数学建模相关分析与回归分析
数学建模——线性回归分析实用精品教案
数学建模——线性回归分析实用精品教案一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学建模》第四章“数据的拟合与回归”第二节“线性回归分析”。
详细内容包括：线性回归模型的建立，最小二乘法求解线性回归方程，线性回归方程的显著性检验，以及利用线性回归方程进行预测。
二、教学目标1. 理解线性回归分析的基本概念，掌握线性回归方程的建立方法。
2. 学会运用最小二乘法求解线性回归方程，并能解释线性回归方程的参数意义。
3. 能够对线性回归方程进行显著性检验，利用线性回归方程进行预测。
三、教学难点与重点教学难点：最小二乘法的推导和应用，线性回归方程的显著性检验。
教学重点：线性回归模型的建立，线性回归方程的求解及其应用。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件，黑板，粉笔。
学具：计算器，草稿纸，直尺，铅笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示一组关于身高和体重的数据，引导学生思考身高和体重之间的关系。
2. 例题讲解：（1）建立线性回归模型，引导学生根据散点图判断变量间的线性关系。
（2）利用最小二乘法求解线性回归方程，解释方程参数的意义。
（3）对线性回归方程进行显著性检验，判断方程的有效性。
3. 随堂练习：（1）给出另一组数据，让学生尝试建立线性回归模型并求解。
（2）对所求线性回归方程进行显著性检验，并利用方程进行预测。
六、板书设计1. 线性回归模型2. 最小二乘法3. 线性回归方程的显著性检验4. 线性回归方程的应用七、作业设计1. 作业题目：（1）根据给定的数据，建立线性回归模型，求解线性回归方程。
（2）对所求线性回归方程进行显著性检验，并利用方程预测某学生的体重。
2. 答案：（1）线性回归方程为：y = 0.8x + 50（2）显著性检验：F = 40.23，P < 0.01，说明线性回归方程具有显著性。
八、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对线性回归分析的理解和应用能力得到了提升，但仍有个别学生对最小二乘法的推导和应用感到困难，需要在课后加强辅导。
数学建模各种分析方法
现代统计学1.因子分析(Faｃｔor Ａｎalysis)因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子(之所以称其为因子,是因为它是不可观测的，即不是具体的变量），以较少的几个因子反映原资料的大部分信息.运用这种研究技术，我们可以方便地找出影响消费者购买、消费以及满意度的主要因素是哪些，以及它们的影响力（权重）运用这种研究技术，我们还可以为市场细分做前期分析。
2．主成分分析主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前,用主成分分析来分析数据,让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的.主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。
(screeninｇ the daｔa)，b，和ｃｌuｓteｒ aｎaｌysｉs一起使用，c，和判别分析一起使用，比如当变量很多，个案数不多，直接使用判别分析可能无解,这时候可以使用主成份发对变量简化。
（ｒeduce dimensiｏｎality)d,在多元回归中,主成分分析可以帮助判断是否存在共线性(条件指数),还可以用来处理共线性。
主成分分析和因子分析的区别1、因子分析中是把变量表示成各因子的线性组合，而主成分分析中则是把主成分表示成个变量的线性组合。
2、主成分分析的重点在于解释个变量的总方差，而因子分析则把重点放在解释各变量之间的协方差。
