茆诗松《概率论与数理统计教程》(第3版)考研真题精选(多维随机变量及其分布)【圣才出品】
概率论与数理统计教程(茆诗松)
2004年7月第1版2008年4月第10次印刷第一章随机事件与概率1.1 随机事件及其运算1.1.1 随机现象在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验.1.1.2 样本空间随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为，其中表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元.1.1.3 随机事件随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件.1.1.4 随机变量用来表示随机现象结果的变量称为随机变量.1.1.7 事件域定义1.1.1 设为一样本空间，为的某些子集所组成的集合类.如果满足：(1)；(2)若，则对立事件；(3)若，则可列并.则称为一个事件域，又称为代数.在概率论中，又称为可测空间.1.2 概率的定义及其确定方法1.2.1 概率的公理化定义定义1.2.1设为一样本空间，为的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件，定义在上的一个实值函数满足：(1)非负性公理若，则；(2)正则性公理；(3)可列可加性公理若互不相容，有则称为事件的概率，称三元素为概率空间.第二章随机变量及其分布2.1 随机变量及其分布2.1.1 随机变量的概念定义2.1.1 定义在样本空间上的实值函数称为随机变量.2.1.2 随机变量的分布函数定义2.1.2 设是一个随机变量，对任意实数，称为随机变量的分布函数.且称服从，记为.2.1.4 连续随机变量的概率密度函数定义2.1.4 设随机变量的分布函数为，如果存在实数轴上的一个非负可积函数，使得对任意实数有则称为连续随机变量，称为的概率密度函数，简称为密度函数.密度函数的基本性质(1)非负性；(2)正则性.第三章多维随机变量及其分布3.1 多维随机变量及其联合分布3.1.1 多维随机变量定义3.1.1 如果定义在同一个样本空间上的个随机变量，则称为维(或元)随机变量或随机向量.3.1.2 联合分布函数定义3.1.2 对任意的个实数，则个事件同时发生的概率称为维随机变量的联合分布函数.3.4 多维随机变量的特征数3.4.5 随机向量的数学期望与协方差阵定义3.4.3 记维随机向量为，若其每个分量的数学期望都存在，则称为维随机向量的数学期望向量，简称为的数学期望，而称为该随机向量的方差—协方差阵，简称协方差阵，记为.例3.4.12(元正态分布) 设维随机变量的协方差阵为，数学期望向量为.又记，则由密度函数定义的分布称为元正态分布，记为.第四章大数定律与中心极限定理4.1 特征函数4.1.1 特征函数的定义定义4.1.1 设是一个随机变量，称为的特征函数.设是随机变量的密度函数，则4.2 大数定律4.2.1伯努利大数定律定理 4.2.1(伯努利大数定律) 设为重伯努利试验中事件发生的次数，为每次试验中出现的概率，则对任意的，有4.2.2 常用的几个大数定律4.3 随机变量序列的两种收敛性4.3.1 依概率收敛定义4.3.1(依概率收敛) 设为一随机变量序列，为一随机变量，如果对任意的，有则称依概率收敛于，记作.4.4 中心极限定理4.4.2 独立同分布下的中心极限定理定理 4.4.1(林德贝格—勒维中心极限定理) 设是独立同分布的随机变量序列，且.记则对任意实数有第五章统计量及其分布第六章参数估计第七章假设检验第八章方差分析与回归分析。
