课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定理
课时跟踪检测(二十三) 正弦定理和余弦定理
① ②
5．解析：因为 3sin A＝5sin B，所以由正弦定理可得 3a＝5b.因为 b＋c 3 7 ＝2a，所以 c＝2a－5a＝5a.令 a＝5，b＝3，c＝7，则由余弦定理 c2 ＝a2＋b2－2abcos C，得 49＝25＋9－2×3×5cos C，解得 cos C＝－ 1 2π 2，所以 C＝ 3 . 答案：A
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2．解：(1)∵cos 2C＋2 2cos C＋2＝0， ∴2cos2C＋2 2cos C＋1＝0， 2 即( 2cos C＋1) ＝0，∴cos C＝－ . 2 3π 又 C∈(0，π)，∴C＝ . 4
2
(2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C＝3a2＋2a2＝5a2， ∴c＝ 5a，即 sin C＝ 5sin A，∴sin A＝ 1 10 sin C＝ . 10 5
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4．解析：由 c2＝(a－b)2＋6 可得 a2＋b2－c2＝2ab－6. π 由余弦定理及 C＝3可得 a2＋b2－c2＝ab. 所以由①②得 2ab－6＝ab，即 ab＝6. 1 π 1 3 3 3 所以 S△ABC＝2absin3＝2×6× 2 ＝ 2 . |＝24，
∴BC＝4，AB＝6， ∴AC＝ BC2＋AB2－2BC· AB· cos B ＝
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9 16＋36－2×4×6×16＝5.
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B 卷：增分提能 1．解：(1)证明：∵a，b，c 成等差数列，∴a＋c＝2b. 由正弦定理得 sin A＋sin C＝2sin B. ∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)， ∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)． (2)∵a，b，c 成等比数列，∴b2＝ac. 由余弦定理得 a2＋c2－b2 a2＋c2－ac 2ac－ac 1 cos B＝ 2ac ＝ ≥ 2ac ＝2， 2ac 当且仅当 a＝c 时等号成立． 1 ∴cos B 的最小值为2.
2020届高三数学(文)一轮总复习课时跟踪检测 正弦定理和余弦定理Word版含答案
课时跟踪检测正弦定理和余弦定理1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°. 2．(2019·长春质检)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A.12 B ．1 C. 3D ．2解析：选C ∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bc sin A ＝ 3.3．在△ABC 中，若a ＝4，b ＝3，cos A ＝13，则B ＝( )A.π4B.π3C.π6D.2π3解析：选A 因为cos A ＝13，所以sin A ＝1－19＝223，由正弦定理，得4sin A ＝3sin B，所以sinB ＝22，又因为b <a ，所以B <π2，B ＝π4. 4．(2019·安徽高考)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.解析：∠C ＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，即6sin 60°＝ACsin 45°，解得AC ＝2.答案：25．在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，则BC 边的长为________．解析：由S △ABC ＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC ＝5，因此BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC ＝7.答案：7二保高考，全练题型做到高考达标1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B <c sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选C 根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，故C 是钝角．2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝csin C， ∴sin B ＝b sin Cc＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．(2019·郑州质量预测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选A 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，所以cos B＝32，所以B ＝30°. 4．(2019·南昌一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b 等于( )A.53B.107C.57D.5214解析：选C 因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45， 所以sin C ＝sin[180°－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210. 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin 45°＝57.5．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38解析：选B 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ， 故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3， 又A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.6．