《数值分析》考试试卷(2007)(A)
数值分析2007第二学期期末考试试题与答案(A)
期末考试试卷（A 卷）2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业一、判断题（每小题2分，共10分）1. 用计算机求1000100011n n=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。
（ ）2. 为了减少误差,进行计算。
（ ）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
（ ）4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。
（ ）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
（ ）二、填空题（每空2分，共36分）1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则1A =_____，2x =______，Ax ∞=_____.3. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .4. 为使求积公式11231()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k XMX N k +=+= 产生的向量序列{}()k X收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。
数值分析期末考试题
数值分析期末考试题一、选择题1. 在数值分析中，用于求解线性方程组的雅可比方法属于以下哪种迭代法？A. 直接迭代法B. 间接迭代法C. 外推法D. 松弛法2. 插值法中，拉格朗日插值多项式的主要特点是？A. 适用于多项式插值B. 适用于函数值已知的情况C. 只适用于单点插值D. 适用于分段插值3. 在数值积分中，辛普森法则是一种？A. 单区间求积公式B. 双区间求积公式C. 三区间求积公式D. 多区间求积公式4. 误差分析中，截断误差通常与以下哪个概念相关？A. 舍入误差B. 舍入误差的补偿C. 条件数D. 病态条件5. 非线性方程求解中，牛顿法的收敛速度通常？A. 较慢B. 较快C. 与初始值有关D. 与方程的性质有关二、填空题1. 在求解三对角线性方程组时，托马斯算法是一种________方法。
2. 多项式插值中，牛顿插值多项式可以通过________法来构建。
3. 数值积分中，高斯求积法是一种________方法。
4. 误差传递的估计通常通过________公式来进行。
5. 非线性方程的求解中，二分法是一种________方法。
三、简答题1. 请简述数值分析中的条件数概念及其在解方程中的应用。
2. 描述线性方程组迭代法中的收敛性判断方法，并给出收敛域的计算公式。
3. 解释插值和拟合的区别，并举例说明各自的应用场景。
4. 阐述数值积分中梯形法则的原理及其误差估计方法。
5. 讨论非线性方程求解中不动点理论和收敛性的关系。
四、计算题1. 给定线性方程组如下，请使用高斯消元法求解未知数x、y、z的值： \[\begin{cases}2x + y + z = 6 \\x + 3y + 2z = 11 \\3x + y + 4z = 17\end{cases}\]2. 假设有一个函数f(x) = sin(x)，给定插值节点如下，请使用拉格朗日插值法构造一个三次插值多项式，并计算在x=π/4处的插值误差。
数值分析试题与答案
一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？2. 什么是不动点迭代法？()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点？3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y '3并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组：12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛？（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
（10分）《数值分析》（A ）卷标准答案（2009－2010－1）一． 填空题（每小题3分，共12分） 1. ()1200102()()()()x x x x l x x x x x --=--； 2.7；3. 3，8；4. 2n+1。
数值分析期末试卷A卷
第 1 页 共 6 页西北农林科技大学本科课程考试试题（卷）2015—2016学年第二学期《 数值分析 》课程A 卷 专业班级： 命题教师： 审题教师：学生姓名： 学号： 考试成绩：一、填空题（每空2分，共20分） 得分： 分1. 设x 1=1.216， x 2=3.654均具有3位有效数字，则x 1+ x 2的误差限为 .2. 近似值x *=0.231关于真值x =0.229有 位有效数字.3. 误差有多种来源，数值分析主要研究 误差和 误差.4. 已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则2次Newton 插值多项式中x 2项前面的系数为 .5. 计算积分⎰15.0d x x , 计算结果取4位有效数字. 用梯形公式计算的近似值为 ，用Simpson 公式计算的近似值为 . 其中，梯形公式的代数精度为 ，Simpson 公式的代数精度为. ( 1.7321≈≈) 6. 