第三章 多维随机变量及其分布测试题三
第三章 多维随机变量及其分布
第三章 多维随机变量及其分布一、选择题1.X,Y 相互独立,且都服从]1,0[上的均匀分布,则服从均匀分布的是( A ).A.(X,Y)B.XYC.X+YD.X －Y 2.设X,Y 独立同分布,11{1}{1},{1}{1},22P X P Y P X P Y =-==-=====则（C ）.A.X =YB.0}{==Y X P C.21}{==Y X PD.1}{==Y XP3.设)(1x F 与)(2x F分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使)()(21x bF x aF -是某个随机变量的分布函数,则b a ,的值可取为( A ). A.52,53-==b a B.32,32==b a C.23,21=-=b aD.23,21-==b a4.设随机变量iX 的分布为12101~(1,2){0}1,111424i X i X X -⎛⎫ ⎪=== ⎪⎝⎭且P 则12{}P X X ==( A ).A.0B.41 C.21D.15.下列叙述中错误的是( D ).A.联合分布决定边缘分布B.边缘分布不能决定决定联合分布C.两个随机变量各自的联合分布不同,但边缘分布可能相同D.边缘分布之积即为联合分布6.设随机变量(X,Y) 的联合分布为: 则b a ,应满足( B ).A ．1=+b a B. 13a b += C.32=+b aD.23,21-==b a7．接上题，若X ，Y 相互独立，则（ A ）. A.91,92==b a B.92,91==b a C.31,31==b aD.31,32=-=b a8.同时掷两颗质体均匀的骰子,分别以X,Y 表示第1颗和第2颗骰子出现的点数,则( A ). A.1{,},,1,2,636P X i Y j i j ==== B.361}{==Y X PC.21}{=≠Y XP D.21}{=≤Y X P9.设(X,Y)的联合概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他，y x y x y x f 010,10,6),(2,则下面错误的是( C ). A.1}0{=≥XP B.{0}0P X ≤= C.X,Y 不独立D.随机点(X,Y)落在{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤内的概率为110.接上题,设G 为一平面区域,则下列结论中错误的是( B ). A.{(,)}(,)GP X Y G f x y dxdy ∈=⎰⎰B.2{(,)}6GP X Y G xydxdy ∈=⎰⎰C.120{}6x P XY dx x ydy≥=⎰⎰ D.⎰⎰≥=≥yx dxdyy x f Y XP ),()}{(11.设(X,Y)的联合概率密度为(,)0,(,)(,)0,h x y x y D f x y ≠∈⎧=⎨⎩其他,若{(,)|2}G x y y x =≥为一平面区域,则下列叙述错误的是( C ).1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3abX YA.{,)(,)GP X Y G f x y dxdy ∈=⎰⎰B.⎰⎰-=≤-Gdxdyy x f X YP ),(1}02{C.⎰⎰=≥-Gdxdy y x h X YP ),(}02{ D.⎰⎰=≥DG dxdy y x h X YP ),(}2{12.设(X,Y)服从平面区域G 上的均匀分布,若D 也是平面上某个区域,并以GS 与DS 分别表示区域G 和D 的面积,则下列叙述中错误的是( A ). A.{(,)}D GS P X Y D S ∈=B.0}),{(=∉G Y X PC.GD G S S D Y X P -=∉1}),{( D.{(,)}1P X Y G ∈=13.设系统π是由两个相互独立的子系统1π与2π连接而成的;连接方式分别为：（１）串联；（２）并联；（３）备用(当系统1π损坏时,系统2π开始工作，令21,X X分别表示21ππ和的寿命，令321,,X X X 分别表示三种连接方式下总系统的寿命,则错误的是( ). A.211X X Y += B.},m ax{212X X Y = C.213XX Y+= D.},m in{211X X Y=14.设二维随机变量(X,Y)在矩形}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布.记.2,12,0;,1,0⎩⎨⎧>≤=⎩⎨⎧>≤=Y X YX V Y X Y X U则==}{V U P ( D ). A.0 B.41C.21D.4315.设(X,Y)服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ,则以下错误的是( B ). A.),(~211σμN XB ),(~221σμN XC.若0=ρ,则X,Y 独立D.若随机变量),(~),,(~222211σμσμN T N S 则(,)S T 不一定服从二维正态分布16.若),(~),,(~222211σμσμN Y N X ,且X,Y 相互独立,则( C ).A.))(,(~22121σσμμ+++N Y X B.),(~222121σσμμ---N Y XC.)4,2(~2222121σσμμ+--N Y XD.)2,2(~2222121σσμμ+--N Y X17．设X ，Y 相互独立，且都服从标准正态分布(0,1) N ，令,22Y XZ +=则Z 服从的分布是（C ）.A ．N （0，2）分布 B.单位圆上的均匀分布 C.参数为1的瑞利分布 D.N (0,1)分布 18.设随机变量4321,,,X X X X独立同分布,{0}0.6,i P X =={1}0.4i P X ==(1,2,3,4)i =，记1234X X D X X =,则==}0{DP （B ）.A.0.1344B.0.7312C.0.8656D.0.3830 19.已知~(3,1)XN -，~(2,1)Y N ，且,X Y 相互独立,记27,Z X Y =-+~Z 则( A ).A.)5,0(NB.)12,0(NC.)54,0(ND.)2,1(-N 20.已知s i n (),0,,(,)~(,)40,C xy x y X Y f x y π⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其他则C 的值为( D ). A.21B.22 C.12- D.12+21.设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他,020,10,31),(~),(2y x xy x y x f Y X ,则}1{≥+Y X P =( A ) A.7265 B.727 C.721 D.727122.为使⎩⎨⎧≥=+-其他,00,,),()32(y x Ae y x f y x 为二维随机向量(X,Y)的联合密度,则A 必为( B ).A.0B.6C.10D.16 23.若两个随机变量X,Y 相互独立,则它们的连续函数)(X g 和)(Y h 所确定的随机变量( C ).A.不一定相互独立B.一定不独立C.也是相互独立D.绝大多数情况下相独立 24.在长为a 的线段上随机地选取两点,则被分成的三条短线能够组成三角形的概率为( A ).A.21B.31C.41D.5125.设X 服从0—1分布,6.0=p ,Y 服从2=λ的泊松分布,且X,Y 独立，则YX+( B ).A.