本科线性代数自测复习题
自考线性代数试题及答案
自考线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列矩阵中，哪一个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [0, 1; 1, 0]答案：B2. 设向量v = (1, 2, 3)，向量w = (4, 5, 6)，则向量v与向量w 的点积为：A. 32B. 34C. 36D. 38答案：A3. 对于线性变换T: R^3 → R^2，如果T(x, y, z) = (x + z, y - z)，那么T的秩是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 设A和B是两个n阶方阵，若AB = BA，则称矩阵A和B是可交换的。
若A和B是两个n阶实对称矩阵，且AB = BA，那么：A. A和B一定可交换B. A和B一定不可交换C. A和B可交换或不可交换D. 无法判断A和B是否可交换答案：A5. 对于任意的n阶方阵A，以下哪个选项是正确的？A. |A| = |A^T|B. det(A) = det(A^T)C. trace(A) = trace(A^T)D. A * A^T 一定是对称矩阵答案：C6. 设A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，若AB = 0，则：A. 必有B = 0B. 必有A = 0C. 必有rank(A) + rank(B) ≤ max(m, p)D. rank(AB) ≤ rank(A)答案：D7. 对于n维向量空间V，以下哪个命题是线性代数的基本定理？A. 每个向量都可以由V的一组基唯一表示B. V中任意两个不同的向量都是线性无关的C. V中任意非零向量都是可逆的D. V中任意两个向量都线性相关答案：A8. 设λ是n阶方阵A的一个特征值，对应的特征向量为v，则：A. (A - λI)v = 0B. Av = vC. A^2v = λ^2vD. (A + I)v = λv答案：A9. 对于任意矩阵A，以下哪个选项是正确的？A. |A| = |A^2|B. det(A) = det(A^2)C. trace(A) = trace(A^2)D. A^2 一定是可逆的答案：B10. 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且AB = Im，则：A. B一定是A的逆矩阵B. A一定是B的逆矩阵C. A和B互为逆矩阵D. A和B不一定是方阵答案：C二、填空题（每题3分，共15分）11. 设矩阵A = [1, 2; 3, 4]，则A的特征多项式为f(λ) = _______。
线性代数自测题一
自测卷一 一、单项选择题1．设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则 ( )()A . B A +可逆；()B . kA 可逆（k 为常数）；()C . AB 可逆；()D . 111)(---=BA AB .2．设A 是4阶矩阵，且A 的行列式0=A ，则A 中( )． ()A . 必有一列元素全为0； ()B . 必有两列元素成比例；()C . 必有一列向量是其余列向量的线性组合； ()D . 任意列向量是其余列向量的线性组合．3．设A 是65⨯矩阵，而且A 的行向量线性无关，则( )． ()A . A 的列向量线性无关；()B . 线性方程组B AX =的增广矩阵A 的行向量线性无关；()C . 线性方程组B AX =的增广矩阵A 的任意四个列向量线性无关； ()D . 线性方程组B AX =有唯一解．4．设n 阶矩阵A 非奇异（n 2≥），A 的伴随矩阵是*A ，则 ( ) 成立.()A . A A A n 1**)(-=； ()B . A AA n 1**)(+=；()C . A AA n 2**)(-=； ()D . A AA n 2**)(+=.5．对n 元方程组( ).()A . 若AX=0只有零解，则AX=b 有唯一解； ()B . AX=0有非零解的充要条件是0=A ；()C . AX=b 有唯一解的充要条件是r (A )=n ；()D . 若AX=b 有两个不同的解，则AX=0有无穷多解.二、填空题1．已知11111321--x 是关于x 的一次多项式，该式中x 的系数为2．已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k k k 111111111111A ，且A 的秩()3=A r ，则=k ．3．