初三专题-四点共圆
初三 关于圆 四点共圆
四点共圆的判定是以四点共圆的性质的基础上进行证明的。
四点共圆的性质：
（1）同弧所对的圆周角相等
（2）圆内接四边形的对角互补
（3）圆内接四边形的外角等于内对角
以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。
四点共圆的判定定理：
方法1 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那末这二点和线段二端点四点共圆）
方法2 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角。
那末这四点共
圆）
我们可都可以用数学中的一种方法；反证法开进行证明。
现就“若平面上四点连成四边形的对角互补。
那末这四点共圆”证明如下（其它画个证明图如后）
已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°
求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆）
证明：用反证法
过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，刚C在圆外或圆内，
若C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°，∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C
这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。
类似地可证C不可能在圆内。
∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。
专题29 四点共圆问题(教师版)-2021年中考数学模型技巧讲义(二轮)
专题29 四点共圆问题【规律总结】1、四点共圆：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）圆内接四边形的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于内对角。
2、判定定理：方法1：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）【典例分析】例1．（2021·沭阳红岩学校九年级期末）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=，3BC =，4AC =，点P 为平面内一点，且CPB A ∠=∠，过C 作CQ CP ⊥交PB 的延长线于点Q ，则CQ 的最大值为（ ）A ．175B ．154CD 【答案】B【分析】根据题意可得A 、B 、C 、P 四点共圆，由AA 定理判定三角形相似，由此得到CQ 的值与PC 有关，当PC 最大时CQ 即取最大值．【详解】解：∵在Rt ABC △中，90ACB ∠=，CPB A ∠=∠，3BC =，4AC =∵A 、B 、C 、P 四点共圆，AB 为圆的直径，5=∵CQ CP ⊥∵90ACB PCQ ∠=∠=∵∵ABC∵∵PQC ∵AC PC BC CQ =， 43PC CQ =，即34CQ=PC ∵当PC 取得最大值时，CQ 即为最大值∵当PC=AB=5时，CQ 取得最大值为154故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键．例2．（2019·上海市市西初级中学八年级期末）如图，AB 是Rt ABC 和Rt ABD △的公共斜边，AC=BC ，32BAD ∠=，E 是AB 的中点，联结DE 、CE 、CD ，那么ECD ∠=___________________．【答案】13【分析】先证明A、C、B、D四点共圆，得到∵DCB与∵BAD的是同弧所对的圆周角的关系，得到∵DCB 的度数，再证∵ECB=45°，得出结论．【详解】解：∵AB是Rt∵ABC和Rt∵ABD的公共斜边，E是AB中点，∵AE=EB=EC=ED，∵A、C、B、D在以E为圆心的圆上，∵∵BAD=32°，∵∵DCB=∵BAD=32°，又∵AC=BC，E是Rt∵ABC的中点，∵∵ECB=45°，∵∵ECD=∵ECB-∵DCB=13°．