费马大定理
费马大定理
费马大定理费马大定理，也称費馬最後定理乃下述定理：当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程x n + y n = z n.的整数解都是平凡解，即当n是偶数时：(0,±m,±m)或(±m,0,±m)当n是奇数时：(0,m,m)或(m,0,m)或(m,-m,0)這個定理，本來又称费马猜想，由17世纪法国数学家费马提出。
費馬宣稱他已找到一個絕妙證明。
但經過三个半世紀的努力，這個世紀数论难题才由普林斯頓大學英國數學家安德魯·懷爾斯和他的學生理查·泰勒於1995年成功證明。
證明利用了很多新的數學，包括代數幾何中的橢圓曲線和模形式，以及伽羅華理論和Hecke代數等，令人懷疑費馬是否真的找到了正確證明。
而安德魯·懷爾斯(Andrew Wiles)由于成功證明此定理，獲得了2005年度邵逸夫獎的數學獎。
歷史1637 年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。
关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。
”（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）畢竟費馬沒有寫下证明，而他的其它猜想對數學貢獻良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。
数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。
對很多不同的n，費馬定理早被證明了。
但數學家對一般情況在首二百年內仍一籌莫展。
1908 年，德国佛尔夫斯克宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世後一百年內，第一个证明该定理的人，吸引了不少人嘗試並遞交他們的「證明」。
费马大定理：数学史上的谜之猜想
费马大定理，又被称为费马猜想或费马最后定理，是数学史上的一道备受关注的谜题。
这个猜想得名于17世纪的法国数学家皮埃尔·费马。
尽管费马本人无论是在他留下的笔记中，还是在他与数学家们的通信中都只是提出了这个猜想并没有给出具体的证明，但其因其非凡的魅力而一直吸引着数学家们几个世纪以来。
费马大定理的陈述是这样的：对于任意大于2的自然数n，方程x^n +y^n = z^n没有整数解。
值得注意的是，当n=2时，这个方程有无数个整数解，被称为勾股数。
但费马大定理要求的是当n大于2时，这个方程没有整数解。
整个数学界对费马大定理进行了难以计数的尝试，数学家们出尽了各种方法和思路，试图找到一个证明。
但直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯以及他所采用的新的数学工具，才让费马大定理的证明终于问世。
怀尔斯的证明涉及一种数学分支称为“模形式”。
这种理论最早由德国数学家戴德金在19世纪开创，但怀尔斯基于广义模形式的进一步发展，成功地将其运用在费马大定理的证明中。
怀尔斯的证明非常复杂且晦涩难懂。
他的方法涉及到了代数几何和数论等多个数学分支的知识，需要大量高度抽象的数学技巧。
尽管如此，他的证明还是被众多数学家认可，并且已经被广泛证实。
费马大定理的证明不仅仅是一个单纯的数学成就，更象征着人类的智慧和数学的力量。
它揭示了数学世界中一个最基本的普遍真理，对于数学的发展和应用具有极其重要的意义。
除了怀尔斯的证明，费马大定理还有其他相对简单但是对大多数人更容易理解的证明。
其中一种方法是靠近没有严格性的范围，采用概率统计的方法来推导出费马大定理的证明。
费马大定理虽然令无数数学家斩获一代又一代，但对于大多数人来说，这个问题本身可能并没有实际应用，没有直接的经济效益。
但这个问题本身所需要的思维方式和数学技巧，对人类的思维乃至整个数学科学的发展具有重要的推动作用。
总之，费马大定理作为数学史上的一个谜题，激发了数学家们几个世纪以来的好奇心和求知欲望。
费马大定理
费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由法国数学家费马提出。
它断言当整数n >2时，关于x, y, z的方程x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为：假如p是质数，且Gcd(a,p)=1，那么a(p-1)≡1（mod p）。
即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。
