测量不确定度基础知识
测量与不确定度的基础知识
“相对真值” ： 理论真值——理论设计值、公理值、理 论的计算值； 计量定值——国际计量大会规定的基本 物理量的值、基本常数的数值； 标准器件值——标准器件相对低一、低 二级的仪表，前者是后者的相对标准值； 算术平均值——实验中物理量多次测量 结果{x1、x2、x3、…、xn}的算术平均值
1 n x xi n i 1
测量与不确定度的基础知识
测量 误差 不确定度
测量
1.测量的定义 将待测物理量X直接、或间接地与一个被 选做的标准的同类物理量μ比较 X = xμ 标准物理量 ——单位 2.单位 测量结果：比值x、单位μ 测量存在误差（测量不可能无限准确）， 应说明结果所处在的范围及其置信概率。
3.分类 直接测量——直接得到值被测量的测量； 间接测量——利用值被测量 ~ f(值直接测量) 计算 值被测量 依据测量条件分为： 等精度测量——同一个人、用同一仪器、 同样方法、相同条件多次测量同一 物理量； 实际，事物不断变化，只要变化较小，不影 响测量结果，就认为是等精度测量。 不等精度测量——其它的测量。
lim x x
n 0
误差分类 ①系统误差——等精度（仪器、环境、 实验者不变）测量一个物理量，误差的符号、 绝对值恒定，或按一确定的规律变化。 特点是确定性。 已定系统误差——变化规律已确定的系 统误差； 未定系统误差——变化规律未确定的系 统误差； 定值系统误差——符号、绝对值恒定的 系统误差；
例 测量一个铜棒质量的不确定度为 U(m) = 0.0007 g，置信度为p = 0.683。 计算置信度p = 0.955、p = 0.997的不确 定度。 解： 覆盖因子k0.683 = 2、k0.955 = 2、 k0.977 = 3。 Up(m) = kpU(m) U0.955(m) = 20.0007 = 0.0014 g U0.987(m) = 30.0007 = 0.0021 g
§3 测量的不确定度
测量不确定度与数据处理复习纲要§1 测量及其误差1 测量的概念测量：为确定被测对象的测量值，首先要选定一个单位，然后用这个单位与被测对象进行比较，求出它对该单位的比值──倍数，这个数即为数值。
表示一个被测对象的测量值时必须包含数值和单位两个部分。
目前，在物理学上各物理量的单位，都采用中华人民共和国法定计量单位，它是以国际单位制（SI）为基础的单位。
它是以米（长度）、千克（质量）、秒（时间）、安培（电流强度）、开尔文（热力学温度）、摩尔（物质的量）和坎德拉（发光强度）作为基本单位，称为国家单位制的基本单位；其它量（如力、能量、电压、磁感应强度等等）的单位均可由这些基本单位导出，称为国际单位制的导出单位。
2 直接测量、间接测量、等精度测量测量分为直接测量和间接测量。
直接测量是指把待测物理量直接与作为标准的物理量相比较，例如用直尺测某长度，间接测量是指按一定的函数关系，由一个或多个直接测量量计算出另一个物理量。
同一个人，用同样的方法，使用同样的仪器并在相同的条件下对同一物理量进行的多次测量，叫做等精度测量。
以后说到对一个量的多次测量，如无另加说明，都是指等精度测量。
3 测量的正确度、精密度和精确度正确度表示测量结果系统误差的大小，精密度表示测量结果随机性的大小，精确度则综合反映出测量的系统误差与随机性误差的大小。
4 误差的概念测量值x与真值X之差称为测量误差Δ，简称误差。
Δ＝x-X。
误差的表示形式一般分为绝对误差与相对误差。
绝对误差使用符号±Δx。
x表示测量结果x与直值X之间的差值以一定的可能性（概率）出现的范围，即真值以一定的可能性（概率）出现在x-Δx至x+Δx区间内。
相对误差使用符号β。
由于仅根据绝对误差的大小还难以评价一个测量结果的可靠程度，还需要看测定值本身的大小，故用相对误差能更直观的表达测定值的误差大小。
绝对误差、相对误差和百分误差通常只取1～2位数字来表示。
5 误差的分类与来源一般将误差分为系统误差、随机误差、粗大误差三类。
测量不确定度
测量不确定度测量不确定度是与测量结果关联的一个参数，用于表征合理赋予被测量的值的分散性。
它可以用于“不确定度”方式，也可以是一个标准偏差（或其给定的倍数）或给定置信度区间的半宽度。
该参量常由很多分量组成，它的表达(GUM)中定义了获得不确定度的不同方法。
测量不确定度是“表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数”。
这个定义中的“合理”，意指应考虑到各种因素对测量的影响所做的修正，特别是测量应处于统计控制的状态下，即处于随机控制过程中。