茆诗松《概率论与数理统计教程》笔记和课后习题(含考研真题)详解(参数估计)【圣才出品】
第6章 参数估计6.1 复习笔记一、点估计的概念与无偏性 1．点估计及无偏性（1）定义：设x 1，…，x n 是来自总体的一个样本，用于估计未知参数θ的统计量θ∧＝θ∧（x 1，…，x n ）称为θ的估计量，或称为θ的点估计，简称估计．（2）定义：设θ∧＝θ∧（x 1，…，x n ）是θ的一个估计，θ的参数空间为Θ，若对任意的θ∈Θ，有E θ（θ∧）＝θ，则称θ∧是θ的无偏估计，否则称为有偏估计．注意：①当样本量趋于无穷时，有E （s n 2）→σ2，称s n 2为σ2的渐近无偏估计，这表明当样本量较大时，s n 2可近似看作σ2的无偏估计．②若对s n 2作如下修正：则s 2是总体方差的无偏估计．这个量常被采用．③无偏性不具有不变性．即若θ∧是θ的无偏估计，一般而言，其函数g （θ∧）不是g （θ）的无偏估计，除非g （θ）是θ的线性函数．④并不是所有的参数都存在无偏估计，当参数存在无偏估计时，我们称该参数是可估的，否则称它是不可估的．22211()11nn i i ns s x x n n ===---∑2．有效性定义：设θ∧1，θ∧2是θ的两个无偏估计，如果对任意的θ∈Θ有Var （θ∧1）≤Var （θ∧2），且至少有一个θ∈Θ使得上述不等号严格成立，则称θ∧1比θ∧2有效．二、矩估计及相合性 1．替换原理和矩法估计 替换原理指：（1）用样本矩去替换总体矩，这里的矩可以是原点矩也可以是中心矩． （2）用样本矩的函数去替换相应的总体矩的函数．2．概率函数已知时未知参数的矩估计设总体具有已知的概率函数p （x ；θ1，…，θk ），（θ1，…，θk ）∈Θ是未知参数或参数向量，x 1，…，x n 是样本．假定总体的k 阶原点矩u k 存在，则对所有的j （0＜j ＜k ）u j 都存在，若假设θ1，…，θk 能够表示成u 1，…，u k 的函数θj ＝θj （u 1，…，u k ），则可给出θj 的矩估计：θ∧j ＝θj （a 1，…，a k ），j ＝1，…，k ，其中a 1，…，a k 是前k 阶样本原点矩进一步，如果我们要估计θ1，…，θk 的函数η＝g （θ1，…，θ∧k ），则可直接得到η的矩估计η∧＝g （θ∧1，…，θ∧k ）．注：当k ＝1时，我们通常可以由样本均值出发对未知参数进行估计；如果k ＝2，我们可以由一阶、二阶原点矩（或二阶中心矩）出发估计未知参数．11n jj ii a x n ==∑3．相合性定义：设θ∈Θ为未知参数，θ∧n ＝θ∧n （x 1，…，x n ）是θ的一个估计量，n 是样本容量，若对任何一个ε＞0，有则称θ∧n 为参数θ的相合估计． 判断相合性的两个有用定理：（1）设θ∧n ＝θ∧n （x 1，…，x n ）是θ的一个估计量，若则θ∧n 是θ的相合估计．（2）若θ∧n1，…，θ∧nk 分别是θ1，…，θk 的相合估计η＝g （θ1，…，θk ），是θ1，…，θk 的连续函数，则η∧＝g （θ∧n1，…，θ∧nk ）是η的相合估计．三、最大似然估计与EM 算法 1．最大似然估计定义：设总体的概率函数为P （x ；θ），θ∈Θ，其中θ是一个未知参数或几个未知参数组成的参数向量，Θ是参数空间，x 1，…，x n 是来自该总体的样本，将样本的联合概率函数看成θ的函数，用L （θ；x 1，…，x n ）表示，简记为L （θ），L （θ）＝L （θ；x 1，…，x n ）＝p （x 1；θ）p （x 2；θ）…p （x n ；θ）ˆlim ()0n n P θθε→∞-≥=ˆlim ()nn E θθ→∞=ˆlim ()0nn Var θ→∞=L （θ）称为样本的似然函数．如果某统计量θ∧＝θ∧（x 1，…，x n ）满足则称θ∧是θ的最大似然估计，简记为MLE ．