３、主成分分析中不需要有假设(ａｓｓｕｍptions）,因子分析则需要一些假设。
因子分析的假设包括：各个共同因子之间不相关，特殊因子（speｃific fａct ｏr）之间也不相关，共同因子和特殊因子之间也不相关.４、主成分分析中，当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值是唯一的时候，的主成分一般是独特的；而因子分析中因子不是独特的,可以旋转得到不同的因子。
５、在因子分析中,因子个数需要分析者指定（spss根据一定的条件自动设定,只要是特征值大于1的因子进入分析),而指定的因子数量不同而结果不同。
数学建模-回归分析
一、变量之间的两种关系 1、函数关系：y = f (x) 。
2、相关关系：X ，Y 之间有联系，但由 其中一个不能唯一的确定另一个的值。 如： 年龄 X ，血压 Y ； 单位成本 X ，产量 Y ； 高考成绩 X ，大学成绩 Y ； 身高 X ，体重 Y 等等。
二、研究相关关系的内容有
1、相关分析——相关方向及程度（第九章）。 增大而增大——正相关； 增大而减小——负相关。 2、回归分析——模拟相关变量之间的内在 联系，建立相关变量间的近似表达式 （经验 公式）（第八章）。 相关程度强，经验公式的有效性就强， 反之就弱。
三、一般曲线性模型 1、一般一元曲线模型
y = f ( x) + ε
对于此类模型的转换，可用泰勒展开 公式，把 在零点展开，再做简单的变 f ( x) 换可以得到多元线性回归模型。 2、一般多元曲线模型
y = f ( x1 , x2源自,⋯ , xm ) + ε
对于此类模型也要尽量转化为线性模 型，具体可参考其他统计软件书，这里不 做介绍。
ˆ ˆ ˆ ˆ y = b0 + b1 x1 + ⋯ + bm x m
2、利用平方和分解得到 ST , S回 , S剩。 3、计算模型拟合度 S ，R ，R 。 （1）标准误差（或标准残差）
S =
S剩 ( n − m − 1)
当 S 越大，拟合越差，反之，S 越小， 拟合越好。 （2）复相关函数
R =
2
仍是 R 越大拟合越好。 注： a、修正的原因：R 的大小与变量的个数以及样本 个数有关； 比 R 要常用。 R b、S 和 R 是对拟合程度进行评价，但S与 R 的分 布没有给出，故不能用于检验。 用处：在多种回归模型（线性，非线性）时， 用来比较那种最好；如：通过回归方程显著性检验 得到：
数学建模中的统计分析工具
数学建模中的统计分析工具1. 比较——方差分析比较不同总体间均值有无显著差异.方差分析是处理试验数据的一种常用统计方法，其基本思想是：把指标数据的总变差（总离差平方和），分解为由所考察因素引起的变差（因素变差或组间离差平方和）和随机因素引起的变差（随机变差或组内离差平方和），然后通过比较这些变差来推断因素对指标影响是否显著．因为判定因素对指标影响是否显著时，是从指标的总变差入手，将之分解为由各因素引起的变差和随机波动引起的变差，所以称此类分析为方差分析．在方差分析中，影响指标的因素称为因子，因子的取值称为水平． 例如，考察学生性别对学习成绩的影响时，学习成绩是所考察的指标，性别是影响指标的因子，而性别的取值“男”和“女”是性别因子的水平．实质上，此处是要比较男生和女生学习成绩有无显著差异，属两组比较问题，是方差分析的特殊情况，一般的方差分析研究的是多组比较问题．试验中如果只考虑一个因子对指标的影响，这种试验称为单因子试验，相应的方差分析称为单因子方差分析．若试验中同时考虑两个因子，则称相应的试验为两因子试验，所做的方差分析称为两因子方差分析．类似地可以定义三因子、多因子试验和方差分析．① 为研究新药的降糖效果，某医院用40名病人同期随机对照实验。
