2021届四川省宜宾市第四中学高三年级上学期第一次月考数学(理)试题及答案
2021届四川省宜宾市第四中学高三年级上学期第一次月考理科综合试题及答案
绝密★启用前四川省宜宾市第四中学2021届高三年级上学期第一次月考检测理科综合试题可能用到的相对原子质量：C-12 N-14 O-16 S-32 C1-35.5 Ba-137 Cu-64 Na-23第I卷选择题（126分）一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．HIV能通过细胞表面的CD4（一种受体蛋白）识别T细胞，如果给AIDS患者大量注射用CD4修饰过的红细胞,红细胞也会被HIV识别、入侵。
因HIV在红细胞内无法增殖,红细胞成为HIV的“陷阱细胞”,这为治疗AIDS提供了新的思路。
下列相关叙述正确的是A．吡罗红能使HIV的遗传物质呈现红色B．入侵到成熟红细胞内的HIV会利用其核糖体合成蛋白质C．由于成熟红细胞内没有线粒体,HIV缺少能量而无法增殖D．CD4是成熟红细胞合成的一种抗体,与双缩脲试剂反应呈紫色2．关于细胞及其结构的相关叙述正确的是A．S型肺炎双球菌通过核孔实现核质间频繁的物质交换和信息交流B．溶酶体内合成的水解酶可用于分解损伤、衰老的细胞器C．哺乳动物成熟红细胞中的血红蛋白是核糖体合成的D．叶绿体、液泡中的色素参与将无机物合成有机物的过程3．高中生物有不少物质鉴定的内容,下列有关还原性糖鉴定的实验操作和现象,有错误的是溶液先混合B．50-65℃的温水浴A．NaOH溶液和CuSO4C．生成砖红色沉淀为CuO D．直接观察,不需要显微镜4．下列有关神经调节与体液调节的叙述,错误的是A．不少内分泌腺本身直接或间接地受中枢神经系统的调节B．单细胞动物既不具有体液调节,也不具神经调节C．代谢产物也可能成为体液调节的调节因子D．神经系统的某些结构也能参与体液调节5．慢性髓细胞性白血病患者骨髓内会出现大量恶性增殖的白细胞。
该病是由于9号染色体和22号染色体互换片段引起部分基因位置发生改变所致。
该变异属于A．基因突变 B．基因重组C．染色体结构变异 D．染色体数目变异6．南极磷虾生活在围绕南极洲的海域,是南极生态系统中的关键物种（如图所示）,它是鲸类、企鹅等生物的重要食物来源。
2021届四川省宜宾市第四中学校高三第一次高考适应性考试数学(理)试题Word版含解析
2021届四川省宜宾市第四中学校高三第一次高考适应性考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合A 为自然数集N ，集合{}23,B x x x =<∈Z ，则( ) A ．{}1A B ⋂= B ．{}0,1AB =C ．A B B ⋃=D ．A B A ⋃=【答案】B【解析】解一元二次不等式化简集合B ，再利用交集定义，即可得到答案； 【详解】集合A 为自然数集N ，集合2{|3B x x =<，}x Z ∈，{0A ∴=，1，2，3，}⋯，{}1,0,1B =-， {0A B ∴=，1}．故选：B ． 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．已知复数z 满足(34)12i z i -=-（i 是虚数单位），则其共轭复数在复平面位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【解析】先求出z ，再求出其共轭复数，而后根据复数的几何意义作出判断即可. 【详解】(34)12i z i -=-，∴12(12)(34)34682134(34)(34)91655i i i i i z i i i i --+++-====-+--+--， 其共轭复数为：2155z i =--，在复平面内对应点的坐标为21(,)55--，在第三象限. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查共轭复数，考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题. 3．已知平面向量()a 1,2=, ()b 2,m =-, 且a //b , 则b = ( )A B C ．D ．【答案】D【解析】根据向量//a b ，列出方程求得m 的值，得到向量b 的坐标，再由模的计算公式，即可求解． 【详解】由题意，向量//a b ，则122m=-，解得4m =-，即(2,4)b =--，所以2(2)b =-=D ．【点睛】本题主要考查了平面向量的运算及向量的模的计算问题，其中熟记向量共线的条件和向量的 模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各处儿何？其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”．若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿（ ） A ．507斗粟 B ．107斗粟 C ．207斗粟 D ．157斗粟 【答案】D【解析】先确定羊、马、牛的主人应赔偿的比例，再根据比例分别计算各个主人应赔偿的斗数即可求解. 【详解】羊、马、牛的主任所应赔偿的比例是1:2:4，故牛主人比羊主人多赔偿了15577417⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭斗. 故选：D. 【点睛】本题为一道数学文化题，考查阅读理解能力，考查划归于转化思想，此类题型在近几年中经常出现.. 5．两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为56和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A ．12B ．13C ．512D ．16【答案】B【解析】根据题意，分析可得，这两个零件中恰有一个一等品包含仅第一个实习生加工一等品与仅第二个实习生加工一等品两种互斥的事件，而两个零件是否加工为一等品相互独立，进而由互斥事件与独立事件的概率计算可得答案． 【详解】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ， 即仅第一个实习生加工一等品为事件1A ， 仅第二个实习生加工一等品为事件2A 两种情况， 则()()()125113164643P A P A P A =+=⨯+⨯=， 故选：B ． 【点睛】本题考查了相互独立事件同时发生的概率与互斥事件的概率加法公式，解题前，注意区分事件之间的相互关系，属于基础题.6．已知()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，其部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A ．()13sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()153sin 26x x f π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()153sin 26x x f π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()13sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据图像可得函数周期，最值，则可得,A ω，再根据五点作图法求得ϕ即可. 【详解】 由图可知24T ππω==，解得12ω=； 又因为()3max f x =，故可得3A =；由五点作图法可知1023πϕ⨯+=，解得6πϕ=-， 故()13sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查由正弦型函数的图像求解函数解析式，属基础题.7．某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（ ） A ．6种 B ．12种 C ．18种 D ．24种【答案】B【解析】方法数有1143C C 12=种.故选B.8．已知函数y =f （x ），若对其定义域内任意x 1和x 2均有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，则称函数()f x 为“凸函数”；若均有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，则称f （x ）函数为“凹函数”.下列函数中是“凹函数”的是( ) A ．13y x = B ．2yx C ．2log y x =D ．231x y x +=- 【答案】B【解析】根据“凹函数”的定义及选项逐个进行判定，可利用特殊值简化判断过程. 【详解】对于A ，因为()()1311,22201012f f f +⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎭+⎝，131122⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以不符合“凹函数”的定义；对于B ，任意12,x x R ∈，()1212242x x f x x +⎛⎫= ⎪⎭+⎝，()()22121222f x f x x x ++=， 因为()()2222221212121212202444x x x x x x x x x x +-++--==>，所以1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭，符合“凹函数”的定义；对于C ，因为()()231log ,22212122f f f +⎛⎫== ⎪+⎝⎭，231log 22>，所以不符合“凹函数”的定义； 对于D ，因为()()3122403032f f f +⎛⎫=>⎪⎭+= ⎝，所以不符合“凹函数”的定义； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数性质的新定义，准确理解定义是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养. 9．设π()3sin 112f x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若f （x ）在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的取值范围是( ) A ．57,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．57,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．70,4⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题意利用正弦函数的单调增区间，可得[12312x πωππω-∈--，]612ωππ-，故有31226122ωπππωπππ⎧---⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，由此求得ω的取值范围． 【详解】 设()3sin()112f x x πω=-+，在[,]36ππ-上，[12312x πωππω-∈--，]612ωππ-， 由于()f x 为增函数，∴31226122ωπππωπππ⎧---⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，即5472ωω⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 求得504ω<， 故选：D ． 【点睛】本题考查正弦函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．10．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．6πC ．8πD ．2π【答案】C【解析】由题意判断几何体的形状，几何体扩展为长方体，求出外接球的半径，即可求出外接球的表面积 【详解】几何体为三棱锥，可以将其补形为长和宽都是2，高为2的长方体 该长方体的外接球和几何体的外接球为同一个 故22222(2)(2)22R =++=，2R =所以外接球的表面积为：248R ππ=． 故选：C【点睛】本题考查球的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题.11．若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为 （ ） A ．2B 3C 2D 23【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为d ==()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c=== 即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2e ===．故选A ． 点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．12．已知函数y=f （x ）的图象与函数y=a x （a ＞0且a ≠1）的图象关于直线y=x 对称，记g （x ）=f （x ）[f（x ）+f （2）-1]．若y=g （x ）在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,∞+ B ．()()0,11,2⋃C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】先表述出函数()f x 的解析式然后代入将函数()g x 表述出来，然后对底数a 进行讨论即可得到答案． 【详解】已知函数()y f x =的图象与函数(0,1)xy a a a =>≠的图象关于直线y x =对称，则()log a f x x =，记()()()2[(2)1](log )(log 21)log a a a g x f x f x f x x =+-=+-．当1a >时，若()y g x =在区间1[,2]2上是增函数，log a y x =为增函数，令log a t x =，t ∈1[log ,log 2]2aa ，要求对称轴log 211log 22a a --≤，无解； 当01a <<时，若()y g x =在区间1[,2]2上是增函数，log a y x =为减函数，令log a t x =，t ∈1[log 2,log ]2a a ，要求对称轴log 211log 22a a --≥， 解得12a ≤，所以实数a 的取值范围是1(0,]2，故选D ． 【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数互为反函数．这里注意指数函数和对数函数的增减性与底数的大小有关，即当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．二、填空题13．若x ，y 满足约束条件2020x x y x y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪-+≤⎩则2z x y =-的最大值为______．【答案】3- 【解析】【详解】分析：画出约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．