线段差的最大值
一次函数综合—线段和差、存在性问题解析
一次函数的应用—线段和差、存在性问题一、一次函数线段和差最值问题【知识点】1. 最短路径原理【原理1】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小。
连AB，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为AB．【原理2】作法作图原理在直线l 上求一点P，使PA+PB 值最小．作 B 关于l 的对称点B＇连A B＇，与l 交点即为P．两点之间线段最短．PA+PB 最小值为A B＇．【原理3】作法作图原理在直线l 上求一点P，使作直线AB，与直线l的交点即为P．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB .PBPA－（1）求线段和最小时动点坐标或直线解析式； （2）求三角形周长最小值；（3）求线段差最大时点的坐标或直线解析式。
3. 口诀：“和小异，差大同”（一）一次函数线段和最小值问题【例题讲解】★★☆例题1．在平面直角坐标系xOy 中，y 轴上有一点P ，它到点(4,3)A ，(3,1)B 的距离之和最小，则点P 的坐标是( ) A ．(0,0)B ．4(0,)7C ．5(0,)7D ．4(0,)5【答案】C的值最大 .【原理 4】作法作图原理在直线 l 上求一点 P ，使的值最大 .作 B 关于 l 的对称点 B ＇作直线 A B ＇，与 l 交点即为 P ．三角形任意两边之差小于第三边．≤A B ＇ .PB PA －PB PA －PB PA －【解析】解：作A 关于y 轴的对称点C ，连接BC 交y 轴于P ，则此时AP PB +最小，即此时点P 到点A 和点B 的距离之和最小，(4,3)A ，(4,3)C ∴-，设直线CB 的解析式是y kx b =+，把C 、B 的坐标代入得：3413k bk b =-+⎧⎨-=+⎩，解得：47k =-，57b =，4577y x ∴=-+，把0x =代入得：57y =， 即P 的坐标是5(0,)7，故选：C ．【备注】本题考查了轴对称-最短路线问题，一次函数的解析式，坐标与图形性质等知识点，关键是能画出P 的位置，题目比较典型，是一道比较好的题目．★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，已知点(2,3)A ，点(2,1)B -，在x 轴上存在点P 到A ，B 两点的距离之和最小，则P 点的坐标是 ．【答案】(1,0)-【解析】解：作A 关于x 轴的对称点C ，连接BC 交x 轴于P ，则此时AP BP +最小，A 点的坐标为(2,3)，B 点的坐标为(2,1)-，(2,3)C ∴-，设直线BC 的解析式是：y kx b =+，把B 、C 的坐标代入得：2123k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解得11k b =-⎧⎨=-⎩．即直线BC 的解析式是1y x =--，当0y =时，10x --=，解得：1x =-，P ∴点的坐标是(1,0)-．故答案为：(1,0)-．【备注】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题的应用，关键是能找出P 点，题目具有一定的代表性，难度适中．★★☆练习2．如图，直线34120x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点B 、A 两点，以线段AB 为边在第一象限内作正方形ABCD ．若点P 为x 轴上的一个动点，求当PC PD +的长最小时点P 的坐标．【答案】详见解析【解析】解：直线34120x y +-=与x 轴、y 轴分别交于点B 、A 两点，则点A 、B 的坐标分别为：(0,3)，(4,0)，如图所示，过点C 作CH x ⊥轴交于点H ，90ABO BAO ∠+∠=︒，90ABO CBH ∠+∠=︒，CBH BAO ∴∠=∠，又90AOB CHB ∠=∠=︒，AB BC =，()AOB BHC AAS ∴∆≅∆，4CH OB ∴==，3HB OA ==，故点(7,4)C ，同理可得点(3,7)D ，确定点C 关于x 轴的对称点(7,4)C '-，连接C D '交x 轴于点P ，则此时PC PD +的长最小，将点C '、D 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD 的表达式为：116144y x =-+， 当0y =时，6111x =，故点61P，0)．(11【备注】本题考查的是一次函数上坐标点的特征，涉及到点的对称性、正方形性质等，本题的难点在于：通过证明三角形全等，确定点C、D的坐标．★★☆例题2．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，3OB=，D为边OB的中点，若E为x轴上的一个动点，当CDE∆的周长最小时，求点E OA=，4的坐标()A．(3,0)-B．(1,0)C．(0,0)D．(3,0)【答案】B【解析】解：如图，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，连接DE．若在边OA上任取点E'与点E不重合，连接CE'、DE'、D E''由DE CE D E CE CD D E CE DE CE'+'=''+'>'='+=+，可知CDE∆的周长最小．OB=，D为边OB的中点，42∴=，OD∴，(0,2)D在矩形OACB 中，3OA =，4OB =，D 为OB 的中点，3BC ∴=，2D O DO '==，6D B '=，//OE BC ，Rt ∴△D OE Rt '∽△D BC '，∴OE D OBC D B '=' 即236OE = 1OE =，∴点E 的坐标为(1,0)故选：B ．【备注】此题主要考查轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．★★☆练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(1,4)和(3,0)，点C 是y 轴上的一个动点，连接AC 、BC ，当ABC ∆的周长最小值时，ABC ∆的面积为 ．