这样就证明了费马小定理。
[1]在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和。
因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。
欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。
今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。
把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。
1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。
命Px（1，2）为适合下列条件的素数p的个数：x-p=p1或x-p=p2p3其中p1,p2,p3都是素数。
[这是不好懂的；读不懂时可以跳过这几行。
]用X表一充分大的偶数。
p≤x,p+h=p1或h+p=p2p3对于任意给定的偶数h及充分大的X，用Xh（1，2）表示满足下面条件的素数p的个数：其中p1,p2,p3都是素数。
高中数学知识点精讲精析 费马大定理
1 费马大定理费马大定理：（1）当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程x^n + y^n = z^n.（(x , y) = (x , z) = (y , z) = 1［n是一个奇素数］x>0,y>0,z>0,且xyz≠0）无整数解。
这个定理，本来又称费马最后定理，由17世纪法国数学家费马提出，而当时人们称之为“定理”，并不是真的相信费马已经证明了它。
虽然费马宣称他已找到一个绝妙证明，但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒于1995年成功证明。
证明利用了很多新的数学，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，令人怀疑费马是否真的找到了正确证明。
而安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005年度邵逸夫奖的数学奖。
（2）证明方法五十年代日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲线的猜想，后来由另一位数学家志村五郎加以发扬光大，当时没有人认为这个猜想与费马定理有任何关联。
在八十年代德国数学家佛列将谷山丰的猜想与费马定理联系在一起，而安德鲁·怀尔斯所做的正是根据这个关联论证出一种形式的谷山丰猜想是正确的，进而推出费马最后定理也是正确的。
这个结论由威利斯在1993年的6月21日於美国剑桥大学牛顿数学研究所的研讨会正式发表，这个报告马上震惊整个数学界，就是数学门墙外的社会大众也寄以无限的关注。
不过怀尔斯的证明马上被检验出有少许的瑕疵，于是怀尔斯与他的学生又花了十四个月的时间再加以修正。
1994年9月19日他们终於交出完整无瑕的解答，数学界的梦魇终於结束。
1997年6月，怀尔斯在德国哥庭根大学领取了佛尔夫斯克尔奖。
当年的十万马克约为两百万美金，不过怀尔斯领到时，只值五万美金左右，但安德鲁·怀尔斯已经名列青史，永垂不朽了。
费马大定理—数学史上著名的定理
— 数学史上著名的定理
中文名： 外文名： 费马大定理 Fermat’ s Last Theorem
别 称： 表达式：
费马最后的定理 x n y n z n (n 2时， 无正整数解)
提出者： 皮耶 • 德 • 费马(法国) 提出时间： 1637年左右 证明者： 安德鲁 • 怀尔斯(英国) 证明时间： 1995年彻底证明
历史研究
莫德尔猜想
1922年，英国数学家莫德尔提出一个著名猜想，人们叫 做莫德尔猜想。按其最初形式，这个猜想是说，任一不可约、 有理系数的二元多项式，当它的 “亏格” 大于或等于 2 时，最 多只有有限个解。记这个多项式为f ( x ， y )，猜想便表示：最 多存在有限对数偶 xi ， yi Q ，使得 f ( xi ， yi ) 0。后来，人们 把猜想扩充到定义在任意数域上的多项式，并且随着抽象 代数几何的出现，又重新用代数曲线来叙述这个猜想了。 ( n 1)( n 2) n n 而费马多项式 x y 1没有奇点，其亏格为 。 2 当 n ≥ 4 时，费马多项式满足猜想的条件。因此，如 果莫德尔猜想成立，那么费马大定理中的方程 x n y n z n 本质上最多有有限多个整数解。
