偶完全数
自然数约数的个数及所有约数的和
自然数约数的个数及所有约数的和我们知道：一个数ɑ，如果能被数b整除，b就是ɑ的约数。
自然数(除了1以外)按照约数的多少，可以分成质数与合数两类：质数只有1和它自己两个约数；合数除了1和它自己以外，还有其它的约数；上面这些知识都是非常浅显的，连小学生都知道。
殊不知，在这些人们耳熟能详的知识中，却隐藏着许多饶有兴味的问题。
一、约数的个数一个数的约数的个数，与这个数由哪些质因数组成有关。
以12为例，分解质因数得到12＝22×3。
在构成12的约数时，质因数2，可以取2个(即22＝4)、1个(即21＝2)或者不取(即20＝1)，有3种方法，“3”比质因数2的幂指数“2”多1；对于质因数3，可以取1个(即31＝3)或者不取(即30＝1)，有2种方法，“2”比质因数3的幂指数“1”多1。
所以，总共可以组成3×2＝6个约数，分别是22×31＝4×3＝12，21×31＝2×3＝6，20×31＝1×3＝3，22×30＝4×1＝4，21×30＝2×1＝2，20×30＝1×1＝1。
推广到一般：如果一个数N＝ɑi b j…c k，其中，ɑ、b、…、c是N的质因数，i、j、…、k 是这些质因数的幂指数。
N的约数的个数等于：(i＋1)(j＋1)…(k＋1)以360为例，360＝23×32×5。
质因数2、3、5的幂指数分别是3、2、1，所以360的约数有(3＋1)(2＋1)(1＋1)＝24个。
检验：360的约数有360、180、120、90、72、60、45、40、36、30、24、20、18、15、12、10、9、8、6、5、4、3、2、1，共24个。
二、约数的总和仍以12为例，12＝22×3。
根据上面所说的12的约数的构成，这些约数的总和等于：22×31＋21×31＋20×31＋22×30＋21×30＋20×30，化简后得到：(22＋21＋20)(31＋30)。
数学实验素数
素数姓名：学号：班级：数学与应用数学4班实验报告实验目的：素数(Prime)是构造所有数的“基本材料”，犹如化学上的化学元素和物理学中的基本粒子，有关素数的许多看似简单却极富刺激性的奇妙问题，向一代代数学家提出了挑战，始终吸引着他们的目光。
本实验将探讨素数的规律及其相关的某些有趣问题，如素数的判别，求素数的个数等。
实验环境：Mathematica软件实验基本理论和方法：素数：如果一个大于1的自然数只能被1及它本身整除，则该数称为素数，否则被称为合数。
算数基本定理：从数学史的黎明时期开始，数学家就一直在探索自然数的奥秘，远在古希腊时代，欧几里得就证明了每一个合数都可以分解为若干个素数的乘积，并且在不计较素数排列顺序时这种分解是唯一的，这就是所谓的算数基本定理。
算数基本定理表明素数是构造自然数的基石，正如物质的基本粒子一样。
Mathematica的素数函数：Mathematica系统提供了两个常用的与素数有关的函数：（1）[n]，就是返回从第一个素数2数起的第n个素数；（2）PrimeQ[n]，就是判断自然数n是否为素数，是则返回True，否则返回False。
使用系统函数输出某个指定范围内的所有素数，只要定义如下的函数即可：筛法求素数：2000多年前，希腊学者埃拉托色尼(Eratosthenes 公元前约284-192年)给出了一个寻找素数的简便方法—筛法：写下从2、3、…、N，注意到2是一个素数，划去后面所有2的倍数，越过2，第一个没有被划去的数是3，它是第二个素数，接下来再划掉所有3的倍数，3之后没有被划去的数是5，然后再划掉除5外所有5的倍数，以此类推。
显然，划掉的都是较小整数的倍数，它们都不是素数，都被筛掉了，而素数永远不会被筛掉，它们就是要寻找的不超过N的所有素数。
试除法求素数：假设我们已经找到了前n个素数，为了下一个素数我们从开始一次检验每一个整数N，看N是否能被某个整除。
如果N能被前面的某个素数整除，则N为合数，否则N即为下一个素数。
