华东师大版九年级数学初三数学上册教案含教学反思：22.2.3《公式法教案(含答案)
22.2.3 公式法(1) 华师大版数学九年级上册教案
课题：§23.2一元二次方程的解法教学目标：会使用一元二次方程根的判别式来判断一元二次方程根的情况教学重点：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况教学难点：对于利用根的判别式来判断方程解的情况的理解。
教学过程:新课讲解：解方程：注：我们发现这个方程没有实数解，也就是说不是所有的一元二次方程都有实数解的，那么我们如何才能比较迅速和准确地判断出一个一元二次方程解的情况呢？我们在一元二次方程的配方过程中得到．（1）发现当且仅当－4ac≥0时，右式有平方根.直接开平方，得．也就是说，一元二次方程a＋bx＋c＝0（a≠0）当且仅当系数a、b、c满足条件－4ac ≥0时有实数根．观察（1）式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况： ① 当－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；② 当－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；③ 当－4ac＜0时，方程没有实数根．这里的－4ac叫做一元二次方程的根的判别式，记作⊿.用它可以直接判断一个一元二次方程实数根的情况（是否有？如有，两实数根是相等还是不相等？），如对方程－x＋1＝0，可由－4ac＝1－4＜0直接判断它没有实数根；例1. 不解方程，判断下列关于x的方程的根的情况：（1）解：（1）∵a=2，b=3，c=-4，∴－4ac=9-4×2×（-4）=41>0,∴原方程有两个不相等的实数根。
（2）原方程化为一般式得。
∵a=3，b=，c=2，∴－4ac=24-4×3×2=0∴原方程有两个相等的实数根。
（3）原方程化为，∵a=，b=，c=1，∴－4ac=<0∴原方程没有实数根（4）∵a=，b=，c=，∴－4ac=∴原方程有两个实数根在用公式法解一元二次方程时，往往也是先求出判别式的值，直接代入求根公式．我们还可以应用判别式来确定方程中的待定系数，例2： m取什么值时，关于x的方程有两个相等的实数根？求出这时方程的根．解：∵a=2，b=-（m+2），c=2m-2，∴－4ac=原方程有两个相等的实数根∴－4ac＝0即解得当m=2时，原方程为，解得；当m=10时，原方程为，解得例3.求证：无论k为何值时，关于x的方程都没有实数根。
九年级数学上册第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法22.2.3公式法导学案华东师大版(2
九年级数学上册第22章一元二次方程22.2 一元二次方程的解法22.2.3 公式法导学案（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第22章一元二次方程22.2 一元二次方程的解法22.2.3 公式法导学案（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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22.2.3 公式法解一元二次方程【学习目标】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程。
2.掌握公式结构,知道使用公式前先将方程化为一般形式，通过判别式判断根的情况。
3。
学会利用求根公式解简单数字系数的一元二次方程【学习重难点】根公式的推导，公式的正确使用【学习过程】一、课前准备1、用配方法解下列方程(1)6x2—7x+1=0 （2)4x2—3x=52二、学习新知自主学习：如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c•也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．否用上面配方法的步骤求出它们的两根？解: 移项，得：，二次项系数化为1，得配方，得: 即 ∵a ≠0，∴4a 2>0，式子b 2—4ac 的值有以下三种情况：（1） b 2-4ac ＞0，则2244b ac a -＞0 直接开平方,得： 即x=242b b ac a-±- ∴x 1= ，x 2=（2） b 2-4ac=0,则2244b ac a -=0此时方程的跟为 即一元二次程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个 的实根。
初中数学华师大版九年级上册《22.2.3公式法》教学设计
生： 时，原方程无解.
