(精选3份合集)2020届太原市重点中学高考数学模拟试卷
【附28套精选模拟试卷】山西省太原市2020届高三第三次模拟考试数学(理)试卷(含答案)
山西省太原市2020届高三第三次模拟考试数学（理）试卷（含答案）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i是虚数单位，复数z满足2ziz=+，则复数z在复平面内对应的点的坐标是（）A．11(,)22- B．(1,1)- C．11(,)22- D．(1,1)-2.已知全集U R=，集合{|(2)0}A x x x=+<，{|||1}B x x=≤，则下图阴影部分表示的集合是（）A．(2,1)- B．[1,0][1,2)-U C．(2,1)[0,1]--U D．[0,1] 3.已知随机变量X服从正态分布(3,1)N，且(4)0.1587P X≥=，则(24)P X<<=（）A.0.6826 B．0.3413 C.0.4603 D．0.92074.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++L中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11xx+=求得512x=.3232++L（）A.3 B．1312C.6 D．225.执行下面的程序框图，如果输入的3a=，则输出的n=（）A ．2B ．3 C.4 D ．56.在ABC ∆中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点P 是ABC ∆内一点（含边界），若23AP AB AC λ=+u u u r u u u ru u u r，则||AP uuu r 的取值范围为（ ）A.21033[2,]+ B ．8[2,]3 C.213[0,]3 D ．213[2,]3 7.已知某产品的广告费用x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）具有线性关系关系，其统计数据如下表：x3 4 5 6 y25304045由上表可得线性回归方程^^^y b x a =+，据此模型预报广告费用为8万元时的销售额是（ ） A ．59.5 B ．52.5 C ．56 D ．63.5附：121^1221()())=()(n ni ii nii iii nii x y nx yb xx x y y n x x x ====-⋅---=-∑∑∑∑；^^a yb x =-8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为（ ）A ．33．2621 D ．259.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32xy =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）A.2n n S T = B ．21n n T b =+ C. n n T a > D ．1n n T b +<10.已知函数()f x 是偶函数，(1)f x +是奇函数，且对于任意1x ，2[0,1]x ∈，且12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x --<，设82()11a f =，50()9b f =-，24()7c f =，则下列结论正确的是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >> C.b c a >> D ．c a b >>11.已知实数x ，y 满足条件480,2360,20,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩若222x y m +≥恒成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．5B ．43D ．8312.已知点P 在抛物线2y x =上，点Q 在圆221()(4)12x y ++-=上，则||PQ 的最小值为（ ） A．12- B．12-C.1 D1 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数： 7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为 ．14.21sin )x dx -⎰= ．15.在ABC ∆中，2AB =，3AC =，90BAC ∠=︒，点D 在AB 上，点E 在CD 上，且ACB DE DEB ∠=∠=∠，则DC = ．16.已知过点(2,0)A -的直线与2x =相交于点C ，过点(2,0)B 的直线与2x =-相交于点D ，若直线CD 与圆224x y +=相切，则直线AC 与BD 的交点M 的轨迹方程为 .三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.已知(3,cos )33x x m =，(cos ,cos )33x xn =()f x m n =⋅. （1）若函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若a ，b ，c 分别是ABC ∆分内角A ，B ，C 所对的边，且2a =，(2)cos cos a b C c B -=，3()2f A =，求c . 18.购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人将所抽样本中周平均购次数不小于4次的市民称为购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为购迷与年龄不超过40岁有关？购迷 非购迷 合计 年龄不超过40岁 年龄超过40岁合计（2）若从购迷中任意选取2名，求其中年龄丑啊过40岁的市民人数ξ的分布列与期望.附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++；20()P K k ≥0.15 0．10 0.05 0.01 0k2.0722.7063.8416.63519.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥底面ABC ，160A AC ∠=︒，124AC AA ==，点D ，E 分别是1AA ，BC 的中点.（1）证明：//DE 平面11A B C ；（2）若2AB =，60BAC ∠=︒，求直线DE 与平面11ABB A 所成角的正弦值. 20. 已知动点C 到点(1,0)F 的距离比到直线2x =-的距离小1，动点C 的轨迹为E . （1）求曲线E 的方程；（2）若直线:(0)l y kx m km =+<与曲线E 相交于A ，B 两个不同点，且5OA OB ⋅=u u u r u u u r，证明：直线l 经过一个定点.21. 已知函数2()21f x x x =-+，()2ln(1)g x a x =-()a R ∈.（1）求函数()()()h x f x g x =-的极值；（2）当0a >时，若存在实数k ，m 使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求曲线1C 普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线3C 的极坐标方程为(0,)R θααπρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且A ，B 均异于原点O ，且||42AB =α的值. 23. 选修4-5：不等式选讲. 已知函数1()2||||f x x a x a=++-(0)a ≠.（1）当1a =时，解不等式()4f x <； （2）求函数()()()g x f x f x =+-的最小值.数学（理） 参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1-5BCAAC 6-10DABDB 11、12：DA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.0.4 14.2π15.13416.221(0)4x y y +=≠ 三、解答题（本大题共70分）17.解：（1）Q 2()cos cos 333x x xf x m n =⋅=+，212(cos 1)323x x =++=21sin()362x π++， ∴()f x 的最小正周期为3π，令2222362x k k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，则332k x k ππππ-+≤≤+， ∴()f x 的单调递增区间为[3,3]2k k ππππ-++()k Z ∈；（2）Q (2)cos cos a b C c B -=，∴2sin cos A C =sin cos cos sin sin B C B C A +=，Q 0A π<<，∴sin 0A >，∴1cos 2C =，∴3C π=，∴213()sin()3622A f A π=++=，∴2sin()136A π+=，∴22362A k πππ+=+，k Z ∈，∴2A π=，∴sin 2sin 3c a C π===18.解：（1）由题意可得列联表如下：假设购迷与年龄不超过40岁没有关系，则2100(2030455)65352575k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 3.297 2.706>. 所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为购迷与年龄不超过40岁有关；（2）由频率分布直方图可知，购迷共有25名，由题意得年龄超过40的市民人数ξ的所有取值为0，1，2，22022519(0)30C P C ξ===，112052251(1)3C C P C ξ===，252251(2)30C P C ξ===，∴ξ的分布列为∴012303305E ξ=⨯+⨯+⨯=.19.解：（1）证明：取AC 的中点F ，连接DF ，EF ，Q E 是BC 的中点，∴//EF AB ， Q 111ABC A B C -是三棱柱，∴11//AB A B ，∴11//EF A B ，∴//EF 平面11A B C ，Q D 是1AA 的中点，∴1//DF A C ，∴//DF 平面11A B C ， ∴平面//DEF 平面11A B C ， ∴//DE 平面11A B C ；（2）过点1A 作1A O AC ⊥，垂足为O ，连接OB ，Q 侧面1ACC A ⊥底面ABC ，∴1A O ⊥平面ABC ， ∴1A O OB ⊥，1A O OC ⊥，Q 160A AC ∠=︒，12AA =，∴1OA =，13OA =， Q 2AB =，60OAB ∠=︒，由余弦定理得， 2222cos 3OB OA AB OA AB BAC =+-⋅∠=，∴3OB =，90AOB ∠=︒，∴OB AC ⊥，分别以OB ，OC ，1OA 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -， 由题设可得(0,1,0)A -，(0,3,0)C ，(3,0,0)B ，1(0,0,3)A ，13(0,,)22D -，33(,,0)22E ， 设111(,,)m x y z =u r是平面11ABB A 的一个法向量，则10,0,m AB n AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u rr u u u r∴111130,30,x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩令11z =，∴(1,3,1)m =-u r ， Q 33(,2,)22DE =-u u u r ，∴cos ,m DE <>=u r u u u r 2330||||m DE m DE ⋅-=u r u u u ru r u u u r ，∴直线DE 与平面11ABB A 所成角的正弦值为2330.20.解：（1）由题意可得动点C 到点(1,0)F 的距离等于到直线1x =-的距离，∴曲线E 是以点(1,0)为焦点，直线1x =-为准线的抛物线，设其方程为22(0)y px p =>，∴12p=，∴2p =， ∴动点C 的轨迹E 的方程为24y x =；（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，由2,4y kx m y x=+⎧⎨=⎩得222(24)0k x km x m +-+=， ∴12242kmx x k-+=，2122m x x k ⋅=. Q 5OA OB ⋅=u u u r u u u r ，∴1212x x y y +=221212(1)()=k x x km x x m ++++2245m km k +=，∴22450m km k +-=，∴m k =或5m k =-.Q 0km <，m k =舍去，∴5m k =-，满足16(1)0km ∆=->， ∴直线l 的方程为(5)y k x =-， ∴直线l 必经过定点(5,0).21. 解：（1）由题意得2()(1)2ln(1)h x x a x =---，1x >，∴22[(1)]'()1x a h x x --=-，①当0a ≤时，则'()0h x >，此时()h x 无极值；②当0a >时，令'()0h x <，则11x <<'()0h x >，则1x >+∴()h x 在(1,1上递减，在(1)+∞上递增；∴()h x 有极小值(1(1ln )h a a +=-，无极大值；（2）当0a >时，有（1）知，()h x 在(1,1+上递减，在(1)+∞上递增，且有极小值(1(1ln )h a a +=-，①当a e >时，(1(1ln )0h a a +=-<，∴(1(1f g <+， 此时，不存在实数k ，m ，使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立；②当0a e <≤时，(1(1ln )0h a a +=-≥，2()21f x x x =-+在1x =+)y a =-，令()())]u x f x a =--，1x >，则2()[(10u x x =-≥，∴)()a f x -≤，令())()v x a g x =--=)2ln(1)a a x ---，1x >，则(1'()1x v x x -+=-，令'()0v x <，则11x <<+'()0v x >，则1x >+∴()(1v x v ≥+=(1ln )0a a -≥，∴())g x a ≤-，∴())()g x a f x ≤-≤，当k =m a =-时，不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立，∴0a e <≤符合题意；由①，②得实数a 的取值范围为(0,]e .22.解：（1）由22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩消去参数ϕ可得1C 普通方程为22(2)4x y -+=，.Q 4sin ρθ=，∴24sin ρρθ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=； （2）由（1）得曲线1C ：22(2)4x y -+=，其极坐标方程为4cos ρθ=，由题意设1(,)A a ρ，2(,)B a ρ，则12||||4|sin cos |AB ρραα=-=-sin()|4πα=-=∴sin()14πα-=±，∴42k ππαπ-=+()k Z ∈，Q 0απ<<，∴34πα=.23. 解：（1）Q 1a =，∴原不等式为2|1||1|4x x ++-<，∴12214x x x <-⎧⎨---+<⎩，或11,2214,x x x -≤≤⎧⎨+-+<⎩或1,2214,x x x >⎧⎨++-<⎩ ∴513x -<<-或11x -≤<或∅，∴原不等式的解集为5(,1)3-.（2）由题意得()()()g x f x f x =+-=112(||||)(||||)x a x a x x a a++-+++- 222|2|4||||||a a a a ≥+=+42≥， 高考模拟数学试卷说明：一、本试卷共4页，包括三道大题，24道小题，共150分.其中（1)〜（21)小题为必做题，（22)〜（24)小题为选做题.二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.三、做选择题时，每小题选出答案后，用2B 铅第把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案. 四、考试结束后，将本试卷与原答题卡_并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. (1) 复数=(A) 1+2i (B) 1-2i (C) 2-i (D) 2+i (2) 在的展开式中，常数项为(A) 36 (B) -36 (C) 84 (D) -84 (3) 已知命题则为(A) (B)(C)(D)(4) 函数的图象可以由函数的图象(A)向左平移个单位得到（B)向右平移-个单位得到 (C)向左平移.个单位得到（D)向右平移个单位得到(5) 已知，则=(A) 3 (B) 4 (C) 3.5 (D) 4.5(6) 等比数列{a n}的公比，则=(A) 64 (B) 31 (C) 32 (D) 63(7) 己知某几何体的三视图如图所示，则其表面积为(A)(B)(C) 2(D) 8(8) 算法如图，若输入m=210,n = 119,则输出的n为(A) 2(B) 3(C) 7(D) 11(9) 在中，，则=(A) 10 (B) -10 (C)，4 (D) 4(10) 点A、B、C、D均在同一球面上，其中是正三角形，AD平面ABC,AD=2AB=6,则该球的体积为(A) (B) (C) (D)(11) 抛物线的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1, 2).