2021届辽宁省朝阳市普通高中高三第一次模拟考试数学(理)试题Word版含答案
辽宁省朝阳市2021届新高考数学三模考试卷含解析
辽宁省朝阳市2021届新高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{}2560A x x x =--<，{}20B x x =-<，则A B =I ( ) A ．{}32x x -<< B ．{}22x x -<< C ．{}62x x -<< D ．{}12x x -<<【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可. 【详解】由题意知,集合}{16A x x =-<<,}{2B x x =<, 由集合的交运算可得,}{12A B x x ⋂=-<<. 故选:D 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题.2．一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a 的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（ ）A ．234a π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．262a π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．264a π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．2364a π⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】画出直观图，由球的表面积公式求解即可 【详解】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉18个球而形成的，所以它的表面积为2222213346484a S a a a a πππ⎛⎫⎛⎫=+-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C【点睛】本题考查三视图以及几何体的表面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.3．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C的左支交于A 、B 两点.若22,120=∠=oAB AF BAF ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y =±B ．6y x =C ．32=±y x D ．)31=±y x【答案】D 【解析】 【分析】设2AF m =，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可. 【详解】设222222,2cos1203AB AF m BF AB AF AB AF m o ==∴=+-⋅⋅=，由双曲线的定义可知：12,AF m a =-因此12,BF a =再由双曲线的定义可知：12432BF BF a m -=⇒=，在三角形12AF F 中，由余弦定理可知：222212222222112cos120(523)(523)F F AF AF AF AF c a a b a ︒=+-⋅⋅⇒=-⇒+=-2222(423)(423)31b bb a a a⇒=-⇒=-⇒=，因此双曲线的渐近线方程为：)31=±y x .故选：D 【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.4．在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点，2AM AD =u u u u r u u u r，BM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r，则λμ+=（ ） A ．12-B ．-2C ．12D ．2【答案】A 【解析】 【分析】设BD k BC =u u u r u u u r ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出BM u u u u r，求出,λμ的值即可得出答案.【详解】设BD k BC k AC k AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r由2AM AD =u u u u r u u u r()112222k k BM BA BD AB AC AB ∴=+=-+-u u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r1222k k AB AC ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭u u ur u u u r ，1,222k kλμ∴=--=，12λμ∴+=-.故选：A 【点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.5．已知l ，m 是两条不同的直线，m ⊥平面α，则“//l α”是“l ⊥m”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可. 【详解】当m ⊥平面α时，若l ∥α”则“l ⊥m”成立，即充分性成立， 若l ⊥m ，则l ∥α或l ⊂α，即必要性不成立， 则“l ∥α”是“l ⊥m”充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题6．下列判断错误的是( )A ．若随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.78N P σξ≤=，则()20.22P ξ≤-=B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件C ．若随机变量ξ服从二项分布： 14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭:， 则()1E ξ= D ．am bm >是a b >的充分不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，依次对四个选项加以分析判断，进而可求解. 【详解】对于A 选项，若随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.78N P σξ≤=，根据正态分布曲线的对称性，有()()()241410.780.22P P P ξξξ≤-=≥=-≤=-=，故A 选项正确，不符合题意；对于B 选项，已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则当//αβ时一定有l m ⊥，充分性成立，而当l m ⊥时，不一定有//αβ，故必要性不成立，所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件，故B 选项正确，不符合题意；对于C 选项，若随机变量ξ服从二项分布： 14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭:， 则()114E np ξ==4⨯=，故C 选项正确，不符合题意；对于D 选项，am bm >Q ，仅当0m >时有a b >，当0m <时，a b >不成立，故充分性不成立；若a b >，仅当0m >时有am bm >，当0m <时，am bm >不成立，故必要性不成立. 因而am bm >是a b >的既不充分也不必要条件,故D 选项不正确，符合题意. 故选：D【点睛】本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.7．已知抛物线2:4C x y =,过抛物线C 上两点,A B 分别作抛物线的两条切线,,PA PB P 为两切线的交点O 为坐标原点若.0PA PB =u u u v u u u v,则直线OA 与OB 的斜率之积为（ ）A ．14-B ．3-C ．18-D ．4-【答案】A 【解析】 【分析】设出A ，B 的坐标，利用导数求出过A ，B 的切线的斜率，结合0PA PB ⋅=u u u r u u u r，可得x 1x 2＝﹣1．再写出OA ，OB 所在直线的斜率，作积得答案． 【详解】解：设A （2114x x ，），B （2224x x ，），由抛物线C ：x 2＝1y ，得214y x =，则y′12x =． ∴112AP k x =，212PB k x =， 由0PA PB ⋅=u u u r u u u r ，可得12114x x =-，即x 1x 2＝﹣1．又14OA x k =，24OB xk =，∴124116164OA OB x x k k -⋅===-． 故选：A ．点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是解题的思路，由于与切线有关，所以一般先设切点，先设A 2(2,)a a ,B 2(2,)b b ,a b ¹,再求切线PA,PB 方程，求点P 坐标，再根据.0PA PB =u u u v u u u v得到1,ab =-最后求直线OA 与OB 的斜率之积.如果先设点P 的坐标，计算量就大一些.8．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（ ）A ．2014年我国入境游客万人次最少B ．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C ．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D ．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差 【答案】D 【解析】 【分析】ABD 可通过统计图直接分析得出结论，C 可通过计算中位数判断选项是否正确. 【详解】A ．由统计图可知：2014年入境游客万人次最少，故正确；B ．由统计图可知：后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势，故正确；C ．入境游客万人次的中位数应为13340.13与13604.33的平均数，大于13340万次，故正确；D ．由统计图可知：前3年的入境游客万人次相比于后3年的波动更大，所以对应的方差更大，故错误. 故选：D. 【点睛】本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解，难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图，分析出对应的信息，对学生分析问题的能力有一定要求.9．已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在区间[],2m m 上的值域为[],2m m ，则a =（ ）A 2B ．14C ．1162 D ．14或4 【答案】C 【解析】 【分析】对a 进行分类讨论，结合指数函数的单调性及值域求解. 【详解】分析知，0m >.讨论：当1a >时，22m m a ma m⎧=⎨=⎩，所以2m a =，2m =，所以2a =01a <<时，22m ma m a m⎧=⎨=⎩，所以12ma =，14m =，所以116a =.综上，116a =或a = C. 【点睛】本题主要考查指数函数的值域问题，指数函数的值域一般是利用单调性求解，侧重考查数学运算和数学抽象的核心素养.10．若[]0,1x ∈时，|2|0x e x a --≥，则a 的取值范围为（ ） A ．[]1,1- B ．[]2,2e e --C ．[]2e,1-D ．[]2ln 22,1-【答案】D 【解析】 【分析】由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，xxf x x e x x e =-=+，然后分别求出()()max min ，f xg x 即可得a 的取值范围.【详解】由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，xxf x x e x x e =-=+， ()2x f x e '=-Q 在[]0,1单调递减，且()ln 20f '=， ()f x ∴在()0,ln 2上单调递增，在()ln 2,1上单调递减， ()()max ln 22ln 22a f x f ∴≥==-，又()g 2xx x e =+在[]0,1单调递增，()()min 01a g x g ∴≤==，∴a 的取值范围为[]2ln 22,1-.故选：D 【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3C π=，若()m c a b =-u r ，(,n a b c =-r，且//m n u r r，则ABC ∆的面积为（ ）A ．3B ．2C ．2D ．【答案】C【分析】由//m n u r r ，可得2()(6)(6)a b c c -=-+，化简利用余弦定理可得2221cos 322a b c abπ+-==，解得ab ．即可得出三角形面积． 【详解】解：Q ()6,m c a b =--u r ，(),6n a b c =-+r ，且//m n u r r，2()(6)(6)a b c c ∴-=-+，化为：22226a b c ab +-=-．222261cos 3222a b c ab ab ab π+--∴===，解得6ab =．11333sin 622ABC S ab C ∆∴==⨯⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数()03d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是 A ．6m ≠ B ．5m ≠ C ．4m ≠ D ．3m ≠【答案】B 【解析】 【分析】此题画出正方体模型即可快速判断m 的取值. 【详解】如图（1）恰好有3个点到平面α的距离为d ；如图（2）恰好有4个点到平面α的距离为d ；如图（3）恰好有6个点到平面α的距离为d . 所以本题答案为B.本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高2021届朝阳市一模 数学试题(含答案)
分
21.（本小题满分 12 分）
解：（1）设双曲线 C 的焦距为 2c (c 0) ，则 2c=2 5
不妨设双曲线 C 的两条渐近线方程为 l1 : bx ay 0 ， l2：bx ay 0 ，
则由题意得 | bx0
ay0 | | bx0
ay0 |
4b2
，
a2 b2