完全数的前世今生
公元前3世纪时，古希腊数学家对数字情有独钟。
他们在对数的因数分解中，发现了一些奇妙的性质，如有的数的真因数之和彼此相等，于是诞生了亲和数;而有的真因数之和居然等于自身，于是发现了完全数。
6是人们最先认识的完全数。
发现完全数研究数字的先师毕达哥拉斯发现6的真因数1、2、3之和还等于6，他十分感兴趣地说：6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。
古希腊哲学家柏拉图在他的《共和国》一书中提出了完全数的概念。
约公元前300年，几何大师欧几里得在他的巨著《几何原本》第九章最后一个命题首次给出了寻找完全数的方法，被誉为欧几里得定理：如果2n-1是一个素数，那么自然数2n-1一定是一个完全数。
并给出了证明。
公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员、古希腊著名数学家尼可马修斯在他的数论专著《算术入门》一书中，正确地给出了6、28、496、8128这四个完全数，并且通俗地复述了欧几里得寻找完全数的定理及其证明。
他还将自然数划分为三类：富裕数、不足数和完全数，其意义分别是小于、大于和等于所有真因数之和。
千年跨一步完全数在古希腊诞生后，吸引着众多数学家和数学爱好者像淘金般去寻找。
可是，一代又一代人付出了无数的心血，第五个完全数没人找到。
后来，由于欧洲不断进行战争，希腊、罗马科学逐渐衰退，一些优秀的科学家带着他们的成果和智慧纷纷逃往阿拉伯、印度、意大利等国，从此，希腊、罗马文明一蹶不振。
直到1202年才出现一线曙光。
意大利的斐波那契，青年时随父游历古代文明的希腊、埃及、阿拉伯等地区，学到了不少数学知识。
他才华横溢，回国后潜心研究所搜集的数学，写出了名著《算盘书》，成为13世纪在欧洲传播东方文化和系统将东方数学介绍到西方的第一个人，并且成为西方文艺复兴前夜的数学启明星。
斐波那契没有放过完全数的研究，他经过推算宣布找到了一个寻找完全数的有效法则，可惜没有人共鸣，成为过眼烟云。
光阴似箭，1460年，还当人们迷惘之际，有人偶然发现在一位无名氏的手稿中，竟神秘地给出了第五个完全数33550336。
特殊数
如 M 13 213 1 8191, 8191 的素因子形如
Mersenne数的由来 Marin Mersenne(1588–1648） 17世纪法国著名的数学家和修道士
1640年6月,Fermat在给Mersenne的一封信中
讨论了形如 2 p 1 的数 Mersenne断言 对于p=2，3，5，7，13， 17，19，31，67，127，257，2 1 是素数
/
1996年-2009年4月12日, GIMPS 找到了20个Mersenne素数
##
p
M 的位数
P 的位数 14471465 15632458 18304103 19616714 25956377 22370543 25674127
年份 2004 2005 2005 2006 2008 2008 2009
Mersenne数的探索历程
美国电子前沿基金会（IEFF）宣布 第一个找到超过一百万位数Mersenne素数 个人或机构颁发5万美元, 超过一千万位数, 10万美元, 超过1亿位数, 15万美元, 超过10亿位数, 25万美元.
Mersenne数的探索历程 1999年6月1日, Nayan Gahratwaka 发现第38个Mersenne素数 M 6972593 (2098960位) 2008年8月23日，Edson Smith 发现第45个Mersenne素数 M 43112609 (12978189位) 2013年1月25日，Curtis Cooper 发现第45个Mersenne素数 M 57885161 (17425170位)
定理4
n 是偶完全数 n 2
其中
p 1
Mp
p, M p
都是素数.