服从泊松分布B.仍是离散型随机变量C.为二维随机向量D.取值为0的概率为0 26.设相互独立的随机变量X,Y 均服从]1,0[上的均匀分布,令,Y X Z +=则( B ).A.Z 也服从]1,0[上的均匀分布B.0}{==Y X PC.Z 服从]2,0[上的均匀分布D.)1,0(~N Z27.设X,Y 独立,且X 服从]2,0[上的均匀分布,Y 服从2=λ的指数分布,则=≤}{Y X P ( A ).A.)1(414--eB.414e- C.43414+-eD.2128.设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(~),(2y x xy y x f Y X ,则(X,Y)在以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点的三角形内取值的概率为( C ). A. 0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.8 29.随机变量X,Y 独立,且分别服从参数为1λ和2λ的指数分布,则=≥≥--},{1211λλY X P ( B ).A.1-eB.2-eC.11--eD.21--e30.设22[(5)8(5)(3)25(3)](,)~(,)x x y y X Y f x y A e-+++-+-=,则A 为( B ).A.3π B.π3C.π2 D.2π31.设某经理到达办公室的时间均匀分布在8点12点,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7点到9点.设二人到达的时间相互独立,则他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率为( A ). A.481 B.21 C.121 D.24132.设12,,,nX X X 相独立且都服从),(2σμN ,则( B ).A.12nXX X === B.2121()~(,)n X X X N nnσμ+++C.)34,32(~3221+++σμN XD.),0(~222121σσ--N X X33.设(,)0,(,)(,)~(,)0,g x y x y GX Y f x y ≠∈⎧=⎨⎩其它,D 为一平面区域,记G,D 的面积为,,D GS S,则{(,)}P x y D ∈=( C ).A.GD S S B.GG D S S C.⎰⎰Ddxdyy x f ),(D.⎰⎰Ddxdy y x g ),(二、填空题1．),(Y X 是二维连续型随机变量，用),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表示下列概率： （1）;____________________),(=<≤≤c Y b X a p F(b,c)-F(a,c)（2）;____________________),(=<<b Y a Xp F(a,b)（3）;____________________)0(=≤<a Y p F(+∞,a)-F(+∞,0)（4）.____________________),(=<≥b Y a Xp F(+∞,b)-F(a,b)2．随机变量),(Y X 的分布率如下表，则βα,应满足的条件是61=+βα.X Y1 231 1/6 1/9 1/1821/2α β 3．设平面区域D 由曲线xy 1=及直线2,1,0e x x y ===所围成，二维随机变量),(Y X 在区域D 上服从均匀分布，则),(Y X 的联合分布密度函数为 .4．设),,,,(~),(222121ρσσμμN Y X ，则Y X ,相互独立当且仅当=ρ0 . 5.设相互独立的随机变量X 、Y 具有同一分布律，且X 的分布律为P （X=0）=1/2，P （X=1）=1/2，则随机变量Z=max{X,Y}的分布律为 .6．设随机变量321,,X X X 相互独立且服从两点分布⎪⎪⎭⎫⎝⎛2.08.010，则∑==31i iX X 服从 二项 分布 X~b （3，0.2） .7.设X 和Y 是两个随机变量，且P{X ≥0，Y ≥0}=3/7，P{X ≥0}=P{Y ≥0}=4/7,则P{max （X ，Y ）≥0}= 5/7 . 8.设某班车起点站上车人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0<p<1),且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数，则在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率为mn m mnp p C --)1(；二为随机变量（X ，Y ）的概率分布为!)1(),(n ep p C m Y n XP nmn m m nλλ---===9.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数为1/5的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障时工作2小时便关机，则该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数 .10.设两个随机变量X 与Y 独立同分布，且P （X=-1）=P （Y=-1）=1/2，P （X=1）=P （Y=1）=1/2，则P （X=Y ）= 1/2 ；P （X+Y=0）= 1/2 ； P （XY=1）= 1/2 .。
概率论与数理统计第三章习题及答案
概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律.（X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }=351472222=C C C P {X=1, Y=1 }=35647221213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35647122213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353472223=C C C P {X=2, Y=1 }=351247121223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353472223=C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=C C C P {X=3, Y=1 }=352471233=C C C P {X=3, Y=2 }=0习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其它,0,42,20),6(),(y x y x k y x f（1） 确定常数k ； （2） 求{}3,1<<Y X P （3） 求{}5.1<X P ； （4） 求{}4≤+Y X P . 分析：利用P {(X , Y)∈G}=⎰⎰⎰⎰⋂=oD G Gdy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分，其中⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=42,20),(y x y x D o解：（1）∵⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞---==2012)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴81=k （2）83)6(81)3,1(321⎰⎰=--=<<dy y x dxY X P （3）3227)6(81),5.1()5.1(425.10=--=∞<≤=≤⎰⎰dy y x dx Y X P X P （4）32)6(81)4(4020=--=≤+⎰⎰-dy y x dxY X P x习题3-3 将一枚硬币掷3次，以X 表示前2次出现H 的次数，以Y 表示3次中出现H 的次数，求Y X ,的联合分布律以及),(Y X 的边缘分布律。