假设n n H R ⨯∈是Householder 矩阵，n v R ∈是一个n 维向量，则Hv = .二、 选择题（每小题 2分，共20分） 得分： 分1. 用13x+所产生的误差是 误差.A. 舍入B. 观测C. 模型D. 截断2.1.732≈，计算)41x =，下列方法中最好的是 .A.28-B. (24-C. ()2164+D. ()4161 3. 在Newton-Cotes 求积公式中，当Cotes 系数为负值时，求积公式的稳定性不能保证. 因此在实际应用中，当 时的Newton-Cotes 求积公式不使用.第 2 页 共 6 页A. 8n ≥B. 7n ≥C. 5n ≥D. 6n ≥4. 解方程组Ax =b 的简单迭代格式(1)()k k x Bx g +=+收敛的充要条件是 .A. ()1A ρ<B. ()1B ρ<C. ()1A ρ>D. ()1B ρ>5. 已知方程3250x x --=在x =2附近有根，下列迭代格式中在02x =附近不收敛的是 .A. 1k x +=B.1k x +=C.315k kk x x x +=-- D.3122532k k k x x x ++=- 6. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=700150322A ，则)(A ρ为 ． A ． 2 B ． 5 C ． 7 D ． 37. 三点的高斯求积公式的代数精度为 .A ． 2B ．5C ． 3D ． 48. 用列主元消去法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=-+-=+-134092143321321321x x x x x x x x x ，第1次消元时，选择的主元为 .A.－4B. 3C.4D.－99. 假设cond (A )表示非奇异矩阵A 的条件数，则下列结论中错误的是 .A.()()1cond A cond A -=B.()(),cond A cond A R λλλ=∈C. ()1cond A ≥D.()1cond A A A -=⋅10. 设)(x f 可微, 求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是 .A. 1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-B. 1()1()k k k k k x f x x x f x ++=+'+C. 1()()k k k k f x x x f x +=-'D. 1()()k k k k f x x x f x +=+'三、简答题（每小题5分，共20分）得分：分1. 什么是数值算法的稳定性？如何判断算法是否稳定？为什么不稳定的算法不能使用？2. 埃尔米特插值与一般函数插值有什么不同？3. 简述二分法的优缺点.4. 什么是矩阵的条件数？如何判断线性方法组是病态的？第 3 页共 6 页第 4 页 共 6 页四、计算题（每小题8分，共32分） 得分： 分1. 已知下列函数表(1) 写出相应的3次(2) 作均差表，写出相应的3次Newton 插值多项式，并计算f (1.5)的近似值。
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模 拟 试 卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.2．设，，则=.，= ______.152210142-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 342⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭x ∞A1x3．已知y =f (x )的均差（差商），，，01214[,,]3f x x x =12315[,,] 3f x x x =23491[,,]15f x x x =, 那么均差=.0238[,,] 3f x x x =423[,,]f x x x 4．已知n =4时Newton －Cotes 求积公式的系数分别是：则,152,4516,907)4(2)4(1)4(0===C C C ＝ .)4(3C 5．解初始值问题的改进的Euler 方法是阶方法；0(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩6．求解线性代数方程组的高斯—塞德尔迭代公式为，123123123530.13260.722 3.51x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩若取, 则.(0)(1,1,1)=- x(1)=x 7．求方程根的牛顿迭代格式是 .()x f x =8．是以整数点为节点的Lagrange 插值基函数，则01(), (),, ()n x x x 01, ,, ,n x x x =.()nk jk k x x =∑9．解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是.=Ax b (1)()k k +=+x Bx g 10．设，则的三次牛顿插值多项式为(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5f f f f ====()f x ，其误差估计式为 .二、综合题（每题10分，共60分）1．求一次数不超过4次的多项式满足：，，()p x (1)15p =(1)20p '=(1)30p ''=，.(2)57p =(2)72p '=2．构造代数精度最高的形式为的求积公式，并求出10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰其代数精度.3．