注意：在做题时，习惯于由lnL （θ）出发寻找θ的最大似然估计，再求导，计算极值．但在有些场合用求导就没用，此时就需要从取值范围中的最大值和最小值来入手．2．EM 算法当分布中有多余参数或数据为截尾或缺失时，其MLE 的求取是比较困难的，这时候就可以采用EM 算法，其出发点是把求MLE 的算法分为两步：（1）求期望，以便把多余的部分去掉； （2）求极大值．3．渐近正态性最大似然估计有一个良好的性质：它通常具有渐近正态性．（1）定义：参数目的相合估计θ∧n 称为渐近正态，若存在趋于0的非负常数序列σn （θ），使得依分布收敛于标准正态分布．这时也称θ∧n 服从渐近正态分布N （θ，σn 2（θ）），记为θ∧n ～AN （θ，σn 2（θ）），σn 2（θ）称为θ∧n 的渐近方差．（2）定理：设总体x 有密度函数p （x ；θ），θ∈Θ，Θ为非退化区间，假定 ①对任意的x ，偏导数∂lnp/∂θ，对所有θ∈Θ都存在； ②∀θ∈Θ有|∂p/∂θ|＜F 1（x ），|∂2p/∂θ2|＜F 2（x ），|∂3lnp/∂θ3|＜F 3（x ）()()ˆmax L L θθθ∈Θ=()ˆn n θθσθ-其中函数F 1（x ），F 2（x ），F 3（x ）满足③∀θ∈Θ，若x 1，x 2，…，x n 是来自该总体的样本，则存在未知参数θ的最大似然估计θ∧n ＝θ∧n （x 1，x 2，…，x n ），且θ∧n 具有相合性和渐近正态性，该定理表明最大似然估计通常是渐近正态的，且其渐近方差σn 2（θ）＝（nI （θ））－1有一个统一的形式，其中，I （θ）称为费希尔信息量．四、最小方差无偏估计 1．均方误差（1）使用条件：小样本，有偏估计．（2）均方误差为：MSE （θ∧）＝E （θ∧－θ）2，常用来评价点估计． 将均方误差进行如下分解：MSE （θ∧）＝E[（θ∧－E θ∧）＋（E θ∧－θ）]2＝E （θ∧－E θ∧）2＋（E θ∧－θ）2＋2E[（θ∧－E θ∧）1()d F x x ∞-∞<∞⎰2()d F x x ∞-∞<∞⎰3sup ()(;)d F x p x x ∞-∞∈Θ<∞⎰θθ()()2ln 0;d p p x x ∞-∞∂⎛⎫<I =<∞ ⎪∂⎝⎭⎰θθθ1ˆ~(,)()nAN nI θθθ（E θ∧－θ）]＝Var （θ∧）＋（E θ∧－θ）2由分解式可以看出均方误差是由点估计的方差与偏差|E θ∧－θ|的平方两部分组成．如果θ∧是θ的无偏估计，则MSE （θ∧）＝Var （θ∧）．（3）一致最小均方误差设有样本x 1，…，x n ，对待估参数θ有一个估计类，如果对该估计类中另外任意一个θ的估计θ~，在参数空间Θ上都有MSE （θ∧）≤MSE （θ~），称θ∧（x 1，…，x n ）是该估计类中θ的一致最小均方误差估计．2．一致最小方差无偏估计定义：设θ∧是θ的一个无偏估计，如果对另外任意一个θ的无偏估计θ~．在参数率间Θ上都有Var （θ∧）≤Var （θ~），则称θ∧是θ的一致最小方差无偏估计，简记为UMVUE ．关于UMVUE ，有如下一个判断准则：设X ＝（x 1，…，x n ）是来自某总体的一个样本，θ∧＝θ∧（X ）是θ的一个无偏估计，Var （θ∧）＜∞，则θ∧是θ的UMVUE 的充要条件是：对任意一个满足E （φ（X ））＝0和Var （φ（X ））＜∞的φ（X ）都有Cov θ（θ∧，φ）＝0，∀θ∈Θ．这个定理表明UMVUE 的重要特征是：θ的最小方差无偏估计必与任一零的无偏估计不相关，反之亦然．3．充分性原则定理：总体概率函数是p （x ；θ），x 1，…，x n 是其样本，T ＝T （x 1，…，x n ）是θ的充分统计量，则对θ的任一无偏估计θ∧＝θ∧（x 1，…，x n ）；令ˆ()E T θθ=。
