2014浙江省嘉兴市高三二模数学文试题及答案

2014年嘉兴市高三教学测试（二）
文科数学 参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分）
1．C ； 2．B ； 3．B ； 4．C ； 5．B ； 6．C ；
7．D ；
8．D ；
9．A ；
10．A ．
第9题提示：
分别以,AB AC 为,x y 轴建立直角坐标系，则(0,3)C ，(2,1)D ，设(2,)P y y ，2(2,)(2,3)53AP CP y y y y y y ⋅=⋅-=- ，01y ≤≤．所以9
[,2]20
AP CP ⋅∈- ．
第10题提示：
222m mn a m n +≥+对实数m n 、，0>mn 恒成立，所以2max 22
()m mn
a m n +≥+．
因为2
222
)(11m
n m n
n m mn m ++
=++，令m n t +
=1，则221222222-+=+-=++t t t t t n m mn m ， 当2=t 时，21
2)2
21
(
max +=-+t
t ．∴2
1
2+≥a ． 另解：设2)1
)((22
2
2
t n m t n t
tm mn +
≤
=2
2
2222t n m t +=， ∴222
22(1)22t n m mn m t +≤++，由2221
21t t =+得122-=t ，
∴22
222
2222(1)22t n m m mn t m n m n +++≤=++ 当122
-=t
时，222
m mn m n +=
+， ∴2
1
2+≥a ． 二、填空题（本大题共7小题，每题4分，共28分） 11．2；
12．}1,1{--e ； 13．7；
14．3；
15.
3
8； 16. 52；
17．②③．
第17题提示：
考虑①：因为AD BC //，AD 与DF 相交不垂直，所以BC 与DF 不垂直，则①不成立；
考虑②：设点D 的在平面BCF 上的射影为点P ，当
A
D
E
F
CF BP ⊥时就有FC BD ⊥，而4:3:2::=AB BC AD 可使条件满足，所以②正确；
考虑③：当点P 落在BF 上时，⊂DP 平面BDF ，从而平面⊥BDF 平面BCF ，所以③正确．
考虑④：因为点D 的射影不可能在FC 上，所以④不成立.
三、解答题（本大题共5小题，共72分） 18．（本题满分14分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin 2sin b C
a A
=
． （Ⅰ）若5
12
C π=
，求角B 的大小； （Ⅱ）若2=b ，3
B C π
≤≤，求△ABC 面积的最小值．
18．（Ⅰ）（本小题7分）
由正弦定理，得
A
C
A B a b sin 2sin sin sin =
=． ∴ 2165sin 2sin sin ===πC B ．∴ 6π=B （6
5π
=B 舍）．
（Ⅱ）（本小题7分）
由（Ⅰ）中C B 2sin sin =得C B 2=或π=+C B 2． 又3
B C π
≤
≤，∴ π=+C B 2，∴ C A =．
∴ 3tan 2
1
≥==∆C bh S b ABC ． ∴ 当3
π
=C 时，ABC S ∆取最小值3．
19．（本题满分14分）
已知数列}{n a 的前n 项和)6(-=n n S n ，数列}{n b 满足32=b ，n n b b 31=+（*N ∈n ）． （Ⅰ）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；
（Ⅱ）记数列}{n n b a 的前n 项和为n T ，求n T <2014时的n 的最大值． 19．（Ⅰ）（本小题7分）
当2n ≥时，721-=-=-n S S a n n n ，
又115217a S ==-=⨯-， ∴27n a n =-．
又n n b b 31=+，所以}{n b 是公比为3的等比数列，13n n b -=．
（Ⅱ）（本小题7分）
①1
23)72(3)1(3)3(1)5(-⋅-++⋅-+⋅-+⋅-=n n n T ②n
n n T 3)72(3)1(3)3(3)5(332⋅-++⋅-+⋅-+⋅-=
① — ②得，n n n n T 3)72(3232321)5(212⋅--⋅++⋅+⋅+⋅-=--
n n n 3)72(3
1)
31(651⋅----+-=-n n n 3)72(38⋅--+-=n n 3)82(8⋅---=．