第3章多维随机变量及其分布试题答案
第3章多维随机变量及其分布试题答案、选择（每小题 2分）1、设二维随机变量的分布律为则 P{ X Y = 0} = ( C ) (A) 0.2(B)0.5(C) 0.6(D) 0.7”c, —1 c x c 1,-1 < y c 12、设二维随机变量(X ，Y)的概率密度为f(x, y)=」，则常数0, otherC =( A )1 1 (A)-(B) -(C) 2 (D)4423、设二维随机变量（X ,Y ）的分布律为设P jj = P{X =i,^ j}, i, j =0,1，则下列各式中错误的是（ D ） （A ） P 00 ：： P 01（B ） P 10 ：：：P 11 （C ） P 00 ：：P 11 （D ） P 10 ：：：P 014、设二维随机变量的分布律为则 P{X 二Y}=(A ) (A)0.3(B) 0.5(C) 0.7(D)0.8• V -Ae*e y , x > 0, y a 0 门宀*..5、设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为f(x,y)，则常数A = ,0, other(D )(B) 16、设二维随机变量（X,Y ）的分布律为则 P{XY =0} = (C )7、设二维随机变量）的分布律为为其联合分布函数，则 = （D ）3 310、设二维随机变量（X ，Y ）的分布函数为F （x, y ），则F （x, •：：）=（ B ） (D)2(A) (B)12(C) (D)11 (B) 12(C)1(D)4-X T e e f (x, y)= \ 0,X 0, y 0，则 P{ X 一 Y}= other（B ）1123(A)—(B)-(C)-(D)—4 23 4它们取-1，1两个值的概率分别 1 31，-，则 P{ XY —1}=4 4(A)1 16(B)花(C)(D)(A) 0(B) F X (x) (C) F Y (y) (D) 1 8、设二维随机变量（X ，丫）的概率密度为 9、设随机变量X 与Y 独立同分布,11、设随机变量 X 和Y 相互独立，且 X ~ N(3,4) , Y 〜N(2,9)，则Z = 3X Y ~ ( D ) (A)N(7,21)(B)N(7,27)(C)N(7,45)(D)N(11,45)12、设二维随机变量的联合分布函数为 ，其联合概率分布为则 F(0,1)=( B )则 k =( B )贝U P{XY =2} =( C )0^y 乞1时，(X,Y)关于Y的边缘概率密度为f Y (y)= ( D )(A)0.2(B)0.5(C) 0.713、设二维随机变量(X ,Y)的联合概率分布为(D) 0.8k(x y), 0 _ x _ 2,0 _ y _ 1 other(A)(B) (C) (D)(A)0.2(B) 0.3(C) 0.515、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为(D) 0.6f (x, y)= ；4xy,b,0乞x 乞1,0乞y乞1 other，则当(A)2； (B)2x(C)1 2y(D) 2y(B) 2「=1(C) > - 1J = 2 (D) .9 93 3 3 3-7、设二维随机变量的分布律为18、设二维随机变量（X,Y ）的分布律为20、设（X ，Y ）的概率分布如下表所示，当 X 与Y 相互独立时，p,q ）=（ C ）则有（B ） (A)(A)1 12(B)1 (C)3(D)(A) a = 0.2, b = 0.6 (B) a = 0.1, b = 0.9 (C)a = 0.4,b = 0.4(D) a = 0.6, b = 0.219、设二维随机变量（X,Y ）的概率密度为1f (x, y) = < 40,0 ：： x 2,0 ：y ：： 2 则 P{0：： X ::: 1,0 :： Y ::: 1} =( A )1(A)4(B)23(C)4(D) 1P{X 1X 2 =0} =1，贝y P{X 1 =X 2}= (A )24、设两个相互独立随机变量 X 和Y 分别服从正态分布 N （0,1）和N （1,1），则（B ） 1 1 (A)P{ X Y - 0}(B) P{ X Y -1} 22 1 1 (C) P{X -Y _0}(D) P{X - Y _1}=221 解：由Z = X Y ~ N(1,2)，其分布密度关于1对称，故P{X Y -1}=-。
第三章多维随机变量及其分布典型考题附答案
第三章多维随机变量及其分布1. （2016）设随机变量X 与Y 相互独立且均服从正态分布2(1,)N σ, 则概率{min(,)1}P X Y >=14. 2. （2016）设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为1,01,02(,),0,x y xf x y <<<<⎧=⎨⎩其他(1) 求边缘概率密度函数()X f x ; (2) 求条件概率密度函数|(|)Y X f y x ; (3) 求概率{1}P X Y +<. 解答: （1）2,01()(,)d .0,X x x f x f x y y +∞-∞<<⎧==⎨⎩⎰其他 …..............................4分（2）在01x <<时: |(,)(|)()Y X X f x y f y x f x =1,02.20,y xx ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 ........................4分（3）{1}P X Y +<213021d d .3y y y x -==⎰⎰ ...............................................................2分3. （2016）已知二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤上服从均匀分布, 令随机变量1, 0, X YU X Y ≤⎧=⎨>⎩,(1) 求(,)X Y 的联合概率密度函数; (2) 求U 的分布律;(3) 求随机变量Z U X =+的分布函数()F z .解答: （1）1,01,01(,).0,x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其他 ..............................................3分（2）1{1}{}P U P X Y ==≤=, 故1{0}P U ==, 因此U 的分布律为:分（3）(){}{}F z P Z z P U X z =≤=+≤{1}{|1}{0}{|0}P U P U X z U P U P U X z U ==+≤=+=+≤= 11{1}{}22P X z P X z =≤-+≤ 当0z <时: ()0F z =;当01z ≤<时: 01()0d 22z zF z x =+=⎰; 当12z ≤<时: 1011()d 222z zF z x -=+=⎰;当2z ≥时: ()1F z =.