若点F恰为的重心，则直线BC的方程为(A) x+y=0 (B) 2x+y-1=0(C) x-y=0 (D) 2x-y-1=0(12) 定义在R上的奇函数满足，当时，.又,则集合等于(A) (B)(C) (D)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.(13) 设变量x、y满足约束条件则的最大值为_______.(14) 函数的值域是______.(15) 在数列中，，则数列的通项=______.(16) 的一个顶点P(7,12)在双曲线上，另外两顶点F1、F2为该双曲线的左、右焦点，则的内心坐标为______.三、解答题：本大-共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟.(17) (本小题满分12分）在，中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, A=2B.(I )若，求的值；(I I)若C为钝角，求的取值范围.(18) (本小题满分12分）某媒体对“男女同龄退佈”这一公众关注的问题进行了民意调査，右表是在某单位得到的数据（人数)：(I)能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关？(II)进一步调查：(I )从赞同“男女同龄退休”16人中选出3人进行陈述发言，求事件“男士和女士各至少有1人发言”的概率；(II )从反对“男女同龄退休”的9人中选出3人进行座谈，设参加调査的女士人数为,求的分布列和均值.附：(19) (本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC-A1B l C1中，CC1丄底面ABC,底面是边长为2的正三角形，M, N分别是棱CC1、AB的中点.(I)求证：CN//平面AMB1;(II)若二面角A-MC为45°,求CC1的长.(20)(本小题满分12分）中心在原点O,焦点F1、F2在x轴上的椭圆E经过点C(2, 2),且(I )求椭圆E的方程；(II)垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求直线l的方程和圆P的方程.(21) (本小题满分12分)设函数.(I )讨论f(x)的单调性；(I I)( i )若证明：当x>6 时，(ii)若方程f(x)=a有3个不同的实数解，求a的取值范围.请考生在第（22)、（23)、(24)三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.(22) (本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲如图，AB是圆O的直径，以B为圆心的圆B与圆O的一个交点为P.过点A作直线交圆O于点Q,交圆B于点M、N.(I )求证：QM=QN;(I I)设圆O的半径为2,圆B的半径为1,当AM=时，求MN的长.(23) (本小题满分10分）选修4-4坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为（t为参数，），曲线C的极坐标方程为，(I )求曲线C的直角坐标方程：(II)设直线l与曲线C相交于A、B两点，当a变化时，求|AB|的最小值.(24) (本小题满分10分）选修4-5不等式选讲设.(I)求不等式的解集S(II )若关于X不等式有解，求参数T的取值范围.理科数学参考答案一、选择题：二、填空题：（13）5 （14）(－1，1) （15）n2（16）(1， 3 2)三、解答题：（19）解：（Ⅰ）设AB 1的中点为P ，连结NP 、MP ． ∵CM ∥＝ 1 2AA 1，NP ∥＝ 12AA 1，∴CM ∥＝NP ， ∴CNPM 是平行四边形，∴CN ∥MP ． ∵CN ⊄平面AMB 1，MP ⊂平面AMB 1， ∴CN ∥平面AMB 1．…4分（Ⅱ）如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C —xyz ，使x 轴、y 轴、z 轴分别与NA →、CN →、CC 1→同向． 则C(0，0，0)，A(1，3，0)，B(－1，3，0)， 设M(0，0，a)（a ＞0），则B 1(－1，3，2a)， MA →＝(1，3，－a)，MB 1→＝(－1，3，a)， CM →＝(0，0，a)，…6分设平面AMB 1的法向量n ＝(x ，y ，z)，则n ·MA →＝0，n ·MB 1→＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －az ＝0，－x ＋3y ＋az ＝0， 则y ＝0，令x ＝a ，则z ＝1，即n ＝(a ，0，1)． …8分设平面MB 1C 的一个法向量是m ＝(u ，v ，w)，则m ·MB 1→＝0，m ·CM →＝0， 即⎩⎨⎧－u ＋3v ＋aw ＝0，aw ＝0，则w ＝0，令v ＝1，则u ＝3，即m ＝(3，1，0)． …10分C A 11C 1MNPxz y所以cos 〈m ，n 〉＝3a2a 2＋1， 依题意，〈m ，n 〉＝45︒，则3a 2a 2＋1＝22，解得a ＝2， 所以CC 1的长为22． …12分（20）解：（Ⅰ）设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y2b 2＝1（a ＞b ＞0），则4a 2＋4b2＝1， ① …1分记c ＝a 2－b 2，不妨设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，则CF 1→＝(－c －2，－2)，CF 2→＝(c －2，－2)，则CF 1→·CF 2→＝8－c 2＝2，c 2＝6，即 a 2－b 2＝6．②由①、②得a 2＝12，b 2＝6． 所以椭圆E 的方程为x 212＋y26＝1．…4分（也可通过2a ＝|CF 1→|＋|CF 2→|求出a ） （Ⅱ）依题意，直线OC 斜率为1，由此设直线l 的方程为y ＝－x ＋m ， 代入椭圆E 方程，得3x 2－4mx ＋2m 2－12＝0． 由Δ＝16m 2－12(2m 2－12)＝8(18－m 2)，得m 2＜18． 记A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4m 3，x 1x 2＝2m 2－123．…6分圆P 的圆心为(x 1＋x 2 2，y 1＋y 2 2)，半径r ＝22|x 1－x 2|＝22(x 1＋x 2)2－4x 1x 2当圆P 与y 轴相切时，r ＝|x 1＋x 2 2|，则2x 1x 2＝(x 1＋x 2)24，即2(2m 2－12)3＝4m 29，m 2＝9＜18．…9分当m ＝3时，直线l 方程为y ＝－x ＋3，此时，x 1＋x 2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆P 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4； 同理，当m ＝－3时，直线l 方程为y ＝－x －3，圆P 的方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4．…12分（21）解：（Ⅰ）f '(x)＝－e －x[x 2－(a ＋2)x ＋2a]＝－e －x(x －2)(x －a)．…1分（1）若a ＝2，则f '(x)≤0，f(x)在(－∞，＋∞)单调递减． …2分（2）若0≤a ＜2，当x 变化时，f '(x)、f(x)的变化如下表：x (－∞，a) a (a ，2) 2 (2，＋∞)f '(x) －＋－f(x)↘极小值ae－a[↗极大值(4－a)e－2↘ 此时f(x)在(－∞，a)和(2，＋∞)单调递减，在(a ，2)单调递增． …3分（3）若a ＞2，当x 变化时，f '(x)、f(x)的变化如下表：x (－∞，2) 2 (2，a) a (a ，＋∞)f '(x)－＋－f(x)↘极小值(4－a)e－2↗ 极大值ae－a↘ 此时f(x)在(－∞，2)和(a ，＋∞)单调递减，在(2，a)单调递增．…4分（ⅱ）根据（Ⅰ），（1）若a ＝2，方程f(x)＝a 不可能有3个不同的实数解．…7分（2）若0≤a ＜2，令⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ＜2，ae －a＜a ，(4－a)e －2＞a ，解得0＜a ＜4e 2＋1．……………………8分当x ＞6时，f(x)＝e －x(x 2－ax ＋a)＝e －x[x 2－a(x －1)]＜x 2e －x＜ 1 x， 则当x ＞6且x ＞ 1a 时，f(x)＜a ．又f(0)＝a ，所以当0＜a ＜4e 2＋1时，方程f(x)＝a 有3个不同的实数解．10分 （3）若a ＞2时，由于f(a)＝ae －a＜a ，方程f(x)＝a 不可能有3个不同的实数解．…11分综上，a的取值范围是(0，4e2＋1)．…12分高考模拟数学试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。
山西省太原市2020届高三下学期模拟测试 (三)数学(文)试题 (PDF版含答案)
因为 D 是 B1C1 的中点，所以 DE ∥ AB1 ， ...............................................................3 分
有关 .
………………12 分
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5
18．(本小题满分 12 分)
解：（1）因为 a＝bcosC＋csinB， 由sianA＝sibnB＝sincC，得 sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．·····································2 分 又因为 sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，
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6
因为 AB1 平面 A1CD ， DE 平面 A1CD ，
所以 AB1 ∥平面 A1CD ., ...................................................4 分
C1
D
A1
E
B1
（2）因为棱柱 ABC A1B1C1 是直三棱柱，所以 AA1 A1C1 ，
由sAinDB＝sin∠ABADB，得 AB＝AD·ssinin∠BADB＝177×7102× 2＝157． ·······················8 分 在△ABC 中，sinA＝ 1－cos2A＝2254， 所以 sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝ 22×(2254－275)＝1750 2． ··············10 分
1
2
【精准解析】山西省太原市2020届高三模拟考试(三)数学(理)试题
太原市2020年高三年级模拟试题（三）数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{x |x 2﹣3x +2≥0}，B ＝{x |x +1≥a }，若A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是（ ） A. [2，+∞） B. （﹣∞，2] C. [1，+∞） D. （﹣∞，1] 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合A ，B ，再由A ∪B ＝R 求解.【详解】∵集合A ＝{x |x 2﹣3x +2≥0}＝{x |x ≤1或x ≥2}，B ＝{x |x +1≥a }＝{x |x ≥a ﹣1}，又因为A ∪B ＝R ， ∴a ﹣1≤1， 解得a ≤2，∴实数a 的取值范围是（﹣∞，2]. 故选：B .【点睛】本题主要考查集合运算的应用以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.若复数z 满足(12)z i i =-⋅，则复平面内z 对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出． 【详解】解：(12)2z i i i =-⋅=+，z ＝2﹣i 在复平面内所对应的点（2，﹣1）位于第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查了复数运算法则、几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知1a b >>，0c <，则（ ） A.c c a b< B. a b c c < C. c c a b <D.()()log log a b b c a c ->-【答案】C 【解析】 【分析】举反例说明A,B,D 不正确，根据幂函数单调性证明C 成立. 【详解】当4,2,1a b c ===-时满足1a b >>，c <，但()()()()424211,(1)(1),log log 3log 5log 42a b a b c cc c b c a c a b=->-=-==-=-=<=- 所以A,B,D 不正确，因为(0)cy x c =<为(0,)+∞上单调递减函数，且1a b >> 所以c c a b <， 故选：C【点睛】本题考查利用不等式性质比较大小、幂函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.4.已知sin cos αα-=α∈(0, π)，则tan α= A. -1B. 2-C.2D. 1【答案】A 【解析】 【详解】sin cos αα-=()0,απ∈，12sin cos 2αα∴-=，即sin 21α=-，故34πα= 1tan α∴=-故选A5.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生"的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，1，则输出的n等于A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：当n＝1时，a＝33922+=，b＝2，满足进行循环的条件，当n＝2时，a9927244=+=，b＝4，满足进行循环的条件，当n＝3时，a272781488=+=，b＝8，满足进行循环的条件，当n＝4时，a818124381616=+=，b＝16，不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选：B．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2a =（ ） A. 3- B. 3 C. 353-D. 3或353-【答案】D 【解析】 【分析】设公比为q ,利用基本量法求解即可.【详解】设公比为q ,易知1q ≠.由133813a a S =-⎧⎨=⎩得()2113181131a a q a q q ⎧=-⎪-⎨=⎪-⎩,解得113a q =⎧⎨=⎩或125373a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩当113a q =⎧⎨=⎩时,213a a q ==；当125373a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时,21353a a q ==-,所以23a =或2353a =-, 故选：D.【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解方法,属于中等题型. 7.平面向量a ，b 共线的充要条件是（ ） A. a b a b ⋅=B. a ，b 两向量中至少有一个为零向量C. ∃λ∈R ，b a λ=D. 存在不全为零的实数λ1，λ2，120a b λλ+= 【答案】D 【解析】 【分析】根据共线向量基本定理，结合充分条件的定义进行求解即可.【详解】A ：a b a b ⋅=成立时，说明两个非零向量的夹角为零度，但是非零两个向量共线时，它们的夹角可以为平角，故本选项是错误的； B ：两个非零向量也可以共线，故本选项是错误的； C ：只有当a 不是零向量时才成立，故本选项是错误的；D ：当平面向量a ，b 共线时，存在一个λ，使得b a λ=(0)a ≠成立，因此存在不全为零的实数λ1，λ2，120a b λλ+=；当存在不全为零的实数λ1，λ2，120a b λλ+=成立时，若实数λ1，λ2不都为零时， 则有21a b λλ=-成立，显然a ，(0)b b ≠共线，若其中实数λ1，λ2有一个为零时，不妨设 10λ=，则有200b b λ=⇒=，所以平面向量a ，b 共线，所以本选项是正确的.故选：D【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用，属于基础题.8.根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A.16B.14C.13D.12【答案】A 【解析】 【分析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数36n =，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数6m =，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率. 