高考数学平面向量与解析几何
高考复习资料：平面向量与解析几何
第１８讲 平面向量与解析几何在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。
用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。
著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。
这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。
一、知识整合平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。
向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。
而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。
二、例题解析例1、（2000年全国高考题）椭圆14922=+y x 的焦点为F ,1F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1P F 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是___。
解：F 1（－5,0）F 2（5,0）,设P （3cos θ,2sin θ）21PF F ∠ 为钝角∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-（ =9cos 2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0解得：55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是（553,553-） 点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。
本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。
例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点，求22PA PB +的最大值和最小值。
新高考高中数学顺序 -回复
新高考高中数学顺序 -回复
新高考高中数学的学习顺序可以按照以下顺序进行：
1. 函数与方程：包括函数的基本概念、初等函数、反函数、方程的解法等内容；
2. 三角函数与解三角形：包括三角函数的概念、性质、图像与解析式、解三角形等内容；
3. 平面向量与解析几何：包括平面向量的定义、运算、数量积、向量的共线与垂直、解析几何中直线、圆等内容；
4. 数列与数列极限：包括数列的定义、等差数列、等比数列、递推数列、数列极限等内容；
5. 导数与微分：包括导数的定义、基本导数、高次导数、导数的应用、微分的定义与性质等内容；
6. 不定积分与定积分：包括不定积分的概念、基本积分、换元积分法、分部积分法、定积分的概念、定积分的计算等内容；
7. 几何证明与解析几何证明：包括几何证明的基本方法、几何图形的性质证明、平面解析几何证明等内容；
8. 概率与统计：包括随机事件、概率的计算、排列与组合、统计的概念、数据分析等内容；
9. 三角函数与数列的扩展：包括三角函数的进一步扩展、数列的进一步深入等内容；
10. 空间几何与立体几何：包括空间几何中的点、直线、平面
的位置关系、立体几何中的球、锥、柱等内容。
以上是一种参考顺序，根据学校和教材的不同，顺序可能会有所调整。
建议根据自己的实际情况，灵活应用，并根据教材进行学习。
向量在平面几何、解析几何中的应用
摘要：向量在平面几何与解析几何中多有应用，在历年来的高考试卷中也涉及部分向量知识。
向量知识不但让难题迎刃而解，还可让学生形成通用性规则，利用平面向量视角研究几何问题将取得良好成果与进展。
关键词：平面向量平面几何解析几何高中数学一、引言使用向量方法解题存在对应解题步骤，各步骤间联系紧密，存在逻辑顺序，在审题后需仔细核对题目题干，寻求问题突破口，在将几何问题转化为代数问题后，可实现题目的高精度运算，达到预期目的。
因此类题型具有复杂特点，在学生做题量得到提升后，学生对解答此类题目将拥有独到的个人见解，不但让图形对应特征得以描述，也让问题解决难度有所降低，下面将对相关题型与具体解题思路进行说明论证，在同学们阅读对应题干时，需带着对问题的解决思路求解。
二、向量教学存在的问题向量是高中数学的一大重点内容，在历年的高考试卷中有所涉及，也常与其他学科一同考试，为此提升向量教学效率，让学生灵活掌握向量知识，在拥有基本阅读审题能力的同时，提前了解向量习题的解题策略，不但有效保证做题效率，还让学生在复习前即可拥有一定知识储备，但现阶段教学存在的问题也较明显。
1.课内教学内容与高考试题具有脱轨性。
学生在学习人教版数学教材时，会学到复杂、零碎的知识，教师讲解新知识点时，也会向学生传授以往讲授过的知识点，用温故而知新的教学方法试图让学生快速进入学习状态，并建立对应向量学习思维。
高考试卷题量有限，不但要做到对高中阶段全部知识的灵活考查，还要做到面面俱到、照顾各个学习层次学生，并具有区分性，向量本身具有一定基础性，学生在初中阶段即接触过向量知识，在培养学生独立完成习题能力的同时，即使学生完全掌握教材教学内容，也不一定做对高考对应的向量试题，在与平面几何和立体几何综合出题考查的同时，学生对知识的综合运用能力也将决定做题准确率与效率。
面临新高考的改革，数学教师还需明确自身育人使命，适当给学生传授高考习题解题技巧，改变以往题海战术的陈旧教学模式，让学生热爱学习数学学科知识，并善于发现生活中的数学元素。
平面向量与解析几何
平面向量与解析几何平面向量是解析几何中的重要概念，它们在研究平面几何问题时具有广泛而深入的应用。
本文将介绍平面向量的定义、运算规则以及与解析几何的关系。
一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的有向线段，用符号表示。
设向量A的起点为点P，终点为点Q，记作A=→PQ。
平面向量还可以用坐标表示。
设A的坐标为(x1, y1)，起点在原点O，则A=→OP=(x1, y1)。
二、平面向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足平行四边形法则。
设有向量A=→PQ，向量B=→RS，则A+B=→QS。
2. 向量的数乘向量的数乘是指将向量的长度放大或缩小。
设有向量A=→PQ，k为实数，则kA=→P'Q'，其中P'为向量A的起点，Q'为向量A的终点，且P'Q'的长度为k倍于PQ的长度。
3. 内积运算内积也称点积，表示两个向量的数量积。