用Newton 法求方程在区间内的根, 要求.2ln =-x x ) ,2(∞8110--<-kk k x x x 4．用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：2y a bx=+i x 19253038iy 19.032.349.073.35．用矩阵的直接三角分解法解方程组.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30103421101002014321x x x x 6 试用数值积分法建立求解初值问题的如下数值求解公式0(,)(0)y f x y y y '=⎧⎨=⎩，1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++其中.(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+三、证明题（10分）设对任意的，函数的导数都存在且,对于满足x ()f x ()f x '0()m f x M '<≤≤的任意，迭代格式均收敛于的根.20Mλ<<λ1()k k k x x f x λ+=-()0f x =*x 参考答案一、填空题1．5； 2. 8, 9 ; 3.； 4. ； 5. 二； 911516456. , (0.02，0.22，0.1543)(1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=+-⎨⎪=--⎩7. ; 8. ; 9. ;1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-j x ()1B ρ<10.32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66x x x f x x x x ξξ+-+--∈-二、综合题1．差商表：11122151515575720204272152230781233234()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432p x x x x x x x x x x =+-+-+-+--=++++其他方法：设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+令，，求出a 和b.(2)57p =(2)72p '=2．取，令公式准确成立，得：()1,f x x =,, , .0112A A +=011123A A +=013A =116A =时，公式左右；时，公式左, 公式右2()f x x =14=3()f x x =15=524=∴ 公式的代数精度.2=3．此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内。
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
期末考试 数值分析(I)(A卷)07级
八、 （10 分）试证 Newton 迭代法至少具有二阶收敛 九、 （10 分）证明方程 f x x 3 6 x 12 0 在区间 2,5 内有唯一实根 p，并对任意的初始值 x0 2,5 ， Newton 序列都收敛于根 p. 十、 （10 分）试证不动点定理： 设 f x Ca, b ，且 a f x b 对一切 x a, b成立，则 f x 在 a, b 上有不动点，并回答满足什 么条件不动点唯一（不要求证明） 。
课程名称:
数值分析（I）
（A 卷
闭卷）
⑴ A1 1 ⑵ A
1
A
适用专业年级 :信计 07 级
题号 一 10 二 10 三 10 四 10 五 10 六 10 七 10 八 10
考试时间 100 分钟
九 10 十 10 总分 100 统分人 签名
B 1 A 1 B 1 A B
1 ）（1，0）的插值多项式 ， 2
二、（10 分）设 l 0 x ， l1 x ， l n x 是以 x0 ， x1 ， xn 为节点的 n 次 Lagrange 插值问题 的基函数 n 1 ，证明 ax b
密封线
ax
i o
n
i
b li x
i 0
n
A
i 0
n
i
ba
五、（10 分）求系数 A1 , A2 和 A3 ,使求积公式
系(院) 理学院 课程名称
f xdx A f 1 A
1 1 1
2
1 1 f A3 f 3 3
对于次数 2 的一切多项式都是精确成立的。 六、 （10 分）已知矩阵 A
1 2 1,2,
2019年数值分析第二学期期末考试试题与答案A
卷）期末考试试卷（A2007学年第二学期考试科目：数值分析分钟考试时间：120年级专业学号姓名题号一2二三0四总分分）分，共10一、判断题（每小题210001?n）（ 1. 用计算机求时，应按照从小到大的顺序相加。
1000n1n?219992001?为了减少误差2. ,应将表达式进行计算。
（改写为）19992001?）（ 3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
） 4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。
（系数矩阵及其演变方式有用迭代法解线性方程组时，5. 迭代能否收敛与初始向量的选择、）（关，与常数项无关。
分）二、填空题（每空2分，共36_________.________，相对误差限为已知数a的有效数为0.01，则它的绝对误差限为1.0?110??????????xA?Ax,0?21,x??5A?_____.则设______，_____，2. ????21?????1?130????53f(x)?2x?4x?5x,f[?1,1,0]?f[?3,?2,?1,1,2,3]? 3. 已知则, .331?)?Af(0)?Af(f(x)dx?Af(?)的代数精度尽量高，应使4. 为使求积公式321331?A?A?A?，此时公式具有，，次的代数精度。
