北京理工大学2017-2018学年工数上期末试题A及标准答案

课程编号：H0172103 北京理工大学2017-2018学年第一学期工科数学分析（上）期末试题(A 卷)座号 _______ 班级_____________ 学号_____________ 姓名_____________(试卷共6页,十个大题. 解答题必须有过程. 试卷后面空白纸撕下做草稿纸. 试卷不得拆散.)1．若 ex x kx x 1)2(lim =-∞→ ，则=k . 2．已知,arctan 2111ln 41x x x y --+=则=dxdy . 3. =-+⎰dx xe x e x x 102)1()1( . 4 .=⎰xdx x sin 2 .5. 设x y y cos =+'，则=y . 二、计算题（每小题5分，共20分）1.求极限 ).2sin 211(sin lim 3n n n n -∞→2. 设x x y x2sin sin +=，求dy .3. 计算dx xx x x ⎰-++112211cos 2-.4.求)cos(y x dxdy+=的通解. 三、（8分）已知0)-1(lim 2=-+-+∞→b ax x x x ，试确定常数a 和b 的值.四、（6分）已知,...).2,1)((21,0,011=+=>>+n b bb b b b nn n 证明: 数列{}n b 极限存在；并求此极限.五、（8分）求函数2)1(42-+=xx y 的单调区间和极值，凹凸区间和拐点，渐近线. 六、（8分）设曲线2x y =，x y =围成一平面图形D .(1) 求平面图形D 的面积；(2) 求平面图形D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积.七、（8分）设一长为l 的均匀细杆，线密度为μ,在杆的一端的延长线上有一质量为m的质点，质点与该端的距离为a . （1）求细杆与质点间的引力；（2）分别求如果将质点由距离杆端a 处移到b 处(b a >)与无穷远处时克服引力所做的功. 八、（8分）设)(x f 在]1,1[-上具有三阶连续导数，且,0)0(,1)1(,0)1('===-f f f证明在开区间)1,1(-内至少存在一点ξ，使3)()3(=ξf . 九、（8分）设⎰-+=xxdt t f t x xe x f 0)()()(, 其中)(x f 连续，求)(x f 的表达式.十、（6分）已知)(x f 在闭区间[]6,1上连续，在开区间)6,1(内可导，且，5)1(=f ，1)5(=f .12)6(=f证明：存在)6,1(∈ξ，使22)()(=-+'ξξξf f 成立. 北京理工大学2017-2018学年第一学期《工科数学分析》（上）期末试题(A 卷)标准答案及评分标准 2018年1月12日一、填空（每小题4分，共20分）1．212．421xx - 3. )(，不收敛+∞∞4 . C x x x x x +++-cos 2sin 2cos 25. x ce x x y -++=)cos (sin 21二、计算题（每小题5分，共20分）1. 解：)2sin 211(sin lim 3xx x x -∞→312sin 211sin lim x x x x -=∞→ xt 1=令 30)2sin(21sin lim t t t t -=→ …………. 2分 20cos 1sin lim t t t t t -⋅=→21= …………. 4分 21)2sin 211(sin lim 3=-∴∞→n n n n …………. 5分注：此题也可以用泰勒公式。

2. 解：x x e dx dyx x cos sin 2)('ln sin +=…………. 2分 x x x ex x 2sin )ln (sin 'ln sin +⋅= x x x xx x x2sin )ln (cos sin sin ++⋅= …………. 4分因此，dx x x x x dy xxx)2sin )ln (cos (sin sin ++⋅=. …………. 5分 3.解： 原式⎰⎰---++-+=112112211cos 112dx xx x dx x xdxxx ⎰-+=1022114…………. 2分dx x x x ⎰----=10222)1(1)114（ dx x ⎰--=12144π-=4…………. 5分4. 解: 令y x u +=，则1-=dx dudx dy …………. 2分 代入原方程，得：2cos 2cos 12u u dx du =+= 分离变量法得：c x u+=2tan …………. 4分将y x u +=代入上式，得通解为：c x y x +=+2tan . …………. 5分 三、解: 由条件知：01lim 2=--+-∞→xbax x x x 得111-1lim 1lim 22=+=+-=+∞→+∞→xx x x x a x x …………. 4分)1(lim 2x x x b x -+-=∞→ …………. 