课件展示：
例1、解下列方程
(1) (2)
(3)5 (4)
师：总结一下用公式法解一元二次方程的步骤
生：1、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式
课件展示
考考你
师：解一元二次方程有哪些方法？
生：解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法
2、求出b2-4ac的值。
3、代入求根公式
培养学生的独立思考的习惯和与大家的合作交流意识
重点
正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力
难点
正确地推导出一元二次方程的求根公式
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
提问：
师：一元二次方程的一般形式是什么？
生：ax2＋bx＋c= 0(a≠0)
思考：如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？
C．5，－6， D．5，－6，－
答案：C
2.若代数式x2-6x+5的值是12，则x的值为（ ）
A．7或-1 B．1或-5
C．-1或-5 D．不能确定
答案：A
2.一元二次方程x2－8x＝48可表示成(x－a)2＝48＋b的形式，其中a，b为整数，则a＋b的值为( )
A．20 B．12 C．－12 D．－20
师：通常你是怎样选用的？和同学交流一下吧！
课件展示
师：现在我们来解决22.1节中的问题1
生：x(x+10)=900
x=-5
，
华师大版数学九年级上册《公式法》教学设计
华师大版数学九年级上册《公式法》教学设计一. 教材分析华师大版数学九年级上册《公式法》是学生在学习了一元二次方程的解法后，进一步学习解决实际问题的一种方法。
本节课通过实例引入公式法，让学生掌握一元二次方程的求解方法，体会数学与实际生活的联系。
教材从实际问题出发，引导学生发现并总结公式法，使得学生能够更好地理解和运用一元二次方程的解法。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元二次方程的解法，能够解简单的一元二次方程。
但对于一些复杂的一元二次方程，学生可能会感到困惑。
因此，在教学过程中，需要引导学生发现和总结公式法，让学生能够更好地理解和运用一元二次方程的解法。
三. 教学目标1.让学生掌握一元二次方程的求解方法，能够运用公式法解决实际问题。
2.培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
3.激发学生的学习兴趣，增强学生对数学学科的热爱。
四. 教学重难点1.掌握公式法解一元二次方程的步骤。
2.能够灵活运用公式法解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题引导学生发现和总结公式法。
2.启发式教学法：引导学生主动探索，发现问题，解决问题。
3.小组合作学习：让学生在小组内讨论和分享解题方法，培养学生的合作意识。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示实例和练习题。
2.练习题：准备一些实际问题，供学生练习和巩固公式法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题，引导学生思考如何解决。
例如，小明种树，已知树的棵数与种植天数之间的关系，求解在一定的天数内种植的树的棵数。
2.呈现（10分钟）展示实例，引导学生观察和分析实例中的数量关系。
引导学生发现，在一定的天数内种植的树的棵数与种植天数之间的关系可以表示为一元二次方程。
3.操练（10分钟）让学生独立解决实际问题，引导学生运用公式法解一元二次方程。
在学生解题过程中，教师进行巡视指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生进行小组讨论，分享解题方法。
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 公式法》公开课教案_4
§22.2.3解一元二次方程———公式法执笔： 课型：新授 班级：__________ 姓名： 日期：【学习目标】：知识与技能：会用求根公式法解一元二次方程；过程与方法：通过用配方法探究公式法的过程，让学生感受数学知识之间的自然生成过程。
情感态度与价值观：通过解一元二次方程所采用的方法，体会归纳、探究数学本质的运用。
核心素养：培养逻辑推理和分类讨论及转化归化的数学素养。
【学习内容】本课时学习重点：掌握运用求根公式法解一元二次方程。
本课时学习难点：求根公式法推导。
【前置学习】1、利用配方程解一元二次方程的基本步骤： ， ， ， ，2、利用配方法解下列一元二次方程。
05412=+-x x ）（ 032322=-+x x ）（【四环导学】【试】1、提问：你能用配方法求一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根吗？【究】：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的求根公式：当ac b 42- 时，当ac b 42- 时，方程无解。
2、提问：如何利用求根公式解一元二次方程？解方程： 03232=-+x x 归纳用公式法解一元二次方程的解题步骤：解： 1、2、3、4、【用】例1、用公式法解一元二次方程1、0622=-+x x2、5422-=x x3、x x x 8110442-=++例2、用公式法解一元二次方程 1、 032-322=-x x 2. 01||22=--x x课后拓展提高：解下列关于x 的方程（用含m 的代数式表示）：()0212=+--m mx x m 【评】1、通过本节课的学习你学到了什么？2、运用公式法时，你想告诉你的同学注意什么？【后置学习】1、观察下列方程，你打算选择什么方法？（1）()05.1232.022=-+t （2）04222=-+x x （3）()()()()0222131222=---+++x x x x2、解方程：（1）()()()t t t t 3331--=-+ (2)、()x x x x 54122=+--3、解含有字母系数的一元二次方程 ： ()02322=-+--n n m x m x4、求满足方程04122=---x x 所有根的和。
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 公式法》公开课教案_1
22.2.3用公式法解一元二次方程教学设计
一、学习目标设计的依据
（一）、课程标准相关要求
能用公式法解数字系数的一元二次方程。
（二）、教材分析
用公式法解数字系数的一元二次方程是在配方法的基础上，进一步探讨公式法及解数字系数的一元二次方程的拓展和延伸。
（三）、中招考点
本节知识点是一元二次方程的重点，近几年中河南省很少单独考查，但其它的省市有考查的，考查题型一般为填空题或选择题，只有个别地市出现过解答题。
（四）、学情分析
学生已经学过一元二次方程的三种解法，在配方法解一元二次方程中，对24
的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究用公式法
b ac
解一元二次方程。
二、学习目标
1、体验并理解一元二次方程求根公式的推导过程.