(2019·北京高考)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________. 解析：由正弦定理得sin A sin C ＝ac，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6， ∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin Asin C·cos A ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1.答案：17．(2019·南昌二中模拟)在△ABC 中，如果cos(B ＋A )＋2sin A sin B ＝1，那么△ABC 的形状是________．解析：∵cos(B ＋A )＋2sin A sin B ＝1，∴cos A cos B ＋sin A sin B ＝1，∴cos(A －B )＝1，在△ABC 中，A －B ＝0⇒A ＝B ，所以此三角形是等腰三角形．答案：等腰三角形8．(2019·丰台一模)已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sin C ＝3cos C ，则△ABC 的面积为________．解析：由sin C ＝3cos C 得tan C ＝3>0，所以C ＝π3. 根据正弦定理可得BC sin A ＝AB sin C ，即1sin A ＝332＝2，所以sin A ＝12.因为AB >BC ，所以A <C ，所以A ＝π6，所以B ＝π2，即三角形为直角三角形，故S △ABC ＝12×3×1＝32.答案：329．(2019·兰州双基测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝35.(1)求b 的值； (2)求sin C 的值．解：(1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋25－2×2×5×35＝17，所以b ＝17.(2)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得1745＝5sin C，所以sin C ＝41717. 10．(2019·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2. (1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 解：(1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos 2B ＝sin 2C .① 又由A ＝π4，即B ＋C ＝3π4，得 －cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ，② 由①②解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)，得 sin C ＝255，cos C ＝55.因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010. 由正弦定理得c ＝22b3，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·衡水中学模拟)已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a ，b ，c 是三角形中各角的对应边，若sin 2A －cos 2A ＝12，则下列各式正确的是( )A ．b ＋c ＝2aB ．b ＋c <2aC ．b ＋c ≤2aD ．b ＋c ≥2a解析：选C ∵sin 2A －cos 2A ＝12，∴cos 2A ＝－12.∵0<A <π2，∴0<2A <π，∴2A ＝2π3，∴A ＝π3， 由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－34(b ＋c )2＝b ＋c24，∴4a 2≥(b ＋c )2，∴2a ≥b ＋c .2．(2019·贵阳监测)如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos∠B ＝33. (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长． 解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos ∠B ＝33，所以cos∠D＝cos 2∠B＝2cos2∠B－1＝－1 3 .因为∠D∈(0，π)，所以sin∠D＝1－cos2∠D＝22 3.因为AD＝1，CD＝3，所以△ACD的面积S＝12AD·CD·sin∠D＝12×1×3×223＝ 2.(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠D＝12，所以AC＝2 3.因为BC＝23，ACsin∠B＝ABsin∠ACB，所以23sin∠B＝ABsinπ－2∠B＝ABsin 2∠B＝AB2sin∠B cos∠B＝AB233sin∠B，所以AB＝4.。
正弦定理、余弦定理》(随堂自测+课时作业,含解析)(教师版)
余弦定理1．在△ABC 中，符合余弦定理的是( )A ．c 2＝a 2＋b 2－2ab cos CB ．c 2＝a 2－b 2＋2bc cos AC ．b 2＝a 2－c 2－2bc cos A D ．cos C ＝a 2＋b 2＋c 22ab解析：选A.注意余弦定理的形式，特别是正负号问题．2．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( ) A.2π3 B.5π6 C.3π4 D.π3解析：选A.由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ²AC ＝52＋32－722³5³3＝－12，且∠BAC ∈(0，π)，因此∠BAC ＝2π3，故选A.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B ＝__________.解析：∵a 2＋c 2－b 2＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，∴cos B ＝32，∴B ＝30°.答案：30°4．(2012²淮北调研)在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝21∶4∶5，则角A ＝__________.