a2 b2
5
即 | b2x02 a2 y02 | 4b2
− Sn2 ，
Sn 0 ，
所以， Sn+1
= 3Sn ， S1
= 1 ，因此 S10 a10
=
3 2
.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分 10 分）
解：数列
bn
是等比数列，数列 b1
=
1 2
， b1b2
=
b3
，所以 b2
=
2b3
当 = 2 时，由（1）可知，在△PCD 中， PF = PE = 2 ， EF //CD ，
3
PC PD 3
所以 FE = 2 CD = (2, 2, 0) ， 3
AE = 2 AN = 1 AB + 1 AP = (−4, 2, 2)
3
33
BE = 2 BM = 1 BA + 1 BP = (2, −4, 2) ，..........................................................................................8 分
，
故数列
bn
是公比是 1 2
等比数列，因此 bn
2021年辽宁省朝阳市高考数学三模试卷
2021年辽宁省朝阳市高考数学三模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x ∈Z|−3<x <5}，B ={y|y +1>0}，则A ∩B 的元素个数为( )A. 0B. 3C. 4D. 52. 在△ABC 中，若AB =1，AC =5，sinA =35，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 3B. ±3C. 4D. ±43. 函数f(x)=cosx −1x 的图象的切线斜率可能为( )A. −13B. −2C. −53D. −44. 跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质.小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要( )A. 16天B. 17天C. 18天D. 19天5. 明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图(1)所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图(2)所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图(3)所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆.已知图(1)，(2)，(3)中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为139,5645,107，设图(1)，(2)，(3)中椭圆的离心率分别为e 1，e 2，e 3，则( )A. e 1>e 3>e 2B. e 2>e 3>e 1C. e 1>e 2>e 3D. e 2>e 1>e 36. 下列各项中，是(√xy −yx )6展开式中的项为( )A. 15B. −20x 2C. 15y 4D. −20y 927. 某服装店开张第一周进店消费的人数每天都在变化，设第x(1≤x ≤7,x ∈N)天进店消费的人数为y ，且y 与[5xx 2]([t]表示不大于t 的最大整数)成正比，第1天有10人进店消费，则第4天进店消费的人数为( )A. 74B. 76C. 78D. 808. 在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 为侧棱CC 1的中点，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，则这两条棱所在直线至少有一条与直线BD 异面的概率是( )A. 23B. 1318C. 79D. 56二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.若1≤x≤3≤y≤5，则()A. 4≤x+y≤8B. x+y+1x +16y的最小值为10C. −2≤x−y≤0D. (x+1y )(y+4x)的最小值为910.已知函数f(x)=tanx−sinxcosx，则()A. f(x)的最小正周期为πB. f(x)的图象关于y轴对称C. f(x)的图象关于(π2,0)对称 D. f(x)的图象关于(π,0)对称11.已知曲线C的方程为√x2+y2=|x+2y|，M：(x−5)2+y2=r2(r>0)，则()A. C表示一条直线B. 当r=4时，C与圆M有3个公共点C. 当r=2时，存在圆N，使得圆N与圆M相切且圆N与C有4个公共点D. 当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是(4,+∞)12.如图，函数f(x)的图象由一条射线和抛物线的一部分构成，f(x)的零点为−12，则()A. 函数g(x)=f(x)−f(4)⋅lg32有3个零点B. f(|x|)≥log84恒成立C. 函数ℎ(x)=|f(x)|−f(4)4有4个零点D. f(x+2512)≥f(x)恒成立三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.写出一个虚数z，使得z2+3为纯虚数，则z=______ ．14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为C左支上一点，N为线段MF2上一点，且|MN|=|MF1|，P为线段NF1的中点.若|F1F2|=4|OP|(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为______ ．15. 2021年受疫情影响，国家鼓励员工在工作地过年.某机构统计了某市5个地区的外来务工人员数与他们选择留在当地过年的人数占比，得到如下的表格：A 区B 区C 区D 区E 区 外来务工人员数5000 4000 3500 3000 2500 留在当地的人数占比80%90%80%80%84%根据这5个地区的数据求得留在当地过年人员数y 与外来务工人员数x 的线性回归方程为y ̂=0.8135x +a ̂.该市对外来务工人员选择留在当地过年的每人补贴1000元，该市F 区有10000名外来务工人员，根据线性回归方程估计F 区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为______ 万元.(参考数据：取0.8135×36=29.29)16. 如图，正四棱锥P −ABCD 的每个顶点都在球M 的球面上，侧面PAB 是等边三角形.若半球O 的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O 的体积与球M 的体积的比值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a =√3，b =2．(1)若A =π6，求cos2B ； (2)若c =3，求△ABC 的面积．18. 某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行.根据气象部门的天气预报得知，在周一到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为p1，后两天每天出现风雨天气的概率均为p2，每天晚上是否，且这五天至少有一天晚上出现出现风雨天气相互独立已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为14．风雨天气的概率为199200(1)求该社区能举行4场音乐会的概率；(2)求该社区举行音乐会场数X的数学期望．19.在数列{a n}中，a1=2，(n2+1)a n+1=2[(n−1)2+1]a n．(1)求{a n}的通项公式；(2)在下列两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按第一个解答计分．①设b n=n2a n，数列{b n}的前n项和为T n，证明：T n≥2n+1−2．②设b n=(n3−2n2+2n)a n，求数列{b n}的前n项和T n．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，以BC为直径的圆O(O为圆心)过点A，且AO=AC=AP=2，PA底面ABCD，M为PC的中点．(1)证明：平面OAM⊥平面PCD；(2)求二面角O−MD−C的余弦值．21.已知函数f(x)=m(x+1)2−1−2lnx．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x∈[1,2]时，f(x)≤0，求m的取值范围．22.已知F为抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点，直线l：y=2x+1与C交于A，B两点，且|AF|+|BF|=20．(1)求C的方程；(2)若直线m：y=2x+t(t≠1)与C交于M，N两点，且AM与BN相交于点T，证明：点T在定直线上．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A ={x ∈Z|−3<x <5}={−2,−1,0，1，2，3，4}， B ={y|y +1>0}={y|y >−1}， ∴A ∩B ={0,1，2，3，4}， ∴A ∩B 的元素个数为5． 故选：D ．求出集合A ，B ，进而求出A ∩B ，由此能求出A ∩B 的元素个数．本题考查集合的运算，考查交集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】D【解析】解：在△ABC 中，若AB =1，AC =5，sinA =35，可得cosA =±45， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×5×(±45)=±4． 故选：D ．利用已知条件求解A 的余弦函数值，然后求解向量的数量积即可． 本题考查新来的数量积的求法，三角函数求值，是基础题．3.【答案】A【解析】解：f(x)=cosx −1x 的导数为f′(x)=−sinx +1x 2， 由于−sinx ∈[−1,1]，1x 2>0，可得−sinx +1x 2>−1， 则切线的斜率可能为−13． 故选：A ．求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由正弦函数的值域和不等式的性质，可得斜率的范围，可得结论． 本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及正弦函数的值域，考查运算能力和推理能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：设需要n天完成计划，由题意易知每天跑步的里程为，以8为首项，0.5为公差的等差数列，∴8n+n(n−1)2×0.5≥200，∴n2+31n−800≥0，当n=16时，162+31×16−800<0，当n=17时，172+17×31−800>0，故选：B．利用题中的条件，易知每天跑步的里程为等差数列，求其前n项和即可解出．本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：图(1)，(2)，(3)中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为139,5645,107，图(1)，(2)，(3)中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，所以e1=ca =√1−(ba)2=√1−(913)2=√8813e2=ca =√1−(ba)2=√1−(4556)2=3√10156，e3=ca =√1−(ba)2=√1−(710)2=√5110，因为4556>710>913，所以e1>e3>e2，故选：A．利用已知条件，推出离心率的大小即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：(√xy−yx )6展开式的通项公式为Tr+1=C6r(√xy)6−r(−yx)r=(−1)r C6r x6−3r2y6+r2，由6−3r2=0且6+r2=0，此时r无解，故展开式中没有常数项，故A错误；由6−3r2=2且6+r2=0，此时r无解，故展开式中不含x2项，故B错误；由6−3r2=0且6+r2=4，此时r=2，故T3=(−1)2C62y4=15y4，故C正确；由6−3r2=0且6+r2=92，此时r无解，故展开式中不含y92项，故D错误．故选：C．求出(√xy−yx )6展开式的通项公式Tr+1=(−1)r C6r x6−3r2y6+r2，根据选项逐一求解r值，即可得解．本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：由题意可设比例系数为k，∴10=k[5112]，∴k=2，∴y=2[5442]=2×39=78，故选：C．利用题中的条件，第1天有10人进店消费，即可得出比例系数，进而可以解出．本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：∵在三棱柱ABC−A1B1C1中，D为侧棱CC1的中点，∴该三棱柱的九条棱中与BD异面的棱有5条，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，基本事件总数n=C92=36，这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面包含的基本事件个数为：m=C41C51+C42=26，则这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面的概率P=mn =2636=1318．故选：B．该三棱柱的九条棱中与BD异面的棱有5条，从该三棱柱的九条棱中随机选取两条，基本事件总数n=C92= 36，这两条棱所在直线至少有一条与直线BD异面包含的基本事件个数为m=C41C51+C42=26，由此能求出这两条棱所在直线至少有一条与直线BD 异面的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．9.【答案】AB【解析】解：根据题意，1≤x ≤3≤y ≤5，即{1≤x ≤33≤y ≤5，依次分析选项：对于A ，{1≤x ≤33≤y ≤5，则4≤x +y ≤8，A 正确；对于B ，x +y +1x +16y=(x +1x)+(y +16y)≥2√x ×1x+2√y ×16y=2+8=10，当且仅当x =1且y =4时等号成立，B 正确；对于C ，{1≤x ≤33≤y ≤5，则−5≤−y ≤−3，则−4≤x −y ≤0，C 错误；对于D ，不考虑正数x 、y 的限制，有(x +1y )(y +4x )=5+xy +4xy ≥5+2√xy ×4xy =9，当且仅当xy =2时等号成立，而{1≤x ≤33≤y ≤5，4≤xy ≤15，xy =2不会成立，故(x +1y )(y +4x )的最小值不是9，D 错误； 故选：AB ．