结构c递归或非递归结构4已知系统的单位脉冲响应为hnu3n则该系统为a非因果不稳定b非因果稳定c因果不稳定5已知系统输入输出关系为yn2xn5则系统为a线性时不变系统b非线性时不变系统c非线性时变系统三画图题每题10分共201画出n6按时间抽取dit的fft分解流图要求
s平面和z平面之间的映射
在信号处理中的应用
信号的频域分析
将信号的拉普拉斯变换结果映射 到s平面上，可以分析信号的频谱 特性，如频率成分和幅度谱等。
信号的滤波和调制
在s平面上，可以通过对信号的传 递函数进行处理，实现信号的滤 波和调制功能，以满足信号处理 的要求。
信号的稳定性分析
通过将信号的传递函数映射到s平 面上，可以分析信号的稳定性， 判断信号是否具有实数极点或复 数极点，以及极点的位置。
05
CATALOGUE
s平面和z平面的特性比较
动态特性比较
动态范围
s平面的动态范围更大，能够更好地表示信号的瞬态 行为。
频率响应
s平面的频率响应更接近原始信号，能够更好地保留 信号的细节。
相位响应
s平面的相位响应更接近原始信号，能够更好地保留 信号的时域特性。
稳定性比较
稳定性分析
s平面的稳定性分析更为复杂，需要考虑更多的 因素。
映射关系
s平面和z平面之间存在一种映射关系，可以通过变换公式将s平面的点映射到z 平面上。
连续与离散的转换
s平面和z平面分别代表连续时间和离散时间系统，它们之间的映射关系实现了 连续时间系统和离散时间系统之间的转换。
02
CATALOGUE
s平面到z平面的映射
映射方法
01
线性变换法
通过线性变换将s平面的点映射 到z平面的点，通常使用矩阵或 线性方程组进行计算。
s平面和z平面之间 的映射
contents
目录
• s平面和z平面的基本概念 • s平面到z平面的映射 • z平面到s平面的映射 • s平面和z平面的应用 • s平面和z平面的特性比较
01
CATALOGUE
信号处理与其应用习题3
《信号处理及其应用》习题3一、 填空题1. 实偶序列的DFT 是 。
2. 已知一个长度为N 的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X （e jw ），它的N 点离散傅立叶变换X （K ）是关于X （e jw ）的N 点 采样。
3. 已知一个滤波器的119.011)(--+-=zz z H , 可判断滤波器的类型为 滤波器(低通、高通、带通、带阻等)。
4. IIR 数字滤波器的结构有直接I 型、直接II 型、级联型和 等多种结构。
5. 在数字信号处理中通常定义的数字频率ω是归一化频率，归一化因子为 。
6. 用窗函数法设计FIR 数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较 。
7. 某序列Z 变换的收敛域为|z|>3，则该序列为 。
二、 单项选择题1. 一离散系统，当其输入为x(n)时，输出为y(n)=3x(n-2)+3x(n+2)，则该系统是（ ）。
A 、因果、非线性系统B 、因果、线性系统C 、非因果、线性系统D 、非因果、非线性系统2.若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特采样定理，则只要将抽样信号通过（）即可完全不失真恢复原信号。
A、理想低通滤波器B、理想高通滤波器C、理想带通滤波器D、理想带阻滤波器3.下列各种滤波器的结构中哪种不是FIR滤波器的基本结构？（）A、直接型B、级联型C、并联型D、频率抽样型4.对5点有限长序列［1 3 0 5 2］进行向左2点循环移位后得到序列（）。
A、［1 3 0 5 2］B、［5 2 1 3 0］C、［0 5 2 1 3］D、［0 0 1 3 0］5.下列关于因果稳定系统说法错误的是（）。
A、极点可以在单位圆外B、系统函数的z变换收敛区间包括单位圆C、因果稳定系统的单位抽样响应为因果序列D、系统函数的z变换收敛区间包括z=∞6.通常DFT计算频谱只限制在离散点上的频谱，这种现象称为（）。
