板块一 六大核心素养引领二轮复习

一、数学抽象、直观想象素养1数学抽象例1(1)如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；①骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；①骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；①骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样．其中，正确信息的序号是________．答案①①①解析看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此①正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故①正确，①错误．(2)某楼梯共有11级，每步可走一级或二级，走完这11级楼梯共有多少种不同的走法？解楼梯共有11级，数值比较大，可以先考虑简单情形．楼梯共有：1级、2级、3级、4级、5级、…，从特殊的情境里发现规律.从上面的走法种数1,2,3,5,8，…可以发现：前两个走法种数之和是下一个走法种数．于是，容易推算出：走完这11级楼梯，共有144种不同的走法．1．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟 答案 B解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧ 0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．2．甲、乙两种食物的维生素含量如下表：分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A ，B 的含量分别不低于100,120个单位，则混合物重量的最小值为________ kg. 答案 30解析 设甲食物重x kg ，乙食物重y kg ，①A ，B 的含量分别不低于100,120个单位，①⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y ≥100，5x ＋2y ≥120，x ≥0，y ≥0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y ＝100，5x ＋2y ＝120，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝10，①A(20,10)，混合物重z＝x＋y，平移直线z＝x＋y，由图知，当直线过A(20,10)时，z取最小值为20＋10＝30.素养2 直观想象例2 (1)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ①N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ①N *(P ≠Q 表示点P 与点Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为①A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n }是等差数列答案 A解析 作A 1C 1，A 2C 2，A 3C 3，…，A n C n 垂直于直线B 1B n ，垂足分别为C 1，C 2，C 3，…，C n ，则A 1C 1①A 2C 2①…①A n C n .①|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，①|C n C n ＋1|＝|C n ＋1C n ＋2|.设|A 1C 1|＝a ，|A 2C 2|＝b ，|B 1B 2|＝c ，则|A 3C 3|＝2b －a ，…，|A n C n |＝(n －1)b －(n －2)a (n ≥3)，n ＝1和n ＝2时也符合．①S n ＝12c [(n －1)b －(n －2)a ]＝12c [(b －a )n ＋(2a －b )]，①S n ＋1－S n ＝12c [(b －a )(n ＋1)＋(2a －b )－(b －a )n －(2a －b )]＝12c (b －a )，①数列{S n }是等差数列．(2)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是AC 1，A 1B 1的中点．点P 在该正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于( ) A.5＋1 B.5＋2 C ．25＋1D ．25＋2答案 B解析 如图，取BB 1的中点E ，CC 1的中点F ，连接AE ，EF ，FD ，则BN ①平面AEFD .设M 在平面ABB 1A 1中的射影为O ，过MO 与平面AEFD 平行的平面为α，①能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD 的周长相等，①正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，①矩形AEFD 的周长为5＋2.3．“牟合方盖”(如图1)是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图2所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在，当其正(主)视图和侧(左)视图完全相同时，它的正(主)视图和俯视图分别可能是( )A．a，b B．a，c C．c，b D．b，d答案A解析当正(主)视图和侧(左)视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正(主)视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.4．(2019·北京)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案C解析由三视图得到空间几何体，如图所示，则P A①平面ABCD，平面ABCD为直角梯形，P A＝AB＝AD＝2，BC ＝1，所以P A①AD，P A①AB，P A①BC.又BC①AB，AB∩P A＝A，AB，P A⊂平面P AB，所以BC①平面P AB.又PB⊂平面P AB，所以BC①PB.在①PCD中，PD＝22，PC＝3，CD＝5，所以①PCD为锐角三角形．所以侧面中的直角三角形为①P AB，①P AD，①PBC，共3个．故选C.二、逻辑推理、数学运算素养3逻辑推理3b|＝|3a＋b|”是“a①b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2，即a2＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b.又a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1，所以a·b＝0，能推出a①b.由a①b得|a－3b|＝10，|3a＋b|＝10，能推出|a－3b|＝|3a＋b|.所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a①b”的充要条件．故选C.(2)记I为虚数集，设a，b①R，x，y①I，则下列类比所得的结论正确的是______．(填序号)①由a·b①R，类比得x·y①I；①由a2≥0，类比得x2≥0；①由(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，类比得(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2；①由a＋b>0，a>－b，类比得x＋y>0，x>－y.答案①解析①由a·b①R，不能类比得x·y①I，如x＝y＝i，则xy＝－1∉I，故①不正确；①由a2≥0，不能类比得x2≥0.如x＝i，则x2<0，故①不正确；①由(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，可类比得(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2，故①正确；①若x，y①I，当x＝1＋i，y＝－i时，x＋y＞0，但x，y是两个虚数，不能比较大小，故①错误．故4个结论中，①正确．5．已知从2开始的连续偶数蛇形排列成宝塔形的数表，第一行为2，第二行为4,6，第三行为12,10,8，第四行为14,16,18,20，…，如图所示，在该数表中位于第i 行、第j 列的数记为a ij ，如a 32＝10，a 54＝24.若a ij ＝2 018，则i ＋j ＝________.答案 72解析 第1行有1个偶数，第2行有2个偶数，…，第n 行有n 个偶数，则前n 行共有1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2(个)偶数，2 018在从2开始的偶数中排在第1 009位，所以n (n ＋1)2≥1 009，所以n ≥45.当n ＝44时，第44行第44个偶数为44(44＋1)2×2＝1 980， 所以第44行结束时最右边的偶数为1 980.由题意得2 018排在第45行的第27位，所以i ＋j ＝45＋27＝72.6．甲、乙、丙三位同学被问到是否参加了学校组织的A ，B ，C 三个活动兴趣小组时，甲说：我参加的兴趣小组比乙多，但没参加过A 兴趣小组； 乙说：我没参加过B 兴趣小组；丙说：我们三人参加了同一个兴趣小组．由此可判断乙参加的兴趣小组为________．答案 C解析 ①三人参加了同一个兴趣小组，乙不参加B ，甲不参加A ， ①三人共同参加的小组只有C ，又①甲参加的兴趣小组比乙多，甲不参加A①甲参加两个兴趣小组，乙参加一个小组，①甲参加B 和C ，①乙参加的兴趣小组是C .素养4 数学运算，AC ＝5，则AB 等于( ) A ．4 2B.30C.29D ．25答案 A解析 ①cos C 2＝55，①cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35. 在①ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32， ①AB ＝32＝4 2.故选A.(2)(2019·全国①)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |等于( )A.15B.55C.255 D ．1答案 B解析 由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，①cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，又cos α≠0，①1－tan 2α1＋tan 2α＝23， 唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。