设向量A=→PQ，向量B=→RS，A的坐标为(x1, y1)，B的坐标为(x2, y2)，则A·B=x1x2+y1y2。
4. 外积运算外积也称叉积，表示两个向量的向量积。
设向量A=→PQ，向量B=→RS，A的坐标为(x1, y1)，B的坐标为(x2, y2)，则A×B=(0,0, x1y2-x2y1)。
三、平面向量与解析几何的关系通过平面向量的运算，我们可以研究解析几何中的一些常见问题。
1. 直线的方程设有点A(x1, y1)和点B(x2, y2)，则点A和点B构成的直线的方程可以表示为：(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。
2. 两条直线的关系设直线L1的方程为(a1x+b1y+c1=0)，直线L2的方程为(a2x+b2y+c2=0)，则L1与L2平行的条件是a1/a2=b1/b2，L1与L2垂直的条件是a1a2+b1b2=0。
3. 两个向量的夹角设有向量A=→PQ，向量B=→RS，夹角θ的余弦可以由它们的内积表示为：cosθ=(A·B)/(|A||B|)。
高考数学(理)之平面向量 专题04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用(解析版)
平面向量04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用一、具本目标： 一）向量的应用1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二）考点解读与备考:1.近几年常以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.常与平面几何、三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，常用向量的知识入手.力学方面应用的考查较少.3.备考重点：(1) 理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，应注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.4.难点：向量与函数、三角函数、解析几何的综合问题.以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题.要充分应用向量的公式及相关性质，会用向量的几何意义解决问题，有时运用向量的坐标运算更能方便运算. 二、知识概述：常见的向量法解决简单的平面几何问题： 1.垂直问题:(1)对非零向量a r 与b r ,a b ⊥⇔r r.(2)若非零向量1122(,),(,),a x y b x y a b ==⊥⇔r r r r.2.平行问题:(1)向量a r 与非零向量b r共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使得 .(2)设1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则向量a r 与非零向量b r 共线⇔ .【考点讲解】3.求角问题:(1)设,a b r r是两个非零向量,夹角记为α,则cos α= .(2)若1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则cos α= .4.距离（长度）问题:(1)设(,)a x y =r,则22a a ==r r ,即a =r .(2)若1122(,),(,)A x y B x y ,且a AB =r u u u r ,则AB AB ==u u u r.【答案】1.1212(1)0,(2)0.a b x x y y ⋅=+=r r2.(1)a b λ=r r,(2)12210x y x y -=3.(1)a b a b ⋅⋅r r r r.4.(1)22x y +【优秀题型展示】 1. 在平面几何中的应用：已知ABC D 中，(2,1),(3,2),(3,1)A B C ---,BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD u u u r的坐标.【解析】设点D 坐标（x ，y ），由AD 是BC 边上的高可得⊥，且B 、D 、C 共线，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅//0∴⎩⎨⎧=+---+=--⋅+-0)1)(3()2)(3(0)3,6()1,2(y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+---+=+---0)1)(3()2)(3(0)1(3)2(6y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+-=-+012032y x y x解得⎩⎨⎧==11y x ∴点D 坐标为（1，1），AD ＝（－1，2）. 【答案】AD ＝（－1，2）【变式】已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =u u u r u u u r，则顶点D 的坐标为 （ ） A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)，【解析】设22(,),(3,1)(1,2)(4,3),(,2),,37222x x D x y BC AD x y y y 祆==镲镲镲=---==-\\眄镲-==镲镲铑u u u r u u u rQ ， 【答案】A【变式】已知正方形OABC 的边长为1，点D E 、分别为AB BC 、的中点，求cos DOE ∠的值.【解析】以OA OC 、为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.由已知条件,可得114.225⋅==∴∠=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r （1，），（，1），cos =OD OE OD OE DOE OD OE2.在三角函数中的应用：已知向量3(sin ,)4a x =r ，(cos ,1)b x =-r ．设函数()2()f x a b b =+⋅r r r ，已知在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a bc 、、，若a =2b =，sin B =()4cos(2)6f x A π++（[0,]3x π∈）的取值范围.【解析】 由正弦定理得或 . 因为，所以4A π=.因为+.所以, ，, 所以. 