湖南省长沙市第一中学2020届高三上学期第一次月考数学(理科)试题 含答案
湖南省长沙市第一中学2025届高三上学期阶段性检测(一) 数学试题[含答案]
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长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学试卷时量：120分钟总分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合,集合,则（ ）{||1}A x x =<∣{B x y ==∣A B = A ．B ．C ．D ．(1,1)-(0,1)[0,1)(1,)+∞2．已知复数z 满足,则复数在复平面内对应的点位于（ ）i 12i z =-+z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A 有6个样本点，事件B 有4个样本点，事件有8个样本点，则（ ）A B +()P AB =A ．B ．C ．D ．231213164．己知等差数列的前5项和,且满足,则等差数列的公差为（ ）{}n a 535S =5113a a ={}n a A ． B ．C ．1D ．33-1-5．已知的展开式中的系数为80，则m 的值为（ ）51(2)my x y x ⎛⎫+-⎪⎝⎭24x y A ．B ．2C ．D ．12-1-6．如图，正方形中，是线段上的动点，且,则ABCD 2,DE EC P = BE (0,0)AP x AB y AD x y =+>>的最小值为（ ）11x y+A ．B ．C D ．47．设,则下列关系正确的是（ ）0.033,ln1.03,e 1103a b c ===-A ．B ．C ．D ．a b c >>b a c >>c b a >>c a b>>8．已知，则1tan 1tan()tan 6,tan tan 3222tan 2αβαβπαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤⎛⎫-+-=-=⎪ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭ ⎪⎝⎭（ ）cos(44)αβ+=A ． B ． C ． D ．7981-79814981-4981二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为,则下列说法正确的是（ ）lg 4.8 1.5E M =+A ．地震释放的能量为焦耳时，地震里氏震级约为七级15.310B ．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍C ．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍D ．记地震里氏震级为,地震释放的能量为,则数列是等比数列(1,2,,9,10)n n = an {}an 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P 在双曲线的右支上，现有四2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F 个条件：①;②；③平分;④点P 关于原点对称的点为Q ,且120PF PF ⋅=1260F F P ∠=︒PO 12F PF ∠,能使双曲线C 的离心率为）12||PQ F F =1+A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④11．如图，是底面直径为2高为1的圆柱的轴截面，四边形绕逆时针旋转ABCD 1OO 1OO DA 1OO 到,则（ ）(0)θθπ≤≤111OO D A A ．圆柱的侧面积为 B ．当时，1OO 4π0θπ<<11DD A C⊥C ．当时，异面直线与所成的角为D ．3πθ=1A D 1OO 4π1A CD △三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．如图，某景区共有A ,B ,C ,D ,E 五个景点，相邻景点之间仅设置一个检票口供出入，共有7个检票口，工作人员为了检测检票设备是否正常，需要对每个检票口的检票设备进行检测若不重复经过同一个检票口，依次对所有检票口进行检测，则共有___________种不同的检测顺序．13．已知函数在上是增函数，且，则的取()sin ()f x x ωω=∈R 7,212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12f π⎛⎫- ⎪⎝⎭值的集合为___________．14．斜率为1的直线与双曲线交于两点A ，B ,点C 是曲线E 上的一点，满足2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>和的重心分别为的外心为R ,记直线的斜率为,,AC BC OAC ⊥△OBC △,,P Q ABC △,,OP OQ OR 123,,k k k 若，则双曲线E 的离心率为___________．1238k k k =-四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）设函数．2()ln ()f x x ax x a =-++∈R （1）若,求函数的单调区间；1a =()f x （2）设函数在上有两个零点，求实数a 的取值范围（其中e 是自然对数的底数）()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．（15分）如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，四边形为矩形，平面1111ABCD A B C D -ABCD 11CC D D 平面为线段的中点，且．11CC D D ⊥,ABCD E 1CD BE CE =（1）求证：平面;AD ⊥11BB D D（2）若,直线与平面的余弦4,2AB AD ==1A E 11BB D D 1D AB D --值．17．（15分）软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法．作为我国的独有艺术，软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，对孩子的身心健康发展起着重要的作用．近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育．某书法培训机构统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：书体楷书行书草书隶书篆书人数2416102010（1）该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中．60a ≤认真完成不认真完成总计男生5aa女生总计60若根据小概率值的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学习0.10α=软笔书法的女生的人数．（2）现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人中学习行书的人数为X ,求X 的分布列及数学期望．参考公式及数据：．22(),()()()()n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++α0.100.050.01x α2.7063.8416.63518．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C 上一点，且到的距离2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,,(2,3)F F A 12,F F 之和为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设B 为A 关于原点O 的对称点，斜率为k 的直线与线段（不含端点）相交于点Q ,与椭圆C 相交于AB 点M ,N ,若为常数，求与面积的比值．2||||||MN AQ BQ ⋅AQM △AQN △19．（17分）设满足以下两个条件的有穷数列为阶“曼德拉数列”：12,,,n a a a (2,3,4,)n n =①；②．1230n a a a a ++++= 1231n a a a a ++++= （1）若某阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项（,用k ,n 表示）；()*2k k ∈N n a 12n k ≤≤（2）若某阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项（,用k ,n 表示）；()*21k k +∈N n a 121n k ≤≤+（3）记n 阶“曼德拉数列”的前k 项和为,若存在,使,试{}n a (1,2,3,,)k S k n = {1,2,3,,}m n ∈ 12m S =问：数列能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理{}(1,2,3,,)i S i n = 由．长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（一）数学参考答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．C【解析】，故．故选C ．{11},{0}A xx B x x =-<<=≥∣∣{01}[0,1)A B x x =≤<= ∣2．D【解析】，212i (12i)ii 12i 2i 2i i iz z z -+-+⋅=-+⇒===+⇒=-所以复数在复平面内对应的点位于第四象限，故选D z 3．D【解析】根据概率公式计算可得；由概率的加法公式可614182(),(),()122123123P A P B P A B ====+==知,代入计算可得()()()()P A B P A P B P AB +=+-1()6P AB =故选：D 4．D【解析】,解得,故选D 5151151035;413S a d a a d a =+==+=13,1d a ==5．A 【解析】，55511(2)(2)(2)my x y x y my x y x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭在的展开式中，由,51(2)x y x-155455(2)()(1)2r r r r r r r r x C x y C x y -----=-⋅令，得r 无解，即的展开式没有的项；424r r -=⎧⎨=⎩51(2)x y x -24x y 在的展开式中，由,5(2)my x y -555155(2)()(1)2rr r r r r r r myC x y mC x y ---+-=-⋅令,解得，5214r r -=⎧⎨+=⎩3r =即的展开式中的项的系数为,5(2)my x y -24x y 35335(1)240mC m --⋅=-又的展开式中的系数为80，5(2)()x my x y +-24x y 所以,解得,故选A ．4080m -=2m =-6．