根据题意，将1≤x ≤3≤y ≤5变形可得{1≤x ≤33≤y ≤5，据此依次分析选项，综合可得答案．本题考查不等式的性质以及应用，涉及基本不等式的性质，属于基础题．10.【答案】ACD【解析】解：函数f(x)=tanx −sinxcosx ，对于A ：由于函数y =tanx 的最小正周期为π，函数y =sinxcosx =12sin2x 的最小正周期为π，故函数f(x)的最小正周期为π，故A 正确；对于B ：由于f(−x)=tan(−x)−sin(−x)cos(−x)=−(tanx −sinxcosx)=−f(x)，故函数的图象不关于y 轴对称，故B 错误；对于C ：由于函数y =tanx 的图象关于(π2,0)对称，函数y =sinxcosx 的图象也关于(π2,0)对称，故函数f(x)的图象关于(π2,0)对称，故C 正确；对于D：函数满足f(π)=0，故D正确；故选：ACD．直接利用函数的性质的应用，对称性周期性的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数的性质的应用，对称性，周期性的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.【答案】BCD【解析】解：曲线C的方程为√x2+y2=|x+2y|，两边平方可得x2+y2=x2+4y2+4xy，化为y=0或4x+3y=0，即曲线C表示两条直线，故A错误；当r=4时，圆M的圆心为(5,0)，半径为4，圆M与y=0有两个交点；又圆心M到直线4x+3y=0的距离为d=4×55=4=r，所以C与圆M有3个公共点，故B正确；当r=2时，圆M的圆心为(5,0)，半径r=2，存在圆N，圆心N(1,0)，半径为2，圆N与圆M相切且圆N与C有4个公共点，故C正确；当C与圆M的公共点最多时，且为4个．由r=4时，C与圆M有3个公共点，可得当C与圆M的公共点最多时，r的取值范围是(4,+∞)，故D正确．故选：BCD．将曲线C化简，可得y=0或4x+3y=0，可判断A；考虑圆M与x轴、直线4x+3y=0的交点个数，可判断B；可取圆心N(1,0)，半径为2的圆，可判断C；考虑r=4时，直线4x+3y=0与圆M相切，可得C 与圆M的公共点最多时，r的取值范围，可判断D．本题考查圆的方程和性质，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】解：由题意可得f(−12)=0，f(1)=2，可得x≤1时，f(x)=2−0 1+12(x+12)=43x+23，当x>1时，由图象可得f(2)=1，可设f(x)=a(x−2)2+1，再由f(1)=2，解得a=1，则f(x)=x2−4x+5．即f(x)={43x+23,x≤1x2−4x+5,x>1．由g(x)=f(x)−f(4)⋅lg 32=0，可得f(x)=f(4)⋅lg 32=5lg 32=lg 24332<1，由图象可得g(x)=0只有一个零点，故A 错误；由y =f(|x|)为偶函数，可得x ≥0时，f(x)≥f(0)=23，又log 84=lg4lg8=2lg23lg2=23，即有f(|x|)≥log 84恒成立，故B 正确； 由函数ℎ(x)=|f(x)|−f(4)4=0，可得|f(x)|=f(4)4=54， 由f(x)=54，可得有三个实根；由f(x)=−54，可得有一个实根，则ℎ(x)有四个零点，故C 正确； 当x ≤1时，f(x)递增，x +2512>x ，可得f(x +2512)>f(x)； 当x ≥2时，f(x)递增，x +2512>x ，可得f(x +2512)>f(x)；当1<x <2时，f(1)=f(3)=2，2512>2，所以x ∈(1,2)时，x +2512∈(3712,4912)在(3,5)内， 由f(3)=f(1)=2，所以f(x +2512)>2，而f(x)∈(1,2)， 所以f(x +2512)>f(x)．综上可得，f(x +2512)≥f(x)恒成立．故D 正确． 故选：BCD ．求得分段函数f(x)的解析式，由g(x)=0，结合对数的运算性质和f(x)的图像，可判断A ；由偶函数的性质和x ≥0时的f(x)的值域，可判断B ；由ℎ(x)=0，结合f(x)的图像，可判断C ；分别讨论当x ≤1时，当x ≥2时，当1<x <2时，f(x)的单调性，结合恒成立思想，可判断D ．本题考查分段函数的图像和性质，以及函数的零点和恒成立问题解法，考查分类讨论思想和方程思想、运算能力和推理能力，属于中档题．13.【答案】1+2i【解析】解：设z =a +bi(a,b ∈R,b ≠0)，则z 2+3=(a +bi)2+3=a 2−b 2+3−2abi 为纯虚数， ∴a 2−b 2+3=0，2ab ≠0， 取a =1，b =2， 则z =1+2i ， 故答案为：1+2i ．设z =a +bi(a,b ∈R,b ≠0)，利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】y =±√3x【解析】解：由双曲线的定义，可得|MF 2|−|MF 1|=|MF 2|−|MN|=|NF 2|=2a ，在△NF 1F 2中，OP 为中位线，可得|OP|=12|NF 2|=a ， 又|F 1F 2|=4|OP|，可得2c =4a ，即c =2a ， b =√c 2−a 2=√4a 2−a 2=√3a ， 所以双曲线的渐近线方程为y =±√3x. 故答案为：y =±√3x.由双曲线的定义和三角形的中位线定理，推得|OP|=a ，再由a ，b ，c 的关系，可得a ，b 的关系，即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的定义和性质，以及三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．15.【答案】818.6【解析】解：由表知，x −=15×(5000+4000+3500+3000+2500)=3600，A ，B ，C ，D ，E 五个地区的外来务工人员中，留在当地的人数分别为5000×80%=4000，4000×90%=3600，3500×80%=2800，3000×80%=2400，2500×84%=2100， 所以y −=15×(4000+3600+2800+2400+2100)=2980， 因为样本中心点在(x −,y −)上， 所以2980=0.8135×3600+a ̂， 解得a ̂=51，所以y ̂=0.8135x +51，当x =10000时，y ̂=0.8135×10000+51=8186，所以估计F 区需要给外来务工人员中留在当地过年的人员的补贴总额为8186×1000=818600元=818.6万元．故答案为：818.6．由表中数据可得x −，y −的值，由回归直线方程恒过样本中心点(x −,y −)，可求得a ^的值，再把x =10000代入回归直线方程，知y ^的值，进而得解．本题考查回归直线方程的求法与应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．16.【答案】√318【解析】解：如图，连接PO ，BD ，取CD 的中点E ，连接PE ，OE ，过O 作OH ⊥PE 于H.易知PO ⊥底面ABCD ，设AB =4，则BD =√BA 2+BC 2=4√2，BO =12BD =2√2，PO =√BP 2−BO 2=2√2．设球M 的半径为R ，半球O 的半径为R 0.则R =2√2.易知R 0=OH.则R 0R =OH PO=OE PE=1√3，故V 半球O V 球M=12×4πR 0334πR 33=12(R0R)3=√318．故答案为：√318．连接PO ，BD ，取CD 的中点E ，连接PE ，OE ，过O 作OH ⊥PE 于H.说明PO ⊥底面ABCD ，设AB =4，求出PO ，设球M 的半径为R ，半球O 的半径为R 0.则R =2√2.然后转化求解半球O 的体积与球M 的体积的比值．本题考查四棱锥的外接球与内切球，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)由正弦定理知，a sinA =bsinB ，∴√3sinπ6=2sinB ，∴sinB =√33， ∴cos2B =1−2sin 2B =1−2×(√33)2=13． (2)由余弦定理知，cosC =a 2+b 2−c 22ab=2×√3×2=−√36，∵C ∈(0,π)，∴sinC =√1−cos 2C =√36)=√336， ∴△ABC 的面积S =12ab ⋅sinC =12×√3×2×√336=√112．【解析】(1)由正弦定理可得sinB =√33，再由二倍角公式，得解；(2)先利用余弦定理，求得cosC =−√36，再由同角三角函数的平方关系求得sin C 的值，最后由S =12ab ⋅sinC ，得解．本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，熟练掌握正余弦定理、三角形面积公式和二倍角公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)因为前两天晚上均为风雨天气的概率为14，所以P 12=14，解得p 1=12， 因为这五天至少有一天出现风雨天气的概率为199200， 所以1−(1−p 1)3(1−p 2)2=199200，又p 1=12，所以p 2=45， 设“该社区能举行4场音乐会”为事件A ，则P(A)=C 31×12×(1−12)2×(1−45)2+(1−12)3×C 21×45×(1−45)=11200； (2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，5， P(X =0)=(12)3×(45)2=225，P(X =1)=C 31(12)2×12×(45)2+(12)3×C 21×45×15=725，P(X =2)=C 32×12×(12)2×(45)2+C 31(12)2×(1−12)×C 21×45×15+(12)3×(1−45)2=73200， P(X =3)=(1−12)3×(45)2+C 32(1−12)2×12×C 21×45×15+C 31(12)2×(1−12)×(1−45)2=43200，P(X =4)=11200，P(X =5)=1−199200=1200． 所以E(X)=0×225+1×725+2×73200+3×43200+4×11200+5×1200=1910．【解析】(1)求得p 1，设“该社区能举行4场音乐会”为事件A ，由相互独立事件重复发生的概率公式，计算可得所求；(2)X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，由离散型随机变量的概率公式和期望公式，可得所求值．本题考查相互独立事件的乘法公式和离散型随机变量的概率公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)由(n 2+1)a n+1=2[(n −1)2+1]a n ，设c n =[(n −1)2+1]a n ， 则c n+1=2c n ，可得{c n }是首项为2，公比为2的等比数列，可得c n =2n ， 则[(n −1)2+1]a n =2n ， 所以a n =2n(n−1)2+1；(2)选①设b n =n 2a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ．证明：b n =n 2a n =n 2⋅2nn 2−2n+2≥2n ， 所以T n =b 1+b 2+...+b n ≥2+22+...+2n =2(1−2n )1−2=2n+1−2．选②设b n =(n 3−2n 2+2n)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 解：b n =(n 3−2n 2+2n)a n =n ⋅2n ， 则T n =1⋅2+2⋅22+3⋅23+...+n ⋅2n ， 2T n =1⋅22+2⋅23+3⋅24+...+n ⋅2n+1，上面两式相减可得−T n =2+22+23+...+2n −n ⋅2n+1， =2(1−2n )1−2−n ⋅2n+1，化简可得T n =2+(n −1)⋅2n+1．【解析】(1)设c n =[(n −1)2+1]a n ，由等比数列的定义和通项公式，可得所求a n ； (2)选①，求得b n =n 2a n =n 2⋅2nn 2−2n+2≥2n ，由等比数列的求和公式，化简，即可得证； 选②，求得b n =(n 3−2n 2+2n)a n =n ⋅2n ，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)证明：由题意点A 为圆O 上一点，则AB ⊥AC ，由PA ⊥底面ABCD ，知PA ⊥AB ，又PA ∩AC =A ，PA 、AC ⊂平面PAC ，∴AB ⊥平面PAC ， ∵AM ⊂平面PAC ，∴AB ⊥AM ， ∵M 为PC 的中点，∴AM ⊥PC ， ∵CD ∩PC =C ，∴AM ⊥平面PCD ， ∵AM ⊂平面OAM ，∴平面OAM ⊥平面PCD ．(2)如图，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则C(0,2，0)，D(−2√3,2，0)，M(0,1，1)，O(√3,1，0)， OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,0，1)，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√3,1，0)， 设平面OMD 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +z =0n ⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3√3x +y =0，取x =1，得n ⃗ =(1,3√3,√3)，由(1)知AM ⊥平面PCD ，则平面CDM 的一个法向量m ⃗⃗⃗ =(0,1，1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√18631， 由图可知二面角O −MD −C 的锐角， 则二面角O −MD −C 的余弦值为2√18631．【解析】(1)推导出AB ⊥AC ，PA ⊥AB ，从而AB ⊥平面PAC ，AB ⊥AM ，推导出AM ⊥PC ，从而AM ⊥平面PCD ，由此能证明平面OAM ⊥平面PCD ．(2)以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角O −MD −C 的余弦值．