【详解】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家基本事件总数：234336n C A == 甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：2122326m C C A ==∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：61366m p n === 本题正确选项：A【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.9.把函数f （x ）＝sin 2x 的图象向右平移12π个单位后，得到函数y ＝g （x ）的图象.则g （x ）的解析式是（ ） A. ()212g x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()12212g x cos x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ C. ()112262g x cos x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ D. ()112262g x sin x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数sin()y A wx ϕ=+的图象变换规律，即可求解，得到函数的解析式.【详解】由题意，把函数()211sin cos 222f x x x ==-的图象向右平移12π个单位后，得到函数()1111cos[2()]cos(2)2212226y g x x x ππ==--=--的图象.故选：C .【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象变换求解三角函数的解析式，其中解答中利用余弦的倍角公式，化简得到()f x 的解析式，再结合三角函数的图象变换求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.10.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)0,+∞单调递增，若实数a 满足()()212log log 21f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ）A. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. []1,2C. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. (]0,2 【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数的性质将()()212log log 21f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭化为：2(log )(1)f a f ≤ ，再由f （x ）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a 的取值范围. 【详解】因为函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，所以1222(log )(log )(log )f a f a f a =-=，则()()212log log 21f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭为2(log )(1)f a f ≤， 因为函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，所以2log 1a ≤，解得122a ≤≤， 则a 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：C .【点睛】此题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于中档题. 11.已知抛物线C ：x 2＝8y ，过点M （x 0，y 0）作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，则y 0的值为（ ） A. ﹣1 B. ﹣2 C. ﹣4 D. 不能确定【答案】B 【解析】 【分析】设出,A B 的坐标，利用函数的导数，结合直线经过M ，转化求解0y 的值． 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，12x x ≠， 由28x y =，可得4xy '=，所以14MA x k =，24MB x k =， 因为过点00(,)M x y 作直线,MA MB 与抛物线C 分别切于点,A B ，且以AB 为直径的圆过点M ，所以12144MA MB x x k k ⋅=⋅=-，可得1216x x =-， 直线MA 的方程为：()()1111144xy y x x x x y y -=-=+， ①，同理直线MB 的方程为：()2224xy y x x -=-，()224x x y y =+②，①2x ⨯-②1x ⨯，可得1228x x y ==-，即02y =-.故选：B ．【点睛】本题考查函数的导数的应用，曲线与方程相结合，考查计算能力． 12.点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x=交于点N ，3OM ONOP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】 【分析】设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则21,ln 33tOP t t ⎛⎫=+⎪⎝⎭,即可得1ln 03t t +=,设1()ln 3g t t t =+,利用导函数判断g t 的零点的个数,即为所求.【详解】设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以21,ln 333OM ON t OP t t +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭, 依题意可得1ln 03t t+=, 设1()ln 3g t t t =+,则221131()33t g t t t t -'=-=, 当103t <<时,()0g t '<,则()g t 单调递减；当13t >时,()0g t '>,则()g t 单调递增,所以min1()1ln 303g t g ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭,且221120,(1)033e g g e ⎛⎫=-+>=> ⎪⎝⎭,1()ln 03g t t t∴=+=有两个不同的解,所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2. 故选:C【点睛】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用.太原市2020年高三年级模拟试题（三）数学试卷（理科） 第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答. 二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()()122log 01()11x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪-⎩＜，＞，则18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_____. 【答案】8. 【解析】 【分析】 依题意得f （18）＝3，从而f （f （18））＝f （3），由此能求出结果. 【详解】解：∵函数()()122log 01()11x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪-⎩＜，＞，则1211()log 388f ==； ∴18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f （3）＝32﹣1＝8. 故答案为：8.【点睛】此题考查的是分段函数求值问题，属于基础题. 14.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若ABC ∆的面积为)2224a b c --，则A =____________.【答案】23π（或120︒） 【解析】 【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解． 【详解】解：由余弦定理可得a 2﹣b 2﹣c 2＝﹣2bc cos A ， △ABC的面积为)2224a b c --cos A ， 又因为S △ABC ＝1sin 2bc Acos A ，所以tan A，由A ∈（0，π）可得A ＝23π． 故答案为：23π.【点睛】本题主要考查了余弦定理及三角形的面积公式的简单应用，属于基础试题．15.设F 1，F 2分别是双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为_____.【解析】 【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理、双曲线离心率公式进行求解即可. 【详解】设|PF 2|=m ，则|PF 1|=2m ，显然点 P 在双曲线的右支上， 因此有122PF PF a -=，因此122,4,2m a PF a PF a =∴==， 而122F F c =，∠F 1PF 2＝60°，所以由余弦定理可知；222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，即222141642422c a a a a =+-⋅⋅⋅，化简得：cc e a=⇒==【点睛】本题考查了双曲线定义的应用，考查了求双曲线的离心率，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.16.正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 平面1A BE ，记1B 与F 的轨迹构成的平面为α． ①F ∃，使得11B F CD ⊥；②直线1B F 与直线BC所成角的正切值的取值范围是142⎤⎥⎣⎦； ③α与平面11CDD C所成锐二面角的正切值为④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是________．（写出所有正确命题的序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】取CD 中点G ,11C D 中点M ,1CC 中点N ,先利用中位线的性质判断点F 的运动轨迹为线段MN ,平面1B MN 即为平面α,画出图形,再依次判断:①利用等腰三角形的性质即可判断；②直线1B F 与直线BC 所成角即为直线1B F 与直线11B C 所成角,设正方体的棱长为2,进而求解；③由//MN EG ,取F 为MN 中点,则11,MN C F MN B F ⊥⊥,则11B FC ∠即为α与平面11CDD C 所成的锐二面角,进而求解；④由平行的性质及图形判断即可.【详解】取CD 中点G ,连接EG ,则1//EG CD ,所以1//EG A B ,所以平面1A BE 即为平面1A BGE , 取11C D 中点M ,1CC 中点N ,连接11,,B M B N MN ,则易证得111//,//B M BG B N A E , 所以平面1//B MN 平面1A BGE ,所以点F 的运动轨迹为线段MN ,平面1B MN 即为平面α. ①取F 为MN 中点,因为1B MN △是等腰三角形,所以1B F MN ⊥,又因为1//MN CD ,所以11B F CD ⊥,故①正确；②直线1B F 与直线BC 所成角即为直线1B F 与直线11B C 所成角,设正方体的棱长为2,当点F 为MN 中点时,直线1B F 与直线11B C 所成角最小,此时122C F =,111112tan 4C F C B F B C ∠==；当点F 与点M 或点N 重合时,直线1B F 与直线11B C 所成角最大,此时111tan 2C B F ∠=, 所以直线1B F 与直线BC所成角的正切值的取值范围是12⎤⎥⎣⎦,②正确； ③α与平面11CDD C 的交线为EG ,且//MN EG ,取F 为MN 中点,则1111,,MN C F MN B F B FC ⊥⊥∴∠即为α与平面11CDD C 所成的锐二面角,11111tan B C B FC C F∠==,所以③正确； ④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中,平面ABCD ,平面1111D C B A ,平面11BCC B ,平面11ADD A 与平面α所成的角相等,所以④正确．故答案:①②③④【点睛】本题考查直线与平面的空间位置关系,考查异面直线成角,二面角,考查空间想象能力与转化思想.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知{a n }是公差为1的等差数列，数列{b n }满足121111,,2n n n n b b a b b nb ++==+=. （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设12n n nc b =，求数列{c n }的前n 项和S n . 【答案】（1）1n b n =（2）12(2)2nn S n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）先由题设条件求得a 1，再求a n ，进而论证数列{nb n }常数列，最后求得b n ； （2）先由（1）求得c n ，再由错位相减法求S n . 【详解】（1）由已知得：12211,1a b b b a +=∴= 又∵{a n }是公差为1的等差数列，n a n ∴=∴a n ＝n .11n n n n a b b nb +++=1(1)n n n b nb +∴+=，∴数列{nb n }是常数列，111,n n nb b b n∴==∴=（2）由（1）得：1122nn n n c n b ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭2311111232222nn S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①又23411111112322222n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②由①-②可得：231111111222222nn n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11112211212nn n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⋅ ⎪⎝⎭- 111(2)2n n +⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭12(2)2nn S n ⎛⎫∴=-+⋅ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题.18.垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[]25,85上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如下表：（1）填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；（2）若对年龄在[)45,55，[)25,35的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望 参考公式和数据()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）见解析，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异. （2）见解析 【解析】 【分析】(1)根据年龄的频数分布填写列联表，再计算2K 分析即可.(2)易得X 的所有可能取值为0，1，2，3，再分别分情况求解分布列，再计算数学期望即可. 【详解】解：（1）2×2列联表：不了解 11b =7d =18 合计 401050()2250297113 6.272 6.63540103218K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异.（2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，()228422105840225C C P X C C ===，()2111284824221051041225C C C C C P X C C +===， ()111228242422105352225C C C C C P X C C +===，()21242210523225C C P X C C ===， 则X 的分布列为X 0 1 2 3P84225 104225 35225 2225所以X 的数学期望是()1047064022********E X =+++= 【点睛】本题主要考查了独立性检验、随机变量的分布列与数学期望的问题，需要注意在列分布列时X 的取值对应的概率求解.属于中档题.