故答案为：13．【点睛】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形性质、圆周角定理和四点共圆问题，综合性较强．例3．（2020·北京市三帆中学九年级期中）已知：过O上一点A作两条弦AB、AC，且∠=︒，（AB、AC都不经过O）过A作AC的垂线AF，交O于D，直线BD，45AAC 交于点E ，直线BC ，AD 交于点F .（1）请在图1中，按要求补全图形；（2）在图2中探索线段BE 和BF 的数量关系，并证明你的结论；（3）探索线段AB 、AE 、AF 的数量关系，并直接写出你的结论________.【答案】（1）见解析；（2）BE BF =，理由见解析；（3）AE AF =【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）连接EF ，CD ，取EF 中点G 连接BG 、AG ，证明B 、E 、A 、F 四点共圆进而可证出结论；（3）由（2）知，点A 、B 、E 、F 四点共圆，连接CD ，交AB 于点P ，则CD 过圆心O ，由证得出∵ACB∵∵APD∵CPB ，进而可证AC AD +=，由等量代换可得出结论．【详解】解：（1）补全图形（2）BE BF =证明：连接EF ，CD ，CD 过圆心O ，CD 为直径，取EF 中点G 连接BG 、AG ∵AF AE ⊥，∵DBF=90°，∵90EBF FAE ∠=∠=︒∵EG AG =∵EG BG AG GF ===∵B 、E 、A 、F 在圆G 上，∵∵1=∵2，∵∵DAE=90°，∵BAD=45°，∵∵2=∵BAD=45°，又∵∵EBF=90°，∵∵BEF=45°=∵1，∵BE BF =，故答案为：BE BF =；（3）由（2）知，点A 、B 、E 、F 四点共圆，连接CD ，交AB 于点P ，则CD 过圆心O ， ∵∵BEA=∵BFA ，BE BF =，∵EBC=∵DBF=∵DAE=90°，∵∵EBC∵∵FBD ，∵BC=BD ，CE=DF ，在∵ACB 和∵APD 中，∵CAB=∵DAB=45°，∵ABC=∵ADC ，∵BCD=45°，∵∵ACB∵∵APD∵CPB ， ∵,AC AB BC AB AP AD BE BC==， ∵2,AC AD AP AB BC BP AB ⋅=⋅=⋅，CD 为直径，2222==2AC AD CD BC +，∵()222+2AC AD AC AD AC AD =++⋅=222BC AC AD +⋅=22BP AB AP AB ⋅+⋅=()2AB BP AP ⋅+=22AB ，∵AC AD +=，，∵AE AF =+，故答案为：AE AF =+．【点睛】本题考查了四点共圆的证明，圆的性质以及性质应用，勾股定理的应用，熟练掌握圆的性质是解题的关键．【好题演练】一、单选题1．（2020·浙江杭州市·九年级专题练习）如图，圆上有A 、B 、C 、D 四点，其中80BAD ∠=︒，若弧ABC 、弧ADC 的长度分别为7π、11π，则弧BAD 的长度为（ ）A ．4πB ．8πC ．10πD ．15π【答案】C【分析】先求出圆的周长，再根据圆内接四边形的性质可得100C ∠=︒，然后根据圆周角定理可得弧BAD 所对圆心角的度数，最后根据弧长的定义即可得．【详解】弧ABC 、弧ADC 的长度分别为7π、11π∴圆的周长为71118πππ+=80BAD ∠=︒100C ∴∠=︒（圆内接四边形的对角互补）∴弧BAD 所对圆心角的度数为2200C ∠=︒则弧BAD 的长度为2001810360ππ⨯= 故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长的定义、圆内接四边形的性质，熟记圆的相关定理与性质是解题关键．2．（2019·浙江绍兴市·九年级期中）如图1，在等腰三角形ABC 中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC 上取一点D ，连结AD ，使得∠DAC=∠ACD ．如图3，将∠ACD 沿着AD 所在直线折叠，使得点C 落在点E 处，连结BE ，得到四边形ABED ．则BE 的长是（ ）A ．1B ．65C ．3215D ．