详解：由x ，y 满足约束条件2,0,20,x x y x y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪-+≤⎩作出可行域如图，化目标函数z=x ﹣2y 为y=12x ﹣2z ， 由图可知，当直线y=12x ﹣2z 过点A （﹣1，1）时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为﹣3． 故答案为﹣3点睛：本题考查简单的线性规划，意在考查学生线性规划基础知识的掌握能力和数形结合的解题思想方法. 14．()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为________.（用数字填写答案）【答案】40【解析】由二项式定理及分类讨论思想得：5(2)x y -的展开式的通项为515(2)()r rr r T C x y -+=-，则5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为352C -2235240C +=，得解．【详解】由5(2)x y -的展开式的通项为515(2)()r rr r T C x y -+=-，0,1,,5r =,则5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为352C -2235240C +=， 故答案为：40． 【点睛】本题考查二项式定理的运用、求指定项的系数，考查逻辑推理能力、运算求解能力.15．过抛物线28y x =的焦点的一条直线交抛物线与,A B 两点，正三角形ABC 的顶点C 在直线2x =-上，则ABC ∆的边长是______. 【答案】24【解析】由抛物线的方程与几何性质，利用ABC 是正三角形，求出直线AB 的斜率和方程，再与抛物线方程联立，求得弦长|AB |的值. 【详解】解：抛物线方程为28y x =，焦点为()2,0P ，准线方程为:2l x =-，如图所示，由ABC 是正三角形，设M 为AB 的中点，11,,AA l BB l MN l ⊥⊥⊥，垂足分别为11,A B 和N ， 则()11111()222MN BB A AA F BF AB =+=+=，3MC AB =， 又3cos sin sin CMN NMF AFx ∠==∠=∠， ∴直线AB 的斜率为2323tan 2313k AFx =∠==⎛⎫- ⎪⎝⎭，AB 直线方程为22)y x =-； 由22(2)28y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得22040x x -+=， 1220x x ∴+=，12||20424AB x x p ∴=++=+=.故答案为：24. 【点睛】本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了弦长公式，是中档题.16．若函数2e ,?0()e 1,?0x m x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数m 的最大值是_______.【答案】2e 1+【解析】由题意题目可转化方程2e 1e x x m +=+有两个不等的正根，得2e 1e x m x =+-，令()2()e 1e 0x g x x x =+->，利用导数研究函数的单调性与最值，由此可得出答案．【详解】解：∵点(),x y 关于原点对称的点为(),x y --，∴题目可转化为函数()22e 1e 1y x x ⎡⎤=-⋅--=+⎣⎦与e xy m =+图像在第一象限内有两个交点， 即方程2e 1e x x m +=+有两个不等的正根，得2e 1e x m x =+-， 令()2()e 1e0xg x x x =+->，则2()e e x g x '=-，由()0g x '>得02x <<，由()0g x '<得2x >，∴函数()g x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减， ∴2()(2)e 1g x g ≤=+， ∴2e 1m ≤+， 故答案为：2e 1+． 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化与化归思想，属于中档题．三、解答题17．在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，设(),m b c =，()cos ,cos n C B =，且2cos m n a A ⋅=.（1）求角A 的大小；（2）若4b =，5c =，D 在BC 上，AD 是BAC ∠的角平分线，求AD .【答案】（1）3π；（2. 【解析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算结合正弦定理边角互化思想得出cos A 的值，再由角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）利用余弦定理求得a 和cos C 的值，利用正弦定理可得出CD 的长，然后在ACD 中利用余弦定理可求得AD 的长. 【详解】（1）(),m b c =，()cos ,cos n C B =，且2cos m n a A ⋅=，则cos cos 2cos b C c B a A +=，由正弦定理可得；sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=，即()sin 2sin cos B C A A +=，则sin 2sin cos A A A =，0A π<<，sin 0A ∴>，则1cos 2A =，所以，3A π=； （2）在ABC 中，由（1）得由余弦定理可得2212cos25162452132a b b c c π=-⋅=⨯⨯++-⨯=，22221cos 2142421a b c C ab +-===⋅⋅， ADB ADC π∠+∠=，则ADB ADC π∠=-∠，()sin sin sin ADB ADC ADC π∴∠=-∠=∠，由于AD 是BAC ∠的角平分线，在ABD △中，由正弦定理得sin sin c BDADB BAD=∠∠，①同理可得sin sin b CDADC CAD=∠∠，②①÷②得，54BD c CD b ==，44421999CD BC a ∴===， 在ACD 中，由余弦定理可得22216214212116252cos 16248191427AD AC CD AC CD C ⨯⨯=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， 解得203AD =.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角、三角形角平分线长的计算，考查了余弦定理以及平面向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.18．某医院体检中心为回馈大众，推出优惠活动：对首次参加体检的人员，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员的后续体检给予相应优惠，标准如下：该休检中心从所有会员中随机选取了100位对他们在本中心参加体检的次数进行统计，得到数据如表：假设该体检中心为顾客体检一次的成本费用为150元，根据所给数据，解答下列问题： （1）已知某顾客在此体检中心参加了3次体检，求这3次体检，该体检中心的平均利润；（2）该体检中心要从这100人里至少体检3次的会员中，按体检次数用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中抽取2人，每人发放现金200元.用5表示体检3次的会员所得现金和，求ξ的分布列及()E ξ. 【答案】（1）40元；（2）分布列见解析，240元.【解析】（1）求出三次体检医院的收入即可得到平均利润；（2）抽取的5个人中3人体检三次，1人体检四次，1人体验5次及以上，ξ可能取值为：0，200，400，分别计算概率得到分布列即可计算期望. 【详解】（1）医院3次体检的收入为()20010.950.9570⨯++=， 三次体验的成本为1503450,⨯= 故平均利润为()570450340-÷=元；（2）根据题意抽取的5个人中3人体检三次，1人体检四次，1人体验5次及以上，ξ可能取值为：0，200，400，2511(0)10P C ξ===，1132353(200)5C C P C ξ===，2132353(400)10C C P C ξ===， 分布列如下：02000.64000.3120120240()E ξ=+⨯+⨯=+=（元）.【点睛】此题考查求平均数，利用分层抽样求抽取的人数，计算概率并写出分布列，根据分布列求均值，属于中档题.19．如图，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，且2AB AE ==，将ABE ∆沿BE 折起到A BE '∆，使得AC A D ''=.（1）证明：平面A BE '⊥平面BCDE ；（2）若3ED =，求平面A BE '与平面ACD '所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）26. 【解析】（1）取BE ，CD 的中点M ，N ，连接A M '，A N '，MN ，则//MN BC ，由题意可知A M BE '⊥，A N CD '⊥，MN CD ⊥，从而证明CD ⊥平面A MN '，即CD A M '⊥根据线面垂直的判定定理证明A M '⊥平面BCDE ，再利用线面垂直的性质定理证明面面垂直即可.（2）以M 为原点，MF ，MN ，MA '所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.求解平面A BE '的法向量()1,1,0n =，平面'A CD 的法向量(0,1,22m =，再根据cos ,m n m n m n=，计算二面角余弦值，即可. 【详解】（1）取BE ，CD 的中点M ，N ，连接A M '，A N '，MN ，则//MN BC2AB AE ==，AC A D ''=∴A M BE '⊥，A N CD '⊥.又在矩形ABCD 中∴MN CD ⊥又MNA N N '=，MN ⊂平面A MN '，A N '⊂平面A MN '∴CD ⊥平面A MN 'A M '⊂平面A MN '∴CD A M '⊥又BE 与CD 为梯形BCDE 的两腰，必相交，CD ⊂平面BCDE ，BE ⊂平面BCDE∴A M '⊥平面BCDE ，又A M '⊂平面A BE '∴平面A BE '⊥平面BCDE.（2）∵3ED =，2AB AE == ∴235BC AD AE ED ==+=+=.过点M 作//MF CD ，交BC 与F ，则MF MN ⊥，MA MF '⊥，MA MN '⊥以M 为坐标原点，MF ，MN ，MA '所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则各点坐标为(2A '，()0,4,0N ，()1,4,0C ，()1,1,0B -.设平面A BE '的法向量为()111,,n x y z =，则(2MA '=，()1,1,0MB =-111·20·0n MA z n MB x y ⎧==⎪⎨=-=⎪'⎩，即10z =，11x y =，取11y =，则()1,1,0n = 设平面'A CD 的法向量为()222,,m x y z =，则(0,4,2A N '=-，()1,0,0NC =222·420·0m A N y z m NC x ⎧=-=⎪⎨=='⎪⎩，即20x =，2222z =，取11y =，则(0,1,22m =，∴10110222cos ,111832m n m n m n⨯+⨯+⨯====+⨯+即平面A BE '与平面ACD '所成锐二面角的余弦值为26.【点睛】本题考查面面垂直的证明，以及求二面角的余弦值，属于较难的一道题.20．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,0F 为椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点，过F 的直线与椭圆E 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为21,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线OM 、ON 斜率的乘积为22b a-，两直线OM ，ON 分别与椭圆E 交于C 、M 、D 、N 四点，求四边形CDMN 的面积.【答案】（1）2212x y +=；（2）22【解析】（1）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用点差法求出直线AB 的斜率为：222b a-，又直线AB 的斜率为：1031213-=--，所以2221b a -=-，得到222a b =，再结合222a b c =+，1c =，即可求出a ，b ，c 的值，从而求得椭圆E 的方程；（2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由题意可知121220x x y y +=，当直线MN 的斜率不存在时，易求四边形CDMN 的面积114||||2S x y ==MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入121220x x y y +=得22122k m +=，再由弦长公式和点到直线距离公式求得MON S ∆=CDMN的面积为4MON S ∆=CDMN 的面积为 【详解】（1）由题意可知，1c =，设()11,A x y ，()22,B x y ，∴1243x x +=，1223y y +=， 又∵点A ，B 在椭圆上，∴22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，∴2122122y y b x x a -=-，即直线AB 的斜率为：222b a-， 又∵直线AB 过右焦点()1,0F ，过点21,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线AB 的斜率为：1031213-=--，∴2221b a-=-，∴222a b =，又∵222a b c =+，1c =，∴22a =，21b =，∴椭圆E 的方程为：2212x y +=；（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，由题意可知，121212y y x x ⋅=-，即121220x x y y +=，①当直线MN 的斜率不存在时，显然12x x =，12y y =-， ∴221120x y -=，又221112x y +=，∴211x =，2112y =，∴四边形CDMN的面积114S x y ==②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，联立方程2212y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()222124220k x kmx m +++-=， ∴122412km x x k -+=+，21222212m x x k -=+，∴()()()2222121212122212k m y y kx m kx m k x x km x x m k -+=++=+++=+，∵121220x x y y +=，∴22222224201212m k m k k--++=++， 整理得：22122k m +=，由弦长公式得：MN ===，原点（0，0）到直线MN 的距离d =∴11222MON S MN d =⨯⨯==△， 由椭圆的对称性可知：四边形CDMN 的面积为4MON S =△， 综上所述，四边形CDMN 的面积为【点睛】本题考查椭圆方程的求解、椭圆中的面积问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对直线斜率是否存在的讨论. 