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=+a y x y x y x 25320有解，则=a ．4．设A 是n 阶矩阵，0≠A ，*A 是A 的伴随矩阵．若A 有特征值λ，则()1*2-A必有一个特征值是 ． 5．若二次型()322123222132122,,x ax x x x x x x x x f ++++=是正定二次型，则a的取值范围是 ．三．设n 阶矩阵A 和B 满足条件：AB B A =+． ⑴ 证明：E A -是可逆矩阵，其中E 是n 阶单位． ⑵ 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=200012031B ，求矩阵A ． 四．当a 、b 为何值时，线性方程组()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++12323122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解． 五． 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=122113221A ,求A 的特征值与特征向量. 六． 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4820322513454947513253947543173125 七． 若二次型323121232221222x x x x x x x x x f βα+++++=经正交变换后可变为标准形23222y y +，求α，β．并求出该正交变换．八． 已知三维线性空间的一组基底为()0111，，=α，()1012，，=α，()1103，，=α求向量()002，，=β在上述基底下的坐标．九．设A 是n 阶矩阵，如果存在正整数k ，使得O A =k （O 为n 阶零矩阵），则称A 是n阶幂零矩阵．求证：⑴. 如果A 是n 阶幂零矩阵，则矩阵A 的特征值全为0． ⑵. 如果O A ≠是n 阶幂零矩阵，则矩阵A 不与对角矩阵相似．自测题一答案一、单项选择题1． C 2． C 3．B 4．C 5． D 二、填空题（每小题3分，共15分。
线性代数第一章自测题
第一章 行列式（√）1．若111213212223313233a a a a a a d a a a =，则131211232221333231a a a a a a d a a a =. 2.互换行列式的任意两行，行列式值不变. （ ） 3.排列631254的逆序数是6. （ ）4.对角行列式的值等于其所有对角元素的乘积． （ ）5.分块对角阵的行列式等于对角线上各方块行列式之积．（ ）6.设A 为3阶方阵，2A =，则12TA A =__________. 7.逆序数()21n τ= _____________. 8.排列32514的逆序数是： ． 9.排列631254的逆序(631254)t = 8 .10.设四阶行列式1112224333444pa b c p a b c D p a b c p a b c =,则第四列的代数余子式之和 = 0 .11.设3312243,0311A tB ⨯-⎛⎫ ⎪=≠ ⎪ ⎪-⎝⎭且AB=0,则t = 3 . 12.设a 、b 为实数，则当a =＿_＿且b =＿_＿时，010000=--a b ba13.==343332312423222143211111x x x x x x x x x x x x D __________________________. 14.设D 为一个三阶行列式，第三行元素分别为-1，2,3，其余子式分别为1,2,1，则D ____________=.15.设211111401D-=-，ijA为D中元素ija的代数余子式，则313233A A A++=_______.16.sin coscos sinαααα-=_____________.17.00102000n=_____________.18.设211111401D-=-，ijA为D中元素ija的代数余子式，则313233A A A++=_______.19．若D是n阶行列式，下列说法中错误的是（）．.A D与T D相等；.B若D中有两行元素成比例，则D等于零；.C若D中第i行除()j i,元外都为零，则D等于()j i,元与它的代数余子式的乘积；.D D的某一行元素与另一行的对应元素的余子式乘积之和为零．20.行列式349571214-的元素23a的代数余子式23A为（）A. 3B.3-C.5D.5-21．方程111012λλλλ-=的实根个数为（）A. 0B. 1 .C 2 .D 3 22．23.