实验者将病人随机等分成实验组和对照组，分别测得实验开始前和8周后空腹血糖，算得空腹血糖下降值的均数，见下表，能否认为新药对空腹血糖的降糖效果显著？(检验水平0.05α=)实验组1X -0.7 -5.6 2.0 2.8 0.7 3.5 4.0 5.8 7.1 -0.5 20人2.5 -1.6 1.73.0 0.44.5 4.6 2.5 6.0 -1.4 对照组2X3.7 6.5 5.0 5.2 0.8 0.2 0.6 3.4 6.6 -1.1 20人 6.0 3.8 2.0 1.6 2.0 2.2 1.2 3.1 1.7 -2.0② 某养鸡场为提高经济效益，研制了三种鸡饲料配方．为比较三种饲料在养鸡增肥上的效果，分别用每种饲料喂养10只小鸡，60天后测量鸡重．请通过试验数据分析，三种饲料在养鸡增肥效果上有无显著差异（检验水平皆取0.05α=）？2.相关与回归分析在生产实践中，人们关心的某项重要指标往往受一个或多个变量的影响，此时令人关注的是变量与指标之间的关系．线性回归分析研究的是一维因变量（也称响应变量）Y与回归变量（也称解释变量或自变量）之间的线性相关关系，其中回归变量是可观测或可控制的①为确定运动员耗氧量与其他因素的关系，对31个人测量了年龄age、体重weight、跑完1.5公里的时间runtime、静态心率rstpulse、跑动时心率runpulse、跑步时最大Maxpulse、每公斤体重每分钟耗氧量oxy，数据见\Sas_Ex\oxy.txt，试以oxy为因变量作回归分析。
数学建模回归分析matlab版
案例一：股票价格预测
总结词
基于历史销售数据，建立回归模型预测未来销售量。
详细描述
收集公司或产品的历史销售数据，包括销售额、销售量、客户数量等，利用Matlab进行多元线性回归分析，建立销售量与时间、促销活动、市场环境等因素之间的回归模型，并利用模型预测未来销售量。
案例二：销售预测
基于历史人口数据，建立回归模型预测未来人口增长趋势。
非线性模型的评估和检验
非线性回归模型是指因变量和自变量之间的关系不是线性的，需要通过非线性函数来拟合数据。
非线性回归模型
Matlab提供了非线性最小二乘法算法，可以用于估计非线性回归模型的参数。
非线性最小二乘法
03
CHAPTER
线性回归分析
一元线性回归分析是用来研究一个因变量和一个自变量之间的线性关系的统计方法。
回归分析在许多领域都有广泛的应用，如经济学、生物学、医学、工程学等。
它可以帮助我们理解变量之间的关系，预测未来的趋势，优化决策，以及评估模型的性能和可靠性。
回归分析的重要性
模型评估指标
用于评估模型性能的统计量，如均方误差（MSE）、均方根误差（RMSE）等。
误差项
实际观测值与模型预测值之间的差异，通常用 ε 表示。
总结词
对数回归模型的一般形式为 (y = a + blnx) 或 (y = a + bln(x))，其中 (y) 是因变量，(x) 是自变量，(a) 和 (b) 是待估计的参数。在Matlab中，可以使用 `log` 函数进行对数转换，并使用 `fitlm` 或 `fitnlm` 函数进行线性化处理，然后进行线性回归分析。
详细描述
多项式回归模型是一种非线性回归模型，适用于因变量和自变量之间存在多项式关系的情况。
数学建模之回归分析法
28 400
32
225
W8 1
70 3
192 9
14 114
18 225
0
32
225
1069
70 6
192 0
S甌
29 725
0
42 000
35
210
1146
7U
196 6
20.397
22 25?
0
23 990
1.8
150
1026
632
17S.0
18780
23.555
0
33 950
2.8
200
108.7
0
19.390
3.4
1BD
110.6
72.7
197.9
点击“分析”一一回归一一线性一一进入如下图所示的界面:
将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内，将“车长，车宽，耗油率，车净重等10个
自变量 拖入自变量框内，如上图所示，在“方法”旁边，选择“逐步”，当然，你也可以 选择其它的方式，如果你选择“进入”默认的方式，在分析结果中，将会得到如下图所示的
毫无疑问， 多元线性回归方程应该为
—/?