174【答案】A【分析】只要证明ABD MBE ∆∆∽，得AB BD BM BE =，求出BM 、BD 即可解决问题． 【详解】解：AB AC =，ABC C ∴∠=∠，DAC ACD ∠=∠，DAC ABC ∴∠=∠，C C ∠=∠，CAD CBA ∴∆∆∽， ∴CA CD CB CA ， ∴464CD =， 83CD ∴=，810633BD BC CD =-=-=， DAM DAC DBA ∠=∠=∠，ADM ADB ∠=∠，ADM BDA ∴∆∆∽，∴AD DM BD DA =，即8310833DM =， 3215DM ∴=，103263155MB BD DM =-=-=， ABM C MED ∠=∠=∠，A ∴、B 、E 、D 四点共圆，ADB BEM ∴∠=∠，EBM EAD ABD ∠=∠=∠，ABD MBE ∴∆∆∽， ∴AB BD BM BE=， 6105314BM BD BE AB ⨯∴===．故选：A ．【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题3．（2020·黑龙江哈尔滨市·）如图，等边∠ABC 中，D 在BC 上，E 在AC 上，BD ＝CE ，连BE 、AD 交于F ，T 在EF 上，且DT ＝CE ，AF＝50，TE ＝16，则FT ＝_____．【答案】17【分析】用“SAS”可判定∵ABD∵∵BCE ，得到∵AFE=60°，延长FE 至点G ，使得FG=FA ，连AG ，AT ，得到∵AFG 是等边三角形，证明A 、B 、D 、T 四点共圆，设法证明∵FAT∵∵GAE （ASA ），即可求得答案．【详解】∵∵ABC 为等边三角形，∵AB=AC=BC ，∵ABD=∵BCE=60°，在∵ABD 和∵BCE 中，60AB BC ABD BCE BD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∵∵ABD∵∵BCE （SAS ），∵∵BAD=∵CBE ，∵∵ADC=∵CBE+∵BFD=∵BAD+∵B ，∵∵BFD=∵B=∵AFE=60°；延长FE 至点G ，使得FG=FA ，连AG ，AT ，∵∵AFE=60°，∵∵AFG 是等边三角形，∵AG=AF=FG=50，∵AGF=∵FAG=60°，∵∵BAF+∵EAF =∵CAG+∵EAF =60°，∵∵BAF=∵CAG ，∵DT=CE ，∵∵DBT=∵BTD ，∵∵BAD=∵CBE ，∵∵BAD=∵BTD ，∵A 、B 、D 、T 四点共圆，∵∵BAD=∵DAT ，∵∵FAT=∵GAE ，在∵FAT 和∵GAE 中，60FAT GAE AF AG AFG AGF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∵∵FAT∵∵GAE （ASA ），∵FT= GE ，∵FG=50，TE=16， ∵FT=12(FG - TE)=17． 故答案为：17．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等，作出辅助线，判断出∵FAT∵∵GAE 是解本题的关键．4．（2020·西安市铁一中学九年级二模）如图，正方形ABCD 中，9AB =，点E 为AD 上一点，且:1:2AE ED =，点P 为边AB 上一动点，连接PE ，过点E 作EF PE ⊥，交射线BC 于点F ，连接PF ，点M 为PF 中点，连接DM ，则DM 的最小值为________．【答案】10【分析】由已知可得AE=3，DE=6，又AB=9，90A ︒∠=，由勾股定理得=90PEF ︒∠=，90PBF ︒∠=，M 为PF 中点，可知M 为四边形BFEP 外接圆的圆心，BE 为圆M 的弦，故圆心M 在线段BE 的垂直平分线上，作线段BE 的垂直平分线GH 交BE 于G ，交CD 于H ，过点D 作DM GH ⊥于M ，此时的线段DM 即为所求最小值，过点E 作EN DM ⊥于N ，则四边形EGMN 为矩形，可得90GEN ︒∠=，GE=MN ，可证ABE NED ，可得AE BE DN DE =，代入数据得：，又，可得DM 的长度．