计算行列式2111121111211112D=；1311131113D=；21111351925D=；1411141114D=；21111241416D =；0100421523132131---；1000313333133331；3112513420111533D ---=---；=aa a a 111111111111 24.设3351110243152113------=D D 的()j i ,元的代数余子式记作ijA ，求 34333231223A A A A +-+25.设 3142313150111235------=D .D 的()j i ,元的余子式记作ijM ，求14131211M M M M -+-．26.设 4001030100214321=D ，D 的()j i ,元的代数余子式记作ij A ， 求14131211A A A A +++．。
自考线性代数试题及答案
自考线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在线性代数中，向量空间的基具有什么性质？A. 唯一性B. 线性无关性C. 任意性D. 可数性答案：B2. 矩阵的秩是指什么？A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中线性无关行的最大数目D. 矩阵中线性无关列的最大数目答案：D3. 线性变换的核是指什么？A. 变换后的向量集合B. 变换前的向量集合C. 变换后为零向量的向量集合D. 变换前为零向量的向量集合答案：C4. 线性方程组有唯一解的条件是什么？A. 方程的个数等于未知数的个数B. 方程组是齐次的C. 方程组的系数矩阵是可逆的D. 方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩答案：D5. 特征值和特征向量在矩阵理论中具有什么意义？A. 矩阵的对角化B. 矩阵的转置C. 矩阵的行列式D. 矩阵的迹答案：A6. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. 对角矩阵B. 单位矩阵C. 任意矩阵D. 零矩阵答案：B7. 矩阵的迹是矩阵对角线上元素的什么？A. 和B. 差C. 积D. 比答案：A8. 线性代数中的线性组合是什么？A. 向量的加法B. 向量的数乘C. 向量的加法和数乘的组合D. 向量的点积答案：C9. 矩阵的行列式可以用于判断矩阵的什么性质？A. 可逆性B. 秩C. 正交性D. 特征值答案：A10. 线性变换的值域是指什么？A. 变换前的向量集合B. 变换后的向量集合C. 变换前的向量空间D. 变换后的向量空间答案：B二、填空题（每空1分，共10分）11. 矩阵的转置是将矩阵的______交换。
答案：行与列12. 方程组 \( Ax = 0 \) 是一个______方程组。
答案：齐次13. 矩阵 \( A \) 和矩阵 \( B \) 相乘，记作 \( AB \)，其中\( A \) 的列数必须等于______的行数。
答案：B14. 向量 \( \mathbf{v} \) 的长度（或范数）通常表示为\( \left\| \mathbf{v} \right\| \)，它是一个______。
《线性代数》自测题二及 答案
测试题二（矩阵）一．单项选择题1. 设A 为n 阶矩阵，且O A =3，则（ C ）（A ）A E A E +-,均不可逆; （B ）A E -不可逆，但A E +可逆（C ）A E -,E A A +-2均可逆;（D ）A E -可逆,但E A A +-2不可逆2．设B A ,都是n 阶非零矩阵，且O AB =，则B A ,的秩（ B ）（A ）必有一个等于零 （B ）都小于n（C ）一个小于n ，一个等于n （D ）都等于n3．若A 为n 阶可逆矩阵，则下列结论不正确的是（ D ）．（A ）11)()(--=k k A A ； （B ）T k k T A A )()(=； （C ）k k A A )()(**=； （D ）**=kA kA )(．4． 设B A ,为n 阶矩阵，下列结论正确的是（ D ）（A ）||||||B A B A +=+ （B ）||||||B A B A -=-（C ）若B AB =，则BA AB = （D ）若E B AB +=，则BA AB = 5．B A ,均为三阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ A ）．（A ）111)(---=B A AB ； （B ）A A =-； （C ）B A B A B A +-=-22； （D ）A A 22=．6．设()353=⨯A R ，那么53⨯A 必满足 （ D ）．