历史研究
接力证明
1844年，库默尔提出了 “理想数” 概念，他证明了：对于 所有小于100的素指数 n ，费马大定理成立，此一研究告一阶 段。但对一般情况，在猜想提出的头两百年内数学家们仍对 费马大定理一筹莫展。 1847年，巴黎科学院上演戏剧性一幕，当时著名数学家 拉梅和柯西先后宣布自己基本证明费马大定理，拉梅还声称 证明引用了刘维尔复数系中的唯一因子分解定理，刘维尔 则说这一定理源自欧拉和高斯的思想。大数学家都被扯 入其中，似乎结论十分可靠。就在此时刘维尔宣读了 德国数学家库默尔的来信，明确指出证明中的复数 系的唯一因子分解定理并不普遍成立，于是拉梅 和柯西的证明都是错的。
费马大定理
费马大定理（Fermat's last theorem）现代表述为：当n＞2时，方程xn＋yn＝zn没有正整数解。
费马大定理的提出涉及到两位相隔1400年的数学家，一位是古希腊的丢番图，一位是法国的费马。
丢番图活动于公元250年左右，他以著作《算术》闻名于世，不定方程研究是他的主要成就之一。
他求解了他这样表述的不定方程（《算术》第2卷第8题）：将一个已知的平方数分为两个平方数。
（1）现在人们常把这一表述视为求出不定方程x2＋y2＝z2 （2）的正整数解。
因而，现在一般地，对于整系数的不定方程，如果只要求整数解，就把这类方程称为丢番图方程。
有时把不定方程称为丢番图方程。
关于二次不定方程（1）的求解问题解决后，一个自然的想法是问未知数指数增大时会怎么样。
费马提出了这一数学问题。
费马生前很少发表作品，一些数学成果常写在他给朋友的信中，有的见解就写在所读的书页的空白处。
他去世后，才由后人收集整理出版。
1637年前后，费马在读巴歇校订注释的丢番图的《算术》第2卷第8题，即前引表述（1）时，在书的空白处写道：“另一方面，将一个立方数分成两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。
关于此，我已发现一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。
” （3）费马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这一段话，却没有找到证明，这更引起了数学界的兴趣。
后来，表述（3）被理解为：当整数n＞2时，方程xn＋yn＝zn （4）没有正整数解。
欧拉、勒让德、高斯等大数学家都试证过这一命题，但都没有证明出来，问题表述的简单和证明的困难，吸引了更多的人投入证明工作。
这一命题就被称为费马猜想，又叫做费马问题，但更多地被叫做“费马最后定理”，在我国，则一般称之为费马大定理。
“费马最后定理”的来历可能是：费马一生提出过许多数论命题，后来经过数学界的不懈努力，到1840年前后，除了一个被反驳以外，大多数都被证明，只剩下这个费马猜想没有被证明，因此称之为“最后定理”。
关于费马大定理
关于费马大定理费马在数论方面的有几个猜想，除了他关于素数的猜想，费马大定理是费马的所有猜想中最困难、最有影响的一个，从1637年提出直到1994年有怀尔斯（A.Wiles ）解决，整整经历了357年，费马大定理的证明是20世纪诸多重大数学成就之一。
1. 什么是费马大定理？费马大定理又称费马最后一个定理（Fermat ’ Last Theorem ），简记成FLT ，据说是由于到19世纪初期，除了这个定理以外，费马的所有其他猜想均以被解决而得名。
1637年费马在阅读古希腊数学家丢番图著的《算术》的拉丁文译本中第二卷第八个命题：“把一个平方数写成两个平方数之和”时，在书的填白处写道：“相反，不能把一个立方数写成两个立方数之和，也不能把一个四次方表成两个四次方之和，一般地，每个幂次大于2的方幂数均不能表成两个同样方幂次之和，我对此已经找到了一个真正奇妙的证明，但空白的地方太小写不下。
”这就是数学史上著名的费马大定理，用现代术语可表述如下：对每个正整数3≥n ，方程n n n z y x =+均没有正整数解),,(z y x 使得0≠xyz 。
对于2=n 的情况，早在三千多年前，即公元前1100年，我国西周的商高就提出了“勾3股4弦5”的结论，在几何上讲，这是勾股定理的特例，从代数角度看，就是方程222z y x =+有一组整数解)5,4,3(。
费马大定理一提出就立即引起了数学界的兴趣，特别是数学家们都在寻找他说的“奇妙证明”。
多数数学家对此说持怀疑态度。
至少可以说，方程n n n z y x =+对于费马并不是典型的，他所研究的绝大多数方程的指数均小于等于4。
此外，他在与朋友的通信中只叙述了3=n 的情形。