C【解析】正方形中，,则,ABCD 2DE EC = 2233AD AE ED AE CD AE AB =+=+=-而,则，AP x AB y AD =+ 2233AP xAB y AE AB x y AB y AE ⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又点B,P ,E 共线，于是,即,而，213x y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭13yx +=0,0x y >>因此，1111443333y x y x x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时取等号，3x y y x=y ==所以当时，．x y ==11x y +故选：C 7．C【解析】记．()e 1,(0)xf x x x =--≥因为,所以当时，,所以在上单调递增函数，()e 1xf x '=-0x >()0f x '>()f x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0f x f >=1xe x ->0.03e 10.03->记．()ln(1),(0)g x x x x =+-≥因为，所以在上单调递增函数，1()1011xg x x x-'=-=<++()g x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0g x g <=ln(1)x x +<ln1.030.03<所以．记．c b >()ln(1),(0)1xh x x x x=+-≥+因为，所以当时，，2211()1(1)(1)x h x x x x '=-=+++0x >()0h x '>所以在上单调递增函数，()h x (0,)+∞所以当时，,即,所以．0x >()(0)0h x h >=ln(1)1x x x +>+0.033ln1.0310.03103>=+所以,综上所述：．b a >c b a >>故选：C 8．A【解析】，1tan 1tan()tan 622tan 2αβαβαβαβ⎛⎫⎪--⎡⎤-+-=⎪⎢⎥-⎣⎦ ⎪⎝⎭．2221tan 2tan 2216tan1tan 22αβαβαβαβ--⎛⎫- ⎪+= ⎪-- ⎪-⎝⎭，2221tan 2tan2cos()226sin()1tan 2αβαβαβαβαβ--⎛⎫-+ ⎪-= ⎪-- ⎪-⎝⎭，221tan2cos()2cos()126,6sin()sin()cos()1tan 2αβαβαβαβαβαβαβ-⎛⎫+ ⎪--=⨯=⎪---- ⎪-⎝⎭，11sin(),sin cos cos sin 33αβαβαβ-=-=又因为，所以，tan tan 32παβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 3cos sin αβαβ=则,所以11cos sin ,sin cos 62αβαβ==2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=．241cos(22)12sin ()1299αβαβ+=-+=-⨯=．2179cos(44)2cos (22)1218181αβαβ+=+-=⨯-=-故选：A二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．ACD【解析】对于A:当时，由题意得,15.310E =15.3lg104.8 1.5M =+解得,即地震里氏震级约为七级，故A 正确；7M =对于B:八级地震即时，,解得,8M =1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=16.8110E =所以，16.81.5115.3101010 6.310E E ==>≠所以八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的倍，故B 错误；1.510对于C:六级地震即时，,解得,6M =2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=13.8210E =所以,16.83113.821010100010E E ===即八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍，故C 正确；对于D:由题意得,lg 4.8 1.5(1,2,,9,10)n a n n =+= 所以，所以4.8 1.510n n a += 4.8 1.5(1) 6.31.511010n nn a ++++==所以，即数列是等比数列，故D 正确；6.31.5 1.51 4.81.5101010nn n n a a +++=={}an 故选：ACD 10．AD【解析】③平分且为中线，可得,PO 12F PF ∠PO 12PF PF =点P 在双曲线的右支上，所以不成立；若选①②：可得,1212120,60,2PF PF F F P F F c ⋅=∠=︒=21,PF c PF ==，即离心率为，成立；2c a -=1c e a ===+若选②④：，点P 关于原点对称的点为Q ,1260F F P ∠=︒且，可得四边形为矩形，12||PQF F =12F QF P 即可得,1212,2PF PF F F c ⊥=12,PF c PF ==,即离心率为,成立；2c a -=1c e a ===+故选：AD 11．BC【解析】对于A,圆柱的侧面积为，A 错误；1OO 2112ππ⨯⨯=对于B,因为，所以,又,0θπ<<11DD D C ⊥111DD A D ⊥所以平面,所以,B 正确；1DD ⊥11A D C 11DD A C ⊥对于C,因为,所以就是异面直线与所成的角，因为，所以111A D OO ∥11DA D ∠1A D 1OO 113DO D π∠=为正三角形，所以,因为,所以，C 正确；11DO D △1111DD A D ==111A D DD ⊥114DA D π∠=对于D,作,垂足为E ,连接,所以平面,所以．1D E DC ⊥1A E DC ⊥11A D E 1A E DC ⊥在中，11Rt A D E △1A E ==≤=,所以,D 错误．1111222A CD S DC A E =⨯⨯≤⨯=△()1maxA CDS =△故选：BC ．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12．32【解析】如图将5个景区抽象为5个点，见7个检票口抽象为7条路线，将问题化归为不重复走完7条路线，即一笔画问题，从B 或E 处出发的线路是奇数条，其余是偶数条，可以判断只能从B 或E 处出发才能不重复走完7条路线，由于对称性，只列出从B 处出发的路线情形即可．①走路线：3126547,3126745,3147526,3147625,3156247,3157426，共6种；BA ②走路线：4137526,4137625,4265137,4267315,4562137,4573126，共6种；BC ③走路线：7513426,7543126,7621345,7624315，共4种；BE 综上，共有种检测顺序．()266432⨯++=故答案为：3213．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】由可知，，得，3244f f ππ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32442T nT πππ+=-=,21T n n π=∈+Z 所以,2||42n Tπω==+又函数在上是增函数，()sin ()f x x ωω=∈R 7,212ππ⎛⎫⎪⎝⎭所以，即，所以，7212212T πππ≥-=6T π≥||12ω≤所以，的可能取值为．ω2,6,10±±±当时，由解得，0ω>2222k x k πππωπ-+≤≤+22,22k k x k ππππωωωω-+≤≤+∈Z 经检验，,6,10时不满足题意；2ω=当时，由解得,0ω<2222k x k πππωπ-+≤≤+22,22k k x k ππππωωωω+≤≤-+∈Z 经检验，时满足题意．2,6ω=--所以，的可能取值为．12f π⎛⎫-⎪⎝⎭1sin ,sin 11262122f f ππππ⎛⎫⎛⎫-==-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭14【解析】若直线与双曲线有两个交点G ,H ,设G ,H 的中点为K ，y kx m =+22221x y a b -=联立方程组，整理得,22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨-=⎪⎩()22222222220b a k x a kmx a m a b ----=可得,则，22222G H a km x x b a k +=-22222G H K x x a kmx b a k+==-又由在直线上，可得，(),K K K x y y kx m =+22222222K a km b my m b a k b a k =+=--所以，所以，22K OKK y b k x ka ==22GH OK b k k a ⋅=即直线l 与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线l 的斜率之积为定值，22b a如图所示，取的中点M ,N ,,AC BC 因为的重心P 在中线上，的重心Q 在中线上，OAC △OM OBC △ON所以,可得，12,OP OM OQ ON k k k k k k ====22$OM AC ON BCb k k k k a⋅=⋅=即，2122AC BCb k k k k a⋅=⋅=又由,可得，可得AC BC ⊥1AC BCk k ⋅=-22122b k k a ⎛⎫⋅=- ⎪⎝⎭因为,且的外心为，点R ,则R 为线段的中点，AC BC ⊥ABC △AB 可得，因为，所以，22OR ABb k k a ⋅=1AB k =22OR b k a=所以，所以，3212328b k k k a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ba =所以c e a ===．四、解答题（本题共6小题，共70分）15．解：（1）当时，的定义域为,1a =2()ln ,()f x x x x f x =-++(0,)+∞，2121()21x x f x x x x-++'=-++=令,则,解得,()0f x '>2210x x --<01x <<令,则,解得．()0f x '<2210x x -->1x >∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．()f x (0,1)(1,)+∞（2）令,则．2()ln 0f x x ax x =-++=ln xa x x=-令，其中，ln ()x g x x x =-1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则．2221ln ln 1()1x xx x x g x x x⋅-+-'=-=令,解得,令,解得．()0g x '>1e x <≤()0g x '<11ex ≤<的单调递减区间为，单调递增区间为,()g x ∴1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭(1,e]．