2、熟记并会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.
三、评价任务
1、学生能说出一元二次方程的求根公式。
2、学生能熟记求根公式a
ac
b b x 242-±-=并理解公式中的条件0
42≥-ac b 能熟练地运用求根公式解一元二次方程。
四、教学过程
要点归纳：一元二次
方程求根公
式:
)
04(242
2≥--±-=ac b a
ac b b x 成立的条件：
1.a ≠0
2.b ²-4ac ≥0
利用求根公式求一元二次
方程的根的步骤：。
华东师大版九年级数学上册《22章 一元二次方程 22.2 一元二次方程的解法 公式法》教学案例_9
华师大版九年级数学上册22.2一元二次方程的解法-----第4课时公式法授课教师：联系电话：单位：22.2 一元二次方程的解法----第4课时公式法学习目标：(一)教学知识点1．一元二次方程的求根公式的推导2．会用求根公式解一元二次方程(二)能力训练要求1．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力．2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程．(三)情感与价值观要求通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯．学习重点：掌握一元二次方程的求根公式，应用求根公式法解简单的一元二次方程。
学习难点：用配方法导出一元二次方程的求根公式。
一．创境导入 复习回顾1、我们学过哪些解一元二次方程的解法：2、配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些？二．问题引导 自主探究1、一元二次方程的求根公式探索：我们来解一般形式的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0）因为a ≠0，方程两边都除以a ，得x 2+ac x a b +=0． 移项，得x 2+ a c x a b -=配方，得x 2+22)2()2(ab ac a b x a b +-=+ （x+22244)2aac b a b -= 因为a ≠0，所以4a 2>0．当b 2-4ac ≥0时，就可以直接开平方，得 x+ab 2=±a ac b 242-, 所以 x=aac b b 242-±-(b 2-4ac ≥0)， 求根公式的定义：方程ax 2＋b x ＋c ＝0(a ≠0)的实数根可写为 x= aac b b 242-±- (b 2-4ac ≥0) 这个式子叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式．2、求根公式的应用（1）公式法：将一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法．三．合作展示 释疑点拨例： 解下列方程：(1) 2x 2＋x －6＝0；(2) x 2＋4x ＝2；(3) 5x 2－4x －12＝0；(4) 4x 2＋4x ＋10＝1－8x.（小组合作，共同完成，学生讲解，老师点评）四．变式训练纠错互评用公式法解下列方程：(1) x2－6x＋1＝0；(2) 2x2-x=6；(3) 4x2－3x－1＝x－2 ；(4)3x(x－3)＝2(x－1)(x＋1).五．提炼总结师生共同总结一下用公式法解一元二次方程的一般步骤．用公式法解一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式，然后确定二次项系数、一次项系数及常数项，在确定了a、b、c后，先计算b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时，再用求根公式解．用公式法解一元二次方程的步骤；(1) 把一元二次方程化为一般形式（二次项系数为正）．(2) 确定a，b，c的值．(3) 计算b2－4ac的值．(4) 当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式，求出方程的两个实数根；当b2－4ac<0时，方程无实数根．六．小组评价本节课表现最好的小组……需要继续努力的小组……七．作业布置教材P36 习题22.2 第4题（3）（4）（5）（6）（7）（8）八．板书设计22.2 一元二次方程的解法-------第4课时公式法1、一元二次方程的解法：2、配方法解一元二次方程的一般步骤有哪些？3、方程ax2＋b x＋c＝0(a≠0)的实数根可写为x=a acb b24 2-±-(b2-4ac≥0)。
全新华师大版九年级数学上册教案(全册 共86页)
全新华师大版九年级数学上册教案（全册共86页）目录21.1二次根式1.二次根式的乘法2.积的算术平方根3.二次根式的除法21.3 二次根式的加减22.1 一元二次方程22.2 一元二次方程的解法1.直接开平方法和因式分解法第1课时直接开平方法第2课时因式分解法2.配方法3.公式法4.一元二次方程根的判别式5.一元二次方程的根与系数的关系22.3 实践与探索第1课时利用一元二次方程解决几何问题第2课时利用一元二次方程解决平均变化率、利润问题23.1 成比例线段1.成比例线段2.平分线分线段成比例23.2 相似图形23.3 相似三角形1.相似三角形2.相似三角形的判定第1课时利用两角判定两个三角形相似第2课时利用两边及夹角和三边判定两个三角形相似3.相似三角形的性质4.相似三角形的应用23.4 中位线23.5 位似图形23.6 图形与坐标1.用坐标确定位置2.图形的变换与坐标解直角三角形24.1 测量24.2 直角三角形的性质24.3 锐角三角函数1.锐角三角函数21.1 二次根式1．能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；(难点)2．能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．(重点)一、情境导入问题1：你能用带有根号的式子填空吗？(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S 的正方形的边长为________． (2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m 2，则它的宽为________m.