A、栅栏效应B、吉布斯效应C、泄漏效应D、奈奎斯特效应7.若一线性移不变系统当输入为x(n)=δ(n)时输出为y(n)=R3(n)，则当输入为u(n)-u(n-2)时输出为（）。
计算机控制系统分析之S平面与z平面的映射关系(pdf 81页)
1，稳定性分析； 2，稳态性能，主要指稳态误差； 3，动态性能，指系统的上升时间、延迟时
间、峰值时间、超调量、调节时间。
z平面内闭环系统稳定性分析
• 3.1 z平面内闭环系统稳定性分析
• 考虑下面线性时不变离散时间控制系统的闭环脉冲传递 函数：
C(z) = G(z) R(z) 1+ GH (z)
• 离散系统的稳定性可由
朱利稳定判据--——避免直接解根，由D(z)判定系统稳定性。 设闭环系统特征根为：
列朱利矩阵：
D(z) = a0 + a1z + a2z2 +L+ anzn (an > 0)
行数 1 2 3
z0
z1
z2
L
z n− j L
L
z n −1
zn
a0
a1
a2
L
an− j L
L
a n −1
an
an
a n −1
稳定性中，如果将Z平面再复原到S平面，则系统方程中又
将出现超越函数。
•
•
所以我们想法再寻找一种新的变换，使Z平面的单位
圆内映射到一个新的平面的虚轴之左。此新的平面我们称
为W平面，在此平面上，我们就可直接应用劳斯稳定判据
了。
检验稳定性的方法
• 分析过程：
• 利到用w平双面线，性从变而换可z以= w利w +−用11 ，连将续系系统统的的特劳征斯方判程据由进z行平稳面定转换性
• 闭环零点不影响系统的绝对稳定性
计算机控制系统分析
对于高阶系统而言，求出全部的特征根的具体数 值是很困难的，所以我们可以通过特征方程的系 数来验证特征根的位置，由此简化了问题。
间、峰值时间、超调量、调节时间。
z平面内闭环系统稳定性分析
• 3.1 z平面内闭环系统稳定性分析
• 考虑下面线性时不变离散时间控制系统的闭环脉冲传递 函数：
C(z) = G(z) R(z) 1+ GH (z)
• 离散系统的稳定性可由
朱利稳定判据--——避免直接解根，由D(z)判定系统稳定性。 设闭环系统特征根为：
列朱利矩阵：
D(z) = a0 + a1z + a2z2 +L+ anzn (an > 0)
行数 1 2 3
z0
z1
z2
L
z n− j L
L
z n −1
zn
a0
a1
a2
L
an− j L
L
a n −1
an
an
a n −1
稳定性中，如果将Z平面再复原到S平面，则系统方程中又
将出现超越函数。
•
•
所以我们想法再寻找一种新的变换，使Z平面的单位
圆内映射到一个新的平面的虚轴之左。此新的平面我们称
为W平面，在此平面上，我们就可直接应用劳斯稳定判据
了。
检验稳定性的方法
• 分析过程：
• 利到用w平双面线，性从变而换可z以= w利w +−用11 ，连将续系系统统的的特劳征斯方判程据由进z行平稳面定转换性
• 闭环零点不影响系统的绝对稳定性
计算机控制系统分析
对于高阶系统而言，求出全部的特征根的具体数 值是很困难的，所以我们可以通过特征方程的系 数来验证特征根的位置，由此简化了问题。
双线性变换法
§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
上节介绍的冲激响应不变法是一种线性映射的 设计方法，其缺点是会产生频率响应的混叠失 真，这主要是因为从s平面到z平面的映射是多值 （多对一）的映射关系。双线性变换法就是从 克服混叠失真的角度出发，寻找从s平面到z平面 的单值映射关系。 其缩射是原的单s理1平值是面的先向，将z可s平平以面面很进进好行行的单压克值缩服映至频射s1率。平响由面应于，的这再混种将叠映压 失真，但值得注意的是，这种映射是非线性的
根据Ω和Ω1, ω的关系，由（5.21）式，及ω= Ω1T 的关系式可得到双线性变换法的模拟角频率Ω和 数字频率ω之间的变换关系为
c tan( )
2
(5.26)
它表示 是单值的一一对应的映射关系
关键频点的对应关系：
Ω
ω
∞
π
0
0
-∞
-π
12