定义中的“相联系”，意指测量不确定度是一个与测量结果“在一起”的参数，在测量结果的完整表示中应包括测量不确定度。
通常测量结果的好坏用测量误差来衡量，但是测量误差只能表现测量的短期质量。
测量过程是否持续受控，测量结果是否能保持稳定一致，测量能力是否符合生产盈利的要求，就需要用测量不确定度来衡量。
测量不确定度越大，表示测量能力越差；反之，表示测量能力越强。
不过，不管测量不确定度多小，测量不确定度范围必须包括真值（一般用约定真值代替），否则表示测量过程已经失效。
原理测量不确定度从词义上理解，意味着对测量结果可信性、有效性的怀疑程度或不肯定程度，是定量说明测量结果的质量的一个参数。
实际上由于测量不完善和人们的认识不足，所得的被测量值具有分散性，即每次测得的结果不是同一值，而是以一定的概率分散在某个区域内的许多个值。
虽然客观存在的系统误差是一个不变值，但由于我们不能完全认知或掌握，只能认为它是以某种概率分布存在于某个区域内，而这种概率分布本身也具有分散性。
测量不确定度就是说明被测量之值分散性的参数，它不说明测量结果是否接近真值。
为了表征这种分散性，测量不确定度用标准〔偏〕差表示。
在实际使用中，往往希望知道测量结果的置信区间，因此，在本定义注1中规定：测量不确定度也可用标准〔偏〕差的倍数或说明了置信水准的区间的半宽度表示。
为了区分这两种不同的表示方法，分别称它们为标准不确定度和扩展不确定度。
不确定度--基础知识
2012-4-22
作者:于振凡
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测量不确定度的大小，不仅与测量结果的质量有关系， 测量不确定度的大小，不仅与测量结果的质量有关系，还与评 判的概率有关系。 判的概率有关系。 用测长仪测得一根铁轨的长度是： 用测长仪测得一根铁轨的长度是：10m，U0.90=1mm=0.001m ， 用这个相同的测长仪测这根铁轨的长度就有： 用这个相同的测长仪测这根铁轨的长度就有：U0.99> U0.90 在相同的测量条件下，用相同的仪器， 在相同的测量条件下，用相同的仪器，对同一被测对象进行测 量。
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被测量=被测对象的特定量 被测量 被测对象的特定量 (2.5) 例1：测量室内高度为 ：测量室内高度为2.9m, U=0.01m 室内高度=（ ± 室内高度 （2.9±0.01）m ） 例2：测量珠穆朗玛峰高度为 ： 8848.13m,U=0.01m 珠穆朗玛峰高度=（ 珠穆朗玛峰高度 （8848.13±0.01）m ± ） 例3：测量面粉中的水分为 ：测量面粉中的水分为0.36%, U=0.01% 面粉中的水分=(0.36±0.01) % 面粉中的水分 ±
P ( y − t < U 1 ) ≥ 0.90 P ( y − t < U 2 ) ≥ 0.95 P ( y − t < U 3 ) ≥ 0.99
显然有： 显然有：
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作者:于振凡
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区间宽度” 置信水平（ 不确定度 （U值）“区间宽度” 与“置信水平（概 值 紧密相关，在相同的条件下： 率）” 紧密相关，在相同的条件下：置信水平越 值越大。 大， U值越大。 值越大 值不写下角标时， 当U值不写下角标时，默认为U0.95 值不写下角标时
测量不确定度
二、测量不确定度的定义
测量不确定度（uncertainty of measurement）
测量结果带有的一个参数，用于表征合理地 赋予被测量值的分散性。
▪该参数是一个表征分散性的参数。它可以是标准 差或其倍数，或说明了置信水平的区间半宽度。 ▪该参数一般由若干个分量组成，统称为不确定 度分量 ▪该参数是通过对所有若干个不确定度分量进行 方差和协方差合成得到。所得该参数的可靠程度 一般可用自由度的大小来表示
（8）引用常数或其它参量的不准确
（9）与测量原理、测量方法和测量程 序有关的的近似性或假定性
（10）在相同的测量条件下，被测量重 复观测值的随机变化
（11）对一定系统误差的修正不完善 （12）测量列中的粗大误差因不明显而 未剔除 （13）在有的情况下，需要对某种测量 条件变化，或者是在一个较长的规定时 间内，对测量结果的变化作出评定。应 把该相应变化所赋予测量值的分散性大 小，作为该测量结果的不确定度。
第四章 测量不确定度
寻求