【详解】∵:1:2AE ED =，AD=AB=9，∵AE=3，DE=6，又∵AB=9，90A ︒∠=，=∵90PEF ︒∠=，90PBF ︒∠=，∵B 、F 、E 、P 四点共圆，且PF 为直径，∵M 为PF 中点，∵M 为四边形BFEP 外接圆的圆心，∵E 、B 为定点，∵BE 为圆M 的弦，∵圆心M 在线段BE 的垂直平分线上，如下图，作线段BE 的垂直平分线GH 交BE 于G ，交CD 于H ，过点D 作DM GH ⊥于M ，此时的线段DM 即为所求最小值，过点E 作EN DM ⊥于N ，则四边形EGMN 为矩形，∵90GEN ︒∠=，GE=MN,∵90AEB DEN ︒∠+∠=，∵90A ︒∠=，∵90ABE AEB ︒∠+∠=，∵=DEN ABE ∠∠，又∵==90A DNE ︒∠∠，∵ABE NED ， ∵AE BE DN DE=，即3DN =解得：∵BE=∵EG= ，，+2=10．【点睛】本题考查了圆内接四边形，圆的对称性，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理及其逆定理确定四点共圆是解题的关键．三、解答题5．（2020·沭阳县修远中学九年级期中）在边长为12cm 的正方形ABCD 中，点E 从点D 出发，沿边DC 以1cm/s 的速度向点C 运动，同时，点F 从点C 出发，沿边CB 以1cm/s 的速度向点B 运动，当点E 达到点C 时，两点同时停止运动，连接AE 、DF 交于点P ，设点E ． F 运动时间为t 秒．回答下列问题：(1)如图1，当t 为多少时，EF 的长等于(2)如图2，在点E 、F 运动过程中，①求证：点A 、B 、F 、P 在同一个圆(∠O)上；②是否存在这样的t 值，使得问题①中的∠O 与正方形ABCD 的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；③请直接写出问题①中，圆心O 的运动的路径长为_________．【答案】（1）t=4或8；（2）①证明见解析；②存在，t=3或12；③6cm ．【分析】（1）由题意易得DE=CF=t ，则有EC=12-t ，然后利用勾股定理求解即可；（2）①由题意易证∵ADE∵∵DCF ，则有∵CDF=∵DAE ，然后根据平行线的性质可得∵APF=90°，进而可得∵B+∵APF=180°，则问题得证；②由题意可知当∵O 与正方形ABCD 的一边相切时，可分两种情况进行分类讨论求解：一是当圆与AD 相切时，一是当圆与边DC 相切时；③由动点E 、F 在特殊位置时得出圆心O 的运动轨迹，进而求解即可．【详解】解：（1）由题意易得：DE=CF=t ，四边形ABCD 是正方形，∴AB=CD=BC=AD=12cm ，∵C=∵B=∵ADC=∵DAB=90°，∴ EC=12-t ，EF 的长等于，∴在Rt∵CEF 中，222EF EC CF =+，即(()22212t t =-+解得124,8t t ==；（2）①由（1）可得AB=CD=BC=AD=12cm ，∵C=∵B=∵ADC=∵DAB=90°，DE=CF=t ， ∴∵ADE∵∵DCF ，∴∵CDF=∵DAE ，∵CDF+∵PDA=90°，∴∵DAE+∵PDA=90°，∴∵ADP=∵APF=90°，∴∵APF+∵B=180°，由四边形APFB 内角和为360°可得：∵PAB+∵PFB=180°，∴点A 、B 、F 、P 在同一个圆(∵O)上；②由题意易得：当∵O 与正方形ABCD 的一边相切时，只有两种情况；a 、当∵O 与正方形ABCD 的边AD 相切时，如图所示：由题意可得AB 为∵O 的直径，∴t=12；b 、当∵O 与正方形ABCD 的边DC 相切于点G 时，连接OG 并延长交AB 于点M ，过点O 作OH∵BC 交BC 于点H ，连接OF ，如图所示：∴OG∵DC ，GM∵AB ，HF=HB ，∴四边形OMBH 、GOHC 是矩形，∴OH=BM=GC ，OG=HC ，AB=BC=12cm ，∴OH=6，CF=t ，BF=12-t ， ∴126,662222t t t t HF CH OG OF t -==-===+-=+， 在Rt∵FOH 中，222OF OH FH =+，即2226+6622t t ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得：3t =；综上所述：当3t =或t=12时，∵O 与正方形ABCD 的边相切；③由（1）（2）可得：当点E 与点D 重合及点F 与点C 重合时，圆心在正方形的中心上；当点E 与点C 重合及点F 与点B 重合时，圆心在AB 的中点上，故圆心的运动轨迹为一条线段，如图所示：∴OP 即为圆心的运动轨迹，即OP=6cm ．