即 0,0(),0 2.21,2z z F z z z <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩ ........................3分4. （2015）在[0,1]中随机地取两个数X 和Y , 则概率1{max(,)}2P X Y ≤= 0.25 .5. （2015）设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为(,)f x y , ,X Y 的边缘概率密度函数分别为(),()X Y f x f y , 则在X x =的条件下, Y 的条件概率密度函数|(|)Y X f y x = D .(A) ()()X Y f x f y(B)()()X Y f x f y (C)(,)()Y f x y f y (D)(,)()X f x y f x 6. （2015）设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为1,01,(,)10,x y f x y x⎧<<<⎪=-⎨⎪⎩其他. (1) 求(,)X Y 的边缘概率密度函数()X f x 和()Y f y ; (2) 求概率{2}P Y X >. 解答： （1）()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰111,01,d ,01,10,0,x x y x x ⎧<<<<⎧⎪==-⎨⎨⎩⎪⎩⎰其它.其它. ...........................……4分 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰1ln(1),01,d ,01,10,0,y y y x y x ⎧--<<<<⎧⎪==-⎨⎨⎩⎪⎩⎰其它.其它. ......................……4分 （2）{2}(,)d d DP Y X f x y x y >=⎰⎰112021d d 1xx y x=-⎰⎰1ln 2=-. 或： 1201d d 1y y x x=-⎰⎰1ln 2=- .......................................……2分 7. （2015）设二维随机变量(,)X Y 服从矩形域{}(,)02,01D x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布, 记0,,1,.X Y U X Y ≤⎧=⎨>⎩ 0,2,1,2.X Y V X Y ≤⎧=⎨>⎩(1) 将(,)U V 的联合分布律的表格填全;(2) 判断U 与V 是否独立? (3) 设Z U V =+, 求Z 的分布律. 解答：（1）1{0,0}{,2}{}4P U V P X Y X Y P X Y ===≤≤=≤=； 1{1,0}{,2}{2}4P U V P X Y X Y P Y X Y ===>≤=<≤=；{0,1}{,2}0P U V P X Y X Y ===≤>=，故 1{1,1}2P U V ===， 则(,)U V 的联合分布律为：….................…..6分 （2）U , V 的边缘分布律为：1{0}4P U ==, 3{1}4P U ==, 1{0}2P V ==, 1{1}2P V ==,因为{0,0}{0}{0}P U V P U P V ==≠=⋅=, 所以U 与V 不独立. ..........……...1分 （3）Z8. （2014）设二维随机变量(,)X Y 服从区域{(,)01,02}G x y x y =≤≤≤≤上的均匀分布, 则{2}P X Y X <<= 0.25 . (C) ()a μσ-Φ (D) 1()a μσ--Φ9. （2014）设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量, 它们的概率密度函数分别是1()f x 和2()f x , 分布函数分别是1()F x 和2()F x , 则 D . (A) 12()()f x f x +必为某一随机变量的概率密度函数 (B) 12()()f x f x 必为某一随机变量的概率密度函数 (C) 12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数 (D) 12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数10. （2014）设随机变量X 与Y 相互独立且服从同一分布, X 的分布律为{}13P X i ==,(1,2,3)i =, 记min(,)U X Y =, 则{2}P U =的值为 B .(A)19(B)13(C)59(D)8911. （2014）设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为0e ,(,)0,y x y f x y -<<⎧=⎨⎩，其他. （1）求(,)X Y 的边缘概率密度函数()X f x ;（2）在X x =的条件下, 求Y 的条件概率密度函数()Y X f y x ; （3）求概率{1}P X Y +<. 解答：（1）+-()(,)d X f x f x y y ∞∞=⎰e d ,0,0,0.y x y x x +∞-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩⎰ e ,0,0,0.x x x -⎧>=⎨≤⎩ ……………………4分（2）当0x >时：e ,0,(,)()()0,x y Y X X x y f x y f y x f x -⎧<<==⎨⎩其它. ……………………3分 （3）{}11112211(,)d d d e d 1e 2e xy xx y P X Y f x y x y x y ----+<+<===+-⎰⎰⎰⎰. …………3分。
第三章-多维随机变量及其分布测试题答案
第三章 多维随机变量及其分布答案 一、填空题（每空3分）1．设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为22213,0,0(1)(1)(1)(,)0,A x y x y x y F x y ⎧+-≥≥⎪++++=⎨⎪⎩其他,则A=_____1____． 2．若二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)则随机点落在矩形区域[x 1《<x<x 2,y 1<y<y 2]内的概率为___ ____ _(,)(,)(,)(,)22211112F x y F x y F x y F x y -+-．3．(X,Y)的联合分布率由下表给出，则α，β应满足的条件是13αβ+=;当=α 29 ，=β 19 时X 与Y 相互独立．4．设二维随机变量的密度函数2,01,02(,)30,xyx x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他,则(1)P X Y +≥=__6572____. 5．