应用概率统计

返回
巴斯卡分布 在n重贝努里试验中,如果第r次“成功” 出现在第n 次试验中,则
r 1 P C n1 p r 1 (1 p)n r p
( r 1,2,, n)
几何分布 在n重贝努里试验中,如果第1次“成功” 出 现在第n 次试验中,则
P (1 p)n1 p
返回
(3) 泊松分布
P 1-p p 注 两点分布用于描述只有两种对立结果的随机试验.
返回
(2) 二项分布 若随机变量X的概率分布为
k P( X k ) Cn p k (1 p) nk
(k 0,1,2,..., n)
其中0 p 1, 则称X服从参数为n, p的二项分布, 记为
X ~ B(n, p).
P (1 p)n1 p
返回
第2章
随机变量及分布
•第2.1节 随机变量的概念 •第2.2节 离散型随机变量 •第2.3节 随即变量的分布 •第2.4节 连续型随机变量 •第2.5节 随机变量函数的分布
返回
频率与直方图
① 品质数据的分类整理： 条形图、饼图
② 数量数据分组： 直方图、折线图 单变量分组： 排序计数 组距分组： lg n I. 组数：K 1
~ B(2500, 0.002)
返回
~ B(2500,0.002)
P ( 15)
15 2500
np 5
15
(1){ 保险公司亏本}= (2000 30000) ( 15)
k 16
P ( k ) 1 P ( k )
k 0
k 1 C 2500 0.002k 0.9982500 k k 0
例：求1,2,3,4,5的样本均值，样本方差。
解：
1 2 3 4 5 X 3, 5 (1 3)2 (2 3) 2 (3 3) 2 (4 3) 2 (5 3) 2 2 5 1 2.5
返回
第2.1节 离散型随机变量及其分布
一、随机变量(random variables)概念
当P（A1 ) P ( A2 ) P ( An ) p时，P（A1 A2 An ) p n， P（A1 A2 An ) 1 (1 p)n .
返回
二项概率公式 在n重贝努里试验中,如果“成功”在每 次试验中出现的概率为p,令Bk=“在n 次试验中“成功” 出现k 次”,则
X
X
N

i 1
N
Xi
N
fi X i ,

i 1
其中
i 1
N
fi 1
HM
N

i 1
N
1 Xi
4)加权调和平均 5)几何平均
H
M

m
i 1 i 1 N
N
i
mi Xi
GM N X 1 X 2 X N
返回
众数、中位数、均值的比较
M0 Me X
对称分布
X Me M0
返回
常见的离散型随机变量的概率分布
(1) 两点分布(0-1分布) 例1 某试验出现“成功”的概率为p(0<p<1),出现“失败” 的概率为1-p，现进行一次试验,求成功次数的概率分布. 解 设随机变量X表示成功次数, 则X=0表示试验出现“失 败”,X=1表示试验出现“成功” P(X=1)=p, P(X=0)=1-p, 所以,X的概率分布为: X 0 1 两点分布
k n k
nk


k
k!
e
(k 0,1,2,..., n)
返回
即 Poisson 分布可作为二项分布的近似。实际应 用中，当 p 0.25，n > 20，np 5时，近似效果良好。
返回
例3 在一部篇幅很大的书籍中，发现只有 13.5%的页数没有印刷错误，如果我们假定每页 的错字数是服从 Poisson 分布的，求正好有一个 错字的页数的百分比. 解 设 为每页的错字个数，由已知得 ~ P ( )
定义 设E为随机试验,它的样本空间记为Ω={ω},如果对 于每一个ω都有实数X(ω)与之对应,则称这个定义在Ω上 的实单值函数X(ω)为随机变量.随机变量一般用X,Y,Z,或 ξ,η,ζ等表示.
特别