§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
上述对应关系优点：有效避免了频谱混叠
于数字滤波器的低频特性
7
§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
2、选择c，使数字滤波器的某一特定频率
（如截止频率ωc=Ω1cT）与模拟滤波器的一 个特定频率Ωc=2fc严格对应，即
c
ctan( 1cT ) 2
ctan(c )
2
此时有
c
cctg
(c
2
)
这种选择的优点在于：在特定的模拟频率和特定 的数字频率处，有严格相等的频率响应，因而可 以较准确地控制截止频率的位置。
s
c
1 1
z z
1 1
c
1 1
e e
j j
j.c
tan(
)
2
上节介绍的冲激响应不变法是一种线性映射的 设计方法，其缺点是会产生频率响应的混叠失 真，这主要是因为从s平面到z平面的映射是多值 （多对一）的映射关系。双线性变换法就是从 克服混叠失真的角度出发，寻找从s平面到z平面 的单值映射关系。 其缩射是原的单s理1平值是面的先向，将z可s平平以面面很进进好行行的单压克值缩服映至频射s1率。平响由面应于，的这再混种将叠映压 失真，但值得注意的是，这种映射是非线性的
根据Ω和Ω1, ω的关系，由（5.21）式，及ω= Ω1T 的关系式可得到双线性变换法的模拟角频率Ω和 数字频率ω之间的变换关系为
c tan( )
2
(5.26)
它表示 是单值的一一对应的映射关系
关键频点的对应关系：
Ω
ω
∞
π
0
0
-∞
-π
12
§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
上述对应关系优点：有效避免了频谱混叠
于数字滤波器的低频特性
7
§ 5.4 双线性变换法（频域逼近法）
2、选择c，使数字滤波器的某一特定频率
（如截止频率ωc=Ω1cT）与模拟滤波器的一 个特定频率Ωc=2fc严格对应，即
c
ctan( 1cT ) 2
ctan(c )
2
此时有
c
cctg
(c
2
)
这种选择的优点在于：在特定的模拟频率和特定 的数字频率处，有严格相等的频率响应，因而可 以较准确地控制截止频率的位置。
s
c
1 1
z z
1 1
c
1 1
e e
j j
j.c
tan(
)
2
自动控制原理第7章2
连续系统的劳斯-赫尔维茨判据，是通过系统特征方程的系 数及其符号来判别系统的稳定性。这个判据实质是判断系统特征 方程的根是否都在s平面左半平面。但是在离散时间线性系统中 需要判断系统特征根是否都在z平面上的单位圆内。因此连续时 间线性系统的劳斯-赫尔维茨判据不能直接使用，必须寻找一个 新变量。
2020/12/3
上述变换关系的正确性证明如下： (a)在w平面的虚轴上，Re[w]=0，则有
w1 w1 即 z w1 1 w 1
2020/12/3
9
(b)w平面的左半平面，Re[w]<0，则有
w1 w1 即 z w1 1 w 1
(c)w平面的右半平面，Re[w]>0，则有
w1 w1 即
z w1 1 w 1
列出劳斯表，根据劳斯-赫尔维茨判据可以判定， 系统是稳定的。
2020/12/3
11
(4) z平面上的根轨迹 通常，离散时间系统的闭环特征方程为
1 G(z) 0
其中G(z)为开环脉冲传递函数。离散系统的闭环特征方程式在 形式上，与连续系统的完全相同，因此，z平面上的根轨迹作 图方法与s平面的作图方法相同。需注意：在连续时间系统中， 稳定边界是虚轴，而在离散系统中，稳定边界是单位圆。
根据pj在单位圆内的位置不同，所对应的瞬态分量的形式 也不同，如图7.30所示。只要闭环极点在单位圆内，则对应
的瞬态分量总是衰减的；极点越靠近原点，衰减越快。不过，
当极点为正时为指数衰减；极点为负或为共轭复数，对应为
振荡衰减。
Im
z平面
o
t
o
t
1
0
o
t
o
t
o
t
1 Re
不同闭环极点的瞬态分量
2020/12/3
上述变换关系的正确性证明如下： (a)在w平面的虚轴上，Re[w]=0，则有
w1 w1 即 z w1 1 w 1
