23数学分析
期中考试数学分析总结(三篇)
期中考试数学分析总结(三篇)期中考试数学分析总结篇一从学生答卷状况来看,消失了对无理数的常见形式与其近似值的理解不够;没有很好地理解算术平方根与平方根的区分与联系以及算术平方根的意义与其表示方法的必定联系;数形结合力量不够强,找规律的方法不能娴熟运用;对实数的化简不够精确、不能够留意符号;平移作图不能把握其性质特征;应用问题题意理解不透;几何说理规律思维不强、语言表达不精确等问题。
鉴于学生消失的以上问题在今后的教学中需要从以下几方面做起： 1、进一步深入了解学生的学习状况，特殊是了解中下水平学生对学问的把握状况，加大对根底学问的稳固力度。
如根本运算法则，根本概念，数学中常用方法等。
将以上问题的解决细化到每一节课堂,对概念的教学中要让学生从本质上了解概念的内涵.2、强化学生的计算力量, 细化每一步骤,反复训练,以便学生发觉错误准时改正，长时间的训练我信任学生的计算力量确定会提高的。
3、加强对学生动手力量的培育，在平常的教学中就要注意让学生多动手、勤思索，尤其几何教学中要充分发挥几何图形的优势，让学生通过剪、拼、摆，去发觉结论再去论证结论，这样可使学生对学问的理解由感性熟悉上升到理性熟悉，对学生的思维培育也会大有好处。
4、针对期中考说理局部较为薄弱，今后加强学生说理表达的指导及训练,同时强化学生的积极探究精神、主动参加意识和动手力量.充分发挥几何图形的优势，让学生通过剪、拼、摆，去发觉结论再去论证结论，这样可使学生对学问的理解由感性熟悉上升到理性熟悉，对学生的思维培育也会大有好处。
5、加强对学生的辅导、作业督查,使学生对所学学问到达娴熟运用。
教学中要创新教学方法。
更加注意因材施教。
对各层次的学生要区分对待。
教学中实行的措施:1、积极走进学生，多与他们沟通、谈心，端正他们的学习态度，帮忙学生树立学习数学的信念，培育学习的兴趣，使学生能够乐中学、学中乐。
2、抓住优生的优势实行“优帮差一帮一”、“中帮中比一比”的学习互助组，形成学习“你挣我敢”的学习气氛。
数学分析精选习题全解上下pdf
数学分析精选习题全解上下pdf 是一本非常优质的数学学习资料。
对于计算机、理工等相关专业的学生来说，数学是必不可少的一门学科，而数学分析则是其中的重要组成部分。
为了更好地掌握数学分析这门课程，需要的是大量的学习和练习。
而则可以提供让学生利用练习的方式，来加深对数学知识的理解和掌握。
本书内容丰富，总共分为两部分。
第一部分是习题选解，它按照数学分析的典型章节划分，涵盖了极限、连续、导数、不定积分、定积分等多个章节。
每个章节的习题都是作者精选的，既涵盖了基础知识点的练习，也包括了一些比较难的习题。
第二部分则是习题全解，它提供了每道习题的详细解答，不仅有答案，还有每个步骤和思路的详细讲解。
这些解答不仅有助于学生检测自己的答案是否正确，而且也可以帮助学生了解问题解决的思路和技巧。
读者可以根据自己的需要进行选择，参照第一部分选择相应主题的习题进行自主训练。
对于初学者来说，可以从基础章节开始练习，逐步提升自己的能力。
而对于进阶学习者来说，则可以重点关注一些更加复杂的题目，以挑战自己和巩固已有的基础知识。
对于数学学习者来说，做习题和看解答是非常有效的学习方法。
在练习过程中，学生可以通过自己的思考和推理，慢慢理解问题的本质。
当遇到难题时，可以通过查看解答，了解解决问题的关键思路和技巧，从而提升解题能力。
这样不仅可以巩固学习成果，同时也可以培养自己的独立思考和解决问题的能力。
总之，是一本非常优秀的数学学习资料，对于各个年级的数学学习者来说都有很大的帮助。
它不仅可以帮助学生巩固基础，还可以挑战学生的思考能力，提高他们的解题能力。
如果你正在学习数学分析，不妨试试看这本书，相信你会收获满满。
数学分析课后习题答案
习题1．验证下列等式 （1）C x f dx x f +='⎰)()( （2）⎰+=C x f x df )()(证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以⎰+='C x f dx x f )()(.（2）因为C u du +=⎰, 所以⎰+=C x f x df )()(.2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点)5,2(.解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='=⎰⎰22)()(.于是知曲线为C x y +=2, 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以有 C +=225, 解得1=C , 从而所求曲线为12+=x y3．验证x x y sgn 22=是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0<x 时, 22x y -=, x y -='; 当0=x 时,y 的导数为02sgn lim 0sgn )2(lim020==-→→x x x x x x x , 所以⎪⎩⎪⎨⎧=<-=>='||0000x x xx x xy 4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数解 由推论3的证明过程可知：在区间I 上的导函数f '，它在I 上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，也就是说导函数不可能出现第一类间断点。
因此每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。
5．求下列不定积分⑴C x x x x dx x dx x xdx dx dx x x x +-+-=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰-31423233233421)11(⑵C x x x dx x x x dx xx ++-=+-=-⎰⎰||ln 343)12()1(2332122⑶C gxC x gdx x ggxdx +=+⋅==⎰⎰-22212122121 ⑷ ⎰⎰⎰+⋅+=+⋅+=+dx dx dx x x x x x x x x )9624()3)32(22()32(222C x x x ++⋅+=9ln 96ln 624ln 4 ⑸C x dx x dx x +=-=-⎰⎰arcsin 23112344322⑹ C x dx x dx x x dx x x +-=+-=+-+=+⎰⎰⎰)arctan 1(31)111(31)1(311)1(322222 ⑺ C x x dx x xdx +-=-=⎰⎰tan )1(sec tan 22⑻ C x x dx x dx x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰)2sin 21(21)2cos 1(2122cos 1sin 2⑼ C x x dx x x dx xx xx dx x x x +-=+=--=-⎰⎰⎰cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22 ⑽C x x dx x x dx x x x x dx x x x +--=-=⋅-=⋅⎰⎰⎰tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222 ⑾ C C dt dt tt ttt+=+⋅⋅=⋅=⋅⎰⎰90ln 90)910ln()910()910(3102 ⑿C x dx x dx x x x +==⎰⎰81587158⒀ C x dx xdx x x x x dx x x x x +=-=--+-+=+-+-+⎰⎰⎰arcsin 212)1111()1111(222⒁ C x x xdx dx dx x dx x x +-=+=+=+⎰⎰⎰⎰2cos 212sin 1)2sin 1()sin (cos 2⒂ C x x dx x x xdx x ++=+=⎰⎰)sin 3sin 31(21)cos 3(cos 212cos cos ⒃ C e e e e dx e e e e dx e e x xx x x x x x x x ++--=-+-=------⎰⎰33333313331)33()(习题1．