解析：由sin A ∶sin B ∶sin C ＝21∶4∶5，可得a ∶b ∶c ＝21∶4∶5，设a ＝21k ，b ＝4k ，c ＝5k ，其中k >0，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝16k 2＋25k 2－21k 22³4k ³5k ＝12.∴A ＝60°.答案：60°[A 级 基础达标]1．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°解析：选B.设中间角为θ，则cos θ＝52＋82－722³5³8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°即为所求．2．在△ABC 中，b 2＋c 2＋3bc ＝a 2，则A ＝( )A ．60°B ．30°C ．120°D ．150°解析：选D.∵b 2＋c 2＋3bc ＝a 2，∴b 2＋c 2－a 2＝－3bc ， ∴b 2＋c 2－a 22bc ＝－32，∴cos A ＝－32，∴A ＝150°，故选D.3．(2012²西安质检)在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶4∶30，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定解析：选C.根据题意，由正弦定理可得，a ∶b ∶c ＝3∶4∶30，设a ＝3t ，b ＝4t ，c ＝30t ，t >0，由余弦定理可得,cos C ＝3t 2＋16t 2－30t283t2<0，所以三角形ABC 是钝角三角形．故选C. 4．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B 等于__________．解析：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－ac 2ac ＝5a 2－2a 24a 2＝34.答案：345．△ABC 中，若a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin B ＝__________.解析：c 2＝52＋32－2³5³3³cos120°＝49，∴c ＝7.∴sin B ＝b sin C c ＝3sin120°7＝37³32＝3314.答案：33146．在△ABC 中，三边分别是a ，b ，a 2＋b 2＋ab ，求该三角形最大的角．解：由题意知：a 2＋b 2＋ab 为最大边，不妨设其所对角为α，则α为△ABC 中最大角，根据余弦定理的推论得，cos α＝a 2＋b 2－a 2＋b 2＋ab 22ab ＝－12，∴α＝120°.即该三角形最大的角为120°.[B 级 能力提升]7．(2012²亳州调研)在△ABC 中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝3sin A sin C ，则角B 的大小为( ) A ．150° B ．30°C ．120°D ．60°解析：选A.由正弦定理可得b 2－c 2－a 2＝3ac ，由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－32.故角B 为150°.8．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝( )A.833 B.2393 C.2633D ．2 3 解析：选B.∵S △ABC ＝12bc sin A ＝12³1³c ³32＝34c ，∴3c 4＝3，∴c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，∴a ＝13.又∵a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝1332＝2393，故选B.9．(2012²蚌埠调研)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________．解析：设底边边长为a ，则由题意知等腰三角形的腰长为2a ，故顶角的余弦值为4a 2＋4a 2－a 22²2a ²2a ＝78.答案：7810．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac ， (1)求角B 的大小；(2)若c ＝3a ，求tan A 的值．解：(1)∵a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∴cos B ＝12，∴B ＝60°.(2)由(1)知，A ＋C ＝180°－B ＝120°，∴C ＝120°－A .∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ，∴sin(120°－A )＝3sin A ，∴32cos A ＋12sin A ＝3sin A .∴3cos A ＝5sin A ，∴tan A ＝35.11．(创新题)在一三角形木板中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，(1)求角A ；(2)若在该三角形木板外加套一圆形轮箍，求该轮箍的周长． 解：(1)由余弦定理可得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos15°＝4＋8－2³2³22³6＋24＝8－43，∴c ＝8－43＝6－ 2.又由正弦定理得，sin A ＝a sin C c ＝12，∵b >a ，∴B >A ，且0°<A <180°，∴A ＝30°.(2)设该圆形轮箍的半径为R ，根据正弦定理可得， a sin A ＝2R ，即2sin30°＝2R ，解得R ＝2.所以该轮箍的周长为2πR ＝4π. 正弦定理1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形； ③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值； ④在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c .其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B.正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推知④正确． 2．(2012²西安质检)在△ABC 中，a ＝33，b ＝3，A ＝120°，则B 的值为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°解析：选A.由a sin A ＝b sin B 得，sin B ＝b a sin A ＝333³sin120°＝12，又B <A ，所以B ＝30°.3．