初等数论-绪论
8、测圆海镜
《测圆海镜》由中国金、元时期数学家 李冶所著，成书于 1248年。全书共有12卷，170问。这是中国古代论述容圆的一 部专箸，也是天元术的代表作。《测圆海镜》所讨论的问题 大都是已知 勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问 题。在《测圆海镜》问世之前，我国虽有文字代表未知数用 以列方程和多项式的工作，但是没有留下很有系统的记载。
若2n 1是素数，则2n1(2n 1)是完全数
注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然 不知道有没有奇完全数。
四、我国古代数学的伟大成就
1、周髀算经 公元前100多年，汉朝人撰，是一部既谈天体又
谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说，提出了 著名的“勾三股四弦五”这个勾股定理的一个特例。
广泛的应用，无疑同时也促进着数论的发展。
三 几个著名数论难题
初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗 留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞 懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ； 费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：
1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先 发现的。1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数 学家欧拉,正式提出了以下的猜想：
一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一 个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数 的乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点， 至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2
许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的 律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多 年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥 芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处， 写下一个看起来很简单的定理。
常见数量关系
常见数量关系数量是描述物质和事物之间、或客观事物与主观世界之间最基本的关联。
数量关系体现了事物间的异同，是数学理论和应用的重要基础。
一些数量关系是定量的，如奇偶性、约数、质数、完全数、立方数等，是数学基础理论之一。
定量关系是描述数量关系的基本概念，它表示数量之间具有形成等价集合的定义。
例如，定义一个奇数是一个除了1以外的大于1的正整数，则一个数是奇数的条件就完成了，这就是定量数量关系。
另一些数量关系是定性的，如大小关系、增减关系、增减分类等，它通过描述“大”“小”“增”“减”等关系来解释数量变化。
例如，当一个数比另一个数大时，可以说它的值“增加”；当一个数比另一个数小时，可以说它的值“减少”。
此外，还有一些更复杂的数量关系，如比例和比率关系、计算关系、函数关系、图像关系等，它们可以用来描述不同类型的数量关系。
例如，比例关系可以描述两个数量之间的变化比值；比率关系可以描述物质量或质量单位之间的改变；函数关系可以描述某一特定变量之间的关系；图像关系可以描述一组数据的变化趋势。
所以，数量关系的研究，可以帮助我们更好地理解客观事物的特性及其之间的关系，以及主观世界中的规律和潜在的变化。
它为科学研究提供了可靠的数学基础，为各种科学技术工作提供了有效的支持。
比较属于数量关系的一部分，主要包括排序关系、分类关系、数量比较关系等。
排序是一种有序关系，也是一种简单的数学关系。
例如，按颜色对球排序，将它们排序为红色，白色，橙色，兰色的排序，这就是排序关系。
分类关系指的是将物体分类成几类，这些分类可以根据特征或其他标准来进行。
例如，将物体按形状分类：圆形、三角形、矩形、等边形，这就是分类关系。
数量比较关系是比较两个数量的大小。
例如，比较苹果和橘子的数量，可以得出苹果数量大于橘子，这就是数量比较关系。
从上述，可以看出，数量关系是十分广泛的，它不仅可以应用在数学课堂，也可以用于生活中的比较和判断。
比如可以用数量关系来比较几件礼物的价格、服装的大小、食物的份量、事物的时间等等。
五年级下册数学课件-完全数 (共19张PPT) 人教版
数学宝库中的一颗璀璨明珠
哇！ 好漂亮啊！
我们一起去 看看吧!
数学宝库中的一颗璀 璨的明珠—完全数（也叫 完美数）
完全数？数还有 “完全”和“不
完全” ？
入口1: 什么是完全数？
入口2: 有不完全数吗？
欢迎来到“完全数的世界”！
入口3: 完全数有多少？
入口4: 完全数的特性？
一 什么是完全数？
神秘的完全数
完美数这颗数学宝库中的璀璨明 珠正以其独特魅力，吸引着更多的有 志者去探寻和研究。
神秘的完全数