应用换元积分法求下列不定积分：⑴ C x x d x dx x ++=++=+⎰⎰)43sin(31)43()43cos(31)43cos( ⑵ C e x d e dx xe x x x +==⎰⎰222222241)2(41⑶ C x x x d x dx ++=++=+⎰⎰|12|ln 2112)12(2112⑷ C x n x d x dx x n nn +++=++=++⎰⎰1)1(11)1()1()1(⑸Cx x xd xdx x dx xx++=-+-=-+-⎰⎰⎰3arcsin 313arcsin 3)3113131)31131(2222⑹ C C x d dx x x x x +=+=+=++++⎰⎰2ln 22ln 22)32(221222323232⑺C x C x x d x dx x +--=+-⋅-=---=-⎰⎰232321)38(92)38(3231)38()38(3138 ⑻C x C x x d x xdx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)57(103)57(2351)57()57(5157 ⑼ C x dx x dx x x +-==⎰⎰2222cos 21sin 21sin ⑽ C x x x d x dx++-=++=+⎰⎰)42cot(21)42(sin )42(21)42(sin 22ππππ⑾ 解法一：C xxx d x dxx dx+===+⎰⎰⎰2tan2cos 22cos 2cos 122解法二： ⎰⎰⎰⎰-=--=+xxdxx dx x dx x x dx 222sin cos sin cos 1)cos 1(cos 1 C x x xx d x ++-=--=⎰sin 1cot sin sin cot 2⑿解法一：利用上一题的结果，有C x C x x x d x dx +--=+--=-+--=+⎰⎰)24tan()2(21tan )2cos(1)2(sin 1ππππ 解法二： C x x xx d x dx x dx x x dx +-=+=--=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos cos sin 1)sin 1(sin 1222 解法三：⎰⎰⎰+⋅=+=+222)12(tan 2cos )2cos 2(sin sin 1x x dxx x dx x dxC x x x d ++-=+=⎰12tan 2)12(tan 2tan 22⒀ 解法一：⎰⎰⎰---=-=)2()2sec()2sec(csc x d x dx x xdx πππC x x C x x ++-=+-+--=|cot csc |ln |)2tan()2sec(|ln ππ解法二：C x x x x d dx x x dx x xdx ++-=-===⎰⎰⎰⎰1cos 1cos ln 211cos cos sin sin sin 1csc 22C x x +-=|cot csc |ln解法三：⎰⎰++=dx x x x x x xdx cot csc )cot (csc csc cscC x x C xx x x d ++-=+++-=⎰|cot csc |ln cot csc )cot (csc解法四：⎰⎰⎰==dx x x xdx x x xdx 2cos2sin 22sin2cos 2sin 21csc 2C xC x x d x +=+-=-=⎰|2tan |ln |2cot |ln 2cot 2cot 1⒁C x x d x dx x x +--=---=-⎰⎰22221)1(11211 ⒂ C x dx x dx x x +=+=+⎰⎰2arctan 41)(4121422224⒃C x x x d x x dx +==⎰⎰|ln |ln ln ln ln⒄ C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰25535354)1(1101)1()1(151)1( ⒅ C x x C x x dx x dx x x ++-=++-⋅=-=-⎰⎰|22|ln 281|22|ln 221412)(1412444442483⒆C xx C x x dx x x x x dx ++=++-=+-=+⎰⎰|1|ln |1|ln ||ln )111()1( ⒇ C x dx x xxdx +==⎰⎰|sin |ln sin cos cot(21) ⎰⎰⎰-==x d x xdx x xdx sin )sin 1(cos cos cos 2245C x x x x d x x ++-=+-=⎰5342sin 51sin 32sin sin )sin sin 21((22) 解法一：C x x x x d x x dx +-==⎰⎰|2cot 2csc |ln 2sin )2(cos sin解法二：C x x xd x x xdx x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan cos sin cos cos sin 2 解法三：⎰⎰+=xx dxx x x x dx cos sin )cos (sin cos sin 22C x x dx xxx x +-=+=⎰|cos |ln |sin |ln )sin cos cos sin ((23) C e e de e dx e e e dx xx x x x x x+=+=+=+⎰⎰⎰-arctan 1122 (24) C x x x x x x d dx x x x ++-=+-+-=+--⎰⎰|83|ln 83)83(83322222(25) C x x x dx x x x dx x x x dx x x ++-+++=+++-+=+++-+=++⎰⎰⎰2323232)1(2312|1|ln ))1(3)1(211()1(3)1(2)1()1(2(26)⎰+22ax dx解 令t a x tan =, 则C a x x C t t t a tdt a a x dx+++=++==+⎰⎰||ln |tan sec |ln sec sec 221222(27)C a x x a a x x d a a x dx ++=+=+⎰⎰21222212222322)(1)(1)(解法2 令t a x tan =, 则C ax a x C t a tdt a t a tdt a a x dx ++=+===+⎰⎰⎰222223322322sin 1cos 1sec sec )( (28)⎰-dx xx 251解 令t x sin =, 则Cx x x C t t t td t tdt dt t t t dx x x +---+--=+-+-=--===-⎰⎰⎰⎰25223221253225525)1(51)1(32)1(cos 51cos 32cos cos )cos 1(sin cos cos sin 1(29)⎰-dx xx31解 令t x =61, 则6t x =, 56t dx =C t t t t t t dt tt t t dt tt t t t dt t t t dt t t dx x x++--+++-=-++++-=-++++-=-+-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 26)357(6)11)1((611)1)(1(6111)(61613572246224622422533其中61x t = (30)⎰++-+dx x x 1111解 令t x =+1, 则21t x =+, tdt dx 2=,Cx x x C x x x C t t t dt t t dt t t t tdt t tdt t t dx x x +++++-=+++++-+=+++-=++-=+-=+-=+-=++-+⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 414|11|ln 4141|1|ln 44)1442()142(2)121(21111111122．