21．已知函数()()sin ln f x x a x b =-+，()g x 是()f x 的导函数. （1）若0a >，当1b =时，函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一的极大值，求a 的取值范围； （2）若1a =，1,2b e π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，试研究()f x 的零点个数. 【答案】（1）20,12π⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()f x 有3个零点 【解析】（1）先求导得()()2sin 1ag x x x '=-++，再分212a π⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭和212a π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭两种情况讨论求得a 的取值范围；（2）分析可知，只需研究(),b π-时零点的个数情况，再分(,),(,)22x b x πππ∈-∈两种情形讨论即可. 【详解】（1）当1b =时，()()sin ln 1f x x a x =--，()()cos 1ag x f x x x '==-+，()0a >()()2sin 1ag x x x '=-++在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，且()00g a '=>，21212a g ππ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ①，当02g π⎛⎫'≥ ⎪⎝⎭，212a π⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭时，()0g x '≥恒成立，()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭是增函数，无极值；②，当02g π⎛⎫'< ⎪⎝⎭，212a π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭时，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，()00,x x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '<，()g x 单调递减，0x 为()g x 唯一的极大值点，所以20,12a π⎛⎫⎛⎫∈+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）1a =，()()sin ln f x x x b =-+，(),x b ∈-+∞，1,2b e π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，可知， （i ）(),x π∈+∞时，()0f x <，无零点；所以只需研究(),b π-，()1cos f x x x b'=-+， （ii ）,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()1cos 0f x x x b '=-<+，可知()f x 单调递减，1ln 1ln 02222f b e ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+>-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()0f π<，∃唯一的,2s ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f s =；（iii ）当,2x b π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()()21sin f x x x b ''=-++是减函数，且()21000f b ''=+>，211022f b ππ⎛⎫''=-+< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则10,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()10f x ''=，()f x '在()1,b x -是增函数，1,2x π⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，并且()lim 0x b f x +→-'<，()1010f b'=->，1022f b ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭+， 所以()2,0x b ∃∈-，()20f x '=；30,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()30f x '=，且知()f x 在()2,b x -单调递减，在()23,x x单调递增，在3,2x π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. 又因为()lim 0x bf x +→->，()00ln 0f b =-<，02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以(),0m b ∃∈-，()0f m =， 0,2n π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()0f n =，综上所述，由（i ）（ii ）（iii ）可知，()f x 有3个零点.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值和零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22．已知直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩（其中t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）若点(),P x y 在直线l 上，且23x y x y--=+，求直线l 的斜率；（2）若4πα=，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.【答案】（1）12-（2）12+ 【解析】（1）根据直线的参数方程，设出点P 的坐标，代入直线方程并化简，即可求得tan α，即为直线l 的斜率；（2）先将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的参数方程化为普通方程，结合圆心到直线距离公式，再加半径即为圆上的点到直线距离的最大值. 【详解】（1）设点()1cos ,1sin P t a t a +-+，则2cos sin sin cos 3cos sin cos sin x y t t x y t t αααααααα----===+++，整理可得2sin cos αα=-，即1tan 2α=-，∴直线l 的斜率为12-.（2）曲线C 的方程可化为22sin ρρθ=，化成普通方程可得222x y y +=，即()2211x y +-=，曲线C 表示圆心为()0,1C ，半径为1的圆，直线l 的参数方程化成普通方程可得20x y --=，圆心C 到直线l 的距离为2d ==，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为12+. 【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的转化，点到直线距离公式的应用，属于基础题.23．已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】（1）根据1a =，将原不等式化为|1||2|(1)0x x x x -+--<，分别讨论1x <，12x ≤<，2x ≥三种情况，即可求出结果；（2）分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.【详解】（1）当1a =时，原不等式可化为|1||2|(1)0x x x x -+--<；当1x <时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(1)0x ->，显然成立，此时解集为(,1)-∞；当12x ≤<时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集；当2x ≥时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(10)x -<，显然不成立；此时解集为空集； 综上，原不等式的解集为(,1)-∞；（2）当1a ≥时，因为(,1)x ∈-∞，所以由()0f x <可得()(2)()0a x x x x a -+--<， 即()(1)0x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，2(),1()2()(1),x a a x f x x a x x a -≤<⎧=⎨--<⎩，因为1a x ≤<时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是[1,)+∞.【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.。
2021届四川省宜宾市第四中学高三一诊模拟数学(理)试题Word版含答案
2021届四川省宜宾市第四中学高三一诊模拟数学（理）试题第I 卷(选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.） 1．设集合1|02x A x x +⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，{}1,0,1,2B =-，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1,2C ．1,0,1,2D ．{}1,22．设复数z 满足1522z i =+，则||z = A ．3B ．26C ．4D ．2623．“1x <”是“ln(1)0x +<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在ABC ∆中，1a =，30A =，60B =，则b 等于A ．32B ．12C ．3D ．25．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．2B ．1C ．D ．6．若椭圆2221x y a +=经过点6P ⎛ ⎝⎭，则椭圆的离心率e =A B 1C D 7．设数列{}n a 满足32111232n n a a a a n +++=-，则n a = A ．112n-B ．312n -C ．12nD ．2nn 8．有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（ ）种 A ．48B ．72C ．78D ．849．如果123,,,P P P 是抛物线2:4C y x =上的点，它们的横坐标123,,,x x x ，F 是抛物线C 的焦点，若12201820x x x +++=，则122018PF P F P F +++=A ．2028B ．2038C ．4046D ．405610．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且在(),-∞+∞上是减函数，12f ，则满足()232f x -<的实数x 的取值范围是 A ．()1,1-B ．()2,0-C ．()2,2-D ．()0,211．一个圆锥SC 的高和底面直径相等，且这个圆锥SC 和圆柱OM 的底面半径及体积也都相等，则圆锥SC 和圆柱OM 的侧面积的比值为A ．2B ．3C D 12．已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=A ．0B ．6C ．12D ．18第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．双曲线2212516y x -=的渐近线方程为_____________14．51)x的二项展开式中，含x 的一次项的系数为__________．（用数字作答）15．设,a b ∈R ，222a b +=，则221411a b +++的最小值为______. 16．在平面直角坐标系中，定义为两点,之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆； ③到两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形； ④到两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题是___________．（写出所有正确命题的序号）三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.（本大题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且32cos Asin Ca -=． （1）求角A 的大小； （2）若cos(B ＋6π)＝14，求cosC 的值． 18．某市教育部门为了解全市高三学生的身高发育情况，从本市全体高三学生中随机抽取了100人的身高数据进行统计分析．经数据处理后，得到了如下图1所示的频事分布直方图，并发现这100名学生中，身高不低于1.69米的学生只有16名，其身高茎叶图如下图2所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率．（1）求该市高三学生身高高于1.70米的概率，并求图1中a 、b 、c 的值．（2）若从该市高三学生中随机选取3名学生，记ξ为身高在(]1.50,1.70的学生人数，求ξ的分布列和数学期望；（3）若变量S 满足()0.6826P S μσμσ-<≤+>且(22)09544P S μσμσ-<≤+>．，则称变量S 满足近似于正态分布()2,N μσ的概率分布．如果该市高三学生的身高满足近似于正态分布()1.6,0.01N 的概率分布，则认为该市高三学生的身高发育总体是正常的．试判断该市高三学生的身高发育总体是否正常，并说明理由．19．