min ()(1)1g x g ∴==又,函数在上有两个零点，111e ,(e)e e ee g g ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的取值范围是．a ∴11,e e ⎛⎤- ⎥⎝⎦16．解：（1）在中，E 为线段的中点，且,所以,1BCD △1CD BE CE =1D E CE BE ==所以为直角三角形，且，所以,111,2BE CD BCD =△190CBD ∠=︒1D B BC ⊥因为底面为平行四边形，,所以,ABCD AD BC ∥1AD D B ⊥又因为四边形为矩形，所以,11CC D D 1D D DC ⊥因为平面平面,平面平面平面,11CC D D ⊥ABCD 11CC D D 1,ABCD DC D D =⊂11CC D D 所以平面,1D D ⊥ABCD 因为平面,所以,AD ⊂ABCD 1AD D D ⊥因为平面,11111,,D D D B D D D D B =⊂ 11BB D D 所以平面．AD ⊥11BB D D （2）因为平面平面,所以,AD ⊥11,BB D D BD ⊂11BB D D AD BD ⊥由（1）知平面,又平面,所以,11,D D AD D D ⊥⊥ABCD BD ⊂ABCD 1D D BD ⊥所以两两垂直，1,,DA DB DD 以D 为坐标原点，所在直线为x 轴，所在直线为y 轴，DA DB所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，1DD 在中，,所以,Rt ADB △4,2AB AD ==DB ==设,则,1(0)DD t t =>1(0,0,0),(2,0,0),(2,0,),,(0,2t D A A t E B ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以,1,(2,2t A E AB ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭易知平面的一个法向量为,11BB D D (2,0,0)DA =设直线与平面所成的角为,1A E 11BB D D θ则,解得111sin cos ,||A E DAA E DA A E DA θ⋅====t =所以,11(0,0,(2,0,D AD =-设平面的法向量为1ABD (,,)m x y z =则，令,12020AB m x AD m x⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ x =m = 易知平面的一个法向量为,ABCD (0,0,1)n =则，cos ,||||m n m n m n ⋅===易知二面角是锐角，故二面角1D AB D --1D AB D --17．解：（1）根据题意，完成列联表如下：认真完成不认真完成总计男生45a 5a a女生4605a -205a -80a-总计602080由题意可得，2244802060555516 2.7066020(80)15(80)a a a a a a a a χ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦==≥⨯⨯⨯--得．57.38a >易知a 为5的倍数，且，所以,60a ≤60a =所以该培训机构学习软笔书法的女生有（人）．806020-=（2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为，24:163:2=所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有（人），学习行书的有310632⨯=+（人），210432⨯=+所以X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，，4312266464444101010C C C C C 151808903(0),(1),(2)C 21014C 21021C 2107P X P X P X ============．134644441010C C C 2441(3),(4)C 21035C 210P X P X =======X 的分布列为：X 01234P114821374351210所以．183418()0123414217352105E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=18．解：（1）由椭圆的定义得,所以．1228AF AF a +==4a =又为椭圆C 上一点，所以，(2,3)A 22491a b+=将代入，得,4a =212b =所以椭圆C 的标准方程为．2211612x y +=（2）因为B 为A 关于原点O 的对称点，所以,直线的方程为．()2,3B --AB 32y x =设,则直线的方程为,()()2,311Q t t t -<<MN ()32y t k x t -=-联立得，可得,22116123(2)x y y t k x t ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩()2222438(32)4(32)480k x kt k x t k ++-+--=由点Q 在椭圆内，易知，0∆>不妨令,则，()()1122,,,M x y N x y 221212228(23)4(32)48,4343kt k t k x x x x k k ---+=⋅=++所以．()()()()()()222222222121212224811612(32)||11443k k t k MN kx x k x x x x k⎡⎤++--⎣⎦⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+又,()2||||131AQ BQ t ⋅==-所以为常数，()()()222222224811612(32)||||||13431k k t k MN AQ BQ k t ⎡⎤++--⎣⎦=⋅+-则需满足为常数，22221612(32)1k t k t+---（此式为与t 无关的常数，所以分子与分母对应成比例）即，解得．221612(32)k k +=-12k =-将代入，可得,得，12k =-1228(23)43kt k x x k -+=+124x x t +=1222x x t +=所以Q 为的中点，MN 所以．||1||AQM AQNS MQ S NQ ==△△19．解：（1）设等比数列的公比为q ．1232,,,,(1)k a a a a k ≥ 若，则由①得,得,1q ≠()21122101k k a q a a a q-+++==- 1q =-由②得或．112a k =112a k=-若,由①得，,得,不可能．1q =120a k ⋅=10a =综上所述，．1q =-或．11(1)2n n a k -∴=-11(1)2n n a k-=--（2）设等差数列的公差为d ,12321,,,,(1)k a a a a k +≥ ,123210k a a a a +++++= ,112(21)(21)0,02k k dk a a kd +∴++=+=即,120,k k a a d ++=∴=当时，“曼德拉数列”的条件①②矛盾，0d =当时，据“曼德拉数列”的条件①②得，0d >，()23211212k k k k a a a a a a ++++++==-+++ ，即，(1)122k k kd d -∴+=1(1)d k k =+由得，即，10k a +=110(1)a k k k +⋅=+111a k =-+．()*111(1),211(1)(1)n n a n n n k k k k k k k∴=-+-⋅=-∈≤++++N 当时，同理可得，0d <(1)122k k kd d -+=-即．1(1)d k k =-+由得,即，10k a +=110(1)a k k k -⋅=+111a k =+．()*111(1),211(1)(1)n n a n n n k k k k k k k∴=--⋅=-+∈≤++++N 综上所述，当时，,0d >()*1,21(1)n n a n n k k k k∴=-∈≤++N 当时，．0d <()*1,21(1)n n a n n k k k k=-+∈≤++N （3）记中非负项和为A ,负项和为B ,则,12,,,n a a a 0,1A B A B +=-=得，即．1111,,2222k A B B S A ==--=≤≤=1(1,2,3,,)2k S k n ≤= 若存在，使，由前面的证明过程知：{1,2,3,,}m n ∈ 12m S =，且． 12120,0,,0,0,0,,0m m m n a a a a a a ++≥≥≥≤≤≤ 1212m m n a a a +++++=- 若数列为n 阶“曼德拉数列”，{}(1,2,3,,)i S i n = 记数列的前k 项和为,则．{}(1,2,3,,)i S i n = k T 12k T ≤，1212m m T S S S ∴=+++≤又,1211,02m m S S S S -=∴==== ．12110,2m m a a a a -∴===== 又，1212m m n a a a +++++=- ，12,,,0m m n S S S ++∴≥ ，123123n n S S S S S S S S ∴++++=++++ 又与不能同时成立，1230n S S S S ++++= 1231n S S S S ++++= ∴数列不为n 阶“曼德拉数列{}(1,2,3,,)i S i n =。
2023届湖南省长沙市第一中学高三上学期入学摸底考试数学试卷 word版
B.函数 在区间 上单调递减
C.不等式 的解集为
D.不等式 的解集为
12.已知椭圆C： （ ）的离心率为 ，过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足 .动点Q满足 ，则下列结论正确的是（）
A.
B. 动点Q的轨迹方程为
C. 线段OQ（O为坐标原点）长度的最小值为
A.23 B.25 C.27 D.29
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内､中､外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率 （0.9372，0.01392）.则下列结论正确的是（）
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】ABD
【10题答案】
【答案】AD
【11题答案】
【答案】ABC
【12题答案】
【答案】ABD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
【13题答案】
A. B. C. D.
4.已知 是定义在R上的奇函数， 为偶函数，且当 时， ，则 （）
A B.0C. D.1
5.每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1 ，这些人的近视率约为50%.现从每天操作电子产品不超过1 的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为（）
湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高三下学期月考(七)数学试题试卷(七)