应用分部积分法求下列不定积分： ⑴ C x x x dx x x x x xdx +-+=--=⎰⎰221arcsin 1arcsin arcsin⑵ C x x x dx xx x x xdx +-=⋅-=⎰⎰ln 1ln ln ⑶Cx x x x x xdx x x x x x xd x x xdx x x x x d x xdx x +-+=-+=+=-==⎰⎰⎰⎰⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin cos 2sin sin 2sin sin cos 222222 ⑷C x x x dx x x x x xd dx x x +--=+-=-=⎰⎰⎰223223412ln 121ln 211ln 21ln ⑸ C x x x x x xdx x x dx x ++-=-=⎰⎰2ln 2)(ln ln 2)(ln )(ln 222⑹ ⎰⎰⎰+-==dx xx x x xdx xdx x 2222121arctan 21arctan 21arctan C x x x x dx x x x +--=+--=⎰)arctan (21arctan 21)111(21arctan 21222 C x x x +-+=21arctan )1(212⑺ ⎰⎰⎰+=+dx x dx x dx x x ln 1)ln(ln ]ln 1)[ln(ln C x x dx xdx x x x x x +=+⋅-=⎰⎰)ln(ln ln 1ln 1)ln(ln⑻ ⎰⎰--=dx xx x x x dx x 2221arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰----+=dx xx x x x x 22221112arcsin 12)(arcsinC x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22⑼ ⎰⎰⎰-==xdx x x x x xd xdx 23tan sec tan sec tan sec sec⎰⎰⎰+-=--=xdx xdx x x dx x x x x sec sec tan sec )1(sec sec tan sec 32 |tan sec |ln sec tan sec 3x x xdx x x ++-=⎰所以 C x x x x xdx +++=⎰|)tan sec |ln tan sec 21sec 3⑽⎰⎰+⋅-+=+dx ax x x a x x dx a x 222222⎰+-+-+=dx ax a a x a x x )(2222222⎰⎰+++-+=dx ax a dx a x a x x 2222222)ln(2222222a x x a dx a x a x x ++++-+=⎰所以C a x x a a x x dx a x +++++=+⎰))ln((212222222 类似地可得C a x x a a x x dx a x +-+--=-⎰))ln((212222222 3．求下列不定积分：⑴ C x f a x df x f dx x f x f a aa++=='+⎰⎰1)]([11)()]([)()]([ ⑵C x f x df x f dx x f x f +=+=+'⎰⎰)(arctan )()]([11)]([1)(22⑶C x f x f x df dx x f x f +=='⎰⎰|)(|ln )()()()( ⑷ C e x df e dx x f e x f x f x f +=='⎰⎰)()()()()(4．证明：⑴ 若⎰=dx x I n n tan ， ,3,2=n ，则21tan 11----=n n n I x n I 证 ⎰⎰⎰----=-=dx x dx x x dx x x I n n n n 22222tan sec tan )1(sec tan22tan tan ---=⎰n n I x d x .因为⎰⎰-----=x d x n x x d x n n n tan tan )2(tan tan tan 212，所以x n x d x n n 12tan 11tan tan ---=⎰. 从而21tan 11----=n n n I x n I . ⑵ 若⎰=dx x x n m I n m sin cos ),(，则当0≠+n m 时，),2(1sin cos ),(11n m I nm m n m x x n m I n m -+-++=+-)2,(1sin cos 11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m ， ,3,2,=m n证 ⎰⎰+-+==x d x n dx x x n m I n m nm 11sin cos 11sin cos ),( ]sin cos )1(sin [cos 112211⎰+-+--++=dx x x m x x n n m n m ])cos 1(sin cos )1(sin [cos 112211⎰--++=-+-dx x x x m x x n n m n m ))],(),2()(1(sin [cos 1111n m I n m I m x x n n m ---++=+-所以),2(1sin cos ),(11n m I n m m n m x x n m I n m -+-++=+-， 同理可得)2,(1sin cos ),(11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m I n m习题1．求下列不定积分：⑴ ⎰⎰⎰-+++=-+-=-dx x x x dx x x dx x x )111(1111233 C x x x x +-+++=|1|ln 2323 ⑵ 解法一：C x x dx x x dx x x x +--=---=+--⎰⎰|3|)4(ln )3142(127222解法二：⎰⎰⎰+-++--=+--dx x x dx x x x dx x x x 12732112772211272222 ⎰⎰---++-+-=)27(41)27(123127)127(21222x d x x x x x dC x x x x +--++-=34ln 23|127|ln 212 ⑶ 解22311)1)(1(111xx CBx x A x x x x +-+++=+-+=+ 去分母得 )1)(()1(12x C Bx x x A ++++-=令1-=x ，得31=A . 再令0=x ，得1=+C A ，于是32=C . 