(12分)如图，已知直角梯形所在的平面垂直于平面（1）的中点为，求证∥面（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12F F ，，,A B 是其左右顶点，点P 是椭圆C 上任一点，且12PF F ∆的周长为6，若12PF F ∆面积的最大值为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点2F 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,M N 两个不同点，证明：直线AM 于BN 的交点在一条定直线上.21．（12分）已知函数()()2ln 1f x x x =+． （1）求函数()f x 的单调区间．（2）若斜率为k 的直线与曲线()y f x ='交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，其中12x x <，求证：122x x k<<．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是12cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数)，直线l 的参数方程是cos (sin x t t y t ββ=⎧⎨=⎩为参数，0π).l β≤<与C 相交于点A 、.B 以直角坐标系xOy 的原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的普通方程和极坐标方程；（2）若AB =β．23．（10分）已知函数()12f x x x m =-+-，m R ∈ （1）当3m =时，解不等式()2f x ≤；（2）若存在0x 满足()0013x f x -+<，求实数m 的取值范围．2021届四川省宜宾市第四中学高三一诊模拟数学（理）试题1．A2．D3．B4．C5．B 6．D7．D8．A9．B10．C 11．C 12．D13．5x 4y =±14．-515．9416．①③④17．（1）由正弦定理可得：sin AsinCa c =.所以A 2cosAsinC sinC-=，整理得：2A=cosA>0-又22sin cos 1A A +=.解得：sin A = 所以3A π=或23A π=（舍去）所以3A π= （2）A B C π++=，∴()cos cos cos cos 366C A B B B πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-++⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1sin 266B B ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭06B ππ<+<,sin 64B π⎛⎫∴+=== ⎪⎝⎭∴11cos 42428C =⨯-⨯=18．：（1）由图2可知，100名样本学生中身高高于1.70米共有15名，以样本的频率估计总体的概率，可得这批学生的身高高于1.70的概率为0.15． 记X 为学生的身高，结合图1可得：2(1.30 1.40)(1.80 1.90)0.02100f X f X <≤=<≤==， 13(1.40 1.50)(1.70 1.80)0.13100f X f X <≤=<≤==，()1(1.50 1.60)(1.60 1.70)120.0220.130.352f X f X <≤=<≤=-⨯-⨯=，又由于组距为0.1，所以0.2a =， 1.3b =， 3.5c =． （2）以样本的频率估计总体的概率，可知从这批学生中随机选取1名，身高在[]1.50,1.70的概率为(1.50 1.70)(1.50 1.60)(1.60 1.70)0.7P X f X f X <≤=<≤+<≤=，因为从这批学生中随机选取3名，相当于三次重复独立试验， 所以随机变量ξ服从二项分布()3,0.7B ， 分布列为：()()330.30.70,1,2,3nnn P n C n ξ-==⋅⋅=，ξ 0123()P ξ0.027 0.189 0.441 0.343()00.02710.18920.44130.343 2.1E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（或()30.7 2.1E ξ=⨯=）（3）由()1.6,0.01N ，取 1.60μ=，0.1σ=，由（2）可知，()<X (1.50 1.70)0.70.6826P P X μσμσ-≤+=<≤=>， 又结合（1），可得：(22)(1.40 1.80)P X P X μσμσ-<≤+=<≤，2(1.70 1.80) 1.50 1.70)0.960.9544f X P X =⨯<≤+<≤=>（，所以这批学生的身高满足近似于正态分布()1.6,0.01N 的概率分布，应该认为该市高一学生的身高发育总体是正常的．19.解：（Ⅰ）线段BC 的中点就是满足条件的点P ．证明如下： 取AB 的中点F 连接DP 、PF 、EF ，则FP ∥AC ，FP=AC ， 取AC 的中点M ，连接EM 、EC ，∵AE=AC 且∠EAC=60°，∴△EAC 是正三角形，∴EM ⊥AC ． ∴四边形EMCD 为矩形，∴ED=MC=AC ． 又∵ED ∥AC ，∴ED ∥FP 且ED=FP ， ∴四边形EFPD 是平行四边形，∴DP ∥EF ， ∵EF ⊂平面EAB ，DP ⊄平面EAB ， ∴DP ∥平面EAB ；（Ⅱ）过B 作AC 的平行线l ，过C 作l 的垂线交l 于G ，连接DG ， ∵ED ∥AC ，∴ED ∥l ，l 是平面EBD 与平面ABC 所成二面角的棱． ∵平面EAC ⊥平面ABC ，DC ⊥AC ，∴DC ⊥平面ABC ， 又∵l ⊂平面ABC ，∴l ⊥平面DGC ，∴l ⊥DG ， ∴∠DGC 是所求二面角的平面角． 设AB=AC=AE=2a ，则CD=a ，GC=2a ，∴GD==a ， ∴cos θ=cos ∠DGC==. 20．解：（1）由题意得222226,123,2,a c bc a b c +=⎧⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎩1,3,2,c b a =⎧⎪∴=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）由（1）得()2,0A -，()2,0B ，()21,0F ，设直线MN 的方程为1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由221143x mx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2243690m y my ++-=，122643m y y m ∴+=-+，122943y y m =-+，()121232my y y y ∴=+， 直线AM 的方程为()1122y y x x =++，直线BN 的方程为()2222yy x x =--， ()()12122222y yx x x x ∴+=-+-，()()2112212121232322y x my y y x x y x my y y +++∴===---， 4x ∴=，∴直线AM 与BN 的交点在直线4x =上.21．（1）解：()f x 的定义域是()0,+∞，且()2ln 4f x x ='+． 由()0f x '=得2x e -=， 当()20,x e-∈时，()0f x '<，此时()f x 单调递减；当()2,x e -∈+∞时，()0f x '>，此时()f x 单调递增．综上，()f x 的减区间为()20,e -，()f x 的增区间为()2,e-+∞．（2）证明：()()212121212ln 2ln f x f x x x k x x x x --==--''，要证明122x x k <<，即证211221ln ln x x x x x x -<<-， 等价于21221111lnx x x x x x -<<， 令21x t x =（由12x x <，知1t >）， 则只需证11ln t t t-<<，由1t >知ln 0t >， 故等价于()ln 1ln 1t t t t t <-<>．（*）①()1ln g t t t =--，则当1t >时，()110g t t=->'， 所以()g t 在()1,+∞内是增函数，当1t >时，()()1ln 10g t t t g =-->=，所以1ln t t ->； ②设()()ln 1h t t t t =--，则当1t >时，()ln 0h t t ='>， 所以()h t 在()1,+∞内是增函数，所以当1t >时，()()()ln 110h t t t t h =-->=，即()ln 11t t t t >->． 由①②知（*）成立，所以122x x k<<． 22．解：()1曲线C 的参数方程是{12cos 2sin .(x y ααα=+=为参数)， 转换为直角坐标方程为：22(1)4x y -+=．整理得：22230x y x +--=，转换为极坐标方程为：22cos 30ρρθ--=．()2直线l 的参数方程是cos sin .(x t y t t ββ=⎧=⎨⎩为参数，0)βπ≤<．转换为极坐标方程为：θβ=，极径为：1ρ和2ρ，故：22cos 30θβρρθ=⎧⎨--=⎩，转换为：22cos 30ρρβ--=，所以：122cos ρρβ+=，123ρρ⋅=-，所以：12AB ρρ=-，则：24cos 1213β+=，解得：1cos 2β=±，由于：0βπ≤<所以：233ππβ=或． 23．（1）当3m =时，()123f x x x =-+- 当1x <时，1232x x --+≤，解得：213x ≤<； 当312x ≤≤时，1232x x --+≤，解得：312x ≤≤； 当32x >时，1232x x -+-≤，解得：322x <≤()2f x ∴≤的解集为：2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）若存在0x 满足()0013x f x -+<等价于2223x x m -+-<有解2222222x x m x x m m -+-≥--+=- 23m ∴-<，解得：15m -<<∴实数m 的取值范围为：()1,5-。
2024届四川省宜宾市宜宾市第四中学校高三一模考试数学理科试题及答案
0
x
π 2
时，
f
( x)
0
，函数
f
x 单调递增，
当 π x π 时， f (x) 0 ，函数 f x 单调递减，
2
当 x [0, π] 时，
f
( x ) max
f
( π) 2
π 2
，而
f (0)
1,
f
( π) 1 ，即
f
( x ) min
1 ，
所以函数
f
x 在0,
π 上的值域为[1,
A． EF BB1
B． EF 平面 BCC1B1
C． EF / / 平面 D1BC
D． EF / / 平面 ACC1A1
7．若函数 f (x) (x 1)lnx ax在 0, 具有单调性，则 a 的取值范围是
A． 2,
B．2,
C． , 2
D． , 2
8．已知函数 f (x) Asin(x )( A 0, 0,0 ) 的部分图象如
(x)
2sin
2x
π 3
，
令 π 2kπ 2x π π 2kπ ， k Z ，解得 π kπ x 5π kπ ， k Z
2
32
12
12
所以
f
(x)
在
R
上的单调递增区间为
π 12
kπ,
5π 12
k
,
k
Z
（2）
g
(
x)
2sin
x
π 3
，
g
(
)
1 2
，得
sin
π 3
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
2021届四川省宜宾市高三上学期第一次诊断考试数学(理)试题(解析版)
2021届四川省宜宾市高三上学期第一次诊断考试数学（理）试题一、单选题 1．复数1234ii+-的值为（ ） A ．1255i -- B ．1255i -+ C ．1255i - D ．1255i + 【答案】B【分析】直接利用复数的除法计算即得解. 【详解】由题得12(12)(34)5101234(34)(34)2555i i i i i i i i +++-+===-+--+. 故选：B2．命题“x R ∀∈，2250x x -+≥”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，2250x x -+≤B ．x R ∀∈，2250x x -+<C ．0x R ∃∈，200250x x -+<D ．0x R ∃∈，200250x x -+≤【答案】C【分析】由全称命题的否定形式为∀→∃，否定原命题结论，即可写出已知命题的否定形式.【详解】由全称命题的否定为∀→∃，否定原命题结论知：“x R ∀∈，2250x x -+≥”的否定为：“0x R ∃∈，200250x x -+<”，故选：C3．已知集合{}2340A x x x =--<，{}0B x x =>，则A B =（ ）A ．{}|04x x <<B ．{}10x x -<<C ．{}14x x -<<D ．{}x x <4【答案】A【分析】解一元二次不等式求集合A ，再应用集合的交运算求AB 即可.【详解】由集合A 中的不等式描述，得{}14A x x =-<<，而{}0B x x =>， ∴{}04Ax x B =<<，故选：A4．某团支部随机抽取甲乙两位同学连续9期“青年大学习”的成绩(单位：分)，得到如图所示的成绩茎叶图，关于这9期的成绩，则下列说法正确的是（ ）A ．甲成绩的平均数高于乙成绩的平均数B ．乙成绩的极差为40C ．甲乙两人成绩的众数相等D ．甲成绩的中位数为32 【答案】D【分析】根据茎叶图数据，结合平均数、极差、众数和中位数的概念进行计算并判断，即得结果.【详解】根据茎叶图数据知：甲同学的平均分为1112223243232334152309x ++++++++==，乙同学的平均分为210223132354242505231699x ++++++++==，316309>，故甲同学成绩的平均数低于乙同学成绩的平均数，A 错误； 乙同学成绩最高52，最低10，故极差为42，故B 错误；甲同学成绩的众数为32，乙同学成绩的众数为42，不相等，故C 错误； 甲同学成绩的中位数为32322+=32，故D 正确. 故选：D.5．符号x <>表示大于或等于x 的最小整数，在下图中输入的,a b 依次为0.3-和1.4，则输出的是（ ）A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7【答案】C【分析】由条件有a b <，则 1.41.4c b b <><>=-=-，可得出答案.【详解】根据题意，由0.3, 1.4a b =-=，则a b < 所以 1. 1.4214.40.6c b b =-=-=->=<>< 故选：C6．如图，ABC 是等边三角形，ADC 是等腰直角三角形，90ADC ∠=︒，线段,AC BD 交于点O ，设BC =a ，BA =b ，用a ，b 表示OD 为（ ）A ．OD =33b + B ．OD =33b + C ．OD =33b + D ．OD =33b + 【答案】A【分析】由题意可得O 为AC 的中点，则3OB =，即3BO OD =，又()()1122BO BA BC a b =+=+，从而可得答案. 【详解】由题意,AB BC AD DC ==，所以BAD 与BCD △全等. 