长沙市一中2024 届高三月考试卷(七)数学试卷一、单项选择题: 本题共8 小题, 每小题5 分, 共40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 样本数据15 、13 、12 、31 、29 、23 、43 、19 、17 、38 的中位数为( )(A) 19 (B) 23 (C) 21 (D) 182. 已知集合A = {x''' e x2 −2x ≤ 1}, B = {−1, 0, 1}, 则集合A ∩ B 的非空子集个数为( )(A) 4 (B) 3 (C) 8 (D) 73. 已知实部为3 的复数z 满足z · (1 −2i) 为纯虚数, 则|z| = ( )(D) √54. 已知数列{a n } 满足a n = 3n −b (n ∈ N* , b ∈ R), 则“b < 3”是“{|a n |} 是递增数列”的( )(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件5. 已知tan θ= 2, 则 sin 2θ= ( )(A) (B) 2 (C) 1 (D)6. 过抛物线E: y2 = 2px (p > 0) 的焦点F 的直线交E 于点A, B , 交E 的准线l 于点C , AD ⊥ l , 点D 为垂足.若F 是AC 的中点, 且|AF | = 3, 则|AB| = ( )(A) 4 (B) 2√3 (C) 3√2 (D) 37. 已知双曲线C: kx2 −y2 = 1 的左焦点为F , P (3m, −4m) (m > 0) 为C 上一点, 且P 与F 关于C 的一条渐近线对称, 则C 的离心率为( )(A) (B) √3 (C) 2 (D)√58. 已知函数f(x) 的定义域为R, 且满足f(x) + f(3 −x) = 4, f(x) 的导函数为g(x), 函数y = g(x −1) 的图象关于点(2, 1) 中心对称, 则f + g(2024) = ( )(A) 3 (B) −3 (C) 1 (D) −1二、多项选择题: 本题共3 小题, 每小题6 分, 共18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得0 分.9. 已知函数cos 2x + sin 2x, 则( )(A) 函数f (x −关于原点对称(B) 曲线y = f(x) 的对称轴为x = + , k ∈ Z2 cos2 θ + 4 sin2 θ(C) f (x) 在区间单调递减(D) 曲线y = f (x) 在点(0, f (0)) 处的切线方程为2x −2y + 1 = 010. 已知二面角A −CD −B 的大小为, AC ⊥ CD , BD ⊥ CD , 且CD = 1, AC + BD = 2, 则( )(A) △ABD 是钝角三角形(B) 异面直线AD 与BC 可能垂直(C) 线段AB 长度的取值范围是[2, √5) (D) 四面体A −BCD 体积的最大值为11. 甲、乙两同学参加普法知识对抗赛, 规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答. 若回答正确, 得 1 分, 答题继续; 若回答错误, 得0 分, 同时换成对方进行下一轮答题. 据经验统计, 甲、乙每次答题正确的概率分别是和 , 且第1 题的顺序由抛掷硬币决定. 设第i 次答题者是甲的概率为P i , 第i 次回答问题结束后中甲的得分是K i , 则( )(A) P2 =(C) P i+1= P i+ P i+ K i−1三、填空题: 本题共3 小题, 每小题5 分, 共15 分.12. (x + 3y)(x −y)8 的展开式中x3 y6 的系数为.13. 已知动点P 在圆M : (x −m + 1)2 + (y −m)2 = 1 上, 动点Q 在曲线y = ln x 上. 若对任意的m ∈ R, |PQ| ≥ n恒成立, 则n 的最大值是.14. 已知正六棱锥的高是底面边长的2√3 倍, 侧棱长为√13, 正六棱柱内接于正六棱锥, 即正六棱柱的所有顶点均在正六棱锥的侧棱或底面上, 则该正六棱柱的外接球表面积的最小值为.四、解答题: 本题共5 小题, 共77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 盒中有形状、大小均相同的卡片6 张, 卡片依次标记数字1, 2, 2, 3, 3, 3.(1) 若随机一次取出两张卡片, 求这两张卡片标记数字之差为1 的概率;(2) 若每次随机取出两张卡片后不放回, 直到将所有标记数字为2 的卡片全部取出, 记此时盒中剩余的卡片数量X , 求X 的分布列和E(X).16. 如图三棱锥P −ABC 中, PA = BC , AB = PC , AC ⊥ PB.(1) 证明: AB = BC;(2) 若平面PAC ⊥ 平面ABC , AC = √2AB , 求二面角A −PB −C 的余弦值.PA CB17. 已知定义在 (0, π) 上的函数 f (x) = cos 2 x + sin x.(1) 求 f (x) 的极大值点;(2) 证明: 对任意x 4 − x 2 + 1. 18. 已知椭圆的上、下顶点分别为 A(0, 1), B(0, −1), 其右焦点为 F , 且 F #---A -→ · B #---A -→ = F #---A -→ · F #---B -→ .(1) 求椭圆 C 的方程;(2) 若点 P (2, −1), 在直线 BP 上存在两个不同的点 P 1 , P 2 满足 P #---P ---1→ · P #---P ---2→ = P #---B -→2 . 若直线 AP 1 与直线 AP 2 分别交 C 于点 M , N (异于点 A), 证明: P , M , N 三点共线.19. 定义 △ABC 三边长分别为 a, b, c, 则称三元无序数组 (a,b, c) 为三角形数. 记 D 为三角形数的全集, 即 (a,b, c) ∈D.(1) 证明:“ (a,b, c) ∈ D ”是“(√a, √b, √c) ∈ D ”的充分不必要条件;(2) 若锐角 △ABC 内接于圆 O , 且 x O #---A -→ + y O #---B -→ + z O #---C -→ = 0, 设 I = (x,y, z) (x, y, z > 0).① 若 I = (3, 4, 5), 求 S △AOB : S △AOC ;② 证明: I ∈ D.。
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考化学试题(含答案)
长沙第一中学2024—2025学年度高一第一学期阶段性检测化学时量：60分钟 满分：100分 得分：______可能用到的相对原子质量：H~1 O~16 Cl~35.5 Mn~55一、选择题（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列有关说法正确的是（ ）A ．属于纯净物B ．金属氧化物均为碱性氧化物，非金属氧化物均为酸性氧化物C ．由一种元素组成的物质是纯净物D ．酸性氧化物均能溶于水生成相应的酸2．下列水溶液中的各组离子因发生氧化还原反应而不能大量共存的是（ ）A ．、、、B ．、、、C ．、、、D ．、、、3．下列对有关物质的分类不正确的是（ ）选项物质分类不同类物质A 干冰、白酒、加碘盐、食醋混合物干冰B 液氨、纯硫酸、液态氧化钠、生石灰不导电液态氧化钠C 云、烟、雾、淀粉溶液胶体淀粉溶液D铝、铁、锌、氧气还原剂氧气4．下列各组中的反应可以用同一个离子方程式表示的是（ ）A ．氧化钠与稀盐酸混合；氧化铜与稀硫酸B ．氢氧化铜、氢氧化钡分别与盐酸反应C ．Zn 分别与稀盐酸和稀硝酸反应D ．和分别与氢氧化钠溶液反应5．下列几个反应的导电性变化，不符合图像的是（）A ．向饱和石灰水中不断通入B ．向稀硫酸中滴加溶液C ．向稀溶液中滴加溶液D ．向稀盐酸中滴加溶液6．下列离子方程式书写正确的是（）42FeSO 7H O ⋅Na +2Ba+Cl -24SO -2Ca+3HCO -Cl -K+4MnO -K +I -H+H +Cl -Na +23CO -24H SO 4NaHSO 2CO ()2Ba OH ()2Ba OH 4CuSO 3AgNOA ．用醋酸除去水垢中的：B ．铜与稀硫酸反应：C ．和NaOH 溶液混合：D ．与稀盐酸反应：7．某溶液中含有较大量的、、三种阴离子，如果只取一次该溶液就能够分别将3种阴离子依次检验出来。
下列实验操作的操作顺序中，正确的是（）①滴加溶液 ②过滤 ③滴加溶液 ④滴加溶液A ．①②④②③B ．④②③②①C ．①②③②④D ．④②①②③8．利用粗（含有杂质MnO 和）制取纯的流程如图。
湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题
湖南省长沙市第一中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}220A x x x =-=，{}20B x x x =+=，则A B ⋃=（ ）A ．{}0B ．1,0,1,2C ．{}1,0,2-D ．{}1,2-2．命题“x R ∀∈，20x ≥”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，20x <B ．不存在x ∈R ，20x <C ．0x R ∃∈，200x ≥D ．0x R ∃∈，20x < 3．已知集合{}1,4A =-，{}10B x mx =+=，且B A ⊆，则实数m 的取值集合为（ ） A ．1,14⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．1,0,14⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．{}1,4-D ．{}1,4,0-4．满足{}{}1,21,2,3,4,5X ⊆的集合X 有（ ） A ．4个B ．7个C ．8个D ．16个5．下列各选项中正确的是（ ）A ．当0ab >时，a b +≥B ．当0a >，0b >时，2≥+aba bC ．当a R ∈，b R ∈时，22222a b a b ++⎛⎫≤⎪⎝⎭D ．当a R ∈，b R ∈时，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭6．已知集合1,4M x x k k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，集合1,24k N x x k Z ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则MN =（ ）A ．MB ．NC ．∅D ．R7．设全集{|010,}U x x x Z =<<∈，A ，B 是U 的两个真子集，()(){}1,9U UA B =，{}2A B ⋂=，(){}4,6,8U A B ⋂=，则（ ）A ．5A ∈，且5B ∉ B ．5A ∉，且5B ∉C ．5A ∈，且5∈BD ．5A ∉，且5∈B8．设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>，其中,R a b ∈，下列说法正确的是（ ）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集二、多选题9．下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，c d <，则a c b d ->- B ．