本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=2m(x +1)−2x =2(mx 2+mx−1)x，(x >0)，当m ≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上单调递减； 当m >0时，由f′(x)<0，解得：0<x <√m 2+4m 2m −12，由f′(x)>0，解得：x >√m 2+4m2m−12，故f(x)在(0,√m2+4m2m−12)递减，在(√m 2+4m 2m−12,+∞)递增，(2)当x ∈[1,2]时，f(x)≤0恒成立，即对于任意的x ∈[1,2]，m ≤1+2lnx (x+1)2恒成立，设F(x)=1+2lnx (x+1)2,x ∈[1,2]，则有F′(x)=2x−4lnx(x+1)2，令g(x)=2x −4lnx,x ∈[1,2]，则g′(x)=−2x 2−4x <0在[1,2]上恒成立， 即得g(x)在[1,2]上单调递减，因为g(1)=2>0，g(2)=1−4ln2<0， 所以存在唯一的x 0∈[1,2]，使得g(x 0)=0，且当x ∈[1,x 0]时，g(x)>0；当x ∈(x 0,2]时，g(x)<0， 所以F(x)在[1,x 0)上单调递增，在(x 0,2]上单调递减， 又因为5=lne 5<ln35<ln28=8ln2， 所以F(2)−F(1)=1+2ln29−14=8ln2−536>0，所以F(x)max =F(1)=14，即得m ≤14， 则有m 的取值范围为(−∞,14]．【解析】(1)利用导数法，然后通过讨论m 的取值范围得到函数对应的单调性；(2)通过变换将原不等式变换为m ≤F(x)，然后通过求解函数F(x)的值域得出最后的结论．本题主要考查函数导数与函数单调性的关系，以及不等式恒成立的条件的使用，属于中档题．22.【答案】解：(1)由题意可得F(0,p 2)，准线方程为y =−p2，由y =2x +1与x 2=2py 联立，可得x 2−4px −2p =0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得x 1+x 2=4p ，y 1+y 2=2(x 1+x 2)+2=8p +2， 所以|AF|+|BF|=y 1+y 2+p =8p +2+p =20，解得p =2， 则抛物线的方程为x 2=4y ；(2)证明：设M(x 3,y 3)，N(x 4,y 4)，T(x 0,y 0)，TM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λTA ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ≠1)， 因为AB//MN ，所以TN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λTB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由{x 12=4y 1x 22=4y 2，可得(x 1+x 2)(x 1−x 2)=4(y 1−y 2)， 可得x 1+x 2=4(y 1−y 2)x 1−x 2=8，同理可得x 3+x 4=8，由{x 3−x 0=λ(x 1−x 0)x 4−x 0=λ(x 2−x 0)，两式相加可得x 3+x 4−2x 0=λ(x 1+x 2−2x 0)， 即(4−x 0)(1−λ)=0，λ≠1，可得x 0=4， 所以T 在定直线x =4上．【解析】(1)由y =2x +1与x 2=2py 联立，运用韦达定理和抛物线的定义，解方程可得p ，可得抛物线的方程；(2)设M(x 3,y 3)，N(x 4,y 4)，T(x 0,y 0)，TM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λTA ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ≠1)，由点差法推得x 1+x 2=8，x 3+x 4=8，再由向量共线的坐标表示，可得T 在定直线上．本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。
2021届辽宁省朝阳市三校协作体高三下学期第一次模拟考试理科数学试卷
2021年辽宁省朝阳市三校协作体高三下学期第一次模拟考试理科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．集合，，则( )A ．B ．C ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞D ．2．等差数列的前项和为，且=，=，则公差等于( ) A ．B ．C ．D ．3．在中，，，，且的面积为，则（ ） A ．B ．C ．D ．4． 下列函数在),0(+∞上为减函数的是（ ）A ．1--=x yB ．xe y = C ．)1ln(+=x y D ．)2(+-=x x y5．方程的解所在的区间为（ ） A ．B ．C ．D ．6．将函数的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于轴对称，则的一个可能取值为( )A ．B ．C ．D ．7．给出下列关于互不相同的直线、、和平面、的四个命题：① 若，，点，则与不共面； ② 若、是异面直线，，，且，，则；③ 若，，，则； ④ 若，，，，，则，其中为真命题的是( )A ．①③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③8．变量、满足条件，则的最小值为( )A ．B ．C ．D ． 9． 如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，点在射线上， 则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，四棱锥ABCD P -中， 90=∠=∠BAD ABC ，AD BC 2=， PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形，则异面直线CD 与PB 所成角的大小为（ ）A ． 90B ． 75C ． 60D ． 45 11．已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=( )A ．B ．C ．D ．12．设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C．BDCPA-∞-⋃+∞D．(,2][2,)二、填空题13．正项等比数列中，，，则数列的前项和等于．14．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为．15．已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则．16．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点，例如是上的平均值函数，就是它的均值点．现有函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是．三、解答题17．（本小题满分12分）设是锐角三角形，三个内角，，所对的边分别记为，，，并且.（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若，，求，（其中）．18．（本小题满分12分）已知数列满足，，令.（Ⅰ）证明：数列是等差数列； （Ⅱ）求数列的通项公式．19．（本小题满分12分）ABC ∆为等腰直角三角形，4==BC AC ， 90=∠ACB ，D 、E 分别是边AC 和AB 的中点，现将ADE ∆沿DE 折起，使面ADE ⊥面DEBC ，H 、F 分别是边AD和BE 的中点，平面BCH 与AE 、AF 分别交于I 、G 两点．（Ⅰ）求证：IH //BC ；（Ⅱ）求二面角C GI A --的余弦值； （Ⅲ）求AG 的长．20．（本小题满分12分）如图，抛物线：与椭圆：在第一象限的交点为，为坐标原点，为椭圆的右顶点，的面积为．AHICDBFGE（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）过点作直线交于、两点，射线、分别交于、两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．21．设函数，曲线过点，且在点处的切线方程为.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）证明：当时，；（Ⅲ）若当时，恒成立，求实数的取值范围．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形是⊙的内接四边形，延长和相交于点，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若为⊙的直径，且，求的长．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程.（Ⅰ）判断直线与曲线的位置关系；（Ⅱ）设为曲线上任意一点，求的取值范围．24．选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）解不等式；（2）若存在实数，使得，求实数的取值范围．参考答案1．A 【解析】 试题分析：{13}x x x =<-或,2{|40}{|22}x x x x =-≥=-≤≤考点：解不等式，集合运算 2．C 【解析】试题分析：因为S 3=6,所以，a 1+(a 1+d)+(a 1+2d)=6，即3a 1+3d =6⇒a 1+d =2 又因为a 1=4，所以，d =−2.故选C. 考点：等差数列. 3．C 【解析】试题分析：因为的面积为，所以，12AB ⋅AC ⋅sinA =√32所以，12×√3×1×sinA =√32，解得：sinA =1因为0∘<A <180∘，所以，A =90∘所以，∠C =180∘−∠A −∠B =180∘−90∘−30∘=60∘ 故选C.考点：三角形的面积公式. 4．D 【解析】 试题分析：函数1,111,1x x y x x x -≥⎧=--=⎨-<⎩在区间(),1-∞ 上是增函数，在区间()1,+∞ 上是减函数，所以A 不正确.函数xe y =在上为增函数，所以选项B 不正确；函数)1ln(+=x y 在定义域()1,-+∞ 上为增函数，所以选项C 不正确；函数()2(2)11y x x x =-+=-++的图象抛物线开口向下，对称轴是1x =- ，在()1,-+∞是减函数；所以此函数在区间),0(+∞是减函数，故选D. 考点：函数的单调性. 5．B 【解析】试题分析：因为方程的解就是函数f(x)=log 2x +x −2的零点，又因为f(0.5)=log 20.5+0.5−2=−1+0.5−2=−2.5<0f(1)=log 21+1−2=0+1−2=−1<0f(1.5)=log 21.5+1.5−2>log 2√2−0.5=0.5−0.5=0所以函数f(x)=log 2x +x −2在区间内有零点，又因为函数f(x)=log 2x +x −2为定义域上的单调函数，所以函数的唯一零点在区间内，所以方程的解所在的区间为故选B.考点：1、函数的零点与方程的根；2、对数函数. 6．B 【解析】试题分析：由题设知f(π8)=±1，即sin(π4+φ)=±1当φ=3π4时，sin(π4+φ)=sin(π4+3π4)=sinπ=0当φ=π4时，sin(π4+φ)=sin(π4+π4)=sin π2=1当φ=0时，sin(π4+φ)=sin π4=√22 当φ=−π4时，sin(π4+φ)=sin(π4−π4)=sin0=0 故选B.考点：三角函数的图象.7．C【解析】试题分析：①若，，点，则直线与是异面直线，所以不共面，所以命题正确；②若、是异面直线，，，且，，则在平面α内任取一点O，可过点O在平面内分别作直线、的平行线m′,l′，则m′∩l′=O由，，得n⊥l′，n⊥m′，所以，，所以命题②正确；③若，，，则或，l与m相交，或l与m异面；所以命题③不正确；④若，，，，，根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行，所以有，因此命题④正确；所以正确的命题有①②④，故选C.考点：空间直线与平面的位置关系.8．D【解析】试题分析：不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，设(),P x y 是该区域内的任意一点，则的几何意义是点(),P x y 与点()2,0M 距离的平方，由图可知，当点的坐标为时，PM最小，所以PM ≥=25PM ≥即：22(2)5x y -+≥，故选D.考点：1、二元一次不等式组所表示的平面区域；2、数形结合的思想. 9．B 【详解】因为AOB 为等腰直角三角形，1OA =，所以，1,0OA OB OA OB ==⋅= 又因为OC 为斜边AB 的高，所以C 是AB 的中点，所以1122OC OA OB =+ 设22OP OC OA OB λλλ==+,则(1)22AP OP OA OA OB λλ=-=-+所以，(1)2222AP OP OA OB OA OB λλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2221222OA OB λλλ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21222λλλ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211122228λλλ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭18≥-所以，AP OP ⋅的最小值为18- ，故选B.考点：1、平面向量基本定理；2、平面向量的数量积. 10．A 【解析】试题分析：延长DA 至E ，使AE DA = ，连接,PE BE ，因为 90=∠=∠BAD ABC ，AD BC 2=，所以,//DE BC DE BC = 所以四边形CBED为平行四边形，所以，//CD BE 所以PBE ∠ 就是异面直线CD 与PB 所成的角 在PAE ∆中，,120AE PA PAE =∠=由余弦定理得：PE ==在ABE ∆中,,90AE AB BAE =∠= ,所以，2BE AE =因为PAB ∆是等边三角形，所以，PB AB AE == 所以，22222223PB BE AE AE AE PE +=+== 所以，90PBE ∠=，故选A.考点：1、异面直线所成的角；2、余弦定理；3、空间直线的位置关系. 11．B 【解析】试题分析：如下图所示，抛物线：的焦点为()2,0F ，准线为:2l x =-，准线与x 轴的交点为()2,0N -，4FN =过点Q 作准线的垂线，垂足为M ，由抛物线的定义知QM QF = 又因为，所以，22PQ QF QM ==所以，28433QM PQQM FNPF =⇒=⨯= 所以，83QF QM ==故选B.