比较上式两端二次幂的系数得 0=+B A ，从而1-=B ，因此⎰⎰⎰+---+=+dxx x x x dx x dx 2312311311⎰⎰+-++---+=dx x x dx x x x x 22112111261|1|ln 31⎰+-++--+=dx x x x x 43)21(121)1ln(61|1|ln 3122C x x x x +-++-+=312arctan 311)1(ln 6122 ⑷ 解 ⎰⎰⎰⎰+--++=+--+=+dx xx dx x x dx x x x x dx 42424224112111211)1()1(211 ⎰⎰⎰⎰++-+-=+--++=22222222221)1(211)1(211112111121x x x x d x x x x d dx x x x dx x x x⎰⎰-++-+--=2)1()1(212)1()1(2122xx x x d x x x x d C xx x x x x +++-+--=2121ln 24121arctan221C x x x x x x ++++---=1212ln 8221arctan 42222 ⑸⎰+-22)1)(1(x x dx解 令22222)1(11)1)(1(1++++++-=+-x EDx x C Bx x A x x , 解得41=A , 41-==CB , 21-==E D , 于是 ⎰⎰⎰⎰++-++--=+-dx x x dx x x x dx x x dx 22222)1(1211141141)1)(1(C x x x x x x x +++-++-+--=)1(arctan 411141arctan 41)1ln(81|1|ln 41222 C x x x x x ++-+-+-=)11arctan 21|1|(ln 4122⑹⎰⎰⎰++-+++=++-dx x x dx x x x dx x x x 222222)122(125)122(2441)122(2 其中1221)122()122()122(24222222++-=++++=+++⎰⎰x x x x x x d dx x x x ⎰⎰⎰+++=++=++)12(]1)12[(12]1)12[(4)122(1222222x d x dx x dx x x )12arctan(1)12(122+++++=x x x 参见教材 例9或关于k I 的递推公式⑺. 于是，有C x x x x x dx x x x ++-+++-++-=++-⎰)12arctan(251)12(1225122141)122(22222 C x x x x ++-+++=)12arctan(25)122(23522．求下列不定积分⑴⎰-x dx cos 35解 令2tan xt =，则C t t t d tdt t dt t t dx x dx+=+=+=++--=-⎰⎰⎰⎰2arctan 21)2(1)2(2141121135cos 3522222 C x+=)2tan 2arctan(21 ⑵⎰⎰⎰⎰+=+=+=+)tan 32(tan cos )tan 32(sin 3cos 2sin 2222222x xd x x dx x x dx x dxC x x x d +=+=⎰)tan 23arctan(61)tan 231()tan 23(612 ⑶ ⎰⎰⎰++-+=+=+dx xx xx x x x x xdx x dx sin cos cos sin sin cos 21sin cos cos tan 1 )sin cos )cos (sin (21)sin cos cos sin 1(21⎰⎰⎰+++=++-+=x x x x d dx dx x x x x C x x x +++=|)sin cos |ln (21另解：设⎰+=x x xdx I sin cos cos 1，⎰+=x x xdxI sin cos sin 2，则C x dx x x xx I I +=++=+⎰sin cos sin cos 21，C x x x x x x d dx x x x x I I ++=++=+-=-⎰⎰|sin cos |ln sin cos )sin (cos sin cos sin cos 21所以C x x x I x dx +++==+⎰|)sin cos |ln (21tan 11⑷⎰⎰⎰-+++-+-=-+22221)1(11xx dx x dx x x dx xx x⎰⎰⎰-++-++---+-=2221231)12(211x x dxx x dx x dx x x其中（利用教材例7的结果）]1)21(512arcsin 45[21)21(451222x x x x dx x dx x x -+-+-=--=-+⎰⎰ 2222121)1(1)12(x x x x x x d x x dx x -+=-+-+=-++-⎰⎰512arcsin)21(45122-=--=-+⎰⎰x x dxxx dx所以有⎰-+dx xx x 221C x x x x x x x +-+-+--+-+--=512arcsin 231221]1)21(512arcsin 45[2122C x x x x +-++--=21432512arcsin 87 ⑸C x x x x x d xx dx ++++=-++=+⎰⎰|21|ln 41)21()21(222⑹⎰+-dx xxx 1112 解 令 x x t +-=11，则2211tt x +-=，22)1(4t tdtdx +-=，代入原式得 ⎰⎰⎰⎰---=--=+-⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-dt t t dt t t dt t t t t t dx x xx 222222222222)1(114)1(4)1(411111⎰⎰⎰⎰-+-++--=---=dt t t t dt t dt t dt t ]12)1(1)1(1[114)1(141142222222C t t t t dt t t dt t +++---+=-++--=⎰⎰1111|11|ln ])1(1)1(1[112222 C xx x x +---+=221|11|ln总 练 习 题求下列不定积分： ⑴C x x x dx x xx dx xx x +--=--=--⎰⎰-4312134541121414334132454)2(12⑵ ]11arcsin [21arcsin 21arcsin 2222⎰⎰⎰--==dx x x x x dx x dx x x 其中)2sin 21(2122cos 1cos cos sin 1222t t dt t dt t t t dx x x -=-==-⎰⎰⎰)1(arcsin 212x x x --=所以]11arcsin [21arcsin 222⎰⎰--=dx xx x x dx x xC x x x x x +---=)]1(arcsin 21arcsin [2122 C x x x x x +-+-=22141arcsin 41arcsin 21 ⑶⎰+xdx 1解 令u x =，则udu dx 2=C u u du uu udu xdx ++-=+-=+=+⎰⎰⎰|)1|ln (2)111(2121 C x x ++-=|)1|ln (2⑷ ⎰⎰⎰⎰===x x x x de x x d x e dx x x e dx x e sin sin sin sin sin 2sin sin 2cos sin 22sinC x e C e x e x d e x e x x x x x +-=+-=-=⎰)1(sin 2)sin (2)sin sin (2sin sin sin sin sin⑸ C x e C e u e du u e u x dx ex u u u x+-=+-==⎰⎰)1(2)(22)(令 ⑹C