上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样 本，那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵，如下图所示：
代表随机误差， 其中随机误差分为： 可解释的误差 和 不可解释的误差, 随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样）
“选择变量（E）"框内，我并没有输入数据，如果你需要对某个“自变量”进行条件筛选， 可以将那个自变量，移入“选择变量框”内， 有一个前提就是：该变量从未在另一个目标列 表中出现！，再点击“规则”设定相应的“筛选条件”即可，如下图所示：
数学建模 回归分析模型
非线性回归模型的实际应用
预测人口增长
非线性回归模型可以用来描述人口增长的动态变 化，预测未来人口数量。
医学研究
在医学研究中，非线性回归模型可以用来分析药 物对病人体内生理指标的影响。
经济预测
在经济领域，非线性回归模型可以用来预测经济 增长、通货膨胀等经济指标。
多元回归模型的实际应用
01
社会学研究
模型检验
对模型进行检验，包括残差分析、拟 合优度检验等，以确保模型的有效性 和可靠性。
非线性回归模型的参数估计
最小二乘法
梯度下降法
通过最小化预测值与实际值之间的平方误 差，求解出模型中的未知参数。
通过迭代计算，不断调整参数值，以最小 化预测值与实际值之间的误差。
牛顿法
拟牛顿法
基于泰勒级数展开，通过迭代计算，求解 出模型中的未知参数。
线性回归模型的评估与检验
残差分析
分析残差分布情况，检查是否 存在异常值、离群点等。
拟合优度检验
通过计算判定系数、调整判定 系数等指标，评估模型的拟合 优度。
显著性检验
对模型参数进行显著性检验， 判断每个自变量对因变量的影 响是否显著。
预测能力评估
利用模型进行预测，比较预测 值与实际值的差异，评估模型
基于牛顿法的改进，通过迭代计算，求解 出模型中的未知参数，同时避免计算高阶 导数。
非线性回归模型的评估与检验
残差分析
对模型的残差进行统计分析，包括残差 的分布、自相关性、异方差性等，以评
估模型的可靠性。
预测能力评估
使用模型进行预测，比较预测值与实 际值的误差，评估模型的预测能力。
拟合优度检验
通过比较实际值与预测值的相关系数 、决定系数等指标，评估模型的拟合 优度。
数学建模中的变量选择方法
数学建模中的变量选择方法数学建模是一种将实际问题抽象为数学模型，并通过数学方法对其进行分析和求解的过程。
在数学建模中，变量的选择是至关重要的一步，它直接影响到模型的准确性和可靠性。
本文将介绍一些常用的变量选择方法，帮助读者更好地进行数学建模。
一、相关性分析法相关性分析法是一种常用的变量选择方法，它通过计算变量之间的相关系数来衡量它们之间的相关性。
相关系数的取值范围为-1到1，接近1表示正相关，接近-1表示负相关，接近0表示无相关。
在相关性分析中，我们通常选择与目标变量具有较高相关系数的变量作为模型的输入变量。
然而，相关性分析法也存在一些局限性。
首先，相关系数只能衡量线性相关性，无法反映非线性关系。
其次，相关性分析无法处理多个变量之间的复杂关系。
因此，在实际应用中，我们需要结合其他方法来进行变量选择。
二、主成分分析法主成分分析法是一种常用的降维技术，它通过线性变换将原始变量转化为一组新的无关变量，称为主成分。
主成分分析的基本思想是保留原始变量中包含的大部分信息，同时丢弃冗余的信息。
主成分分析法的步骤如下：首先，计算原始变量之间的协方差矩阵；然后，对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量；最后，选择前几个特征值较大的特征向量作为主成分。
主成分分析法具有以下优点：首先，它可以处理多个变量之间的复杂关系，不受线性关系的限制；其次，主成分分析可以降低维度，减少模型的复杂度，提高计算效率。
三、信息增益法信息增益法是一种基于信息论的变量选择方法，它通过计算变量对目标变量的信息增益来衡量其重要性。
信息增益的计算基于熵的概念，熵越大表示不确定性越高，信息增益越大表示变量对目标变量的解释能力越强。
信息增益法的步骤如下：首先，计算目标变量的熵；然后，计算每个变量对目标变量的条件熵；最后，计算每个变量的信息增益，并选择信息增益较大的变量作为模型的输入变量。
信息增益法的优点是能够处理离散型变量和连续型变量，并且不受线性关系的限制。
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1 个或多个数字的或分类的自变量 (解释变量) 解释变量)
用于预测的变量
3. 主要用于预测和估计
29
一元线性回归模型
（概念要点） 概念要点）
1. 当只涉及一个自变量时称为一元回归，若因变 当只涉及一个自变量时称为一元回归， 量 y 与自变量 x 之间为线性关系时称为一元线 之间为线性关系时称为一元线 性回归 2. 对于具有线性关系的两个变量，可以用一条线 对于具有线性关系的两个变量， 性方程来表示它们之间的关系 3. 描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项ε 的方程称为回归模型 的方程称为回归模型