在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝2，BC ＝1，则△ABC 的面积为__________．解析：S △ABC ＝12AB ²BC ²sin B ＝12³2³1³12＝12.答案：124．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝__________.解析：由正弦定理，可得，AC sin B ＝BC sin A ，即632＝2sin A ，∴sin A ＝22，∴A ＝45°或A ＝135°.∵BC <AC ，∴A <B ，∴A <60°，∴A ＝45°，∴C＝180°－(A ＋B )＝180°－(60°＋45°)＝75°.答案：75°[A 级 基础达标]1．下列对三角形解的情况的判断中，正确的是( )A ．a ＝4，b ＝5，A ＝30°，有一解B ．a ＝5，b ＝4，A ＝60°，有两解C ．a ＝3，b ＝2，B ＝120°，有一解D ．a ＝3，b ＝6，A ＝60°，无解 解析：选D.对于A ，b sin A <a <b ，故有两解；对于B ，b <a ，故有一解； 对于C ，B ＝120°且a >b, 故无解；对于D ，a <b sin A ，故无解．2．(2012²亳州调研)在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ＝43，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰或直角三角形D ．钝角三角形解析：选A.由正弦定理得cos A cos B ＝b a ＝sin Bsin A，即sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin2A ＝sin2B ，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2，又b a ＝43，所以a ≠b ，故A ＝B 舍去，所以A ＋B ＝π2，即△ABC 为直角三角形．3．在△ABC 中，b ＝8，c ＝83，S △ABC ＝163，则A ＝( ) A ．30° B．60° C ．30°或150° D．60°或120°解析：选C.据面积公式可得，S △ABC ＝12bc sin A ＝163，∴12³8³83³sin A ＝163，即sin A ＝12.∴A ＝30°或150°. 4．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝__________.解析：∵tan A ＝13，∴sin A ＝1010，由正弦定理可得，11010＝AB 12，∴AB ＝102.答案：1025．△ABC 中，A 最大，C 最小，且A ＝3C ，A ＋C ＝2B ，则三角形三边a ∶b ∶c ＝__________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3C A ＋C ＝2BA ＋B ＋C ＝π，解得A ＝π2，B ＝π3，C ＝π6.据正弦定理可得，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C＝1∶32∶12＝2∶3∶1.答案：2∶3∶1 6．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，求： (1)ACcos A 的值；(2)AC 的取值范围． 解：(1)由正弦定理可得，BC sin A ＝ACsin B，∴BC sin A ＝AC sin2A ＝AC 2sin A cos A ，∴AC 2cos A ＝BC ，∴ACcos A ＝2BC ＝2. (2)∵A ＋B ＋C ＝π，∴3A ＋C ＝π，C ＝π－3A ， ∴A 应满足⎩⎪⎨⎪⎧0<A <π20<2A <π20<π－3A <π2，即π6<A <π4，∴22<cos A <32，又∵AC ＝2cos A ， ∴2<AC < 3.故AC 的取值范围是(2，3)．[B 级 能力提升]7．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A ．±33B ．±63 C.222 D.63解析：选D.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，sin B ＝b sin A a ＝33，又a >b ，因此A >B ，且B 为锐角，∴cos B ＝ 1－sin 2B ＝1－39＝63. 8．△ABC 的三个内角，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba＝( ) A ．2 3 B ．2 2 C. 3 D. 2解析：选D.由正弦定理asin A ＝bsin B得，a sin B ＝b sin A ，所以a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a 化为b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，即b ＝2a .9．(2012²宿州质检)在△ABC 中，b ＝1，a ＝2，则角B 的取值范围是__________．解析：由正弦定理得1sin B ＝2sin A ，∴sin B ＝12sin A ∈(0，12]．又∵b <a ，∴B <A ，∴B ∈(0°，30°]．答案：(0°，30°]10．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3.(1)求sin C 的值；(2)求△ABC 的面积．解：(1)∵cos A ＝45，∴sin A ＝1－cos 2A ＝35，∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝35³cos π3＋45³sin π3＝35³12＋45³32＝3＋4310.(2)由正弦定理a sin A ＝bsin B得， a ＝sin A sin B ²b ＝3532³3＝65，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12³65³3³3＋4310＝93＋3650.。
24正弦定理和余弦定理
2 R sin A sin B sin C
R为△外接圆半径
1 (a b c )r S ABC 2
r为△内切圆半径
1 aha 1 bhb 1 chc S ABC 2 2 2
S ABC p( p a )( p b)( p c)
(a b c ) p 2
∵a>b，∴A＝60° 或 A＝120° ∵a>b，∴A＝60°A＝120°. ∵a>b，∴A＝60° A＝120° ∵a>b，∴A＝60°或或 A＝120° . 或 . ∵a>b，∴A＝60°或A＝120°. .