x x d x x x dx x xdx +-=--=-=-⎰⎰⎰1arcsin )1(1111112222 解法二：令t x sec =，C xC t dt t t t t x xdx +=+==-⎰⎰1arccos tan sec tan sec 12⑺⎰⎰⎰++=+-=+-x x x x d dx x x x x dx x x sin cos )sin (cos sin cos sin cos tan 1tan 1C x x ++=|sin cos |lnC x dx x dx x x +-=-=+-⎰⎰|)4cos(|ln )4tan(tan 1tan 1ππ ⑻ C x x x dx x x x dx x x x +-----=-+-+-=--⎰⎰23232)2(123|2|ln )2(2)2(3)2()2( ⑼C x x x d x xdx x x dx ++=+==⎰⎰⎰32224tan 31tan tan )tan 1(cos sec cos ⑽ ⎰⎰⎰-==dx x dx x dx x 2224)22cos 1()(sin sin⎰⎰++-=+-=dx x x dx x x )24cos 12cos 21(41)2cos 2cos 21(412 C x x x C x x x x ++-=+++-=4sin 3212sin 4183)84sin 22sin (41 ⑾ ⎰+--dx x x x 43523 解⎰⎰-+-=+--dx x x x dx x x x 223)2)(1(5435令22)2(21)2)(1(5-+-++=-+-x C x B x A x x x 去分母得：)1()2)(1()2(52++-++-=-x C x x B x A x 解得：32-=A ，32=B ，1-=C 所以⎰⎰⎰⎰---++-=+--dx x dx x dx x dx x x x 223)2(121321132435 C x x x +-++-=21|12|ln 32 ⑿ ⎰+dx x )1arctan(解 令u x =+1，du u dx )1(2-=⎰⎰⎰⎰-⋅=-⋅=+du u du u u du u u dx x arctan 2arctan 2)1(2arctan )1arctan(122)1ln(arctan 2]arctan )1[(C u u u u u u +++--+= C x x x x x ++++-+=)22ln()1arctan(⒀ ⎰⎰⎰+-=+-+=+dx x x x dx x x x x dx x x )22(2222433433747 C x x ++-=)2ln(214144 另解：C x x dx x dx x x x dx x x ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰)2ln(2141)221(4122444443447 ⒁⎰++dx x x x2tan tan 1tan 解 令u x =tan⎰⎰⎰⎰++-+=+++=++du u u du u du u u u u dx x x x 222221111111tan tan 1tanC x x C u u ++-=++-=31tan 2arctan32312arctan32arctan⒂ ⎰⎰-+---=-dx x x x dx x x 10021002)1(1)1(2)1()1( C x x x +-+---=979899)1(971)1(491)1(991 ⒃⎰⎰⎰-+-=-=dx x x xx x d x dx x x 2211arcsin 1arcsin arcsin C xx x x +-+--=|11|ln arcsin 2⒄ ⎰⎰⎰--+=--+=-+2)]1ln()1[ln(21)]1ln()1[ln(11lndx x x dx x x x dx x x x C x xxx dx x x x x x x ++-+-=-++---+=⎰11ln 21)1111(21)]1ln()1[ln(21222⒅⎰⎰⎰+==x d xx dx xx dx xx tan tan tan 1cos tan 1cos sin 1247C x x ++=)tan 511(tan 22⒆ ⎰⎰⎰⎰+-++=+-+=+-dx x x e dx x e dx x x x e dx x x e xx x x22222222)1(21)1(21)11( C xe dx x e x e dx x e x d e dx x e x x x x x x ++=+-+++=+++=⎰⎰⎰⎰2222221111111 ⒇ ⎰=dx uv I n n ，x b a u 11+=，x b a v 22+=解 ][221211⎰⎰⎰--===dx v b u n u v b u d v b dx uv I n nn n n ])([2][21122111121⎰⎰---+-=-=dx uv b a b a v b n u v b dx u uv b n u v b n nn n ])([21122111----=n n nI b a b a n I nb u v b 所以])([)12(2112211---+=n n n I b a b a n u v b n I。
数学分析课件
长度的计算
利用定积分可以计算曲线的长度，以及物体的周长。
06
高阶导数与高阶积分
高阶导数的计算与性质
高阶导数的计算方法
定义法：根据导数的定义，对函数进行多次求 导，适用于简单的函数。
莱布尼茨法则：利用已知的导数公式，通过递 推关系计算高阶导数，适用于较复杂的函数。
高阶导数的计算与性质
线性性质：若$f(x)$和$g(x)$的$n$阶导数存在 ，则$(a f+b g)^{(n)}=a f^{(n)}+b g^{(n)}$ 。
数学分析课件
目录
• 数学分析概述 • 数学分析的基本性质 • 极限理论及其应用 • 微分学及其应用 • 定积分及其应用 • 高阶导数与高阶积分 • 数学分析中的重要定理与问题
01
数学分析概述
定义与意义
定义
数学分析是研究函数、序列、极限、 微积分等概念与方法的分支，是数学 的基础学科。
意义
数学分析在数学领域中占据重要地位 ，为其他数学分支提供基础理论和工 具，也是许多实际应用领域的基础。
THANKS。
积分的基本性质
积分具有可加性、可减性、可乘性和可除性 。
积分的基本公式
积分的基本公式包括求导公式、微分公式、 乘积公式、幂函数公式等。
积分的方法
积分的方法包括换元法、分部积分法、有理 函数积分法等。
积分的应用：面积、体积、长度
面积的计算
利用定积分可以计算曲线下面积，以及平面图 形面积。
体积的计算
利用定积分可以计算旋转体的体积，以及立体 的体积。
分区求和法：将积分区间划分为若干小区间，在每个小 区间上应用牛顿-莱布尼茨公式计算积分，再求和得到 总积分值。
数学分析知识点总结
估值不等式、积分第一、第二中值定理。
5、定积分与不定积分旳联络
（1）变上限积分旳导数公式；
d
x
f (t )dt f ( x),
dx a
d
b( x)
f (t)dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
dx a( x)
（2）牛-莱公式。
（3）可积函数不一定有原函数，有原函 数旳函数不一定可积。
n 但其极限是无理数 e.
即数列旳单调有界定理在有理数域不成立。
3. 区间套定理
若{[ an,bn ]}是一种区间套，则在实数系中存在唯一旳点
,使 [an ,bn ],n 1,2,
反例：取单调递增有理数列{an },使an 2, 取单调递减有理数列{bn },使bn 2,
则 有理数域内构成闭区间 套 [an ,bn ]Q， 其在实数系内唯一的公 共点为 2 Q.