人无完人，但数有完美数，它就 在那里静静等着我们去发现，你能发 现下一个完美数吗？
未来已来，让我 们一起努力！
谢谢观看！
主题：《完全数》 教材：人教版教材 年段：五年级下册
亏数：“4”这个数，它的因数有1， 2，4。而1+2<4，像这样的自然数叫做亏数；
所以，完全数就是既不盈余，也不亏 欠的自然数。
三 完全数知多少？
28也是完全数。
入口3: 完全数有多少？
1+2+4+7+14=28
公元6世纪的毕达哥拉斯是最早研 研究完全数的人，他已经知道6和28就是完 全数。在中国文化里有：六谷、六畜、六 国、六常、二十八星宿等，6和28在中国历 史长河中，之所以熠熠生辉，是因为它们 是完全数。可见，中国发现完全数比西方 还早呢。
请输入6的因数！
咦， 还要输入密码？
入口1: 什么是完全数？
6的因数有： 1 ，2 ，3 ，6。
完全数（Perfect number）， 又称完美数或完备数，是一些特殊 的自然数。它所有的真因数（小于 它本身的因数）的和，恰好等于它 本身。这样的数称为“完全数”。
【人教版】小学数学五年级下册知识点总结
【人教版】小学数学五年级下册知识点总结【编者按】人教版小学数学五年级下册设计到因数与倍数、分数的意义和性质、分数的加法和减法、图形的变换、长方体和正方体以及复式折线统计图等知识点。
同学们通过这些知识的学习能够深刻的体会到解决问题策略的多样性，感受数学的魅力。
一、目标与要求1.理解分数的意义和基本性质，会比较分数的大小，会把假分数化成带分数或整数，会进行整数、小数的互化，能够比较熟练地进行约分和通分；2.掌握因数和倍数、质数和合数、奇数和偶数等概念，以及2、3、5的倍数的特征；会求100以内的两个数的最大公因数和最小公倍数；3.理解分数加、减法的意义，掌握分数加、减法的计算方法，比较熟练地计算简单的分数加、减法，会解决有关分数加、减法的简单实际问题；4.知道体积和容积的意义以及度量单位，会进行单位之间的换算，感受有关体积和容积单位的实际意义；5.结合具体情境，探索并掌握长方体和正方体的体积和表面积的计算方法，探索某些实物体积的测量方法；6.能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形，以及将简单图形旋转90度；欣赏生活中的图案，灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案；7.通过丰富的实例，理解众数的意义，会求一组数据的众数，并解释结果的实际意义；根据具体的问题，能选择适当的统计量表示数据的不同特征；8.认识复式折线统计图，能根据需要选择合适的统计图表示数据。
二、重点、难点1.用轴对称的知识画对称图形；2.确区别平移和旋转的现象，并能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形；3.理解因数和倍数的意义；因数和倍数等概念间的联系和区别；正确判断一个常见数是质数还是合数；4.长方体表面积的计算方法；长方体、正方体体积计算；5.理解、归纳分数与除法的关系；用除法的意义理解分数的意义；6.理解真分数和假分数的意义及特征；7.理解和掌握分数和小数互化的方法。
三、知识点概括总结1.轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠,直线两侧的图形能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形，这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
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每一个偶完全数，它的所有的因子的倒数之和都等于2；反之，也成立。
证明：方法一：充分性：由于偶完全数的通项公式为
M=2n-1(2n-1),2n-1为素数。
则它的所有因子的倒数之和
S=（1+1/2+٠٠٠+1/2n-1)(1+1/(2n-1))
=(1-(1/2)n)/(1-1/2)*2n/(2n-1)
=(2n-1)/2n-1*2n/(2n-1)=2
故充分性得证。
必要性：设满足条件的偶数为M=2n-1p(p为奇数），
则它的所有因子的倒数之和
S=（1+1/2+٠٠٠+1/2n-1)S1=2
S1表示p的所有因子的倒数之和。
由上式解得：S1=1+1/(2n-1).显然2n-1是素数;
否则，p的所有因子的倒数之和大于S1，矛盾。
故p的因子为1,2n-1.则p=2n-1.
即M=2n-1(2n-1),2n-1为素数。
故M是偶完全数。
即证:原命题成立。
方法二：
引理：设任意正整数为M，它的所有因子之和为S，
则S/M表示Ｍ的所有因子的倒数之和.
证明：设Ｍ的所有因子分别为p1,p2,p3,***,p n.
则显然M/p 1,M/p 2,M/p 3,***,M/p n 是M 的因子，且各不相同。
（因为若M/p i =M/p j ,则p i =p j,矛盾）
同时，M/p i(i=1,2,3,***,n)共有n 项，
故M/p i (i=1,2,3,***,n)是M 的所有因子。
则S/M=(p 1+p 2+p 3+***+p n )/M
=p 1/M+p 2/M+p 3/M+***+p n /M=∑
=n i i M p 1/
引理得证。
推论：∑=n
i i p
1/M 表示
充分性：若M 是完全数，则它的所有因子的倒数之和为 S/M=∑
=n i i M p 1/=2成立。
必要性：由于任意正整数M 的所有因子的倒数之和为 S/M=2,故M 是完全数。