则BAO 与BCO 全等,所以AO OC = 所以O 为AC 的中点，则BO AC ⊥在直角BOC 中，60OCB ∠=︒,所以3OB =ADC 是等腰直角三角形，则OD OC =所以3OB OD ,即3BO OD = 又在等边三角形ABC 中，()()1122BO BA BC a b =+=+ 所以()331332OD BO a b a b ==⨯+=+ 故选：A【点睛】关键点睛：本题考查利用基底向量来表示平面向量，解答本题的关键的由几何图形的性质得到3OB =，从而3BO OD =，再根据()()1122BO BA BC a b =+=+得出答案，属于中档题. 7．若51()a x x-展开式中所有项的系数和为1，则其展开式中x 的系数为（ ） A ．2- B ．10- C ．16- D ．80-【答案】D【分析】利用赋值法可求a 的值，再利用通项公式可求展开式中x 的系数． 【详解】令1x =，则展开式中所有项的系数和为()511a -=，故2a =，51(2)x x-展开式的通项公式为()()535521551212rrrr r r r r T C xC x x ---+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭，令5312r -=，解得1r =，故x 的系数为()151151280C --⋅=-， 故选：D ．8．函数()sin cos f x x x x =-+部分图象大致形状为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】利用奇偶性的定义可证()f x 是奇函数，在利用导函数研究单调性即可确定函数图象.【详解】由解析式知：()sin()()cos()sin cos ()f x x x x x x x f x -=--+--=-=-，即()f x 是奇函数，且(0)0f =，即可排除A 、B ； 因为()sin f x x x '=-，所以02x π<<时()0f x '<有()f x 单调递减，排除D ；故选：C【点睛】关键点点睛：利用函数的奇偶性、导函数研究函数单调性判断函数的图象. 9．已知2sin 35αα=，则2sin()cos()36ππαα+++=（ ）A ．45-B ．25-C ．0D ．25【答案】B【分析】利用两角和的正弦和余弦公式化简后可得所求的值． 【详解】因为2sin 5αα=，所以1sin 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，而211sin()cos()sin sin 3622ππαααααα+++=-++-2sin 5αα=-=-，故选：B ．10．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第n 天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的3倍，则n 的值为（ ）(结果精确到0.1，参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈) A ．2.2 B ．2.4C ．2.6D ．2.8【答案】C【分析】由题可知大老鼠和小老鼠每天打洞的进度分别形成等比数列，利用等比数列求和公式求出总进度即可建立关系，再结合参考数据即可求出.【详解】设大老鼠每天打洞的进度形成数列{}n a ，小老鼠每天打洞的进度形成数列{}n b ，则由题可得数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列， 所以第n 天后大老鼠打洞的总进度为()1122112n n ⨯-=--，数列{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列， 所以第n 天后小老鼠打洞的总进度为11112211212n n ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭=- ⎪⎝⎭-，则由题可得1213212nn⎛⎫-=⨯-⎪⎝⎭，整理可得()2272+60n n -⨯=，解得21n =或26n =，即0n =（舍去）或2log 6n =，22lg30.4771log 61+log 31+1+ 2.6lg 20.3010n ∴===≈≈. 故选：C.【点睛】关键点睛：得出大老鼠和小老鼠每天打洞的进度分别形成等比数列是解决本题的关键.11．已知定义在R 上的奇函数()y f x =满足，()()2f x f x +=-，若[]12,0,1x x ∀∈且12x x ≠时，都有11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则下列结论正确的是（ ） A ．()y f x =图象关于直线2020x =对称 B ．()y f x =图象关于点()2020,0中心对称C ．()y f x =在[]2019,2021上为减函数D ．()y f x =在[]2020,2022上为增函数 【答案】B【分析】由()y f x =是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-结合()()2f x f x +=-可得函数()y f x =的图像关于直线1x =对称和函数为周期函数，从而可判断A,B 选项，由条件可得()[]1212()()0x x f x f x -->，则所以()y f x =在[]0,1上为增函数，结合函数的对称性和周期性可判断C,D.【详解】由()y f x =是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-所以()()()2f x f x f x +=-=-，则函数()y f x =的图像关于直线1x =对称. 又()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+= 所以函数()y f x =为周期函数， 4为函数()y f x =的一个周期.所以()y f x =的对称轴方程为：14,x k k Z =+∈，2020x =不满足，故A 不正确. 由()y f x =是定义在R 上的奇函数,则图像关于点()0,0成中心对称. 所以()y f x =的对称中心满足：()4,0,k k Z ∈，所以()2020,0是函数的一个对称中心，故B 正确.由[]12,0,1x x ∀∈且12x x ≠时，都有11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+， 则()()()()112212x f x f x x f x f x ⎡⎤⎡⎤->-⎣⎦⎣⎦，即()[]1212()()0x x f x f x -->所以()y f x =在[]0,1上为增函数, 由()y f x =是定义在R 上的奇函数所以()y f x =在[]1,0-上为增函数，且()00f =，所以()y f x =在[]1,1-上为增函数由()y f x =的图像关于直线1x =对称，所以()y f x =在[]1,3上为减函数， 又4为函数()y f x =的一个周期.则()y f x =在[]41,41,k k k Z -+∈上单调递增，在[]41,43,k k k Z ++∈上单调递减.所以()y f x =在[]2019,2021上为增函数，故C 不正确.()y f x =在[]2020,2021上为增函数,在[]2021,2022为减函数，故D 不正确.故选：B【点睛】关键点睛：本题考查抽象函数的周期和单调性对称性的综合应用，解答本题的关键是先由函数为奇函数结合()()2f x f x +=-，得到()()()2f x f x f x +=-=-和()()()42f x f x f x +=-+=，从而得到函数的对称性和周期性，根据条件得出()[]1212()()0x x f x f x -->，得到函数的单调性，属于中档题.12．已知实数1232a e =，2343b e =，6787c e =，(e 为自然对数的底数)则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c b a << D ．b a c <<【答案】A【分析】由已知实数的形式构造函数11()x xx f x e x-+=，即有(2),(3),(7)a f b f c f ===，利用导数研究()f x 的单调性，再比较对应函数值的大小即可.【详解】由题意，令11()x xx f x e x-+=，则(2),(3),(7)a f b f c f ===，而13()x x ef x x-'=，所以0x >时()0f x '>，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴(2)(3)(7)f f f <<，即a b c <<，故选：A【点睛】关键点点睛：结合实数的形式构造函数，再用导数研究函数的单调性，最后利用单调性比较函数值的大小.二、填空题13．已知实数x 、y 满足约束条件0020x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为___________. 【答案】4【分析】本题首先可根据约束条件绘出可行域，然后根据可行域易知过点()2,0B 时目标函数2z x y =-最大.【详解】由题意可知，约束条件为0020x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，故可绘出可行域，如图所示：则()0,2A ，()2,0B ， 结合可行域易知：目标函数2z x y =-过点()2,0B 时取最大值，最大值为2204z =⨯-=， 故答案为：4.14．已知向量a (1,0)=，2b =，向量a 与向量b 的夹角为45︒，则()a ab ⋅-=___________.【答案】0【分析】根据平面向量数量积的运算律计算即可.【详解】解：(1,0)a =，则1a =，结合条件可知：()21cos 1202a ab a a b a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=-= 故答案为：015．已知ABC 中，内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且222sin 2a b c c B a a+--=，则B =___________.【答案】135︒(或34π) 【分析】利用余弦定理和正弦定理边角互化，整理已知条件，最后变形为tan 1B =-，求角B 的值.【详解】根据余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，所以原式222sin 2a b c c B a a+--=，变形为cos sin b C c B a -=，根据正弦定理边角互化，可知sin cos sin sin sin B C C B A -=， 又因为()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 则原式变形整理为sin cos B B -=, 即tan 1B =-，因为()0,180B ∈，所以135B =（或34π） 故答案为135（或34π） 【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．16．已知函数()()e ln xf x x a x x =-+(e 为自然对数的底数)有两个不同零点，则实数a 的取值范围是___________.【答案】(,)e +∞【分析】求出()()1x xe af x x x-'=+⋅，当0a ≤，则0x xe a ->，此时()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增，不满足条件，当0a >，讨论出()f x 的单调性，得出最小值，根据条件可得出答案.【详解】由()e (ln )xf x x a x x =-+，得()()()11(1)1x xxe af x x e a x x x-'=+-+=+⋅，且0x > 由0x >，则100x x xe +>>，若0a ≤，则0x xe a ->，此时()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增，至多有一个零点，不满足题意.若0a >，设()xh x xe a =-，则()()10xh x x e '=+>，所以()h x 在()0,∞+上单调递增由()00h =，所以x xe a =有唯一实数根，设为0x ，即00x x ea =则当00x x <<时，x xe a <，()0f x '<，则()f x 在()00x ，单调递减，当0x x >时，x xe a >，()0f x '>，则()f x 在()0x +∞，单调递增， 所以当0x x =时，()()()00000min ln xf x f x x e a x x ==-+由00x x ea =可得()00ln ln x x e a =，即00ln ln ln x x e a +=，即00ln ln x x a +=所以()()0min ln f x f x a a a ==-，()0a > 又当0x →时，()f x →+∞，当x →+∞，指数函数增加的速度比对数函数增加的速度快得多，可得()f x →+∞ 所以函数()e (ln )xf x x a x x =-+有两个不同零点，则()()0min ln 0f x f x a a a ==-<设()ln g x x x x =-，则()ln g x x '=-当()0,1x ∈时，有()0g x '>，则()g x 在()0,1上单调递增. 当()1,x ∈+∞时，有()0g x '<，则()g x 在()1,+∞上单调递减. 又当0x →时，()0g x →，()0g e =所以当0x e <<时，()0g x >，当x e >时，()0g x <， 所以ln 0a a a -<的解集为a e > 故答案为：(,)e +∞【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解三、解答题17．已知函数()2cos 2cos 1222x x x f x =-+. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位得到函数()g x 图象，求函数()g x 的单调增区间. 【答案】（1）最小正周期2π；（2）单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）利用三角恒等思想化简函数()f x 的解析式为()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的周期公式可求得函数()f x 的最小正周期； （2）利用三角函数图象变换法则得出()2sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，然后解不等式()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，即可求得函数()g x 的单调递增区间.【详解】（1）()2cos 2cos 1cos 2sin 2226x x x f x x x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的最小正周期为2π；（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到()2sin 26h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再向左移动6π个单位得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，解得()36k x k k πππ-≤≤π+∈Z . 