设随机变量X,Y 同分布，X 的密度函数为23,02(,)80,x x f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，设A=（X>b ）与B =（Y>b ）相互独立，且3()4P A B ⋃=,则6．在区间(0,1)内随机取两个数，则事件“两数之积大于14”的概率为__ 31ln 444- .7． 设X 和Y 为两个随机变量，且34(0,0),(0)(0)77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=,则(max{,}0)P X Y ≥=_57. 8．随机变量(,)(0,0,1,1,0)X Y N ,则D(3X-2Y)= _ 13 .9．设()25,()36,0.4XY D X D Y ρ===,则()D X Y += 85 ，()D X Y -= 37 .10．设随机变量2(3),()()0,()4,()16,Z aX Y E X E Y D X D Y =+====0.5XY ρ=-,则min ()E Z = 108 . 二、单项选择题（每题4分）1．下列函数可以作为二维分布函数的是（ B ）.A .⎩⎨⎧>+=.,0,8.0,1),(其他y x y x FB .⎪⎩⎪⎨⎧>>⎰⎰=--.,0,0,0,),(00其他y x dsdt ey x F y x t s C . ⎰⎰=∞-∞---y x ts dsdt ey x F ),( D .⎪⎩⎪⎨⎧>>=--.,0,0,0,),(其他y x ey x F y x2．设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,x y y e ===围成，二维随机变量在区域D 上服从均匀分布，则(X,Y)关于Y 的边缘密度函数在y=2处的值为（C ）．A ．12B ．13C ．14D ．12-3．若(X,Y)服从二维均匀分布，则（ B ）．A ．随机变量X,Y 都服从一维均匀分布B ．随机变量X,Y 不一定服从一维均匀分布C ．随机变量X,Y 一定都服从一维均匀分布D ．随机变量X+Y 服从一维均匀分布 4．若D(X+Y)=D(X)+D(Y),则（ A ）．A ．X 与Y 不相关B ．(,)()()X Y F x y F x F y =⋅C ．X 与Y 相互独立D ．1XY ρ=-5．在[0,]π上均匀地任取两数X 和Y ，则{cos()0}P X Y +<=（ D ）．A ．1B ．12C ． 23D ．34三、计算题（第一题20分，第二题24分）1．已知2(),(),(1,2,3),a bP X k P Y k k X Y k k ===-==与相互独立.(1)确定a,b 的值； (2)求(X,Y)的联合分布列； (3)求X-Y 的概率分布.解：(1)由正则性()1kP X k ==∑有，612311a a a a ++=⇒= ()1kP Y k =-=∑有，3614949b b b b ++=⇒=(2)(X,Y)的联合分布律为(3) X-Y 的概率分布为2. 设随机变量(X,Y)的密度函数为(34),0,0(,)0,x y ke x y p x y -+⎧>>=⎨⎩其他(1)确定常数k ； (2)求(X,Y)的分布函数；(3)求(01,02)P X Y <≤<≤.解：（1）∵0(34)01x y ke dx dy ∞∞-+⎰=⎰∴400011433()()43||112y y x x e dx k e e dy k k e ∞-∞∞∞---=--⎰⋅==⎰∴k=12（2）143(34)(,)1212(1)(1)1200y x y xu v F x y e dudv ee ---+==⋅--⎰⎰ 43(1)(1)0,0yxeex y --=-->>∴34(1)(1),0,00,(,)x y ee x y F x y ⎧--⎪-->>⎨⎪⎩=其他（3）(01,02)(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)P X Y F F F F <≤<≤=+--38(1)(1)ee --=--3．设随机变量X,Y 相互独立，且各自的密度函数为121,0()20,0x X e x p x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，131,0()30,0x Y e y p y y ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，求Z=X+Y 的密度函数 解：Z=X+Y 的密度函数()()()Z XY p z px p z x dx ∞-∞=-⎰∵()X p x 在x ≥0时有非零值，()Y p z x -在z-x ≥0即x ≤z 时有非零值 ∴()()X Y p x p z x -在0≤x ≤z 时有非零值336362000111()[]|236z zz x z x z x xzZ p z e e dx e e dx e e -------=⋅==-⎰⎰36(1)z z e e --=--当z<0时，()0Z p z =所以Z=X+Y 的密度函数为36(1),0()0,0z z Z e e z p z z --⎧⎪--≥=⎨⎪<⎩4．设随机变量X,Y 的联合密度函数为3412,0,0(,)0,x y e x y p x y --⎧>>=⎨⎩其他，分别求下列概率密度函数.(1) {,}M Max X Y =; (2) {,}N Min X Y =.解：（1）因为3430()(,)123x y x X p x p x y dy e dy e ∞∞----∞===⎰⎰3440()(,)124x y y Y p y p x y dx e dy e ∞∞----∞===⎰⎰所以(,)()()X Y p x y p x p y =即X 与Y 独立. 所以当z<0时，()0M F z =当z ≥0时，()()(,)()()M F z P M z P X z Y z P X z P Y z =≤=≤≤=≤≤34()()(1)(1)z z X Y F z F z e e --==--所以34430,0()3(1)4(1),0M z z z z z p z e e e e z ----<⎧=⎨-+-≥⎩3470,0347,0z z zz e e e z ---<⎧=⎨+-≥⎩ (2) 当z<0时，()0N F z =当z ≥0时，()()(,)1()()N F z P N z P X z Y z P X z P Y z =>=>>=->>7z e -=所以70,0()7,0M z z p z e z -<⎧=⎨≥⎩3470,0347,0zz zz e e e z ---<⎧=⎨+-≥⎩5．设随机变量X,Y 相互独立,其密度函数分别为2,01()0,X x x p x ≤≤⎧=⎨⎩其他，(5),5()0,y Y e y p y --⎧>=⎨⎩其他，求XY ρ.解：因为X,Y 相互独立，则Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0 所以0XY ρ=6．设随机变量(X,Y)的联合密度函数分别为3,01,0(,)0,x x y xp x y <<<<⎧=⎨⎩其他，求X和Y 的边际密度函数.解：20()(,)33,01xX p x p x y dy xdy x x ∞-∞===<<⎰⎰1223()(,)3(1),012Y yp y p x y dx xdx y x y ∞-∞===-<<⎰⎰ 四、证明题.1．