数学分析 Green 公式
偏微分方程green公式
偏微分方程green公式偏微分方程Green公式是一种重要的数学理论，它可以帮助我们解决很多计算机科学中涉及微分方程的问题。
本文就偏微分方程Green公式的概念和应用进行简要介绍。
一、Green公式的概念Green公式是解决偏微分方程的一种方法，由英国数学家Green 于1837年提出。
Green公式的核心思想是将偏微分方程的求解转化为求解一个特定的定积分。
Green公式的表达式为：$$F(x) =int_{x_0}^x f(t) dt + F(x_0)$$其中，$x_0$是固定的一个常量，$F(x)$和$f(x)$分别是偏微分方程的右端以及多元函数。
二、Green公式的应用Green公式在很多计算机科学中有着广泛的应用。
例如，用Green 公式可以求解偏微分方程的解析解；Green公式也可以用来求解经典微分方程的渐近解；在计算机科学中，Green公式也可以用来计算物体表面的表面积，以及用于解决有限元问题。
三、Green公式的优缺点Green公式与其他解决微分方程的方法相比有着许多优点。
一方面，Green公式可以解决更复杂的偏微分方程；另一方面，Green公式在解决经典微分方程时更快，可以有效减少计算过程所需的时间。
虽然Green公式在许多方面都有着显著的优势，但也要注意它的一些缺点。
例如，Green公式在解决复杂的偏微分方程时，计算量很大，因此不适合求解一些高难度的问题；而且Green公式也不能用来求解有边界条件的偏微分方程。
四、结论以上就是Green公式简要介绍，仅供参考。
虽然Green公式在解决偏微分方程方面有着许多优点，但它也有一些缺点，所以在使用Green公式时要结合实际情况，选择最合适的应用方法。
Green公式及拓展
Green第一第二第三公式的证明1.1Green第一公式证明Green第一公式：∬[(∂u∂x)2+(∂u∂y)2]S dxdy=−∬us∆udxdy+∮u∂u∂n⃗cds证明：不妨设n⃗=(cosθ,sinθ);由方向导数的定义有：∂u ∂n⃗=∂u∂xcosθ+∂u∂ysinθ可知有cosθ=dy√(dx)2+(dy)2；sinθ=−dx√()2()2ds=√()()；故有∮u ∂u ∂n⃗cds=∮uc (∂u∂xdy()2()2+∂u∂ydy()2()2)√(dx)2+(dy)2=∮uc∂udy−u∂udx由Green公式∬(∂Q∂x−∂P∂y)D dxdy=∮Pdx+Qdy∂D；得∮u c ∂u∂xdy−u∂u∂ydx=∬[∂∂x (u∂u∂x)−∂∂y(−u∂u∂y)]Sdxdy=∬[∂(u∂u)+∂(u∂u)]Sdxdy=∬[∂∂x(∂u∂x)u+(∂u∂x)2+∂∂y(∂u∂y)u+(∂u∂y)2]dxdyS=∬[(∂u∂x)2+(∂u∂y)2]dxdyS +∬[∂∂x(∂u∂x)u+∂∂y(∂u∂y)u]dxdy S=∬[(∂u∂x)2+(∂u∂y)2]dxdyS+∬u[∂∂x(∂u∂x)+∂∂y(∂u∂y)]dxdyS=∬[(∂u∂x)2+(∂u∂y)2]dxdyS+∬uS∆udxdy即有∮u ∂u ∂n⃗c ds=∬[(∂u∂x)2+(∂u∂y)2]dxdyS+∬uS∆udxdy移项可得原式，得证。