考点：抛物线的定义、标准方程与几何性质. 12．B 【解析】试题分析：令()()()()()()221,02g x f x x g x g x f x f x x =-+-=+--=，()g x 为奇函数，在上()'()0g x f x x '=-<，()g x 在上递减，在(),0-∞上也递减，由()00g =知，()g x 在R 上递减，可得()()4,4,2g m g m m m m -≥-≤≥，即实数的取值范围为，故选B.考点：1、抽象函数的求导法则；2、函数的单调性及构造函数解不等式.【方法点睛】本题主要考察抽象函数的单调性以及函数的求导法则，属于难题.求解这类问题一定要耐心读题、读懂题，通过对问题的条件和结论进行类比、联想、抽象、概括，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.本题根据，有，在上，联想到函数()()212g x f x x =-，再结合题设判断出其单调性，进而得出正确结论. 13．1022 【解析】试题分析：设正项等比数列的公比为()0q q >，因为，，所以，2421644a q a === 因为0q >，所以，2142,22a q a q ==== ()91092122210242102212S -==-=-=-所以答案应填：1022. 考点：等比数列.14．8(2π++ 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为4的圆锥的一半，其表面积为：21111244222222S ππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯(82π++所以答案应填：(82π++.考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积. 15．4 【解析】试题分析：设11c e a =，22c e a =，则221222212313a a e e c ++=，又2221212122cos3PF PF PF PF F F π+-=，所以22121212()3PF PF PF PF F F +-=，22121212()PF PF PF PF F F -+=，即22112434a PF PF c -=，2221244a PF PF c +=，因此222222121241216,34,a a c a a c +=+=2212134.e e += 考点：椭圆及双曲线定义 16．3(3,]4-- 【解析】试题分析：根据平均值函数的定义，若函数是上的平均值函数，则关于x 的方程()()()31111f f x mx --+=--在区间()1,1-内有解，即关于x 的方程310x mx m +--=在区间()1,1-内有解；即关于x 的方程21m x x =---在区间()1,1-内有解；因为函数()2213124g x x x x ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭在区间上当12x =-取得最大值34-，当1x =时取得最小值3-，所以函数()2213124g x x x x ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭在区间()1,1-上的值域为3(3,]4--， 所以实数的取值范围是3(3,]4--.所以答案应填：3(3,]4--.考点：1、新定义；2、等价转化的思想；3、分离参数法求参数的取值范围；4、一元二次函数的最值问题. 17．（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）4b =，.【解析】试题分析：（Ⅰ）首先由结合两角和与差的三角函数公式求出sin A 的值，从而求得角的值；（Ⅱ）根据平面向量的数量积，由可得：24bc =，再结合余弦定理，即可通过解方程组的方式求得，的值. 试题解析：解：(Ⅰ)，，． 6分(Ⅱ)cos 12AB AC bc A ⋅==，，又，，，，． 12分考点：1、两角和与差的三角函数；2、余弦定理；3、平面向量的数量积. 18．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）52n n a n +=+. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由⇒⇒1111113n n a a +-=--即：，由此可得数列是等差数列；（Ⅱ）首先由（Ⅰ）的结果，利用等差数列的通项公式求出数列的通项公式，然后再根据求出数列的通项公式．试题解析：解：(Ⅰ)，，即，是等差数列． 6分(Ⅱ)，， 10分 ，． 12分考点：1、数列的递推公式；2、等差数列.19．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）1515；（Ⅲ）3.【解析】试题分析：（Ⅰ）证IH //BC ，只要证//BC 平面ADE ，只要证//BC DE 即可； （Ⅱ）利用,,DE DE DA 两两垂直建立空间直角坐标系，然后利用向量的数量积求出平面AGI 的法向量1n 和平面CGI 的法向量2n ，而后利用向量的角夹公式求出二面角C GI A --的余弦值；（Ⅲ）思路一：)2,1,3(-=AF ，设)2,,3(λλλλ-==AF AG ，利用向量的运算求出GH ，再根据02=⋅n GH 求出λ的值，从而得到AG 的长；思路二：取CD 中点J ，连接AJ 交CH 于点K ，连接HJ ，然后利用HKJ ∆与CKA ∆相似求得AG 的长．试题解析：（Ⅰ）因为D 、E 分别是边AC 和AB 的中点， 所以BC ED //，因为⊂BC 平面BCH ，⊄ED 平面BCH ， 所以//ED 平面BCH因为⊄ED 平面BCH ，⊂ED 平面AED ，平面BCH ⋂平面HI AED = 所以HI ED // 又因为BC ED //，所以IH //BC . 4分 （Ⅱ）如图，建立空间右手直角坐标系，由题意得，)0,0,0(D ，)0,0,2(E ，)2,0,0(A ，)0,1,3(F ，)0,2,0(E ，)1,0,0(H ，)2,0,2(-=EA ，)0,1,1(=EF ，E(0,2,1)CH =-，1(1,0,0)2HI DE ==， 设平面AGI 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则1100EA n EB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，11110x z x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，令11z =，解得11x =，11y =-，则1(1,1,1)n =- 设平面CHI 的一个法向量为2222(,,)n x y z =，则2200CH n HI n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，12220y z x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令22z =-，解得11y =-，则2(0,1,2)n =--121cos ,15n n <>==所以二面角A GI C --的余弦值为158分 （Ⅲ）法（一）(3,1,2)AF =-，设(3,,2)AG AF λλλλ==-(0,0,1)(3,,2)(3,,21)GH AH AG λλλλλλ=-=---=---则20GH n ⋅=，解得23λ=，A23AG AF=== 12分法（二）取CD中点J，连接AJ交CH于点K，连接HJ，HKJ∆与CKA∆相似，得2AKKJ=，易证//HI GK，所以233AG AF==分考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、空间直角坐标系与空间向量在解决立体几何问题中的应用.20．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用的面积为求出点B的纵坐标，再利用点B在椭圆上求出点B的横坐标，最后利用点B在抛物线上确定p的值从而得到抛物线的方程；（Ⅱ）假设存在符合条件的直线4+=myx，设()()1122(,),(,),,,,E EF FC x yD x yE x yF x y,因为211sin21sin2OC OD COD OC ODSS OE OFOE OF EOF∠==∠1212sin sinsin sinE F E Fy yy yAOC AODy y y yAOC AOD⋅∠∠==⋅∠∠可通过直线4+=myx与抛物线相交与,C D得:12y y⋅的值；再利用点,E F是射线、与椭圆的交点，求出E Fy y⋅的关于m表达式，从而解方程求出m的值，进而确定直线的存在性.试题解析：解: （Ⅰ）因为OAB∆的面积为,所以，2分代入椭圆方程得)364,34(B，抛物线的方程是：4分（Ⅱ）存在直线l:符合条件解：显然直线l不垂直于y轴，故直线l的方程可设为4+=myx，与联立得.设,则12211sin 21sin 2E FOC OD COD OC OD y y S S OE OF y y OE OF EOF ∠∴===∠. 6分由直线OC 的斜率为,故直线的方程为，与联立得，同理，所以2E y ⋅8分可得2E y ⋅223625612148F y m ⨯=+要使，只需22232(12148)77362563m +⎛⎫= ⎪⨯⎝⎭10分即21214849121m +=⨯ 解得，所以存在直线l :符合条件 12分考点：1、抛物线、椭圆的标准方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系综合问题.21．（Ⅰ）1a =，；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）【解析】试题分析：（1）本题考查导数的几何意义，先求导，由()00f '=得0a b +=，再结合()211f e e e -=-+可得1,1a b ==-．（2）问题转化为求证()20f x x -≥，构造函数，然后通过求导可得()g x 在上单调递增，，2()f x x ∴≥．（3）本题是已知不等式恒成立求参数取值范围问题，构造函数()()()21ln 1h x x x =++-2x mx -，然后求导，并结合（2）可得()32h x x mx '≥-，然后分、情况讨论． 试题解析：（1），，，（2），设，，则，，在上单调递增，，在上单调递增，．2()f x x ∴≥．（3）设，()()()21ln 12h x x x x mx ∴=+++-'，由（2） 中知，，，当，即时，，在单调递增，，成立．②当，即时，，，令，得，当时，，在上单调递减，，不成立．综上，．考点：（1）导数的运算及其几何意义；（2）利用导数求函数的最值及分类讨论思想的应用；（3）构造函数的应用，注意小步设问寻找解决问题的突破口． 22．（1）√24；（2）BC =2√2．【解析】试题分析：（Ⅰ）设PA =x,PD =y ，利用ΔPAD 与ΔPCB 相似列比例式求解； （Ⅱ）因为为⊙的直径，所以∠C =90∘，于是可利用勾股定理求解.试题解析：(Ⅰ)由∠PAD = ∠PCB ，∠A =∠A ，得ΔPAD 与ΔPCB 相似， 设PA =x,PD =y 则有x 2y=y 4x ⇒y =√2x ，所以ADBC =x2y =√245分(Ⅱ)∠C =90∘，PA =4,PC =2√2,BC =2√210分 考点：1、相似三角形；2、勾股定理.23．（Ⅰ）直线l 与曲线C 的位置关系为相离；（Ⅱ）⎡⎣【解析】试题分析：（Ⅰ）转化成直线l 的普通方程,曲线C 的直角坐标系下的方程,即研究直线与圆的位置关系，由“几何法”得出结论．（Ⅱ）根据圆的参数方程，设cos ,sin )22M θθ+-+，转化成三角函数问题．试题解析：（Ⅰ）直线l 的普通方程为0x y -+=,曲线C 的直角坐标系下的方程为22(()122x y -++=,圆心22-到直线0x y -+=的距离为51d ==>所以直线l 与曲线C 的位置关系为相离．（Ⅱ）设cos ,sin )22M θθ+-+，则cos sin )4x y πθθθ⎡+=+=+∈⎣． 考点：1．简单曲线的极坐标方程、参数方程；2．直线与圆的位置关系；3．三角函数的图象和性质．24．（Ⅰ）不等式的解集为(][),31,-∞-⋃+∞；（Ⅱ）3a ≥-.【解析】试题分析：（I ）分12x ≤-，102x -<<，0x ≥三种情况讨论，去掉绝对值符号，转化不等式求出解集，取并集即可；（II ）移项可得1122a x x +-≤+，根据绝对值的几何意义，求出12x x +-的最大值，即可求得实数a 的取值范围. 试题解析：(I)① 当12x ≤-时，1223x x x --+≥⇒≤-，所以3x ≤- ② 当102x -<<时，12123x x x ++≥⇒≥，所以为φ ③ 当0x ≥时，121x x +≥⇒≥，所以1x ≥综合①②③不等式的解集(][),31,-∞-⋃+∞(II)即12122122a x x a x x +-≤+⇒+-≤+ 由绝对值的几何意义，只需11322a a -≤+⇒≥- 考点：绝对值不等式的解法和绝对值的几何意义.。
2021年高三数学第一次诊断性考试试题 理(含解析)
2021年高三数学第一次诊断性考试试题理（含解析）【试卷综析】本套试卷能从学科结构上设计试题，已全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，同时，试卷突出了学科的主干内容，集合与函数、不等式、数列、概率统计、解析几何、导数的应用等重点内容在试卷中占有较高的比例，也达到了必要的考查深度．本套试卷没有刻意追求覆盖面，还有调整和扩大的空间，注重了能力的考查，特别是运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力的强调比较突出，实践能力和创新意识方面也在努力体现.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。
第I卷1至2页，第II 卷2至4页.共4页。
满分150分。