（A ）三阶子式全为零； （B ）至少有一个四阶子式不为零；（C ）二阶子式全为零； （D ）至少有一个二阶子式不为零．7．⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A 212122122111，02121≠n n b b b a a a ，秩=A （B ）． （A ）0； （B ）1 ； （C ）2； （D ）n ．8．设B A ,为n 阶矩阵，**,B A 是伴随矩阵，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B O O A C ，则=*C （ C ）． （A ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**B B O O A A ； （B ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**A A O O B B ； （C ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**B A O O A B ； （D ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**A B O O B A ．9．设B A ,均为n 阶矩阵，A 与B 等价，下列结论不正确的是（ A ）．（A ）若0||>A ，则0||>B（B ）若0||≠A ，则存在可逆矩阵P 使得E PB =（C ）若A 与E 等价，则B 是可逆矩阵（D ）存在可逆矩阵Q P ,，使得B PAQ =10．设)3(≥n n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a b a b a b a a A ，其中0≠ab ，若1)(-=n A r ，则b a , 应满足（ B ） （A ）0=+b a （B ）a n b )1(-= （C ）0=-b a （D ）a n b )1(-=11．设B A ,均为n m ⨯矩阵，1)(r A r =，2)(r B r =,若方程组α=Ax 有解，β=Bx 无解，且r B A r =),,,(βα，则（ D ）（A ）21r r r += （B ）21r r r +≤ （C ）121++=r r r （D ）121++≤r r r二．填空题1．若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110P ，那么=20042003AP P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2143． 2．B A ,为三阶矩阵，1-=A ，2=B ，则()='-212B A 2 ． 3．已知53)(2+-=x x x f ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a A 00，则=)(A f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-53005322b b a a ． 4．若C B A ,,均为n 阶矩阵，且E CA BC AB ===，则=++222C B A 3E ． 5．α是三维列向量，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----='111111111αα，则='αα 3 ．6．若A 为)2(≥n n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵,则**)(A = A A n 2||-．三．判断题（正确打V ，错误打×）1．*A A =的充分必要条件是1-=A A A ．（ × ）2．3223⨯⨯B A 不可逆．（ V ）3．如果E AB =，则1-=A B ．（ V ）4．B A ,为n 阶非零矩阵，若,O AB =则0==B A ．（ V ）5．()ij a A =为n 阶可逆矩阵，若A 的每行元素之和全为a ，则1-A 的每行元素之和全为1-a ．（ V ）6．若A 为)2(≥n n 阶可逆矩阵，*A 是A 的伴随矩阵,则**)(A A -=-（ × ）四．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110011001A ，求n A ． 五．讨论参数a 的取值，求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=68963642321a A 的秩．六．设122101221,021425000A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，是否存在可逆阵P 使PA B =,若存在，求出P 。