若a b >，c d >，则ac bd > C ．若ac bc >，则a b > D ．若0a b >>，0c <，则c c a b> 10．设全集为U ，在下列选项中，是B A ⊆的充要条件的有（ ） A ．A B A = B ．UABC ．UUAB D ．UA BU11．下面命题正确的是（ ） A ．“3x >”是“5x >”的必要不充分条件B ．“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负根”的充要条件C ．设,x y R ∈，则“4x y +≥”是“2x ≥且2y ≥”的充分不必要条件D ．“1x ≠”是“2430x x -+≠”的必要不充分条件12．设集合{}22,,M a a x y x y Z ==-∈，则对任意的整数n ，在形如4n 、42n +、21n 、23n +的数中，是集合M 中的元素的有（ ） A ．4n B ．42n + C ．21n D ．23n +三、填空题13．已知28a ≤≤，03b ≤≤，则-a b 的取值范围是__________．14．某班有50名同学，有20名同学既不选修足球课程也不选修蓝球课程，有18名同学选修了足球课程，28名同学选修了篮球课程，则既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有__________名．15．写出一个使得命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是假命题的实数a 的值__________．（写出一个a 的值即可）16．已知集合()()()()(){}0,0,0,1,1,0,0,1,1,0A =--，(){},2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合()()(){}12121122,,,,A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为__________．四、解答题17．ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，求证：220a b ac bc --+=的充要条件是A B =．18．已知集合{}2680A x x x =-+<，{}22430B x x ax a =-+<．（1）若1a =，求()R B A ；（2）若0a >，设:p x A ∈，:q x B ∈，已知p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19．已知函数()()211f x ax a x =-++，a R ∈． （1）若不等式()0f x <的解集为()m n ，，且32m n +=，求a 的值； （2）当0a >时，求关于x 的不等式()0f x >的解集． 20．（1）已知0a >，0b >，24a b +=，求ab 的最大值； （2）若正数a ，b 满足1a b +=，求911a b++的最小值． 21．销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式1atP t =+；销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q bt =．其中a ，b 为常数．现将3万元资金全部投入甲，乙两种商品的销售，若全部投入甲种商品，所得利润为94万元；若全部投入乙种商品．所得利润为1万元．若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售．则所得利润总和为y 万元 （1）求利润总和y 关于x 的表达式：（2）怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值．22．已知二次函数()2f x ax bx c =++．（1）若()0f x <的解集为()1,2，求不等式20bx ax c ++<的解集； （2）若不等式()2f x ax b ≥+对任意x ∈R 恒成立，求222b a c+的最大值．参考答案1．C 【分析】首先求出集合A 、B ，再根据并集的定义计算可得. 【详解】解：因为{}{}2200,2A x x x =-==，{}{}201,0B x x x =+==-，所以{}1,0,2A B ⋃=-故选：C. 2．D 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可得到答案. 【详解】全称命题的否定是特称命题∴命题“x R ∀∈，20x ≥”的否定是：0x R ∃∈，200x <.故选：D. 3．B 【分析】根据题意B A ⊆，分类讨论当B =∅和B ≠∅两种情况，即可得出实数m 的取值. 【详解】解：由题可知B A ⊆，当B =∅时，10+=mx 无解，解得：0m =；当B ≠∅时，若{1}B =-，则1m =，若{4}B =，则14m =-，综上所述，m 的值为14-或0或1，即实数m 的取值集合为1,0,14⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故选：B. 4．B 【分析】根据题意，可知集合X 中必含有元素1，2，且最多含有4个元素，即可列举出集合X 的所有情况，从而得出答案.【详解】解：由题意{}{}1,21,2,3,4,5X ⊆，可以确定集合X 中必含有元素1，2，且最多含有4个元素，因此集合X 可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5}，共7个． 故选：B. 5．C 【分析】A 选项举出反例即可判断；B 选项结合均值不等式即可判断；C 、D 选项利用做差法即可判断. 【详解】A 选项：若1,2a b =-=-，满足0ab >，但是a b +<，故A 错误；B 选项：因为0a >，0b >，所以a b +≥，则2aba b≤+当且仅当a b =时等号成立；故B 错误；C 选项：2222222222*********a b a b a b ab a b a b ab a b +++++--+-⎛⎫⎛⎫-=-==-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立；故C 正确；D 选项：2222220222442a b a b ab a b ab a b ab ab ++++--⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝≥⎭，当且仅当a b =时，等号成立；故D 错误； 故选：C. 6．A 【分析】由已知得41,4k M x x k Z ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，21,4k N x x k Z ⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭，由此可得选项. 【详解】 因为1,4x k k Z =+∈，所以41,4k x k Z +=∈，所以41,4k M x x k Z ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭； 又因为1,24k x k Z =-∈，所以21,4k x k Z -=∈，所以21,4k N x x k Z ⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭，又因为21,k k Z -∈表示所有的奇数，41,k k Z +∈表示部分奇数，所以M N ； 所以M N M ⋂=， 故选：A. 7．A 【分析】由题意作出韦恩图，由韦恩图即可得解. 【详解】由题意，{}{|010,}1,2,3,4,5,6,7,8,9U x x x Z =<<∈=， 可作出韦恩图，如图，由韦恩图可得，5A ∈，且5B ∉， 故选：A. 【点睛】本题考查了集合的运算及韦恩图的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 8．B 【分析】运用集合的子集的概念，令1m P ∈，推得2m P ∈，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；再由1b =，5b =，求得1Q ，2Q ，即可判断B 正确，A ，C ，D 错误．【详解】解：对于集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，可得当1m P ∈，即210m am ++>，可得220m am ++>，即有2m P ∈，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；故C 、D 错误 当5b =时，21{|50}Q x x x R =++>=，22{|250}Q x x x R =++>=， 可得1Q 是2Q 的子集；当1b =时，21{|10}Q x x x R =++>=，22{|210}{|1Q x x x x x =++>=≠-且}x R ∈， 可得1Q 不是2Q 的子集，故A 错误．综上可得，对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集． 故选：B. 9．AD 【分析】根据不等式的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A 选项，若,a b c d ><，所以>c d --，根据同向可加性，可得a c b d ->-，故A 正确；B 选项，若1,2,2,3a b c d ==-==-，满足,a b c d >>，但此时2,6ac bd ==，不满足ac bd >，故B 错误；C 选项，若0c <，则由ac bc >可得a b <，故C 错误；D 选项，若0a b >>，则110b a >>，又0c <，根据同向同正可乘性，可得c ca b>，故D 正确. 故选：AD. 10．BCD 【分析】结合Venn 图即可得出结论. 【详解】由Venn 图可知，B ，C ，D 都是B A ⊆的充要条件，故选：BCD ． 11．ABD 【分析】根据必要不充分条件的定义，即可判断A 选项；根据一元二次方程中根的个数和根与系数的关系，即可判断B 选项；由“4x y +≥”，则不一定有“2x ≥且2y ≥”，即可判断C 选项；若2430x x -+≠，则1x ≠或3x ≠，结合必要不充分条件的定义，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，根据必要不充分条件的定义，可知A 正确；对于B ，若0ac <，则212Δ40,0cb ac x x a=->=<， 所以一元二次方程20ax bx c ++=有两个根，且一正一负根， 若一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负根，则120cx x a=<，则0ac <，故B 正确； 对于C ，若“4x y +≥”，则不一定有“2x ≥且2y ≥”， 而若“2x ≥且2y ≥”，则一定有“4x y +≥”，所以“4x y +≥”是“2x ≥且2y ≥”的必要不充分条件，故C 不正确； 对于D ，若2430x x -+≠，则1x ≠或3x ≠，则若“1x ≠”，则不一定有“2430x x -+≠”，而“2430x x -+≠”时，一定有“1x ≠”， 所以“1x ≠”是“2430x x -+≠”的必要不充分条件，故D 正确. 