1.2Green第二公式证明Green第二公式：∬|∆u∆vu v |dx dyS =∮|∂u∂n⃗∂v∂n⃗u v|Cds证明： 等式左边展开：∬|∆u ∆vu v|dx dyS=∬v∆u −u∆vdx dy S=∬v∆u −u∆vdx dyS右边∮|∂u ∂n ⃗ ∂v∂n ⃗ u v |C ds=∮(∂u ∂n ⃗Cv −∂v∂n ⃗u) ds=∮∂u ∂xC dy √()2()2−∂u ∂y dx√()2()2−u∂v ∂x dy√()2()2+u ∂v dx()2()2√(dx )2+(dy )2 =∮v ∂u ∂xC dy −v ∂u ∂y dx −u ∂v ∂x dy +u ∂v ∂y dx=∮(u ∂v ∂y −v ∂u ∂y )dx +(v ∂u ∂x −u ∂v ∂x)dyC有Green 公式有∬(∂Q ∂x −∂P∂y) Ddxdy =∮Pdx +Qdy∂D；有P=(u ∂v ∂y −v∂u∂y ) Q=(v∂u ∂x−u∂v ∂x)∂Q =∂(v ∂u ∂x −u ∂v∂x )=∂v∂u+v∂2u2−∂v∂u−u∂2v2 =v∂2u∂x2−u∂2v∂x2同理∂P=u ∂2v2−v∂2u2故有∬(∂Q−∂P)Ddxdy=∬(v ∂2u∂x2−u∂2v∂x2−u∂2v∂y2+v∂2u∂y2)Ddxdy=∬v∆u−u∆v D dxdy=∬|∆u∆vu v|dx dyS1.3Green第三公式证明Green第三公式：若u为有界闭区域S中的调和函数，则有：u(x,y)=12π∮(u∂ln r∂n⃗−ln r∂u∂n⃗)ds C其中C为S边界，∂u∂n⃗为u沿着C的外法线方向的方向导数；r=√(ξ−x)2+(η−y)2；为（x，y）到边界C上动点（ξ，η）的距离；证明：由Green 第二公式得到∮(u ∂ln r∂n⃗−ln r∂u∂n⃗)dsC =∬v∆u−u∆vDdxdy由于u为有界闭区域S中的调和函数，∆u=0∆v=∆ln r=∆ln√(ξ−x)2+(η−y)2=0可知ln r也是调和函数；故有在没有奇点的情况下，S内的任何区域∮(u ∂ln r∂n⃗−ln r∂u∂n⃗)dsC =∬u∆v−v∆uDdxdy=0故有设以(x，y)为中心，t为半径的一个领域D，∮(u ∂ln r∂n⃗−ln r∂u∂n⃗)dsC =∮(u∂ln r∂n⃗−ln r∂u∂n⃗)ds ∂D有在∂D上，∮ln r ∂u ∂n⃗ds∂D =ln t∮∂u∂n⃗ds∂D=ln t∬∆udsD=0∮u ∂ln rds∂D =∮u∂ln rds∂D=∮u1ds∂D=1∮uds∂D=2πu(ξ1，η1)故由u在S上的连续性得到lim t→0∮(u∂ln r∂n⃗−ln r∂u∂n⃗)ds=Climt→02πu(ξ1，η1)=2πu(x，y)故得证u(x,y)=12π∮(u∂ln r∂n⃗−ln r∂u∂n⃗)ds C第二十二章 各种积分间的联系与场论初步下面的图表给出了各种积分间的联系，在计算中可以根据这些关系，将一种积分转化为另一种积分。
Green公式
A
L
同理可证:
c
E
D
P y
dxdy
L
P
(
x
,
y
)dx.
o
x
两式相加得:
D
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
证明(2): 若区域D由分段光滑 的闭曲线L围成. 以如图所示为例. A
D2 L2
B
L3 D3
C
用线段AB, BC将D分成三个既是X—
D
型又是Y—型的区域D1, D2, D3, 其边 界分别为CBA+L1, AB+L2和BC+L3.
D
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)为顶点
的三角形闭区域.
解 令P 0, Q xe y2 ,
则 Q P e y2 , x y
应用格林公式,有
y
1 D
o
A
x
1
e y2dxdy
L由L1与L2组成
二、Green 公式
定理1: 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成, 函数
P(x, y), Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数, 则有
D
(Q x
P y
)dxdy
其中L是D的取正向的边界曲
线. 公式(1)叫Green公式.