【答案】3【解析】解：如图，作点A 关于y 轴的对称点A '，连接A B '交y 轴于点C '，此时ABC ∆'的周长最小，设直线A B ' 的解析式为y kx b =+，(1,4)A '-，(3,0)B ，∴430k b k b -+=⎧⎨+=⎩，1k ∴=-，3b =，∴直线A B ' 的解析式为3y x =-+，当0x =时，3y =，(0,3)C ∴'，ABC AA BAA C S SS∆'''∴=-11242122=⨯⨯-⨯⨯ 413=-=．所以ABC ∆'的面积为3．故答案为：3．【备注】本题考查了轴对称、最短路线问题、坐标与图形性质、三角形的面积，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边 在第二象限内作正方形ABCD ．（1）求点A 、B 的坐标，并求边AB 的长；（2）求点C 和点D 的坐标；（3）在x 轴上找一点M ，使MDB ∆的周长最小，请求出M 点的坐标，并直接写出MDB ∆的周长最小值．【答案】详见解析【解析】解： （1）对于直线122y x =+， 令0x =，得到2y =；令0y =，得到4x =-，(4,0)A ∴-，(0,2)B ，即4OA =，2OB =， 则224225AB =+=；（2）过D 作DE x ⊥轴，过C 作CF y ⊥轴，四边形ABCD 为正方形，AB BC AD ∴==，90ABC BAD BFC DEA AOB ∠=∠=∠=∠=∠=︒，90FBC ABO ∠+∠=︒，90ABO BAO ∠+∠=︒，90DAE BAO ∠+∠=︒，FBC OAB EDA ∴∠=∠=∠，()DEA AOB BFC AAS ∴∆≅∆≅∆，2AE OB CF ∴===，4DE OA FB ===，即426OE OA AE =+=+=，246OF OB BF =+=+=，则(6,4)D -，(2,6)C -；（3）如图所示，连接BD ，找出B 关于y 轴的对称点B '，连接DB '，交x 轴于点M ，此时BM MD DM MB DB +=+'='最小，即BDM ∆周长最小，(0,2)B ，(0,2)B ∴'-，设直线DB '解析式为y kx b =+，把(6,4)D -，(0,2)B '-代入得：642k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得：1k =-，2b =-，∴直线DB '解析式为2y x =--，令0y =，得到2x =-，则M 坐标为(2,0)-， 此时MDB ∆的周长为21062+．【备注】本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，勾 股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，对称性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握 性质及定理是解本题的关键（二）一次函数线段差最大值问题【例题讲解】★★☆例题1．已知，如图点(1,1)A ，(2,3)B -，点P 为x 轴上一点，当||PA PB -最大时，点P的坐标为( )A ．1(,0)2B ．5(,0)4C ．1(,0)2-D ．(1,0)【答案】A【解析】解：作A 关于x 轴对称点C ，连接BC 并延长交x 轴于点P ， (1,1)A ，C ∴的坐标为(1,1)-，连接BC ，设直线BC 的解析式为：y kx b =+，∴123k b k b +=-⎧⎨+=-⎩， 解得：21k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为：21y x =-+， 当0y =时，12x =， ∴点P 的坐标为：1(2，0)，当B ，C ，P 不共线时，根据三角形三边的关系可得：||||PA PB PC PB BC -=-<，∴此时||||PA PB PC PB BC -=-=取得最大值．故选：A ．【备注】此题考查了轴对称、待定系数法求一次函数的解析式以及点与一次函数的关系．此题难度较大，解题的关键是找到P 点，注意数形结合思想与方程思想的应用．★★☆练习1．平面直角坐标系中，已知(4,3)A 、(2,1)B ，x 轴上有一点P ，要使PA PB -最大，则P 点坐 标为【答案】(1,0)【解析】解：(4,3)A 、(2,1)B ，x 轴上有一点P ，||PA PB AB ∴-，∴当A ，B ，P 三点共线时，PA PB -最大值等于AB 长，此时，设直线AB 的解析式为y kx b =+，把(4,3)A 、(2,1)B 代入，可得3412k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得11k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线AB 的解析式为1y x =-，令0y =，则1x =，P ∴点坐标为(1,0)，故答案为：(1,0)． 【备注】本题主要考查了坐标与图形性质，利用待定系数法求得直线AB 的解析式是解决问题的关键． ★★☆练习2．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(6,0)，点P 在一次函数1322y x =+的图象上运动，则PB PA -的最大值为( )A ．2B ．233C ．4D ．143【答案】C【解析】解：如图，作点A 关于直线1322y x =+的对称点K ，连接AK 交直线于H ，连接PK ．AK PH ⊥，(0,4)A ，∴直线AK 的解析式为24y x =-+，由132224y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩， (1H ∴，20，AH KH =，(2,0)K ∴．PB PA PB PK KB ∴-=-，∴当点P 在BK 的延长线上时，P B P K BK '-'=的值最大，最大值为624-=，故选：C ．【备注】本题考查一次函数图象上的点的特征、轴对称等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题 属于中考常考题型．【题型知识点总结】一次函数最短路径问题注意事项：1. 根据“和小异，差大同”判断是否需要作对称；2. 作对称时注意要选取动点运动的直线为对称轴作某一定点的对称点。