误差概念和误差分析在用于评定测量 结果时,有时显得既不完备，也难于操作 。
一种更为完备合理、可操作性强的评 定测量结果的方法。
测量不确定度
诞生
第一节测量不确定度的基本概念
一、概述
❖1927年德国物理学家海森堡提出测不准关系，也称为不确定度关 系。 ❖1953年Y.Beers在《误差理论导引》一书中给出实验不确定度。
随这些量变化的情况而定。用符号uc表示。
扩展不确定度（expanded uncertainty）
规定了测量结果取值区间的半宽度，该区间包含
了合理赋予被测量值的分布的大部分。用符号U 或UP表示。
包含因子（coverage factor）
测量不确定度的基础知识
2011-2-16
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（二） 测量不确定度的表示 (8.8) 【例1】 天平测得砝码为 】 天平测得砝码为100.02147g，其不确定度为 ， 0.79mg，结果表示为： ，结果表示为： 1、 m = (100.02147 ± 0.00079)g 、
s
2、 、
ms = 100.02147g...................U0.95 = 0.79mg
2
特别指出： 特别指出： 4、不应说真值以 的概率落入该区间。 、不应说真值以95%的概率落入该区间。 的概率落入该区间 真值不变（仅有一个）， ），每 次测量构造出 真值不变（仅有一个），每n次测量构造出 一个区间(结果和不确定度），测量了 结果和不确定度），测量了m组 一个区间 结果和不确定度），测量了 组 每组测n次），共得到 个区间， 共得到m个区间 （每组测 次），共得到 个区间，当m充分 充分 大时，大约有95%m个区间套住了真值。 大时，大约有 个区间套住了真值。
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1.不确定度可以理解为误差的概率上确界 [（最小） 不确定度可以理解为误差的 （最小） 上界]，它不是数学意义下的（最小）上限。 上界 ，它不是数学意义下的（最小）上限。
1 1− n
粗略的可以把不确定度说成误差限，建议不要这样说。 粗略的可以把不确定度说成误差限，建议不要这样说。
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简单的说
准确度（ISO5725）是制造产品。 ）是制造产品。 不确定度是评价产品。 不确定度是评价产品。
评价产品的目的是为了提高产品质量。 评价产品的目的是为了提高产品质量。
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第四节 不确定度的构成 一、误差的分类 误差可以分为随机误差 系统误差两类 随机误差和 两类。 误差可以分为随机误差和系统误差两类。误差等 于随机误差与系统误差之和。 于随机误差与系统误差之和。测量误差示意图如 所示。 图1.1所示。被测值为 ，真值为 ，第i次测量结 所示 被测值为Y，真值为t， 次测量结 果为y 由于测量误差的存在，测得值（ 果为 i。由于测量误差的存在，测得值（单次测 得值y 不能重合。 得值 i或测量平均值 ）与真值 t 不能重合。设 测量值呈正态分布[N( 测量值呈正态分布 µ，σ)]，则分布曲线总体均 ， 值的位置（ 决定了系统误差的大小； 值的位置（即µ值）决定了系统误差的大小；曲 线的形状（ 而定） 线的形状（随标准差σ而定）决定了随机误差 的分布范围[ 的分布范围 µ−kσ ，µ+kσ]，以及其在该范围内 ， 取值的概率。 取值的概率。
测量与不确定度的基础知识
时间测量的不确定度评估方 法
可以采用贝塞尔公式、最大允许误差等方法进行评 估。
主要是由于计时设备的精度、测量环境的影 响以及测量方法的误差等因素。
时间测量的不确定度对测 量结果的影响
不确定度越小，测量结果越准确，反之则误 差越大。
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误差的来源与减小方法
误差的来源
误差的来源多种多样，主要包括测量仪器、设备、实验环境、操作方法、读数 方法等因素。例如，测量仪器的精度限制、温度变化、气流扰动等都可能引起 误差。
减小误差的方法
为了减小误差，可以采用多种方法，如选择高精度测量仪器、定期校准仪器、 控制实验环境、采用合适的操作方法和读数方法等。此外，可以通过多次测量 求平均值或采用统计方法来减小随机误差。
可靠性和准确性。
03
不确定度基础
不确定度的定义与意义
定义