312?nA)(A的关系是 5. A阶方阵的谱半径与它的任意一种范数.(k?1)(k)BAX??N(k?XMX?0,1,2,)产时，使迭代公式用迭代法解线性方程组6.??)k(X .生的向量序列收敛的充分必要条件是AX?BAL和上三角矩7. 使用消元法解线性方程组系数矩阵时，可以分解为下三角矩阵14?2??BAX?.A?LUU?A，则阵若采用高斯消元法解的乘积，即，其中??21??L?U?AX?B，则，______________；若使用克劳特消元法解_______________u?lu BAX?的大小关系为_____（选填：则____；若使用平方根方法解>与，，111111<，=，不一定）。
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课程名称数值分析拟题老师签名教研室主任签名
《数值分析》考试试卷（A ）参考答案
一、（12分） 1（×）；2（×）；3（√）；4（√） 二、
解由表可知 可选三个节点 （1分）
=)(2x L （3分）
56464
.0)
7.06.0)(5.06.0()
7.0)(5.0(47943.0)7.05.0)(6.05.0()7.0)(6.0(⨯----+⨯----=
x x x x 6422.0)
6.07.0)(5.07.0()
6.0)(5.0(⨯----+x x =… 7分
则 54714.0)57891.0()57891.0s i n (2=≈L 10分
……… 12分
三、由梯形公式
])(2)()([21
∑-=++=n i i n x f b f a f h
T （2分）
333.11== T ， 167.12== T ， 6分
117.14== T ， ==8T ， 10分
四、（1）取直角坐标系，描点，由图可知，这些点位于一条双曲线附近。
取 ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=Φx span 1,11，即1)(0=x ϕ，x
x 1
)(1=ϕ 2分 （2） 4),(00=ϕϕ，∑==
=3
001101
),(),(i i
x ϕϕϕϕ=1.842857, ∑==3
02111
),(i i
x ϕϕ=1.310408，∑==3
00),(i i y f ϕ=16，
∑==3
01),(i i
i x y
f ϕ=11.542857 5分
(3) 解方程组
⎩
⎨
⎧
=+=+542857.11310408.1842857.116842857.141010a a a a 得解
165433
.0*
0-=a ，041247.9*1=a 8分 x
x 041247
.9165433.0)(*+-=ϕ 10分
()
=-∑=*
3
02
)(i i
i y x ϕ
12分
五、 设13)(3
+-=x x x f ，因 1)0(=f ，375.0)5.0(-=f
且 033)(2
<-='x x f ，对]5.0,0[∈∀x ，所以
方程0133
=+-x x 在[0，0.5]上有唯一正根 （4分） 迭代函数 )1(31)(3
+=
x x g ， （6分） 因 125.0)(2
<≤='x x g ，]5.0,0[∈∀x ，
]5.0,0[)(∈x g ，]5.0,0[∈∀x 所以结论成立。
（10分）
六、（1）计A=… ， =b （2分） 由 ==LU A （6分）
即⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=121131L ，⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=473321U （7分） （2）T y b Ly )4,10,6(=⇒= （10分） （3）T x y Ux )1,2,1(=⇒= 。
（12分） 七、（1）同解变换为
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--43852113120
6321x x x ……… （4分）
（2） ……
Gauss-Jacobi 迭代格式为
⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=-=++++++)
1(252)1(15154)1(3
)
(3
31)1(131)1(2)
(336)1(11k k k k k k k k x x x x x x x x ,2,1,0=k 其中)0(1x ，)0(2x ，)
0(3x 为初值 ……… （8分）
（2）因为变换后的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以Gauss-Jacobi 迭代格式收敛。
………（10分）
八、（1）记T
a )4,3,1(=，54322±=+±=σ，03> ，5=∴σ，
T
b )0,,1(σ-= （3分）
=-b a ， =-2
b
a ，==--=
2
b a b
a v T )1,2,0(55 T
v v I H 1
12-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
--==5354054
53000
1 （7分） （2） ⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝
⎛---==252325140251425735051 HAH （10分） 九、1 7，6；2 0.00055；3 6，16。