故选：ABD. 12．ACD 【分析】 由224(1)(1)nn n ，2221(1)n n n +=+-，可判断4n 、21n 、23n +是否是集合M 的元素，再假设42n M ，则存在,x y ∈Z 使得2242x y n ，则42()()n x y x y +=+-讨论x y +和x y -同为奇数或同为偶数可判断是否是集合M 的元素得选项.【详解】 解：因为224(1)(1)nn n ，所以4n M ．因为2221(1)n n n +=+-，所以21n M +∈，即所有奇数都是集合M 中的元素，所以23n M +∈． 若42nM ，则存在,x y ∈Z 使得2242x y n ，则42()(),nx y x y xy 和x y-同为奇数或偶数．若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +为偶数，不成立；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除，不成立，∴42nM ．故选：ACD ． 13．[]1,8- 【分析】结合不等式的性质即可求出结果. 【详解】因为03b ≤≤，所以30b -≤-≤，且28a ≤≤，因此18a b -≤-≤， 故答案为：[]1,8-. 14．16 【分析】设既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学人数为x ，作出维恩图，列出方程，即可得出结果. 【详解】设既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学人数为x ，作出维恩图，如下图所示：则28182050x x x -++-+= 解得16x = 故答案为：16. 15．1- 【分析】根据题意，假设命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是真命题，根据不等式恒成立，分类讨论当0a =和0a ≠时两种情况，从而得出实数a 的取值范围，再根据补集得出命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”为假命题时a 的取值范围，即可得出满足题意的a 的值.【详解】解：若命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是真命题，则当0a =时成立，当0a ≠时有20Δ4120a a a >⎧⎨=-<⎩，解得：0<<3a ， 所以当03a ≤<时，命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是真命题，所以当(,0)[3,)a ∈-∞+∞时，命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”为假命题， 故答案为：1-.（答案不唯一，只需(,0)[3,)a ∈-∞+∞）16．45【分析】根据题意作出图示表示集合的点，然后结合A B ⊕的定义即可求出结果.【详解】集合A 中有5个元素，即5个点，如图中黑点所示． 集合{(,)2,2,,B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素（即25个点），即图中正方形ABCD 内部及正方形ABCD 边上的整点．所以123x x +=-或2-或1-或0或1或2或3，共7个值；所以123y y +=-或2-或1-或0或1或2或3，共7个值，所以集合A B ⊕=()()(){}12121122,,,,x x y y x y A x y B ++∈∈中的元素可看作图中正方形1111D C B A 内部及正方形1111D C B A 边上除去四个顶点外的整点，共77445⨯-=（个）．故答案为：45.17．证明见解析.【分析】先利用等腰三角形中等角对等边即可证得，再结合因式分解即可证得必要性.【详解】（1）先证充分性：若A B =，则a b =，∴220a b ac bc --+=成立（2）再证必要性：若220a b ac bc --+=成立，∵22()()()()()a b ac bc a b a b c a b a b a b c --+=+⋅---=-+-，∴()()0a b a b c -+-=，又因为ABC 中，0a b c +->，∴0a b -=，∴a b =，∴A B =．综上可知，220a b ac bc --+=的充要条件是A B =．18．（1）()[3,4)R B A ⋂=；（2）4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）将1a =代入题干，解不含参数的一元二次不等式，进而结合补集和交集的概念即可求出结果；（2）解含参数的一元二次不等式，进而由题意可得2,43a a ≤⎧⎨≤⎩且等号不能同时成立，即可得到结果.【详解】（1）当1a =时，{}2430(1,3)B x x x =-+<=，可得(,1][3,)R B =-∞⋃+∞， 又由{}2680(2,4)A x x x =-+<=，所以()[3,4)R B A ⋂=．（2）当0a >时，可得(,3)B a a =．因为p 是q 的充分不必要条件，则A B ，可得2,43a a ≤⎧⎨≤⎩等号不能同时成立， 解得423a ≤≤，所以实数a 的取值范围为4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 19．（1）2；（2）答案见解析.【分析】（1）将问题转化为：m 和n 是()0f x =的两个根，由韦达定理列式求解即可；（2）将不等式进行变形，然后通过对两个根的大小比较进行分类，并得出a 的分类，进而分别求出解集，即可得到答案.【详解】（1）因为()0f x <的解集为()m n ，，所以m ，n 为方程()0f x =的两个根， 由韦达定理得：132a m n a ++==，解得2a =． （2）由()0f x >得：2(1)10ax a x -++>，所以(1)(1)0ax x -->，当01a <<时，11a>，不等式的解集是{1x x <或1}x a >； 当1a =时，不等式可化为2(1)0x ->，不等式的解集是{}1x x ≠；当1a >时，101a<<，不等式的解集是1{x x a <或1}x >． 综上所述，当01a <<时，不等式的解集是{1x x <或1}x a>； 当1a =时，不等式的解集是{}1x x ≠；当1a >时，不等式的解集是1{x x a<或1}x >． 20．（1）2；（2）8.【分析】（1）由基本不等式可求得答案；（2）由已知得91191[(1)]121a b a b a b ⎛⎫+=+++ ⎪++⎝⎭，根据基本不等式可求得答案； 【详解】 解：（1）211222222a b ab a b +⎛⎫=⨯≤= ⎪⎝⎭，当且仅当22a b ==即2,1a b ==时取等号． 故ab 的最大值为2．（2）1a b +=，即(1)2a b ++=，∵0,0a b >>， 故91191191[(1)]10812121b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+=+++=++≥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，当且仅当911b a a b +=+时等号成立，又1a b +=，∴12a b ==时，min 9181a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+． 21．（1）31(3),0313x y x x x =+-≤≤+；（2）对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元． 【分析】（1）由题意得(3)1ax y b x x =+-+，代入数值计算即可求出结果； （2）转化成可以利用基本不等式的形式，最后利用基本不等式即可求出结果.【详解】（1）因为对甲种商品投资x 万元，所以对乙种商品投资为3x -万元， 由题意知：(3)1ax y P Q b x x =+=+-+， 当3x =时，9()4f x =，当0x =时，()1f x =， 则39,4431,a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得13,3a b ==， 则31(3),0313x y x x x =+-≤≤+． （2）由（1）可得313(1)31()(3)11313x x f x x x x x +-=+-=+-++1331137(1)31333x x ⎡⎤=-++≤-=⎢⎥+⎣⎦，当且仅当2x =时取等号， 故对甲种商品投资2万元，对乙种商品投资1万元，才能使所得利润总和最大，最大值为73万元．22．（1）2{3x x <-或1}x >；（2）2. 【分析】（1）结合一元二次不等式的解集得到,,a b c 的关系，进而得到2320x x -->，从而解不等式即可求出结果；（2）由题意可得,,a b c 发关系，进而结合不等式的性质以及均值不等式即可求出结果.【详解】（1）∵()0f x <的解集为(1,2)，∴0a >且12,12b c a a+=-⨯=，∴30,2b a c a =-<=． 2220320320bx ax c ax ax a x x ++<⇔-++<⇔-->，∴该不等式的解集为2{3x x <-或1}x >．（2）若不等式()2≥+f x ax b 即2(2)()0ax b a x c b +-+-≥对任意x ∈R 恒成立，则20,Δ(2)4()0,a b a a c b >⎧⎨=---≤⎩即204(),0,b ac a a ⎧≤-⎨>⎩易知0c a ≥>， 当c a =时，2220,0b b a c ==+； 当c a >时，设10c t a =->，则1c t a=+，则2222222414()4422(1)121c b a c a t a a c a c t c t t a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤===≤=++++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭，当且仅当1c t a=-=24()b a c a =-时，等号成立， 所以222b a c+的最大值为2．。
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高三上学期月考(一)地理试题
大联考长沙市一中2025届高三月考试卷(一)地 理得分 本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。
时量75分钟，满分100分。
第Ⅰ卷 选择题(共48分)一 选择题：本大题共16小题，每小题3分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
区域人口迁移通常经历单核心向多核心演化的过程。
下图为我国长三角不同时期人口迁移的空间演化过程示意图。
据此完成1~2题。
1.与单核心阶段相比，多核心阶段人口迁移的特点是A.人口迁移的通道较少B.人口迁移的规模更小C.人口仅在小城镇阿流动D.人口迁移的频次更高2.在多核心阶段，若次级城市吸引力增强，可能带来的影响有①疏导核心城市的人口压力 ②加剧核心城市的逆城市化③降低核心城市的行政级别 ④促进区域经济一体化发展A.①②B.②③C.①④D.③④甘肃西接阿尔金山和祁连山，是我国西北地区重要的生态安全屏障。