概率论与数理统计(茆诗松)第三章讲义
Y X x1 x2 M xi M
y1 p11 p21 L pi1 L
y2
L
yj p1 j L pij L
L L L L L
p12 L p22 L L L pi 2 L L L
p2 j L
联合概率分布的基本性质： （1）非负性 pij ≥ 0； （2）正则性 3.1.4
∑∑ p
i j
ij
= 1．
联合密度函数
0 x y 0
1 xy ； dy = 2 2
1
1 x 0 2 dy = y ； 2 x 2 11 11 x 当 0 ≤ x < 2 , y ≥ 1 时， F ( x, y ) = ∫ dx ∫ dy = ；当 x ≥ 2 , y ≥ 1 时， F ( x, y ) = ∫ dx ∫ dy = 1 ． 0 0 0 0 2 2 2
⎧1 ⎪ , 0 < x < 2, 0 < y < 1; 设 (X, Y ) 的联合密度函数为 p ( x, y ) = ⎨ 2 求 (X, Y ) 的联合分布函数 F (x, y)． ⎪ ⎩0, 其他. y 解：当 x < 0 或 y < 0 时，F (x, y) = 0；
例 当 0 ≤ x < 2 , 0 ≤ y < 1 时， F ( x, y ) = ∫ dx ∫
n! n2 p1n1 p2 L prnr ． n1!n2 !L nr !
定义 若 r 维随机变量 (X1, X2, …, Xr) 的全部可能取值是每一个 Xi 的取值 ni 可以是 0, 1, 2, …, n 中某个数， 且 n1 + n2 + … + nr = n，概率分布为
P{ X 1 = n1 , X 2 = n2 , L , X r = nr } =
茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解(参数估计)【圣才出品】
茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解第6章参数估计6.1复习笔记一、矩估计及相合性判断相合性的两个定理：（1）设ꞈθn ＝ꞈθn （x 1，…，x n ）是θ的一个估计量，若ˆlim ()nn E θθ→∞=，ˆlim Var()0n n θ→∞=，则ꞈθn 是θ的相合估计。
（2）若ꞈθn1，…，ꞈθnk 分别是θ1，…，θk 的相合估计，η＝g（θ1，…，θk ），是θ1，…，θk 的连续函数，则ꞈη＝g（ꞈθn1，…，ꞈθnk ）是η的相合估计。
二、最大似然估计（1）求样本似然函数；（2）求对数似然函数；（3）求导；（4）找到ꞈθ＝ꞈθ（x 1，…，x n ）满足()()ˆmax L L θθθ∈Θ=。
三、最小方差无偏估计1．均方误差（1）MSE（ꞈθ）＝E（ꞈθ－θ）2，如果ꞈθ是θ的无偏估计，则MSE（ꞈθ）＝Var（ꞈθ）。
（2）一致最小均方误差如果对该估计类中另外任意一个θ的估计~θ，在参数空间Θ上都有MSE （ꞈθ）≤MSE （~θ），称ꞈθ（x 1，…，x n ）是该估计类中θ的一致最小均方误差估计。
2．一致最小方差无偏估计UMVUE 判断准则：设X＝（x 1，…，x n ）是来自某总体的一个样本，ꞈθ＝ꞈθ（X）是θ的一个无偏估计，Var （ꞈθ）＜∞，则ꞈθ是θ的UMVUE 的充要条件是：对任意一个满足E（φ（X））＝0和Var（φ（X））＜∞的φ（X）都有Cov θ（ꞈθ，φ）＝0，∀θ∈Θ。
3．充分性原则定理：总体概率函数是p（x；θ），x 1，…，x n 是其样本，T＝T（x 1，…，x n ）是θ的充分统计量，则对θ的任一无偏估计ꞈθ＝ꞈθ（x 1，…，x n ）；令~θ＝E（ꞈθ|T），则ꞈθ也是θ的无偏估计，且Var（ꞈθ）≤Var（ꞈθ）。
