推荐学习高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法优化练习

2.3 数学归纳法[课时作业] [A 组 基础巩固]1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0解析：边数最少的凸n 边形是三角形． 答案：C2．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n·1·3…(2n －1)(n ∈N *)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”左边需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋1解析：当n ＝k 时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )，当n ＝k ＋1时， 左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )(k ＋1＋k )(2k ＋2) ＝(k ＋1)·(k ＋2)·…·(k ＋k )(2k ＋1)×2， 故需增乘的代数式为2(2k ＋1)． 答案：B3．凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形对角线的条数f (n ＋1)为( ) A ．f (n )＋n ＋1 B ．f (n )＋n C ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2解析：增加一个顶点，就增加n ＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f (n ＋1)＝f (n )＋1＋n ＋1－3＝f (n )＋n －1.故应选C.答案：C4．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1(n ∈N)能被8整除时，当n ＝k ＋1时，对于34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1可变形为( )A ．56·34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1)B ．34·34k ＋1＋52·52kC ．34k ＋1＋52k ＋1D ．25(34k ＋1＋52k ＋1)解析：34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1＝81×34k ＋1＋25×52k ＋1＝56×34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1)．答案：A5．已知f (n )＝1n －1＋1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋ (1)2，则( ) A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝1＋12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n ＋2项，当n ＝2时，f (2)＝1＋12＋13＋14D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝1＋12＋13＋14解析：由条件可知，f (n )共有项数为n 2－(n －1)＋1＝n 2－n ＋2项，且n ＝2时，f (2)＝11＋12＋13＋14.故选C.答案：C6．凸k 边形内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和为f (k ＋1)＝f (k )＋________. 解析：将k ＋1边形A1A 2…A k A k ＋1的顶点A 1与A k 相连，则原多边形被分割为k 边形A 1A 2…A k 与三角形A 1A k A k ＋1，其内角和f (k ＋1)是k 边形的内角和f (k )与△A 1A k A k ＋1的内角和π的和，即f (k ＋1)＝f (k )＋π.答案：π7．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算出a 2，a 3，a 4后，归纳猜想得出a n 的表达式为________．解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝a n3a n ＋1， ∴a 2＝a 13a 1＋1＝27，a 3＝a 23a 2＋1＝213，a 4＝a 33a 3＋1＝219，于是猜想a n ＝26n －5.答案：a n ＝26n －5(n ∈N *)8．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n (n ∈N *)．(1)计算a 2，a 3，a 4；(2)猜想a n 的表达式，并用数学归纳法证明．解析：(1)a 1＝1，a 2＝a 11＋a 1＝12， a 3＝a 21＋a 2＝13，a 4＝a 31＋a 3＝14. (2)由(1)的计算猜想：a n ＝1n.下面用数学归纳法进行证明： ①当n ＝1时，a 1＝1，等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即a k ＝1k，那么，a k ＋1＝a k1＋a k ＝1k 1＋1k＝1k ＋1， 即当n ＝k ＋1时等式也成立． 由①②可知，对任意n ∈N *都有a n ＝1n.9．用数学归纳法证明： 122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．证明：(1)当n ＝2时，左边＝122＝14，右边＝1－12＝12.因为14<12，所以不等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k ， 则当n ＝k ＋1时， 122＋132＋142＋…＋1k 2＋1k ＋2<1－1k＋1k ＋2＝1－k ＋2－kk k ＋2＝1－k 2＋k ＋1k k ＋2<1－k k ＋k k ＋2＝1－1k ＋1. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立．[B 组 能力提升]1．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )A．30 B．26C．9 D．6解析：因为f(1)＝36＝4×9，f(2)＝108＝12×9，f(3)＝360＝40×9，所以f(1)，f(2)，f(3)都被9整除，推测最大的m值为9.答案：C2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( )A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)<k2成立D．若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立解析：对于A项，f(3)≥9，加上题设可推出当k≥3时，均有f(k)≥k2成立，故A项错误．对于B项，要求逆推到比5小的正整数，与题设不符，故B项错误．对于C项，没有奠基部分，即没有f(8)≥82，故C项错误．对于D项，f(4)＝25≥42，由题设的递推关系，可知结论成立，故选D项．答案：D3．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.解析：当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.答案：54．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝________；当n＞4时，f(n)＝________(用n 表示)．解析：f (2)＝0，f (3)＝2，f (4)＝5，f (5)＝9， 每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数． ∴f (3)－f (2)＝2，f (4)－f (3)＝3， f (5)－f (4)＝4，……f (n )－f (n －1)＝n －1.累加，得f (n )－f (2)＝2＋3＋4＋…＋(n －1)＝2＋n －2(n －2)．∴f (n )＝12(n ＋1)(n －2)．答案：5 12(n ＋1)(n －2)5．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论． 解析：当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1， 当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4， 当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9， 当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16， 由此可以猜想， 2n＋2>n 2(n ∈N *)成立． 下面用数学归纳法证明： (1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1， 所以左边>右边， 所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6， 右边＝22＝4，所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9， 所以左边>右边． 不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥3，且k ∈N *)时，不等式成立， 即2k＋2>k 2，那么当n ＝k ＋1时， 2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2.又因：2k 2－2－(k ＋1)2＝k 2－2k －3 ＝(k －3)(k ＋1)≥0， 即2k 2－2≥(k ＋1)2，故2k ＋1＋2>(k ＋1)2成立．原不等式成立．根据(1)和(2)知，原不等式对于任何n ∈N *都成立．6．已知等差数列{a n }的公差d 大于0，且a 2，a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＝1－12b n .(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，试比较1b n与S n ＋1的大小，并说明理由．解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝12，a 2a 5＝27.因为{a n }的公差大于0，所以a 5>a 2，所以a 2＝3，a 5＝9.所以d ＝a 5－a 23＝9－33＝2，a 1＝1，即a n ＝2n －1.因为T n ＝1－12b n ，所以b 1＝23.当n ≥2时，T n －1＝1－12b n －1，所以b n ＝T n －T n －1＝1－12b n －(1－12b n －1)，化简得b n ＝13b n －1.所以{b n }是首项为23，公比为13的等比数列，即b n ＝23·(13)n －1＝23n .所以a n ＝2n －1，b n ＝23n .(2)因为S n ＝1＋n －2×n ＝n 2，所以S n ＋1＝(n ＋1)2，1b n ＝3n2.下面比较1b n与S n ＋1的大小：当n ＝1时，1b 1＝32，S 2＝4，所以1b 1<S 2，当n ＝2时，1b 2＝92，S 3＝9，所以1b 2<S 3，当n ＝3时，1b 3＝272，S 4＝16，所以1b 3<S 4，当n ＝4时，1b 4＝812，S 5＝25，所以1b 4>S 5，猜想：n ≥4时，1b n>S n ＋1.下面用数学归纳法证明： ①当n ＝4时，已证．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥4)时1b k>S k ＋1，即3k2>(k ＋1)2， 那么，1b k ＋1＝3k ＋12＝3·3k2>3(k ＋1)2＝3k 2＋6k ＋3 ＝(k 2＋4k ＋4)＋2k 2＋2k －1>[(k ＋1)＋1]2＝S (k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，1b n>S n ＋1也成立．由①②可知，对任何n ∈N *，n ≥4，1b n>S n ＋1都成立．综上所述，当n ＝1,2,3时，1b n<S n ＋1；当n ≥4时，1b n>S n ＋1.。