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知四边形11AAC C 为矩形，16AA =，4AB AC ==，160BAC BAA ∠=∠=︒，1A AC ∠的角平分线AD 交1CC 于D .（1）求证:平面⊥BAD 平面11AAC C ； （2）求二面角111A B C A --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2【解析】 【分析】（1）过点D 作//DE AC 交1AA 于E ，连接,CE BE ，设AD CE O =，连接BO ，由角平分线的性质，正方形的性质，三角形的全等，证得CE BO ⊥，CE AD ⊥，由线面垂直的判断定理证得CE ⊥平面BAD ，再由面面垂直的判断得证.（2）平面几何知识和线面的关系可证得BO ⊥平面11AAC C ，建立空间直角坐标系O xyz -，求得两个平面的法向量，根据二面角的向量计算公式可求得其值.【详解】（1）如图，过点D 作//DE AC 交1AA 于E ，连接,CE BE ，设AD CE O =，连接BO ，1AC AA ⊥，DE AE ∴⊥，又AD 为1A AC ∠的角平分线，∴四边形AEDC 为正方形，CE AD ∴⊥， 又AC AE =，BAC BAE ∠=∠，BA BA =，BAC BAE ∴∆≅∆，BC BE ∴=，又O 为CE 的中点，CE BO ∴⊥ 又,AD BO ⊂平面BAD ，AD BO O =，CE ∴⊥平面BAD ，又CE ⊂平面11AAC C ，∴平面⊥BAD 平面11AAC C ，（2）在ABC ∆中，4AB AC ==，60BAC ∠=︒，4BC ∴=，在Rt BOC ∆中，12CO CE ==，BO ∴=又4AB =，12AO AD ==222BO AO AB +=，BO AD ∴⊥，又BO CE ⊥，ADCE O =，,AD CE ⊂平面11AAC C ，BO ∴⊥平面11AAC C ，故建立如图空间直角坐标系O xyz -，则(2,2,0)A -，1(2,4,0)A ，1(2,4,0)C -，1B ，11C B ∴=，1(4,6,0)AC =-，11(4,0,0)C A =，设平面11AB C 的一个法向量为111(,,)m x y z =，则111m C B m AC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，1111146022220x y x y z -+=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩， 令1=6x ，得(6,4,52)m =-,设平面111A B C 的一个法向量为222(,,)n x y z =，则1111n C B n C A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，22224022220x x y z =⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，令2=2y ，得(0,21)n =-,92317cos ,171023m n m n m n⋅∴<>===⨯⋅，由图示可知二面角111A B C A --是锐角，故二面角111A B C A --的余弦值为317.【点睛】本题考查空间的面面垂直关系的证明，二面角的计算，在证明垂直关系时，注意运用平面几何中的等腰三角形的“三线合一”，勾股定理、菱形的对角线互相垂直，属于基础题.20.已知椭圆C ：221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦距为2，且过点312⎛⎫ ⎪⎝⎭，.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点O 到直线MN 距离的最小值.【答案】（1）22143x y +=（23【解析】 【分析】（1）由题意焦距的值可得c 的值，再由椭圆过点312⎛⎫ ⎪⎝⎭，，及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）分B 的纵坐标为0和不为0两种情况讨论，设B 的坐标，由O 是三角形的重心可得MN 的中点的坐标，设M ，N 的坐标，代入椭圆方程两式相减可得直线MN 的斜率，求出直线MN 的方程，求出O 到直线MN 的距离的表达式，再由B 的纵坐标的范围求出d 的取值范围，进而求出d 的最小值.【详解】解：（1）由题意可得：椭圆的焦距为2，则1c =，又椭圆过点312⎛⎫ ⎪⎝⎭， 222221914ab c a b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得：a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆的方程为：2243x y +=1；（2）设B ()m n ，，记线段MN 中点D ，因为O 为BMN 的重心，所以BO =2OD ，则点D 的坐标为：22，n m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 若n ＝0，则|m |＝2，此时直线MN 与x 轴垂直， 故原点O 到直线MN 的距离为2m ，即为1，若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2＝﹣m ，y 1+y 2＝﹣n ，又221143x y +=1，222243x y +=1，两式相减()()()()1212121243x x x x y y y y +-+-+=0，可得：k MN 1212y y x x -==-34m n-，故直线MN 的方程为：y 34m n =-（x 2m +）2n-，即6mx +8ny +3m 2+4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离d 2222343664m n m n+=+，将2243m n +=1，代入得d 29n =+，因为0＜n 2≤3，所以d min 32=，又32＜1， 故原点O 到直线MN 的距离的最小值为3.【点睛】本题考查求椭圆的方程，点到直线的距离，考查椭圆中的最值问题，注意直线的斜率的讨论，属于难题.21.已知函数2()ln ()f x x x ax a R =-∈. （1）讨论函数的极值点个数；（2）若()()g x f x x =-有两个极值点12,x x ，试判断12x x +与12x x ⋅的大小关系并证明. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）1212x x x x +<，详见解析 【解析】 【分析】（1）由已知令')0f x =（，得1ln 2x a x +=，记1ln ()xQ x x+=，则函数()f x 的极值点个数转化为函数()Q x 与y ＝2a 的交点个数，再利用导数得到()Q x 在(0,1)上是增函数，在1+，上是减函数，且max ()=(1)1Q x Q =，对a 分情况讨论，即可得到函数()f x 的极值点个数情况；（2）由已知令'()0g x =，可得ln 2x a x =，记ln ()x h x x=，利用导数得到()h x 的单调性，可得max 1()h x e =，当x e >时，()0f x >，所以当102a e <<即102a e<<时()g x 有2个极值点12,x x ，从而得到1212ln()2x x a x x =+，所以1212ln()ln()x x x x +<，即1212x x x x +<．【详解】解：（1）'1()ln 2ln 21(0)f x x x ax x ax x x=+⋅-=-+>， 令')0f x =（，得1ln 2x a x +=，记1ln ()x Q x x +=，则'2ln ()x Q x x -=， 令()0Q x '>，得01x <<；令()0Q x '<，得1x >，∴()Q x 在(0,1)上是增函数，在1+，上是减函数，且max ()=(1)1Q x Q =，∴当21a >即12a >时，'()0f x =无解，∴()f x 无极值点， 当21a =即12a =时，'()0f x =有一解，1ln 2x a x +≥，即ln 210x ax -+≤，'()0f x ≤恒成立，()f x ∴无极值点，当021a <<，即102a <<时，'()0f x =有两解，()f x ∴有2个极值点， 当20a ≤即0a ≤时，'()0f x =有一解，()f x 有一个极值点.综上所述：当12a ≥，()f x 无极值点；102a <<时，()f x 有2个极值点；当0a ≤，()f x 有1个极值点；（2）2()ln g x x x ax x =--，()ln 2(0)g x x ax x '=->, 令'()0g x =，则ln 20x ax -=，ln 2x a x∴=, 记ln ()x h x x =，则'21ln ()x h x x-=, 由'()0h x >得0x e <<，由'()0h x <，得x e >，()h x ∴在(0,)e 上是增函数，在(,)e +∞上是减函数,max 1()()h x h e e==，当x e >时，()0f x >,∴当102a e <<即102a e<<时,()g x 有2个极值点12,x x ,由1122ln 2ln 2x ax x ax =⎧⎨=⎩, 得121212ln()ln ln 2()x x x x a x x =+=+,1212ln()2x x a x x ∴=+, 不妨设12x x <则121x e x <<<，122x x x e ∴+>>,又()h x 在(,)e +∞上是减函数,1221212212ln()ln ln()2x x x x x a x x x x x +∴<==++, 1212ln()ln()x x x x ∴+<,1212x x x x ∴+<.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值，最值，考查学生转化问题和分析问题的能力，是一道难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.已知曲线C 的极坐标方程是6cos 0ρθ-=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点()0,2M ，倾斜角为3π4． （1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求11MA MB+的值． 【答案】（1）22(3)9x y -+=，222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)；（2）4. 【解析】【分析】（1）将曲线C 的极坐标方程两边同乘ρ，根据公式即可化简为直角坐标方程；根据已知信息，直接写出直线的参数方程，整理化简即可；（2）联立曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程，得到关于t 的一元二次方程，根据直线参数方程中参数的几何意义，求得结果.【详解】（1）因为6cos ρθ=，所以26cos ρρθ=，所以226x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为：22(3)9x y -+=，直线l 的参数方程3πcos 43π2sin 4x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，即222x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得22(3)(2)9-++=，整理，得240t +=+，所以1212·4t t t t ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩ 因为1212210,0,0,0t t t t t t <>∴<⋅<+ 所以12MA MB t t +=+12()t t =-+= MA MB ⋅12t t ==4， 所以11MA MB +=MA MB MA MB +⋅4=. 【点睛】本题考查将极坐标方程转化为直角坐标方程，以及直线参数方程的求解，涉及利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题，属综合基础题.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()12f x x x a =++-.（1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得()224m m f x -+=，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）35,22⎛⎫-⎪⎝⎭（2）[]2,1- 【解析】【分析】 （1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，最后求并集得结果；（2）先根据绝对值三角不等式得()f x 值域，再根据二次函数性质得值域，最后根据两个值域关系列不等式，解得结果.【详解】解：（1）当1a =时，()4124f x x x <⇒++-<，化为123x x <-⎧⎨>-⎩或1234x -≤≤⎧⎨<⎩或2214x x >⎧⎨-<⎩， 解得312x -<<-或12x -≤≤或522x <<， ∴3522x -<<.即不等式()4f x <的解集为35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）根据题意，得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集.()2224133m m m -+=-+≥，又由于()1221f x x x a a =++-≥+，∴()f x 的值域为)21,a ⎡++∞⎣ 故213a +≤，∴21a -≤≤.即实数a 的取值范围为[]2,1-【点睛】本题考查分类讨论求解含绝对值不等式、绝对值三角不等式、方程恒有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.。
山西省太原市20xx届高三数学模拟试题(一)理(含解析).doc
太原市 2020 年高三年级模拟试题（一）数学试卷（理工类）一、选择题。
1. 已知集合，，则（）A. B. C. D. 【答案】 A【解析】【分析】对集合化简，求出.【详解】，，，故本题选 A.【点睛】本题考查了集合的交集运算的真数要大于零., 本题的关键是对数不等式要解正确，不要忘记对数函数2. 已知复数满足（为虚数单位），则（）A. B. C. D. 【答案】 C【解析】【分析】运用复数的除法运算法则，直接求出【详解】【点睛】本题考查复数的除法运算. .，故本题选 C.3. 下列命题中的真命题是（）A. 若，则向量与的夹角为钝角B.若，则C. 若命题“ 是真命题”，则命题“D. 命题“ ，”的否定是“是真命题”，”【答案】 D【解析】【分析】对于选项 A：当时，向量与的夹角为钝角或夹角，可以判断是否为真命题；对于选项 B: 要注意成立时，这个特殊情况，对此可以判断是否为真命题；对于选项C: 命题“是真命题”中至少有一个为真命题，不能确定是真命题；对于选项 D：含有特称量词命题否定要求改为全称量词，同时否定结论，对此可以判断是否为真命题。
【详解】选项A：是钝角或平角，所以选项 A 是假命题；选项 B: 或者，所以选项 B 是假命题；选项 C: 命题“是真命题”中至少有一个为真命题，只有当都是真命题时，才是真命题，所以选项C是假命题；选项 D;根据含有特称量词命题的否定要求改为全称量词，同时否定结论，这一原则，“，”的否定是“，”是真命题，故本题选 D.【点睛】本题考查了命题真假的判断，属于基础题.4. 已知，则（）A. B. C. D. 【答案】 B 的【解析】【分析】用二倍角的正弦公式和诱导公式，对所求的式子进行化简，根据题目特点，用，构造出关于的双齐式，进行求解。
【详解】，因为，所以，原式故本题选B。
【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式及诱导公式。
重点考查了同角三角函数之间的关系。
5. 已知函数在处的切线经过原点，则实数（）A. B. C.1 D.0【答案】 A【解析】【分析】对函数求导，求出切线的斜率，利用点斜式写出直线方程，把原点的坐标代入，求出的值，最后求出的值。
2020年山西省太原市高考数学一模试卷(理科) (1)
Ⅱ 若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．
已知椭圆 的焦点为 和 ，过 的直线交 于 ， 两点，过 作与 轴垂直的直线交直线 ＝ 于点 ．设 ，已知当 ＝ 时， ＝ ．
Ⅰ 求椭圆 的方程；
Ⅱ 求证：无论 如何变化，直线 过定点．
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
由三都问求体积
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
简单因性规斯
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
椭圆水明心率
此题暂无答案
【考点】
充分常件、头花条件滤充要条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
函来锰略也与图象的变换
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
6.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
程正然图
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
7.