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与落下的高度h (单位：m)满足关系h ＝5t 2，如果用含有h 的式子表示t ，则t ＝______．问题2：上面得到的式子3，S ，65，h5分别表示什么意义？它们有什么共同特征？ 二、合作探究探究点一：二次根式的定义下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？ (1)11；(2)－5；(3)（－7）2； (4)313；(5)15－16；(6)3－x (x ≤3)； (7)－x (x ≥0)；(8)（a －1）2；(9)－x 2－5； (10)（a －b ）2(ab ≥0)．解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．解：因为11，（－7）2，15－16＝130，3－x (x ≤3)，（a －1）2，（a －b ）2(ab ≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x (x ≥0)，－x 2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“ ”；(2)被开方数是非负数．探究点二：二次根式有意义的条件【类型一】 根据二次根式有意义求字母的取值范围求使下列式子有意义的x 的取值范围．(1)14－3x；(2)3－x x －2；(3)x ＋5x .解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解．解：(1)由题意得4－3x ＞0，解得x ＜43.当x ＜43时，14－3x有意义；(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x －2≠0，解得x ≤3且x ≠2.当x ≤3且x ≠2时，3－xx －2有意义；(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x ≠0，解得x ≥－5且x ≠0.当x ≥－5且x ≠0时，x ＋5x 有意义．方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【类型二】 利用二次根式的非负性求解 (1)已知a 、b 满足2a ＋8＋|b －3|＝0，解关于x 的方程(a ＋2)x ＋b 2＝a －1； (2)已知x 、4，求y x 的平方根．解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x 的值，进而求得y 的值，进而可求出y x 的平方根．解：(1)根据题意得⎩⎨⎧2a ＋8＝0，b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝ 3.则(a ＋2)x ＋b 2＝a －1，即－2x ＋3＝－5，解得x ＝4；(2)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，3－x ≥0，解得x ＝3.则y ＝4，故y x ＝43＝64，±64＝±8，∴y x 的平方根为±8.方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题先观察下列等式，再回答下列问题．①1＋112＋122＝1＋11－11＋1＝112； ②1＋122＋132＝1＋12－12＋1＝116； ③1＋132＋142＝1＋13－13＋1＝1112. (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出1＋142＋152的结果； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用 含n 的式子表示的等式(n 为正整数)．解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n ＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．解：(1)1＋142＋152＝1＋14－14＋1＝1120； (2)1＋1n 2＋1（n ＋1）2＝1＋1n －1n ＋1＝11n （n ＋1）(n 为正整数)． 方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．三、板书设计1．二次根式的定义一般地，我们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式． 2．二次根式有意义的条件被开方数(式)为非负数；a 有意义⇔a ≥0.通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．21.2 二次根式的乘除 1.二次根式的乘法1．掌握二次根式乘法法则；(重点)2．会进行二次根式的乘法运算．(重点、难点)一、情境导入小颖家有一块长方形菜地，长6m ，宽3m ，那么这个长方形菜地的面积是多少？二、合作探究探究点：二次根式的乘法【类型一】二次根式的乘法法则成立的条件式子x ＋1·2－x ＝（x ＋1）（2－x ）成立的条件是( ) A ．x ≤2 B ．x ≥－1C ．－1≤x ≤2D ．－1＜x ＜2解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≥0，解得－1≤x ≤2.故选C.方法总结：运用二次根式的乘法法则：a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)，必须注意被开方数均是非负数这一条件．【类型二】 二次根式的乘法运算计算：(1)3×5；(2)14×64； (3)627×(－33)； (4)3418ab ·⎝⎛⎭⎫－2a6b 2a . 解析：有理式的乘法运算律及乘法公式对二次根式同样适用，计算时注意最后结果要化为最简形式．解：(1)3×5＝3×5＝15； (2)14×64＝14×64＝16＝4； (3)627×(－33)＝－1827×3＝ －1881＝－18×9＝－162； (4) 3418ab ·⎝⎛⎭⎫－2a6b 2a ＝ －34·2a ·18ab ·6b 2a ＝－32a ·36×3b 3＝ －32a ·6b 3b ＝－9b a3b . 