函数()g x 的单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】方法点睛：求解正弦函数的基本性质问题，首先要利用三角恒等变换思想化简函数解析式为()sin y A x b ωϕ=++，求解该函数的基本性质问题应对应正弦函数的基本性质.18．已知函数3()f x x ax b =-+在1x =-处取得极值. （1）求实数a 的值；（2）若函数()y f x =在[0,2]内有零点，求实数b 的取值范围. 【答案】（1）3a =；（2）22b -≤≤.【分析】（1）由条件可知()10f '-=，求a 后再验证是否满足条件；（2）利用导数求函数在定义域[]0,2内的最大值和最小值，根据条件列不等式求解b 的取值范围. 【详解】（1）2'()3f x x a =-，3()f x x ax b =-+在1x =-处取得极值.'(1)30f a ∴-=-=，所以3a =.经验证3a =时，()f x 在1x =-处取得极值.（2）由（1）知3()3f x x x b =-+，2'()333(1)(1)f x x x x =-=-+所以()y f x =极值点为1，-1.将,(),'()x f x f x 在[0,2]内的取值列表如下：x0 (0，1) 1 (1，2) 2 '()f x/-+/()f xb极小值2b -2b +由此可得，()y f x =在[0,2]内有零点，只需max min ()20()20f x b f x b =+≥⎧⎨=-≤⎩，所以22b -≤≤.19．第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始，这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口发展战略和政策体系､促进人口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户的基本情况.某校高三一班共有学生54名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校生(走读生及半走读生)按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数的比为7:2，住校生中男生占47，现从住校生中采用分层抽样的方法抽取7名同学担任集体户户主进行人口普查登记. （1）应从住校的男生､女生中各抽取多少人？（2）若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训 ①求这3人中既有男生又有女生的概率；②用X 表示抽取的3人中女生户主的人数，求随机变量X 的分布列与数学期望. 【答案】（1）男生､女生就分别抽取4人，3人；（2）①67；②分布列答案见解析，数学期望：97. 【分析】（1）找到住校生中男女生的比例关系，即可求出男女生分别抽取的人数.（2）①抽取的3名户主中既有男生，又有女生，包含男生有1人，女生有2人和男生有2人，女生有1人两种情况，分别求出概率再求和即可；②找到变量X 的所有可能取值，服从超几何分布，求出概率，列出分布列，求出期望即可. 【详解】（1）由已知住校生中男生占47，则女生占37，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此男生､女生就分别抽取4人，3人.（2）①设事件A 为“抽取的3名户主中既有男生，又有女生”，设事件B 为“抽取的3名户主中男生有1人，女生有2人”；事件C 为“抽取的3名户主中男生有2人，女生有1人”，则A =B ∪C ，且B 与C 互斥，124337()C C P B C ==1235，214337()C C P C C ==1835，故()()()P A P B P C =+=67， 所以，事件A 发生的概率为67. ②随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，33437()(0,1,2,3)k kC C P x k k C -===.随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望4181219()0123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 20．已知递增数列{}n a 满足212n n n a a a +++=，n *∈N ，且24,a a 是方程210210x x -+=的两根，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()*112n n S b n N =-∈. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）记n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）21n a n ∴=-，23n n b =；（2）2223nnn T +=-. 【分析】（1）求出11a =，2d =即得数列{}n a 的通项公式；利用1(2)n n n b S S n -=-≥求{}n b 的通项公式； （2）先求出423n nn c -=，再利用错位相减法求和. 【详解】（1）因为方程210210x x -+=两根为3x =或7，又2a ､4a 是方程210210x x -+=的两根，数列{}n a 是递增的等差数列，23a ∴=，47a =，设公差为d ，则11337a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11a =，2d =.1(1)12(1)21n a a n d n n ∴=+-=+-=-.对于数列{}n b ，()*112n n S b n N =-∈， 当1n =时，11112b b =-，解得123b =；当2n ≥时，11111122n n n n n b S S b b --⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得113n n b b -=，即113n n b b -=，所以数列{}n b 是等比数列， 1212333n n n b -⎛⎫∴=⨯=⎪⎝⎭（2）2(21)4233n n n n nn n c a b --===， ∴数列{}n c 的前n 项和23126104(1)24233333n n nn n T ----=+++++，23126104(1)24233333n n nn n T ----=+++++，216104232333n n n T --∴=++++ (2)16104232333nn n T --∴=++++两式相减可得2144442223333n n n n T --=++++- (2)144442223333n n nn T --=++++-141424432413313n n n n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=--=--，2223n nn T +∴=-. 【点睛】方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据数列通项的特征灵活选择求和方法. 21．已知函数()ln 1f x ax x =++（a 为常数，R a ∈）. （1）若()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（2）判断方程()ln ln sin x x x x x -=+是否存在实数解；如果存在，求出解的个数；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）(],1-∞-；（2）不存在，理由见解析. 【分析】（1）由参变量分离法可得出ln 1x a x+≤-对任意的()0,x ∈+∞恒成立，令()ln 1x g x x+=-，利用导数求出函数()g x 的最小值，由此可得出实数a 的取值范围；（2）由（1）可得ln 1≤-x x ，于是将问题等价转化为判断方程()ln ln sin x x x x x -=+是否存在实数解，构造函数()()()2ln ln sin 1ln sin h x x x x x x x x x x =---=-+-，利用ln 1≤-x x 可得出()0h x >对任意的0x >恒成立，由此可得出结论. 【详解】（1）因为0x >，由()ln 10f x ax x =++≤，可得ln 1x a x+≤-， 设()ln 1x g x x +=-，则()2ln '=xg x x， 当01x <<时，()0g x '<，函数()g x 递减；当1x >时，()0g x '>，函数()g x 递增.()()min 11g x g ∴==-，1a ∴≤-，因此，实数a 的取值范围是(],1-∞-；（2）由（1）可知，当1a =-时，()ln 10f x x x =-++≤， 即ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时等号成立，问题等价于判断方程()ln ln sin x x x x x -=+是否存在实数解， 设()()()2ln ln sin 1ln sin h x x x x x x x x x x =---=-+-，()()()211sin 1sin h x x x x x x ≥-+--=-（当且仅当1x =时等号成立），又1sin 0x -≥，当且仅当()22x k k N ππ=+∈时等号成立，所以对任意0x >，()0h x >恒成立，所以函数()()21ln sin h x x x x x =-+-无零点， 即方程()ln ln sin x x x x x -=+不存在实数解.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1212x m m y m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(m为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=.（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于点P ，求圆心在极轴上，且经过极点和点P 的圆的直角坐标方程.【答案】（1）:l 20x y --=，:C 228x y -=；（2）22525()39x y -+=. 【分析】（1）参数方程进行平方相减消参，可得出曲线的普通方程，再根据极坐标与普通方程的转换规则，可得到直线的普通方程.（2）根据直线与曲线相交可联立方程，得到P 点坐标.然后设出圆心坐标，再根据圆经过极点和点P ，列出关系式可求出圆心和半径，最后写出圆的方程.【详解】（1）曲线C 的参数方程为1212x m my m m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(m 为参数)， 两式平方相减得曲线C 的普通方程为：228x y -=. 直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=，则(cos cossin sin )44ππρθθ-=转换为直角坐标方程为20x y --=（2）由22820x y x y ⎧-=⎨--=⎩得31x y =⎧⎨=⎩，所以点P 的直角坐标为(3,1)设圆心为(,0)a ，则22(3)1a a =-+，解得：53a = 所以，圆的直角坐标方程为：22525()39x y -+=. 【点睛】（1）关键点：极坐标方程与普通方程的转换主要应用于cos ,sin x y ρθρθ==. （2）求直线与曲线的交点坐标，列方程组、解方程组、可得交点坐标；求圆的方程可根据圆心()00,x y 和半径r ，得出圆的方程()()22200x x y y r -+-=.23．已知函数()22f x x x =-++. （1）求不等式()24f x x ≥+的解集；（2）若()f x 的最小值为k ，且实数,,a b c ，满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++≥. 【答案】（1）(,0]-∞；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用分类讨论法解绝对值不等式；（2）首先利用绝对值三角不等式求出4k =，再利用基本不等式证明.【详解】（1）①当2x <-时，不等式即为224x x -≥+，解得1,2x x ≤-∴<-； ②当22x -≤≤时，不等式即为424x ≥+，020x x ≤∴-≤≤； ③当2x >时，不等式即为224x x ≥+，x ∈∅. 综上，不等式()24f x x ≥+的解集为(,0]-∞.（2）由绝对值不等式的性质可得：|2||2||(2)(2)|4x x x x -++≥--+=∴当22x -≤≤时，()f x 取最小值4，即4,()4k a b c =∴+=，即4ab ac +=()()2222222a b c a b a c ab ac∴++=+++≥+=2228当且仅当a b c===时等号成立.【点睛】方法点睛：证明不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）放缩法；（5）数学归纳法；（6）反证法.要根据已知条件灵活选择方法证明.。
四川省宜宾市第四中学2021届高三数学上学期第一次月考试题 理(含解析)