1）恒等变形（加一项减一项、乘一项除一项、 三角恒等变形）；
2）线性运算；
3）换元法： 第一类（凑分法）——不需要变换式可逆； 第二类——变换式必须可逆；
4）分部积分法——常可用于两个不同类型函数乘积 旳积分； “对反幂三指，前者设为u”
5）三种特殊类型函数 “程序化”旳积分法。
注：检验积分成果正确是否旳基本措施。
(6) cos xdx sin x C
(12) e xdx e x C
(13)
a xdx
ax C ln a
(20)
a2
1
x 2 dx
1 a
arctan
x a
C
(21)
x2
1
a 2 dx
1 2a
ln
《数学分析》教案《数学分析》教案
《数学分析》教案《数学分析》教案教案标题：数学分析教学目标：1.了解数学分析的基本概念和方法；2.掌握数学分析的基本技巧和解题方法；3.培养学生的数学思维和分析能力；4.提高学生的数学推理和问题解决能力。
教学内容：1.数集及其运算：数集的基本概念，数集的运算及其性质；2.数列及其极限：数列的概念和性质，数列的极限及其性质；3.函数及其极限：函数的概念和性质，函数的极限及其性质；4.一元函数的导数：导数的概念和性质，函数的可导性、连续性及其关系；5.一元函数的微分：微分的概念和性质，函数的微分与导数的关系；6.一元函数的积分：积分的概念和性质，函数的可积性与连续性的关系；7.多元函数的极限、连续性和偏导数；8.多元函数的积分；9.无穷级数。
教学手段：1.讲授：通过讲解，向学生传授基本概念和方法；2.演示：通过演示例题，引导学生掌握解题方法；3.实践：给学生提供大量的练习题，锻炼学生的分析能力和解题技巧；4.讨论：进行小组或全班讨论，培养学生的合作和交流能力；5.课堂练习：布置一些课堂练习题，检测学生的学习效果；6.作业布置：布置一些练习题或探究性作业，巩固课堂所学内容。
教学过程：第一课：数集及其运算1.引入：通过举例说明数集的概念；2.介绍数集的运算：交集、并集、差集和补集；3.讲解数集的性质和运算法则；4.练习：解决一些与数集及其运算相关的问题。
第二课：数列及其极限1.引入：通过例题引出数列的概念；2.讲解数列的性质和分类；3.介绍数列的极限的概念和性质；4.讲解数列极限的收敛和发散的判定方法；5.练习：解决一些数列极限相关的问题。
第三课：函数及其极限1.引入：通过例题讲解函数的概念；2.介绍函数的性质和分类；3.讲解函数的极限的概念和性质；4.讲解函数极限的极限定理和计算方法；5.练习：解决一些函数极限相关的问题。
第四课：一元函数的导数1.引入：通过例题引出导数的概念；2.介绍导数的性质和计算方法；3.讲解函数的可导性和连续性以及它们之间的关系；4.讲解导数的求导法则和应用；5.练习：解决一些函数导数相关的问题。
数学分析试题库--证明题.doc
数学分析题库（1-22 章）五．证明题1．设 A， B 为 R 中的非空数集，且满足下述条件：（1）对任何a A, b B 有 a（2）对任何0 ，存在 x证明： sup A inf B.2. 设 A， B是非空数集，记S Ab ；A, y B ，使得B ，证明：Y x .（1）sup S max sup A, supB；（2）inf S min inf A,inf B3.按N 定义证明lim 5n2 n 2 5n 3n 2 2 34. 如何用ε -N 方法给出lim a n a 的正面陈述？并验证| n2 | 和 | ( 1)n | 是发散数列 .n5. 用方法验证：limx 2 x 23 . x( x 2 3x 2)x 16．用M 方法验证：lim x 1 .x x21 x 27 . 设lim ( x) a ，在 x0某邻域 U ( x 0 ;1 ) 内( x) a ，又 lim f ( t) A .证明x x0 t alim f ( ( x)) A .x x08. 设f (x)在点x0 的邻域内有定义 . 试证：若对任何满足下述条件的数列x n，（1）x n U ( x0 ) ， x n x0，（2）0 x n 1 x0 x n x0，都有 lim f ( x n ) A ，n则 lim f ( x) A .x x09.证明函数x3 , x为有理数，f (x)0, x为无理数在 x00 处连续，但是在x00 处不连续.10. 设f ( x)在（ 0，1）内有定义，且函数e x f (x) 与 e f ( x)在（0，1）内是递增的，试证 f (x) 在（ 0， 1）内连续 .11. 试证函数 y sin x 2 ，在 [0, ) 上是不一致连续的.12. 设函数 f (x) 在（a,b）内连续，且 lim f ( x) = lim f ( x) =0，证明 f ( x) 在（a,b）内有最x a x b大值或最小值 .13. 证明：若在有限区间（ a,b ）内单调有界函数 f (x) 是连续的，则此函数在（a,b ）内是一致连续的 .14 . 证明：若 f (x) 在点a处可导，f（x）在点a处可导.15. 设函数 f (x)在 (a,b) 内可导，在[a,b]上连续，且导函数 f (x) 严格递增，若f (a) f (b) 证明，对一切 x (a, b) 均有f (x) < f (a) f (b)16. 设函数 f ( x) 在 [a, ] 内可导，并且 f (a) < 0 ，试证：若当 x (a, ) 时，有f (x) > c > 0 则存在唯一的(a, ) 使得 f ( ) 0 ，又若把条件 f ( x) > c 减弱为f / (x) > 0(a < x <+ ) ，所述结论是否成立？17.证明不等式e x 1 x x2 ( x 0)218. 设f为( , ) 上的连续函数，对所有x, f (x) 0 ，且lim f (x) lim f ( x) 0 ，x x证明 f (x) 必能取到最大值.19. 若函数 f ( x) 在 [0,1] 上二阶可导, 且 f (0) 0 ， f (1) 1， f (0) f (1) 0 ，则存在c (0,1) 使得 | f (c) | 2 .20.应用函数的单调性证明2xsin x x, x (0, );2m 1 0（ m 为实数），21. 设函数f ( x) x sin x , x0, x 0试问：（1） m 等于何值时， f 在 x 0 连续；（2） m 等于何值时， f 在 x 0 可导；（3） m 等于何值时， f 在 x0 连续；22. 设 f (x) 在 [0,1] 上具有二阶导数，且满足条件 f (x) a ， f (x) b ，其中 a, b 都是非负常数， c 是 (0,1) 内的任一点，证明f (c)2ab223. 设函数 f ( x)在[ a, b] 上连续，在（ a,b ）内二阶可导，则存在 (a, b) 使得f (b) 2 f (a b)f (a)(b a) 2 f ( )2424. 若 f (x) 在点 x 0 的某个领域上有 (n 1) 阶连续导函数 , 试由泰勒公式的拉格朗日型余项推导佩亚诺型余项公式 .25. 用泰勒公式证明 : 设函数 f (x) 在 a,b 上连续 , 在 a, b 内二阶可导 , 则存在( a, b) ,使得f (b)a b)(b a) 2f ' '( ) .2 f (f ( a)4226. 设函数 f ( x) 在 0,2 上二阶可导 , 且在 0,2 上 f (x) 1 , f ' ' (x) 1. 证明在 0,2 上成立f '' (x)2 .27. 设 f 是 开区 间 I 上的凸 函 数 , 则对任 何 ,I , f 在 ,上满足利普希茨(Lipschitz)条件,即存在 L>0 , 对任何 x ' , x ' ', ,成立f ( x ' ) f ( x) '' L x 'x ''.28. 设 f (x) 在 [ a, ] (a 0) 上满足 Lipschitz条件： | f (x) f ( y) | k | xy |, 证明f (x) 在 [ a, ] 上一致连续 .x29. 试证明方程 xnx n 1x 1在区间 ( 1,1) 内有唯一实根。