方法总结：在运算过程中要注意根号前的因数是带分数时，必须化成假分数，如果被开方数有能开得尽方的因数或因式，可先将二次根式化简后再相乘．三、板书设计在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程．对于二次根式的乘法法则的推导，先利用几个二次根式的具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则．在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达，更有助于学生合作精神的培养．2.积的算术平方根1．掌握积的算术平方根的性质；(重点)2．会用积的算术平方根的性质对二次根式进行化简．(难点)一、情境导入计算：(1)4×25与4×25；(2)16×9与16×9.思考：对于2×3与2×3呢？从计算的结果我们发现2×3＝2×3，这是什么道理呢？二、合作探究探究点一：积的算术平方根的性质化简：(1)（－36）×16×（－9）；(2)362＋482；(3)x3＋6x2y＋9xy2.解析：主要运用公式ab＝a·b(a≥0，b≥0)和a2＝a(a≥0)对二次根式进行化简．解：(1)（－36）×16×（－9）＝36×16×9＝62×42×32＝62×42×32＝6×4×3＝72；(2)362＋482＝（12×3）2＋（12×4）2＝122×（32＋42）＝122×52＝12×5＝60；(3)x3＋6x2y＋9xy2＝x（x＋3y）2＝（x＋3y）2·x＝|x＋3y|x.方法总结：利用积的算术平方根的性质可以对二次根式进行化简．探究点二：二次根式乘法的综合应用小明的爸爸做了一个长为588πcm，宽为48πcm的矩形木相框，还想做一个与它面积相等的圆形木相框，请你帮他计算一下这个圆的半径(结果保留根号)．解析：根据矩形的面积公式、圆的面积公式，构造等式进行计算．解：设圆的半径为r cm.因为矩形木相框的面积为588π×48π＝168π(cm2)，所以πr2＝168π，r＝242cm(r＝－242舍去)．答：这个圆的半径是242cm.方法总结：把实际问题转化为数学问题，列出相应的式子进行计算，体现了转化思想． 三、板书设计1．二次根式的乘法法则： a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0) 2．积的算术平方根： ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)在教学安排上，体现由具体到抽象的认识过程．对于二次根式的乘法法则的推导，先利用几个二次根式的具体计算，归纳出二次根式的乘法运算法则．在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，这样安排有助于学生缜密思考和严谨表达，更有助于学生合作精神的培养．3.二次根式的除法1．掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，会运用其进行相关运算；(重点) 2．能综合运用已学性质进行二次根式的化简与运算．(难点)一、情境导入计算下列各题，观察有什么规律？ (1)3649＝________；3649＝________． (2)916＝________；916＝________． 3649________3649；916________916. 二、合作探究探究点一：二次根式的除法【类型一】 二次根式的除法运算计算： (1)0.760.19；(2)－123÷554； (3)6a 2b 2ab；(4)5÷⎝⎛⎭⎫－5145. 解析：本题主要运用二次根式的除法法则来进行计算，若被开方数是分数，则被开方数相除时，可先用除以一个数等于乘这个数的倒数的方法进行计算，再进行约分．解：(1)0.760.19＝0.760.19＝4＝2； (2)－123÷554＝－123÷554＝－53×545＝－18＝－32； (3)6a 2b 2ab＝6a 2b2ab＝3a ； (4)5÷⎝⎛⎭⎫－5145＝－5÷595＝－5×15×59＝－15×53＝－13. 方法总结：利用二次根式的除法法则进行计算时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分化简．【类型二】 二次根式的乘除混合运算计算：(1)945÷3212×32223； (2)a 2·ab ·bb a÷9b 2a. 解析：先把系数进行乘除运算，再根据二次根式的乘除法则运算． 解：(1)原式＝9×13×32×45×25×83＝183；(2)原式＝a 2·b ·ab ·b a ·a 9b 2＝a 2b3a .方法总结：二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，在运算时要注意运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，要先将其化为假分数．探究点二：商的算术平方根的性质【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围若a 2－a ＝a2－a，则a 的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ≤2C ．0≤a ＜2D ．a ≥0解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，2－a ＞0，解得0≤a ＜2.故选C.方法总结：运用商的算术平方根的性质：b a ＝ba(a ＞0，b ≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式化简：(1)179； (2)3c 34a 4b 2(a ＞0，b ＞0，c ＞0)． 解析：运用商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根． 解：(1)179＝169＝169＝43；(2)3c34a4b2＝3c34a4b2＝c2a2b3c.方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．探究点三：最简二次根式在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由．(1)45；(2)13；(3)52；(4)0.5；(5)145.解析：根据满足最简二次根式的两个条件判断即可．