故答案为6cm ．【点睛】本题主要考查圆的综合，熟练掌握圆的性质及切线定理解题的关键，注意运用分类讨论思想解决问题．6．（2020·安徽芜湖市·芜湖一中九年级）已知AD 为锐角ABC ∆的高，G 为AC 中点，DE AB ⊥于点E ，延长ED 至F ，使得GF GD =．（1）证明：AED AFC ∆∆；（2）证明：22AE CF BE AF ⋅=⋅；（3）若6,7,8AB BC CA ===，求四边形ACFD 的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）16【分析】（1）通过GA GD GC GF ===得A ，D ，F ，C 四点共圆，得到ADE ACF ∠=∠，结合90AED AFC ︒∠=∠=，证得AEDAFC ∆∆； （2）通过Rt AED Rt AFC ∆∆，Rt AED Rt DEB ∆∆证得22AE CF BE AF ⋅=⋅； （3）利用勾股定理求得AD ，BD ，CD ，在Rt ADB ∆中，求出DE ，AE ，得出ADE S ∆，借助2()ACF ADE S AC S AD∆∆=，求得ACF S ∆，再用Rt AEF Rt ADC ∆∆，得到2()AEF ADC AE S S AD ∆∆=⋅，最后ACFD AEF ACF AED S S S S ∆∆∆∆=+-．【详解】解：（1）∵GA GD GC GF ===∵,,,A D F C 四点共圆∵90AFC ADC ︒∠=∠=又∵ADE ACF ∠=∠∵Rt AED Rt AFC ∆∆（2）由（1）Rt AEDRt AFC ∆∆ ∵AF AE CF ED= 又∵Rt AEDRt DEB ∆∆ ∵AF AE DE CF ED EB== ∵2()AF AE DE AE CF ED EB EB =⋅= 即22AE CF BE AF ⋅=⋅（3）∵222236(7)64AD BD AD BD ⎧+=⎨+-=⎩∵311,22AD BD CD === ∵Rt ADB ∆中，2458AD BD AD DE AE AB AB ⋅====∵128ADE S ∆=而2()ACF ADE S AC S AD∆∆=∵ACF S ∆=同理利用Rt AEF Rt ADC ∆∆得到2()AEF ADC AE S S AD ∆∆=⋅=∵ACFD AEF ACF AED S S S S ∆∆∆∆=+-=． 【点睛】本题考查了四点共圆的判断，圆内接四边形的性质，圆周角定理的应用，相似三角形的证明，不规则图形的面积的求法，熟练掌握其中的联系，是解题的关键．。
四点共圆的7种判定方法证明
四点共圆的7种判定方法证明要证明四个点共圆，可以使用以下七种判定方法。
方法1：使用相交弧的性质假设四个点A、B、C、D共圆。
我们可以通过观察四个点连线所形成的相交弧的性质来进行判定。
即如果从A到B的弧和从C到D的弧的起点和终点重合，或者从B到C的弧和从D到A的弧的起点和终点重合，或者从C到D的弧和从A到B的弧的起点和终点重合，则可以证明四个点共圆。
方法2：使用余弦定理假设四个点A、B、C、D共圆，并且以A为圆心，AB为半径做圆，那么可以使用余弦定理证明。
首先，假设O为C到D的中点，我们可以根据余弦定理得出：AC² = AO² + OC² - 2 * AO * OC * cos∠AOC，同样地，我们可以得出：BD² = BO² + OD² - 2 * BO * OD * cos∠BOD。
由于共圆的性质，我们可以得到∠AOC = ∠BOD，因此AC² = BD²，从而可以证明四个点共圆。
方法3：使用向量运算假设四个点A、B、C、D共圆，我们可以使用向量运算进行证明。
首先，我们可以构建向量AB和向量AC，然后计算它们的叉乘，得到一个向量N。
同样地，我们可以构建向量AD和向量AC，并计算它们的叉乘，得到另一个向量M。
如果向量N和向量M垂直（即内积等于0），那么可以证明四个点共圆。
方法4：使用角平分线的性质假设四个点A、B、C、D共圆，并且AC和BD相交于点P。
那么根据角平分线的性质，我们可以得知∠APC=∠BPD。
同样地，由于共圆的性质，我们可以得到∠APC=∠BPC，因此∠BPD=∠BPC。
这意味着点P在角BPD的角平分线上，所以我们可以得出AD与BC也相交于点P，从而可以证明四个点共圆。