数学分析的基本原理
数学分析的基本原理数学分析是数学的一个分支，研究的是函数、极限、导数、积分等概念与性质。
作为数学的基础学科，数学分析具有一些基本的原理和方法。
本文将介绍数学分析的基本原理，帮助读者更好地理解和应用数学分析知识。
一、函数与极限的基本原理函数是数学中的一个重要概念，表示一个变量与另一个变量之间的依赖关系。
在数学分析中，我们研究的是实数域上的函数，即定义域为实数集的函数。
极限是函数与自变量趋于某一点时的表现。
数学分析中，我们用了极限的概念来研究函数的连续性、收敛性等性质。
极限具有一些基本的原理，包括极限的唯一性原理、极限的四则运算原理、函数极限的保号性原理等。
极限的唯一性原理指出，如果一个函数存在极限，那么这个极限是唯一确定的。
这意味着我们可以通过计算确定一个函数在某一点的极限值。
极限的四则运算原理是指，如果两个函数都在某一点存在极限，那么它们的和、差、积和商的极限也存在，并且可以通过已知函数的极限来计算未知函数的极限。
函数极限的保号性原理是指，如果一个函数在某一点的左侧或右侧是单调递增（或递减）的，并且这个函数在该点的极限为正（或负），那么该函数在这一点的附近也具有相同的性质。
二、导数与微分的基本原理导数是研究函数变化率的工具，它描述了函数在特定点的瞬时变化情况。
导数具有一些基本的原理，包括导数的定义、导数的四则运算法则、高阶导数等。
导数的定义是导数理论中最基础的概念。
对于一个实数域上的函数，在某一点处的导数定义为函数在该点的极限值，表示函数在该点处的瞬时变化率。
导数的四则运算法则是指，如果两个函数在某一点都存在导数，那么它们的和、差、积和商也都存在导数，并且可以通过已知函数的导数来计算未知函数的导数。
高阶导数指的是函数的导数的导数，它描述了函数变化率的变化率。
高阶导数的概念可以通过迭代运用导数的定义来得到，并且具有类似于导数的四则运算法则。
微分是导数的一种应用形式，它在物理学、经济学等领域有着广泛的应用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《数学分析》考试大纲一、考试形式考试采用闭卷、笔答的考试方式。
满分：150分(单科成绩)。
考试时间：120分钟。
二、试题难易程度分布较易试题约占50％中等试题约占30％较难试题约占20％三、题型及题型分值分布单选题约占15％填空题约占25％计算题约占30％证明题约占15％综合题约占15％四、内容比例第一章函数与极限约占15％第二章函数的连续性约占5％第三章导数和微分约占15％第四章不定积分约占10％第五章定积分及其应用约占10％第六章无穷级数约占20％第七章多元函数的极限与连续约占5％第八章多元函数微分学约占5％第九章重积分及其应用约占5％第十章曲线积分约占10％五、参考教材1．华东师大数学系编：《数学分析》，高等教育出版社2001年6月第3版。
2．刘玉琏、傅沛仁编：《数学分析讲义》，高等教育出版社1992年6月第3版。
3．张筑生编：《数学分析新讲》，北京大学出版社1990年1月第1版。
4．华东师大数学系编：《高等数学》，华东师大出版社2008年3月第2版。
六、考试内容第一章函数与极限一、考核的知识点1．函数概念。
2．具有某些特性的函数。
3．数列极限。
4．函数极限。
二、考核要求(一)函数的概念1．掌握函数的定义、表示法及函数的二要素，掌握定义域和一些函数的值域的求法，掌握函数的复合运算。
2．理解函数的四则运算与反函数的概念，掌握反函数的求法。
3．掌握基本初等函数的定义、性质及图像。
(二)具有某些特性的函数1．掌握有界函数、单调函数、偶函数、奇函数与周期函数定义，并会用定义判断函数的类别。
(三)数列极限1．理解数列极限的定义，会运用定义证明较简单的问题。
2．理解数列极限的唯一性、有界性、保号性、保序性、迫敛性、四则运算定理、单调有界定理、柯西收敛准则。
会运用这些定理证明较简单的问题。
3．掌握数列极限的计算。
(四)函数极限1．理解函数极限的定义，理解函数左、右极限的定义，掌握函数极限limf(x)与相应的左、右极限之间的关系，会运用函数极限的定义证明较简单的问题。
2．理解函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、局部保不等式性。
3．掌握函数极限的四则运算定理、两边夹定理、海涅定理、柯西准则、两个重要极限：。
并能运用它们求极限。
4．理解无穷小量与无穷大量的定义、性质，掌握无穷小量与无穷大量之间的关系、无穷小量阶的比较。
会运用等价无穷小量代换求极限。
第二章函数的连续性一、考核的知识点1．连续性的概念。
2．连续函数的性质。
3．初等函数的连续性。
二、考核要求’(一)连续性的概念1．理解函数连续的定义。
理解函数在点x0。
处左、右连续的定义，掌握函数在点x0。
处左、右连续与函数在点处连续的关系。
理解函数在点x0。
处有定义、有极限、连续之间的关系。
能正确判断函数的连续区间或间断点，尤其是分段函数在分段点上的连续性。
2．掌握函数间断点的分类。
(二)连续函数的性质1．理解连续函数的局部有界性、局部保号性、四则运算、复合函数的连续性，并能运用它们解决有关问题。
2．掌握闭区间上连续函数的性质(最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理，根的存在定理，反函数的连续性)及其简单运用。
3．理解一致连续的定义，掌握一致连续性定理。
(三)初等函数的连续性1．理解基本初等函数都是定义域上的连续函数。
2．理解任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数。
第三章导数和微分一、考核的知识点1．导数的概念。
2．求导法则。
3．高阶导数。
4．微分。
5．微分中值定理。
6．导数的应用。
二、考核要求(一)导数的概念1．掌握导数的定义、几何意义。
掌握左导数、右导数的定义，掌握函数在点x。