【答案】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++212,12362cos 4πA x f sin ,sin sin 24a b A A A B π===可得所以43π=A a b >()2())4f x a b b x π=+⋅=+r r r 32()⎪⎭⎫⎝⎛++62cos 4πA x f =)4x π+12-0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f3.在解析几何中的应用：（1）已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________．【解析】如图所示，以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ， 则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得， 平行四边形OACB 是矩形，OA →⊥OB →.由图象得，直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2.【答案】±2（2)椭圆的焦点为F F ，点P 为其上的动点，当∠F P F 为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 .【解析】法一：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （3cos ,2sin ）.为钝角，.∴=9cos 2－5＋4sin 2=5 cos 2－1<0.解得： ∴点P 横坐标的取值范围是（）. 14922=+y x ,121255θθ21PF F ∠Θ123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-u u u r u u u u r（θθθ55cos 55<<-θ553,553-ODC BA【答案】（） 法二：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （x,y ）.为钝角，∴ ()()125,5,PF PF x y x y •=--⋅-u u u r u u u u r225x y =+-=25109x -<. 解得：353555x -<<.∴点P 横坐标的取值范围是（）. 【答案】（） 2. 在物理学中的应用：如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N ，则每根绳子的拉力是 .]【解析】 ∵绳子的拉力是一样的（对称） ，∴OA =OB ，∴四边形OADB 为菱形 .∵∠AOB =120º ，∴∠AOD =60º .又OA =OB =AD ， ∴三角形OAD 为等边三角形 ，∴OD =OA . 又根据力的平衡得OD =OC =10 ， ∴OA =10 ，∴OA =OB =10 . ∴每根绳子的拉力大小是10N. 【答案】10N553,553-5521PF F ∠Θ553,553-553,553-【真题分析】1.【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以()PA x y =-u u u r ，(1,)PB x y =---u u u r，(1,)PC x y =--u u u r ，所以(2,2)PB PC x y +=--u u u r u u u r ，22()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-u u u r u u u r u u u r233)222-≥-，当(0,2P 时，所求的最小值为32-，故选B ． 【答案】B2.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，；∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r； 当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【答案】-33.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为___________．【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a = 【答案】34.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ，所以|2|+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为【答案】5.【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC uuu r 的模分别为1，1，2，OA u u u r 与OCuuu r的夹角为α，且tan α=7，OB uuu r 与OC uuu r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0210n m +=-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=． 【答案】36.【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b+==a b ++-=a b a b令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【答案】4，7. 【2016·江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.【解析】 设AB →＝a ，AC →＝b ，则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4.又∵D 为BC 中点，E ，F 为AD 的两个三等分点，则AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，AF →＝23AD →＝13a ＋13b ，AE →＝13AD →＝16a ＋16b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ，CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ·⎝⎛⎭⎫13a －23b ＝－29a 2－29b 2＋59a ·b ＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1. 可得a 2＋b 2＝292.