【答案】
此题暂无答案
【考点】
二项式定因及京关概念
已知函数 ＝ ， ．
Ⅰ 判断函数 在区间 上零点的个数；
Ⅱ 设函数 在区间 上的极值点从小到大分别为 ， ， ， ，…， ．证明：
（1） ；
（2）对一切 ， 成立．
2020年山西省太原市高考数学三模试卷(理科)
2020年山西省太原市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|320}A x x x =-+…，{|1}B x x a =+…，若A B R =U ，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2，)+∞B ．(-∞，2]C ．[1，)+∞D ．(-∞，1]2．（5分）若复数z 满足(12)z i i =-g ，则复平面内z 对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知1a b >>，0c <，则( ) A ．c ca b< B ．a b c c <C ．c c a b <D ．log ()log ()a b b c a c ->-4．（5分）已知sin cos αα-(0,)απ∈，则tan α的值是( )A ．1-B ．CD ．15．（5分）宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于( )A ．5B ．4C ．3D ．26．（5分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若138a a =-，且313S =，则2(a = ) A ．3-B ．3C ．353-D ．3或353-7．（5分）平面向量a r，b r 共线的充要条件是( )A ．||||a b a b =r rr r gB ．a r，b r 两向量中至少有一个为零向量C ．R λ∃∈，b a λ=r rD ．存在不全为零的实数1λ，2λ，120a b λλ+=r r r8．（5分）根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为() A ．16B ．14 C ．13D ．129．（5分）把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位后，得到函数()y g x =的图象．则()g x 的解析式是( ) A ．2()sin ()12g x x π=+B ．1()cos(2)212g x x π=--C ．11()cos(2)262g x x π=--+D ．11()sin(2)262g x x π=-+10．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，)+∞上单调递增，若实数a 满足212(log )(log )2f a f a f +„（1），则a 的取值范围是( )A ．1[,2]2B ．[1，2]C ．1(0,)2D ．(0，2]11．（5分）已知抛物线2:8C x y =，过点0(M x ，0)y 作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，则0y 的值为( ) A ．1-B ．2-C ．4-D ．不能确定12．（5分）点M 在曲线:3G y lnx =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x=交于点N ，若3OM ONOP +=u u u u r u u u r u u u r ，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数122log (01),()1(1),x x f x x x <⎧⎪=⎨⎪->⎩„则1(())8f f = ．14．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆则A = ．15．（5分）设1F ，2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使1260F PF ∠=︒，且12||2||PF PF =，则双曲线的离心率为 ．16．（5分）正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 平面1A BE ，记1B 与F 的轨迹构成的平面为α． ①F ∃，使得11B F CD ⊥②直线1B F 与直线BC所成角的正切值的取值范围是，1]2③α与平面11CDD C所成锐二面角的正切值为④正方体1111ABCD A B C D -的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确的命题序号）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知{}n a 是公差为1的等差数列，数列{}n b 满足11b =，212b =，11n n n n a b b nb +++=． （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）设12n nnc b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（12分）垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：（1）填写下面22x 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；（2）若对年龄在[45，55)，[25，35)的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考公式和数据22()()()()()n adbc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知四边形11AA C C 为矩形，16AA =，4AB AC ==，160BAC BAA ∠=∠=︒，1A AC ∠的角平分线AD 交1CC 于D ．（Ⅰ）求证：平面BAD ⊥平面11AA C C ； （Ⅱ）求二面角111A B C A --的余弦值．。
2020届山西省太原市高三模拟(二)数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届山西省太原市高三模拟（二）数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案：正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合2{|20}A x x x =+->，{1,0,1,2}B =-，则()A ．{2}AB =I B ．A B R =UC ．(){1,2}R B C A =-ID ．(){|12}R B C A x x =-<<U答案：A首先解不等式220x x +->得到{|2A x x =<-或1}x >，再根据{2}A B =I 即可得到答案：. 解：因为2{|20}{|2A x x x x x =+->=<-或1}x >，{1,0,1,2}B =-，所以{2}A B =I ，A B R ≠U ，(){1,0,1}R C A B =-I ，()[2,1]{2}R C A B =-U U 故选：A 点评：本题主要考查集合的运算，同时考查了一元二次不等式的解法，属于简单题. 2．已知a 是实数，1a ii+-是纯虚数，则a 等于（）A ．B ．1-CD ．1答案：D分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可知：()()()()()()1111112a i i a a ia i i i i ++-+++==--+， 1a ii +-为纯虚数，则：1010a a -=⎧⎨+≠⎩，据此可知1a =. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能3．已知0.250.520.20.5a log b log c ===，，，则() A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b答案：B由对数函数性质和指数函数性质与特殊值1和12比较大小后可得． 解：∵555125log log log ＜＜，∴0＜a 12＜， ∵log 0.50.2=log 25＞log 22，∴b ＞1， ∵0.51＜0.50.2＜0.50，∴112c ＜＜， ∴a ＜c ＜b ， 故选：B . 点评：本题考查对数、幂的大小比较，掌握对数函数性质和指数函数性质是解题关键．对于不同类型的数可以借助中间值比较．4．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.n ≡N （modm ）表示正整数n 除以正整数m 的余数为N ，例如10≡4（mod 6）.执行该程序框图，则输出的n 等于()A ．11B ．13C ．14D ．17答案：D根据程序框图得出其功能是求同时满足被3除余2，被4除余1的最小两位数，从而得由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足以下条件的最小两位数： ①被3除余2， ②被4除余1， 故输出的n 为17， 故选：D. 点评：本题考查程序框图中的循环结构，考查学生的分析能力，属于基础题.5．若a b r r ，是两个非零向量，且a b m a m b m ⎡+==∈⎣r r r r ，.则向量b r 与a b -r r 夹角的取值范围是() A ．233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．2536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．56ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 答案：C设|a r |=|b r |=t ，设向量b r 与a b -r r 夹角为θ，由已知和a b ⋅r r 222m t =-t 2，计算出a b-r r 后，由向量数量积求出cos θ，由m 的范围可得结论． 解：根据题意，设|a r |=|b r |=t ，则|a b +rr |=mt ，再设向量b r 与a b -r r 夹角为θ， 则有|a b +r r |2=（a b +r r ）2a =r 2b +r 2+2a b ⋅r r =m 2t 2，变形可得a b ⋅r r 222m t =-t 2，则有|a b -r r |2=（a b -r r ）2a =r 2b +r 2﹣2a r •b =r 2t 2﹣2（222m t -t 2）=4t 2﹣m 2t 2，变形可得|a b -rr|=t ，则cos θ()2222221122m t t t b a b a b b ba b b a b --⋅-⋅-=====---r r r r r r rr r r r r 又由1≤m ≤1≤≤，则有≤cos θ12≤-， 又由0≤θ≤π，则有23π≤θ56π≤，即θ的取值范围为[23π，56π]；本题考查求平面向量间的夹角，掌握平面向量数量积的定义是解题关键． 6．函数的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：A计算导数，通过导数判断原函数的单调性，然后判断大小关系，可得结果.解：由题可知：函数定义为当时， 当时，所以可知：原函数在递增，在递减 令，则当时， 当时，则在递减，且 在递增，所以函数在定义域中，函数值均大于故选：A 点评：本题主要考查了函数图象的识别问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属中档题.7．圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算.现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算.假设某校共有学生N 人，让每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ，再统计出a ，b ，1能构造锐角三角形的人数M ，利用所学的有关知识，则可估计出π的值是() 4M4N M -2M N+42M N+首先求出0＜a ＜1，0＜b ＜1，构成的区域面积，然后利用余弦定理求出满足是锐角三角形所构成的区域，然后利用几何概型—面积比即可求解. 解：学校共有学生N 人，每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ， 得到N 个实数对（a ，b ），因为0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以N 个实数对（a ，b ）都在边长为1的正方形AOBC 内， 如图所示：若a ，b ，1能构造锐角三角形，因为1是最长边，所以1所对的角为锐角，所以22102a b ab+-＞，即a 2+b 2＞1，所以N 对实数对落在单位圆x 2+y 2=1外的有M 对，由几何概率的概率公式可得：21111411M N π⨯-⨯==⨯114π-， 所以π()4N M N-=，故选：B . 点评：本题考查了几何概型—面积比，几何概型的应用，解题的关键是求出满足条件的事件所构成的区域面积，属于基础题.8．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，，由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0.选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内9．过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M （3，0）.若△MAB的面积为|AB |=()A ．2B ．4C ．D ．8答案：D设直线l 的方程为x =ty +1，将直线与抛物线联立，利用韦达定理以及弦长公式表示出|AB |，根据三角形的面积求出|y 1﹣y 2，代入计算即可求解. 解：抛物线y 2=4x 的焦点F 为（1，0）， 可设直线l 的方程为x =ty +1， 代入抛物线方程，可得y 2﹣4ty ﹣4=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2=4t ，y 1y 2=﹣4，则|AB |=y 1﹣y 2|==△MAB 的面积为12|MF |.|y 1﹣y 2|12=⨯2|y 1﹣y 2，=，解得t =±1，则|AB |==8， 故选：D .本题考查了直线与抛物线的位置关系、弦长公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.10．已知数列{a n}的前n 项和为S n，且满足a n()21nnS S -=.数列{b n }满足(1)(21)n n n b n a =-⋅+则数列{b n }的前100项和T 100为()A ．101100B ．101100-C ．100101-D ．100101答案：C由已知求出12,a a ，归纳猜测出n a ，再用数学归纳法证明猜测n a 对于*n N ∈成立，进而求出数列{b n }通项公式，用裂项相消法，即可求出结论. 解： ∵()21nnnS a S -=，∴当n =1时，有a 1211(1)S S -=，解得a 112=；当n =2时，可解得a 216=，故猜想：a n ()11n n =+，下面利用数学归纳法证明猜想： ①当n =1，2时，由以上知道a n ()11n n =+显然成立；②假设当n =k （k ≥2）时，有a k ()11k k =+成立，此时S k ()11111111112231122311k k k k k k =+++=-+-++-=⨯⨯+++L L 成立， 那么当n =k +1时，有2221111111(1)(1)(1)11k k k k k k k k k ka S S a k a k S S a a k ++++++++--+-+===+++，解得a k +1()()1111k k =⎡⎤+++⎣⎦，这说明当n =k +1时也成立. 由①②知：a n ()11n n =+.∵(1)(21)n n n b n a =-⋅+，∴111(1)(21)(1)()(1)1nn n b n n n n n =-⋅+⋅=-+++，∴数列{b n}的前100项和1001111111 (1)()()()22334100101T=-+++-++++L11001101101=-+=-.故选：C.点评：本题考查数学归纳法证明数列通项公式，以及裂项相消法求数列的前n项和，考查计算求解能力，属于中档题.11．对于函数()()1122f x sinx cosx sinx cosx=+--.有下列说法：①()f x的值城为[]1,1-；②当且仅当()24x k k Zππ=+∈时，函数()f x取得最大值；③函数()f x的最小正周期是π；④当且仅当()222x k k k Zπππ⎛⎫∈+∈⎪⎝⎭，时,()0f x>.其中正确结论的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案：B根据题意，先得到()cosx sinx cosxf xsinx sinx cosx≥⎧=⎨<⎩，，，作出函数的图像，结合函数图像，逐项判断，即可得出结果.解：因为()()1122cosx sinx cosxf x sinx cosx sinx cosxsinx sinx cosx≥⎧=+--=⎨<⎩，，，作出函数()f x 的图象，如图所示：所以，()f x的值城为21,2⎡-⎢⎣⎦，①错误；。
