七年级上册数学 平面图形的认识(一)专题练习(word版

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难） 1． （1）如图①，已知：Rt△ABC中，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE=BD+CE； （2）如图②，将(1)中的条件改为：△ABC中，AB=AC，并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC=2CF，△ABC的面积是12，

求△ABD与△CEF的面积之和． 【答案】 （1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA=∠CEA=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°， ∵∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中，

∴△ADB≌△CEA(AAS)， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE；

（2）解：结论DE=BD+CE成立；理由如下： ∵∠BDA=∠BAC=α， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中，

∴△ADB≌△CEA(AAS)， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE； （3）解：∵∠BAD>∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC， ∴∠CAE=∠ABD，

在△ABD和△CEA中，

∴△ABD≌△CEA(AAS)， ∴S△ABD=S△CEA ，

设△ABC的底边BC上的高为h，则△ACF的底边CF上的高为h，

∴S△ABC= BC•h=12，S△ACF= CF•h，

∵BC=2CF， ∴S△ACF=6，

∵S△ACF=S△CEF+S△CEA=S△CEF+S△ABD=6，

∴△ABD与△CEF的面积之和为6．

【解析】【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，则

AE=BD，AD=CE，即可得出结论；（2）由∠BDA=∠BAC=α，则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，得出∠CAE=∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA即可

得出答案；（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，∴∠CAE=∠ABD，得出∠CAE=∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，得出S△ABD=S△CEA ， 再由不同底等高的两个三

角形的面积之比等于底的比，得出S△ACF

即可得出结果．

2．如图，已知：点 不在同一条直线， .

（1）求证： . （2）如图②， 分别为 的平分线所在直线，试探究 与 的数量关系； （3）如图③，在（2）的前提下，且有 ，直线 交于点 ， ， 请直接写出 ________. 【答案】 （1）证明：过点C作 ，则 ，

∵ ∴ ∴

（2）解：过点Q作 ，则 ，

∵ ， ∴ ∵ 分别为 的平分线所在直线

∴

∴ ∵ ∴

（3）:1:2:2 【解析】【解答】解：（3）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴

∴ ∴ . 故答案为： . 【分析】（1）过点C作 ，则 ，再利用平行线的性质求解即可；（2）过

点Q作 ，则 ，再利用平行线的性质以及角平分线的性质得出

，再结合（1）的结论即可得出答案；（3）由（2）的结论可得出 ，又因为 ，因此 ，联立即可求出两角的度数，再结合（1）的结论可得出 的度数，再求答案即可.

3．如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3 ， ∁…．

例如：当α=30°时，OA1 ， OA2 ， OA3 ， OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4=120°； 当α=20°时，OA1 ， OA2 ， OA3 ， OA4 ， OA3的位置如图3所示， 其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4=80°，而OA3恰好与OA2重合．

解决如下问题： （1）若α=35°，在图4中借助量角器画出OA2 ， OA3 ， 其中∠A3OA2的度数是________；

（2）若α＜30°，且OA4所在的射线平分∠A2OA3 ， 在如图5中画出OA1 ， OA2 ， OA3 ， OA4并求出α的值；

（3）若α＜36°，且∠A2OA4=20°，则对应的α值是________ （4）（选做题）当OAi所在的射线是∠AiOAk（i，j，k是正整数，且OAj与OAk不重合）的平分线时，旋转停止，请探究：试问对于任意角α（α的度数为正整数，且α=180°），旋转是否可以停止？写出你的探究思路．

【答案】 （1）45° （2）解：如图所示．

∵α＜30°， ∴∠A0OA3＜180°，4α＜180°．

∵OA4平分∠A2OA3 ，

∴2（180°﹣6α）+ =4α，解得： （3） ， ， （4）解：对于角α=120°不能停止．理由如下：

无论a为多少度，旋转过若干次后，一定会出现OAi是∠AiOAK是的角平分线，所以旋转会停止． 但特殊的，当a为120°时，第一次旋转120°，∠MOA1=120°，第二次旋转240°时，与OM重合，第三次旋转360°，又与OM重合，第四次旋转480°时，又与OA1重合，…依此类推，旋转的终边只会出现“与OM重合”或“与OA1重合”两种情况，不会出第三条射线，所以不会出现OAi是∠AiOAK是的角平分线这种情况，旋转不会停止 【解析】【解答】解：（1）解：如图所示．aφ=45°，

【分析】（1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可；（2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出α的度数即可；（3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出α的度数即可；（4）无论a为多少度，旋转很多次，总会出一次OAi是∠AiOAK是的角平分线，但当a=120度时，只有两条射线，不会出现OAi是∠AiOAK是的角

平分线，所以旋转会中止．

4．已知， 与 两角的角平分线交于点P，D是射线 上一个动点，过点D的直线分别交射线 ， ， 于点E，F，C.

（1）如图1，若 ， ， ，求 的度数； （2）如图2，若 ，请探索 与 的数量关系，并证明你的结论； （3）在点 运动的过程中，请直接写出 ， 与 这三个角之间满足的数量关系：________. 【答案】 （1）解：∵PA、PB是∠BAM、∠ABN的角平分线， ∴∠BAP=∠PAE= ∠BAM= ， ∠ABP=∠PBE= ∠ABN= ， ∴∠BPC=∠BAP+∠ABP= ；

（2）解： ，理由如下： ∵PA、PB是∠BAM、∠ABN的角平分线， ∴设 ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ；

（3） 【解析】【解答】解：（3）∵PA、PB是∠BAM、∠ABN的角平分线， ∴设 ， ， ∵ ， ∴ ， 如图，当点P在线段BD上时，

， ∴ ；

如图，当点P在线段BD的延长线上时， ，即 ， ∴ ， 即 ； 故答案为：. 【分析】（1）根据角平分线的性质结合三角形外角的性质即可求解； （2）设 ， ，根据角平分线的性质结合四边形内角和定理即可求解； （3）分点P在线段BD上和点P在线段BD的延长线上两种情况讨论即可求解.

5．在直角坐标系中，已知点A（a，0），B（b，c），C（d，0），a是-8的立方根，方程2x3b-5-3y2b-2c+5=1是关于x，y的二元一次方程，d为不等式组 的最大整数解．

（1）求点A、B、C的坐标； （2）如图1，若D为y轴负半轴上的一个动点，当AD∥BC时，∠ADO与∠BCA的平分线交于M点，求∠M的度数； （3）如图2，若D为y轴负半轴上的一个动点，连BD交x轴于点E，问是否存在点D，使S△ADE≤S△BCE？若存在，请求出D的纵坐标yD的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】 （1）解：-8的立方根是-2， ∴a=-2，

方程2x3b-5-3y2b-2c+5=1是关于x，y的二元一次方程， ∴ ， 解得， ， 不等式组 的最大整数解是5， 则A（-2，0）、B（2，4）、C（5，0）

（2）解：作MH∥AD，