又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝⎛⎭⎫－56a ＋16b ·⎝⎛⎭⎫16a －56b ＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.【答案】 788.【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a，(3,=b ，a ∥b，所以3sin x x =． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan 3x =-．又[]0πx ∈，，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b ． 因为[]0πx ∈，，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()62x -≤+≤． 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，()f x取到最小值-【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，()f x 取到最大值3；5π6x =时，()f x取到最小值-．1.已知数列{}n a 为等差数列，且满足32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ，若()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，点O 为直线BC 外一点，则12017a a +=（ ）A. 0B. 1C. 2D. 4【解析】∵32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴32015OA OB a OB a OC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r， 即()320151OA a OB a OC =++u u u r u u u r u u u r ， 又∵()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，∴3201511a a ++=， ∴12017320150a a a a +=+=. 【答案】A2.直角ABC V 中， AD 为斜边BC 边的高，若1AC =u u u r ， 3AB =u u u r，则CD AB ⋅=u u u r u u u r （ ）【模拟考场】A .910 B . 310 C . 310- D . 910-【解析】依题意BC =22,AC AC CD CB CD CB =⋅==103cos ==BC AB B，所以有9cos 310CD AB CD AB B ⋅=⋅⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r . 【答案】A3.已知正三角形ABC 的边长为，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BMuuu r 的最大值是( ) A.B. C. D.【解析】本题考点是向量与平面图形的综合应用.由题意可设D 为三角形的内心，以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，由已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒u u u r u u u r u u u r. 则()((2,0,1,,1,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =u u u r ，得()2221x y -+=，又11,,,,,22x x PM MC M BM ⎛⎛-+=∴∴= ⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r()(22214x y BM -++∴=u u u u r ，它表示圆()2221x y -+=上点().x y 与点(1,--距离平方的14，()22max149144BM⎫∴==⎪⎭u u u u r ，故选B.【答案】B4.已知曲线C ：x =直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=u u u r u u u r r，则m 的取值范围为 .【解析】本题考点是向量线性运算与解析几何中点与直线的位置关系的应用.由0AP AQ +=u u u r u u u r r知A 是PQ的中点，设(,)P x y ，则(2,)Q m x y --，由题意20x -≤≤，26m x -=，解得23m ≤≤．3244344943637+433237+【答案】[2,3]5.在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD u u u r=1，则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r 的最大值是_________.【解析】本题的考点是参数方程中的坐标表示， 圆的定义与 三角函数的值域.由题意可知C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程3cos sin D D x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数且[)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈, 则OA OB OD ++=u u u r u u u r u uu r=因为2cos θθ+=所以OA OB OD ++的最大值为1==+故填1【答案】1+6.在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD →·BE →的值为________. 【解析】 由题意得BD →·BE →＝(BA →＋AD →)·(BC →＋CE →)＝⎝⎛⎭⎫BA →＋13AC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋13CA → ＝⎣⎡⎦⎤BA →＋13（BC →－BA →）·⎣⎡⎦⎤BC →＋13（BA →－BC →）＝⎝⎛⎭⎫13BC →＋23BA →·⎝⎛⎭⎫23BC →＋13BA → ＝29BC →2＋59BC →·BA →＋29BA →2＝29×9＋59×2×3×cos 120°＋29×4＝119. 【答案】1197.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF . 若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. 【解析】法一、 如图，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝BC →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋1λAB →＝⎝⎛⎭⎫1＋13λAB →·BC →＋1λAB →2＋13BC →2＝⎝⎛⎭⎫1＋13λ×2×2×cos 120°＋4λ＋43＝1，解得λ＝2.法二、 建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A (0，1)，C (0，－1)，B (－3，0)，D (3，0).由BC ＝3BE ，DC ＝λDF .可求点E ，F 的坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫－233，－13，F ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ， ∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫－233，－43·⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ－1＝－2⎝⎛⎭⎫1－1λ＋43⎝⎛⎭⎫1＋1λ＝1，解得λ＝2. 【答案】28.在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________.【解析】AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.【答案】3119.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝__________；y ＝__________.【解析】MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.【答案】 12 －1610.在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________.【解析】法一 在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ·19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.法二 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，C ⎝⎛⎭⎫32，32，D ⎝⎛⎭⎫12，32.又BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E ⎝⎛⎭⎫2－12λ，32λ，F ⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32，λ＞0，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫2－12λ⎝⎛⎭⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ＞0， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE →·AF →的最小值为2918.【答案】291811.已知矩形ABCD 的边AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠P AQ ＝π4，则AP →·AQ →的最小值为________.【解析】法一(坐标法) 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，D (0，1).设∠P AB ＝θ，则AP →＝(2，2tan θ)，AQ →＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1，0≤tan θ≤12. 因为AP →·AQ →＝(2，2tan θ)·⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1＝2tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＋2tan θ＝2（1－tan θ）1＋tan θ＋2tan θ＝41＋tan θ＋2tan θ－2＝41＋tan θ＋2(tan θ＋1)－4≥42－4，当且仅当tan θ＝2－1时，“＝”成立，所以AP →·AQ →的最小值为42－4.法二(基底法) 设BP ＝x ，DQ ＝y ，由已知得，tan ∠P AB ＝x2，tan ∠QAD ＝y ，由已知得∠P AB ＋∠QAD ＝π4，所以tan ∠P AB ＋tan ∠QAD 1－tan ∠P AB tan ∠QAD ＝1，所以x ＋2y 2＝1－xy2，x ＋2y ＝2－xy ≥2x ·2y ，解得0＜xy ≤6－42，当且仅当x ＝2y 时，“＝”成立.AP →·AQ →＝22·（4＋x 2）（1＋y 2）＝22·（xy ）2＋（x ＋2y ）2－4xy ＋4＝22·（xy ）2＋（2－xy ）2－4xy ＋4＝（xy ）2－4xy ＋4＝2－xy ≥42－4. 【答案】 42－412.设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x ＝________.【解析】 ∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即yx ＝± 3.【答案】 ±313.在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →＝1，则实数λ的值为________.【解析】 由AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝3，即BC ＝ 3.又AC 2＝AB 2＋BC 2，所以∠B ＝90°.以点A 为坐标原点，AB →，BC →的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则B (1，0)，C (1，3).由AP →＝AB →＋λAC →，得P (1＋λ，3λ)，则BP →·CP →＝(λ，3λ)·(λ，3λ－3)＝λ2＋3λ(λ－1)＝1，即4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－14或λ＝1.【答案】 －14或114.