所以43)4(+⋅-=n n n T ．
由201443)4(<+⋅-=n n n T 得6≤n ，
所以n 的最大值为6．
20．（本题满分15分）
如图，在三棱柱111C B A ABC -中，平面⊥11A ABB 平面C C AA 11，︒=∠901BAA ，︒=∠1201CAA ，12AB AC AA ===，D 是棱1CC 的中点．
（Ⅰ）求证：1AD A B ⊥；
（Ⅱ）求二面角1D A B A --的正切值．
20．（Ⅰ）（本小题7分） 证明：平形四边形C C AA 11中， 12AC AA ==，︒=∠1201CAA ，
且D 是棱CC 1的中点，
E
B
A
C 1
C 1
A 1
B D
（第20题）
∴AD =，且1AD AA ⊥．
又∵平面11ABB A ⊥平面C C AA 11，平面11ABB A 平面111AA C C AA =， ∴AD ⊥平面11ABB A ，
又1A B ⊂平面11ABB A ，∴1AD A B ⊥ （Ⅱ）（本小题8分）
解：过A 作1AE A B ⊥，垂足为E ，连接DE ． 由（Ⅰ）已得1AD A B ⊥，∴1A B ⊥平面AED ， ∴AED ∠为二面角1D A B A --的平面角．
又AE =，∴在Rt AED ∆中，tan AD
AED AE
∠=
==
．
∴二面角1D A B A --
21．（本题满分15分）
已知R ∈a ，函数223
23
2)(a ax x x x f +++=
． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若函数)(x f 存在两个极值点1x 、2x ，求)()(21x f x f +的取值范围． 21．（Ⅰ）（本小题6分）
a x x x f ++='42)(2，a 816-=∆．
当2≥a 时，0)(,0≥'≤∆x f ，)(x f 在),(+∞-∞上是增函数． 当2<a 时，)(x f 在)2242,(a ----∞和),2
242(+∞-+-a
上是增函数；
在)2
242,2242(
a
a -+----上是减函数．
（Ⅱ）（本小题9分）
∵函数)(x f 存在两个极值点，∴ 0816>-=∆a ，∴2<a ． 又∵1x 、2x 是函数)(x f 的两个极值点，∴122x x +=-，2
21a
x x =
．
∴)()(21x f x f +=
222322123121232232a ax x x a ax x x +++++++ 2
21222132312)()(2)(3
2a x x a x x x x ++++++= 2212122121221212)(]2)[(2]3))[((3
2a x x a x x x x x x x x x x +++-++-++= 222)4(2)234)(2(32a a a a +--+--=3
8222+-=a a 613)21(22+-=a ． ∵2<a ，∴613)()(21≥
+x f x f ．
22．（本题满分14分）
如图，已知圆4)2(22=++y x 与坐标轴相交于O 、A 两点（O 为坐标原点），另有抛物线2(0)y ax a =>．
（Ⅰ）若抛物线上存在点B ，直线BC 切圆于点C ，四边形OACB 是平行四边形，求抛物线的方程；
（Ⅱ）过点A 作抛物线的切线，切点为P ，直线AP 与圆相交于另一点Q ，求||||QP AQ 的取值范围．
22．（Ⅰ）（本小题6分）
因为OACB 是平行四边形，BC OA //，
所以)2,2(-C ，)4,2(a B ，
又)4,0(-A ，所以244-=-a ，解得21=
a ． ∴抛物线的方程为)2(2122y x x y ==
． （Ⅱ）（本小题8分）
不妨设),(2at t P （0≠t ）．
∵at ax y t x t x 2|2|'====，
∴AP 的方程为2)(2at t x at y +-=，即22at atx y -=． 又)4,0(-A ，∴ 42=at ，即24
t a =．∴AP 的方程为48-=x t
y ． 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=4
)2(4822y x x t y ，消去y ，得032)64(22=-+tx x t ．
（第22题）
∴Q 的横坐标为64322+=t t
x Q ． ∴3232||||2+=--=t x x x x QP AQ Q P A Q ． 又),0(42+∞∈=
a
t ， ∴||||QP AQ 的取值。