4．Cramer-Rao 不等式（1）费希尔信息量I（θ）2()=ln (;)I E p x θθθ∂⎡⎤⎢⎥∂⎣⎦（2）定理（Cramer-Rao 不等式）设总体分布P（X；θ）满足费希尔信息里I（θ），x 1，x 2…，x n 是来自该总体的样本，T ＝T（x 1，x 2…，x n ）是g（θ）的任一个无偏估计，g′（θ）∂g（θ）/∂θ存在，且对Θ中一切θ，对1i 11()...(,,)(;)d d nn ni g T x x p x x x θθ∞∞-∞-∞==∏⎰⎰ 的微商可在积分号下进行，即1111111()...(,...,)((;))d d ...(,,)ln(;)(;)d d nn i ni nnn i i ni i g T x x p x x x T x x p x p x x x θθθθθθ∞∞-∞-∞=∞∞-∞-∞==∂'=∂∂⎡⎤=⎢⎥∂⎣⎦∏⎰⎰∏∏⎰⎰ 对离散总体，则将上述积分改为求和符号后，等式仍然成立。
茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解-第7~8章【圣才出品】
，xn；
)
0
2．分类数据的χ2 拟合优度检验
定理：在实际观测数与期望观测数相差不大的假定下，在 H0 成立时，对统计量
2
r i 1
(ni
npi0 )2 npi0
有 2
L 2 (r 1) 。
根据定理，采取显著性水平为α 的显著性检验：检验统计量为：
2
r i 1
(ni
npi0 )2 npi0
，拒绝域为W
{ 2
2 1
(r
1)} 。
五、正态性检验 1．W 检验 W 统计量
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W
n
(ai
i 1
a
)( x ( i )
x
)
2
n
n
(ai a )2 (x(i) x )2
i 1
i 1
拒绝域{W≤Wa}。
2．比率 p 的检验（见表 7-1-2）
表 7-1-2 比率 p 的检验
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四、似然比检验与分布拟合检验
1．似然比检验的思想
假设的似然比
sup p(x1，K ，xn； )
( x1，K
，xn
)
sup
p( x1，K
＋（n）}。
7.2 课后习题详解
习题 7.1
1．设 x1，…，xn 是来自 N（μ，1）的样本，考虑如下假设检验问题
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H0：μ＝2 vs H1：μ＝3
若检验由拒绝域为 W {x 2.6}确定。
茆诗松概率论与数理统计教程课件第三章 (3)
k
i 0
i 1
i!
e 1
2
i k 2
(k i )!
k
e 2
e
1
e k!
k! i k i 1 2 i 0 i! ( k i )!
e ( 1 2 ) k (1 2 ) k!
(1 2 )k ( 1 2 ) e k!
p( x, y )dxdy
| x y| z
dxdy
阴影部分面积
1 1 2 (1 z ) 2 2
2z z 2
所以Z=|X-Y|的密度函数为
pZ ( z ) FZ ' ( z ) 2(1 z ),
0 z 1
对某些常用的简单的函数g, 可利用“分布函数法” 导出pZ(z)和p(x,y)的关系式供我们直接使用.
解: 由题知
1 pX ( x ) e 2
x2 2
1 , pY ( y ) e 2
y2 2
,
x, y
所以由卷积公式有
1 pZ ( z ) pX ( x ) pY ( z x )dx e 2
x2 2
e
( z x )2 2
类似地, 我们可以求得n个独立变量的最大值和最小值的分 布函数.
