(完整版)初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全).doc

初中几何中线段和（差）的最值问题 一、两条线段和的最小值。 基本图形解析 ：（对称轴为：动点所在的直线上

一）、已知两个定点： 1、在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA+PB 最小； （1）点 A、 B 在直线 m 两侧： A A A

P m m

B B

（2）点 A、 B 在直线同侧： A

A B m

A' A 、 A’是关于直线 m 的对称点。

2、在直线 m、n 上分别找两点 P、 Q，使 PA+PQ+QB 最小。 （1）两个点都在直线外侧： A

A m

P'P

） m B

B m P

m n B （2）一个点在内侧，一个点在外侧：

Q' Q

A n

B m A P m

B n

B n Q

B'

（3）两个点都在内侧： m A' m

A A

P

B B

n Q

n B' （4）、台球两次碰壁模型 变式一：已知点 A 、B 位于直线 m,n 的内侧，在直线 n、m 分别上求点 D、 E 点，使 得围成的四边形 ADEB 周长最短 . n n A'

A

B A

B D

m m E

B'

填空：最短周长 =________________ 变式二：已知点 A 位于直线 m,n 的内侧 , 在直线 m、n 分别上求点 P、Q 点 PA+PQ+QA 周长最短 . n

n A' A A Q

m P m

A" 二）、一个动点，一个定点： （一） 动点 在直线上运动： 点 B 在直线 n 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点 B） 1、两点在直线两侧：

n n B

m m P A A

2、两点在直线同侧： n n B

A A m

P m

A' （二）动点在圆上运动 点 B 在⊙ O 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点 B ） 1、点与圆在直线两侧：

O O B'

B m P

P' m

A A

2、点与圆在直线同侧： O O

A B A

m m P A'

三）、已知 A 、 B 是两个定点， P、 Q 是直线 m 上的两个动点， P 在 Q 的左侧 ,且 PQ 间长度恒定 ,在直线 m 上要求 P、 Q 两点，使得 PA+PQ+QB 的值最小。 (原理用平移知识解 ) （ 1）点 A 、B 在直线 m 两侧：

A A C

m m P Q

P Q

B B

过 A 点作 AC ∥ m,且 AC长等于 PQ长，连接 BC, 交直线 m 于 Q,Q 向左平移 PQ 长，即为 P 点，此时 P、 Q 即为所求的点。 （ 2）点 A 、 B 在直线 m 同侧：

A A E B B

P m P m Q Q B' 练习题 1．如图，∠ AOB=45 °， P 是∠ AOB 内一点， PO=10 ， Q、 R 分别是 OA、 OB 上的动点，求 △PQR 周长的最小值为 ．

Q 2、 如图 1，在锐角三角形 ABC中， AB=4 , ∠ BAC=45°，∠ BAC的平分线交 BC于

点 D，

M,N分别是 AD和 AB上的动点，则 BM+MN的最小值为

．

3、如图，在锐角三角形 ABC 中 ，AB= 5 2 ，∠ BAC=45

，BAC

N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是多少？

的平分线交 BC 于 D ，M 、

4、如图 4 所示，等边△ ABC的边长为 6,AD 是 BC边上的中线 ,M 是 AD上的动点 ,E 是 AC边上

一点 . 若 AE=2,EM+CM的最小值为 .

5、如图 3，在直角梯形 ABCD中，∠ ABC＝ 90°， AD∥BC，AD＝ 4，AB＝ 5，BC＝ 6，点 P 是 AB 上一个动点，当 PC＋ PD的和最小时， PB 的长为 __________ ．

6、 如图 4，等腰梯形 ABCD中， AB=AD=CD=1，∠ ABC=60°， P 是上底，下底中点 EF直线上

的一点，则 PA+PB的最小值为 ． 7、如图 5 菱形 ABCD中， AB=2，∠ BAD=60°， E 是 AB

的中

点， P是对角线 AC上的一个动点，则 PE+PB的最小值 为 ．

8、如图，菱形 ABCD 的两条对角线分别长 6和 8，点 P是对角线 AC 上的一个动点，点 M 、N分别是边 AB 、BC 的中点，则 PM+PN 的最小值是

9、如图，圆柱形玻璃杯，高为 12cm，底面周长为 18cm，在杯内离杯底 3cm 的点 C 处有一 滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂 蜜的最短距离为 ________cm．

10 、如 图 ，菱 形 ABCD 中 ， AB=2 ，∠ A=120° ，点 P，Q ， K 分 别 为线 段 BC ， CD ，

BD 上 的 任 意 一 点 ， 则 11、如图，正方形 ABCD PK+QK 的边长为 的 最 小 值 为 2，E 为 AB 的中点， P 是 AC 上一动点．则 PB+PE 的最

小值是

12、 如图 6 所示，已知正方形 DN+MN ABCD的边长为 8，点 M在 DC上，且 DM=2， N 是 AC上的一 13、如图，正方形 ABCD 的边长是 2，∠ DAC

AD 和 AE 上的动点，则 DQ+PQ 的最小值为 的平分线交 ． DC 于点 E，若点 P、 Q 分别是 14、如图 7，在边长为 2cm 的正方形 ABCD中，点 Q为 BC边的中点，点 P 为对角线 AC上一 动点，连接 PB、 PQ，则△ PBQ周长的最小值

为 cm．（结果不取近似值）．

15、如图，⊙ O 的半径为 2，点 A、 B、C 在⊙ O 上， OA⊥ OB，∠ AOC=60 °， P 是 OB 上一

动点，则 PA+PC 的最小值是 ．

16、如图 P 是直径 8，MN是半径为MN上一动点，则 1 的⊙ O的直径，点PA＋ PB的最小值为 A 在⊙ O上，∠ ( ) AMN＝ 30°， B 为 AN弧的中点， (A)2 (B) (C)1 (D)2 解答题

1、如图 9，正比例函数 y= x 的图象与反比例函数 y= （ k≠ 0）在第一象限的图象交于 A

点，过 A 点作 x 轴的垂线，垂足为 M，已知三角形 OAM的面积为 1.

（ 1）求反比例函数的解析式；

（ 2）如果 B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点 B 与点 A 不重合），且 B 点的横坐标为 1，在 x 轴上求一点 P，使 PA+PB最小 . 2 、如 图 ，一 元 二 次 方 程 x 2+2x-3=0 的 二 根 x 1 ， x2 （ x 1＜ x 2 ）是 抛 物 线 y=ax 2+bx+c

与 x 轴 的 两 个 交 点 B， C 的 横 坐 标 ， 且 此 抛 物 线 过 点 A（ 3 ， 6 ）．（ 1） 求 此 二 次 函 数 的 解 析 式 ；

（ 2） 设 此 抛 物 线 的 顶 点 为 P， 对 称 轴 与 AC 相 交 于 点 Q， 求 点 P 和 点 Q 的 坐 标 ；（ 3） 在 x 轴 上 有 一 动 点 M， 当 MQ+MA取 得 最小值时 ， 求 M 点 的 坐 标 ．

3、如图 10，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 （ 1， ） ， △AOB的面积是 .

（ 1）求点 B 的坐标； （ 2）求过点 A、 O、 B 的抛物线的解析式；

（ 3）在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使△ AOC的周长最小？若存在，求出 点 C 的 坐标；若不存在，请说明理由；