已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数分布列如下表，试验证X 与Y 不相关，但X 与Y 不独立.证明：因为E(X)=-1×0.375+0×0.25+1×0.375=0 E(Y)=-1×0.375+0×0.25+1×0.375=0E(XY)=-1×0.25+0×0. 5+1×0.25=0所以E(XY)= E(X) E(Y) 即X 与Y 不相关.又因为P(X=1,Y=1)=0.125，P(X=1)=0.375，P(Y=1)=0.375 P(X=1,Y=1)≠P(X=1) P(Y=1) 所以X 与Y 不独立.2．设随机变量(X,Y)满足()()0,()()1,(,)E X E Y D X D Y Cov X Y ρ=====,证明22(max{,})1E X Y ≤证明：因为()()0,()()1,(,)E X E Y D X D Y Cov X Y ρ===== 所以2222()()()1,()()()1E X D X E X E Y D Y E Y =+==+= ()(,)()()E XY Cov X Y E X E Y ρ=+=2222221max(,)[||]2X Y X Y X Y =++-因所以2222222211(max(,))[()()(||)1(||)22E X Y E X E Y E X Y E X Y =++-=+-由柯西施瓦兹不等式有222()()()E XY E X E Y ≤所以22221(max(,))1(||)12E X Y E X Y =+-≤+又因为22222(||)(2)()()2()22E X Y E X Y XY E X E Y E XY ρ+=++=++=+ 22222(||)(2)()()2()22E X Y E X Y XY E X E Y E XY ρ-=+-=+-=-所以22(max(,))11E X Y =≤=+ 3．设二维随机变量),Y X （的联合概率密度为：1(1),1,1(,)40,xy x y p x y ⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他证明X 与Y 不独立，而2X 与2Y 相互独立．证明：因为1111()(,)(1),1142X p x p x y dy xy dy x ∞-∞-==+=-<<⎰⎰ 1111()(,)(1),1142Y p y p x y dx xy dx y ∞-∞-==+=-<<⎰⎰ 所以(,)()()X Y p x y p x p y ≠ 即X 与Y 不独立． 设22,U X V Y ==则22(,)(,)(F u v P X u Y v P X Y =≤≤=≤≤≤≤所以当0,0(,)0u v F u v <<=时，；当111111,1(,)(1)14u v F u v xy dxdy --≥≥=+=⎰⎰时，；当1111,01(,)(1)u v F u v xy dxdy -><<=+=⎰时，；当11101,1(,)(1)4u v F u v xy dxdy <<>=+=⎰时，当01,01(,)(1)u v F u v xy dxdy ≤<≤<=+=时，；所以1,0101,1(,)01,011,1,10,0,0u v u v F u v u v u v u v ⎧><<⎪<<>⎪=≤<≤<≥≥⎪⎪<<⎩所以0,(,)1,01p u v u v ⎧⎪=≤<≤<其他所以10()1U p u v ==≤<10()1V p v du u ==≤<故()()(,)U V p u p v p u v =所以U 与V 独立，即2X 与2Y 相互独立．。
考研数学三(多维随机变量及其分布)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学三（多维随机变量及其分布）模拟试卷3(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．关于随机事件{X≤a，Y≤b}与{X>a，Y>b}，下列结论正确的是( )A．为对立事件．B．为互不相容事件．C．为相互独立事件．D．P{X≤a，Y≤b}>P{X＞a，Y＞b}．正确答案：B解析：如图3—1所示，选项(A)、(D)都是不一定成立的．如果{X≤a，Y≤b}与{X＞a，Y＞b}相互独立，则应P{(X≤a，Y≤b)(X＞a，Y＞b)}=0，不一定与P{X≤a，Y≤b}P{X＞a，Y＞b}相等，故(C)不正确．综上，应选(B)．知识模块：多维随机变量及其分布2．设随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，则(Y，X)的分布函数G(x，y)为( )A．F(x，y)．B．F(y，x)．C．F(－x，－y)．D．F(－y，－x)．正确答案：B解析：G(x，y)=P{Y≤x，X≤y}：P{X≤y，Y≤x}=F(y，x)．故应选(B)．知识模块：多维随机变量及其分布3．设二维随机变量(X，Y)的分布函数为则常数A和B的值依次为( ) A．B．C．D．正确答案：C解析：F(x，y)能够作为分布函数，则需满足0≤F(x，y)≤1，F(+∞，+∞)=1，F(－∞，－∞)=F(x，－∞)=F(－∞，y)=0，关于x，y单调不减且右连续，故满足此条件的只有(C)．知识模块：多维随机变量及其分布4．设随机变量X和Y相互独立，且有相同的分布函数F(x)，Z=X+Y，FZ(z)为Z的分布函数，则下列成立的是( )A．FZ(2z)=2F(z)．B．FZ(2z)=[F(z)]2C．FZ(2z)≤[F(z)]2D．FZ(2z)≥[F(z)]2正确答案：D解析：如图3—2所示，FZ(2z)=P{Z≤2z}－P{X+Y≤2z}，X+Y≤2z对应区域为A，由于X和Y相互独立，且有相同的分布函数F(x)，从而[F(z)]2=F(z)F(z)=P{X≤z}P{Y≤z}=P{X≤z，Y≤z}，X≤z，Y≤z对应区域B，显然故FZ(2z)≥[F(z)]2，因此选(D)．知识模块：多维随机变量及其分布5．设X1和X2是两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度分别为f1(x)和fZ(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则下列说法正确的是( )，A．f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度．B．f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度．C．F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数．D．F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数．正确答案：D解析：由已知条件，有选项(A)不正确；例如令故选项(B)不正确；F1(+∞)+F2(+∞)=2，故选项(C)不正确，因此选(D)．知识模块：多维随机变量及其分布6．已知随机变量X和Y相互独立，其概率分布为随机变量Y的概率分布为则下列式子正确的是( )A．X=YB．P{X=Y}=0．C．D．P{X=Y}=1．正确答案：C解析：知识模块：多维随机变量及其分布解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
3第三章 多维随机变量及其分布