例五. 设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2连接而成,
连接的方式分别为:(1)串联, (2)并联, (3)备用(当系统 L1损坏时, 系统L2开始工作), 如图所示. 设L1和L2的寿 命分别为X,Y, 其概率密度分别为
e x , x 0 pX ( x ) 0, 其 它
2
茆诗松《概率论与数理统计教程》笔记和课后习题(含考研真题)详解(随机变量及其分布)【圣才出品】
xk p xk 丌收敛，则称 X 癿数学期望丌存在．
k =1
（2）连续型随机变量
定义：设连续随机变量 x 癿密度凼数为 p（x）．如果
x p xdx
则称
E
X
xp
x
dx
为 X 癿数学期望，或称作该分布 p（x）癿数学期望，简称期望或均值．若
x p x dx 丌收敛，则称 X 癿数学期望丌存在．
2．数学期望癿性质 按照数学期望 E（X）癿定义，E（X）由其分布唯一确定．若要求随机变量 X 癿一个凼
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数 g（X）癿数学期望，当然要先求出 Y＝g（X）癿分布，再用此分布来求 E（Y）．
lim
xx0
F
x
F
x0
即 F（x0＋0）＝F（x0）
返三个基本性质为判别某个凼数是否能成为分布凼数癿充要条件．
当 F（x）在 a 不 b 处连续时，有 F（a－0）＝F（a），F（b－0）＝F（b）．
3．离散随机变量癿概率分布列
（1）定义：设 X 是一个离散随机变量，如果 X 癿所有可能叏值是 x1，x2，…，xn，…，
则称 X 叏 xi 癿概率 pi＝p（xi）＝P（X＝xi），i＝1，2，…n，…为 X 癿概率分布列或简称为
分布列，记为 X～{pi}．
分布列也可用下表来表示：
X
x1
x2
…
P P（x1） P（x2） …
茆诗松《概率论与数理统计教程》第3版笔记和课后习题含考研真题详解-第3章 多维随机变量及其分布【圣才
第 3 章 多维随机变量及其分布 3.1 复习笔记
一、多维随机变量联合分布的性质（见表 3-1-1） 表 3-1-1 联合分布的性质
二、边际分布与随机变量的独立性 1．边际分布（见表 3-1-2）
表 3-1-2 边际分布
j
5i
j
100
5
用表格形式表示如下表 3-2-1：
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表 3-2-1
行和就是 X 的分布 h（5，100，50）（超几何分布）。
列和就是 Y 的分布 h（5，100，30）（超几何分布）。
P（X≥2，Y≥1）＝0.66158。
i 1
X2，…，Xn 相互独立。
n
连续随机变量：若 p(x1, x2 ,L , xn ) pi (xi ) ，则 X1，X2，…，Xn 相互独立。 i 1
三、多维随机变量函数的分布 1．最大值与最小值的分布 （1）最大值分布：
FY ( y) P( maxX1,X 2,L ,X n y)
n
=P(X1 y, X 2 y,L , X n y)= Fi (y)
1Ex4p(4 )*4E4x4p(2)4*L4 *4Ex4p(43) =Ga(m,)
m个
（4）χ2 分布的可加性：m 个χ2 变量相互独立，则
2 (n1)* 2 (n2 )*L * 2 (nm )= 2(n1+n2 +L +nm)
四、多维随机变量的特征数（见表 3-1-3）
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（1）全概率公式：密度函数形式：
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0
0
1/9
Pj
4/9 4/9 1/9
1
所以，EX＝0×4/9＋1×4/9＋2×1/9＝2/3。同理 EY＝2/3，EX2＝8/9，EY2＝8/9，EXY
＝2/9。Cov（X，Y）＝EXY－EXEY＝－2/9。DX＝EX2－（EX）2＝4/9，DY＝EY2－（EY）
2＝4/9。所以
XY
Cov(X, Y) DX DY
1 x (0,1)
1 y (0,1)
fx (x) 0 其他 , fY ( y) 0 其他
1 x (0,1), y (0,1)
f (x, y) 0
其他
由图 1，得
P{X
2
Y
2
1}
dxdy
X 2 Y 2 1
4
。
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5
C． 3 X Y
3
D． 3 X Y
3
【答案】C
【解析】由二维正态的性质知 X＋Y～N（μ，σ2），因
μ＝E（X＋Y）＝E（X）＋E（Y）＝0
2 D X Y D X D Y 2cov X ,Y
1 4 2gXY g
DX g
D
Y
1
4
2g
1 2
g1g2
3
故 X Y 0 3 X Y ~ N 0,1 。
4．将长度为 1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（ ）。[数一 2012 研]
A．1
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B．1/2