2020/12/3
9
(b)w平面的左半平面，Re[w]<0，则有
w1 w1 即 z w1 1 w 1
(c)w平面的右半平面，Re[w]>0，则有
w1 w1 即
z w1 1 w 1
列出劳斯表，根据劳斯-赫尔维茨判据可以判定， 系统是稳定的。
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(4) z平面上的根轨迹 通常，离散时间系统的闭环特征方程为
1 G(z) 0
其中G(z)为开环脉冲传递函数。离散系统的闭环特征方程式在 形式上，与连续系统的完全相同，因此，z平面上的根轨迹作 图方法与s平面的作图方法相同。需注意：在连续时间系统中， 稳定边界是虚轴，而在离散系统中，稳定边界是单位圆。
根据pj在单位圆内的位置不同，所对应的瞬态分量的形式 也不同，如图7.30所示。只要闭环极点在单位圆内，则对应
的瞬态分量总是衰减的；极点越靠近原点，衰减越快。不过，
当极点为正时为指数衰减；极点为负或为共轭复数，对应为
振荡衰减。
Im
z平面
o
t
o
t
1
0
o
t
o
t
o
t
1 Re
不同闭环极点的瞬态分量
z变换与拉氏变换的关系
X
z
1
-
z
1
-1
e-aT
返回
例8-6-2
ω
已知正弦信号sin(0t)u(t)的拉式变换为 求抽样序列sin(0nT)u(nT)的z变换。
s2
0， ω02
解：已知 xt sinω0tut
X s
s2
ω0 ω02
显然X(s)的极点位于s1=j0, s2= -j0,其留数分别为
A1
-j 2
及A2
j 2
幅角: =T=2p
s
z平面 式中T是序列的时间间隔，重复频率s=2p/ T
s~z平面映射关系
这两个等式表明：z的模r仅对应于s的实部 ；
z的幅角仅对应于s的虚部 。
（1）s平面的原点
，== 00
z平面
r
=，= 10即z=1。
s平面(s= +j
j
原点
= 0, = 0)
o
z平面(z= rej
例如，阶跃信号u(t)在t=0点定义为1/2; 阶跃序列u(n)在点n=0定义为1。
注意跳变值
例8-6-1 例8-6-2
返回
注意跳变值
0
xˆ i
t
Ai 2
Ai e pit
t < 0 t 0 t > 0
0
xi
nT
Ai
Ai
e
pi nt
t < 0 t 0 t > 0
按抽样规律建立二者联系时必须在0点补足 Ai 2 ,即
平行于实轴 的直线
（k1,3...）
js/2 j
0
-js/2
z平面(z= rej
jImz 0 Rez
z平面与s平面的映射关系
0
xi
nT
Ai
Ai
e
pi nt
t 0 t 0 t 0
按 抽 样 规 律 建 立 二 者 联系 时 必 须 在0点 补 足Ai 2 ,即
xi
nT
un
xˆ i
t
ut
t
nT
xˆ i
t
ut
t
nT
Ai 2
当n 0
当n 0 注意跳变值
2
阶 跃 序 列un在 点n 0定 义 为1
若连续时间信号xˆ t 由N项指数信号相加组合而成
xˆ t xˆ1 t xˆ 2 t xˆ n t
N
N
xˆ i t Ai e pitut
i 1
i 1
容易求得，它的拉式变换为
N
Lxˆ t
Ai
i1 s pi
若序列xnT 由N项指数序列相加组合而成
xnT x1 nT x2 nT xN nT
N
N
xi nT Ai e pinT u nT
i 1
i 1
它 的z变 换 为
Z x nT
N i 1
Ai 1 e piT
z 1
借助模拟滤波器 设计数字滤波器
注意跳变值
0
xˆ i
t
Ai 2
Ai e pit
t 0 t 0 t 0
§8.6 z变换与拉普拉斯变换
的关系
一．z平面与s平面的映射关系
在引入z变换的定义时，引入符号 z esT
s(直角坐标)：s j Ω z, s关系 z esT
jΩ
s jΩ
j Ω0
代入
O
0
s平面
z(极 坐 标)：z r ej
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所以
图4-10 等自然频率轨迹映射