6分)11(lim 2xx x x x ++-+-=∞→21)111111-(lim 2-=++-+=∞→xx x x …………. 8分四、解: ,)(211111b b b b b b b b n n n n n =⋅≥+=---- …………. 2分 .1)1(21)1(2121=+≤+=+bbb b b b n n n 所以数列{}n b 单调递减有下界， n n b ∞→lim 存在. …………. 4分设,lim a b n n =∞→则有),(21ab a a +=得,b a = .b a -=（舍去） 所以，.lim b b n n =∞→ …………. 6分五、解:定义域0≠x3)24x x y +-='（，2 01-=='x y 得；438xx y ）（+='' ，3 02-==''x y 得. …………. 2分2)2(lim 2-=-∞→x x , 有水平渐近线：.2 -=y+∞=-+→)2)1(4(lim 20xx x , 有垂直渐近线：.0 =x …………. 8分 六、解：（1）画草图，解交点),0,0()1,1( ⎰-=102)(dx x x A ………….2分31=………….4分（2）⎰⎰-=14102)(dy y dy y V ππ ………….6分π103=………….8分 七、解: 建立坐标系, 使细杆位于区间[0,]l 上, 质点位于l a +处.(1) 2()m dxdF G a l x μ=+- ………….2分2011().()()l Gm Gm lF dx Gm a l x a a l a a l μμμ==-=+-++⎰ ………….4分 (2) 当质点向右移至距杆端()x x a ≥处时，细杆与质点间的引力为().()Gm lF x x x l μ=+将质点由a 处移到b 处与无穷远处时克服引力所做的功分别记作b W 和W ∞. (),()Gm ldxdW F x dx dx x x l μ==+ ………….6分积分得11()()()ln ,()()bbb b a a a Gm l b a l W F x dx dx Gm dx Gm x x l x x l a b l μμμ+===-=+++⎰⎰⎰()lim lim ln ln .()b b b b a l a lW W Gm Gmu a b l a μ∞→+∞→+∞++===+………….8分八、解：由麦克劳林公式, ,!3)(!2)0()0()0()(3)3(2'''x f x f x f f x f η+++=…………….2分 其中η在0与x 之间，从而 ,01,!3)(!2)0()0()1(011)3(''<<--+=-=ξξf f f f ,10,!3)(!2)0()0()1(122)3(''<<++==ξξf f f f两式相减，得 .6)()(2)3(1)3(=+ξξf f …………….5分)(3x f）（在)1,1(],[21-⊂ξξ上连续，所以)()3(x f 在],[21ξξ上必有最小值m 和最大值,M从而 ,2)()(2)3(1)3(M f f m ≤+≤ξξ …………….7分 由介值定理，至少存在一点，)1,1(],[21-⊂∈ξξξ 使得.32)()()(2)3(1)3()3(=+=ξξξf f f…………….8分九、解：⎰⎰⎰-+=-+=x xxxxdt t tf dt t f x xedt t f t x xe x f 00)()()()()(上式两端对x 求导，得：⎰++='x xdt t f e x x f 0)()1()( …………….2分再对x 求导得：)()2()(x f e x x f x ++=''，则)(x f 满足初值问题：⎩⎨⎧='=+=-''1)0(,0)0()2()()(f f e x x f x f x…………….4分对应齐次方程的通解为：xx e C e C x Y -+=21)(设非齐次方程的特解为：xe b ax x y )(*+=, 代入原方程，得：2224+=++x b a ax解得：.)3(41,43,412*x e x x y b a +===…………….6分通解为：x xxe x x eC e C x y )3(41)(221+++=- 由初始条件，得：.81,8121-==C C所以 .)3(418181)(2x x x e x x e e x f ++-=- …………….8分 十、证明: 构造辅助函数)2)(()(x x f e x F x -= ……………. 2分有,03)2)1(()1(>=-=e f e F .09)10)5(()5(55<-=-=e f e F )(x F 在[]5,1上连续,由零点定理可知,至少存在一点),5,1(∈η使得 .0)( =ηF ……………. 4分 又因为)(x F 在[]6,η上连续,在），（6η内可导,且 ),(0)126(()6( 6ηF f e F ==-=）由罗尔定理可知,存在，)6,1()6,(⊂∈ηξ 使0)(='ξF ，即22)()(=-+'ξξξf f ……………. 6分。