自考本线性代数试题及答案
自考本线性代数试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [1, 0; 0, 1]C. [2, 3; 4, 5]D. [0, 1; 1, 0]答案：B2. 设A为n阶方阵，若存在常数k使得A^2 = kA，则称A为幂等矩阵。
若A是幂等矩阵且|A|≠0，则k的值是：A. 0B. 1C. -1D. n答案：B3. 对于任意的n阶方阵A，以下哪个选项是正确的？A. |A| = |A^T|B. det(A) = det(A^T)C. tr(A) = tr(A^T)D. A + A^T 总是对称矩阵答案：C4. 设A和B是两个n阶方阵，若AB=BA，则称A和B可交换。
若A和B可交换，且|A|=5，|B|=3，则|AB|的值是：A. 15B. 5C. 3D. 无法确定答案：A5. 对于n维向量空间V，以下哪个命题是线性代数的基本假设？A. 向量加法满足交换律B. 向量加法满足结合律C. 标量乘法对向量加法满足分配律D. 所有选项都是答案：D二、填空题（每题3分，共15分）6. 设向量α=(1, 2, 3)^T，β=(-4, 5, -6)^T，向量α和β的点积α·β等于______。
答案：-37. 若矩阵A的特征值为2，则矩阵2A的特征值为______。
答案：48. 设矩阵B可以表示为B=P^(-1)AP，其中P是可逆矩阵，那么B和A 是______相似的。
答案：相似9. 对于任意矩阵A，tr(A)表示矩阵A的______。
答案：迹（或特征值之和）10. 设A是一个3×3的矩阵，且A^3 = A，则A的一个特征值可以是______。
答案：1三、解答题（共75分）11. （15分）证明任意n阶方阵A，|A^T| = |A|。
证明：设A是一个n阶方阵，其行列式为|A|。
根据行列式的性质，我们知道行列式与行（列）的置换有关。
对于矩阵A的转置矩阵A^T，它的行（列）与A的列（行）相对应。
线性代数自考试题及答案
线性代数自考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个不是方阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [1, 2]C. [1, 2; 3, 4; 5, 6]D. [1, 2; 3, 4; 5, 6; 7, 8]答案：B2. 对于向量空间中的向量组，线性相关的定义是什么？A. 向量组中的任意向量都可以用其他向量表示B. 向量组中存在非零向量可以表示为零向量C. 向量组中的向量线性组合为零向量D. 向量组中所有向量都是零向量答案：A3. 矩阵的特征值是什么？A. 矩阵对角线上的元素B. 使得方程Ax = λx 成立的标量λC. 矩阵的行数D. 矩阵的列数答案：B4. 对于矩阵 A，下列哪个矩阵是 A 的伴随矩阵？A. A^TB. A^(-1)C. adj(A)D. det(A)答案：C5. 如果一个向量是另一个向量的标量倍，这两个向量是什么关系？A. 线性无关B. 线性相关C. 正交D. 单位向量答案：B二、填空题（每题3分，共15分）6. 矩阵的秩是指_________。
答案：矩阵中线性无关的行（或列）的最大数目7. 向量空间的基是指一组_________的向量，它们能生成整个向量空间。
答案：线性无关8. 对于任意矩阵 A，|A| 表示_________。
答案：矩阵 A 的行列式9. 如果矩阵 A 可逆，那么 A 的逆矩阵记作_________。
答案：A^(-1)10. 线性变换 T: R^n → R^m 的标准矩阵是指_________。
答案：线性变换 T 对标准基的坐标表示矩阵三、解答题（共75分）11. （15分）设 A 是一个3×3 的实对称矩阵，证明其特征值都是实数。
答案：略12. （20分）给定两个向量 v1 = [1, 2, 3]^T 和 v2 = [4, 5, 6]^T，求它们的叉积v3 = v1 × v2，并证明 v3 与 v1, v2 都正交。
线性代数自测习题及答案
自测复习题21填空题 （1） 向量组[][][]1232,2,7,3,1,2,1,5,12a a a T T T ==-=线性 关。
（2） 4维向量组[]11,4,0,2a T =-，[]25,11,3,0a T =-，[]33,2,4,1a T =--，[]42,9,5,0a T =--， []50,3,1,4a T=-的秩是 ，且一个极大无关组为 。