四川省宜宾市第四中学2021届高三数学上学期(xuéqī)第一次月考试题理（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有(zhǐyǒu)一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）1.已知集合(jíhé)，则A. B. C. D.【答案(dá àn)】C【解析(jiě xī)】【分析】解一元二次不等式求得集合，然后求两个集合的交集.【详解】由，解得，所以，故选C. 【点睛】本小题主要考查两个集合交集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.设命题，则为A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，判断出正确选项.【详解】原命题是特称命题，否定是全称命题，注意要否定结论，故本小题选B.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定是全称命题，属于基础题.3.已知，复数，，且实数，则（）A. B. C. 3 D. -3【答案(dá àn)】B 【解析(jiě xī)】 【分析(fēnxī)】 把和 113z i =+代入12z z ⋅再由复数代数形式(xíngshì)的乘法运算化简，利用虚部为0求得m 值． 【详解(xiánɡ jiě)】因为为实数，所以，解得.【点睛】本题考查复数的概念，考查运算求解能力.4.“m ＝﹣2”是“直线2x +（m ﹣2）y +3＝0与直线（6﹣m ）x +（2﹣m ）y ﹣5＝0垂直”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】求出直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】若直线2x +（m ﹣2）y +3＝0与直线（6﹣m ）x +（2﹣m ）y ﹣5＝0垂直， 则2（6﹣m ）+（m ﹣2）（2﹣m ）＝0， 得12﹣2m ﹣m 2+4m ﹣4＝0， 即m 2﹣2m ﹣8＝0， 得（m +2）（m ﹣4）＝0， 得m ＝4或m ＝﹣2，则m ＝﹣2是“直线2x +（m ﹣2）y +3＝0与直线（6﹣m ）x +（2﹣m ）y ﹣5＝0垂直”的充分不必要条件， 故选A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线垂线的等价条件求出m 的范围是解决本题的关键．5.下列函数(hánshù)中，既是奇函数，又在区间内是增函数的是（ ） A.B.C.D.【答案(dá àn)】D 【解析(jiě xī)】 【分析(fēnxī)】根据(gēnjù)函数的奇偶性和在内的单调性，对选项逐一分析排除，由此得出正确选项.【详解】对于A 选项，由于函数的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，排除A 选项.对于B 选项，由于，所以函数不是奇函数，排除B 选项.对于C 选项，眼熟sin 2y x 在上递增，在上递减，排除C 选项.由于A,B,C 三个选项不正确，故本小题选D.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查函数的定义域，属于基础题. 6.设等比数列的前项和为，若，，则（ ）A. 63B. 62C. 61D. 60【答案】A 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得S 2，S 4-S 2，S 6-S 4成等比数列，代入数据计算可得． 【详解】因为，，成等比数列，即3，12，成等比数列，所以，解得.【点睛】本题考查等比数列的性质与前n 项和的计算，考查运算求解能力.7.已知，则 （ ）A. B. C. D.【答案(dá àn)】A【解析(jiě xī)】【分析(fēnxī)】由诱导(yòudǎo)公式及二倍角公式化简，由结合(jiéhé)得，即可求解【详解】=又,解又，,故故所以故选A【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，熟记公式是关键，考查计算能力，是基础题8.《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡我，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？”（注：1丈=10尺，取）（）A. 704立方尺B. 2112立方尺C. 2115立方尺D. 2118立方尺【答案】B【解析】【分析】根据题意，由底面圆周长，得到底面圆半径，再由体积公式求出其体积.【详解(xiánɡ jiě)】设圆柱体底面圆半径为，高为，周长(zhōu chánɡ)为.因为(yīn wèi)，所以(suǒyǐ)，所以(suǒyǐ)（立方尺）.故选B项.【点睛】本题考查圆柱的底面圆半径、体积等相关计算，属于简单题.9.若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 264B. 270C. 274D. 282 【答案】A【解析】【分析】本题首先可以通过三视图画出该几何体的直观图，然后通过三视图中各边的长得出该几何体中的各边的长，最后通过表面积计算公式即可得出结果．【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，延长交于点，其中，，，所以表面积，故选A．【点睛】本题考查三视图的相关性质以及棱柱的表面积的求法，主要考查根据三视图画出几何体的直观图以及通过三视图来确定几何体的边长，考查空间想象能力和运算求解能力，棱柱的表面积是每一个面的面积之和，是中档题．10.设：关于(guānyú)的方程(fāngchéng)有解；：关于(guānyú)x的不等式对于(duìyú)恒成立(chénglì)，则p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出p、q成立时的取值范围，然后判断结果【详解】若p成立则，所以，若q成立则，所以对恒成立，所以.则,,所以p是q的必要不充分条件故选B【点睛】本题考查了必要不充分条件的判定，在判定时分别计算出满足条件的参数取值范围，由小范围可以推出大范围来判定结果11.已知双曲线的左右焦点分别为，，斜率为2直线过点F与双曲线C在第二象限相交于点，若，则双曲线C的离心率是（）1A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】由，可知是直角三角形，且,斜率为2直线过点1F 与双曲线C在第二象限相交于点P,所以，在中，利用同角的三角函数之间的关系，求出的值，然后求出的值，利用双曲线的定义，可求出曲线C的离心率．【详解(xiánɡ jiě)】因为21OP OF OF ==，所以(suǒyǐ)12PF F ∆是直角三角形，且12PF PF ⊥,由意可知(kě zhī)12tan 2PF F ∠=，所以(suǒyǐ)有，，由双曲线定义(dìngyì)可知：，故本题B ．【点睛】本题考查了双曲线的定义以及离心率． 12.已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】先对对数换元，然后构造函数，结合已知，判断构造的函数的单调性，最后求出不等式的解集． 【详解】令,构造函数，由已知可知：，所以是上的减函数，当时，，，所以当时，成立，也就是当时，ln2(ln)22(ln)20xf x e x f x x>=⇒->成立，故本题选A．【点睛(diǎn jīnɡ)】本题考查了通过构造函数，利用导数求不等式解集的问题．关键是换元法、构造函数法．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题(xiǎo tí)，每小题5分，满分20分）13.已知的展开式的所有(suǒyǒu)项的系数和为64，则其展开式中的常数项为_______.【答案(dá àn)】15【解析(jiě xī)】【分析】令，可以求出n，利用二项展开式的通项公式，求出常数项．【详解】已知的展开式的所有项的系数和为64，令1x=，得，二项展开式的通项公式为，令，所以常数项为．【点睛】本题考查了二项展开式中所有项系数和公式．重点考查了二项展开式中的常数项．14.在某次语文考试中，A、B、C三名同学中只有一名同学优秀，当他们被问到谁得到了优秀时，C说：“A没有得优秀”；B说：“我得了优秀”；A说：“C说得是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________．【答案】C【解析】【分析】通过推理假设某一个说的是假话，推出矛盾，得到结果【详解】假如A说的是假话，则C说的也是假话，不成立；假如B说的是假话，即B没有得优秀，又A没有得优秀，故C优秀；假如C 说的是假话，即A 得优秀，则B 说的也是假话，不成立； 故答案为C .【点睛】本题考查了合情推理，先假设再推理出结果，较为简单 15.幂函数的图象(tú xiànɡ)关于轴对称，则实数(shìshù)m =_______. 【答案(dá àn)】2 【解析(jiě xī)】 【分析(fēnxī)】 根据幂函数的定义得到的值，再根据图象关于y 轴对称验证m 的值.【详解】函数()2()33mf x m m x =-+是幂函数，解得：或，当1m =时，函数的图象不关于y 轴对称，舍去， 当2m =时，函数的图象关于y 轴对称，∴实数2m =． 【点睛】幂函数，若为偶数，则图象关于y 轴对称. 16.定义在R 上的函数的导函数为，.若对任意，都有，则使得成立的x 的取值范围为______.【答案】【解析】 【分析】 构造函数，对任意都有，可得，函数在R 单调递减，利用其单调性即可得结果.【详解】构造函数：()()()0101,01xf xg x g e e--===-， 对任意x ∈R 都有()()'1f x f x >+，，函数()g x 在R 单调递减，由化为，∴使得(shǐ de)()1x f x e +<成立(chénglì)的x 的取值范围(fànwéi)为0x >，故答案(dáàn)为0x >.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数比较(bǐjiào)大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） 17.如图，已知的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，，，且，点是的中点，，交于点，且，.（1）求B ；（2）求ABC 的面积. 【答案】(1)(2)【解析】分析】（1）通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出B．（2）根据已知条件可以确定，并求出它们的表达式，在中，运用外角与内角的关系、正弦定理，可求出A，BE的大小，最后求出面积．【详解(xiánɡ jiě)】解（1），由得，由余弦定理(yú xián dìnɡ lǐ)得，，:，（2）连接(liánjiē)，如下(rúxià)图：D是AC的中点(zhōnɡ diǎn)，DE AC ，，在BCE中，由正弦定理得，，，，，，，，，，，【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理、三角形面积公式．18.已知四棱锥中，底面，，，，（1）当变化(biànhuà)时，点C 到平面(píngmiàn)的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明(shuōmíng)理由； （2）当直线(zhíxiàn)与平面(píngmiàn)ABCD 所成的角为45°时，求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析；(2)【解析】 【分析】(1)根据几何关系得到面PAB ，进而得到点面距离；（2）根据线面角得到，所以，建立坐标系求得面的法向量由向量夹角的计算公式，进而得到二面角的余弦值. 【详解】（1）由，4BC =，知，则， 由PA ⊥面ABCD ，面ABCD 得，由，，面PAB ，则BC ⊥面PAB ，则点C 到平面PAB 的距离为一个定值，4BC =. （2）由PA ⊥面ABCD ，AB 为PB 在平面ABCD 上的射影，则为直线PB 与平面ABCD 所成的角，则45PBA ︒∠=，所以3PA AB ==.由，AB BC ⊥得，故直线AB 、、AP 两两垂直，因此，以点A为坐标原点，以AB 、AD 、AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、轴建立如图所示的空间 直角坐标系，易得，，，于是，，设平面(píngmiàn)的法向量(xiàngliàng)为，则，即，取1x =，则，，于是(yúshì)；显然(xiǎnrán)为平面(píngmiàn)的一个法向量，于是，分析知二面角A PD C --的余弦值为.【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，线面角的找法，平面和平面的夹角．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做． 19.在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C 上．（1）求圆C 的方程； （2）若圆C 与直线交于A ，B 两点，且，求a 的值．【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）因为曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上，所以要求圆的方程应求曲线与坐标轴的三个交点．曲线261y x x =-+与y 轴的交点为，与x 轴的交点为．由与x 轴的交点为()322,0,+ ()322,0-关于点(3,0)对称，故可设圆C 的圆心为，由两点间距离公式可得，解得．进而可求得圆C 的半径为，然后可求圆C 的方程为()()22319x y -+-=．（2）设，，由OA OB ⊥可得，进而可得，减少变量个数．因为，，所以．要求值，故将直线与圆的方程联立可得，消去y ，得方程．因为直线与圆有两个交点，故判别式，由根与系数的关系可得，．代入()2121220x x a x x a +++=，化简可求得1a =-，满足，故1a =-．详解(xiánɡ jiě)：（1）曲线(qūxiàn)261y x x =-+与y 轴的交点(jiāodiǎn)为()0,1，与x 轴的交点(jiāodiǎn)为()322,0,+ ()322,0-．故可设C 的圆心(yuánxīn)为()3,t ，则有，解得1t =．则圆C 的半径为()22313t +-=，所以圆C 的方程为()()22319x y -+-=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足方程组()()220,319.x y a x y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩ 消去y ，得方程()22228210x a x a a +-+-+=．由已知可得，判别式2561640a a ∆=-->，且124x x a +=-，212212a a x x -+=． 由于OA OB ⊥，可得12120x x y y +=． 又11y x a =+，22y x a =+所以()2121220x x a x x a +++=．由得1a =-，满足0∆>，故1a =-．点睛：⑴求圆的方程一般有两种方法：① 待定系数法：如条件和圆心或半径有关，可设圆的方程为标准方程，再代入条件可求方程；如已知圆过两点或三点，可设圆的方程为一般方程，再根据条件求方程；②几何方法：利用圆的性质，如圆的弦的垂直平分线经过圆心，最长的弦为直径，圆心到切线的距离等于半径．（2）直线(zhíxiàn)与圆或圆锥曲线交于A ，B 两点，若OA OB ⊥，应设()11,A x y ，()22,B x y ，可得12120x x y y +=．可将直线(zhíxiàn)与圆或圆锥曲线的方程联立消去y ，得关于(guānyú)x 的一元二次方程，利用根与系数(xìshù)的关系得两根和与两根积，代入12120x x y y +=，化简求值．20.随着科技的发展，网络已逐逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要(xiǎnɡ yào)的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或着第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式，某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数（单位：人）与时间（单位：年）的数据，列表如下：i t1 2 3 4 5 i y2427416479（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性线性回归模型拟合）附：相关系数公式，参考数据.