的左导数、右导数与在点x。
导数的存在性之间的关系。
2．理解可导与连续的关系。
(二)求导法则掌握基本求导公式，并能熟练运用导数的四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法则、隐函数求导法则及对数求导法求导数。
掌握由参数方程所确定的函数求导数的方法。
掌握分段函数求导数的方法。
(三)高阶导数掌握函数二阶导数及简单函数的三阶以上导数的求法。
(四)微分1．掌握微分的定义、基本初等函数的微分公式与微分的运算法则。
掌握简单函数高阶微分的求法。
2．理解一元函数可导、可微与连续之间的关系。
(五)微分中值定理理解费马定理、罗尔定理、拉格朗日定理的条件和结论，能运用拉格朗日定理证明一些恒等式与不等式。
(六)导数的应用1．掌握洛必达法则，运用洛必达法则求不定式的极限。
2．了解泰勒公式和麦克劳林公式。
3．掌握函数e“，sinx，COSX，ln(1+x)”的麦克劳林公式，能运用它们求一些简单函数的展开式。
4．掌握运用导数判定函数单调性、极值、最值的方法。
5．掌握运用函数的单调性证明不等式的方法。
第四章不定积分一、考核的知识点1．不定积分概念与基本积分公式。
2．换元积分法与分部积分法。
3．有理函数和可化为有理函数的积分。
二、考核要求(一)不定积分概念与基本积分公式理解原函数、不定积分的定义与性质。
掌握基本积分表。
(二)换元积分法与分部积分法掌握第一、第二换元积分法、分部积分法，并能运用它们熟练计算不定积分。
(三)有理函数和可化为有理函数的积分掌握简单有理函数的积分和部分可化为有理函数的积分的求法。
第五章定积分及其应用一、考核的知识点1．定积分概念。
2．可积的条件，可积函数类。
3．定积分的性质。
4．微积分学基本定理，定积分计算。
5．定积分在几何上的应用。
6．反常积分。
二、考核要求(一)定积分概念理解定积分的定义，掌握定积分的几何意义。
(二)可积的条件、可积函数类理解可积的条件，掌握三类可积函数。
(三)定积分的性质理解定积分的性质：包括线性性质，有限可加性，单调性和积分第一中值定理，并能运用这些性质解决简单问题。
(四)微积分学基本定理，定积分计算理解变限积分的定义及原函数存在定理、微积分基本定理，熟练运用牛顿一莱布尼兹公式计算定积分。
掌握定积分的换元积分法和分部积分法，熟练计算定积分。
(五)定积分在几何上的应用会运用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长、旋转曲面的面积。
(六)反常积分理解无穷限反常积分和无界函数反常积分的定义，并运用定义讨论这两类反常积分的收敛性。
第六章无穷级数一、考核的知识点1．数项级数的收敛性。
2．正项级数。
3．一般项级数。
4．幂级数。
二、考核要求(一)数项级数的收敛性1．了解常数项级数的定义。
2．理解常数项级数收敛、发散的定义，了解级数收敛的性质。
3．掌握几何级数和P——级数的敛散性。
(二)正项级数掌握正项级数收敛性判别法：比较原则、比式判别法、根式判别法。
熟练地应用比较原则、比式判别法、根式判别法判别正项级数的收敛性。
(三)一般项级数1．理解交错级数的定义。
会用莱布尼兹判别法判别交错级数收敛。
2．理解绝对收敛、条件收敛级数的定义及性质。
(四)幂级数1．了解函数项级数的定义。
2．理解幂级数、幂级数的收敛区间、收敛半径、收敛域的定义。
3．掌握幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域的求法。
理解幂级数的性质。
4．运用幂级数在收敛区间内逐项求导、逐项求积的性质求级数的和函数。
5．运用麦克劳林级数、泰勒级数和已知函数ex，sinx，COSX，ln(1十x)，(1 x)’的展开式将函数展开成幂级数。
第七章多元函数的极限与连续一、考核的知识点1．二元函数和n元函数。
2．二元函数的极限。
3．二元函数的连续性。
二、考核要求(一)二元函数和n元函数1．了解二元函数的定义，掌握二元函数定义域的求法。
2．了解三元函数、四元函数、…、多元函数的定义。
(二)二元函数的极限理解二元函数重极限和累次极限的定义，掌握求二元函数的重极限与累次极限的方法。
(三)二元函数的连续性1．理解二元函数连续的定义，运用定义讨论简单二元函数的连续性。
2．了解有界闭域上连续函数的性质。
第八章多元函数微分学一、考核的知识点1．多元函数的偏导数与全微分。
2．复合函数和隐函数的求导法则。
3．多元函数微分学的几何应用。
4．多元函数的极值。
二、考核要求(一)多元函数的偏导数与全微分1．理解二元函数的偏导数的定义，了解多元函数的偏导数。
2．掌握二元函数的一阶、二阶偏导数的求法。
3．理解全微分的定义及其存在条件，理解可微、偏导数存在与连续的关系。
(二)复合函数和隐函数的求导法则1．掌握多元复合函数(最多三元)求偏导数、全微分的方法。
2．掌握隐函数求导数、偏导数的方法。
(三)多元函数微分学的几何应用掌握平面曲线的切线与法线方程、空间曲线的切线与法平面方程、空间曲面的切平面与法线方程的求法。
(四)多元函数的极值掌握二元函数有极值的必要条件、充分条件及求无条件极值、最大值、最小值的方法。
第九章重积分及其应用一、考核的知识点1．重积分的概念与性质。
2．二重积分的计算。
3．重积分的几何应用。
二、考核要求(一)重积分的概念与性质理解二重积分的定义与性质、几何意义，了解三重积分的定义。
(二)二重积分的计算，掌握二重积分的直角坐标、极坐标计算法。
(三)重积分的几何应用掌握用重积分求空间曲面面积的方法。
第十章曲线积分一、考核的知识点1．第一型曲线积分。
2．第二型曲线积分。
3．格林公式，第二型曲线积分与路径无关的条件。
二、考核要求(一)第一型曲线积分1．理解第一型曲线积分的定义和性质。
2．掌握第一型曲线积分的计算方法。
(二)第二型曲线积分1．理解第二型曲线积分的定义和性质。
2．掌握第二型曲线积分的计算方法。
(三)格林公式，第二型曲线积分与路径无关的条件掌握用格林公式计算第二型曲线积分的方法。
理解曲线积分与路径无关的条件。
掌握求户(x，y)dz+Q(x，y)dy的原函数的方法。
七、关于考试内容及要求说明由于各知识点在课程中的地位、作用及知识自身的特点不同，本考试中将对各知识点分别按四个认知层次确定其考核要求。
这四个认知层次从低到高依次是：了解、理解、掌握、运用。
它们之间是递升的关系，后者必须建立在前者的基础上，其含义分别是：了解：对考试大纲中的知识点有清晰准确的认识并能作出正确的选择和判断。
理解：对考试大纲中的知识点有一定的理解，理解它与有关知识点的联系与区别，并能给出正确的表述和解释。
掌握：是在理解的基础上，会用大纲中各部分少数几个知识点解决简单的计算、证明或应用问题。
运用：是指能够综合运用多个知识点经过分析、计算或推导解决较复杂的问题。
了解、理解、掌握、运用四个认知层次的试题在试卷中所占比例依次约为：5％、45％、30％、20％。