对4=n 时，他采用无穷下降（推）的技巧给出了证明。
虽然后人一直未找到他的证明细节，但对此却确信无疑，因为这可由费马的另一个定理推出。
这个定理是：“三边为整数的直角三角形的面积不能为平方数”。
而后者的证明，费马写在空白处。
费马最后的定理：费马大定理
费马最后的定理费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由17世纪法国数学家皮耶·德·费玛提出。
它断言当整数n >2时，关于x, y, z的方程x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
德国佛尔夫斯克曾宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。
被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明。
大约1637年左右，法国学者费马在阅读丢番图（Diophatus）《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。
关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。
”（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。
数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。
证明完成定理到了最后攻关阶段，并且这刚好是他的研究领域，他开始放弃所有其它活动，精心疏理有关领域的基本理论，为此准备了一年半时间把椭圆曲线与模形式通过伽罗瓦表示方法“排队”。
接下来的要将二种“排队”序列对应配对，这一步他二年无进展。
此时他读博时学的岩泽理论一度取得实效，到1991年他之前的导师科茨告诉他有位叫弗莱切的学生用苏联数学家科利瓦金的方法研究椭圆曲线，这一方法使其工作有重大进展。
1993年6月在剑桥牛顿学院要举行一个名为“L函数和算术”的学术会议，组织者之一正是怀尔斯的博士导师科茨，于是在1993年6月21日到23日怀尔斯被特许在该学术会上以“模形式、椭圆曲线与伽罗瓦表示”为题，分三次作了演讲。
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椭圆曲线
y 2 = x3+ax2+bx+c
y2 = x3 - x
y 2 = x 3 - 3x + 3
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伽罗瓦（1811—1832）
他演算的核心部分则是称为“群论”的思想，他将
这种思想发展成一种能攻克以前无法解决的问题的有力
工具。
伽罗瓦生命中最后一夜的工作，成为一个半世纪后 安德鲁·怀尔斯证明谷山-志村猜想的基础。
丢番图古希腊数学家 （约公元246—330年） 丢番图是代数学的创 始人之一。
《算术》——丢番图
不可能将一个立方数写成两个立 方数之和；或者将一个四次幂与 成两个四次幂之和；或者，一般 地，不可能将一个高于 2次的幂写在卷II丢番图问题8： 成两个同样次幂的和。 "给定一个平方数,将其写
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沃尔夫斯凯尔 (1856 德国企业家
- 1908)
遗嘱
哥廷根皇家科学协会专门发表卡片
最后的英雄
“弄清楚圆周率是无理数这件 事可能是根本没有实际用处的， 但是如果我们能够弄清楚，那 么肯定就不能容忍自己不去设
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这证明过程中, 发明了一种全新的概念——理想数, 并引出一个更一般的概念——理想, 以及整个新的数学分支——理想论。
库默尔（1810—1893） 德国数学家
他精确的证明：用当时的数学工具， 人类根本无法证明费马大定理。
曲径通幽
数学不是沿着清理干 净的公路谨慎行进的，而 是进入一个陌生荒原的旅 行，在那里探险者往往会 失去方向。 ——安格林
对于该命题，我确信已发现一种 奇妙的证明，可惜这里的空白太 小，写不下。
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n n n a +b =c
(n > 2)无整数解
费马大定理
——一个人类历史上最著名的数学难题 贯穿了从古希腊到二十世纪的数学史。
漫漫的长夜
证明是一个偶像，数学家
家在这个偶像前折磨自己。
——爱丁顿