考试时间120分钟.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.第I卷共10小题.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．【题文】1.已知集合A={x∈Z|x2-1≤0}，B={x|x2-x-2=0}，则A∩B=(A) (B) {2} (C) {0} (D) {-1}【知识点】集合运算. A1【答案解析】D 解析：因为A={-1，0，1}, B={-1，2}，所以，故选B.【思路点拨】化简集合A、B,从而求得.【题文】2．下列说法中正确的是(A) 命题“，”的否定是“，≤1”(B) 命题“，”的否定是“，≤1”(C) 命题“若，则”的逆否命题是“若，则”(D) 命题“若，则”的逆否命题是“若≥，则≥”【知识点】四种命题A2【答案解析】B 解析：根据命题之间的关系可知命题的否定是只否定结论，但全称量词要变成特称量词，而逆否命题是即否定条件又否定结论，所以分析四个选项可知应该选B.【思路点拨】根据命题之间的关系可直接判定.【题文】3．设各项均不为0的数列{a n}满足(n≥1)，S n是其前n项和，若，则S4=(A) 4 (B)(C) (D)【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以，故选D. 【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求.【题文】4．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则=(A) -3 (B)(C) 3 (D)【知识点】向量的数量积. F3【答案解析】A 解析：因为,所以()2+⋅=⋅+⋅=-=-,故选 A.AB BD DB AB DB BD DB BD03【思路点拨】利用向量加法的三角形法则，将数量积中的向量表示为夹角、模都易求的向量的数量积.【题文】5．已知，那么=(A) (B) (C) (D)【知识点】二倍角公式；诱导公式.C2,C6【答案解析】C 解析：因为，所以27cos 22cos 14425x x ππ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即，故选C. 【思路点拨】利用二倍角公式求得值，再用诱导公式求得sin2x 值.【题文】6．已知x ，y 满足则2x -y 的最大值为(A) 1(B) 2 (C) 3 (D) 4http//【知识点】简单的线性规划.E5 【答案解析】B 解析：画出可行域如图：平移直线z=2x-y 得 ，当此直线过可行域中的点A （1,0）时 2x-y 有最大值2，故选B.【思路点拨】设目标函数z=2x-y ，画出可行域平移目标函数得点A （1,0）是使目标函数取得最大值的最优解.【题文】7.已知x ∈[，]，则“x ∈”是“sin(sin x )<cos(cos x )成立”的(A) 充要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分不必要条件(D) 既不充分也不必要条件 【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 A2【答案解析】C 解析：解：（1）∵x∈[﹣，]，∴sinx+cosx≤，即＜sinx ＜﹣cosx ， ∴sin（sinx ）＜sin （﹣cosx ），即sin （sinx ）＜cos （cosx ）成立，（2）∵sin（sinx ）＜cos （cosx ）∴s in （sinx ）＜sin （﹣cosx ），sinx ＜﹣cosxsinx+cosx ＜，x ∈[﹣π，π]，∴x∈[，]，不一定成立，根据充分必要条件的定义可判断：“x∈[﹣，]是“sin（sinx ）＜cos （cosx ）成立”的充分不必要条件，故选：C【思路点拨】利用诱导公式，结合三角函数的单调性判断，命题成立，再运用充分必要条件定义判断【题文】8．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则(A) (B)(C) (D)【知识点】函数的单调性.B3【答案解析】C 解析：因为对任意两个不相等的正数，都有，即对任意两个不相等的正数，都有，所以函数是上的减函数，因为，所以b>a>c,故选C. 【思路点拨】构造函数，根据条件可以判断它是上的减函数，由此可以判断a,b,c的大小关系.【题文】9．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)【知识点】分段函数的应用B1【答案解析】D 解析：解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，则若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0与f（x）=log a x，x＞0的图象至少有3个交点，则0＜a＜1且满足g（5）＜f（5），即﹣2＜log a5，即log a5＞，则5，解得0＜a＜，故选：A【思路点拨】求出函数f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【题文】10．已知R，且≥对x∈R恒成立，则的最大值是(A) (B) (C) (D)【知识点】分类讨论 E8【答案解析】A 解析：由≥对x ∈R 恒成立，显然a ≥0，b ≤-ax ．若a =0，则ab =0．若a >0，则ab ≤a -a 2x ．设函数，求导求出f (x )的最小值为．设，求导可以求出g(a )的最大值为，即的最大值是，此时．【思路点拨】利用导数证明不等关系第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。
2021届新高考全国100所名校高考模拟示范卷(一)数学试题(word版,含解析)
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试一､选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡1.若,2z i i =-+则z= A.2-iB.1-2iC.-1+2iD.-2+i 2.已知集合2{|30},{2,2}A x x x a B =-+==-,若A∩B={2},则A ∪B=A.{-2,1,2}B.{-2,-1,2}C.{-2,3,2}D.{-2,2}3.62()x x-的展开式的常数项为 A.-120 B.-60 C.120 D.604.某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗,并在500名志愿者身上进行了人体注射实验,发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答｡若这些志愿者的某免疫反应蛋白M 的数值X(单位:mg/L)近似服从正态分布2(15,),N σ且X 在区间(10,20)内的人数占总人数的19,25则这些志愿者中免疫反应蛋白M 的数值X 不低于20的人数大约为A.30B.60C.70D.140 5.天文学中为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus,又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念｡星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大,它的光就越暗｡到了1850年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念｡天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述｡两颗星的星等与亮度满足12212.5(lg lg )m m E E -=-,其中星等为i m 的星星的亮度为(1,2).i E i =已知"角宿一"的星等是0.97,"水委一"的星等是0.47.“水委一”的亮度是"角宿一"亮度的r 倍,则与r 最接近的是(当|x|较小时,2101 2.3 2.7x x x ≈++)A.1.56B.1.57C.1.58D.1.596.已知圆C:22(3)(3)9x y -++=,直线l:(m+1)x+(2-m)y-3m=0,则当圆心C 到直线l 的距离最大时,直线l 被圆C 所截得的弦长为A.4 .25B .23C .27D7.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,底面ABCD 是梯形,2//,,43AB CD BCD AB π∠==,PD=BC=CD=2,则四棱锥P-ABCD 的外接球的表面积为A.16πB.18πC.20πD.24π8.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F(1,0),准线为l,过焦点F 的直线交抛物线C 于点A ､B(A 在x 轴上方),且点A 的横坐标为3,D 是y 轴正半轴上一点,O 为坐标原点,∠ODA 的角平分线过AF 的中点,则点D 的坐标为A.(0,2) 53.(0,)2B C.(0,3) .(0,33)D二､选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分｡9.已知曲线C:221.x y a b+= A.若C 是双曲线,则ab<0B.若a>0,C 是离心率为2的双曲线,则3b a =- C.若ab>0,则C 是椭圆D.若C 是离心率为12的椭圆,则34b a = 10.已知()cos()(0,0,0)f x A x B A ωϕωϕπ=++>><<,其部分图象如图所示,M ､N 分别为最高点､最低点,则A.A=7B.B=29 .4C πϕ= D.f(11)=32.511.如图,平面α∩平面β=直线l,点A,C ∈α,点B,D ∈β,且A ､B ､C ､D ∉l,点M ､N 分别是线段AB ､CD 的中点｡A.当直线AC 与BD 相交时,交点一定在直线l 上B.当直线AB 与CD 异面时,MN 可能与l 平行C.当A ､B ､C ､D 四点共面且AC//l 时,BD//lD.当M 、N 两点重合时,直线AC 与l 不可能相交12.已知数列{}n a 的通项公式是2,n n a =1a 和2a 之间插入1个数11,x 使1112,,a x a 成等差数列;在2a 和3a 之间插入2个数2122,x x ,使221223,,,a x x a 成等差数列;…;在n a 和1n a +之间插入n 个数12,,,n n n n x x x ,使121,,,,,n nn n n n a x x x a +成等差数列｡这样得到新数列{}:n b 1112212233132334,,,,,,,,,a x a x x a x x x a …,记数列{}n b 的前n 项和为,n S 则836.A a b =B.112132n n n n n n n a x x x a n -++++++=⋅ 38.320C b = 45.6401D S =三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡把答案填在答题卡中的横线上｡13.若向量a =(1,2),b -a =(-2,1),则a ·b =____.14.若函数21()7ln 2f x x x a x =-++在x=2处取极值,则a=____ ,f(x)的极大值为____.15.已知正实数a,b,c 满足22243,a b c +=则2c c a b +的最小值为____. 16.如图,在△ABC 中,,3BAC A π∠=B=3,AC=2,点D 为边BC 上一个动点,将△ABD 沿AD 翻折,使得点B到达B '的位置,且平面AB D '⊥平面ACD.当CD=_____时,B C '到最小值｡四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡17.(本小题满分10分)在3210,9,3a S b ==<-①②③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中｡设n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,满足____2,36nn n a a S b +=+是否存在实数b,使得数列{}n a 成为等差数列?若存在,求出b 和数列{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由｡(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)18.(本小题满分12分)第七次全国人口普查是指中国在2020年开展的全国人口普查,普查标准时点是2020年11月1日零时,将彻查人口出生变动情况以及房屋情况｡普查对象是普查标准时点在中华人民共和国境内的自然人以及在中华人民共和国境外但未定居的中国公民,不包括在中华人民共和国境内短期停留的境外人员｡普查主要调查人口和住户的基本情况,内容包括:姓名､公民身份证号码､性别､年龄､民族､受教育程度､行业､职业､迁移流动､婚姻生育､死亡､住房情况等｡普查登记方式全程电子化方式普查,由普查员使用手机上门入户登记或由普查对象通过互联网自主填报｡某机构调查了100位居名的普查登记方式,数据统计如下表,部分数据缺失 普查员使用手机上门入户登记 通过互联网自主填报 年龄不超过40岁10 a 年龄超过40岁b 15已知从调查的居民中任取一人,其年龄不超过40岁的概率比其年龄超过40岁的概率大110. (1)求a,b 的值；(2)是否有99%的把握认为年龄与普查登记方式有关?附:22()()()()()n ad bc a b c K d a c b d -=++++其中n=a+b+c+d.P(K 2≥k 0) 0.050 0.010 0.001K 0 3.841 6.635 10.82819.(本小题满分12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知28sin 72cos2.2B C A -+-=(1)求A;(2)若7,a =b+c=5,求BC 边上的高.20.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,∠ACB=90°,1,.AC BC AB AA ==D ､E 分别是1CC 、1BB 的中点.(1)证明:1C E ⊥平面ACB 1；(2)求二面角1C AB D --的余弦值.21.(本小题满分12分)已知12F F 、分别为椭圆C:22184x y +=的左､右焦点,点M 是椭圆C 上异于左､右顶点的一点,过点1F 作12F MF ∠的外角平分线的垂线交2F M 的延长线于P 点.(1)当M 点在椭圆C.上运动时,求P 点的轨迹方程E.(2)设点N(t,0)(t≠0),过点N 作一条斜率存在且不为0的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,点B 关于x 轴的对称点为B '直线AB '交x 轴于点T,O 是坐标原点,求证:|ON|·|OT|为定值.22.(本小题满分12分)已知函数2()ln 1.f x x x =-+(1)求曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若方程f(x)=b 有两个实数根12,,x x 且12,x x <证明:2112.x x b -<-。
辽宁朝阳市普通高中2021届高三第一次模拟考试理综物理试题
B．t=0时，导体棒ab两端的电压为1.0V