最新初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：（3）两个点都在内侧：mmm mA Bmn m nn m nnm B（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：m nmnm nm（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧：mmmmQ Q练习题1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR周长的最小值为 ．2、 如图1，在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ． 3、如图，在锐角三角形ABC 中 ，AB=52，∠BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是多少？4、如图4所示，等边△ABC 的边长为6,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 上的动点,E 是AC 边上一点.若AE=2,EM+CM 的最小值为 .5、如图3，在直角梯形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AD ∥BC ，AD ＝4，AB ＝5，BC ＝6，点P 是AB 上一个动点，当PC ＋PD 的和最小时，PB 的长为__________．6、 如图4，等腰梯形ABCD 中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P 是上底，下底中点EF 直线上的一点，则PA+PB 的最小值为 ． Q7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则P A+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =AB =2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长； （3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个点都在内侧：mm A Bm B mA Bmnmnnmn（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：n点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ）1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：m nmnmnmmm三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解)（1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
初中几何中线段和差的最大值与最小值典型分析(最全)
初中几何中线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：（对称轴为：动点所在的直线上）一）、已知两个定点：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA+PB 最小； （1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：A 、A ’ 是关于直线m 的对称点。
2、在直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA+PQ+QB 最小。
（1）两个点都在直线外侧：（2）一个点在内侧，一个点在外侧：m m mmABmn m nnmn（3）两个点都在内侧：（4）、台球两次碰壁模型变式一：已知点A 、B 位于直线m,n 的内侧，在直线n 、m 分别上求点D 、E 点，使得围成的四边形ADEB 周长最短.填空：最短周长=________________变式二：已知点A 位于直线m,n 的内侧, 在直线m 、n 分别上求点P 、Q 点PA+PQ+QA 周长最短.二）、一个动点，一个定点： （一）动点在直线上运动：点B 在直线n 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、两点在直线两侧：nnm Bnn2、两点在直线同侧：（二）动点在圆上运动点B 在⊙O 上运动，在直线m 上找一点P ，使PA+PB 最小（在图中画出点P 和点B ） 1、点与圆在直线两侧：2、点与圆在直线同侧：三）、已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解) （1）点A 、B 在直线m 两侧：mnmmmmm过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧： 练习题1．如图，∠AOB =45°，P 是∠AOB 内一点，PO =10，Q 、R 分别是OA 、OB 上的动点，求△PQR 周长的最小值为 ．2、 如图1，在锐角三角形ABC 中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M,N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值为 ． 3、如图，在锐角三角形ABC 中 ，AB=52，∠BAC=45，BAC 的平分线交BC 于D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是多少mABB'EQ PmABQPQ4、如图4所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为.5、如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB 上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．