6＋ bsin bsinC C C 6＋ 2 bsin bsin＝6＋ 6＋; 2 bsin CC＝ 6＋ 2 22 A＝60° 时,C＝180°－45° ＝75°,c＝ 当 A＝60° 当当A＝60°时,C＝180° －60°＝75°,c＝ sin B＝ ＝22 ;;; 时,C＝180°－45°－60° ＝75° －45°－60°＝75° ,c＝ 当A＝60°时,C＝180°－45° －60° ＝75° sin ＝ 2 当A＝60°时,C＝180° －45°－60° ,c＝ ,c＝B B ; sin B B 2 sin sin 2 6－ bsin bsinC C 6－ 2 bsin bsin＝6－ 2 22. bsin CC＝C 6－ 6－ 当 A＝120° 时,C＝180° －45° 当当A＝120°时,C＝180° －120°＝15°,c＝ sin B＝ ＝22 .. . 时,C＝180°－45°－120° ＝15° －45°－120°＝15° ,c＝ 当A＝120°时,C＝180°－45° －120° ＝15° sin ＝ 2 当A＝120° 时,C＝180°－45° ＝15°,c＝,c＝B B A＝120° －120° ,c＝ sin B sin sin B 2 2
第24课时正弦定理和余弦定理
第24课时 正弦定理和余弦定理编者：陈文明 审核：季明宏第一部分 预习案一、知识回顾1． 正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝ ；(2)a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ；(3)sin A ＝ ，sin B ＝ ，sin C ＝ 等形式，以解决不同的三角形问题．2． 余弦定理：a 2＝ ，b 2＝ ，c 2＝ ．余弦定理可以变形：cos A ＝ ，cos B ＝ ，cos C ＝. 3． S △ABC ＝ ＝ ＝ ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .4． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B .2． 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 二、基础训练1． 在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________.2． 已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．班机_________ 学号_________ 姓名_________3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c＝________.4．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．5． 已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为________．三、我的疑惑第二部分 探究案探究一 利用正弦定理解三角形问题1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c .探究二利用余弦定理求解三角形问题2、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos Bcos C＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．探究三正弦定理、余弦定理的综合应用问题3 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C＋3a sin C－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.探究四解三角形的综合应用在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值．我的收获第三部分训练案见附页。
导学案024 正弦定理和余弦定理的应用
正弦定理、余弦定理的应用考纲要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.考情分析：1.对解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题的考查是高考考查的重点．2.在选择题、填空题、解答题中都可能考查，多属中、低档题.教学过程基础知识实际问题中的有关概念及常用术语(1)基线：在测量上，根据测量需要适当确定的 _______ 叫做基线．(2)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．(3)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③)①北偏东α：指北方向顺时针旋转α到达目标方向．②东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.③其他方向角类似．(5)坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h与水平宽度之比即i＝h b＝tan α(其中α为坡角) 叫做坡比(如图)．(6)视角观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视角(如图)．双基自测1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β之间的关系是 ( )A ．α>βB ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°2．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A在点B ( )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°3．(教材习题改编)如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°， ∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为 ( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m典例分析考点一：测量距离问题[例1] (2010·陕西高考)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？变式1．(2012·衢州质检)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B 望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则这条河的宽度为________．．求距离问题要注意(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.考点二：测量高度问题[例2] (2012·郑州质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)变式2．(2012·台州模拟)如图，测量河对岸的旗杆高AB时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝a，并在点C测得旗杆顶A的仰角为60°，则旗杆高AB为________．求解高度问题首先应分清(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.考点三：测量角度问题[例3] (2012·无锡模拟)如图，两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是________．1.测量角度，首先应明确方位角，方向角的含义．2.在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点．利用正、余弦定理解实际问题的答题模板[考题范例](12分)(2010·福建高考)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解：(1)设小艇与轮船在B 处相遇，相遇时小艇航行的距离为S 海里，如图所示．在△AOB 中A ＝90°－30°＝60°∴S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos 60° ＝900t 2－600t ＋400＝ 900⎝⎛⎭⎪⎫t －132＋300.