方法5：使用Miquel点的性质假设四个点A、B、C、D共圆，并且以AC为直径作圆，那么D一定在这个圆上。
同样地，以BD为直径作圆，C也一定在这个圆上。
初三：第14课 四点共圆
第14课 四点共圆一、基本结论与方法：判断四点共圆的方法有：1.到定点等距离的几个点在同一个圆上；2.同斜边的直角三角形的各顶点共圆；3.同底同侧张角相等的三角形的各顶点共圆；4、如果一个四边形的一组对角互补，那么它的四个顶点共圆；5、如果四边形的一个外角等于它的内对角，则它的四个顶点共圆；6、四边形的对角线相交于点P ，且PA•PC=PB•PD,那么四个顶点共圆；7、四边形ABCD 的一组对边AB 、DC 的延长线交于点P ，若PA•PB=PC•PD, 那么四个顶点共圆.托勒密定理：圆内接四边形的对边之积的和，等于对角线之积。
即：如图，四边形ABCD 内接于圆，求证：BD AC BC AD CD AB ⋅=⋅+⋅.DB二、例题与习题例1、如图，ABCD 是等腰梯形，求证：BD 2=AB•CD+BC 2.CD 例2、△ABC 中，∠A:∠B:∠C=1:2:4,:求证：BC AC AB 111=+A D例3、在边长为1的正七边形中，对角线AD=a,BG=b,求证：22)()(ab b a b a =-+.C 例4、两圆相交于A 、B,P 是BA 延长线上一点，PCD 、PEF 分别是两圆的割线，求证：C 、D 、E 、F 四点共圆。
F例5、由圆外定直线上任意点，引圆的两条切线，求证：两切点的连线必经过某定点。
CA例6、点P 是正三角形外接圆的劣弧AB 上一点，连接PC 交AB 于D ，求证：(1)PA+PB=PC;(2)111PA PBPD +=.例7、P为△ABC内一点，D、E、F分别在三角形的边上，已知P、D、C、E四点共圆，P、E、A、F四点共圆，求证：B、D、P、F四点共圆。
例8、设凸四边形ABCD的对角线互相垂直，垂足为E,证明：点E关于AB、BC、CD、DA 的对称点也共圆。
A例9、两个圆彼此相交，从它们的对称中心引出两条射线交圆周于不在同一直线上的四个点，证明：这四个点共圆。
例10、梯形ABCD的两条对角线相交于点K，分别以梯形的两腰围直径作圆，点K位于两圆之外，证明：由K向两圆所作的切线长度相等。
2024年广东九年级中考数学专题复习课件专题七+++隐圆与四点共圆
10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，现有一根 长为2的木棒EF紧贴着矩形的边(即两个端点始终在矩 形的边上)，按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中 点P在运动过程中所产生 的运动轨迹长度为__2_π_＋__2__．
11．(2023·广州)如图，在正方形ABCD中，E为边AD上 的动点(不与点A，D重合)，边BC关于BE对称的线段 为BF，连接AF.
解：∵∠ADE＝∠ABE＝90°， ∴A，D，B，E四点共圆，AE为四点所在圆的直径． 又∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠AED＝∠ABD＝45°. ∴△DAE为等腰直角三角形．
∴AE＝ 2 AD＝2 2 .
5 对角互补的四边形的顶点共圆 8．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BAD＝
1 到定点距离相等的各点共圆 几何语言：如图，∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴A，B，C，D四点共圆．
2 同斜边的两个直角三角形的顶点共圆 几何语言：如图，∵∠B＝∠D＝90°，∴A，B，C，D 四点共圆．证明提示：取斜边中点，
连接OD，OB.
3 对角互补的四边形的顶点共圆 几何语言：如图，∵∠A＋∠C＝180°，∴A，B，C， D四点共圆．
＝∠CBN＋∠ABN ∴∠AGC＝＝9900°°.. ∴A，B，C，D，G五点共圆． ∵△GBF≌△GBC，
∴当G为 AD 的中点时，边BC上的高最大，S△GBC最 大．如图，过点G作GH⊥BC于点H.
则GH过圆心O，即过正方形中心O.
∴GH＝OH＋OG＝
1 2
AB＋
2 2
AB.