证明(1): 若区域D既是X
L Pdx
y
d
x 1( y)
Qdy
解 利用格林公式，注意L不是闭路, 故加作辅助线：直线BA
P e y cos x,Q x 1 e y sin x,
P e y cos x, Q 1 e y cos x
y
x
green公式的条件
green公式的条件Green 公式是高等数学中的一个重要公式，它在计算平面区域上的曲线积分与二重积分之间的关系时非常有用。
要理解 Green 公式，咱们得先搞清楚它成立的条件。
Green 公式表述为：设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数P(x, y) 及 Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续偏导数，则有∮(L) Pdx + Qdy = ∬(D) (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy 。
那 Green 公式成立的条件到底是啥呢？首先，曲线 L 得是分段光滑的。
啥叫分段光滑呢？就好比咱们走的路，有的地方平坦，有的地方有点小坡，但是整体上还算顺畅，没有那种突然断开或者特别尖锐的拐角。
这样的曲线才能保证咱们在计算的时候不会出现奇奇怪怪的问题。
再说说函数 P(x, y) 和 Q(x, y) ，它们得在闭区域 D 上具有一阶连续偏导数。
这就好比是要求两个小伙伴，不仅要能在这个区域里好好表现，还得表现得稳稳当当，不能有大的波动。
给您举个例子吧。
就说咱们有一个简单的闭区域 D ，是由一个以原点为圆心，半径为 2 的圆围成的。
假设函数 P(x, y) = x^2 ，Q(x, y) =2xy 。
咱们来验证一下 Green 公式是否成立。
先算算曲线积分∮(L) Pdx + Qdy 。
这个圆的参数方程可以设为 x =2cosθ ，y = 2sinθ ，θ 从 0 到2π 。
代入计算一番，这可得费点功夫，但算出来是8π 。
再算算二重积分∬(D) (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy 。
先求偏导数，∂Q/∂x =2y ，∂P/∂y = 0 ，然后积分，算出来也是8π 。
您瞧瞧，这两个结果一样，Green 公式成立啦！在实际应用中，如果不满足 Green 公式的条件，那可就不能随便用啦。
比如说，如果曲线不是分段光滑的，或者函数的偏导数不连续，那咱们就得另想办法，可能得把区域分割或者做一些其他的处理。
总之，搞清楚Green 公式的条件，咱们在解题的时候就能心中有数，知道啥时候能用，啥时候不能用，不会乱用公式出错啦！希望您通过我的讲解，对 Green 公式的条件有了更清楚的认识。
GREEN公式范文
GREEN公式范文GREEN公式是一种用于计算两个圆内夹角的公式，它通过计算各个圆的半径、象限等信息来确定夹角的大小。
GREEN公式的全称是格林公式，也有人称之为格林定理。
它是一种广泛应用于物理、数学等领域的基本公式。
θ = arcsin[(r1+r2)/d] - arcsin[(r1-r2)/d]其中，d表示两个圆心之间的距离，也可以通过勾股定理计算得出：d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]这个公式的推导较为复杂，我这里只给出结论。
下面我将对GREEN公式进行详细解释。
首先，GREEN公式的分子部分[(r1+r2)/d]和[(r1-r2)/d]分别代表两个圆心到其中一点P的距离与两个圆半径之差的比值。
这里的P是圆AB 的切点，切点处的角为θ。
接下来，我们可以用三角函数来计算这两个比值。
根据三角函数的定义，我们可以知道：sin(α) = 对边/斜边其中，α为其中一角度，对边为α角的对立边，斜边为α角的斜边。
在GREEN公式中，r1和r2分别为ΔP1A和ΔP1B的对立边，d为ΔP1P2的斜边。
所以，我们可以写出两个比值的计算公式：(r1+r2)/d = sin(α1)(r1-r2)/d = sin(α2)综上所述，我们可以得到：θ = arcsin[(r1+r2)/d] - arcsin[(r1-r2)/d]根据这个公式，我们可以计算得到任意两个圆内夹角的大小。
例如，当两个圆的半径相等时，即r1=r2，我们可以得到：θ = arcsin[(r1+r1)/d] - arcsin[(r1-r1)/d]= arcsin[(2r1)/d] - arcsin[0]= arcsin[2r1/d]这个结果表明，在两个半径相等的圆相交的情况下，夹角θ的大小只与圆心之间的距离d有关，而与半径r1的大小无关。
这符合我们平常观察到的情况，即无论两个圆的大小如何，它们相交时夹角的大小可以通过计算得到。
偏微分方程green公式
偏微分方程green公式偏微分方程（PartialDifferentialEquations，简称PDE）在数学和物理学中有着重要的作用，它可以描述多元函数的变化，进而用于解决实际问题。
其中，green公式是一种有用的方法，用于把复杂的PDES（偏微分方程组）转化为更容易求解的形式。
本文将介绍green 公式的定义、推导以及应用，并结合一些实例进行说明。
一、green公式的定义green公式是一种把偏微分方程组转化为更容易求解的形式的方法，由英国数学家George Green在19世纪发现，因此也称为green 公式。