不确定度是测量结果的可信程度或可 靠性的度量，表示测量结果的不确定 性或分散性。
意义
不确定度用于评估测量结果的可靠性 和准确性，帮助决策者了解测量结果 的可信程度，并指导改进测量方法和 提高测量精度。
不确定度的来源与计算方法
来源
不确定度的来源包括仪器误差、操作 误差、环境因素、数据处理等。
误差的表示与处理
误差的表示
误差通常用相对误差和绝对误差来表示。相对误差是指误差与真实值之比，用百分比表 示；绝对误差是指误差的绝对值。在数据处理中，通常将相对误差和绝对误差结合起来
考虑。
误差的处理
在数据处理中，需要对误差进行处理和修正。对于系统误差，可以通过校准和修正来消 除或减小；对于随机误差，可以采用统计方法进行处理；对于粗大误差，需要识别并剔 除。在数据分析和科学研究中，通常需要对测量数据进行不确定度评估，以评估结果的
测量不确定度评定基本知识
测量不确定度评定基本知识一、评定依据1、Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM)——测量不确定度表示指南BIPM、IEC、ISO、OIML、IUPAP、IUPAC和 IFCC 七个国际组织联合发布。
1993年第一版；1995年修订版。
2、国家计量技术规范 JJF 1059－1999 “测量不确定度评定与表示”(原则上等同采用GUM)。
二、不确定度的概念不确定度反映测量结果的质量*实验室的主要工作是“测量”。
*对稳定的被测对象(大部分情况如此)，测量的目的是获得被测量的“真值”。
*真值是客观存在，只有“一个”值。
*但是，由于有“多种”随机或系统因素影响测量过程，即使“重复”测量同一个量，也会得到“多个”不同的、分散的测量值，因此不同的测量值仅仅是、而且都是真值的估计值。
从这种意义上讲，真值是“不能确切知道”的。
*通常，只要有可能，我们不用单个测量值作为测量结果，而是取多个测量值的“平均值”作为测量结果。
*重复该测量过程，可以得到不同的平均值，也就是不同的测量结果。
因此平均值也只是真值的一种估计。
相对单个测量值而言，它们的分散程度要小。
*实验室的“产品”是“测量结果”。
*测量结果经过“包装”成为“检测报告/校准证书”。
*产品最本质的特性是其质量。
*每种产品都有特定的参数表征其质量。
*测量结果的“质量”规定用“(测量)不确定度”表征。
*通常认为不确定度小，测量结果的质量高；实际上只要不确定度满足要求，即认为质量好。
*实验室不仅要在出具的检测报告/校准证书上给出“测量结果”，同时还应给出反映测量结果质量的“不确定度”。
三、不确定度的定义与解释*不确定度定义：表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。
*从定义看，首先不确定度是一个参数；其次它表示的是测量值的分散性；最后说明该参数是与测量结果相联系的。
*影响测量值分散性的因素有多个，每个影响因素至少会产生一个不确定度，所以不确定度有“多个”分量。
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例
测量次数 测量值 xi ( %)
1
0.42
2
0.43
3
0.40
4
0.43
5
0.42
6
0.43
7
0.39
8
0.30
原子吸收法测量某样品的铁含量
残差 i ( %)
0.016 0.026 0.004 0.026 0.016 0.026 -0.014 -0.104
A类评定
B类评定
求出合成不确定度 评定扩展不确定度 不确定度报告
1.数学表达式
被测量(输出量)y 与各输入量 xk 的函数关系为: y f (x1、x1、x1xk)
2.求最佳值
(1).求各输入量 x k 的最佳值
1).等精度测量
测试条件不变、精度相等的测量。
`若对某量 x 进行一系列等精度测量的测得值有:
输入量 xi 而求得 y f (x1 、 x2 xn) 则可：
（1）先求出被测量y 的各分量的估计值 y , 然后求平均值 k
y
1 n
n
yk
k 1
1 n
f ( x1k , x2k ,, ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱNk )
（2）或先求出各输入量 xi 的最佳值，再求出y的最佳值
y f ( x1、x2 xn)
• 包含因子：为获得扩展不确定度，作为合成不确定度乘 数的数字因子（亦有称覆盖因子、扩展因子）
• 包含区间：基于可获得的信息，能赋予某量的值所处 的区间，该区间与一定高的概率相联系。 • 置信水平（包含概率 ）：与包含区间相联系的概率。
(二). 不确定度的主要来源