的秩为，则向量组的秩为）已知向量组（321321,3,,4a a a a a a - 。
=⨯m A A n m 则的行向量组线形无关，，且的秩为矩阵）已知（35 ，m n 。
（6）已知秩为3的向量组1234,,,a a a a 可由向量组123,,βββ线性表示，则向量组123,,βββ必线性 。
（7）设20,,k k βT ⎡⎤=⎣⎦能由[]11,1,1a k T =+，[]21,1,1a k T =+，[]31,1,1a k T =+唯一线性表出，则k 满足 。
（8）设A 为4阶方阵，且()2r A =，则*0A x =的基础解系所含解向量的个数为 。
2选择题（1）设向量组()I 123,,a a a ；1234(),,,a a a a II ；1235(),,,a a a a III ；()V I 12345,,,a a a a a +，且()()3r r I =II =，()4,r III =则()r V I =（ ）。
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5（2）设向量β可由向量组12,,....m a a a 线性表示，但不能由向量组121(),,....m a a a -I 线性表示，若向量组121(),,...,m a a a β-II ，则m a （ ）。
（A ）既不能由（I ）线性表示，也不能由（II ）线性表示（B ）不能由（I ）线性表示，但可由（II ）线性表示（C ）可由（I ）线性表示，也可由（II ）线性表示（D ）可由（I ）线性表示，但不可由（II ）线性表示（3）n 维向量组12,,.....(3)s a a a s n ≤≤线性无关的充要条件是（ ）。
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太原理工大学2013级《线性代数》复习自测题2014年4月复习题（一）1-5题为判断题1．向量组A：，，与向量组B：，，等价。
（ ）2．齐次线性方程组的非零解向量的分量全部不为零。
（ ）可以经过初等变换化为。
（ ）4．如果，那么成立。
（ ）5．已知阶方阵的特征值为；的特征值为；的特征值为，那么。
（ ）6-10题为单项选择题6．已知非齐次线性方程组无解，并且其增广矩阵的秩等于4，那么系数矩阵的秩等于 （ ）（Ａ）3； （Ｂ）2； （Ｃ）1； （Ｄ）0。
7．已知三阶方阵，则的逆矩阵等于 （ ）（Ａ）；（Ｂ）；（C）；（Ｄ）。
8. 若、都是阶矩阵，并且可逆，那么（ ）（Ａ）和相等；（Ｂ）和不相等；（Ｃ）和相似；（Ｄ）和不相似。
9．设二阶正定矩阵的特征值不相同，那么方程表示 （ ）（Ａ）圆； （Ｂ）椭圆； （Ｃ）双曲线； （Ｄ）抛物线。
10.若阶矩阵的每行元素之和都等于，则的每行元素之和都等于（）（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）； （Ｄ）。
11-15题为填空题11．若方阵满足，则的特征值等于 。
12．若，则行列式 。
13．已知向量组线性无关，则向量组，，也线性无关的充分必要条件是常数满足 。
14．已知是线性空间上的线性变换，并且，。
则 。
15．已知通过向量组线性表示的方式不唯一，则常数应该满足的条件为 。
16．计算行列式。
17．求解线性方程组。
18．已知矩阵，求正交矩阵，使得。
19．已知，，，求解矩阵方程。
20．证明向量组，，线性无关；将向量用线性表示；如果，求出。
复习题（一）解答1. ×。
因为的秩为，而的秩为，所以它们不等价。
2. √。
因为的秩为，所以方程组存在非零解，基础解系中只有一个向量，方程通解为，对于任意非零解应该满足，即非零解向量的分量全部不等于零。
3. √。
因为为方阵，所以与是同型矩阵，而，所以与等价，因此可以经过初等变换化为。
4．√。
矩阵与其伴随矩阵是可交换的，而当矩阵可交换时成立。
5. √。
利用以及即可。
6. Ａ。
因为方程组无解，所以，并且，所以系数矩阵的秩等于3。
7. C。
根据逆矩阵的定义，直接验证即可。
注意可逆的上三角矩阵的逆矩阵仍为上三角矩阵，所以B,D一定错误。
8. Ｃ。
因为，所以和相似。
9. B。
因为为二阶正定矩阵，所以通过正交变换后，二次型化为，并且，所以方程表示椭圆。
10.Ｄ。
阶矩阵的每行元素之和都等于，当且仅当，其中（此时是的一个特征值）。
因此由知，所以的每行元素之和都等于。
. 。
若是的特征值，则由可知，所以。
12. 。
。
13. 。
设，即，而线性无关，所以，此方程组仅有零解当且仅当行列式，所以。
（记，，，可直接写出行列式，其中第列就是用线性表示的系数。
）14. 。