它的形式为：$$ oint_{sp} left[f frac {partial u}{partialn}-frac{partial f}{partial n} Uright]ds=0 $$其中，U代表未知函数，f为边界条件，n为法向量，sp代表边界曲线。
二、green公式的推导green公式的推导可以分为四个步骤：1.先考虑f=0的特殊情况，即特征值方程。
2.令U(x,y)构成 Green数，写出 Green数的偏微分方程；3.给出 Green数 U(x,y)特解，并写出特解的表达式；4.根据Green函数U(x,y)的特解，推导出green公式。
三、green公式的应用Green公式可以用于许多应用领域，如热传导、电磁场、气流模拟等。
1.Green公式在热传导中的应用：热传导是一种物理现象，其中，Green公式可以用来求解温度场的变化问题。
如果将温度场用U(x,y)表示，则可以将热传导问题转化为求解green公式的问题。
2.Green公式在电磁场中的应用：电磁场是一种物理现象，其中，Green公式可以用来求解电和磁场分布的变化问题。
如果将电场用U(x,y)表示，则可以把电磁场变化问题转化为求解green公式的问题。
3.Green公式在气流模拟中的应用：气流模拟是一种应用green公式求解流体力学问题的方法。
偏微分方程green公式
偏微分方程green公式微分方程是数学中广泛使用的一种方法，用来求解函数等式。
由于它能够解决很多实际应用中的问题，所以它在科学和工程领域的应用也越来越广泛。
其中，偏微分方程是一种特殊的微分方程，它可以用来解决多元变量函数的微分方程。
偏微分方程Green公式是偏微分方程学习、研究和应用时最常用的一种方法。
偏微分方程Green公式是偏微分方程的一般解法，可用来解决高维变量函数的偏微分方程，它是由英国数学家George Green在1828年提出的。
此公式有助于解决求解多变量函数不同梯度变量的问题，即求解某一具体变量梯度的值。
Green公式的具体内容是：$$int_V abla fcdot ndV=int_{partial V}frac{partial f}{partial n}dS$$其中，$V$为某个区域，$partial V$为$V$的边界，$n$为边界的单位法向量，$f$为一个(空间)偏导数变量函数，$abla f$为$f$的梯度，$dV$和$dS$分别为$V$和$partial V$上的小元素，$frac{partial f}{partial n}$为$f$在$partial V$上的单位法矢偏导数。
偏微分方程Green公式是一种常用的定理，它可以推广到更多次元空间，是求解自定义多变量函数偏微分方程的重要工具。
此公式也可以用来解决若干种由偏微分方程产生的特殊问题，例如变分问题、传热问题等。
Green公式又是偏微分方程在经典力学、热力学等物理学领域的重要应用，因此，在偏微分方程的学习和研究中，Green 公式的掌握非常重要。
Green公式不仅在应用中有重要意义，而且在理论上也有重要意义。
它对理解偏微分方程的物理意义有重要作用，更重要的是，它引出了外积分的概念，为偏微分方程的理论研究奠定了基础。
同时，Green公式也为后来的场论微分方程的研究奠定了基础，因此它的重要性不言而喻。
掌握Green公式的重要性不言而喻，它不仅可以用来解决偏微分方程的具体问题，而且可以帮助我们更好地理解偏微分方程的相关知识。
green公式法
green公式法摘要：1.引言2.Green 公式法的定义和原理3.Green 公式法的应用领域4.Green 公式法的优缺点5.结论正文：1.引言Green 公式，又称Green 恒等式，是由英国数学家George Green 在1828 年提出的。
这个公式在数学、物理以及工程领域中有着广泛的应用，尤其在解决一些偏微分方程和波动方程的问题时，具有重要的意义。
2.Green 公式法的定义和原理Green 公式法是一种求解偏微分方程的数值方法。
其基本原理是将偏微分方程中的积分操作用离散求和来代替，从而将偏微分方程转化为一个巨大的线性方程组，进而求解。
具体来说，对于一个在区域D 上的函数f(x, y)，如果它在区域D 上有一个连续的一阶偏导数，那么可以通过Green 公式法来求解该函数在区域D 上的值。
公式如下：D f(x, y) dA = D f(x, y)/n * dA，其中，n 为区域D 的边界单位法向量，dA 为区域D 的面积元素。
3.Green 公式法的应用领域Green 公式法在许多领域都有广泛的应用，如在电磁场问题的求解、热传导问题的求解、波动方程的求解等。
特别是在求解无界区域上的偏微分方程时，Green 公式法具有独特的优势。
4.Green 公式法的优缺点Green 公式法的优点在于它将复杂的偏微分方程转化为一个线性方程组，求解起来更加简便。
同时，它适用于许多不同的应用领域，具有较强的通用性。
然而，Green 公式法也存在一些缺点。
首先，它的适用性依赖于函数的一阶偏导数存在。
其次，当区域D 的边界形状复杂或者边界条件复杂时，求解难度会大大增加。
5.结论总的来说，Green 公式法是一种求解偏微分方程的有力工具，尤其在求解无界区域上的偏微分方程时，具有独特的优势。
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数学分析(二):多元微积分
梅加强副教授
南京大学数学系
内容提要:
内容提要:
诱导定向;
内容提要:
诱导定向; Green公式;
内容提要:
诱导定向;
Green公式;
简单闭曲线所围区域的面积;
内容提要:
诱导定向;
Green公式;
简单闭曲线所围区域的面积; 代数基本定理.