β0 和 β1 称为模型的参数
31
一元线性回归模型
（基本假定） 基本假定）
1. 误差项ε是一个期望值为0的随机变量，即E(ε)=0 误差项ε是一个期望值为0的随机变量， )=0 。对于一个给定的 x 值，y 的期望值为E ( y ) =β 的期望值为E 0+ β 1 x 2. 对于所有的 x 值，ε的方差σ2 都相同 的方差σ 3. 误差项 ε 是一个服从正态分布的随机变量 ， 且相 误差项ε 是一个服从正态分布的随机变量， 互独立。 互独立。即ε~N( 0 ,σ2 )
数理统计选讲
相关分析与回归分析
三峡大学 • 于 林
1
相关分析与回归分析
第一节 变量间的相关关系 第二节 一元线性回归 第三节 可化为线性回归的曲线回归
2
学习目标
1. 掌握相关系数的含义、计算方法和应用 掌握相关系数的含义、 2. 掌握一元线性回归的基本原理和参数的最 小二乘估计方法 3. 掌握回归方程的显著性检验 4. 利用回归方程进行预测 5. 了解可化为线性回归的曲线回归 6. 了解如何用 Excel 进行回归分析
6
x
变量间的关系
（函数关系） 函数关系）
函数关系的例子
某种商品的销售额( 与销售量( 某种商品的销售额 (y) 与销售量 (x) 之间的关 为单价) 系可表示为 y = p x (p 为单价) 圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S 圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S = π R2 企业的原材料消耗额( 与产量( 企业的原材料消耗额(y)与产量(x1) 、单位产 原材料价格( 量消耗( 量消耗 (x2) 、 原材料价格 (x3) 之间的关系可 表示为y 表示为y = x1 x2 x3
15
相关关系的测度
（相关系数取值及其意义） 相关系数取值及其意义）
完全正相关
完全负相关
无线性相关
-1.0
-0.5
0
+0.5
正相关程度增加
+1.0
r
负相关程度增加
16
相关关系的测度
（相关系数计算例） 相关系数计算例）
【例1】在研究我国人均消费水平的问题中，把全国人均消费额 在研究我国人均消费水平的问题中， 记为y 把人均国民收入记为x 我们收集到1981～1993年的样本 记为y，把人均国民收入记为x。我们收集到1981～1993年的样本 数据( 数据(xi ，yi)，i =1,2,…，13，数据见表1，计算相关系数。 13，数据见表1 计算相关系数。 表1 我国人均国民收入与人均消费金额数据
提出假设：H 提出假设：H0：ρ = 0 ；H1： ρ ≠ 0 r n−2 t ~ t(n − 2) 计算检验的统计量： = 2 1− r 确定显著性水平α 确定显著性水平α，并作出决策
19
• 若|t|>tα/2，拒绝H0 ，拒绝H • 若|t|<tα/2，接受H0 ，接受H
20
相关系数的显著性检验
（实例） 实例）
对前例计算的相关系数进行显著性检(α=0.05) 对前例计算的相关系数进行显著性检(α=0.05) 1. 提出假设：H0：ρ = 0 ；H1： ρ ≠ 0 提出假设：H 2. 计算检验的统计量 0.9987 13 − 2 t= = 64.9809 1− 0.99872 3. 根据显著性水平α＝0.05，查t分布表得tα/2(n根据显著性水平α 0.05，查t分布表得t 2)=2.201
25
回归分析与相关分析的区别
1. 相关分析中，变量 x 变量 y 处于平等的地位；回 相关分析中， 归分析中， 归分析中，变量 y 称为因变量，处在被解释的地 称为因变量， 位，x 称为自变量，用于预测因变量的变化 称为自变量， 2. 相关分析中所涉及的变量 x 和 y 都是随机变量； 回归分析中， 回归分析中，因变量 y 是随机变量，自变量 x 可 是随机变量， 以是随机变量， 以是随机变量，也可以是非随机的确定变量 3. 相关分析主要是描述两个变量之间线性关系的密 切程度；回归分析不仅可以揭示变量 x 对变量 y 的影响大小， 的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制
30
一元线性回归模型
（概念要点） 概念要点）
对于只涉及一个自变量的简单线性回归模型可 表示为 y = β0 + β1 x + ε
模型中， 模型中，y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 的线性函数(部分) 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变化 误差项 ε 是随机变量
反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响 是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性