9
10
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
s平面和z平面之间的映射 稳定性分析 稳态误差分析 时域特性分析 频域特性分析 应用实例
11
4.2.1 离散系统的稳定条件
• 连续系统稳定的充要条件: – 特征根全部位于s域左半平面 • 离散系统稳定的充要条件: – 特征根全部位于z平面单位圆中
s
2
s
2
主带
（ 任意变化）
图4-2 主带映射
图4-3旁带映射
5
s平面和z平面的具体映射关系
4. s平面主带的映射
图4-5 s平面主带左半平面的映射
图4-6 s平面主带右半平面的映射
6
4.1.2 s平面上等值线在z平面的映射
1. s平面实轴平行线（即等 频率线）的映射 2. s平面虚轴平行线（即等 衰减率线）的映射
e* (t ) r * (t ) c* (t )
* ess (t ) lim e* (t ) lim e* (kT) t k
20
4.3.2 离散系统稳态误差的计算
• 给定R(z)情况下的离散系统稳态误差的计算：
E( z) 1 e ( z) R( z ) 1 D( z )G ( z )
的条件是系统前向通道中至少含有1个积分环节。
23
1. 指令信号作用下的稳态误差计算
(2) 输入信号为单位斜坡信号
r (t ) t
* ess lim(1 z 1 ) z 1
R( z )
1 Tz 1 D( z )G( z ) ( z 1) 2
Tz ( z 1) 2
1
1 2 r (t ) t 2
1 T 2 ( z 1) z e lim(1 z ) z 1 1 D( z )G ( z ) 2( z 1)3
* ss 1
T 2 ( z 1) z R( z ) 2( z 1)3
1 1 lim( z 1) 2 D( z )G( z ) T 2 z 1
21
划分系统
• 连续系统——按其开环传函中所含的积分环 节的个数 来划分 k k 0 ——0型 G( s) G(s) s5 s( s 2) 1 ——I型
2
——II型
k G(s) 2 s ( s a)
• 离散系统——按其开环传函中所含 ( z 1) 环节的个数 来划分
判断系统稳定性步骤：
或者
(1) 0 (1) n (1) 0
(1)判断必要条件是否成立，若不成立则系统不稳定。 (2)若必要条件成立，构造朱利表。
15
二阶系统稳定性条件
( z ) z a1 z a2 0
2
必要条件： (1) 0 构造朱利表：
(1) 0
b2
an
b0
an 2 a2
bn 2 b1
an 1 a1
bn 1 b0
an a0
—）
bn 1 bn 1 bn 2
(k2 bn 1 / b0 )
c0
—）
c1
c2
cn 2 cn 3 cn 4
cn 2 c0 (k3 cn2 / c0 )
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
s平面和z平面之间的映射 稳定性分析 稳态误差分析 时域特性分析 频域特性分析 应用实例
1
4.1.1 s平面和z平面的基本映射关系
s平面与z平面映射关系：
z esT
s j
z e( j )T e T e jT e T T
解：系统稳定要求特征根位于单位圆内 | (1 e10T )k e10T | 1
k 1
结论： 当采样周期T ， 使系统稳定的k值范围增大。
1 [(1 e10T )k e10T ] 1
k (1 e10T ) /(1 e10T )
当k=2时，采样周期必须 小于0.109 86， 系统才能稳定
T 0.1
T 0.01
T 1
1 k 1 1 k 2.165
1 k 20
17
采样周期与系统稳定性结论：
(1) 离散系统的稳定性比连续系统差
体现在使系统稳定的k值：
连续系统的k值范围大于离散系统的k值范围。
(2) 采样周期也是影响稳定性的重要参数， 一般来说，T减小，系统稳定性增强。
图4-1 s平面与z平面
2
s平面和z平面的具体映射关系
1. s平面虚轴的映射 s平面整个虚轴映射为z平面单位圆，左半平面任 一点映射在z平面单位圆内，右半平面任一点映射在 单位圆外。 表4-1 s