为规范国土空间开发，实现区域的协调发展，甘肃将全省划分为3个主体功能区：城镇化发展区、农产品主产区、重点生态功能区(图1)。
图2示意2021年县域碳排放网络空间关联关系图(节点的大小表示在网络关系中的重要程度，节点间线的长度和粗细表示联系的频繁程度)。
据此完成3~5题。
3.甲、乙、丙分别表示A.城镇化发展区、农产品主产区、重点生态功能区B.城镇化发展区、重点生态功能区、农产品主产区C.农产品主产区、重点生态功能区、城镇化发展区D 重点生态功能区、城镇化发展区、农产品主产区关于甘肃省碳排放的说法，正确的是①陇中地区的碳排放强度最小②陇东南地区碳中和压力最大③河西地区因受地形的影响县域间碳排放网络空间联系弱④县域碳排放网络空间紧密度由中小县．域向周边县域递减A.①②B.①④C.②③D.③④5.关于城关区的发展方向，下列规划合理的是A.积极推进农创产业及新型农业发展B.积极创新推动低碳试点，发挥低碳引领导向C.积极发展生态经济和文化旅游经济D.积极优化产业结构，停止高耗能产业的发展风和水是干旱地区的两种主要作用力。
湖南省长沙市第一中学2023届高三月考数学试卷 (八)
长沙市一中2023届高三月考试卷(八)数学试卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={xx2<2x},集合B={x|log2(x−1)<1},则A∩B=()(A){x|0<x<3}(B){x|1<x<2}(C){x|2⩽x<3}(D){x|0<x<2}2.在复平面内,复数z与21−i对应的点关于虚轴对称,则z等于()(A)1+i(B)−1−i(C)1−i(D)−1+i3.若双曲线C:x29−y2m=1(m>0)的一条渐近线与x轴的夹角是π3,则C的虚轴长是()(A)2√33(B)3√3(C)2(D)6√34.若(1+x)(1−2x)7=a0+a1x+a2x2+···+a8x8,则a1+a3+a5+a7的值是()(A)−1(B)−2(C)2(D)15.在△ABC中,“cos A+sin A=cos B+sin B”是“∠C=90◦”的()(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件6.长沙烈士公园西南小丘上兴建了烈士纪念塔,纪念为人民解放事业牺牲的湖南革命烈士,它是公园的标志.为了测量纪念塔的实际高度,某同学设计了如下测量方案:在烈士纪念塔底座平面的A点位置测得纪念塔顶端仰角的正切值为32,然后直线走了20m,抵达纪念塔底座平面B点位置测得纪念塔顶端的仰角为π3.已知该同学沿直线行进的方向与他第一次望向烈士纪念塔底端的方向所成角为π3,则该烈士纪念塔的高度约为()(A)30m(B)45m(C)60m(D)75m7.已知点P(2,2),直线AB与抛物线C:y2=2x交于A、B两点,且直线P A,P B的倾斜角互补,则直线AB的斜率为()(A)−14(B)−12(C)−1(D)−28.函数g(x)=ln xx+1在区间[t,+∞)(t∈N∗)上存在极值,则t的最大值为()(A)2(B)3(C)4(D)5二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.9.已知a,b∈(0,+∞),λ=a+b,µ=√3ab,则()(A)λ−µ<0(B)λ−µ⩾0(C)µλ⩽√32(D)µλ>√3210.数列{a n}首项a1=2,对一切正整数n,都有a n+1=2−1a n,则()(A)数列{1a n−1}是等差数列(B)对一切正整数n都有a n>1(C)存在正整数n,使得a n=2a2n(D)对任意小的正数ε,存在n0∈N,使得|a n+1−a n|<ε(n>n0)11.已知直线l:x−y+2=0与x轴交于点A,点P在直线l上,圆C:(x−2)2+y2=2上有且仅有一个点B满足AB⊥BP,则点P的横坐标的取值可以为()(A)13(B)12(C)3(D)512.将2n(n∈N∗)个有编号的球随机放入2个不同的盒子中,已知每个球放入这2个盒子的可能性相同,且每个盒子容纳球数不限,记2个盒子中最少的球数为X(0⩽X⩽n,X∈N∗),则下列说法中正确的有()(A)当n=1时,方差D(X)=1 4(B)当n=2时,P(X=1)=3 8(C)∀n⩾3,∃k∈[0,n)(k,n∈N∗),使得P(X=k)>P(X=k+1)成立(D)当n确定时,期望E(X)=n(22n−C n2n)22n三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.函数f(x)的图象在区间(1,3)上连续不断,能说明“若f(x)在区间(1,3)上存在零点,则f(1)·f(3)<0”为假命题的一个函数f(x)的解析式可以为f(x)=.14.若随机变量ξ的数学期望和方差分别为E(ξ),D(ξ),则对于任意ε>0,不等式P(|ξ−E(ξ)|⩾ε)⩽D(ξ)ε2成立.在2023年湖南省高三九校联考中,数学科考试满分150分,某校高三共有500名学生参加考试,全体学生的成绩ξ的期望E(ξ)=80,方差D(ξ)=42,则根据上述不等式,可估计分数不低于100分的学生不超过人.15.如图,在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=60◦,平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义:若# »OP=x e1+y e2(其中e1,e2分别是x轴,y轴正方向的单位向量),则P点的斜坐标为(x,y),向量# »OP的斜坐标为(x,y),# »OM=(3,1),# »ON=(1,3),则△OMN的面积为.x16.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2,点E∈平面AA1B1B,点F是线段AA1的中点,若D1E⊥CF,则当△EBC的面积取得最小值时,三棱锥E−BCC1外接球的体积为.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数f(x)=2sin x2cosx2+2√3cos2x2−√3,x∈[−π6,π3].(1)已知f(α)=85,α∈(−π6,π3),求sinα;(2)若不等式|f(x)−m|⩽3恒成立,求整数m的最大值.18.设数列{a n}的前n项和为S n.已知a1=1,2na n−2S n=n2−n,n∈N∗.(1)求证:数列{a n}是等差数列;(2)令b n=2−a n2n,求数列{b n}的前n项和T n.19.如图,在长方体ABCD−A1B1C1D1中,点P是长方形A1B1C1D1内一点,∠AP C是二面角A−P D1−C的平面角.(1)证明:点P在A1C1上;(2)若AB=BC,求直线P A与平面P CD所成角的正弦的最大值.B C DA PB1C1D1A120.(1)对于任意两个事件A,B,若P(A)>0,P(B)>0,证明:P(A)P(A)=P(A|B)P(A|B)·P(B|A)P(B|A);(2)贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯发现的,它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为:设A1,A2,···,A n是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪···∪A n=Ω,且P(A i)>0,i=1,2,···,n,则对任意的事件B⊆Ω,P(B)>0,有P(A i|B)=P(A i)P(B|A i)P(B)=P(A i)P(B|A i)n∑k=1P(A k)P(B|A k),i=1,2,···,n.①已知某地区烟民的肺癌发病率为1%,先用低剂量C进行肺癌筛查,医学研究表明,化验结果是存在错误的.已知患有肺癌的人其化验结果99%呈阳性(有病),而没有患肺癌的人其化验结果99%呈阴性(无病),现某烟民的检验结果为阳性,请问他真的患肺癌的概率是多少?②为了确保诊断无误,一般对第一次检查呈阳性的烟民进行复诊.复诊时,此人患肺癌的概率就不再是1%,这是因为第一次检查呈阳性,所以对其患肺癌的概率进行修正,因此将用贝叶斯公式求出来的概率作为修正概率.请问如果该烟民第二次检查还是呈阳性,则他真的患肺癌的概率是多少?21.已知f(x)=e x−tx,x∈R.(1)函数f(x)有且仅有一个零点,求t的取值范围.(2)当t=1时,证明:∃ξ∈(a,b)(其中a>0),使得f(b)−f(a)b−a=eξ−1.22.历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年−公元前325年),大约100年后,阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线,并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质:如图1,从椭圆的一个焦点出发的光线或声波,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点,其中法线l ′表示与椭圆C 的切线垂直且过相应切点的直线,已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点为F 1(−c,0),F 2(c,0)(c >0),若由F 1发出的光线经椭圆两次反射后回到F 1经过的路程为8c .对于椭圆C 除顶点外的任意一点P ,椭圆在点P 处的切线为l ,F 1在l 上的射影为H ,其中|OH |=2√2.H F 1F 2法线l ′图1O P切线l•图2(1)求椭圆C 的方程;(2)如图2,过F 2作斜率为k (k >0)的直线m 与椭圆C 相交于A ,B 两点(点A 在x 轴上方).点M ,N 是椭圆上异于A ,B 的两点,MF 2,NF 2分别平分∠AMB 和∠ANB ,若△MF 2N 外接圆的面积为81π8,求直线m 的方程.。
湖南省长沙市第一中学2024届高三上学期月考(二)数学试题