9
相关关系的类型
相关关系
线性相关 正 相 关
10
非线性相关
完全相关 正 相 关 负 相 关
不相关
负 相 关
相关关系的图示
完全正线性相关
完全负线性相关
非线性相关
正线性相关
负线性相关
不相关
11
相关系数及其计算
12
相关关系的测度
（相关系数） 相关系数）
1. 对变量之间关系密切程度的度量 2. 对两个变量之间线性相关程度的度量称为简 单相关系数 3. 若相关系数是根据总体全部数据计算的 ， 称 若相关系数是根据总体全部数据计算的， 为总体相关系数， 为总体相关系数，记为ρ 4. 若是根据样本数据计算的 ， 则称为样本相关 若是根据样本数据计算的， 系数， 系数，记为 r
21
由于| =64.9809>t (13-2)=2.201，拒绝H 由于|t|=64.9809>tα/2(13-2)=2.201，拒绝H0，人均 消费金额与人均国民收入之间的相关关系显著
相关系数的显著性检验
（相关系数检验表的使用） 相关系数检验表的使用）
1. 若 IrI 大于表上的 α =5% 相应的值 ， 小于表上 α ＝ 大于表上的α 相应的值， 1%相应的值，称变量x与y之间有显著的线性关系 相应的值，称变量x 之间有显著 显著的线性关系 2. 若IrI大于表上α=1%相应的值，称变量x与y之间有 大于表上α 相应的值，称变量x 十分显著的线性关系 十分显著的线性关系 3. 若IrI小于表上α=5%相应的值，称变量x与y之间没 小于表上α 相应的值，称变量x 明显的线性关系 有明显的线性关系 4. 根据前例的r＝0.9987>α=5%(n-2)=0.553，表明人 据前例的r 9987> )=0 553， 均消费金额与人均国民收入之间有十分显著的线 性相关关系
24
回归方程一词是怎么来的
趋向中间高度的回归
回归这个术语是由英国著名统计学家Francis 回归这个术语是由英国著名统计学家Francis Galton 在19世纪末期研究孩子及他们的父母的身高时提出 19世纪末期研究孩子及他们的父母的身高时提出 来的。Galton发现身材高的父母，他们的孩子也高 来的。Galton发现身材高的父母，他们的孩子也高 。但这些孩子平均起来并不像他们的父母那样高。 对于比较矮的父母情形也类似：他们的孩子比较矮 ，但这些孩子的平均身高要比他们的父母的平均身 高高。 Galton把这种孩子的身高向中间值靠近的 Galton把这种孩子的身高向中间值靠近的 趋势称之为一种回归效应，而他发展的研究两个数 值变量的方法称为回归分析。
22
第二节 一元线性回归
一. 二. 三. 四. 一元线性回归模型 参数的最小二乘估计 回归方程的显著性检验 预测及应用
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什么是回归分析？ 什么是回归分析？
（内容） 内容）
1. 从一组样本数据出发 ，确定变量之间的数学 从一组样本数据出发， 关系式 2. 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验 ，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出 哪些变量的影响显著， 哪些变量的影响显著，哪些不显著 3. 利用所求的关系式， 根据一个或几个变量的 利用所求的关系式， 取值来预测或控制另一个特定变量的取值， 取值来预测或控制另一个特定变量的取值， 并给出这种预测或控制的精确程度
7
变量间的关系
（相关关系） 相关关系）
1. 变量间关系不能用函数关 y 系精确表达 2. 一个变量的取值不能由另 一个变量唯一确定 3. 当变量 x 取某个值时，变 取某个值时， 量 y 的取值可能有几个 4. 各观测点分布在直线周围
8
x
变量间的关系
（相关关系） 相关关系）
相关关系的例子
商品的消费量( 与居民收入( 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 商品销售额( 与广告费支出( 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系 粮食亩产量( 与施肥量( 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、 降雨量( 温度( 温度(x3)之间的关系 收入水平( 与受教育程度( 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 父亲身高( 与子女身高( 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系
年份
1981 1982 1983 1984 1985 1986 171987
单位: 单位:元
人均 国民收入
393.8 419.14 460.86 544.11 668.29 737.73 859.97