(4分)∵0＜v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23，又t ＝23时，v ＝30(海里/小时)．故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23. 此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇． (12分)一个步骤解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．本节检测1．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为( )A.16B.17C.18D.19 2．地上画了一个角∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为( )A．14米 B．15米 C．16米 D．17米3．(2012·大连联考)如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是( )A．10米 B．102米 C．103米 D．106米4．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m5．(2012·北师大附中模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是( )A．102海里 B．103海里 C．202海里 D．203海里6．如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.7．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.自我反思。
2020版高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形课时作业24课件文新人教A版
(2)由余弦定理可得(2 3)2＝a2＋22－2×2acos120°＝a2＋2a＋4， 又 a>0，所以解得 a＝2，所以 S△ABC＝12absinC＝ 3，所以△ABC 的面积为 3。
能力提升组
13．在△ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 S△
ABC＝2 3，a＋b＝6，acosB＋c bcosA＝2cosC，则 c 等于(
12．(2019·惠州市调研考试)已知△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2cosC(acosC＋ccosA)＋b＝0。
(1)求角 C 的大小； (2)若 b＝2，c＝2 3，求△ABC 的面积。
解 (1)因为 2cosC(acosC＋ccosA)＋b＝0， 所以由正弦定理可得 2cosC(sinAcosC＋sinCcosA)＋sinB＝0， 所以 2cosCsin(A＋C)＋sinB＝0， 即 2cosCsinB＋sinB＝0， 又 0°<B<180°，所以 sinB≠0，所以 cosC＝－12， 又 0°<C<180°，所以 C＝120°。
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
解析 由已知11＋＋ccooss22CB＝22ccooss22CB＝ccooss22BC＝bcccoossCB，所以ccoossCB＝bc或ccoossCB ＝0，即 C＝90°或ccoossCB＝bc。当 C＝90°时，△ABC 为直角三角形。当ccoossCB＝ bc时，由正弦定理，得bc＝ssiinnBC，所以ccoossCB＝ssiinnBC，即 sinCcosC＝sinBcosB， 即 sin2C＝sin2B。因为 B，C 均为△ABC 的内角，所以 2C＝2B 或 2C＋2B ＝180°，所以 B＝C 或 B＋C＝90°，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形。 故选 D。
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课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定 理的、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了 (100＋50t)m，乙距离 A 处 130t m，所以由余弦定理得 12 d ＝(100＋50t) ＋(130t) －2×130t×(100＋50t)×13
2 2 2
＝200(37t2－70t＋50)， 1 040 因 0≤t≤ 130 ，即 0≤t≤8， 35 故当 t＝37(min)时，甲、乙两游客距离最短． BC AC (3)由正弦定理sin A＝sin B，
数学
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结束
AC 1 260 5 得 BC＝ ×sin A＝ × ＝500(m)． sin B 63 13 65 乙从 B 出发时，甲已走了 50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走 710 m 才能到达 C. 设乙步行的速度为 v m/min， 500 710 1 250 625 由题意得－3≤ v － ≤3，解得 ≤v≤ ， 50 43 14 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min， 乙步行的
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结束
6．解析：由题意得 sin2A<sin2B＋sin2C， 再由正弦定理得 a2<b2＋c2，即 b2＋c2－a2>0. b2＋c2－a2 则 cos A＝ 2bc >0， π ∵0<A<π，∴0<A<2. π 又 a 为最大边，∴A>3. 因此得角 A 答案：D
结束
11．解析：如图所示，根据题意可知 AC＝10，∠ACB ＝120° ，设舰艇靠近渔轮所需的时间为 t h，并在 B 处与渔轮相遇， 则 AB＝21t， BC＝9t， 在△ABC 中，根据余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC· BC· cos 120° ，所以 1 21 t ＝10 ＋81t ＋2×10×9t×2，即 360t2－90t－100＝0，解得
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课时跟踪检测(二十四) 正弦定理和余弦定理1．在△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，条件“a <b ”是使“cos A >cos B ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2019·惠州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.32D. 33．(2019·“江南十校”联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tan A tan B ＝2c b，则C ＝( )A ．30°B ．45°C ．45°或135°D ．60°4．(2019·陕西高考)在△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12 D ．－125．(2019·上海高考)在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不能确定6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为( )A ．30°B ．60°C ．60°或120°D ．30°或150°7．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝π3，则C 的大小为________．8．(2019·北京西城期末)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝25，B ＝π4，sin C ＝55，则c ＝________；a ＝________.9．