因为向量，而是线性变换，它保持线性运算，所以。
15. 。
线性表示方式不唯一说明向量组是相关的，三个向量组成的行列式一定为0。
16．（利用行列式的性质，化为上三角，也可以结合展开定理降阶。
或者二者联合使用。
（四阶行列式的计算是必须掌握的内容）17．。
（线性方程组的求解要求掌握）18．因为，所以的特征值为。
对于，解方程组，得到一个特征向量，同理，对于分别得到特征向量，。
将分别单位化后的向量记为，则。
（求特征值与特征向量，并与对角矩阵相似的内容要求掌握）19．因为，而都可逆，所以，按照伴随矩阵方法或者初等变换的方法可求得，，所以。
（求逆矩阵的方法要求掌握）20．记，所以 线性无关，并且。
如果，由于 线性无关，因此表示法唯一，所以，解得。
或者因为，也得到此结果。
注意此题的解法：以给定的向量为列写出一个矩阵（即使所给定的向量是行向量），对作初等行变换，将化为行最简型矩阵,一切答案就显而易见了。
从17-20题的解答可以看出，利用初等变换可以（1）解线性方程组；（2）求矩阵的特征向量；（3）求矩阵的逆；（4）求矩阵的秩；（5）判断向量组的线性相关性，求向量组的秩和其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。
因此初等变换的方法要特别熟练掌握。
复习题（二）1-5题为判断题1．设为阶正交阵，则其伴随矩阵也一定是正交矩阵。
（ ）2. 如果维向量与的内积 ，则向量一定线性相关。
（）3. 设为阶矩阵，对任何的维列向量，有解，则可逆。
（）4. 若方阵与相似，则有 ( ). 若n阶方阵的，则对任何n维向量组 则 一定线性相关。
（ ）6-10题为单项选择题6. 设是方阵，则下列结论错误的是（ ）与行列式相同； 与的秩相同；与特征值相同； 与特征向量相同。
7. 已知为阶可逆阵，是的逆阵，则 （ ）1； ； ； 。
8. 非齐次线性方程组 ，，则 （ ）时，方程有解； 时，方程有唯一解；时，方程有唯一解； 时，方程有无穷多解9. 设是3阶方阵，中有3个列向量依次为 则（）； ；； 。
10. ，，，，其中 为任意实数，则 （ ）线性相关； 线性无关；线性相关； 线性无关。
11-15题为填空题11. 二次型正定，则的取值范围12. 已知，则 。
13. 已知是线性空间上的线性变换，；，则14. 已知是实对称矩阵的一个特征向量，则相应的特征值= 。
15. 已知向量组线性相关，而向量组线性无关，则向量组的一个最大无关组为 。
16.计算四阶行列式17.线性方程组。
（1）求出它所对应的齐次线性方程组的一个基础解系；（2）求该非齐次方程组的通解。
18． 设矩阵，，且，求矩阵。
19．设，，,求的特征值。
20． 已知，，，具体求出所有的使的不全为零的常数，并求该向量组的秩和一个最大无关组。
21．证明题（1）若是齐次线性方程组的一个基础解系，证明：也是该方程组的基础解系。
（2）设都是阶正交阵，证明：也是正交阵。
复习题（二）解答1． √； 2. ; 3. ; 4. √； 5. .6. D;7. B;8. A;9. D; 10. B.11. ； 12. ； 13. ； 14.； 15.16.===-14417.(1). 齐次线性方程组的一个基础解系X=(2). 非齐次线性方程组的一个通解X=18. ；。
19. 对称阵，一定能对角化，得，由特征值性质：有的特征值为：；，，伴随矩阵的特征值为：又，即的特征值为的特征值为。
20. 是齐次线性方程求解；向量组的秩是2；最大无关组。
21. 证明：(1) 因是齐次线性方程组的解，由解的性质,也是该方程组的解,设一组数使整理是齐次线性方程组的一个基础解系，线性无关，，得有线性无关，它们也是该方程组的基础解系。
（2） 设都是阶正交阵， 即 ，所以 也是正交阵。
复习题（三）1-5题为判断题（每小题2分），向量组都线性无关。
（ ） 2．若矩阵和的乘积可逆，则和都可逆。
（ ）3．齐次线性方程组有形如的解。
（ ）4．若阶方阵满足,则对任意维列向量均有。
（ ）5．上的线性变换是一个正交变换。
（ ）6-10题为单项选择题（每小题2分）6．已知是矩阵, 是矩阵，则齐次线性方程组与（ ）（Ａ）无公共解；（Ｂ）只有公共零解； （Ｃ）必有公共非零解；（Ｄ）同解。
7.若矩阵的特征值为 ，则下列矩阵可逆的是 （ ）（Ａ）；（Ｂ）；（C）；（Ｄ）。
8. 设,则与 （ ）（Ａ）合同，且相似；（Ｂ）合同，但不相似；（Ｃ）不合同，但相似；（Ｄ）既不合同，也不相似。
9．已知维向量组满足：秩=秩，秩，那么，向量组的秩为 （ ）（Ａ）4；（Ｂ）3；（Ｃ）2；（Ｄ）1。
10. 已知为矩阵，为矩阵，且，则 （ ）（Ａ）的行向量组线性无关，的列向量组线性无关；（Ｂ）的行向量组线性无关，的行向量组线性无关；（Ｃ）的列向量组线性无关，的行向量组线性无关；（Ｄ）的列向量组线性无关，的列向量组线性无关。