离散型 取值为有限个和至多可列个的随机变量. 连续型 可以取区间内一切值的随机变量.
此外,若X是一个随机变量,则以X为自变量的函数Y=f(X) 称为随机变量X的函数.随机变量函数也是随机变量. 例如 S=πR2中,其中R为测量中的随机变量,
根据上面的数据进行适当分组，编制频数 分布表，并画出直方图。
返回
按销售额分组（万元） 频数 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 4 6 15 9 6
频率% 10.0 15.0 37.5 22.5 15.0
合计
40
100.0
返回
返回
数据分布特征的测度
1、分布的集中趋势：
出现频率最高的值， 用 M 0 记之。 (1)众数： 算法(1) 例 1,2,4,4,5,6 则 M0 4
返回
1.随机变量 例如 (1)随机地掷一颗骰子，ω表示所有的样本点,
ω: 出现1点 出现2点 出现3点 出现4点 出现5点 出现6点 X(ω): 1 2 3 4 5 6
(2)某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为止，
ω表示射击次数，则 ω 射击1次 射击2次 ...... 射击n次 ...... X(ω) 1 2 ...... n ...... (3) 某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意时 间到达车站,ω表示该旅客的候车时间, X(ω) [0, 10] ω 候车时间 (4)掷一枚硬币，ω表示正反面，则 返回 X(ω): 1 0
即P ( k )
k
k!
e
( k 0,1, 2, ..., )
又已知 P ( 0) 0.135
即e 0.135

ln0.135 2.0025
P ( 1) e 27.03%
返回
例4 在保险公司里有2500个同一年龄和同社会 阶层的人参加了人寿保险。在一年里每个人死亡的概 率为0.002，每个参加保险的人在 1月1日付 12 元保险 费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元，问下 列事件的概率各为多少？ (1)保险公司亏本 (2)保险公司获利不少于10000元 (3)保险公司获利不少于20000元 解 1月1日公司收入 2500 12 30000(元) 设一年中死亡人数为 （人），则
注 二项分布的试验背景是n重Bernoulli试验模型;
其中n是试验独立重复的次数, p是每一次基本试验“成功”的概率. 随机变量X指n次试验中“成功”出现的次数. 例2 一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次,每次一件, X~B(4,0.2) 取得不合格品件数为X,则
返回
一般地：设射击次数为n，每次射击击中目标的概率 为p，则： 当（n+1）p为整数时，概率最大的击中目标次数 为(n+1)p和(n+1)p-1; 当（n+1）p不为整数时，概率最大的击中目标次 数为(n+1)p的整数部分.
S为随机变量R的函数.
返回
2.离散型随机变量的概率分布 定义 设随机变量X的一切可能取值为x1,x2,...,xn,...,且 pn=P(X=xn),n=1,2,...,称此公式为X的概率分布或分布列. X x1 x2 ... xn ... 或者 P p1 p2 ... pn ... 性质 (1)pn≥0,n=1,2,... ； (2)p1+p2+...+pn+…=1；
左偏分布

M0 Me X
右偏分布
返回
2、分布的离散程度：
(1) 平均离差
(2) 样本方差 (3) 样本标准差
n 1
MD

i 1
N
Xi X N
n 12
X
N i 1
i
X

2
N 1
X
N i 1
i
X

2
（4）极差
N 1
返回
max X i min X i
试验 抛掷一枚硬币100次 一家餐馆营业一天 抽查一批电子元件 新建一座住宅楼 销售一辆汽车 考察 正面出现的次数 顾客数 使用寿命(小时) 半年完成百分比 顾客性别
记为
可能的结果 0,1,2, …,100 0,1,2, … [0, ) [0, 100] 男性为0,女性为1
{ k}是一个随机事件。
返回
性质
若n个事件相互独立，则
P（A1 A2 An ) P（A1 ) P ( A2 ) P ( An ) P（A1 A2 An ) 1 P（A1 ) P ( A2 ) P ( An ) 1 (1 P（A1 ))(1 P ( A2 )) (1 P ( An ))
例5 设一试验成功的概率为p(0<p<1),接连重复进行试 验,直到首次成功出现为止,求试验次数的概率分布. 解 设X表示试验次数,X取值为1,2,...,n,...,
P(X=1)=p, P(X=2)=(1-p)p, ..., P(X=n)=(1-p)n-1p,...,
记 q=1-p, 则X的概率分布为: 几何分布 P(X=n)=qn-1p, (n=1,2,...)
5 k e 5 1 0.0001 k! k 0
15
(3){保险公司获利不少于20000元} = ( 5) 5 5k e 5 P ( 5) 0.616 返回 k! k 0