考虑平面R2上的有界区域Ω,假定其边界由有限条C1曲线组成.R2上的标准定向限制在Ω上就得到Ω的定向.
考虑平面R2上的有界区域Ω,假定其边界由有限条C1曲线组成.R2上的标准定向限制在Ω上就得到Ω的定向.
Ω的边界∂Ω有所谓的诱导定向.其定义如下:设(x(t),y(t))为∂Ω的一段参数曲线,则(x (t),y (t))为切向量,(y (t),−x (t))为法向量.
考虑平面R2上的有界区域Ω,假定其边界由有限条C1曲线组成.R2上的标准定向限制在Ω上就得到Ω的定向.
Ω的边界∂Ω有所谓的诱导定向.其定义如下:设(x(t),y(t))为∂Ω的一段参数曲线,则(x (t),y (t))为切向量,(y (t),−x (t))为法向量.
如果(y (t),−x (t))为相对于区域Ω的外法向量,则参数t决定的边界方向称为诱导定向.直观上看,从外法向到切向的旋转方向是逆时针的,这种确定边界定向的方法又称为“右手法则”.
考虑平面R2上的有界区域Ω,假定其边界由有限条C1曲线组成.R2上的标准定向限制在Ω上就得到Ω的定向.
Ω的边界∂Ω有所谓的诱导定向.其定义如下:设(x(t),y(t))为∂Ω的一段参数曲线,则(x (t),y (t))为切向量,(y (t),−x (t))为法向量.
如果(y (t),−x (t))为相对于区域Ω的外法向量,则参数t决定的边界方向称为诱导定向.直观上看,从外法向到切向的旋转方向是逆时针的,这种确定边界定向的方法又称为“右手法则”.
利用诱导定向,沿边界的第二型曲线积分有时可以化为区域中的重积分.
(Green公式)
设Ω为平面有界区域,其边界由有限条C1曲线组成,边界的定向为诱导定向.如果P,Q为¯Ω上的C1函数,则
Ω ∂Q
∂x
−
∂P
∂y
d x d y=
∂Ω
P d x+Q d y.
(Green公式)
设Ω为平面有界区域,其边界由有限条C1曲线组成,边界的定向为诱导定向.如果P,Q为¯Ω上的C1函数,则
Ω ∂Q
∂x
−
∂P
∂y
d x d y=
∂Ω
P d x+Q d y.
Green公式是一元微积分中Newton-Leibniz公式在平面上的推广.
(Green公式)
设Ω为平面有界区域,其边界由有限条C1曲线组成,边界的定向为诱导定向.如果P,Q为¯Ω上的C1函数,则
Ω ∂Q
∂x
−
∂P
∂y
d x d y=
∂Ω
P d x+Q d y.
Green公式是一元微积分中Newton-Leibniz公式在平面上的推广.
Green公式的传统证明方法是将被积区域分割为两种特殊类型的小区域,在每一小区域上验证公式成立,最后合起来就得到整个区域上的公式.