11-15题为填空题（每小题2分）11． 若为可逆矩阵，且，是的代数余子式，则。
12. 二次型的秩为2，则= 。
13． 四阶实对称矩阵满足，且,则 。
14． 线性空间的维数等于 。
15．设四阶方阵 ，且线性无关，。
已知，则线性方程组的通解为 。
16．计算四阶行列式。
17．求解线性方程组。
18．已知，求解矩阵方程。
19．已知矩阵与矩阵相似。
（1）求参数；（2）求正交矩阵,使。
20．讨论参数的取值，求向量组的秩和一个最大线性无关组。
21．证明题（1）已知为三阶方阵，为三维非零列向量，且，，记，证明线性无关。
（2）设为阶矩阵，且，判断是否为正定矩阵？说明理由。
复习题（三）解答1． √； 2. ; 3. ; 4. √； 5. √.6. C;7. C;8.B;9. B; 10.A.11. 1； 12. 5； 13. 8； 14.2； 15. k为任意实数16. : 17. 解: 增广矩阵所以原方程组的通解为，k为任意实数。
18. 解：由，得所以19. 解：由与相似，知是的一个特征值，所以解得，即，的特征值为对应的特征向量为单位化后得，所求正交矩阵20. 解：当是，，为一个最大线性无关组；当是，，为一个最大线性无关组；21. （1）证明：由于是矩阵的不同特征值的特征向量，所以线性无关，故可逆，记，则可逆，所以的列向量组也线性无关，即线性无关。
（2）证明：是，，对称。
由，所以只有零解，因此对，，从而，故正定。
自测题1-5题为填空题：1． 设为三阶方阵，为的伴随矩阵，且，则= .2．二次型正定，则的取值范围为 ., 所以3． 线性空间的维数等于 .，所以 4． 设三阶方阵的各行元素之和均为，向量，是线性方程组的两个解，则= .，，，，所以5． 设，则= ., 所以6-10题为单项选择题：6. 设，，，，其中 ，，，为任意实数，则（Ｂ）（Ａ） 线性相关； （Ｂ）线性无关；（Ｃ）线性相关； （Ｄ）线性无关.因为，，线性无关，所以线性无关7. 设为阶矩阵，且，，均为奇异矩阵， （Ｂ）（Ａ） ； （Ｂ） ； （Ｃ） ； （Ｄ） .因为，所以的特征值为，所以8. 已知是矩阵, 是矩阵，则齐次线性方程组与（Ｃ ）（Ａ）无公共解；（Ｂ）只有公共零解；（Ｃ）必有公共非零解；（Ｄ）同解.考虑齐次线性方程组，由于，所以有非零解9. 设矩阵，且存在矩阵使得，又，则（Ｄ）（Ａ）； （Ｂ）； （Ｃ）； （Ｄ）.因为，，所以方程组的基础解系所含解向量的个数等于,即，而显然，所以，所以10. 已知矩阵与相似，且，则秩与秩之和等于（ ）（Ａ）； （Ｂ）； （Ｃ）； （Ｄ）., 所以的特征值为，所以，（因为是单特征值），所以11-15题为判断题，正确打√，错误打×：11． 设为阶方阵，则可以经过初等变换化为. （ √）因为与 秩相同，又为阶方阵，所以与在初等变换下的标准型相同，所以可以经过初等变换化为.12． 如果可由唯一线性表示,则线性无关. （ √ ）因为可由唯一线性表示，所以方程组有唯一解，所以，所以线性无关.13． 齐次线性方程组有形如的解. （ × ）如果，其中为的列，则可由线性表示，矛盾！14．若按定义阶行列式的展开式中每一项都不为零,则. （ × ）15．若实对称矩阵与相似，则与合同. （√）因为实对称矩阵与相似，所以存在正交矩阵使得所以，所以,所以,所以与合同.16．（12分）计算四阶行列式．17．（12分）求线性方程组的通解．18．（12分） 设矩阵，其中，，求．19．（12分）求向量组 、、、的秩和一个最大线性无关组，并将其余向量用该最大线性无关组线性表示．20．（12分）设矩阵相似于对角矩阵，试确定常数的值，并求可逆矩阵，使得．,所以的特征值为，因为特征值的重数为2，所以，所以，又，所以.21． （5分）设为阶方阵，且，，，证明．证明 因为所以,所以，所以，所以.22．（5分）设是非齐次线性方程组的一个解，，，是对应齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1），，，线性无关；（2），，，线性无关．证明（1）设，如果，则可由，，线性表示，这与是非齐次线性方程组的一个解矛盾！所以，所以，而，，是基础解系，所以线性无关，所以，所以，，，线性无关.（2）设, 所以，如果，则可由，，线性表示，这与是非齐次线性方程组的一个解矛盾！所以，所以，而，，是基础解系，所以线性无关，所以，结合，所以，所以，，，线性无关．2013-2014学年第二学期《线性代数》考前答疑安排时间：2014年6月23日——6月27日每天下午：2:30—6:00地点：行知楼B328（如果学校安排有变化，授课教师会另行通知）。