2020年山西省太原市高考数学(理科)三模试卷 (解析版)
2020年太原市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，B＝{x|x+1≥a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，2]C．[1，+∞）D．（﹣∞，1]2．若复数z满足z＝（1﹣2i）•i，则复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知a＞b＞1，c＜0，则（）A．ca＜cbB．c a＜c bC．a c＜b c D．log a（b﹣c）＞log b（a﹣c）4．已知sinα﹣cosα=√2，α∈（0，π），则tanα的值是（）A．﹣1B．−√22C．√22D．15．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，1，则输出的n等于（）A．5B．4C．3D．26．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝a3﹣8，且S3＝13，则a2＝（）A．﹣3B．3C．−353D．3或−3537．平面向量a→，b→共线的充要条件是（）A．a→⋅b→=|a→||b→|B．a→，b→两向量中至少有一个为零向量C．∃λ∈R，b→=λa→D．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a→+λ2b→=0→8．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A．16B．14C．13D．129．把函数f（x）＝sin2x的图象向右平移π12个单位后，得到函数y＝g（x）的图象．则g（x）的解析式是（）A．g(x)=sin2(x+π12 )B．g(x)=−12cos(2x−π12)C．g(x)=−12cos(2x−π6)+12D．g(x)=12sin(2x−π6)+1210．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log2a）+f（log12a）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．[12，2]B．[1，2]C．(0，12)D．（0，2]11．已知抛物线C：x2＝8y，过点M（x0，y0）作直线MA、MB与抛物线C分别切于点A、B，且以AB为直径的圆过点M，则y0的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣4D．不能确定12．点M在曲线G：y＝3lnx上，过M作x轴垂线l，设l与曲线y=1x交于点N，若OP→=OM→+ON→3，且P点的纵坐标始终为0，则称M点为曲线G上的“水平黄金点”则曲线G上的“水平黄金点”的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f （x ）={log 12x(0＜x ≤1)，x 2−1(x ＞1)，则f(f(18))= ． 14．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为√3(a 2−b 2−c 2)4，则A ＝ ． 15．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为 ．16．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，记B 1与F 的轨迹构成的平面为α． ①∃F ，使得B 1F ⊥CD 1②直线B 1F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是[√24，12]③α与平面CDD 1C 1所成锐二面角的正切值为2√2④正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确的命题序号）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知{a n }是公差为1的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=12，a n b n +1+b n +1＝nb n ． （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设c n =1nn，求数列{c n }的前n 项和S n ． 18．垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：年龄 [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75） [75，85）频数 5 10 10 15 5 5 了解4581221（1）填写下面2x 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；年龄低于65岁的人数 年龄不低于65岁的人数合计了解 a ＝ c ＝ 不了解 b ＝ d ＝ 合计（2）若对年龄在[45，55），[25，35）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考公式和数据K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ．P （K 2≥k 0）0.10 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知四边形AA 1C 1C 为矩形，AA 1＝6，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝∠BAA 1＝60°，∠A 1AC 的角平分线AD 交CC 1于D ． （Ⅰ）求证：平面BAD ⊥平面AA 1C 1C ； （Ⅱ）求二面角A ﹣B 1C 1﹣A 1的余弦值．20．已知椭圆C ：x 2a+y 2b=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，且过点(1，32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点O 到直线MN 距离的最小值．21．已知函数f （x ）＝xlnx ﹣ax 2（a ∈R ）． （1）讨论函数的极值点个数；（2）若g （x ）＝f （x ）﹣x 有两个极值点x 1，x 2，试判断x 1+x 2与x 1•x 2的大小关系并证明．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣6cosθ＝0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点M（0，2），倾斜角为34π．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求1|MA|+1|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2a|．（1）若a＝1，解不等式f（x）＜4；（2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得m2﹣2m+4＝f（x），求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，B＝{x|x+1≥a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，2]C．[1，+∞）D．（﹣∞，1]【分析】求出集合A，B，由A∪B＝R，能求出实数a的取值范围．解：∵集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|x+1≥a}＝{x|x≥a﹣1}，A∪B＝R，∴a﹣1≤1，解得a≤2，∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B．2．若复数z满足z＝（1﹣2i）•i，则复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出．解：z＝（1﹣2i）•i＝2+i，z=2﹣i在复平面内所对应的点（2，﹣1）位于第四象限．故选：D．3．已知a＞b＞1，c＜0，则（）A．ca＜cbB．c a＜c bC．a c＜b c D．log a（b﹣c）＞log b（a﹣c）【分析】直接利用不等式的应用和赋值法的应用求出结果．解：①由于a＞b＞1，所以0＜1a＜1b，c＜0，故ca＞cb，选项A错误．②当c＝﹣2，a＝3，b＝2时，c a＞c b，故选项B错误．③由于a＞b＞1，c＜0，故a c＜b c，选项C正确．④由于a＞b＞1，c＜0，所以a﹣c＞b﹣c，故log a（b﹣c）＜log b（a﹣c），故错误．故选：C．4．已知sinα﹣cosα=√2，α∈（0，π），则tanα的值是（）A．﹣1B．−√22C．√22D．1【分析】由条件可得1﹣2sinαcosα＝2，求得sin2α＝﹣1，可得2α的值，从而求得tanα的值．解：∵已知sinα−cosα=√2，α∈(0，π)，∴1﹣2sinαcosα＝2，即sin2α＝﹣1，故2α=3π2，∴α=3π4，tanα＝﹣1．故选：A．5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，1，则输出的n等于（）A．5B．4C．3D．2【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算a，b的值并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得a＝3，b＝1n＝1a=92，b＝2不满足条件a ≤b ，执行循环体，n ＝2，a =274，b ＝4 不满足条件a ≤b ，执行循环体，n ＝3，a =818，b ＝8 不满足条件a ≤b ，执行循环体，n ＝4，a =24316，b ＝16 此时，满足条件a ≤b ，退出循环，输出n 的值为4． 故选：B ．6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝a 3﹣8，且S 3＝13，则a 2＝（ ） A ．﹣3B ．3C ．−353D ．3或−353【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求首项及公比，然后再结合等比数列的通项公式即可求解． 解：设公比为q ，易知q ≠1． 由{a 1=a 3−8S 3=13得{a 1=a 1q 2−8a 1(1−q 3)1−q =13， 解得{a 1=1q =3或{a 1=253q =−75， 当{a 1=1q =3时，a 2＝a 1q ＝3； 当{a 1=253q =−75时，a 2=a 1q =−353 所以a 2＝3或a 2=−353， 故选：D ．7．平面向量a →，b →共线的充要条件是（ ）A ．a →⋅b →=|a →||b →|B ．a →，b →两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b →=λa →D ．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a →+λ2b →=0→【分析】写出共线向量基本定理，找四个选项中的等价命题得结论． 解：由共线向量基本定理可知，若平面向量a →，b →共线，则存在不为零的实数λ，使b→=λa→（a→≠0→），即λa→−b→=0→，其等价命题为存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a→+λ2b→=0→．故选：D．8．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A．16B．14C．13D．12【分析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数n=C42A33=36，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数m=C22C31A22=6，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率．解：我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，基本事件总数n=C42A33=36，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数m=C22C31A22=6，∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为p=mn=636=16．故选：A．9．把函数f（x）＝sin2x的图象向右平移π12个单位后，得到函数y＝g（x）的图象．则g（x）的解析式是（）A．g(x)=sin2(x+π12 )B．g(x)=−12cos(2x−π12)C．g(x)=−12cos(2x−π6)+12D．g(x)=12sin(2x−π6)+12【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：把函数f（x）＝sin2x=12−12cos2x的图象向右平移π12个单位后，得到函数y＝g（x）=12−12cos（2x−π6）的图象，故选：C．10．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a 满足f （log 2a ）+f （log 12a ）≤2f （1），则a 的取值范围是（ ）A ．[12，2]B ．[1，2]C ．(0，12)D ．（0，2]【分析】由偶函数的性质将f （log 2a ）+f （log 12a ）≤2f （1）化为：f （log 2a ）≤f （1），再由f （x ）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a 的取值范围． 解：因为函数f （x ）是定义在R 上的偶函数， 所以f （log 12a ）＝f （﹣log 2a ）＝f （log 2a ），则f （log 2a ）+f （log 12a ）≤2f （1）为：f （log 2a ）≤f （1），因为函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递增， 所以|log 2a |≤1，解得12≤a ≤2，则a 的取值范围是[12，2]，故选：A ．11．已知抛物线C ：x 2＝8y ，过点M （x 0，y 0）作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，则y 0的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣4D ．不能确定【分析】设出AB 的坐标，利用函数的导数，结合直线经过M ，转化求解y 0的值．