z R
=0
任意值
几何位置
R e T T
例4-5 已知一采样系统的开环传递函数
k (1 e 10T ) k G ( z ) (1 z ) Z s (0.1s 1) z e 10T
1
讨论采样周期对系 统稳定性的影响。
系统的特征方程
( z ) z k (1 e10T ) e10T 0
1/ K a
1 K a 2 lim( z 1)2 D( z )G ( z )称为稳态加速度误差系数 T z 1
D 对“0”型系统，( z)G( z) 在z=1处无极点,K a 0, ess
例 4-3 已知
x1 (k 1) 1.3 0.4 x1 (k ) 1 u (k ) x2 (k 1) 1 0 x2 (k ) 0
Matlab命令 -0.4 0 ]; g= -0.8000 -0.5000
=1 任意值
虚轴
单位圆周
左半平面
右半平面
<0
>0
任意值
任意值
单位圆内
单位圆外
<1
>1
任意值
任意值
3
s平面和z平面的具体映射关系
2. 角频率ω 与z平面相角θ 关系 2 T 2k ( k )T ( ks )T
T
s 平面上频率相差采样频率整数倍的所有点，映射到z平面上同一点 。 每当ω 变化一个ω s 时，z平面相角θ 变化2π，即转了1周。
Matlab命令
8
4.1.2 s平面上等值线在z平面的映射
4. s平面上等自然频率轨迹的映射
s平面 z平面
s j n e j n sin n cos
cot 1 ( / )
ze
sT
e
T n cos T n cos
e
R eT n cos ,z T n sin
F = [-1.3 1 g=eig(F)
系统稳定
13
2. 朱利代数稳定判据
( z ) a0 z n a1 z n 1 an 1 z an 0
a0
—）
bn i an i ai k1
(k1 an / a0 )
a1 an 1
b1
a2 an 2
E ( z ) e ( z ) R( z ) 1 R( z ) 1 D( z )G ( z )
1 R( z ) 1 D( z )G( z )
* ess lim(1 z 1 ) E ( z ) lim(1 z 1 ) z 1 z 1
* ess
与输入信号R(z)及系统 D( z )G( z ) 结构特性均有关
若ω 在s平面虚轴上从-∞变化到+∞时，z平面上相角将转无穷多圈 。
表4-2 角频率与z平面相角θ关系
2 s s
… …
s
2
0 0
s
2
s 2s
2 4
… …
4
4 2
s平面和z平面的具体映射关系
3. s平面上的主带与旁带
s平面上被分成了许多平行带子，其宽度为 s
18
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
s平面和z平面之间的映射 稳定性分析 稳态误差分析 时域特性分析 频域特性分析 应用实例
19
4.3.1 离散系统稳态误差定义
单位反馈系统误差定义
连续系统：
e(t ) r (t ) c(t ) ess lim e(t )
t
离散系统：
注意到 故有
e jT cos T j sin T 是2的周期函数
z e( j )T e T e jT e T e j (T 2 k ) e T (T 2k )
复变量z的模及相角与复变 量s的实部和虚部的关系
R | z | e T z T
z 1
r (t ) 1(t )
K p lim D( z )G ( z ) 称为稳态位置误差系数 z 1
D 对“0”型系统，( z)G( z) 在z=1处无极点,Kp为有限值
D 对“I”型系统，( z)G( z) 在z=1处有1个极点,K p , ess 0
若输入为阶跃信号，对单位反馈系统，系统无稳态误差
图4-7 等频率线的映射
图4-8 等衰减率线的映射
7
4.1.2 s平面上等值线在z平面的映射
3. s平面上等阻尼比轨迹的映射
cos
s j cot j
映射至z平面
| z | e T eT cot z T
相关公式
图 4-9 阻尼比线及其映射