高中数学竞赛讲义.

所以ΔABC 的外心轨迹是轨物线。 7．复数与三角。 例9 已知 cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求证：cos2α+cos2β+cos2 γ=0。 [证明] 令 z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ，则 z1+z2+z3=0。所以 又因为|zi|=1,i=1,2,3.
iθ n n-1 iθ
次方程，其必有 n 个根，设为 z1,z2,…,zn，从而 g(z)-c0e =(z-z1)(z-z2)?…?(z-zn)c0，令 iθ n z=0 得-c0e =(-1) z1z2…znc0，取模得|z1z2…zn|=1。所以 z1,z2,…，zn 中必有一个 zi 使得|zi| iθ iθ ≤1,从而 f(zi)=g(zi)+cn=c0e =cn，所以|f(zi)|=|c0e +cn|=|c0|+|cn|. 9.单位根的应用。 例 12 证明：自⊙O 上任意一点 p 到正多边形 A1A2…An 各个顶点的距离的平方和为定 值。 [证明] 取此圆为单位圆，O 为原点，射线 OAn 为实轴正半轴，建立复平面，顶点 A1 对应复数设为 ，则顶点 A2A3…An 对应复数分别为ε2，ε3，…，εn.设点 p 对应复数
r(cos θ +isin θ ) ， 则
，
7． 单位根： 若 w =1， 则称 w 为 1 的一个 n 次单位根， 简称单位根， 记 Z1= 则全部单位根可表示为 1, , .单位根的基本性质有（这里记
n
， ，
k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数 k，若 k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有 Znq+r=Zr；（2）对任
iθ iθ
质有： （1）
； （2）
； （3）
； （4）
；
（5）
；（6）
；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；
（8）|z1+z2| +|z1-z2| =2|z1| +2|z2| ；（9）若|z|=1，则
2
2
2
2
。
4．复数的运算法则： （1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致， 运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四 边形和三角形法则；（3）按三角形式，若 z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)，
2 2
[解]
若方程有实根， 则方程组
2
有实根， 由方程组得(λ+1)x+λ+1=0.
若λ=-1，则方程 x -x+1=0 中Δ<0 无实根，所以λ≠-1。所以 x=-1, λ=2.所以当λ≠2 时， 方程无实根。所以方程有两个虚根的充要条件为λ≠2。 3．三角形式的应用。
例4 设 n≤2000,n∈N，且存在θ满足(sinθ+icosθ) =sinnθ+icosnθ，那么这样 的 n 有多少个？ [解] 由题设得
50
5．复数乘法的几何意义。 例6 以定长线段 BC 为一边任作ΔABC，分别以 AB，AC 为腰，B，C 为直角顶点向外作 等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求证：MN 的中点为定点。 [证明] 设|BC|=2a，以 BC 中点 O 为原点，BC 为 x 轴，建立直角坐标系，确定复平面， 则 B，C 对应的复数为-a,a,点 A，M，N 对应的复数为 z1,z2,z3, 由复数乘法的几何意义得： ，① ， ，②
所以 zi?
=1，即 ①
由 z1+z2+z3=0 得
又 所以 所以 cos2α+cos2β+cos2γ+i(sin2α+sin2β+sin2γ)=0. 所以 cos2α+cos2β+cos2γ=0。 0 0 0 例 10 求和：S=cos20 +2cos40 +…+18cos18×20 . 0 0 18 0 0 0 [解] 令 w=cos20 +isin20 , 则 w =1 ， 令 P=sin20 +2sin40 + … +18sin18 × 20 , 则 2 18 2 3 18 19 S+iP=w+2w + … +18w . ① 由 ① × w 得 w(S+iP)=w +2w + … +17w +18w ， ② 由 ① - ② 得
n
，所以 n=4k+1.又因为 0≤n≤2000，所以 1≤k≤500，所以这样的 n 有 500 个。 4．二项式定理的应用。 例5 计算：（1）
100 2 50 50 50
；（2）
100
[ 解 ]
(1+i) =[(1+i) ] =(2i) =-2 , 由 二 项 式 定 理 (1+i) = = )i，比较实部和虚部，得 =0。 )+( =-2 ，
高中数学竞赛讲义（十五） ──复数