解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1≠x 2，由x 2＝8y ，可得y ′=x 4，所以k MA =x14，k MB =x 24， 因为过点M （x 0，y 0）作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，所以，k MA •k MB =x24•x 14=−1，可得x 1x 2＝﹣16，直线MA 的方程为：y ﹣y 1=x14（x ﹣x 1），x 1x ＝4（y +y 1）…①，同理直线MB 的方程为：y ﹣y 2=x24（x ﹣x 2），x 2x ＝4（y +y 2）…②， ①×x 2﹣②×x 1，可得y =x 1x28=−2，即y 0＝﹣2， 故选：B ．12．点M 在曲线G ：y ＝3lnx 上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线y =1x 交于点N ，若OP →=OM →+ON →3，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】设M （x 1，3lnx 1），可得直线l 的方程，联立曲线y =1x，可得N 的坐标，再由向量的加法运算可得P 的坐标，再由P 的纵坐标始终为0，考虑方程的解的个数，设出函数，求得导数和单调性、极值和最值，判断最值的符号，即可得到所求个数．解：设M （x 1，3lnx 1），则直线l ：x ＝x 1，由{x =x 1y =1x 可得y =1x 1，即N （x 1，1x 1）， OP →=OM →+ON →3=13（2x 1，3lnx 1+1x 1）＝（2x 13，lnx 1+13x 1）， 又P 的纵坐标始终为0，即lnx 1+13x 1=0，可令f （x ）＝lnx +13x （x ＞0），导数为f ′（x ）=1x −13x 2=3x−13x 2，由f ′（x ）＝0，可得x =13，则当0＜x ＜13时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减；x ＞13时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增． 可得f （x ）在x =13处取得极小值，且为最小值f （13）＝ln 13+1＝1﹣ln 3， 由1﹣ln 3＜0，则f （x ）在（0，+∞）有两个零点，即方程lnx 1+13x 1=0有两个不等实根，所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2， 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f （x ）={log 12x(0＜x ≤1)，x 2−1(x ＞1)，则f(f(18))= 8 ． 【分析】依题意得f （18）＝3，从而f （f （18））＝f （3），由此能求出结果．解：∵函数f （x ）={log 12x(0＜x ≤1)，x 2−1(x ＞1)， 则f （18）＝log1218=3；∴f(f(18))=f （3）＝32﹣1＝8．故答案为：8．14．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为√3(a 2−b 2−c 2)4，则A ＝2π3．【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解． 解：由余弦定理可得a 2﹣b 2﹣c 2＝﹣2bc cos A ， △ABC 的面积为√3(a 2−b 2−c 2)4=−√32bccosA ， 又因为S △ABC =12bcsinA =−√32bccosA ，所以tan A =−√3， 由A ∈（0，π）可得A =2π3． 故答案为：2π315．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为 √3 ．【分析】根据点P 为双曲线上一点，∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，推出P 的位置，然后求解双曲线的离心率． 解：F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|， 可知：PF 2⊥F 1F 2，|PF 2|=b 2a ，tan ∠F 1PF 2=2cb 2a=√3，即2ac =√3（c 2﹣a 2），可得√3e 2﹣2e −√3=0，e ＞1， ∴e =√3． 故答案为：√3．16．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，记B 1与F 的轨迹构成的平面为α． ①∃F ，使得B 1F ⊥CD 1②直线B 1F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是[√24，12]③α与平面CDD 1C 1所成锐二面角的正切值为2√2④正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是 ①②③④ ．（写出所有正确的命题序号）【分析】分别取CC 1和C 1D 1的中点为M ，N ，连接MN 、MB 1、NB 1，然后利用面面平行的判定定理证明平面MNB 1∥平面A 1BE ，从而确定平面MNB 1就是平面α． 当F 为线段MN 的中点时，可证明①；②利用平移的思想，将直线B 1F 与直线BC 所成角转化为B 1F 与B 1C 1所成的角，由于B 1C 1⊥平面MNC 1，所以tan ∠FB 1C 1即为所求，进而求解即可；③平面MNB 1与平面CDD 1C 1所成的锐二面角即为所求，也就是求出tan ∠B 1QC 1即可； ④由正方体的对称性和二面角的含义即可判断． 解：如图所示，设正方体的棱长为2，分别取CC 1和C 1D 1的中点为M ，N ，连接MN 、MB 1、NB 1，则MN ∥A 1B ，MB 1∥EA 1，∵MN 、MB 1⊂平面MNB 1，A 1B 、EA 1⊂平面A 1BE ，且MN ∩MB 1＝M ，A 1B ∩EA 1＝A 1， ∴平面MNB 1∥平面A 1BE ，∴当F 在MN 上运动时，始终有B 1F ∥平面A 1BE ，即平面MNB 1就是平面α． 对于①，当F 为线段MN 的中点时，∵MB 1＝NB 1，∴B 1F ⊥MN ，∵MN ∥CD 1，∴B 1F ⊥CD 1，即①正确；对于②，∵BC ∥B 1C 1，∴直线B 1F 与直线B 1C 1所成的角即为所求， ∵B 1C 1⊥平面MNC 1，C 1F ⊂平面MNC 1，∴B 1C 1⊥C 1F ，∴直线B 1F 与直线B 1C 1所成的角为∠FB 1C 1，且tan ∠FB 1C 1=FC1B 1C 1，而FC 1的取值范围为[√22，1]，B 1C 1＝2，所以tan ∠FB 1C 1∈[√24，12]，即②正确；对于③，平面MNB 1与平面CDD 1C 1所成的锐二面角即为所求，取MN 的中点Q ，因为B 1C 1⊥平面MNC 1，所以∠B 1QC 1就是所求角，而tan ∠B 1QC 1=B 1C 1QC 1=22=2√2，即③正确；对于④，由对称性可知，与α所成的锐二面角相等的面有平面BCC 1B 1，平面ADD 1A 1，平面A 1B 1C 1D 1，平面ABCD ，即④正确． 故答案为：①②③④．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知{a n }是公差为1的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=12，a n b n +1+b n +1＝nb n ． （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设c n =12nb n，求数列{c n }的前n 项和S n ． 【分析】（1）先由题设条件求得a 1，再求a n ，进而论证数列{nb n }是常数列，最后求得b n ；（2）先由（1）求得c n ，再由错位相减法求S n ．解：（1）由已知得：a 1b 2+b 2＝b 1，∴a 1＝1．又∵{a n }是公差为1的等差数列，∴a n ＝n ．∵a n b n +1+b n +1＝nb n ，∴（n +1）b n +1＝nb n ，所以数列{nb n }是常数列，∴nb n ＝b 1＝1，∴b n =1n； （2）由（1）得：c n =12nb n =n •（12）n ， ∴S n ＝1×12+2×（12）2+3×（12）3+…+n •（12）n ①，又12S n ＝1×（12）2+2×（12）3+3×（12）4+…+n •（12）n +1②，由①﹣②可得：12S n =12+（12）2+（12）3+…+（12）n ﹣n •（12）n +1 =12[1−(12)n ]1−12−n •（12）n +1＝1﹣（n +2）•（12）n +1， ∴S n ＝2﹣（n +2）•（12）n ．18．垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：年龄 [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75） [75，85）频数 5 10 10 15 5 5 了解4581221（1）填写下面2x 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；年龄低于65岁的人数 年龄不低于65岁的人数合计了解 a ＝ c ＝ 不了解 b ＝ d ＝ 合计（2）若对年龄在[45，55），[25，35）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．参考公式和数据K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． P （K 2≥k 0）0.10 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意知随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．解：（1）根据题意填写2x 2列联表，年龄低于65岁的人数 年龄不低于65岁的人数合计了解 a ＝29 c ＝3 32 不了解 b ＝11 d ＝7 18 合计401050计算K 2=50×(29×7−11×3)240×10×32×18≈6.272＜6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3；计算P（X＝0）=C82⋅C42C102⋅C52=84225，P（X＝1）=C82⋅C41+C81⋅C21⋅C42C102⋅C52=104225，P（X＝2）=C81⋅C21⋅C41+C22⋅C42C102⋅C52=35225，P（X＝3）=C22⋅C41C102⋅C52=2225；所以随机变量X的分布列为：X0123P84225104225352252225所以X的数学期望为E（X）＝0×84225+1×104225+2×35225+3×2225=45．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知四边形AA1C1C为矩形，AA1＝6，AB＝AC＝4，∠BAC＝∠BAA1＝60°，∠A1AC的角平分线AD交CC1于D．（Ⅰ）求证：平面BAD⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）求二面角A﹣B1C1﹣A1的余弦值．【分析】（Ⅰ）过点D作DE∥AC交AA1于E，连接CE，BE，设AD∩CE＝O，连接BO，推导出DE⊥AE，四边形AEDC为正方形，CE⊥AD，推导出△BAC≌△BAE，从而BC＝BE，CE⊥BO，从而CE⊥平面BAD，由此能证明平面BAD⊥平面AA1C1C．（Ⅱ）推导出BO⊥AD，BO⊥CE，从而BO⊥平面AA1C1C，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣B1C1﹣A1的余弦值．解：（Ⅰ）如图，过点D作DE∥AC交AA1于E，连接CE，BE，设AD∩CE＝O，连接BO，∵AC⊥AA1，∴DE⊥AE，又AD为∠A1AC的角平分线，∴四边形AEDC为正方形，∴CE⊥AD，又∵AC＝AE，∠BAC＝∠BAE，BA＝BA，∴△BAC≌△BAE，∴BC＝BE，又∵O 为CE 的中点，∴CE ⊥BO ，又∵AD ，BO ⊂平面BAD ，AD ∩BO ＝O ，∴CE ⊥平面BAD ． 又∵CE ⊂平面AA 1C 1C ，∴平面BAD ⊥平面AA 1C 1C ．（Ⅱ）在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝60°，∴BC ＝4， 在Rt △BOC 中，∵CO =12CE =2√2，∴BO =2√2，又AB ＝4，AO =12AD =2√2，∵BO 2+AO 2＝AB 2，∴BO ⊥AD ，又BO ⊥CE ，AD ∩CE ＝O ，AD ，CE ⊂平面AA 1C 1C ，∴BO ⊥平面AA 1C 1C ， 故建立如图空间直角坐标系O ﹣xyz ，则A （2，﹣2，0），A 1（2，4，0），C 1（﹣2，4，0），B 1(0，6，2√2)， ∴C 1B 1→=(2，2，2√2)，AC 1→=(−4，6，0)，C 1A 1→=(4，0，0)， 设平面AB 1C 1的一个法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)， 则{m →⊥C 1B 1→m →⊥AC 1→，∴{−4x 1+6y 1=02x 1+2y 1+2√2z 1=0， 令x 1＝6，得m →=(6，4，−5√2)，设平面A 1B 1C 1的一个法向量为n →=(x 2，y 2，z 2)，则{n →⊥C 1B 1→n →⊥C 1A 1→，∴{4x 2=02x 2+2y 2+2√2z 2=0，令y 2=√2，得n →=(0，√2，−1)， ∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=9√2102⋅3=3√1717，故二面角A ﹣B 1C 1﹣A 1的余弦值为3√1717．20．已知椭圆C ：x 2a+y 2b=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，且过点(1，32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点O 到直线MN 距离的最小值．【分析】（1）由题意焦距的值可得c 的值，再由过点的坐标，及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）分B 的纵坐标为0和不为0两种情况讨论，设B 的坐标，由O 是三角形的重心可得MN 的中点的坐标，设M ，N 的坐标，代入椭圆方程两式相减可得直线MN 的斜率，求出直线MN 的方程，求出O 到直线MN 的距离的表达式，再由B 的纵坐标的范围求出d 的取值范围，进而求出d 的最小值．解：（1）由题意可得：{c =11a 2+94b2=1c 2=a 2−b 2，解得：a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆的方程为：x 24+y 23=1；（2）设B （m ，n ），记线段MN 中点D ，因为O 为△BMN 的重心，所以BO →=2OD →，则点D 的坐标为：（−m 2，−n2）， 若n ＝0，则|m |＝2，此时直线MN 与x 轴垂直， 故原点O 到直线MN 的距离为|m|2，即为1，若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2＝﹣m ，y 1+y 2＝﹣n ， 又x 124+y 123=1，x 224+y 223=1，两式相减(x 1+x 2)(x 1−x 2)4+(y 1+y 2)(y 1−y 2)3=0，可得：k MN =y 1−y 2x 1−x 2═−3m4n ，故直线MN 的方程为：y =−3m4n（x +m 2）−n 2，即6mx +8ny +3m 2+4n 2＝0， 则点O 到直线MN 的距离d =|3m 2+4n 2|√36m +64n ，将m 24+n 23=1，代入得d =√n +9，因为0＜n 2≤3，所以d min =√32，又√32＜1，故原点O 到直线MN 的距离的最小值为√32．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2（a∈一、选择题）．（1）讨论函数的极值点个数；（2）若g（x）＝f（x）﹣x有两个极值点x1，x2，试判断x1+x2与x1•x2的大小关系并证明．