若Ω的边界是简单闭曲线γ(t)=(x(t),y(t))(t∈[α,β]),在Green公式中代入P(x,y)=−y,Q(x,y)=x,可得如下面积公式
σ(Ω)=1
2
∂Ω
−y d x+x d y=
1
2
β
α
[x(t)y (t)−x (t)y(t)]d t,
其中,参数t选取的方向沿逆时针.
若Ω的边界是简单闭曲线γ(t)=(x(t),y(t))(t∈[α,β]),在Green公式中代入P(x,y)=−y,Q(x,y)=x,可得如下面积公式
σ(Ω)=1
2
∂Ω
−y d x+x d y=
1
2
β
α
[x(t)y (t)−x (t)y(t)]d t,
其中,参数t选取的方向沿逆时针.
例如,考虑椭圆x2
a2+y2
b2
=1所围成的面积.椭圆的参数方程为x(t)=a cos t,y(t)=b sin t,t∈[0,2π],
于是其面积为
σ=1
2
2π
(a cos t b cos t+a sin t b sin t)d t=πab.
设p(z)=z n+c1z n−1+···+c n−1z+c n为复系数n次多项式.代数基本定理说p(z)在复平面上必有零点.
设p(z)=z n+c1z n−1+···+c n−1z+c n为复系数n次多项式.代数基本定理说p(z)在复平面上必有零点.
(反证法)设p(z)处处非零.当R>0时,记p(Rz)/R n的实部和虚部分别为f,g,则f和g不能同时为零.
设p(z)=z n+c1z n−1+···+c n−1z+c n为复系数n次多项式.代数基本定理说p(z)在复平面上必有零点.
(反证法)设p(z)处处非零.当R>0时,记p(Rz)/R n的实部和虚部分别为f,g,则f和g不能同时为零.
考虑
f d g−
g d f f2+g2=P d x+Q d y,其中P=
fg x−gf x
f2+g2
,Q=
fg y−gf y
f2+g2
.
容易验证Q x−P y=0.
设p(z)=z n+c1z n−1+···+c n−1z+c n为复系数n次多项式.代数基本定理说p(z)在复平面上必有零点.
(反证法)设p(z)处处非零.当R>0时,记p(Rz)/R n的实部和虚部分别为f,g,则f和g不能同时为零.
考虑
f d g−
g d f f2+g2=P d x+Q d y,其中P=
fg x−gf x
f2+g2
,Q=
fg y−gf y
f2+g2
.
容易验证Q x−P y=0.
在单位圆盘上应用Green公式,有
S1f d g−g d f
f2+g2
=
D
(Q x−P y)d x d y=0,(1)
另一方面,在S1上,记z=e iθ,则
f(z)=cos nθ+1
R
a1cos(n−1)θ−b1sin(n−1)θ+···
,
g(z)=sin nθ+1
R
a1sin(n−1)θ+b1cos(n−1)θ+···
,
其中a1,b1分别为c1的实部和虚部.
另一方面,在S 1上,记z =e i θ,则
f (z )=cos n θ+1R a 1cos(n −1)θ−b 1sin(n −1)θ+··· ,
g (z )=sin n θ+1R
a 1sin(n −1)θ+
b 1cos(n −1)θ+··· ,其中a 1,b 1分别为
c 1的实部和虚部.
由此可见,当R →∞时,f 2+g 2=1+O (1/R ),且f d g −g d f =(fg θ−gf θ)d θ= n +O (1/R ) d θ.这说明,当R 充分大时 S
1f d g −g d f f 2+g 2= 2π0 n +O (1/R ) d θ=2πn +O (1/R )=0,这与(1)式相矛盾!
另一方面,在S 1上,记z =e i θ,则
f (z )=cos n θ+1R a 1cos(n −1)θ−b 1sin(n −1)θ+··· ,
g (z )=sin n θ+1R
a 1sin(n −1)θ+
b 1cos(n −1)θ+··· ,其中a 1,b 1分别为
c 1的实部和虚部.
由此可见,当R →∞时,f 2+g 2=1+O (1/R ),且f d g −g d f =(fg θ−gf θ)d θ= n +O (1/R ) d θ.这说明,当R 充分大时 S
1f d g −g d f f 2+g 2= 2π0 n +O (1/R ) d θ=2πn +O (1/R )=0,这与(1)式相矛盾! 代数基本定理是由Gauss 首先证明的.有趣的是,至今还没有纯代数的证明.。