第三章 多维随机变量及其分布一、填空题1、因为二元函数⎩⎨⎧=1),(y x F≥+<+y x y x 不满足 ，所以),(y x F 不是某一个二维随机变量的联合分布函数。
2、设二维随机变量的联合分布律为则===)2|1(X Y P 。
3、设X 和Y 是独立的随机变量，其分布密度函数为⎩⎨⎧=01)(x f X其他10<≤x ，⎩⎨⎧=-0)(yY e y f0≤>y y则),(Y X 的联合分布密度函数为 。
4、设二维随机变量的联合分布律为若X 和Y 独立，则a= ,b= 。
5、设)1,2(~),3,0(~),2,1(~321N X N X N X ，且三个随机变量相互独立，则=≤-+≤)6320(321X X X P。
6、若随机变量),4(~),,2(~p b Y p b X ，且95)1(=≥X P ，则=≥)1(Y P 。
7、设),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧=+-0),()(y x ce y x f其他,0≥≥y x 则=c 。
8、设),(Y X 区域D 上服从均匀分布，其中D 是由x 轴，y 轴及直线12+=x y 所围成的区域，则=<-<)21,81(Y XP 。
9、设X 和Y 是两个随机变量，且73)0,0(=≥≥Y X P ，74)0()0(=≥=≥Y P X P ， 则{}=≥0),max(Y X P 。
10、设相互独立的X 和Y 具有同一分布律，且21)1()0(====X P XP ，则随机变量 {}Y X Z ,max =的分布律为。
11、设相互独立的X 和Y 具有同一分布律，且21)1()0(====X P XP ，则随机变量 {}Y X Z ,min =的分布律为。
12、设平面区域D 由曲线xy 1=及直线2,1,0e x x y ===，),(Y X 区域D 上服从均匀分布，则),(Y X 关于X 的边缘密度在2=x 处的值为 。
第三章多维随机变量及其分布测试题三(精)
第三章多维随机变量及其散布测试题三一、填空题（此题满分15 分，共有 5 道小题，每道小题 3 分）请将适合的答案填在每题的空中1．设( X ,Y)是互相独立的随机变量，其散布函数分别为F X ( x), F Y ( y) ，则Z max( X , Y)－1 的散布函数 F Z ( z) ＝．2．设随机变量X i(i 1,2) 均听从以下散布：P( X i 1) P( X i 1) 1, P( X i 0)1, i 1,2 4 2且知足 P(X1X 2 0) 1，则 P(X1 X2)= ．3．设( X ,Y)互相独立，下表为( X ,Y) 的散布律及边沿散布律的部分数值，又知P(X Y 2) 1 ，4试将其他值填入表中：YX 0 1 2 p j0 1121p i 1 144．设X , Y均听从正态散布N ( 0, 2) ，且 P(X 2,Y 2) 1 ，则 P( X 2,Y 2) ．45．设X ,Y是互相独立的随机变量，其散布函数分别为F X ( x), F Y ( y) ，则 Z min( X , Y)－1 的散布函数 F Z ( z) ＝．二、选择题（此题共 5 小题，每题 3 分，满分15 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．设X和Y独立，都听从同一0-1 散布：P X 1 P Y 1 13，则P X Y =（）．(A) 0；(B) 5；(C) 7 ；(D) 1．9 92．设随机变量X和Y有同样的概率散布：1 0 1，而且知足 P{ XY 0} 1，则P{ X Y} 0.25 0.5 0.25等于（）．(A) 0；(B) 0.25 ；(C) 0.50 ；(D) 1．13．设独立X 和 Y 之和 X Y 与 X 和 Y 听从同名概率散布，假如X 和 Y 都听从（）．(A) 平均散布；(B) 二项散布；(C) 指数散布；(D) 泊松散布．4．设随机变量X 和 Y 都听从正态散布，则（）．(A)X Y 必定听从正态散布；(B)X 和 Y 不有关与独立等价；(C)(X ,Y ) 必定听从正态散布；(D)(X , Y ) 未必听从正态散布．5．设随机变量X， Y 互相独立，且X～N(3,2)，Y ～N( 1, 2 ) ，则以下式子中正确的（）．（A）P(X Y 2) 1（B）P(X Y 2)1 ；；2 2（C）P(X Y 2) 1（D）P(X Y 2)1 ；．2 2三．解答题（此题共10 小题，第 1 至 5 小题每题 6 分，第 6 至 10 小题每题 8 分，满分70 分．）1．一个袋中有 4 个球，分别标有数字1、2、2、3，从袋中随机拿出 2 个球，令X、Y分别表示第一个球和第二个球上的号码，求：（ X ， Y ）的结合散布列(袋中各球被取时机同样)．2．设二维随机变量（X , Y ）的结合密度函数为：e ( x y ) 0 x ,0 yf ( x, y)其他求（ 1）散布函数 F ( x, y) ；（ 2）（ X ,Y ）落在由x轴、y轴和直线 x y 1 所围成的地区内的概率．3．设二维随机变量的概率散布为：YX-1 1 2-1 5/20 2/20 6/202 3/20 3/20 1/20求：（ 1）X Y 概率散布；（2） X Y 概率散布．4．在 10 件产品中有两件一级品、7 件二级品和 1 件次品，从中不放回的抽取三件，用X、Y 分别表示抽到的一级品和二级品的件数，求：（1） ( X,Y) 的结合散布；（2） X ,Y 的边沿散布；（3）判断 X ,Y 是否互相独立；（ 4）有关系数XY ．5．设随机变量X 和 Y 的结合散布以点(0,1),(1,0),(1,1) 为极点的三角形地区上听从平均散布,试求随机变量 U X Y 的数学希望．26．设某班车起点站上客人数X 听从参数为0 的泊松散布，每位乘客在半途下车的概率为p( 0 p 1) ，且半途下车与否互相独立，以Y 表示在半途下车的人数，求：（1）在发车时有n 个乘客的条件下，半途有m 人下车的概率；（2）二维随机变量X ,Y 的概率散布．7．设随机变量X ,Y, Z互相独立，均听从区间[0， 1]上的平均散布，求P(X YZ )．8．设二维随机变量X ,Y 的概率密度为：f ( x, y) sin y, 0 x1,0 y 0,2其他试求： Z X的概率密度．Y9．已知二维随机变量X , Y 的概率密度为：f ( x, y) Ae ax2 bxy cy2 , x, y问在什么条件下，X ,Y 互相独立．10．雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点( X ,Y) 在屏幕上听从平均散布，求：（ 1）X , Y互相独立吗？为何？（2）P(Y 0 | Y X ) ；（ 3）P(max( X , Y) 0)；（4）(X 2 )．P Y3。
3多维随机变量及其分布测试题
14．假设随机变量 EMBED Equation.3 在区间 EMBED Equation.3BED Equation.3
试求 EMBED Equation.3 和 EMBED Equation.3 的联合概率密度．
EMBED Equation.3 （1，1） （1，2） （1，3） （2，1） （2，2） （2，3） 概率 1/6 1/9 1/18 1/3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ３．设随机变量 EMBED Equation.3 相互独立，且分布函数均为 EMBED Equation.3 ，则 EMBED Equation.3 的分布函数为 EMBED Equation.3 .