【分析】（1）先求出f'（x）＝lnx+x⋅1x−2ax＝lnx﹣2ax+1（x＞0），令f'（x）＝0，得2a=1+lnxx，记Q（x）=1+lnxx，则函数f（x）的极值点个数转化为函数Q（x）与y＝2a的交点个数，再利用导数得到Q（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，且Q（x）max＝Q（1）＝1，对a分情况讨论，即可得到函数f（x）的极值点个数情况；（2）g（x）＝xlnx﹣ax2﹣x，g'（x）＝lnx﹣2ax（x＞0），令g'（x）＝0，则lnx﹣2ax＝0，所以2a=lnxx，记h（x）=lnxx，利用导数得到h（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，h（x）max＝h（e）=1e，当x＞e时，f（x）＞0，所以当0＜2a＜1e即1＜a＜12e时g（x）有2个极值点x1，x2，从而得到2a=ln(x1x2)x1+x2，所以ln（x1+x2）＜ln（x1x2），即x1+x2＜x1x2．解：（1）f'（x）＝lnx+x⋅1x−2ax＝lnx﹣2ax+1（x＞0），令f'（x）＝0，得2a=1+lnxx，记Q（x）=1+lnxx，则Q'（x）=−lnxx2，令Q'（x）＞0，得0＜x＜1；令Q'（x）＜0，得x＞1，∴Q（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数，且Q（x）max＝Q（1）＝1，∴当2a＞1，即a＞12时，f'（x）＝0 无解，∴f（x）无极值点，当2a＝1，即a=12时，f'（x）＝0有一解，2a≥1+lnxx，即lnx﹣2ax+1≤0，f'（x）≤0 恒成立，∴f （x ）无极值点，当0＜2a ＜1，即0＜a ＜12时，f '（x ）＝0有两解，∴f （x ）有2个极值点， 当2a ≤0，即a ≤0时，f '（x ）＝0有一解，∴f （x ）有一个极值点，综上所述：当a ≥12时，f （x ）无极值点；0＜a ＜12时，f （x ）有2个极值点；当a ≤0时，f （x ）有1个极点；（2）g （x ）＝xlnx ﹣ax 2﹣x ，g '（x ）＝lnx ﹣2ax （x ＞0）， 令g '（x ）＝0，则lnx ﹣2ax ＝0，∴2a =lnxx， 记h （x ）=lnxx ，则h '（x ）=1−lnx x 2， 由h '（x ）＞0得0＜x ＜e ，由h '（x ）＜0，得x ＞e ，∴h （x ）在（0，e ）上是增函数，在（e ，+∞）上是减函数，h （x ）max ＝h （e ）=1e， 当x ＞e 时，f （x ）＞0， ∴当0＜2a ＜1e即1＜a ＜12e时g （x ） 有2个极值点x 1，x 2， 由{lnx 1=2ax 1lnx 2=2ax 2得，ln （x 1x 2）＝lnx 1+lnx 2＝2a （x 1+x 2）， ∴2a =ln(x 1x 2)x 1+x 2，不妨设x 1＜x 2，则1＜x 1＜e ＜x 2，∴x 1+x 2＞x 2＞e ， 又h （x ）在（e ，+∞） 上是减函数， ∴ln(x 1+x 2)x 1+x 2＜lnx 2x 2=2a =ln(x 1x 2)x 1+x 2， ∴ln （x 1+x 2）＜ln （x 1x 2）， ∴x 1+x 2＜x 1x 2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C 的极坐标方程是ρ﹣6cos θ＝0，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点M （0，2），倾斜角为34π．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ﹣6cosθ＝0，转换为直角坐标方程为（x﹣3）2+y2＝9．直线l过点M（0，2），倾斜角为34π．整理得参数方程为{x=−√22ty=2+√22t（t为参数）．（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得(−√22t−3)2+(2+√22t)2=9，整理得t2+5√2t+4=0，所以：t1+t2=−5√2，t1t2＝4，所以求1|MA|+1|MB|=|t1+t2||t1t2|=5√24．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2a|．（1）若a＝1，解不等式f（x）＜4；（2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得m2﹣2m+4＝f（x），求实数a的取值范围．【分析】（1）将a＝1代入f（x）中，再利用零点分段法解不等式f（x）＜4即可；（2）根据条件可知，m2﹣2m+4的取值范围是f（x）值域的子集，然后求出f（x）的值域和m2﹣2m+4的取值范围，再求出a的范围．解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|+|x﹣2|={2x−1，x＞23，−1≤x≤2−2x+1，x＜−1．∵f（x）＜4，∴{x＞22x−1＜4或{−1≤x≤23＜4或{x＜−1−2x+1＜4，∴2＜x＜52或﹣1≤x≤2或−32＜x＜−1，∴−32＜x＜52，∴不等式的解集为{x|−32＜x＜52}．（2）∵对任意的实数m，若总存在实数x，使得m2﹣2m+4＝f（x），∴m2﹣2m+4的取值范围是f（x）值域的子集．∵f（x）＝|x+1|+|x﹣2a|≥|2a+1|，∴f（x）的值域为[|2a+1|，+∞），又m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3≥3，∴|2a+1|≤3，∴﹣2≤a≤1，∴实数a的取值范围为[﹣2，1]．。
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2021届新高考化学模拟试卷一、单选题（本题包括15个小题，每小题4分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．下列化学用语的表述正确的是A．离子结构示意图：可以表示16O2－，也可以表示18O2－B．比例模型：可以表示甲烷分子，也可以表示四氯化碳分子C．氯化铵的电子式为：D．二氧化碳分子的比例模型是：【答案】A【解析】【详解】A．离子结构示意图中质子数为8，核核外电子数为10，表示氧离子，所以可以表示16O2-，也可以表示18O2-，与中子数无关，故A正确；B．比例模型为：可以表示甲烷分子，但不能表示四氯化碳分子，因Cl原子半径比C原子半径大，四氯化碳的比例模型为，故B错误；C．氯化铵为离子化合物，氯离子需要标出最外层电子和电荷，正确的电子式为：，故C错误；D．二氧化碳是直线形分子，同一周期元素中，原子半径随着原子序数的增大而减小，则二氧化碳分子的比例模型：，故D错误；故选A。
【点睛】本题的易错点为BD，要注意比例模型中原子的相对大小的判断。
2．在铁质品上镀上一定厚度的锌层，以下电镀方案正确的是（）A．锌作阳极，铁制品作阴极，溶液中含Zn2+B．锌作阳极，铁制品作阴极，溶液中含Fe3+C．锌作阴极，铁制品作阳极，溶液中含Zn2+D．锌作阴极，铁制品作阳极，溶液中含Fe3+【答案】A【解析】【详解】在Fe上镀上一定厚度的锌层，镀层金属作阳极、镀件作阴极，含有镀层金属阳离子的可溶性盐溶液为电解质溶液，所以Zn作阳极、Fe作阴极，含有锌离子的可溶性盐为电解质，故选A。
3．氮化硅是一种高温陶瓷材料，其硬度大、熔点高，下列晶体熔化（或升华）时所克服的微粒间作用力都与氮化硅相同的是（）A．白磷、硅B．碳化硅、硫酸钠C．水晶、金刚石D．碘、汞【答案】C【解析】【分析】【详解】根据描述氮化硅应该是一种原子晶体，原子晶体是由原子直接通过共价键形成的，再来分析选项：A.白磷4P是分子晶体，熔融时克服的是范德华力，A项错误；Na SO是离子晶体，熔融时电离，克服的是离子键，B项错误；B.硫酸钠24C.水晶和金刚石同为原子晶体，因此熔融时克服的是共价键，C项正确；D.碘是分子晶体，熔融时克服的是范德华力，而汞作为一种特殊的金属，原子间无金属键，熔融时克服的也是范德华力，D项错误；答案选C。
【点睛】由于惰性电子对效应，汞原子的6s电子很难参与成键，仅以原子间的范德华力结合，这也是为什么汞是唯一一种常温下为液态的金属。
4．重水（D2O）是重要的核工业原料，下列说法正确的是A．氘(D)的原子核外有2个电子B．1H与D是同一种原子C．H2O与D2O互称同素异形体D．1H218O与D216O的相对分子质量相同【答案】D【解析】【详解】A、氘(D)原子核内有一个质子，核外有1个电子，选项A错误；B、1H与D质子数相同，中子数不同互称同位素，是两种原子，选项B错误；C、同素异形体是同种元素的单质之间的互称，选项C错误；D、1H218O与D216O的相对分子质量相同，都是20，选项D正确；答案选D。
5．下列指定反应的离子方程式正确的是（）A．实验室用浓盐酸和MnO2混合加热制Cl2：MnO2+4H++2Cl ﹣ΔMn2++Cl2↑+2H2OB．将Cl2溶于水制备次氯酸：Cl2+H2O＝2H++Cl﹣+ClO﹣C．用过量的NaOH溶液吸收SO2：OH﹣+SO2＝HSO3﹣D．向AlCl3溶液中加入氨水：Al3++3OH﹣＝Al（OH）3↓【答案】A【解析】【详解】A、浓盐酸与二氧化锰混合加热，离子方程式：MnO2+4H++2Cl﹣Mn2++Cl2↑+2H2O，故A正确；B、将氯气溶于水制备次氯酸的离子反应为Cl2+H2O⇌H++Cl﹣+HClO，故B错误；C、用过量NaOH吸收二氧化硫生成亚硫酸钠，离子方程式为2OH﹣+SO2＝H2O+SO32﹣，故C错误；D、向氯化铝溶液中加入过量氨水，一水合氨是弱碱，要保留化学式，离子方程式为Al3++3NH3•H2O＝Al(OH)3↓+3NH4+，故D错误；答案选A。
【点睛】考查离子方程式书写方法和反应原理，掌握物质性质和书写原则是解题关键，注意反应物用量对反应的影响。
6．下列实验现象及所得结论均正确的是（）实验实验现象结论A．左侧试管比右侧试管中产生气泡的速率快Fe3+对H2O2分解的催化效果更好B．左侧棉花变为橙色，右侧棉花变为蓝色氧化性：Cl2>Br2> I2C．U形管左端液面下降,右端液面上升NH4NO3溶解吸热甲烷与氯气光照条件下发生取D．烧杯中产生白色沉淀代反应A．A B．B C．C D．D【答案】A【解析】【分析】【详解】A．等量同浓度的双氧水中分别滴入相同体积含相同浓度的Fe3+和Cu2+的溶液，滴入Fe3+的试管中产生气泡的速率快，说明Fe3+对H2O2的分解的催化效果更好，故A正确；B．氯气从左侧通入，先接触到吸有NaBr溶液的棉花，棉花变橙色，说明Cl2和NaBr发生了置换反应：Cl2+2NaBr=Br2+2NaCl，说明氧化性：Cl2＞Br2。
右侧的棉花吸有淀粉碘化钾溶液，右侧棉花变蓝，说明有I2生成。
I2的生成可能是左侧棉花上产生的Br2挥发到右侧棉花上置换出了I2，也可能是通入的Cl2和KI反应置换出了I2，所以无法说明Br2和I2的氧化性相对强弱，故B错误；C．NH4NO3溶解吸热，使试管内空气遇冷体积减小，试管内压强降低，U形管左端液面上升，右端液面下降，故C错误；D．甲烷和氯气发生取代反应生成HCl，可以和AgNO3溶液生成AgCl白色沉淀，但未被消耗的氯气也会进入AgNO3溶液中，和AgNO3反应生成白色沉淀，故根据烧杯中产生白色沉淀不能证明甲烷和氯气在光照条件下发生取代反应，故D错误；故选A。
【点睛】本题B选项中硬质玻璃管中右侧棉花变蓝，不一定是挥发的Br2和KI反应，从左端通入的氯气可能没有完全被NaBr溶液消耗，也可能氯气已经完全把NaBr氧化，这样氯气就会氧化KI，所以本实验只能证明氧化性：：Cl2＞Br2，不能确定Br2和I2的氧化性相对强弱。
7．下列常见的金属中，常用电解法冶炼的是A．Fe B．Cu C．Mg D．Pt【答案】C【解析】【分析】电解法：冶炼活泼金属K、Ca、Na、Mg、Al，一般用电解熔融的氯化物(Al是电解熔融的Al2O3)制得；热还原法：冶炼较不活泼的金属Zn、Fe、Sn、Pb、Cu，常用还原剂有(C、CO、H2等)；热分解法：冶炼不活泼的金属Hg、Ag用加热分解氧化物的方法制得。
A．Fe用热还原法冶炼，故A不选；B．Cu用热还原法冶炼，故B不选；C．Mg的性质很活泼，用电解其氯化物的方法冶炼，故C选；D．Pt用热分解法冶炼，故D不选；故答案选C。
8．下列能源中不属于化石燃料的是（）A．石油B．生物质能C．天然气D．煤【答案】B【解析】【分析】化石能源指由古动物、植物遗体变化形成的能源，主要有煤、石油、天然气等，其特点是具有不可再生性。
【详解】化石能源指由古动物、植物遗体经过复杂的物理化学变化形成的能源，主要有煤、石油、天然气等，故A、C、D不选；B、生物质能可通过植物光合作用获得，不属于化石燃料，故B选；故选：B。
9．已知一组有机物的分子式通式，按某种规律排列成下表各项物质均存在数量不等的同分异构体。
其中第12项的异构体中，属于酯类的有（不考虑立体异构）A．8种B．9种C．多于9种D．7 种【答案】B【解析】【分析】由表中规律可知，3、6、9、12项符合CnH2nO2，由C原子数的变化可知，第12项为C5H10O2，属于酯类物质一定含-COOC-。
【详解】①为甲酸丁酯时，丁基有4种，符合条件的酯有4种；②为乙酸丙酯时，丙基有2种，符合条件的酯有2种；③为丙酸乙酯只有1种；④为丁酸甲酯时，丁酸中-COOH连接丙基，丙基有2种，符合条件的酯有2种，属于酯类的有4+2+1+2=9种，10．下列有关说法不正确的是A．钠与氧气反应的产物与反应条件有关B．金属镁分别能在氮气、氧气、二氧化碳中燃烧C．工业上主要采用高温冶炼黄铜矿的方法获得铜D．二氧化硫能漂白某些物质，能使紫色石蕊试液先变红后褪色【答案】D【解析】【分析】【详解】A、钠与氧气反应常温下生成氧化钠，加热或点燃的条件下生成过氧化钠，故A正确；B、镁与氮气燃烧生成氮化镁，与氧气燃烧生成氧化镁，与二氧化碳发生置换反应，生成碳单质和氧化镁，故B正确；C、现代工业主要采用“火法炼铜”，即在高温条件下培烧黄铜矿，故C正确；D、二氧化硫不能漂白石蕊，故D错误。
故选D。
11．下图为某有机物的结构，下列说法错误的是（）A．该物质的名称为甲基丙烷B．该模型为球棍模型C．该分子中所有碳原子均共面D．一定条件下，可与氯气发生取代反应【答案】C【解析】【详解】A．有机物为CH3CH（CH3）CH3，为2-甲基丙烷，选项A正确；B．由图可知该模型为球棍模型，选项B正确；C．为烷烃，每个碳原子都与其它原子形成四面体结构，所有的碳原子不可能共平面，选项C错误；D．烷烃在光照条件下可发生取代反应，选项D正确。
答案选C。
本题考查有机物的结构与性质，把握官能团与性质的关系为解答的关键，侧重分析与迁移能力的考查，由结构简式可知有机物为CH3CH（CH3）CH3，为2-甲基丙烷，结合烷烃的结构和性质解答该题。
12．部分氧化的Fe－Cu合金样品(氧化产物为Fe2O3、CuO)共2.88g，经如下处理：下列说法正确的是A．滤液A中的阳离子为Fe2＋、Fe3＋、H＋B．V＝224C．样品中CuO的质量为2.0g D．样品中铁元素的质量为0.56g【答案】B【解析】【详解】根据氧化性Fe3+>Cu2+>H+可知铁离子优先反应，由于滤液A中不含Cu2+，且有气体氢气生成，则滤液A中不含Fe3+，滤渣1.6g为金属铜，物质的量为0.025mol，即合金样品中总共含有铜原子和铜离子0.025mol。
滤液A中加入足量氢氧化钠溶液，所得滤渣灼烧得到的固体为Fe2O3，质量为1.6g，物质的量为0.01mol，即合金样品中总共含有铁原子和铁离子0.02mol。
稀硫酸过量，因此滤液A中的溶质为H2SO4和FeSO4，其中溶质FeSO4为0.02mol，则能加反应的硫酸的物质的量也为0.02mol，0.02mol H2SO4电离出0.04mol氢离子，其中部分氢离子生成氢气，另外的H+和合金中的氧离子O2-结合成水。
A、滤液A中的阳离子为Fe2+、H+，选项A错误；B、合金中氧离子O2-的物质的量为2.88g 1.6g0.02mol56g/mol16/g mol--⨯=0.01mol，0.01mol O2-生成水需结合H+0.02mol，所以参加反应的0.02mol硫酸中有0.04mol-0.02mol=0.02molH+生成了氢气，即有0.01molH2生成，标准状况下产生的氢气的体积为0.01mol⨯22.4L/mol=0.224L=224mL，选项B正确；C、假设Fe－Cu合金样品全部被氧化，则样品中CuO的质量为0.025mol⨯80g/mol=2g，而实际情况是Fe －Cu合金样品部分氧化，故样品中CuO的质量小于2g，选项C错误；D、样品中铁元素的质量为0.02mol⨯56g/mol=1.12g，选项D错误。