(2019·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.10．(2019·揭阳模拟)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝1，A ＋C＝2B ，△ABC 的面积S ＝334.(1)求b 的长； (2)求cos 2C 的值．11．(2019·广州统考)在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足3a －2b sin A ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝5，且a >c ，b ＝7，求AB u u u r ·AC u u ur 的值12．(2019·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .1．(2019·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶42．(2019·珠海调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为________．3．(2019·深圳调研)已知函数f (x )＝sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最大值；(2)设△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，若B ＝2A 且b ＝2af ⎝⎛⎭⎫A －π6，求角C 的大小．答 案课时跟踪检测(二十四)A 级1．选C a <b ⇔A <B ⇔cos A >cos B .2．选D 由已知得12bc sin A ＝12×1×c ×sin π3＝32，解得c ＝2，则由余弦定理可得a 2＝4＋1－2×2×1×cos π3＝3⇒a ＝ 3.3．选B 由1＋tan A tan B ＝2cb和正弦定理得cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ， 即sin C ＝2sin C cos A ， 所以cos A ＝12，则A ＝60°.由正弦定理得23sin A ＝22sin C ，则sin C ＝22， 又c <a ，则C <60°，故C ＝45°.4．选C 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C ＝12(a 2＋b 2)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12.5．选C 由正弦定理得a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以C 是钝角，故△ABC是钝角三角形．6．选D 由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ， ∵sin B ≠0，∴sin A ＝12，∴A ＝30°或A ＝150°.7．解析：由正弦定理可知sin B ＝b sin A a ＝3sinπ33＝12，所以B ＝π6或5π6(舍去)，所以C＝π－A －B ＝π－π3－π6＝π2.答案：π28．解析：根据正弦定理得b sin B ＝c sin C ，则c ＝b sin Csin B ＝22，再由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2－4a －12＝0，(a ＋2)(a －6)＝0，解得a ＝6或a ＝－2(舍去)．答案：22 69．解析：根据余弦定理代入b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14，解得b ＝4. 答案：410．解：(1)∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，∵S ＝12ac sin B ＝334，∴c ＝2Sa sin B ＝2×3341×32＝3.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋9－6×12＝7，∴b ＝7.(2)由正弦定理知b sin B ＝csin C ，∴sin C ＝c sin Bb＝3×327＝32114，∴cos 2C ＝1－2sin 2C ＝1－2×⎝⎛⎭⎫321142＝－1314.11．解：(1)因为3a －2b sin A ＝0， 所以 3sin A －2sin B sin A ＝0， 因为sin A ≠0，所以sin B ＝32. 又B 为锐角，所以B ＝π3.(2)由(1)可知，B ＝π3.因为b ＝ 7.根据余弦定理，得7＝a 2＋c 2－2ac cos π3，整理，得(a ＋c )2－3ac ＝7. 由已知a ＋c ＝5，得ac ＝6. 又a >c ，故a ＝3，c ＝2.于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7＋4－947＝714，所以AB u u u r ·AC u u u r ＝|AB u u u r |·|AC u u u r |cos A ＝cb cos A ＝2×7×714＝1.12．解：(1)证明：在△ABC 中， 由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ，所以sin B ⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin Ccos C ， 因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C ) ＝sin A sin C ，所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C . 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋C )＝sin B ， 因此sin 2B ＝sin A sin C . 由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列．(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2， 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34，因为0<B <π， 所以sin B ＝1－cos 2B ＝74， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝74. B 级1．选D 由题意可得a >b >c ，且为连续正整数，设c ＝n ，b ＝n ＋1，a ＝n ＋2(n >1，且n ∈N *)，则由余弦定理可得3(n ＋1)＝20(n ＋2)·(n ＋1)2＋n 2－(n ＋2)22n (n ＋1)，化简得7n 2－13n －60＝0，n ∈N *，解得n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.2．解析：因为4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝72，所以2[1－cos(A ＋B )]－2cos 2C ＋1＝72，2＋2cos C －2cos 2C ＋1＝72，cos 2C －cos C ＋14＝0，解得cos C ＝12.根据余弦定理有cos C ＝12＝a 2＋b 2－72ab，ab ＝a 2＋b 2－7,3ab ＝a 2＋b 2＋2ab －7＝(a ＋b )2－7＝25－7＝18，ab ＝6，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案：3323．解：(1)f (x )＝sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin x ＋32cos x ＋12sin x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 所以f (x )的最大值为 3.(2)因为b ＝2af ⎝⎛⎭⎫A －π6，由(1)和正弦定理， 得sin B ＝23·sin 2A .又B ＝2A ，所以sin 2A ＝23sin 2A ， 即sin A cos A ＝3sin 2A ，而A 是三角形的内角，所以sin A ≠0，故cos A ＝3sin A ，tan A ＝33，所以A ＝π6，B ＝2A ＝π3，C ＝π－A －B ＝π2.。