∴S△BGF＝S△GBC＝
60°，∠BCD＝120°，四边形ABCD的周长是否存 在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说 明理由．
成都石室中学初三数学-课件-中考专题冲刺一 四点共圆问题
（1）如图 1，若 A ，O ，C 三点在同一直线上，且 ABO 60 ，则 PMN 的形状是
．此
时 AD
．
BCBiblioteka 、知识点（2）如图 2，若 A ， O ， C 三点在同一直线上，且 AO 2 ，证明 PMN∽BAO ，并计算 BO 3
AD 的值； BC （3）在图 2 中，固定 AOB ，将 COD 绕点 O 旋转，直接写出 PM 的最大值
一、知识点
（2014 秋•诸暨市期末）如图，以 RtABC的斜边 BC 为一边在 ABC 的同侧作正方形 BCEF ， 设正方形的中心为 O ，连结 AO ，如果 AB 2 ， AO 3 2 ，则 tanAOB 的值为 ( )
一、知识点
已知：（如图）边长为 1 的正方形 ABCD 内接于 e O ，点 L 为劣弧 CD（不含端点）上任意一 点．直线 AL 交线段 CD 于点 K ，直线 CL 交直线 AD 于点 M ，直线 MK 交线段 BC 于点 N ，线段 LB 交线段 KN 于点 P ．
谢 谢！
（1）求证： MN 2 ； （2）求证： B ， M ， L ， N 四点共圆； （3）求证： KP NP ．
一、知识点
已知：AOB 中，AB OB 2 ，COD 中，CD OC 3，ABO DCO ，连接 AD ，BC ，
点 M 、 N 、 P 分别为 OA 、 OD 、 BC 的中点．
北京师范大学出版社
% +
sin ������ =
−������ ± ������2 − 4������������ 2������
中考专题复习： 四点共圆问题
成都石室中学 张烁
一、知识点
如图所示在△ABC 中，∠ACB=65°，BD⊥AC 于点 D，CE⊥AB 于点 E，则∠AED=
中考数学圆中的重要模型四点共圆模型
圆中的重要模型-四点共圆模型四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。
相对四点共圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。
本文主要介绍四点共圆的四种重要模型。
四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
模型1、定点定长共圆模型（圆的定义）【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。
这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。
条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。
例1、（2023•连云港期中）如图，点O为线段BC的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是．例2．（2022秋·江西赣州·九年级校联考期中）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（）A．∠ACB=90°B．∠BDC=∠BAC C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD=180°例3．（2021·湖北随州·统考中考真题）如图，在R t A B C中，90∠A C B∠=︒，O为A B的中点，O D平分A O COF例4．（2022·北京·清华附中九年级阶段练习）如图，四边形A B C D 中，D A D B D C==，72BD C ∠=︒，则B A C∠的度数为______．模型2、定边对双直角共圆模型同侧型 异侧型 1）定边对双直角模型（同侧型）条件：若平面上A 、B 、C 、D 四个点满足90A B DA C D ∠=∠=︒，结论：A 、B 、C 、D 四点共圆，其中AD 为直径。
【中考】四点共圆问题
2021年中考数学复习专题：四点共圆问题一、证明四点共圆1、如图，点E 、F 、G 、H 分别是菱形ABCD 各边的中点。
求证:E 、F 、G 、H 四点共圆。
2、如图，在△ABC 中，A D ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. 求证：点B 、E 、F 、C 四点共圆。
(提示：点A 、E 、D 、F 共圆，△AEF = △ADF = △C )二、利用四点共圆解决问题1、已知：如图，AB = AC = AD ，△BAC = 2△CAD .求证：△BDC = 2△CBD .2、E FGH F E C B A DD C BA4、已知：如图，Rt△ABC 中，AB ⊥BC ，AB = 6，BC = 4 .点P 是△ABC 内部一动点，且满足△PAB = △PBC ，求线段CP 长的最小值。
PC B A 1 3、56789 101113 121415、已知：如下左图，在四边形ABCD 中，△A = 900,AB = AD, AB 上有一点E ,且CB = CD = CE = 1 , 连接DE,求△CDE 的周长。
16、如上中图，在四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，相交于点O ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠BCD 是锐角，BD ＝BC .求证：sin ∠BCD ＝BDAC.17、已知：如上右图，BE 、CD 是△ABC 的高，连接DE 。
（1）求证：ΔABE ∽ ΔACD.（2）若∠BAC ＝120°,点M 是BC 的中点，若DM = 1 ,求DE 的长。
CB A DE AMDECB。