C．t=0时，导体棒的加速度大小为
D．导体棒ab达到稳定状态时，导体棒所受重力的瞬时功率0.25W
9．下列说法中正确的是（ ）
A．制作晶体管、集成电路只能用单晶体
B．当分子间的距离小于 时，分子势能随着分子间距离的减小而减小
A．两列波的波源起振方向相同
B．Ⅰ和Ⅱ两列波的波长之比为1：2
C．t=0.05s时，质点P向下振动，质点Q的坐标为（18cm，-3cm）
D．Ⅰ和Ⅱ两列波将在t=0.1s时相遇，之后叠加形成稳定的干涉图样
E.t=0.12s时，x=10cm处的质点位移为零但振动加强
三、实验题
11．利用如图所示的实验装置“探究合力功与物体动能改变的关系”，将光电门固定在轨道上的B点，用重物通过细线拉小车，小车质量为M，保持小车质量不变，改变所挂重物质量m多次进行实验，每次小车都从同一位置A由静止释放（g取 ）。
辽宁朝阳市普通高中2018届高三第一次模拟考试理综物理试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，氢原子在不同能级间发生a、b、c三种跃迁时，释放光子的频率分别是va、vb、vc，下列关系式正确的是（）
A．vb=va+vc
A．1250NB．2520NC．2625ND．5250N
二、多选题
6．在光滑水平面上，一质量为m的小球1以速度 与静止的小球2发生正碰，碰后小球1、2的速度大小均为 ．小球2的质量可能是（）
A．mB．2mC．3mD．4m
7．某人身系弹性绳自高空P点自由下落，图中a点是弹性绳的原长位置，c是人所到达的最低点，b是人静止地悬吊着时的平衡位置．不计空气阻力，则下列说法中正确的是()
辽宁省朝阳市2021届新高考数学一模考试卷含解析
辽宁省朝阳市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为( )AB．C ．132D．【答案】C 【解析】因为直三棱柱中，AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径．取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球直径，所以2R13，即R ＝1322．在满足04i i x y <<≤，i i y xi i x y =的实数对(),i i x y (1,2,,,)i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，使得1213n n x x x x -++⋅⋅⋅+<成立的正整数n 的最大值为( ) A ．5 B ．6C ．7D ．9【答案】A 【解析】 【分析】由题可知：04i i x y <<≤，且ii y x iix y =可得ln ln i i i i x y x y =，构造函数()()ln 04t h t t t=<≤求导，通过导函数求出()h t 的单调性，结合图像得出min 2t =，即2i x e ≤<得出33n x e <， 从而得出n 的最大值. 【详解】因为04i i x y <<≤，i i y xi i x y = 则ln ln yi xii i x y =，即ln ln i i i i y x x y =整理得ln ln i ii ix y x y =，令i i t x y ==， 设()()ln 04th t t t =<≤， 则()2211ln 1ln t tt t h t t t ⋅-⋅-'==，令()0h t '>,则0t e <<，令()0h t '<，则4e t <≤， 故()h t 在()0,e 上单调递增，在(),4e 上单调递减，则()1h e e=， 因为i i x y <，()()i i h x h y =， 由题可知：()1ln 44h t =时，则min 2t =，所以2t e ≤<， 所以24i i e x y ≤<<≤，当n x 无限接近e 时，满足条件，所以2n x e ≤<， 所以要使得121338.154n n x x x x e -+++<<≈L故当12342x x x x ====时，可有123488.154x x x x +++=<， 故14n -≤，即5n ≤， 所以：n 最大值为5. 故选：A. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法，同时考查转化思想和解题能力.3．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ） A ．227B ．15750C ．289D ．337115【答案】C 【解析】 【分析】将圆锥的体积用两种方式表达，即213V r h π==23(2)112r h π，解出π即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，则213V r h π=，又2233(2)112112V L h r h π≈=， 故23(2)112r h π213r h π≈，所以，11228369π≈=. 故选：C. 【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.4．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+?上单调递增的是（ ）A ．y x =B ．()sin f x x x =C ．()2f x x x =+ D ．1y x =+【答案】C 【解析】 【分析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可. 【详解】 A ：y x =为非奇非偶函数，不符合题意；B ：()sin f x x x =在()0,∞+上不单调，不符合题意；C ：2y xx =+为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，符合题意；D ：1y x =+为非奇非偶函数，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题. 5．函数()2cos2cos221x xf x x =+-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性可排除AB 选项；结合特殊值，即可排除D 选项. 【详解】∵()2cos221cos2cos22121x xx x f x x x +=+=⨯--，()()()2121cos 2cos22121x x x x f x x x f x --++-=⨯-=-⨯=---，∴函数()f x 为奇函数， ∴排除选项A ，B ；又∵当04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故选：C. 【点睛】本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题. 6．函数()cos 22x xxf x -=+的部分图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式，可知()f x 的定义域为x ∈R ，通过定义法判断函数的奇偶性，得出()()f x f x -=，则()f x 为偶函数，可排除,C D 选项，观察,A B 选项的图象，可知代入0x =，解得()00f >，排除B 选项，即可得出答案. 【详解】 解：因为()cos 22x xxf x -=+，所以()f x 的定义域为x ∈R ， 则()()()cos cos 2222x x x xx xf x f x ----===++， ∴()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除,C D 选项， 且当0x =时，()1002=>f ，排除B 选项，所以A 正确. 故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除. 7．若各项均为正数的等比数列{}n a 满足31232a a a =+，则公比q =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】 【分析】由正项等比数列满足31232a a a =+，即211132a q a a q =+，又10a ≠，即2230q q --=，运算即可得解.【详解】解：因为31232a a a =+，所以211132a q a a q =+，又10a ≠，所以2230q q --=，又0q >，解得3q =. 故选：C. 【点睛】本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题.8．已知非零向量,a b r r 满足a b λ=r r ，若,a b rr 夹角的余弦值为1930，且()()23a b a b -⊥+r r r r ，则实数λ的值为（ ） A ．49-B ．23C ．32或49-D ．32【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直则数量积为零，结合a b λ=r r以及夹角的余弦值，即可求得参数值.【详解】依题意，得()()230a b a b -⋅+=r r r r ，即223520a a b b -⋅-=rr r r .将a b λ=r r代入可得，21819120λλ--=，解得32λ=（49λ=-舍去）.故选：D. 【点睛】本题考查向量数量积的应用，涉及由向量垂直求参数值，属基础题.9．已知函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42xg x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（ ）A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数0x 满足的等量关系，代入后将方程变形0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，构造函数()ln 5h x x x =+-，并由导函数求得()h x 的最大值；由基本不等式可求得00242x x a a -⋅+⋅的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数a 的取值范围. 【详解】函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42x gx x a -=-⋅，由题意得()()0000002ln 425x x f x g x x a x a --=+⋅-+⋅=，即0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，令()ln 5hx x x =+-，∴()111xh x x x-'=-=， ∴()h x 在()01，上单调递增，在()1+∞，上单调递减，∴()()14max hx h ==，而0024224xx a a a -⋅+⋅≥=，当且仅当00242x x -=⋅，即当01x =时，等号成立， ∴44a ≤， ∴01a <≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.10．已知函数()5sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( )A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图像平移原则，即可容易求得结果. 【详解】 因为sin cos 122f x x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故要得到()g x ，只需将()f x 向左平移12π个单位长度.故选：A. 【点睛】本题考查函数图像平移前后解析式的变化，属基础题. 11．设复数z ＝213ii-+，则|z|＝（ ）A ．13B ．3C ．12D ．2【答案】D 【解析】 【分析】先用复数的除法运算将复数z 化简，然后用模长公式求z 模长. 【详解】解：z ＝213i i -+＝(2)(13)(13)(13)i i i i --+-＝1710i --＝﹣110﹣710i ,则|z|2. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的基本概念和基本运算,属于基础题.12．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布3531尺，则这位女子织布的天数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．1【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，55S =，3531m S =，求m 的值． 因为()51512512a S -==-，解得1531a =，()51235311231m mS -==-，解得3m =．故选B ． 【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2021届辽宁省朝阳市普通高中高三第一次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|0}A y y =≥ ，AB B = ，则集合B 不可能是（ ）A ．{|0}y y x x =≥， B ．1{|()}2x y y x R =∈， C ．{|lg 0}y y x x =>， D ．∅2.设复数z 满足(1)13i z i -=+ （i 是虚数单位），则||z 等于（ ）A ．2B ．2C ．12D ．223.按照程序框图（如图所示）执行，第3 个输出的数是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．34.已知数列{}n a 的通项公式262n a n =- ，若使此数列的前n 项和n S 最大，则n 的值为（ ） A ．12 B ．13 C.12 或13 D ．145.《九章算术》是我国古代内容即为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍凳，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3 丈，长4 丈，上棱长2 丈，高2 丈，问：它的体积是多少？”已知1 丈为10 尺，该锲体的三视图如图所示，在该锲体的体积为（ ）A ．10000 立方尺B ．11000 立方尺 C.12000 立方尺 D ．13000 立方尺 6.将函数3sin(2)3y x π=+ 的图象向右平移3π个单位长度后，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标压缩到原来的12倍，最终所得图象对应的函数的最小正周期为（ ） A ．6π B ．