证明:同一平面内，互成120°的三个大小相等的共点力的合力为零.【证明】如图，用r a ,r b ,r c 表示这3个共点力，且r a ,r b ,rc 互成120°，模相等，按照向量的加法运算法则，有：r a +r b +r c = r a +（r b +r c ）=r a +u u u rOD .又由三角形的知识知：三角形OBD 为等边三角形， 故r a 与u u u r OD 共线且模相等，所以：u u u r OD = －r a ，即有：r a +r b +r c =0r .15.在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈u u u r u u u r u u u r.（1）若23m n ==，求||OP u u u r ；（2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.【解析】（1）(1,1),(2,3),(3,2)A B C Q (1,2)AB ∴=u u u r ，(2,1)AC =u u u r.Q OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ，又23m n ==.22(2,2)33OP AB AC ∴=+=u u u r u u u r u u u r，|OP ∴u u u r（2）OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u rQ (,)(2,2)x y m n m n ∴=++即22x m ny m n=+⎧⎨=+⎩，两式相减得：m n y x -=-.令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.【答案】（1）（2）m n y x -=-，1.16.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，求1m ＋1n的最小值.【解析】 如图，建立平面直角坐标系，得A (0，0)，B (4，0)，D (0，4)，C (1，4)，则AB →＝(4，0)，AD →＝(0，4).设AP →＝(x ，y )，则BC 所在直线为4x ＋3y ＝16. 由AP →＝mAB →＋nAD →，即(x ，y )＝m (4，0)＋n (0，4)，得x ＝4m ，y ＝4n (m ，n >0)， 所以16m ＋12n ＝16，即m ＋34n ＝1，那么1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ⎝⎛⎭⎫m ＋34n ＝74＋3n 4m ＋m n ≥74＋23n 4m ·m n ＝74＋3＝7＋434(当且仅当3n 2＝4m 2时取等号). 17.已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且m ⊥n . (1)求cos 2α的值； (2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求角β的值. 【解析】 (1)由m ⊥n ，得2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α，代入cos 2α＋sin 2α＝1，得5cos 2α＝1， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α＝55，cos 2α＝2cos 2α－1＝－35. (2)由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.因为sin(α－β)＝1010，所以cos(α－β)＝31010，而sin α＝1－cos 2α＝255， 则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22.因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4.。
平面向量与空间解析几何
平面向量与空间解析几何平面向量和空间解析几何是数学中重要的概念，它们在几何学和物理学中扮演着重要的角色。
平面向量是一个有大小和方向的量，可以表示为有序对(x, y)。
在二维空间中，平面向量通常用于描述平面内的位置关系、运动方向等。
空间解析几何则是研究三维空间中点、直线、平面等几何对象的性质和关系的数学分支。
平面向量定义平面向量可以用有向线段表示，其大小为线段的长度，方向为线段的方向。
平面向量的加法、减法和数乘等运算可以通过坐标运算来实现。
两个平面向量(x1, y1)和(x2, y2)的加法为(x1+x2, y1+y2)，减法为(x1-x2, y1-y2)，数乘为k * (x, y) = (k*x, k*y)。
运算性质•交换律：a + b = b + a•结合律：a + (b + c) = (a + b) + c•分配律：k * (a + b) = k * a + k * b空间解析几何点和坐标在空间解析几何中，三维空间中的一个点可以用有序三元组(x, y, z)表示，其中x, y, z分别是点在三个坐标轴上的投影。
两点之间的距离可以通过距离公式计算得到。
直线和平面一条空间直线可以通过一个点和一个方向向量来唯一确定，方向向量可以是直线上任意两点的向量差。
空间平面可以通过一个点和两个不共线的方向向量来唯一确定。
方向余弦方向余弦是描述向量在空间中的方向性质的参数。
一个向量(a, b, c)的方向余弦分别为cosα = a/sqrt(a^2+b^2+c^2)，cosβ = b/sqrt(a^2+b^2+c^2)，cosγ = c/sqrt(a^2+b^2+c^2)。
应用平面向量和空间解析几何在现实生活中有着广泛的应用。
在工程学中，它们可以用于描述力的合成、速度的方向等；在计算机图形学中，可以用于图形的变换和计算；在物理学中，可以描述空间中的物体运动等。
总的来说，平面向量和空间解析几何不仅是数学中的重要概念，也是现实生活中不可或缺的工具，它们帮助我们更好地理解和描述空间中的种种现象和规律。
高考数学各知识点分值占比
高考数学各知识点分值占比在高考数学中，各个知识点的分值占比是非常重要的。
不同的知识点在考试中所占的比重不同，理解和掌握各个知识点的分值占比对于备考是非常有帮助的。
首先，我们先来了解一下高考数学的整体结构。
高考数学主要包括基础知识与解题能力两个方面。
基础知识主要是对数学概念和公式的掌握，而解题能力则是对于所学内容的应用与理解能力。
在高考数学中，数学知识点的分值占比大致可以分为四个部分：必修一、必修二、选修一和选修二。
必修一和必修二分值占比较高，大约占到了总分的50%左右，而选修一和选修二则分别占到了总分的25%左右。
因此，基础知识点要占到了高考数学的重要部分。