湖南省长沙市第一中学2024届高三上学期月考（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．26336-C ．2366+4．设向量a 与b的夹角为θ，定义则a b ⊕=（）A ．()34，B ．(-5．血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，浓度达到峰值，此后每经过2浓度的40%，当血药浓度为峰值的A ．11小时B ．136．对于一些不太容易比较大小的实数，我们常常用构造函数的方法来进行，如，已知ln 56a =，ln 47b =，ln 38c =，要比较()ln ln(11)f x x x =-来进行比较，通过计算，你认为下列关系正确的一项是（A ．52C ．1968．定义在R 上的不恒为零的偶函数()()5122k f k f k =⎡⎤+-=⎣⎦∑（A ．30B ．60二、多选题9．气象意义上从春季进入夏季的标志为乙、丙三地连续5天的日平均温度（单位①甲地：5个数据的中位数为②乙地：5个数据的中位数为③丙地：5个数据中有一个数据是则肯定进入夏季的地区有（A ．一个都没有C ．乙地10．点P 是直线3y =上的一个动点，过点则（）A ．存在点P ，使得APB ∠A ．AC 与平面BPQ 有可能平行B ．11B D 与平面BPQ 有可能平行C ．三角形BPQ 周长的最小值为D ．三棱锥A BPQ -的体积为定值12．设正整数010199n a a =⋅+⋅+⋅⋅⋅{}(0,1,2,3,4,5,6,7,80,1,2,i a i ∈=⋅⋅⋅A ．()113ω=C ．()()9101n n ωω+=+三、填空题13．()()5211x x ++的展开式中4x 14．写出一个同时具有下列两个性质的函数①()f x 的值域为(),2-∞；②当x 15．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>足1290F MF ∠=︒，12F MF △的内切圆与16．已知正四面体A BCD -的外接球半径为四、解答题(1)证明：平面POB ⊥平面PBC ；(2)若6PB =，试判断线段PB 上是否存在一点Q （不含端点），使得直线所成角的正弦值为155，若存在，求三棱锥P AQE -的体积，若不存在，说明理由19．ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，点O 为ABC OAC ，OAB 的面积分别为1S ，2S ，3S ，已知22213132S S S S S +-=(1)在①cos cos 1a C c A +=；②4sin sin cos21B A A +=；③12cos sin A A -+个作为条件，判断ABC 是否存在，若存在，求出ABC 的周长，若不存在，说明理由（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(2)若ABC 为锐角三角形，求ABC 面积的取值范围.20．已知函数ln ()e xxf x a=-.上是减函数，求实数a 的最大值；2ln aa+.．新高考数学试卷中有多项选择题，每道多项选择题有A ，B ，个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是某次多项选择题专项训练中，共有(k k ∈N(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为线AM，BM分别交椭圆于两点P（i）证明：点B在以PQ为直径的圆内；（ii）求四边形APBQ面积的最大值。
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长沙市一中2020届高三月考试卷(一）
数学（理科）
时量：120分钟 满分:150分
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={3
|),(x y y x =}，A={x y y x =|),(}，则B A 的元素个数是A. 4 B. 3
C. 2
D. 1
2.已知i 为虚数单位，R a ∈，若复数i a a z )1(-+=的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且
5=⋅z z ,则=z
A. 2-i
B.-l + 2i
C.-1-2i
D.-2+3i
3.设R x ∈，则“1<2
x ”是“1<lg x ”的 （B) A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知向量a=(l ，0)，b=(-3,4)的夹角为θ,则θ2sin 等于 A. 257-
B. 257
C. 2524-
D. 25
24
5.设4
3
432,24log ,18log ===c b a ，则c b a ,,的大小关系是
A. a<b<c
B. a<c<b
C. b<c<a
D. c<b<a
6.函数||lg )33()(x x f x
x
-+=的图象大致为 （D)
7.运行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为101，则判断框中可以填 A. i>200? B. i>201? C. i>202? D. i>203?
8.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动
物 (鼠、牛、
虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种.现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位
同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有 A. 50 种 B. 60 种 C. 70 种
D. 90 种
9.将函数)62sin(2)(π
-
=x x f 的图象向左平移
6
π
个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是(C) A.函数)(x g 的最小正周期是2
π
B.函数)(x g 的图象关于直线12
π
-=x 对称
C.函数)(x g 在)2
,6(π
π上单调递减 函数)(x g 在)6
,
0(π
上的最大值是1
10.若函数x x f ln )(=与a x x x g ++=3)(2
两个函数的图象有一条与直线x y =平行的公共切线，则=a
A.-1
B. 0
C. 1
D. 3 11.设函数⎩⎨
⎧=为无理数
为有理数x x x f ,0,1)(，则关于函数)(x f 有以下五个命题：
①1))((,=∈∀x f f R x ;
②)()()(,,y f x f y x f R y x +=+∈∃; ③函数)(x f 是偶函数； ④函数)(x f 是周期函数；
⑤函数)(x f 的图象是两条平行直线.
12.已知三棱锥D —ABC 的四个顶点在球0的球面上，若AB=AC=BC=DS = DC=1，当三棱锥
D-ABC 的体积取到最大值时，球0的表面积为 A.
35π B. π2 C. π5 D. 3
20π
二、填空题:本大题共4小题.每小题5分，共20分。
把各题答案的最简形式写在题中的横线上。
13.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()3(x f x f =+，且当)2
3
,0[∈x 时，2
)(x x f -=，则=)2
11(f 14.已知△ABC 是等腰直角三角形，|AC|=|BC| =1，)(2CB CA CP +=，则=⋅)BP AP .
15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求兰角形面积的方法以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积。
”如果把
以上这段文字写成公式就是)]2
([412
2222b c a c a S -+-=，其中a,b,c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若
sin C=2sin AcosB ，且b 2
,2,c 2
成等差数列，则△ABC 面积S 的最大值为
5
5
2. 16.若),0(,),,0(21e x x e m ∈∃∈∀，且21x x ≠，使得22112
ln ln 2)2(x ax x ax m -=-=+-，则实数a 的取值
范围是 （e 为自然对数的底数）.
三、解答题:本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.(本小题满分12分)
已知△ABC 是的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,满足b
c
b a B A 2cos cos =
+且4=b . (1)求角B ；
(2)求△ABC 周长的最小值. 18.(本小题满分12分）
已知四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是等腰梯形，AB//CD ，AC∩BC=0， P B⊥AC，PA= PB=AB=2CD=22，AC=3. (1)证明：平面PBD 丄平面ABCD ；
(2)点E 是棱PC 上一点，且OE//平面PAD,求二面角E —0B —A 的正弦值. 19.(本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C: )0>,0>(122
22b a b
y a x =+左、右焦点分别为F1,F2 ,P 为椭圆C
上一点，且PR 垂直于x 轴， 连结并延长交椭圆于另一点Q ，设F 1λ=.
(1)若点P 的坐标为(1，
2
3
)，求椭圆C 的方程； (2)若43≤≤λ,求椭圆C 的离心率的取值范围.
20.(本小题满分12分）
某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了 100天，这五家“农家乐”的收费榇准互不相同，得到的统计数据如下表，x 为收费标准(单位:元/日）为人住天数(单位:天），以频率作为各自的“人住率”，收费标准x 与y 人
住率、的散点图如图.
(1)若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记ξ为“入住率”超过0.6的农家乐的个数，求ξ的概率分布列;
(2)令x z ln =，由散点图判断a x b y
ˆˆˆ+=与a z b y ˆˆˆ+=哪个更合适于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程;( b a
ˆ,ˆ的结果精确到0.1) (3)根据第(2)问所求的冋归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L 最大? (100天销售额L= 100×入住率×收费标准x ） 21.(本小题满分12分）
已知函数)0<(1)ln()(a a x x x f ++=.
(1)若函数)(x f 在定义域上为增函数，求a 的取值范围； (2)证明：cosx e <)(x
+x f .
(二)选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程θρcos 6=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标
系，直线l 的参数方程为t t y t x (sin 1,
cos 2⎩
⎨⎧+-=+=αα为参数）.
(1)若2
π
α=
，求曲线C 的直角坐标方程以及直线/的极坐标方程；
(2)设点P(2,-1)，曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，求2
2
||||PB PA +的最小值. 23. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知|1||22|)(-++=x x x f 的最小值为t . (1)求t 的值；
(2)若实数b a ,满足t b a =+2
222，求2
24
1b
a +的最小值，
数学（理科）
一、选择题：
1.B
2.A
3.B
4.C
5.D
6.D
7.C
8.C
9.C 10.B 11.B 12.A 二、填空题： 13.
4
1 14.4 15.
5
5
2 16.
)<a e
5
e ≤ 17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.。