6、如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为．7、如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为．8、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是9、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．10、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为11、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是12、如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为．13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．14、如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．15、如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是．16、如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为( )(A)2 (B) (C)1 (D)2解答题1、如图9，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A 点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小.2、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的二根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．3、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是.（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；4．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．5．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =AB =2，OC =3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．6．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．7、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.v1.0 可编辑可修改二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边) 基本图形解析：1、在一条直线m 上，求一点P ，使PA 与PB 的差最大； （1）点A 、B 在直线m 同侧：解析：延长AB 交直线m 于点P ，根据三角形两边之差小于第三边，P ’A —P ’B ＜AB ，而PA —PB=AB 此时最大，因此点P 为所求的点。
线段差的最大值的原理
线段差的最大值的原理
线段差的最大值是指在一系列线段中最大差值的问题。
它可以与问题中涉及的线段数
量有关。
一般来说，如果一系列线段的数量多，则最大差值也会更大。
当考虑该问题时，
可以通过计算最大线段差值来解决。
解决问题最常用的方法是分治法。
分治法要求将一个问题分解成更小的子问题，再有
效解决这些子问题来获得最优的解决方法。
对于线段差的最大值的问题，分治法的思路是，将线段分为两部分，先求解两部分线段的最大值，然后将这两部分最大值的最大值作为该
问题的最大值。
整体的步骤如下：
1.将线段分为两部分，分别求解其中最大值；
2.取两部分的最大值的最大值作为该问题的最大值；
3.从求解过程中取线段差值作为最大值；
4.重复上述步骤，递归求解，最终确定最大线段差值。
因此，通过分治法解决线段差的最大值，可以更快捷地求解该问题。
在实际应用中，
分治法可以实现快速和有效的结果，提高工作效率。
线段差最大值探讨
B
l
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再见
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线段和最小问题我们经常遇到， 也相信大家都能比较熟练地解决这类 问题。我们先简要回顾一下线段和最 小问题的解决和其理论依据。 已知，A，B在直线l的同一侧，在l上 求作一点，使得PA＋PB最小。
B
Aห้องสมุดไป่ตู้
显然，此时我们知道l是AA’的垂直 P 平分线，可以得到 PA=PA’所以有: l PA+PB=PA’+PB=A’B A’ 根据两点之间,线段最短.可知点P在如图 位置时,使得PA+PB最小.
B
A
P’ P l 在直线l上异于P点的任意一点P’，都 如上图，已知， A，B在直线l的同一 能与点 A、B构成一个三角形，根据 : 侧，在l上求作一点，使得 |PB-PA| 两边之差小于第三边 可知，始终有 : 的 值最大。 |P’B-P’A|小于AB. 即点P为所求作的点.
思
考
题
如下图，已知，A，B在直线l的异侧， 在l上求作一点，使得|PB-PA|的值最 大。 A
线段差最大值问题
线段差最大值问题一预备知识1.三角任意两边之差＜第三边2.成轴对称的两点（A和A1）与对称轴上任意一点（P）的连线段长度相等（PA=PA1）二引入如图1，已知两定点A和B,和直线m，试在m上确定一点P，使得|PA-PB|最大图1解决问题：如图2，连接AB交m于P`，在▲ABP中，由三边关系可知|PA-PB|<AB在线段BP`上可知|P`A-P`B|=AB故当P点处在P`点时|PA-PB|max=AB图2变式：如图3，已知两定点A和B,和直线m，试在m上确定一点P，使得|PA-PB|最大图3解决问题：【千万不可直接连接AB】此题和上题相比，AB两点处在m的两侧，应先作其中一个点的对称点，此时就会变回上题的情况如图4，作A关于m的对称点A`，连接A`B交m于点P`，则P`就是要求点图4三总结条件：两个定点（A和B）,一个动点（P，在直线上运动）。