2πC.56π D ．2π7.设中心在原点、焦点在x 轴上的双曲线的焦距为12 ，圆22(6)20x y -+= 与该双曲线的渐近线相切，点P 在双曲线上，若点P 到焦点1F 的距离是9 ，则点P 到2F 的距离是（ ） A ．17 或1 B ．13 或5 C.13 D ．178.一个含有5 项的等比数列，其中每一项都是小于100 的正整数，这5 项的和为121 ，如果S 是数列中奇数项之和，则S 等于（ ）A ．90B ．91 C.118 D ．1219.某地流行一种游戏，如图一是一长方形纸盒，高为4 ，宽为3 ，纸盒底部是一个“心形”图案，如图二所示，“心形”图案是由上边界1C （虚线L 上方部分）与下边界2C （虚线L 下方部分）围成，曲线1C 是函数4251y x x =-+ 的图象，曲线2C 是函数2271y x x =--+ 的图象，游戏者只需向纸盒内随机投掷一颗瓜子，若瓜子落在“心形”图案内部即可获奖，则一次游戏获奖的概率为（ ）A ．1627π-B ．12427π- C.11227π- D ．24+1235π10.从20名男同学和30名女同学中选4人去参加一个会议，规定男女同学至少各有1人参加，下面是不同的选法种数的三个算式：①112203048C C C ；②444502030C C C --；③132231203020302030C C C C C C ++.则其中正确算式的个数是（ ）A ．0B ．1 C.2 D ．311.已知定义在R 上的奇函数()f x 可导，设其导函数为()f x '，当(0)x ∈-∞，时，恒有()()xf x f x '<-，令()()F x xf x =，则满足(3)(21)F F x >-的实数x 的取值范围是（ ） A ．()21-，B ．112⎛⎫- ⎪⎝⎭， C.122⎛⎫⎪⎝⎭， D ．()12-， 12.在ABC △中，G 为ABC △的重心，过G 点的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP hAB =，AQ k AC =，则1625h k +的最小值（ ）A ．27B ．81 C.66 D ．41第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设变量x 、y 满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+最大值是 ．14.抛物线C ：22y px =（0p >）的准线与x 轴的交点为M ，过点M 作C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，则PMQ ∠= ．15.矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E ，F 分别是AB ，DC 的中点，则四棱锥P EBCF -的外接球表面积为 ． 16.函数1()sin (sin cos )2f x x x x =+-在区间()2a a ππ，（01a <<）上有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在ABC △中，已知45A =︒，4cos 5B =.（1）求cos C 的值；（2）若10BC =，D 为AB 的中点，求CD 的长.18. 在如图所示的几何体ABCDEF 中，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 和四边形ABEF 都是正方形，且边长为2，Q 是AD 的中点.（1）求证：直线AE∥平面FQC；（2）求二面角A FC B--的大小.19. 为了调查学生数学学习的质量情况，某校从高二年级学生（其中男生与女生的人数之比为9:11）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生依期中考试的数学成绩进行统计.根据数学的分数取得了这n名同学的数据，按照以下区间分为八组：①[3045)，，⑦[120135)，，，⑧[135150)，，⑥[105120)，，②[4560)，，⑤[90105)，，③[6075)，，④[7590)得到频率分布直方图如图所示.已知抽取的学生中数学成绩少于60分的人数为5人.（1）求n的值及频率分布直方图中第④组矩形条的高度；（2）如果把“学生数学成绩不低于90分”作为是否达标的标准，对抽取的n名学生，完成下列22⨯列联表：据此资料，你是否认为“学生性别”与“数学成绩达标与否”有关？（3）若从该校的高二年级学生中随机抽取3人，记这3人中成绩不低于120分的学生人数为X，求X的分布列、数学期望和方差附1：“22⨯列联表ab c d ”的卡方统计量公式：22()()()()()()a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++ 附2：卡方（2K ）统计量的概率分布表：2()0.0500.0100.0013.841 6.63510.828P K k k≥20. 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左右焦点分别为1F ，2F 且2F 关于直线0x y a -+=的对称点M在直线320x y +=上. （1）求椭圆的离心率；（2）若过焦点2F 垂直x 轴的直线被椭圆截得的弦长为3，斜率为12的直线l 交椭圆于A ，B 两点，问是否存在定点P ，使得PA ，PB 的斜率之和为定值？若存在，求出所有满足条件的P 点坐标；若不存在，说明理由.21. 已知函数2211()()ln 24f x x ax x x ax =--+（常数0a >）.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x '是()f x 的导函数，求证：3()4ln x f x e a x -'<-.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)4πρθ=-，直线l 的参数方程为1x t y t=-⎧⎨=+⎩t 为参数，直线l 和圆C 交于A ，B 两点.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设l 上一定点(01)M ，，求MA MB ⋅的值.23.已知函数()3f x x m =--，且()0f x ≥的解集为(2][4)-∞-+∞，， （1）求m 的值；（2）若x R ∃∈，使得()2f x t x ≥+-成立，求实数t 的取值范围.2021届辽宁省朝阳市普通高中高三第一次模拟考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:CABCA 6-10:BDBCC 11、12：DA二、填空题13.10 14.2π 15.44π 16.1159()(]8488，， 三、解答题17.（1）4cos 5B =，且(0180)B ∈，，∴23sin 1cos 5B B =-=． cos cos(180)cos(135)C A B B =--=-2423cos135cos sin135sin 55B B =+=-⋅+⋅2=-． （2）由（1）可得2227sin 1cos 1()21010C B =-=--=． 由正弦定理得sin sin BC ABA C =，即722102AB =，解得14AB =. 在BCD △中，7BD =，22247102710375CD =+-⨯⨯⨯=，所以37CD =．18.证明：（1）∵且AF BE ∥，AD BC ∥AF 与AD 交于点A ，BE 与BC 交于点B∴平面ADF ∥平面BCE ，∴几何体ADF BCE -是三棱柱又平面ABCD ⊥平面ABEF ，AB BC ⊥，∴AB ⊥平面BCE ，故几何体ADF BCE -是直三棱柱（1）四边形ABCD 和四边形ABEF 都是正方形，所以EF AB DC ∥∥且EF AB DC ==，所以四边形DCEF 为矩形；于是，连结DE 交FC 于P ，连结PQ ，P 是DE 中点，又Q是AD 的中点，故PQ 是边AE 的中位线，PQ AE ∥，注意到AE 在平面FQC 外，PQ 在平面FQC 内，∴直线AE ∥平面FQC（2）由于平面ABCD ⊥平面ABEF ，AB BC ⊥，∴BC ⊥平面ABEF ，所以BC BE ⊥.于是AB ，BC ，BE 两两垂直.以BA ，BC ，BE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，因正方形边长为2，且Q 为AD 中点，所以(210)Q ，，，(202)F ，，，(020)C ，，，(000)B ，， 于是(020)BC =，，，(202)BF =，，，设平面BFC 的法向量为()m x y z =，， 则00m BC m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解之得(101)m =-，，，同理可得平面AFC 的法向量(110)n =，，，∴1cos 2m n =，记二面角B FC A --的大小为θ，依题意知，θ为锐角，1cos 2θ=，3πθ= 即求二面角B FC A --的大小为3π19.（1）“成绩少于60分”的频率511()151001500375n n =+⋅⇒=④的高度[7590)，的率距内频组151530151515151()150037537550601003001/12515-++++++== （2）按照“男生”和“女生”分层抽样 在容量为100的样本中，“男生”人数910045911=⨯=+，“女生”人数1110055911=⨯=+“达标”即“成绩不低于90分”的频数1111()15100755060100300=+++⨯⨯= 据此可填表如下：据表可得卡方统计量22100(30104515)1004555752533K ⨯-⨯==⨯⨯⨯ 3.030 3.841=< 故有不足95%的把握认为“学生性别”与“数学成绩达标与否”有关 可以认为它们之间没有关联（3）“成绩不低于120分”的频率111()151003005=+⨯=因高二年级的学生数远超过样本容量,故从该年级抽取任意1人的概率都可认为是15从而1~(3)5X B ，则031464(0)()()55125P X ===，12148(1)()()55125P X 4===211412(2)()()55125P X ===，30141(3)()()55125P X === 故X 的分布列为：01236448121125125125125XP数学期望13()355E X =⨯=方差1112()3(1)5525D X =⨯⨯-=20.（1）依题知2(0)F c ，，设00()M x y ，，则001y x c =--且00022x c y a +-+=，解得00x a y a c =-⎧⎨=+⎩，即()M a a c -+， ∵M 在直线320x y +=上，∴32()0a a c -++=，2a c =，∴12c e a == （2）由（1）及题设得：12c a =且223b a =，∴2a =，b =22143x y +=设直线l 方程为12y x t =+，代入椭圆方程消去y 整理得2230x tx t ++-=.依题0∆>，即24t <设11()A x y ，，22()B x y ，，则12x x t +=-，2123x x t =-如果存在()P m n ，使得PA PB k k +为定值，那么PA PB k k +的取值将与t 无关1212PA PBy n y n k k x m x m--+=+--223()2323n m t mn t mt m -+-=++-，令223()2323n m t mn M t mt m -+-=++- 则223()32302Mt mM m n t m M M mn ++-+--+=为关于2(4)t t <的恒等式∴03223M n m mn =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得132m n =⎧⎪⎨=⎪⎩或132m n =-⎧⎪⎨=-⎪⎩综上可知，满足条件的定点P 是存在的，坐标为3(1)2--，及3(1)2，21.（1）()()ln f x x a x '=-（0x >，0a >）画出y x a =-（0a >）及ln y x =（0x >）的图象，它们的零点分别为a 和1 ①当01a <<时，()f x 在(0)a ，↑，(1)a ↓，，(1)+∞↑， ②当1a =时，()f x 在(1)+∞↑，③当1a >时，()f x 在(01)↑，，(1)a ↓，，()a +∞↑， （2）因()()ln ln ln f x x a x x x a x '=-=-要证3()4ln x f x e a x -'<-，需证3ln 4x x x e -<（0x >） 法1.即证32ln 4x x e x x-<（0x >）设ln ()xF x x=（0x >），324()x e G x x -=（0x >）一方面21ln ()xF x x -'=（0x >）()F x ⇒在(0)e ↑，，()e +∞↓， 则1()()F x F e e=≤① 另一方面，334(2)()x x e G x x --'=（0x >）()G x ⇒在(02)↓，，(2)+∞↑， 则1()(2)G x G e=≥②据①②()()F x G x ⇒≤有因①的取等条件是x e =，②的取等条件是2x =故()()F x G x <，即32ln 4x x e x x -<（0x >），即3()4ln x f x e a x -'<- 法2先证1ln x x e≤（0x >）（差函数）进而21ln x x x e≤（0x >）再证2314x x e e -≤（差函数或商函数）说明等号不成立故3ln 4x x x e -<（0x >）成立.22.解：（1）)cos 4πρθθθ=-=-2sin 2cos θθ=-∴22sin 2cos ρρθρθ=- ∴2222x y y x +=- ∴22(1)(1)2x y ++-=（2）直线l的参数方程可化为1x y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩t '为参数 代入22(1)(1)2x y ++-=，得22(1))2''++=化简得：210t ''-=∴121t t ''⋅=-∴121MA MB t t ''=⋅= 23.解：（1）不等式30x m --≥的解集为(3][3)m m -∞-⋃++∞，， 又∵()30f x x m =--≥的解集为(2][4)-∞-⋃+∞，， ∴34m +=，32m -=-∴1m =（2）∵x ∃∈R ，使得()2f x t x ≥+-成立∴x R ∃∈，使得132x t x --≥+-∴x R ∃∈，123x x t ---≥+ 令11()12231212x g x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<≤⎨⎪>⎩∴x ∃∈R ，123x x t ---≥+ ∴max 3()1t g x +≤=∴2t ≤-.。