接下来，我们来具体分析一下各个知识点的分值占比。
在必修一中，重点知识点主要包括集合与命题、函数与方程、三角函数和数列等内容。
这些知识点的掌握对于高考数学至关重要，因为它们在考试中所占的分值比例较高。
在必修一中，命题与函数的占比较高，大约为30%，数列与三角函数的占比则略低一些，分别为15%和10%左右。
因此，在备考过程中，我们应该重点关注命题与函数的学习与掌握。
在必修二中，重点知识点主要包括平面向量、立体几何、解析几何和数理统计等内容。
这些知识点在高考数学中的分值占比也较高。
平面向量和解析几何分别占到了总分的15%左右，而立体几何和数理统计则分别占到了总分的10%左右。
因此，在备考中我们需要重点关注平面向量和解析几何的学习与掌握。
在选修一和选修二中，重点知识点的分值占比较低，分别为总分的25%左右。
选修一的重点知识点主要包括数学综合应用、数学史、方程与不等式、数学思想方法等内容。
选修二的重点知识点主要包括概率与统计、数学建模等内容。
虽然这些知识点的分值占比较低，但是在备考中我们也不能忽视它们的学习与掌握。
综上所述，高考数学各知识点的分值占比是不容忽视的。
在备考过程中，我们应该根据各个知识点的分值占比来合理分配学习时间和精力。
重点关注必修一和必修二中的知识点，特别是命题与函数、平面向量和解析几何等内容。
北京高考数学各部分难度及分值
北京高考数学各部分难度及分值北京高考数学考试分为两部分，即必修部分和选修部分。
必修部分的考试内容包括“函数和导数”、“平面向量”、“解析几何”、“三角函数”、“立体几何”、“统计与概率”六个章节，而选修部分的考试内容包括“数列与数学归纳法”、“极限与连续”、“导数应用和微分方程”三个章节。
必修部分的难度及分值如下所示：1.函数和导数（60分）：这是数学考试的开篇，主要涵盖函数的基本性质和图像、导数的概念及其应用。
难度适中，占总分的10%。
2.平面向量（60分）：包括向量的基本运算、共线与垂直、平面向量的坐标表示及其运算、向量的线性运算等内容。
此部分相对来说难度较大，占总分的10%。
3.解析几何（90分）：涉及平面直角坐标、直线的方程与性质、圆的方程与性质、两点间距离、面积等内容。
考查内容多样，其中一些概念较为抽象，学生应掌握才能较好完成题目。
占总分的15%。
4.三角函数（45分）：主要包括三角函数的基本性质、单调性、最值、递推公式等，难度适中，占总分的7.5%。
5.立体几何（45分）：包括空间几何体的直线和平面、空间中的平行关系、体积、表面积等内容。
难度一般，占总分的7.5%。
6.统计与概率（60分）：主要包括基本统计指标、频率统计、概率等内容。
难度适中，占总分的10%。
选修部分的难度及分值如下所示：1.数列与数学归纳法（30分）：包括数列的定义及通项公式、数列的运算、数学归纳法等内容。
难度相对较小，占总分的5%。
2.极限与连续（30分）：主要包括函数极限的定义与性质、无穷小与无穷大、函数连续性等内容。
难度一般，占总分的5%。
3.导数应用和微分方程（30分）：考察导数在实际问题中的应用、微分方程的解法等内容。
难度适中，占总分的5%。
总体来说，北京高考数学考试的必修部分难度适中，选修部分难度相对较小，且各部分的分值分配合理。
学生在备考过程中应注重对基础知识的掌握和题型的熟悉，扎实提升解题能力，以便在考试中取得好成绩。
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高考数学平面向量与解析几何Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】第１８讲 平面向量与解析几何在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。
用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。
着名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。
这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。
一、知识整合平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。
向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。
而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。
二、例题解析例1、（2000年全国高考题）椭圆14922=+y x 的焦点为F ,1F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1P F 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是___。
解：F 1（－5,0）F 2（5,0）,设P （3cos θ,2sin θ）21PF F ∠ 为钝角∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-（=9cos 2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0解得：55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是（553,553-） 点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。
本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。
例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点，求22PA PB +的最大值和最小值。
分析：因为O 为AB 的中点，所以2,PA PB PO +=故可利用向量把问题转化为求向量OP 的最值。
解：设已知圆的圆心为C ，由已知可得：{1,0},{1,0}OA OB =-=0,1OA OB OA OB ∴+=⋅=-又由中点公式得2PA PB PO += 所以222()2PA PB PA PB PA PB +=+-⋅=2(2)2()()PO OA OP OB OP --⋅-=224222(PO OA OB OP OP -⋅-+⋅ =222OP + 又因为{3,4}OC = 点P 在圆(x-3)2+(y-4)2=4上所以5,2,OC CP == 且OP OC CP =+所以OC CP OP OC CP OC CP -≤=+≤+即37OP ≤≤ 故2222022100PA PB OP ≤+=+≤所以22PA PB +的最大值为100，最小值为20。