求|PA-PB|的最大值方法：两定点在直线同侧时，连接两定点，和直线的交点就是要求点且|PA-PB|最大值极为AB两定点在直线异侧时，先作其中一个定点的对称点，再做上一步简记之【同侧连线差最大】四 真题练习1.如图5，抛物线y =ax 2−13x +2与x 轴交于点A 和点B ，与轴交于点C ，已知点B 的坐标为（3，0）.1（2）分别连接AC 、BC.在轴下方的抛物线上求一点M ，使△AMC 与△ABC 的面积相等；（3）设N 是抛物线对称轴上的一个动点，d =|AN-CN|.探究：是否存在一点N ，使的值最大？若存在，请直接写出．．．．点N 的坐标和d 的最大值；若不存在，请简单说明理由.问题解答：定点A 和C 在对称轴的两侧，故先作A ∵B （3，0），C （0，2） ∴y BC =−23x +2 对称轴为x =−3当x =−3时，y =4∴N （-3，4）y x d （第25题图）（第25题图）2.如图7，已知直线y =12x +1与坐标轴交于A 、D 两点.抛物线y =12x 2+bx +c 和直线交于A 、E ，交x 轴于B 、C 两点.B （1，0） （1）求抛物线解析式（2）在抛物线对称轴上找一点M ，使得|AM-CM|值最大，求M图7问题解答：定点A 和C 在对称轴的两侧，故先作C 的对称点B ，再连接AB 交对称轴于M 点 ∵A （0，1），B （1，0） ∴y AB =−x +1 对称轴为x =32当x =32时，y =−12∴M （32，−12）。
二次函数线段差最大值问题
二次函数线段差最大值问题二次函数线段差最大值问题是一个经典的数学优化问题，通常在高中数学课程中进行讨论。
该问题要求找到一个二次函数图像上两个点之间线段的最大差值。
假设给定一个二次函数 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 分别代表二次项、一次项和常数项的系数。
为了求出线段差的最大值，我们需要确定两个点。
一种常见的方法是取二次函数的顶点和 x 轴上的一个点。
首先，我们需要找到二次函数的顶点。
二次函数的顶点可以通过以下公式计算：x = -b / (2a)y = f(x)其中 x 和 y 分别代表顶点的横坐标和纵坐标，f(x) 代表二次函数在 x 处的函数值。
接下来，我们选择 x 轴上的一个点作为第二个点。
这个点可以在顶点两侧选择，在顶点的左侧或右侧都可以。
假设我们选择了一个横坐标为 x1 的点，那么对应的纵坐标为 f(x1)。
最后，我们计算两个点之间线段的差值：差值 = | f(x1) - y |其中 | | 表示取绝对值。
为了找到差值的最大值，我们可以使用微积分的方法。
首先，我们可以求出差值的函数关于 x 的导数，然后令导数为零，求解出 x 的值。
这个 x 的值就是使得差值最大的横坐标。
将这个 x 值代入差值函数，就可以得到最大的差值。
需要注意的是，有时候二次函数的顶点不在定义域内，此时我们可以选择定义域的端点作为顶点，然后按照以上的方法求解。
总而言之，二次函数线段差最大值问题是一个通过找到二次函数图像上两个点之间线段的最大差值来优化问题的数学问题。
这个问题可以通过求解顶点和定义域的端点来得到最优解。
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l
2.如图，正方形ABCD 的边长是a ，点M 是AB 的中点，CN=1
4
CD ,
P 是直线AC 上的一点，则|PM-PN|的最大值为（ ）.
A.a
B.
134a C.32a D.2
a
3.如图，在直角墙面处有一个边长为4m 的等边△ABP 纸板，当点 A 在铅直的墙面上下运动时，点B 随之在水平的地面上运动，则在
运动的过程中，点P 到墙角O 的最大距离是（ ）m.
A.13+
B.27
C.223+
D.4
4.已知AB 两点在线段EF 的中垂线上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°， 则∠AEB=（ ）.
A.95°
B.15°
C.95°或15°
D.170°或30°
5.如图，在平面直角坐标系中，点A （2，2），B （-1,0），点P 在y 轴上 运动，则|PA-PB|的最大值为（ ）.
A. 3
B. 5
C.4
D.6
6.如图所示，已知点A(-3，4)和B(2，1)，试在y 轴上求一点P ， 使|PA-PB|的值最大．
N M
D
C
B A P
1
2-1
-1
2
1
O B A
O P
B
A
三、解答题
5．如图，村庄A ，B 位于一条小河的两侧，若河岸a,b 彼此平行，现在 要建设一座与河岸垂直的桥CD ，
问桥址应如何选择，才能使A 村到B 村的路程最近.
参考答案：
试身手， 初露锋芒
1. 作法： 连接BA 并延长与直线l 的交点即为点P .
原理：|AP-BP|=AB ，三角形任意两边之差小于第三边. 2作法：
作点B 关于直线l 的对称点B ’，作直线AB ’与l 的交点即为点P .
原理：|AP-BP|=AB’，三角形任意两边之差小于第三边. 3. 作法：
连接AB ，作AB 中垂线与l 的交点即为点P ..
原理：|AP-BP|=0，垂直平分线上的点与线段两端点距离相等. 练习1、D. 练习2、B.
B
A
b
a
攻难关，自学检测
1.B.
2.B.
3.C ．
4.C.
5.B.
6. 解：作点B 关于y 轴的对称点B′，连接AB′交y 轴与点P ，则点P 即为所求点.
测一测，大显身手
1.C
2.D
3.10.
4.1
5.
5. 解：（1）作AE⊥a 于E 点，并截取AF 与河宽相等； （2）连接BF 交河岸b 于D 点； （3）作DC⊥a 于C 点. 则CD 就是所要修建的桥. 根据：连接AC
A 村到
B 村路程=AC+CD+DB=DF+CD+DB=FB+CD ；
河宽不变，所以当FB 最小时则总路程最短，根据线段公理：两点之间 线段最短，可得FB 最短，所以总路程最短.
F E
D
C
B
A
b
a。