（2）某网购专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案． 方案一：毎满600元可减100元；方案二：金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率都为都为，且毎次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．①两位顾客都购买了1050元的产品，求至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠的概率．②如果你打算购买1000元的产品，请从实际付款金额(jīn é)的数学期望的角度分折应该选择哪种优惠方案．【答案(dá àn)】（1）y与的线性相关程度很高，可用线性回归模型(móxíng)拟合；（2）①;②选择方案(fāng àn)二更划算【解析(jiě xī)】【分析】（1）根据公式得到相关系数的值，进而作出判断即可；（2）①由间接法得到结果即可；（2）方案一付款900元，方案二计算均值为850，通过比较可得到结果.【详解】（1）由题知，，，，，则.故y与t的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合.（2）①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件A，则,故所求概率为.②若选择方案一，则需付款（元），若选择方案二，设付款元，则X可能取值为700，800，900，1000.；；；.所以(suǒyǐ)（元），因，所以选择(xuǎnzé)方案二更划算.【点睛】这个题目考查了相关系数的计算以及(yǐjí)相关系数的实际意义，考查了均值在实际案例中所起到的作用.当r的绝对值接近(jiējìn)1时，说明(shuōmíng)直线的拟合程度越好，当r值靠近0时说明拟合程度越差.21.已知函数．f x的单调性；（1）当时，讨论()（2）证明：当时，，．【答案】（1）在(0,1)上单调递增，在上单调递减；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）利用导数的运算法则可得，分别解出，，即可得出单调区间．（2）利用导数研究的单调性，从而可判断函数的最大值．【详解】（1）解：由题意知，，.当0a >时，对()0,x ∞∈+恒成立， 所以当时，；当时，.所以(suǒyǐ)函数()f x 在()0,1上单调(dāndiào)递增，在上单调(dāndiào)递减.（2）证明(zhèngmíng)：由题意知，即证当2a ≥时，对任意(rènyì)，恒成立，令，[]1,2x ∈，所以，[]1,2x ∈.因为2a ≥，[]1,2x ∈，则，所以函数在上单调递减，所以，当2a ≥时，，.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法、转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：极坐标与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，曲线的参数方程为（α是参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若射线与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求取最大值时的值【答案】(1) 1C 的极坐标方程为.曲线2C 的直角坐标方程为. (2)【解析】 【分析(fēnxī)】(1)先得到(dé dào)1C 的一般方程，再由极坐标化直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)的公式得到一般方程，将代入得，得到(dé dào)曲线2C 的直角坐标(zhíjiǎo zuò biāo)方程；（2）设点A 、B 的极坐标分别为，，将θβ= 02πβ⎛⎫<<⎪⎝⎭分别代入曲线1C 、2C 极坐标方程得：，，，之后进行化一，可得到最值，此时，可求解.【详解】（1）由得，将代入得：，故曲线1C 的极坐标方程为22cos ρθ=.由得，将222x y y sin ρρθ⎧+=⎨=⎩代入得224x y y +=，故曲线2C 的直角坐标方程为.（2）设点A 、B 的极坐标分别为()1,ρθ，()2,ρθ， 将θβ= 02πβ⎛⎫<<⎪⎝⎭分别代入曲线1C 、2C 极坐标方程得：122cos ρβ=，24sin ρβ=，则22cos 4sin OA OB ββ+=+，其中为锐角，且满足，，当时，取最大值，此时(cǐ shí)2πβϕ=-，【点睛】这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，极坐标化为直角坐标的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代表(dàibiǎo)的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t 的几何(jǐ hé)意义，其中极径多数用于过极点的曲线，而t 的应用(yìngyòng)更广泛一些. 23.已知函数(hánshù)，a ，b 为实数. （1）若1a =-，，求不等式的解集；（2）当0a >，时，函数()f x 的最大值为7，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）分段讨论去绝对值求解不等式即可； （2）利用绝对值三角不等式可得，从而得，由展开利用基本不等式求最值即可.【详解】（1）由题，即，（1）当时，由（1）式可得，故此时；当时，由（1）式可得，故此时12x <<；重点中学试卷 可修改 欢迎下载- 21 - 当时，由（1）式可得，故此时； 综上所述，不等式解集为.（2）因为， 故，即，所以1a b +=， 则，当且仅当，时取等号， 所以(suǒyǐ)的最小值为322+【点睛】本题(běntí)主要考查了解绝对值不等式及绝对值三角不等式求最值、基本不等式求最值，属于基础题.内容总结（1）（2）①由间接法得到结果即可。
【宜宾四中高三开学考理数】四川省宜宾市第四中学2021届高三上学期开学考试理科数学含答案
为____．
15．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C ： x 12 y 22 16 ，若等腰直角 PAB 的斜边 AB
为圆 C 的一条弦，则 PC 的最大值为______.
16．若三棱锥 S ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形， AB 2 3 ， SA SB SC 7 ，
直方图:
·3·
(1)求 n 的值； (2)已知这100 名农民工中月工资高于平均数的技术工有 31名，非技术工有19 名.
①完成如下所示 2 2 列联表
技术工
非技术工
总计
月工资不高于平均数
50
月工资高于平均数
50
总计
50
50
100
②则能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系?
OA +OB
=
mOM
，其中
m
4
5 5
4 3
,
3
，求
AB
的取值范围.
21．（12 分）已知函数 f (x) a ln(x 1)(a 0) ．
则该三棱锥的外接球的表面积为__________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试
题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）已知在 ABC 中， ACB 120 ， BC 2AC . （1）求 tan A 的值； （2）若 AC 1 ， ACB 的平分线 CD 交 AB 于点 D ，求 CD 的长.
两支分别交于 A, B 两点，延长 BF 交右支于 C 点，若 AF FB,| CF | 3 | FB |，则双曲线 的离心
四川省宜宾市2021届高三上学期第一次诊断考试数学(理)试题(wd无答案)
四川省宜宾市2021届高三上学期第一次诊断考试数学（理）试题一、单选题(★) 1. 复数的值为（）A．B．C．D．(★) 2. 命题“ ，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，(★) 3. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 4. 某团支部随机抽取甲乙两位同学连续9期“青年大学习”的成绩(单位：分)，得到如图所示的成绩茎叶图，关于这9期的成绩，则下列说法正确的是（）A．甲成绩的平均数高于乙成绩的平均数B．乙成绩的极差为40C．甲乙两人成绩的众数相等D．甲成绩的中位数为32(★★) 5. 符号表示大于或等于的最小整数，在下图中输入的依次为和，则输出的是（）A．B．C．D．(★★★) 6. 如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，线段交于点，设，，用，表示为（）A．B．C．D．(★★) 7. 若展开式中所有项的系数和为1，则其展开式中的系数为（）A．B．C．D．(★★★) 8. 函数部分图象大致形状为（）A．B．C．D．(★) 9. 已知，则（）A．B．C．D．(★★★) 10. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的3倍，则的值为（）(结果精确到0.1，参考数据：，)A．2.2B．2.4C．2.6D．2.8(★★★) 11. 已知定义在上的奇函数满足，，若且时，都有，则下列结论正确的是（）A．图象关于直线对称B．图象关于点中心对称C．在上为减函数D．在上为增函数(★★★★) 12. 已知实数，，，( e为自然对数的底数)则，，的大小关系为（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 已知实数、满足约束条件，则目标函数的最大值为___________ .(★★) 14. 已知向量，，向量与向量的夹角为，则___________ .(★★★) 15. 已知中，内角的对边分别为，且，则___________.(★★★★) 16. 已知函数( e为自然对数的底数)有两个不同零点，则实数的取值范围是___________.三、解答题(★★★) 17. 已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）将函数图象上所有点的横坐标都缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位得到函数图象，求函数的单调增区间.(★★) 18. 已知函数在处取得极值.（1）求实数的值；（2）若函数在内有零点，求实数的取值范围.(★★) 19. 第七次全国人口普查登记于2020年11月1日开始，这是在我国人口发展进入关键期开展的一次重大国情国力调查，可以为编制“十四五”规划，为推动高质量发展，完善人口发展战略和政策体系､促进人口长期均衡发展提供重要信息支持，本次普查主要调查人口和住户的基本情况.某校高三一班共有学生54名，按人口普查要求，所有住校生按照集体户进行申报，所有非住校生(走读生及半走读生)按原家庭申报，已知该班住校生与非住校生人数的比为，住校生中男生占，现从住校生中采用分层抽样的方法抽取7名同学担任集体户户主进行人口普查登记.（1）应从住校的男生､女生中各抽取多少人？（2）若从抽出的7名户主中随机抽取3人进行普查登记培训①求这3人中既有男生又有女生的概率；②用表示抽取的3人中女生户主的人数，求随机变量的分布列与数学期望.(★★★) 20. 已知递增数列满足，，且是方程的两根，数列的前项和为，且.（1）求数列，的通项公式；（2）记，求数列的前项和.(★★★★) 21. 已知函数（为常数，）.（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）判断方程是否存在实数解；如果存在，求出解的个数；如果不存在，请说明理由.(★★★) 22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为( 为参数)，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；（2）若直线与曲线相交于点，求圆心在极轴上，且经过极点和点的圆的直角坐标方程.(★★★) 23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，且实数，满足，求证：.。
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绝密★启用前
四川省宜宾市第四中学
2021届高三年级上学期第一次月考检测
数学(理)试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1．设U A B =⋃，{1,2,3,4,5}A =，{B =10以内的素数}，则)(B A C U ⋂
A ．{2,4,7}
B ．φ
C ．{4,7}
D ．{1,4,7} 2．已知a 是实数，
1a i i +-是纯虚数,则 a 等于 A
． B ．1- C
D ．1
3
．已知2a =,0.2log 0.3b =,11tan 3
c π=,则a ,b ,c 的大小关系是 A ．c b a << B ．b a c << C ．c a b << D ．b c a <<
4．已知数列{}n a 是正项等比数列,满足98713282,221a a a a a a =+=++,则数列{}n a 的通项公式n a =
A ．12n -
B ．13n -+
C ．13n -
D ．12n -+
5．若实数,x y 满足约束条件⎪⎩
⎪⎨⎧≥+≤-+≤020223y y x x y ,则3z x y =+的最小值是
A ．6-
B ．4-
C ．127
D ．14
6．已知函数()22cos f x x x =+,若()f x '是()f x 的导函数,则函数()f x '的图象大
致是
A ．
B ．
C ．
D ．
7．鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它的外观是如图所示的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根完全一样的正四棱柱体分成三组,经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计）,则该球形容器表面积的最小值为
A ．41π
B ．42π
C ．43π
D ．44π
8．已知ABC ,则“sin cos A B =”是“ABC 是直角三角形”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝
⎭的最小正周期为π,若其图象向右平移6π个单位后得到函数为奇函数,则函数()f x 的图象
A ．关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称
B ．在22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
-,上单调递增 C ．关于直线3x π
=对称 D ．在6x π
=处取最大值
10．已知a 、b 、c 是在同一平面内的单位向量,若a 与b 的夹角为60,则
()()2a b a c -⋅-的最大值是
A ．12
B ．2-
C ．32
D ．52。