解：(1)45＝35，被开方数含有开得尽方的因数，因此不是最简二次根式；(2)13＝33，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式；(3)52，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，因此它是最简二次根式；(4)0.5＝12＝22，被开方数含有小数，因此不是最简二次根式；(5)145＝95＝355，被开方数中含有分母，因此它不是最简二次根式．方法总结：解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．探究点四：二次根式除法的综合运用座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其周期计算公式为T＝2πlg，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g＝9.8米/秒2，假若一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14)?解析：由给出的公式代入数据计算即可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期得到次数．解：∵T＝2π0.59.8≈1.42，60T＝601.42≈42(次)，∴在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声．方法总结：解决本题的关键是正确运用公式．用二次根式的除法进行运算，解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一．三、板书设计1．二次根式的除法运算2．商的算术平方根3．最简二次根式被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．在教学中应注重积和商的互相转换，让学生通过具体实例再结合积的算术平方根的性质，对比、归纳得到商的算术平方根的性质．在此过程中应给予适当的指导，可提出问题让学生有一定的探索方向．在设计课堂教学内容时，以提问的方式引出本节课要解决的问题，让学生自主探究，在探究过程中观察知识产生发展的全过程，从而让学生的学习情感和学习品质得到升华，学生的创新精神得到发展．21.3 二次根式的加减1．会将二次根式化为最简二次根式，掌握二次根式加减法的运算；(重点) 2．熟练进行二次根式的加减运算，并运用其解决问题．(难点)3．正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简．(难点)一、情境导入小明家的客厅是长7.5m ，宽5m 的长方形，他要在客厅中截出两个面积分别为8m 2和18m 2的正方形铺不同颜色的地砖，问能否截出？二、合作探究探究点一：同类二次根式已知最简二次根式2a ＋b 与a ＋b3a －4能够合并同类项，求a ＋b 的值．解析：利用最简二次根式的概念求出a ，b 的值，再代入a ＋b 求解即可． 解：∵最简二次根式2a ＋b 与a ＋b3a －4能够合并同类项，∴a ＋b ＝2，2a ＋b ＝3a －4，解得a ＝3，b ＝－1，∴a ＋b ＝3＋(－1)＝2. 方法总结：根据同类二次根式的概念求待定字母的值时，应该根据同类二次根式的概念建立方程或方程组求解．探究点二：二次根式的运算【类型一】 二次根式的加减运算计算：12－13－(2)2＋|2－3|.解析：二次根式的加减运算应先化简，再合并同类二次根式． 解：原式＝23－33－2＋2－3＝⎝⎛⎭⎫2－13－13＝233. 方法总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变．【类型二】 二次根式的四则运算计算：(1)12223×9145÷35； (2)⎝⎛⎭⎫312－213＋48÷23＋⎝⎛⎭⎫132； (3)2－(3＋2)÷3.解析：先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并后进行二次根式的乘法运算，然后进行加法运算．解：(1)原式＝12×9×83×145×53＝12×9×229＝2； (2)原式＝⎝⎛⎭⎫63－233＋43÷23＋13＝2833×123＋13＝143＋13＝5； (3)原式＝2－(3＋2)÷13＝2－3＋23＝2－1－233.方法总结：二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．【类型三】 二次根式的化简求值先化简，再求值：a －b a ÷⎝⎛⎭⎫a －2ab －b 2a ，其中a ＝2＋3，b ＝2－ 3.解析：先将原式化为最简形式，再将a 与b 的值代入计算即可求出．解：原式＝（a ＋b ）（a －b ）a ÷a 2－2ab ＋b 2a ＝（a ＋b ）（a －b ）a ·a（a －b ）2＝a ＋b a －b .当a ＝2＋3，b ＝2－3时，原式＝2＋3＋2－32＋3－2＋3＝423＝233.方法总结：化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解．【类型四】 二次根式运算在实际生活中的应用母亲节快到了，为了表示对妈妈的感恩，小号同学特地做了两张大小不同的正方形的壁画送给妈妈，其中一张面积为800cm 2，另一张面积为450cm 2，他想如果再用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有1.2m 长的金色细彩带，请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够，还需买多长的金色细彩带(2≈1.414，结果保留整数)?解析：先求出每张正方形壁画的边长，再根据正方形的周长公式求所需金色细彩带的长． 解：镶壁画所用的金色细彩带的长为：4×(800＋450)＝4×(202＋152)＝1402≈197.96(cm)．因为 1.2m ＝120cm ＜197.96cm ，所以小号的金色细彩带不够用.197.96－120＝77.96≈78(cm)，即还需买78cm 的金色细彩带．方法总结：利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求．三、板书设计 1．同类二次根式 2．