证明了n=4的情况
那是一个蒙昧无知的时代，那是一个群
星璀璨的时代。上帝将这般绝美的定理洒
落人间，等着一群智力卓越、自命不凡的
信徒慧眼识珠。自此孜孜不倦，舍生忘我
地追寻和探索，历经千百年，毕其生于一 役。费马大定理——一个人类历史上最著名 的数学难题，困惑了世间智者358年，贯穿 了从古希腊到二十世纪的数学史。
勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
——数学家蒂奇马什
它看上去如此简单，但 历史上所有的大数学家 都未能解决它。这里正 摆着一个我——一个10 岁的孩子——能理解的 问题，从那个时刻起， 我知道我永远不会放弃 它。我必须解决它。
安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles），英国著名数学家，曾为 普林斯顿大学教授，现为牛津大学教授
不过他研究的领域却是椭圆曲线，与费马大定理没有太大关联。
谷山-志村猜想
谷山丰
(1927 - 1958)
志村五郎（生于1926）
谷山—志村猜想： 每一条椭圆曲线，都可以对应一个模形式
椭 圆 曲 线
1
A
2
3 4 ……
B
C D ……
模 形 式
两片数学孤岛上桥梁
谷山—志村猜想与费马大定理
谷山—志村猜想 椭圆曲线 （弗赖曲线）
如果“谷山—志村猜想”正确， 那么“费马猜想”就必定成立！
高斯（1777－1855）德国数 学家，被称为“数学王子”
10岁的时候，快速算出1+2+……+100. 19岁的时候，发现了正十七边形的尺规作图法.
国籍：法国
职业：公务员（大法官）
爱好：做数学题 外号：业余数学之王
费马(1601～1665）
在卷II丢番图问题8： "给定一个平方数,将其写 成其他两个平方数之和"
索菲·热尔曼（1776—1831年） 是法国最有名的女数学家
赢得了“数学花木兰”之称
柯西（1789—1857）
拉梅 (1795—1870)
1939年3月22日，两人同时向巴黎科学院提出自己的证明。
5月24日，德国数学家库默尔发表了一封信，指出 拉梅和柯西的方法是行不通的。
1847年,他证明了对于小于100的 除了37,59和67这三个所谓非正则 素数以外,费马大定理成立.
直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦.
在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理 的特例.
《算经十书》是指汉、唐一千多年间的十部著名的数学著作，他们曾经是隋唐 时代国子监算学科的教科书。十部书的名称是：《周髀算经》、《九章算术》、 《海岛算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《五经算术》、《缉古算 经》、《缀术》、《五曹算经》、《孙子算经》。《算经十书》标志着中国古 代数学的高峰。
an+bn=cn(n > 2)有整数解
连其他星球上最出色的数 学家——远超于你们，也 没能解开这个迷！”
古希腊（Greece）是西方文明的主要源头之一
泰勒斯
毕达哥拉斯
苏格拉底
柏拉图
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丢番图 欧几里德 亚里士多德 阿基米德
毕达哥拉斯定理
（约公元前580年—约前500年）
毕达哥拉斯
毕达哥拉斯学派信条：万物皆数
导致了数学史上的第一次数学危机
如何丈量土地面积，测算山高谷深，计算产量多少，
算粮价，制定历法……（解决实际问题的）
“为了不使资料漫无边际，我忽略了几种文化，例如中国的、
日本的和玛雅的文化，因为他们的工作对于数学思想的主流没有
重大的影响。” ——《古今数学思想》序言（莫里斯·克莱因）
从毕达哥拉 斯到费马
魔王说：“你听我说，就
a4 + b4 = c4 无整数解
费马
欧拉公式——真正的宇宙第一公式
欧拉（1707～1783）， 瑞士数学家.
证明了n=3的情况
勒让德 (1752 - 1833)法国人
1823 年，证明了 n = 5
狄利克雷 (1805 - 1859)德国人 1828 年，独立证明了 n = 5
1832 年，解决了 n = 14 的情况
1955 年，证明了 n ≤ 4002 成立
1985 年，证明了 n ≤ 4100万 成立
热尔曼对于费马大定理有过专门研究
热尔曼定理：当p和2p+1皆为素数时
ap + bp = cp
无整数解
她认为，要解决费马大定理还得 有一个概括性的方法论。从中将 所有的情况实现证明，而不是在 无尽的数字中苦苦摸索。