一、基础知识 2 1．复数的定义：设 i 为方程 x =-1 的根，i 称为虚数单位，由 i 与实数进行加、减、乘、 除等运算。便产生形如 a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。 通常用 C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数 z=a+bi（a,b∈R），a 称实部记作 Re(z),b 称虚部记 作 Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点 的坐标， 那么 z 与坐标平面唯一一个点相对应， 从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点 构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴 称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标， 复数 z 又对应唯一一个向量。 因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式， 称为向量形 式；另外设 z 对应复平面内的点 Z，见图 15-1，连接 OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则 a=rcos θ,b=rsinθ,所以 z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若 z=r(cosθ+isinθ)， 则θ称为 z 的辐角。 若 0≤θ<2π， 则θ称为 z 的辐角主值， 记作θ=Arg(z). r 称为 z 的模， 也记作|z|，由勾股定理知|z|= 复数的指数形式。 3．共轭与模，若 z=a+bi，（a,b∈R）,则 a-bi 称为 z 的共轭复数。模与共轭的性 .如果用 e 表示 cosθ+isinθ，则 z=re ，称为
，即
=π，即 A，B，C，D 共圆时
成立。不等式得证。 6．复数与轨迹。 例8 ΔABC 的顶点 A 表示的复数为 3i，底边 BC 在实轴上滑动，且|BC|=2，求ΔABC 的外心轨迹。 [解]设外心 M 对应的复数为 z=x+yi(x,y∈R)，B，C 点对应的复数分别是 b,b+2.因为外 心 M 是三边垂直平分线的交点，而 AB 的垂直平分线方程为|z-b|=|z-3i|，BC 的垂直平分线 的方程为|z-b|=|z-b-2|，所以点 M 对应的复数 z 满足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去 b 解得
面，则 p1=(1+u)A1-up0, p2=(1+u)A2-up1, p3=(1+u)A3-up2, 2 2 ① × u + ② × (-u) 得 p3=(1+u)(A3-uA2+u A1)+p0=w+p0,w 为 与 p0 无 关 的 常 数 。 同 理 得 2 2 p6=w+p3=2w+p0,…,p1986=662w+p0=p0，所以 w=0，从而 A3-uA2+u A1=0.由 u =u-1 得 A3-A1=（A2-A1） u，这说明ΔA1A2A3 为正三角形。 三、基础训练题 2 2 1．满足(2x +5x+2)+(y -y-2)i=0 的有序实数对(x,y)有__________组。
(1-w)(S+iP)=w+w2+…+w18-18w19=
，所以 S+iP=
，
所以 8．复数与多项式。 n n-1 例 11 已知 f(z)=c0z +c1z +…+cn-1z+cn 是 n 次复系数多项式(c0≠0). 求证：一定存在一个复数 z0,|z0|≤1，并且|f(z0)|≥|c0|+|cn|. [证明] 记 c0z +c1z +…+cn-1z=g(z),令 =Arg(cn)-Arg(z0)，则方程 g(Z)-c0e =0 为 n
z,则|z|=1,且=2n-
=2n-
命题得证。
10．复数与几何。 例 13 如图 15-2 所示，在四边形 ABCD 内存在一点 P，使得ΔPAB，ΔPCD 都是以 P 为 直角顶点的等腰直角三角形。求证：必存在另一点 Q，使得ΔQBC，ΔQDA 也都是以 Q 为直角 顶点的等腰直角三角形。 [证明] 以 P 为原点建立复平面，并用 A，B，C，D，P，Q 表示它们对应的复数，由题
二、方法与例题 1．模的应用。 2n 2n 例1 求证：当 n∈N+时，方程(z+1) +(z-1) =0 只有纯虚根。 2n 2n 2n 2n [证明] 若 z 是 方 程 的 根 ， 则 (z+1) =-(z-1) ， 所 以 |(z+1) |=|-(z-1) |, 即 |z+1| =|z-1| ,即(z+1)( +1)=(z-1)( -1)，化简得 z+ =0，又 z=0 不是方程的根，所以 z 是纯虚数。 2 例2 设 f(z)=z +az+b,a,b 为复数，对一切|z|=1，有|f(z)|=1，求 a,b 的值。 [解] 因为 4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b) =|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)| ≥|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4，其中等号成立。 所以 f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四个向量方向相同，且模相等。 所以 f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得 a=b=0. 2.复数相等。 2 例3 设λ∈R，若二次方程(1-i)x +(λ+i)x+1+λi=0 有两个虚根，求λ满足的充要 条件。