点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。
例3、（2003年天津高考题）O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(OA OP ++=λ，[)∞∈＋，0λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）（A ）外心 （B ）内心 （C ）重心 （D ）垂心分析：因为||||AB AC AB AC AB AC 、分别是与、同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知||||AB AC AB AC +是与∠ABC 的角平分线（射线）同向的一个向量，又()ABACOP OA AP AB AC λ-==+，知P 点的轨迹是∠ABC 的角平分线，从而点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心。
反思：根据本题的结论，我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤；（1） 由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量12v v 、；（2） 求出角平分线的方向向量1212v v v v v =+（3） 由点斜式或点向式得出角平分线方程。
{直线的点向式方程：过P （00,x y ），其方向向量为(,)v a b ，其方程为00x x y y a b--=} 例4、（2003年天津）已知常数0>a ，向量(0,)(1,0)c a ==，i ，经过原点O 以c i λ+为方向向量的直线与经过定点),0(a A 以2i c λ-为方向向量的直线相交于点P ，其中R ∈λ．试问：是否存在两个定点F E 、，使得PE PF +为定值，若存在，求出F E 、的坐标；若不存在，说明理由．（本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.）解：根据题设条件，首先求出点P 坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P 到两定点距离的和为定值.∵(0,)(1,0)c a ==，i ， ∴c i λ+=（λ，a ），2i c λ-=（1，－2λa ）. 因此，直线OP 和AP 的方程分别为 ax y =λ 和 ax a y λ2-=-.消去参数λ，得点),(y x P 的坐标满足方程222)(x a a y y -=-.整理得 .1)2()2(81222=-+a a y x ……① 因为,0>a 所以得：（i ）当22=a 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ； （ii ）当220<<a 时，方程①表示椭圆，焦点)2,2121(2a a E -和)2,2121(2a a F --为合乎题意的两个定点； （iii ）当22>a 时，方程①也表示椭圆，焦点))21(21,0(2-+a a E 和))21(21,0(2--a a F 为合乎题意的两个定点. 点评：本题以平面向量为载体，考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。
去掉平面向量的背景，我们不难看到，本题即为下题：在△OAP 中，O （0，0）、A （0，a ）为两个定点，另两边OP 与AP 的斜率分别是(0),2a a λλλ≠-，求P 的轨迹。
而课本上有一道习题（数学第二册（上）第96页练习题4）：三角形ABC 的两个顶点A 、B 的坐标分别是（-6，0）、（6，0），边AC 、BC 所在直线的斜率之积等于49-，求顶点C 的轨迹方程。
通过本例可见高考题目与课本的密切关系。
例5．（2004年天津卷理22）椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0=⋅，求直线PQ 的方程；（3）设λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明λ-=.分析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.（1）解：由题意，可设椭圆的方程为)2(12222>=+a y ax . 由已知得⎪⎩⎪⎨⎧-==-).(2,2222c c a c c a 解得2,6==c a 所以椭圆的方程为12622=+y x ，离心率36=e . （2）解：由（1）可得A （3，0）.设直线PQ 的方程为)3(-=x k y .由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(,12622x k y y x 得062718)13(2222=-+-+k x k x k 依题意0)32(122>-=∆k ，得3636<<-k . 设),(),,(2211y x Q y x P ，则13182221+=+k k x x ， ① 136272221+-=k k x x . ②由直线PQ 的方程得)3(),3(2211-=-=x k y x k y .于是]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y . ③ ∵0=⋅，∴02121=+y y x x . ④由①②③④得152=k ，从而)36,36(55-∈±=k . 所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x（2）证明：),3(),,3(2211y x y x -=-=.由已知得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.126,126,),3(3222221212121y x y x y y x x λλ 注意1>λ，解得λλ2152-=x 因),(),0,2(11y x M F -，故),1)3((),2(1211y x y x -+-=--=λ),21(),21(21y y λλλλ--=--=. 而),21(),2(222y y x FQ λλ-=-=，所以FQ FM λ-=. 三、总结提炼由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识。
应充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性，在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题，逐步树立运用向量知识解题的意识。