12．随机变量 EMBED Equation.3 的概率密度为 EMBED Equation.3 ，（1）确定常数k；（2）求 EMBED Equation.3 的分布函数；（3）求 EMBED Equation.3 ；（4）求 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ；（5） EMBED Equation.3 与 EMBED Equation.3 是否相互独立？
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证明 EMBED Equation.3 与 EMBED Equation.3 不独立，而 EMBED Equation.3 与 EMBED Equation.3 相互独立．
概率论与数理统计
概率统计测试题 安徽工业大学应用数学系
13．区域 EMBED Equation.3 是由直线y=x，y=3，x=1所围成的三角形区域，二维随机变量 EMBED Equation.3 在 EMBED Equation.3 上服从二维均匀分布．求：（1） EMBED Equation.3 的联合概率密度；（2） EMBED Equation.3 ；（3） EMBED Equation.3 的边缘概率密度．
概率论与数理统计自测题3
概率论与数理统计⾃测题3习题三多维随机变量及其分布⼀、填空题1.设随机变量（X,Y ）的联合分布函数为2()(arctan ),0,(,)0,xA eBC y x y F x y +?>?∞<<+∞?=?其它,则A= ,B= ,C= .2.已知随机变量(X,Y)的联合分布律为则，a+b= ;当a = ,b= 时，随机变量X 与Y 相互独⽴。
3.设（X,Y ）的联合分布律为则（X,Y ）关于X 的边缘分布为，关于Y 的边缘分布为 .4*.设⼆维随机变量(X,Y)的联合密度函数为,02,02(,)0Ax By x y f x y +<<<，其它，已知X 服从均匀分布，则A= ,B= .1,0,0(,)0x y x y e e e x y F x y +>>=?，其它 5. 设⼆维随机变量(X,Y)的联合分布函数为则(X,Y)关于X 的边缘分布函数为，关于Y 的边缘分布函数为，随机变量X 与Y 是相互。
23,1,0(,)0yA e x y f x y x ??>>?=，其它6*.设⼆维随机变量(X,Y)的联合密度函数为，则A = ,边缘密度f X (x )= , f Y (y )= , 随机变量X 与Y 是相互。
7．设相互独⽴的两随机变量X,Y 具有同⼀分布律，且X 的分布律为P(X=0)=P(X=1)=0.5,则随机变量Z=max{X,Y}的分布律为。
⼆、选择题1．设随机变量X 与Y 相互独⽴，其概率分布为 X -1 1 Y -1 1 P{X=m}0.5 0.5P{Y=m}0.5 0.5则下列式⼦正确的是【】（A ）X=Y; (B) P{X=Y}=0; (C) P{X=Y}=0.5; (D)P{X=Y}=1 2.设随机变量12101(1,2),{0}111424iX i P X X1===～且满⾜则P{X 1=X 2}等于【】（A）0; (B)14; (C) 12; (D) 1 3．设X 1和X 2是任意两个相互独⽴的连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为f 1(x )和f 2(x )，分布函数分别为F 1(x )和F 2(x )，则【】 (A) f 1(x )+f 2(x )必为某⼀随机变量的概率密度； (B) F 1(x )F 2(x ) 必为某⼀随机变量的分布函数； (C) F 1(x )+F 2(x ) 必为某⼀随机变量的分布函数； (D) f 1(x )f 2(x )必为某⼀随机变量的概率密度函数；4.已知⼆维随机变量(ξ , η)的联合分布函数 F(x,y )=P{ξ≤x,η≤y }则事件{ ξ>1,η>0}的概率是【】。
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第三章 多维随机变量及其分布测试题三
一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中
1．设是相互独立的随机变量，其分布函数分别为，则的分布函数＝．
2．设随机变量均服从如下分布：
且满足，则= ．
3．设相互独立，下表为的分布律及边缘分布律的部分数值，又知，试将其余值填入表中：
Y
X 0 1 2
1
1
4．设均服从正态分布，且，则．
5．设是相互独立的随机变量，其分布函数分别为，则的分布函数＝．
二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1．设和独立，都服从同一0-1分布：，则=（ ）．
(A) 0； (B) ； (C) ； (D) 1．
2．设随机变量和有相同的概率分布：，并且满足，则等于（ ）． (A) 0； (B) 0.25； (C) 0.50； (D) 1．
3．设独立和之和与和服从同名概率分布，如果和都服从（ ）． (A) 均匀分布； (B) 二项分布；
(C) 指数分布； (D) 泊松分布．
4．设随机变量和都服从正态分布，则（ ）．
(A) 一定服从正态分布；
(B) 和不相关与独立等价；
(C) 一定服从正态分布；
(D) 未必服从正态分布．
5．设随机变量，Y相互独立，且X～，Y ～，则下列式子中正确的（ ）．
（A）； （B）；
（C）； （D）．
三．解答题（本题共10小题，第1至5小题每小题6分，第6至10小题每小题8分，满分70分．）
1．一个袋中有4个球，分别标有数字1、2、2、3，从袋中随机取出2个球，令、分别表示第一个球和第二个球上的号码，求：（，）的联合分布列(袋中各球被取机会相同)．
2．设二维随机变量（）的联合密度函数为：
求（1）分布函数；（2）（）落在由轴、轴和直线所围成的区域内的概率．
3．设二维随机变量的概率分布为：
-112
-15/202/206/20
23/203/201/20
求：（1）概率分布；（2）概率分布．
4．在10件产品中有两件一级品、7件二级品和1件次品，从中不放回的抽取三件，用分别表示抽到的一级品和二级品的件数，求：（1）的联合分布；（2）的边缘分布；（3）判断是否相互独立；（4）相关系数．
5．设随机变量和的联合分布以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求随机变量的数学期望．
6．设某班车起点站上客人数服从参数为的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为，且中途下车与否相互独立，以表示在中途下车的人数，求：
（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；
（2）二维随机变量的概率分布．
7．设随机变量相互独立，均服从区间[0，1]上的均匀分布，求．8．设二维随机变量的概率密度为：
试求：的概率密度．
9．已知二维随机变量的概率密度为：
问在什么条件下，相互独立．
10．雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点在屏幕上服从均匀分布，求：
（1）相互独立吗？为什么？（2）；
（3）；（4）．。