1). 被测量的定义不完善 2). 复现被测量的定义的方法不理想 3). 抽样的代表性不够 4). 赋予计量标准的值或标准物质的值不准 5). 引用的数据或其它参量不准 6). 测量方法和测量程序的近似性和假定性 7). 测量仪器的分辩力或鉴别力不够 8). 对模拟仪器的读数存在人为偏离 9). 对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条件的测量
4). 确定各输入量的标准不确定度
包括不确定度的A类评定和B类评定。
5). 确定各个输入分量标准不确定度对输出量的标准不 确定度的贡献
由数学模型对各输入量求偏导数确定灵敏系数，然后由输入量 的标准不确定度分量求输出量对应的标准不确定度分量。
6). 求合成标准不确定度
利用不确定度传播率，对输出量的标准不确定度分量进行合 成。
式中： x ——该输入量n次测量的算术平均值
xi x ——该输入量每个测量值的残差
(2).求各输入量 xi 的算术平均值的标准差 x
x
n
n
(
xi
x)2
1
n(n 1)
x 值可作为实验室该测量能力的A类评定值
(测量列)的实验标准差随着测量次数的增加而趋于一个稳定的数值；平均值的
x1 、 x2 、 x3 ...... xn
x 则其测量结果最佳值为算术平均值
应予修正
x
1 n
( x1
x2
xn )
1 n
n i 1
xi
2).不等精度测量 在不同的条件下或不同的测量次数下所进行的精度不等的测量。 测量结果最佳值为加权算术平均值 xp
式中:
xp
p 1
x1
与控制不完善 10). 在表面上看来完全相同的条件下，被测量重复观测值的变化
(三) .测量不确定度评定方法
1).确定被测量和测量方法
测量原理、环境条件、所用仪器设备、测量程序和数据处理等。
2).建立数学模型
所谓建立数学模型，就是根据被测量的定义和物理模型（测量方 案），用一个函数关系将测量过程模型化，以确定被测量与有关量 之间的函数关系。一个被测量可能依赖若干个有关量，为此，先要 识别出所有被测的输入量，然后通过数学模型（函数关系），用所 有的已知输入量计算输出量（最终的待测量）。
p 2
x2
p n
xn
p p p
1
2
n
p ____ 各测量值的权, 与各自方差成反比， i c 为系数, 一般取1
c
Pi
2
i
(2).求被测量(输出量)y的最佳值
1). 函数关系只有一个输入量的直接测量，即
Y=cx
x 的最佳值就是y 的最佳值 2). 函数关系有几个输入量的间接测量，即被测量y 是通过测量各
7). 求扩展不确定度
根据被测量的概率分布和所需的置信水准，确定包含因子，由合 成标准不确定度计算扩展不确定度。
8). 报告测量结果的不确定度
报告测量不确定度时，必须给出测量结果。最终不确定度的修约 是直接进位，而不是舍去。
如下图所示
(四).测量不确度的评定流程
建立数学模型 求最佳值
列出各不确定度分量的表达式
• 不影确响定的度程的度A。类评定：对观测列进行统计分析以评定 不确定度的方法。
• 不确定度的B类评定：评定标准不确定度的非统计分 析方法。
• 合成标准不确定度： 当结果由若干其它量得来时，按 其他各量的方差和协方差算得的标准不确定度。
• 扩展不确定度： 确定测量结果区间的量，期望测量结 果以合理地赋予的较高置信水平包含在此区间内。
测量不确定度基础知识
(一). 测量不确定度有关概念
测量不确定度—与测量结果相关联的测一量个结参果数中，的用不确以表征 合理地赋予被测量之值的分散性。定度，并未包括未
通常用标准差（u）表示 识别的系统效应的
影响。
• 不标•不当确准确结定不定果度确度由评定等若定度于干中：这其常用些它用标量量名准的得词偏方来差差时表和，示协该的方测测差量量加结结权果果的的不正标确平准定度。 方根，权的大小取决于这些量的变化及测量结果
只有评定了所有各输入量的不确定度，才能给出被测量值（输 出量）的不确定度。
建立物理模型和相应的数学模型，实际上就给出了被测量值的 不确定度主要来源。
如果对被测量不确定度有贡献的分量未包括在数学模型中，应特 别加以说明，如环境因素的影响。
3). 求被测量的最佳估值
不确定度评定时对测量结果的不确定度评定，而测量结果应理 解为被测量之值的最佳估计。
3). 对于组合测量，被测量y 需用最小二乘法求出最佳值。
3.不确定度A类评定
•用对观测列进行统计分析的方法来评定的标准不确定度
x (1).求各输入量 i 的单次测量标准差 随机变量x 在相同条件下进行n次独立测量，其(测量列)标准偏
差采用贝塞尔公式计算。
n
2
(xi x)
1
n 1