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C．－1/2
D．－1
【答案】D
【解析】假设木棒两段长度分别为 x，y，有 x＋y＝1 即 y＝1－x，故 x，y 是线性关系，
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第 3 章 多维随机变量及其分布
一、选择题
1．设随机变量（X，Y）服从二维正态分布 N（0，0；1，4；－1/2），下列随机变量
中服从标准正态分布且与 X 独立的是（ ）[数三 2020 研]
A． 5 X Y
5
B． 5 X Y
与 X 独立。
3
3
故应选 C 项。
2．随机试验 E 有三种两两不相容的结果 A1，A2，A3，且三种结果发生的概率均为 1/3。 将试验 E 独立重复做 2 次，X 表示 2 次试验中结果 A1 发生的次数，Y 表示 2 次试验中结果 A2 发生的次数，则 X 与 Y 的相关系数为（ ）。[数一 2016 研]
A．－1/2 B．－1/3 C．1/3 D．1/2 【答案】A 【解析】由题可求出 X，Y 的联合分布概率如表 2 所示。
表2
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Y
X
0
1
2
Pi
0
1/9 2/9 1/9 4/9
1
2/9 2/9
0
4/9
2
1/9
图1
7．设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 EX 与 EY 存在。记 U＝max{X，Y}，V＝min{X， Y）则 E（UV）等于（ ）。[数一 2011 研]
A．EU·EV B．EX·EY C．EU·EY D．EX·EV 【答案】B 【解析】UV＝max{X，Y}min{X，Y}，而无论 X 与 Y 的关系如何，UV＝XY。从而 E（UV） ＝E（XY）＝EX·EY。
【答案】μ（σ2＋μ2） 【解析】由题设知，（X，Y）～N（μ，μ，σ2，σ2，0），从而 x，y 的相关系数为 0， 所以，由二元正态分布的性质知 X，Y 独立，所以 E（XY2）＝EXEY2＝μ[DY＋（EY）2]＝μ （σ2＋μ2）。
4e4 0
y
y0 其他
4ex4 y x 0，y 0
从而（X，Y）联合概率密度为 f (x, y) 0
其他
则
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P{X Y}
f (x, y)dxdy 4
dy
y e x4 ydx
0
0
X Y
4
且相关系数为－1。
5．设随机变量 X 与 Y 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布，则 P{X
＜Y}＝（ ）。[数一 2012 研]
A．1/5
B．1/3
C．2/5
D．4/5
【答案】A
【解析】已知 X～E（1），Y～E（4）。故概率密度
e x f (x)
0
x 0，f 其他
(
y)
以 P{XY－Y＜0}＝P{（X－1）Y＜0}＝P{X＜1}P{Y＞0}＋P{X＞1}P{Y＜0}＝（P{X＜1}＋P{X＞
1}）/2＝1/2
2．设二维随机变量（X，Y）服从正态分布 N（μ，μ；σ2，σ2；0），则 E（XY2）＝______。 [数一、数三 2011 研]
0
[e4
y
(ex
)
|0y
]dy
4
(e5 y
0
e4 y )dy
4 1 1 20 5
6．设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则 P{X2＋Y2≤1} ＝（ ）。[数三 2012 研]
A．1/4 B．1/2 C．π/8 D．π/4 【答案】D 【解析】由题意知 X～U（0，1），Y～U（0，1）且相互独立，则
3
3
3X Y
又
3
, X 服从二维正态分布，而
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cov
3
X
Y
,
X
ห้องสมุดไป่ตู้
3
3 3
cov
X
,
X
cov
X
,Y
3 3
D
X
XY
g
DX g
D
Y
3 3
1
1 2
g1g2
0
3 X Y
3 X Y
故
与 X 不相关，由二维正态的性质知，
二、填空题 1．设二维随机变量（X，Y）服从正态分布 N（1，0；1，1；0），则 P{XY－Y＜0}＝ ______。[数一、数三 2015 研] 【答案】1/2 【解析】因为 ρ＝0，所以 X，Y 独立且不相关，且 X～N（1，1），Y～N（0，1），所
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3．设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X～N（1，2），Y～N（1，4），则 D（XY）＝（ ）。 [数三 2016 研]
A．6 B．8 C．14 D．15 【答案】C 【解析】根据题意，X、Y 相互独立，则 D（XY）＝E（XY）2－（EXY）2＝EX2EY2－ （EXEY）2＝[DX＋（EX）2][DY＋（EY）2]－（EXEY）2＝14。