二次根式的加减一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化简成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．3．二次根式的四则运算先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的．在授课过程中，要以学生为主体，进行探究性学习，让学生自己发现规律，得出结论．在例题的选择上可由简到难，符合学生的认知规律，便于学生掌握知识．在得到定义、法则的过程中，让学生经历发现、思考、探究的过程，体会学习知识的成功与快乐．22.1 一元二次方程1．理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式． 2．会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题．3．在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识．一、情境导入参加一次集会，如果有x 个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？二、合作探究探究点一：一元二次方程的概念 【类型一】一元二次方程的识别下列选项中，是关于x 的一元二次方程的是( )A ．x 2＋1x2＝1 B ．3x 2－2xy －5y 2＝0C ．(x －1)(x －2)＝3D ．ax 2＋bx ＋c ＝0解析：选项A 中的方程分母含有未知数，所以它不是一元二次方程；选项B 中的方程含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；当a ＝0时，选项D 中的方程不含二次项，所以它不是一元二次方程，排除A 、B 、D ，故选C.方法总结：判断一个方程是不是一元二次方程，必须将方程化简后再进行判断．一元二次方程的三个条件：一是方程两边都是整式；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足，缺一不可．【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数关于x 的方程(k ＋1)x ＋kx ＋1＝0是一元二次方程，则k 的值为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|k －1|＝2，k ＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3或k ＝－1，k ≠－1.∴k ＝3.方法总结：由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．探究点二：一元二次方程的一般形式将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)3x 2－2＝5x ；(2)9x 2＝16；(3)2x (3x ＋1)＝17；(4)(3x －5)(x ＋1)＝7x －2.解析：先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称．解：(1)方程化为一般形式为3x 2－5x －2＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是－2.(2)方程化为一般形式为9x 2－16＝0，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是－16.(3)方程化为一般形式为6x 2＋2x －17＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是－17.(4)方程化为一般形式为3x 2－9x －3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常数项是－3.方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号．探究点三：列一元二次方程(2015·深圳一模)在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m 2.已知床单的长是2m ，宽是1.4m ，求花边的宽度．请根据题意列出方程．解析：设花边的宽度为x m ，则由图可知剩下部分的长为(2－2x )m ，剩下部分的宽为(1.4－2x )m.∵剩下部分面积为1.6m 2，∴可列方程(2－2x )(1.4－2x )＝1.6.方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程．探究点四：一元二次方程的解 【类型一】判断一元二次方程的解方程x －2x ＝0的解为( ) A ．x 1＝1，x 2＝2 B ．x 1＝0，x 2＝1C ．x 1＝0，x 2＝2D ．x 1＝12，x 2＝2解析：把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C 中的x 1＝0，x 2＝2都能使方程x 2－2x ＝0的左右两边相等，所以选C.方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解．【类型二】利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值已知1是关于x的一元二次方程(m－1)x＋x＋1＝0的一个根，则m的值是( ) A．1 B．－1C．0 D．无法确定解析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次方程，所以二次项系数不能等于0.由此得，(m－1)＋1＋1＝0，解得m＝－1，此时m－1＝－2≠0，∴m＝－1.故选B.方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法.22.2 一元二次方程的解法1.直接开平方法和因式分解法第1课时直接开平方法1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．2．运用开平方法解形如(x＋m)2＝n的方程．3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣．一、情境导入一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x ，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？二、合作探究探究点：直接开平方法【类型一】用直接开平方法解一元二次方程运用开平方法解下列方程： (1)4x 2＝9；(2)(x ＋3)2－2＝0.解析：(1)先把方程化为x 2＝a (a ≥0)的形式；(2)原方程可变形为(x ＋3)2＝2，则x ＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解．解：(1)由4x 2＝9，得x 2＝94，两边直接开平方，得x ＝±32，∴原方程的解是x 1＝32，x 2＝－32.(2) 移项，得(x ＋3)2＝2.两边直接开平方，得x ＋3＝± 2.∴x ＋3＝2或x ＋3＝－ 2.∴原方程的解是x 1＝2－3，x 2＝ －2－3.方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x 2＝a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可解得x 1＝a ，x 2＝－a .【类型二】直接开平方法的应用(2014·山东济宁中考)若一元二次方程ax 2＝b (ab >0)的两个根分别是m ＋1与2m －4，则b a＝________.解析：∵ax 2＝b ，∴x ＝±ba，∴方程的两个根互为相反数，∴m ＋1＋2m －4＝0，解得m ＝1，∴一元二次方程ax 2＝b (ab ＞0)的两个根分别是2与－2，∴b a ＝2，∴ba＝4，故答案为4.【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用若一元二次方程(a ＋2)x －ax ＋a －4＝0的一个根为0，则a ＝________．解析：∵一元二次方程(a ＋2)x 2－ax ＋a 2－4＝0的一个根为0，∴a ＋2≠0且a 2－4＝0，∴a ＝2.故答案为2.【类型四】直接开平方法的实际应用有一个边长为11cm 的正方形和一个长为13cm ，宽为8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算．解：设新正方形的边长为x cm ，根据题意得x 2＝112＋13×8，即x 2＝225，解得x ＝±15.因为边长为正，所以x ＝－15不合题意，舍去，所以只取x ＝15.答：新正方形的边长应为15cm.方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实。
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公式法
【知识与技能】
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.
2.会熟练应用公式法解一元二次方程.
【过程与方法】
通过复习配方法解一元二次方程，引导学生推导出求根公式，使学生进一步认识特殊与一般的关系.
【情感态度】
经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力，渗透辩证唯物主义观点.
【教学重点】
求根公式的推导和公式法的应用.
【教学难点】
一元二次方程求根公式的推导.
一、情境导入，初步认识
用配方法解方程：（1）x2+3x+2=0 （2）2x2-3x+5=0
解：（1）x1=-1,x2=-2 （2）无解
二、思考探究，获取新知
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？
问题已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根
【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把a,b,c也当成具体数字，根据上面的解题步骤就可以推导下去.
探究一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a,b,c而定，因此:
（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，
将a,b,c 代入式子a
ac b b x 242-±-=就得到方程的根，当b 2-4ac ＜0时,方程没有实数根. （2）a
ac b b x 242-±-=叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式. （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式，体验获取知识的过程，体会成功的喜悦，可让学生小组展示.
例1 用公式法解下列方程：
①2x 2-4x-1=0 ②5x+2=3x
2 ③（x-2）（3x-5）=0 ④4x 2-3x+1=0
解：①x 1=1+26,x 2=1-2
6 ②x 1=2,x 2=-
3
1 ③x 1=2,x 2=35 ④无解
【教学说明】（1）对②、③要先化成一般形式；（2）强调确定a,b,c 的值，注意它们的符号；（3）先计算b 2-4ac 的值，再代入公式.
三、运用新知，深化理解
1.用公式法解下列方程：
（1）x 2+x-12=0
（2）x 2-2x-41=0 （3）x 2+4x+8=2x+11
（4）x （x-4）=2-8x
（5）x 2
+2x=0
（6）x 2+25x+10=0 解：（1）x 1=3,x 2=-4;
（2）x 1=232+,x 2=2
32-；
（3）x1=1,x2=-3;
（4）x1=-2+6，x2=-2-6；
（5）x1=0,x2=-2;
（6）无解.
【教学说明】用公式法解方程关键是要先将方程化为一般形式.
四、师生互动，课堂小结
1.求根公式的概念及其推导过程.
2.公式法的概念.
3.应用公式法解一元二次方程.
1.布置作业：从教材相应练习和“习题2
2.2”中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.
在学习活动中，要求学生主动参与，认真思考，比较观察，交流与表述，体验知识的获取的过程，激发学生的学习兴趣，利用师生的双边活动，适时调试，从而提高学习效率.。